teoria integral dupla 2009-2

2. INTEGRAL DUPLA

2.1. CONCEITOS BÁSICOS

2.1.1. Região limitada no plano : R é uma região limitada no plano se existe um retângulo

S([a, b] [c, d]) tal que R esteja contida em S, onde [a, b] está contido no eixo dos X e

[c, d] está contido no eixo dos Y.

2.1.2. Tipos de Região limitada :

a) Uma região R é do tipo T1, se e somente se, a variável independente é x, isto é, para

todo x [a, b] temos uma única função inferior y1 e uma única função superior y2.

x [a, b]

T1 y varia de y1 = função inferior

y2 = função superior

b) Uma região R é do tipo T2, se e somente se, a variável independente é y, isto é, para

todo y [c, d] temos uma única função inferior x1 e uma única função superior x2.

y [c, d]

T2 x varia de x1 = função inferior

x2 = função superior

EXEMPLOS:

Exemplo 1. Seja a região R limitada pelos gráficos de , e .

CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI

1

XY = c

Y

4

X

Y

y = 2x

x = 2

y = 0

Y = d

x = a x = b

A região destacada no exemplo 1 é tanto do tipo T1 como do tipo T2 , pois:

x [0, 2] y [0, 4]

T1 y varia de y1 = 0 OU T2 x varia de x1 =

y2 = 2x x2 = 2


A região acima é somente do tipo T1, pois:

x [0, 2]

T1 y varia de y1 = x

y2 = 4 - x

Atenção: A região acima não é do tipo T2, pois temos duas funções superiores, isto é,

teríamos de dividi-la em duas partes: uma de y = 0 até y = 2 e outra de y = 2 até y = 4.

y [0, 2] y [2, 4]

R1 x varia de x1 = 0 E R2 x varia de x1 = 0

x2 = y x2 = 4 - y

Exemplo 3. Seja a região R limitada pelos gráficos de , e .CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III

Profº André M S Souza – Elaborado: PROFª MARIA ROSELI DA SILVA BERTOLI

2

X

Yy = xy = 4 - x

2

2

4

A região acima é somente do tipo T2, pois:

y [0, 2]

T2 x varia de x1 = y

x2 = 4 - y

Atenção: A região acima não é do tipo T1, pois temos duas funções superiores, isto é,

teríamos de dividi-la em duas partes: uma de x = 0 até x = 2 e outra de x = 2 até x = 4.

x [0, 2] x [2, 4]

R1 y varia de y1 = 0 E R2 y varia de y1 = 0

y2 = x y2 = 4 - x

2.2. MONTAGEM DA INTEGRAL DUPLA

a) 1º Modo : x é a variável independente

x [a, b]



Logo:

b) 2º Modo : y é a variável independente


3

4

X

Yy = xy = 4 - x

2

2

y [c, d]



Logo:

EXEMPLOS


Observe o gráfico do exemplo 1 da página 1.

x [0, 2] y [0, 4]

T1 y varia de y1 = 0 OU T2 x varia de x1 =

y2 = 2x x2 = 2

Logo: OU



x [0, 2]

T1 y varia de y1 = x

y2 = 4 - x

Logo:

Escrevendo a integral pelo modo T2:

y [0, 2] y [2, 4]

R1 x varia de x1 = 0 E R2 x varia de x1 = 0


4

x2 = y x2 = 4 - y

Logo:



y [0, 2]

T2 x varia de x1 = y

x2 = 4 – y

Logo:

Escrevendo a integral pelo modo T1:

x [0, 2] x [2, 4]

R1 y varia de y1 = 0 E R2 y varia de y1 = 0

y2 = x y2 = 4 – x

Logo:

2.3. CÁLCULO DA INTEGRAL DUPLA

EXEMPLOS:

Exemplo 1: Observe o gráfico do exemplo 1 da pág. 1 e a montagem da integral na pág. 4.

a)


5

Cálculo auxiliar:

Substituindo na integral dupla, temos a seguinte integral:

Aplicando , temos:

Substituindo os limites de integração superior e inferior, temos:

Assim:

b)

Cálculo auxiliar:


Aplicando , temos:

Assim:

Atenção: Observe que efetuando a resolução da integral escrita de modo T1 ou pelo modo

T2 deveremos sempre obter o mesmo resultado.

Exemplo 2: Observe o gráfico do exemplo 3 da pág. 3 e a montagem da integral na pág. 5.

a)


6

Cálculo auxiliar:

Substituindo os limites de integração, temos:

Desenvolvendo o quadrado da diferença, temos:

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

Agrupando os termos semelhantes, temos:



Assim:

b)

Cálculo Auxiliar: b1)


Cálculo Auxiliar: b2)


Desenvolvendo o quadrado da diferença, temos:

Aplicando a propriedade distributiva, temos:

Substituindo os resultados de b1 e b2 na integral dupla, temos a seguinte integral:

Aplicando , temos:


7


Assim:

Atenção: Observe que efetuando a resolução da integral escrita de modo T1 ou pelo modo

T2 deveremos sempre obter o mesmo resultado.

2.4. MUDANÇA DA ORDEM DE INTEGRAÇÃO DA INTEGRAL DUPLA

Existem situações em que a integral escrita de uma forma é de difícil resolução (exige

técnicas de integração ou algo mais). Entretanto invertendo a ordem de integração a

resolução se torna bastante simples.

EXEMPLO 1:

IMPORTANTÍSSIMO:

Ao resolver esta integral encontraríamos o seguinte:

Cálculo auxiliar: Não é uma integral imediata e nem é possível aplicar

uma das técnicas de integração estudadas no Cálculo II. Porém se invertermos a ordem de

integração, encontramos a solução rapidamente.

Lendo a integral dupla, encontramos:

y [0, 1]

T2 x varia de (ou melhor para graficar )CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III


8

Construindo o gráfico e destacando a região R no plano XY, temos:

Invertendo (mudando) a ordem de integração, temos:

x [0, 1]

T1 y varia de

Escrevendo a nova integral, temos:

Agora resolvendo a nova integral dupla, vemos que facilmente encontramos a solução.

Cálculo auxiliar:


Substituindo na integral dupla, temos:

A integral acima é do tipo , pois enquanto que .


9

Y

1

X1

Logo


EXEMPLO 2:

IMPORTANTÍSSIMO:

Ao resolver esta integral encontraríamos o seguinte:

Cálculo auxiliar: Não é uma integral imediata e nem é possível

aplicar uma das técnicas de integração estudadas no Cálculo II. Porém se invertermos a

ordem de integração, encontramos a solução rapidamente.

Lendo a integral dupla, encontramos:

x

T1 y varia de

Construindo o gráfico e destacando a região R no plano XY, temos:


10

X

Yy = x

Invertendo (mudando) a ordem de integração, temos:

y

T2 x varia de

Escrevendo a nova integral, temos:

Agora resolvendo a nova integral dupla, vemos que facilmente encontramos a solução.

Cálculo auxiliar:



A integral acima é do tipo onde e



11

0

Portanto ou

2.5. APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA

2.5.1. CÁLCULO DE ÁREA

Para determinar a área através de integral dupla utiliza-se como função integrando

. Portanto

x [a, b]



Logo:

y [c, d]



Logo:

Exemplo 1:

Seja a região R limitada pelos gráficos de , , e .

ou

y [-2, 3]

T2 x varia de


12

y = -2

y = 3X

Y

Logo:

Cálculo auxiliar:



Portanto a área da região R é:

Exemplo 2:

Seja a região R limitada pelos gráficos de e .

x [-4, 1]CÁLCULO DIFERENCAL E INTEGRAL III


13

X-4

Y

1

xy 3

24 xy

T1 y varia de

Logo:

Cálculo auxiliar:



Portanto a área da região R é:

2.5.2. CÁLCULO DE MASSA

Seja uma lâmina colocada numa região R do plano XY e cuja densidade (em

unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em R é dada por , onde é

uma função contínua sobre R.

A massa total da lâmina é dada por:

onde ou

Exemplo1: Uma lâmina tem a forma de um retângulo com dois lados consecutivos de

comprimento igual a 2 cm e a 4 cm, conforme figura abaixo. Determine a massa da lâmina,

sabendo que a densidade de massa por área num ponto P é .


14

Y

X2

4

X

OU

Resolvendo ambas as integrais duplas, encontraremos a quantidade de massa como sendo

2.5.3. CÁLCULO DE CARGA

Se uma carga elétrica está distribuída sobre uma região R e a densidade de carga

(em unidades de carga por unidade de área) é dada por num ponto (x, y) em R,

então a carga total é dada por onde ou

Exemplo: A carga é distribuída sobre uma região R delimitada pelo triângulo retângulo de

vértices (0,0), (2,0) e (2,2), de modo que a densidade de carga num ponto (x, y) é dada pela

função . Determine a carga total.

OU

Resolvendo ambas as integrais duplas, encontraremos a quantidade de carga como sendo

unidades de carga

2.5.4. CÁLCULO DE VOLUME

Seja S um sólido, cuja projeção no plano XY nos dá uma região limitada R. Então o volume

deste sólido pode ser determinado por:

onde ou e altura

Exemplo: Determine, através de integral dupla, o volume do sólido limitado pelos planos

, , , , e .

SÓLIDO OBTIDO


15

Y

X2

2

X

z

y

x

0z

4z

6y0y 2x

0x

frente

fundo

Altura é z que varia de: (plano)

(plano)

BASE: PROJEÇÃO NO PLANO XY

A região R acima tanto é do tipo T1 quanto do tipo T2. Portanto:

Região T1:

varia de

Assim a integral dupla que representa o volume do sólido acima é:

Região T2:


16

X

Y

X=0

Y=0

Y=6

X=2

varia de

Assim a integral dupla que representa o volume do sólido acima é:

Resolvendo ambas as integrais duplas, encontraremos unidades.

Referências bibliográficas:

1. LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Harper e Row, 1980.

V. 2.

2. SWOKOWSKI, Earl W.. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo: Makron Books,

1994. v. 2

2. ANTON, H. Cálculo: um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, 2000 v.2

3. STEWART, James. Cálculo. 4. ed. São Paulo: Pioneira, 2001. V. 2.

4. GONÇALVES, Mírian B., Cálculo B: Funções de Várias Variáveis Integrais Duplas e

Integrais Triplas. São Paulo: Makron Books, 1999

5. THOMAS, George B. Cálculo. São Paulo: Addison Wesley, 2003. V. 2.


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