teoria geral de sistemas conceitos básicos jorge muniz barreto ufsc - ine

Teoria Geral de Sistemas

Conceitos Básicos

Jorge Muniz BarretoUFSC - INE

Jorge M. Barreto UFSC-INE

Conceitos Básicos de Sistemas

A Teoria Geral de Sistemas é uma teoria matemática que procura tratar de todos os possíveis tipos de sistemas com um arcabouço único.

Assim, a Teoria de Sistemas abrange vários campos de aplicação mas não se confunde com nenhum deles. Afinal, o todo não deve ser confundido com uma de suas partes.



A noção de sistema deve ser considerada como em uma teoria matemática como um conceito primitivo, sem definição.

Seu conceito deve ser apreendido através de exemplos e contra-exemplos. Só que contra-exemplos são difíceis de encontrar...



Claro que em administração trabalha-se com sistemas administrativos e a noção sistêmica é de grande valia.

Entretanto restringir sistemas a sistemas administrativos seria considerar que o Brasil é a cidade de São Paulo...

Se estará perdendo regiões maravilhosas de se viver...



Claro que Pesquisa Operacional usa noções sistêmicas ms seu uso é bem limitado.

Restringir sistemas a problemas que recaem em Pesquisa Operacional seria considerar que o Brasil é a cidade do Rio de Janeiro, com suasa praias esquecendo as águas limpas e quentes do nerdeste...



Ligar sistemas a sistemas produtivos seria eum erro, que levaria a deterioração do conceito por se misturar com cada um dos seus compos particulares de aplicação.

Teoria de Sistemas deve ser extensão da Teoria da Computação por ser um extensão natural da Teoria das Máquinas de Estado Finitas, modelo abstrato de nossos computadores



Tem-se um sistema sempre que se considera um objeto do mundo real ou imaginário e se concentra neste objeto nossa atenção de estudo. Assim sistemas podem ser:

Sistemas reais {concretos

imaginários

Sistemas abstratos



Sistemas reais são todos aqueles que existem no nosso mundo.Ex: Um sistema administra-tivo, o sistema de transportes urbano, etc.

Os dois sistemas acima são sistemas concretos. Um sistema abstrato seria o de um conto policial.



Sistemas abstratos são exatamente os que estudam-se na Teoria Geral de Sistemas. São sistemas matemáticos abstração de algum sistema real. Ex: pedaço de vidro.

Pode constituir vários sistemas: lâmina de faces paralelas; estado vítreo, etc.



Sistema Geral: Sg

Seja o conjunto de atributos relavantes de um sistema:

A1, A2, A3, ...An

Tem-se:

Sg A1 A2 A3 ... An



Sistema Orientado So

Quando se faz uma partição no conjunto de atributos relevantes, considerando conjunto de entradas e conjunto de saidas, tem-se um sistema orientado. Assim:

So



Observação: Nem todo sistema é orientado. Um resistor linear, tem modelo dado pela Lei de Ohm:

V = RI

Neste caso, tanto o I como V podem ser a variável independente. Diz-se que R aceita duas orientações.



Exemplos de sistemas orientados:

Catálogo telefônico de nomes: entra-se com o nome e tem-se o telefone.

Lâmpada de mesa: a posição do interruptor determina o estado da lâmpada: acesa ou apagada.

A maioria das linguagens de programação, tem dados e resultados perfeitamente definidos.



Sistema Temporal St:

Quando excitação e resposta são funções de um mesmo parâmetro t T conjunto munido de uma relação de ordem total, diz que o sistema é temporal.

Assim: St UT YT,

U é o conjunto de valores de entrada e Y o conjunto de valores de saida.



Nota (Relação com Sistemas Formais)(1/2):

Em um sistema formal a cada aplicação de uma regra de derivação é criado um novo elemento do sistema formal. Estes elementos podem ser colocados na ordem de sua criação; primeiro, segundo, etc, podendo ser enumerados.

Casos como este trata-se de sistema temporal com tempo número natural ou enumerável.



Nota (Relação com Sistemas Formais)(2/2):

Tem-se ainda:

U: alfabeto de entrada;

Y: alfabeto de saida;

: mesmo que U*;

: mesmo que Y*;

T: tempo, aqui sub-conjunto dos naturais


Conceitos Básicos de SistemasSistemas com tempo número real

Um circuito elétrico RLC funciona com tempo número real. Seu modelo matemático é uma equação diferencial de segunda ordem e a solução de pende da carga inicial em C e da corrente em L.

Sistemas de valores discretos mas funcionando de modo assíncrono, tem os eventos caracterizando seu comortamento ocorrendo em tempo número real.



Frequentemente é imprescindível

especificar claramente qual é o

conjunto tempo considerado.



Sistema Funcional Sf (Conceito de Estado):

Em alguns sistemas orientados, a uma mesma entrada podem corresponder mais de uma saida. Por exemplo, uma agenda telefônica, em que se tem mais de um telefone para a mesma pessoa. Cria-se, para ter uma função, conjunto auxiliar X (ex: {fixo, celular}) chamado estado.

Sf : X



Sistema Dinâmico Sd

<T, T, X, U, Y, , , , > onde:T: conjunto munido de relação de ordem;

X: conjunto de valores possíveis de estado;

U,Y: valores de entrada e saída;

, : funções de entrada e saída;

: função transição de estado; : T T X X

: T U X Y função saída.


Exemplos de Sistema Dinâmico

Um computador é um sistema dinâmico. O tempo T é dado por seu relógio interno, o conjunto de estados X é o conjunto de configurações possíveis de memória, Valores de entrada U é o conjunto das entradas possíveis {teclado, mouse, mancho, etc) Y é o conjunto de saídas possível {caracteres na tela, som, impressão, etc) , são dados pelo programa em execução.



Um neurônio formal é um sistema dinâmico com #X=1, T=N, ou R dependendo de ser a tempo contínuo ou discreto.

Dois argumentos T na função de transição de estados é útil para representar modificação da mesma por envelhecimento.



Suspensão de automóvel é um sistema dinâmico. Seu modelo é um sistema de equações diferenciais do tipo:

x’ = f(x,u(t))

y = g (x,u(t))

onde x’ é a derivada do vetor x, solução de um sistema de equações diferenciais normal.



Assim como suspensão de um carro é um sistema mecânico dinâmico, circuitos elétricos são também freqüêntemente sistemas dinâmicos. Em princípio, todo sistema contendo elementos armazenadores de energia são sistemas dinâmicos. No sistema mecãnico tem-se energia potencial e cinética, no elétrico, elettrica e magnética.



Sistemas químicos também são sistemas dinâmicos. Em lugar de energia armazenada tem-se concentração dos seus componentes

Sistemas térmicos também são sistemas dinâmicos. Aqui a energia armazenada se faz sob a forma de calor, e a dinâmica provoca mudança de temperatura por transmissão de calor.


Tipos de Sistemas dinâmicos

Sistema estático:Um sistema dinâmico é dito estático quando a cardinalidade do conjunto de estados é 1. Neste caso, ele recai em um sistema temporal.

Sistema estacionário:Um sistema dinâmico é dito estácionário quando uma translação no tempo da entrada provoca uma saida igual à anterior transladada no tempo do mesmo valor se em ambos os casos o estado inicial for o mesmo.



Sistema a tempo contínuo:

Um sistema dinâmico é dito a tempo contínuo quando o conjunto T é um intervalo dos reais.

Sistema a tempo discreto:

Um sistema dinâmico é dito a tempo discreto quando o conjunto T é um subconjunto dos inteiros.



Sistema quantizado:Um sistema dinâmico é dito a tempo quantizado quando o conjunto de valores de entrada, saida ou estado são subconjuntos dos inteiros.

Tipos de sistemas quantizados:Dependendo de que variável seja de valores subconjunto dos inteiros diz-se tratar-se de um sistema de entrada quantizada, saida quantizada ou estado quantizado..


Tipos de Sistemas Dinâmicos

Sistema finito:Um sistema dinâmico é dito a finito quando o conjunto de valores de entrada, saida ou estado são conjuntos finitos.

Neste caso a estes valores costuma-se chamar alfabeto.

Sistema a saida finita:Um sistema dinâmico cuja saida tem valores tomados de um conjunto finito gera sequências ou cadeias sobre este alfabeto, sendo portanto um gerador de uma linguagem.


Tipos de Sistemas Dinâmicos

Automato:Um sistema dinâmico atempo discreto, de entrada e saida finitas é dito um automato.

Em latim:

Singular: automaton,

Plural: automata

Automato finito:Se além de ser um automato, o conjunto de estados for também finito, tem-se um automato finito.

Os automatos finitos são algumas vêzes chamados máquinas de estado finitas.


Representações da Automatos Finitos

Tabelas:Pode-se definir um automato finito por tabelas definindo tanto as funções de transição de estados quanto a de saida.

Ao lado exemplo de transição de estado

Estados

Novos estados



Grafos:Essencialmente dois tipos de grafos podem ser usados:

1-Associando nós dos grafos aos estados e marcando nos arcos as entradas que provocam as transições de estado e as saidas correspondentes.

X1 X2

X3

0/a

1/b

1/b

0/a1/b

0/a



2-Associando nós dos grafos aos estados e marcando nos arcos apenas as enrtadas. As saidas são marcadas diretamente nos estados.

Claro que esta representação supõe a função saida a identidade

X1/a X2/b

X3/c

0

1

1

01 0


Notação Usual em Automatos

Um automato finito pode ser visto como lendo um conjunto finito de símbolos, do alfabeto de entrada e transformando-os em outro conjunto finito, o alfabeto de saida.

É portanto usual empregar notação compatível com linguagens formais, e simplificar ao máximo a definição de sistema dinâmico.

Mas não esquecer que automatos são:

Sistemas Dinâmicos



Assim:Conjunto de valores de entrada U se escreve como

uma letra grega maiúscula, , por exemplo. segmento de entrada é agora *.X estado se costuma usar a letra Q.O tempo T se omite.Só se usa função saida quando essencial.A transição de estado é geralmente denotada pela

letra



Assim para automato de alfabeto de entrada e saida:

= {a1, a2, …, an }O automato é como a máquina:

(qu, aj) qv

aaii aajj aakk .. .. .. aarr


qquu


Automato de Pilha

Automato de Pilha é um automato que dispõe de uma pilha onde é capaz de escrever dados a serem usados futuramente.

Um teorema a ser visto é que automatos de pilha são reconhecedores de linguagens livres de contexto.


Início:

(q0, ai, Z0)| (q3, z1z2… zr )


qq00

ZZ00

Automata de Pilha


(q3, aj, z1)| (q3, s1… st )


qq33

zz11

zzrr

......zz22

Automato de Pilha


CS 573, Fall 1997CS 573, Fall 1997Section 1- 29Section 1- 29 Les LanderLes Lander

(q3, ak, s1)| (q5, )


qq33

sstt

zzrr

......zz22

ss11ss22....

Automato de Pilha


Continue até que à

Máquina falte argumento

(pilha vazia) ou chegue

ao fim da fita.


qq55

sstt

zzrr

......zz22

ss22....

Automato de Pilha


Existem 2 modos de definir

Aceitação de palavraspelo estado finalpor esvaziar a pilha


qqmm

zz

......

....ss

Automato de Pilha


Ponto de Equilíbrio

Um elemento do conjunto de estados, para um sistema dinâmico contínuo no tempo, é dito um ponto de equilíbrio se, corresponder a uma solução da equação:

x’= f(x,u(t))

Para x’= 0.

Se este ponto de equilíbrio for calculado para u(t)=0 será de sistema autônomo, caso contrário será de sistema forçado


Ponto de Equilíbrio

Um elemento do conjunto de estados, para um sistema dinâmico a tempo discreto, é dito um ponto de equilíbrio se, corresponder a uma solução da equação:

x(k)= f(x(k),u(k))

Se este ponto de equilíbrio for calculado para u(k)=0 será de sistema autônomo, caso contrário será de sistema forçado


Ponto de Equilíbrio (Nota)

Pela definição de ponto de equilíbrio nota-se que o conceito, estudado em Lambda cálculo de ponto fixo, corresponde a ponto de equilíbrio.

Existe uma analogia entre programas que não terminam, entrando em ciclos e outros que terminam e sistemas dinâmicos instáveis e estáveis.

PENSE!


Ponto de Equilíbrio Estável

Um ponto de equilíbrio é dito estável se o sistema tende a voltar a ele após uma perturbação

No caso contrário será dito instável.

Não me empurreQue euCaio!

Pode me empurrarEstou seguro!


Observabilidade

Um sistema dinâmico é dito observável se com informação de um segmento finito de entrada e saida é possivel determinar o estado inicial do sistema. Estado inicial é o valor do estado que corresponde ao tempo, início do segmento de entrada e saida observado.

No caso contrário o sistema será dito não observável.


Observabilidade

Como exemplo, seja o sistema caracterizado pelo sistema de equações discretas, (como se costuma modelar redes neurais síncronas), que para simplicidade de tratamento se tomará o caso linear:

x(k+1)=Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cx(k) + Du(k) onde:x Rn; u Rm; y Rp; A,B,C,D matrizes reais.


ObservabilidadePara uma deducão simplificada seja D matriz nula.Se n=p=1 y(0) = Cx(0), (1)C é escalar logo se C ≠ 0 x(0) = y(0)/CSe n=2,p=1 a equação acima não permite calcular x(0), mas

usando a equação de transição de estado:y(1)=Cx(1)=CAx(0)+CBu(0) (2)Eq.1 e Eq.2 formam sistema linear: |y(0) y(1)|T = |C CA|T + |0 CB| T u(0) cuja solução depende

de se a matriz |C CA| é regular (determinante ≠ 0)


ObservabilidadeEste resultado, devido á Kalman (1960) apresentado no 1º

Congresso do IFAC (“International Federation on Automatic Control”), para o caso com n,p quaisquer se torna:

Um sistema dinâmico linear estacionário é observável se a matriz:

|C CA CA2 CA3 … CAN-1|

for de posto n, isto é, contiver submatriz quadrada, regular de dimensão (n x n)


Observabilidade (caso geral)

Um sistema dinâmico no caso geral será observável dependendo do núcleo da aplicação composta da transição de estado e saida.

Não se conhece critério para dizer da observabilidade no caso geral.


Controlabilidade

Um sistema dinâmico é dito controlável se com informação do estado inicial é possível determinar um segmento de entrada capaz de transferir deste estado inicial para qualquer outro.

No caso contrário o sistema será dito não controlável.


Controlabilidade

Seja como exemplo, o mesmo sistema estudado em observabilidade, modelo de redes neurais síncronas no caso linear:

x(k+1)=Ax(k) + Bu(k)y(k) = Cx(k) + Du(k) onde:x Rn; u Rm; y Rp; A,B,C,D matrizes reais.


ControlabilidadeA segunda equação não intervem neste caso. Assim:x(1)=Ax(0) + Bu(0)x(2)=Ax(1) + Bu(1)=A2x(0) + ABu(0) + Bu(1)x(3)=Ax(2)+Bu(2)=A3x(0)+A2Bu(0)+ABu(1)+ Bu(2)E assim por diante até se ter:

n-1

x(n)=An + j=0 An-j-1 B u(j)

A existência de solução dependerá neste caso da matriz: |An-

1B An-2B …. B|


AlcançabilidadeUm estado de um sistema dinâmico é dito

alcançavel a partir de um outro estado se existe uma segmento de entrada capaz de transferir o sistema de um estado a outro.

Se um sistema for totalmente alcançavel ele será controlável, e neste caso toda transição de estado será possível.

No caso contrário o par de estados serão ditos não alcançaveis.



Sistema Complexo Sc

Um sistema é dito complexo quando é constituído por um conjunto de sistemas como os definidos anteriormente interligados.


Reconhecedor de Linguagens



Reconhecedor de Linguagens

Estou perdido!Resolveram escrever cada

mensagem em uma língua...


Máquina reconhecedora de linguagem

Pode-se definir máquinas que reconhecem se uma cadeia pertence ou não a uma linguagem. Seja máquina azul, palavra na fita e transição abaixo:


qq00

(q0, ai) q3



A cabeça se move lendo sucessivamente novas entradas e o estado muda. Assim após o primeiro passo:

(q3, aj) q7


qq33



E vai sucessivamente mudando de estado segundo as transicões previstas na máquina:

(q7, ak) q0


qq77



Quando a máquina acaba de ler a fita observa-se em que estado ficou a máquina. Estados finais podem ser aceitadores e regeitadores:


qqmm



Se qm é um estado previamente definido como aceitador então a máquina aceita aiajak…ar como elemento da linguagem.

No caso contrário, aiajak…ar não é um elemento da linguagem.



Entretanto nem toda linguagem pode ser reconhecida por um automato deste tipo, isto é, por máquina sequencial.

As linguagens que podem ser reconhecidas são as chamadas linguagens regulares ou tipo 3 na hierarquia de Chomsky.



Um automato deterministico finito é uma tupla

(Q, , q0, , F), where

Q o conjunto finito de estados {q0,q1,…,qm}

alfabeto finito {a1, a2, …, an}

q0 é o estado inicial,

: Q Q é uma função parcial chamada de transição de estado

F Q é um subconjunto de estados finais, identificados no grafo por círculos concêntricos.



Se é definida para todos pares de Q , é uma função total e se tem uma automato completo

A função pode ser descrita pela Tabela de Transição: a1 a2 … an

q0

q1 the valores

… de (qi, aj)


Diagrama de Transições

qq00 qq33

qq11

qq22

bb

cc

cc

aa bb

aa

a,ba,b

bbcc


Exemplo

Este automato aceita : bk for all k > 1 bkc2lbm for all, k, l > 0 m > 0 bkc2lbmc2n+1bcpab for all k, l, m, n,

p > 0E muitos outros!


Tipo 3 e Automato Finito

Assim uma linguagem tipo 3 pode ser reconhecida por um automato finito. Geralmente se usa o formalismo da saida coincidir com o estado.

Pode ser usado tambem um automato em que as transições são feitas com uma certa probabilidade, mas isto não aumenta as possiblidades do automato.


Tipo 2 e Automato de Pilha

Um automato finito ao qual se da a possibilidade de manipular uma pilha se torna capaz de reconhecer uma linguagem tipo 2, ou livre de contexto.


Automato de Pilha como Reconhecedor

Um automato finito ao qual se da a possibilidade de manipular uma pilha se torna capaz de reconhecer uma linguagem tipo 2, ou livre de contexto.

São os mais usados na construção de compiladores já que a maioria das linguagens de programaçnao são deste tipo.


Automato de Pilha

(q3, aj, z1) (q3, s1… st )


qq33

zz11

zzrr..zz22


Automato de Pilha

(q3, aj, z1) (q3, s1… st )


qq33

zzrr..zz22

ss22..

s1


Tipo 1 e Automato Linear Limitado

O automato linear limitado é uma Máquina de Turing Aleatória que nunca deixa o espaço da fita onde estava a entrada.

O termo linear se usa para indicar que o mesmo trabalha com uma fita e limitado que não sai da região predeterminada.

Este ALL é capaz de reconhecer uma linguagem tipo 1, ou sensível ao contexto.


Tipo 0 e Máquina de Turing

Para reconhecer linguagens tipo 0 deve-se usar a Máquina de Turing.


Problemas Não Decidíveis

Dada uma cfg ou csg, ou tipo 0 provar se L(G) é vazia.

Dada uma cfg será que L(G) são todos as sequencias geradas?

???


Automata, Modelo de Hipermidia



Automata, Modelo de Hipermídia

Hipermídia é a generalização de hipertexto, em que cada unidade de conhecimento pode ser representada por uma mídia distinta, ativando portanto sentidos distintos. Como hipermídia envolve sons, filmes, etc., toda aplicação hipermídia solicita muitos recursos de memória, lavando a confundir hipermídia com equipamentos capazes de suportá-la.


Automata, Modelo de Hipermídia

Modelo: <X,U,Y,,>, onde:U: entradas possíveis: indicador, teclado, mancho,etc.

Y: saídas: tela, autofalantres, robô móvel,etc;

X: associando um nó a cada token, o estado será um subconjunto do conjunto de partes de tokens;

,: transição de estado e mudança de saída.: X U X; : X U Y


Grafo dos nós de informação


Aplicação

O modelo de automato permite estudar problemas de navegação na hipermidia.

Um estudo interessante é associar caminho no hipermidia ao modelo de um aluno usando o hipermidia como suporte para ensino.


Muito obrigado pela atenção!

teoria geral de sistemas conceitos básicos jorge muniz barreto ufsc - ine

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