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TEORIA DOS GRAFOSUMA APLICAÇÃO DELOGÍSTICA PARA O

ENSINO MÉDIO

Profº M. Sc. Marcelo Mazetto [email protected]

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOS

Breve Histórico

Leonhard Euler (Matemático Suíço) - Pai da Teoria dos Grafos

Nascimento 15 de abril de 1707 / 18 de setembro de 1783 (76 anos)

Profº M. Sc. Marcelo Mazetto Moala Contato: [email protected]


Problema das Sete Pontes – 1.736 - Cidade de Königsberg (Atual Kaliningrado)“Fazer um percurso de um ponto qualquer e retornar ao mesmo

sem passar pela mesma ponte mais de uma vez”


Breve Histórico







2

3

1 4


Breve Histórico







2

3

1 4

Impossível!!!Pelo menos um

vértice é de grau ímpar!!!

(Todos deveriam ter grau par)


Breve Histórico







Todos os vértices tem grau par!!!

2

3

54

1


Aplicações no Mundo - LogísticaEmpresa aérea Delta Air Lines

Rotas nos Estados Unidos



Empresa aérea Azul

Aplicações no Mundo - Logística



Empresa aérea AzulRota: Brasília e seus destinos




Empresa aérea AzulRota de Manaus para Fortaleza




Empresa aérea GolRotas no Brasil




Empresa aérea GolRota: Manaus - Fortaleza




Empresa aérea Alliance




Empresa aérea AllianceRota: Manaus - Fortaleza




Mapa de CatanduvaAcesso a Bairros

Stocco

JardimEsperança

ResidencialSeb. Moraes

Colinado Sol



Centro

Engrácia

Industrial


Mapa de CatanduvaAcesso a Bairros

Colinado Sol

ResidencialSeb. Moraes

JardimEsperança

Stocco



Centro

Engrácia

Industrial


Rede de ComputadoresConexões




Circuito ElétricoPlaca e Componentes




1 Vértice ou Nó

Conceitos Básicos de Grafos

Arco do vértice 1 para o vértice 2211 2

1 2≠

Vértices 1 e 2 são adjacentesVértice 1 incide sobre ao vértice 2Vértice 2 é incidido pelo vértice 1Vértice 1 é predecessor do vértice 2Vértice 2 é sucessor do vértice 1


Aresta do entre os vértice 1 e 221 21

Vértices 1 e 2 são adjacentesVértice 1 incide sobre ao vértice 2, e vice-versaVértice 1 é predecessor do vértice 2, e vice-versaVértice 2 é sucessor do vértice 1, e vice-versa

Laço1 1


Tipos de Grafos

Conceitos Básicos de Grafos

21

3G:

1

2

3

D:

21

3M:


De um modo geral chamaremos todos de GrafosUtilizaremos Grafo ou Dígrafo para casos específicos

4 5

Grafo (Aresta)4 5

Dígrafo (Arcos)

4 5

Grafo Misto(Arcos e Arestas)

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSGrafos Isomorfos

3

4 2

1

G:

2

4 3

1

G:

21

2

1Grafo planar Grafo plano


2

4

3

5

1

D:1

4

3

5

D:

2

4

3

5

D:

Dígrafosplanares

Dígrafo plano

(Dí)Grafo Planar: Pode ser construído sem interseção(Dí)Grafo Plano: Não tem interseção

2

4 5

1

3G:

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSSugrafos: Grafo G(A,V), subgrafo H(B ⊆ A,U ⊆ V)

2

4

1

3HG:


1

2

4

3

5

D:3

5

1

HD:

2

4 5

1

3G:

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSSugrafos: (Atividades)Construir um subgrafo com 5 arestas(arcos)associado a cada grafo

2

4

1

3HG:

2


1

2

4

3

5

D:3

5

1

HD:

2

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSÁrvore: Grafo G(A,V) sem ciclo

1

2

3

D:G:

3

4

2

1


4 5

56

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSÁrvore: (Atividades)Construir uma árvore com os vértices dados:

1

2

4

31

2

4

3


4

5

D:

6

8

7

4

5

G:

6

8

7

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSÁrvore Geradora: A árvore geradora [T] de um grafo G(A,V) é a árvore obtida de G e que contém todos os vértices d e G.

2

4 5

1

3G:

2

4 5

1

3[TG]:


1

2

4

3

5

D:1

2

4

3

5

[TD]:

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSÁrvore Geradora de Peso Mínimo: A árvore geradora [TG] de peso mínimo de um grafo G(A,V) é a árvore geradora obtida de G cuja soma de todos os valores nas arestas (ou arcos) é o menor.

2

4 5

1

3G:

30

25

20

6

30

4

25

Poderíamos determinar todas as árvoresgerados de G (Processo de contagem) eselecionar a de menor peso:


4 55

2

4 5

1

3[TG]:

30

25

5

4

Peso = 64 Peso = 65

2

4 5

1

3[TG]:

30

25

64

2

4 5

1

3[TG]:

30

20

5

4

Peso = 59

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSAlgoritmo de Kruskal para obter Árvore Geradora de Peso Mínimo:1º) Construa uma lista das arestas (ou arcos) na ordem crescente de peso;2º) Adicione à árvore geradora o primeira aresta (ou arco) da lista; se estaaresta (ou arco) formar um ciclo com as outras que já estão na árvore geradoradescarte-a da lista, se não formar ciclo, coloque-a na árvore e remova-a dalista.3º) Este processo continua até que a lista fique vazia ou todos os vérticesestejam ligados.

2130

2025

Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12

21


4 5

3G: 25

6

5

30

4

2

4 5

1

3[TG]:


2130

2025

Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12

21


4 5

3G: 25

6

5

30

4

2

4 5

1

3[TG]:

4


2130

2025

Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12

21


4 5

3G: 25

6

5

30

4

2

4 5

1

3[TG]:

5

4


2130

2025

Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12

21

Forma ciclo


4 5

3G: 25

6

5

30

4

2

4 5

1

3[TG]:

6

5

4


2130

2025

Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12

21


4 5

3G: 25

6

5

30

4

2

4 5

1

3[TG]:

20

5

4


2130

2025

Lista: e34, e45, e35, e23, e13, e25, e14, e12

21


4 5

3G: 25

6

5

30

4

2

4 5

1

3[TG]:

20

5

4

25

Note que, qualquer uma dos demais arestas que foram adicionadas à

árvore teremos a formação de um ciclo!

Peso = 54

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSÁrvore Geradora de Peso Mínimo: ATIVIDADESConstruir a árvore geradora de custo mínimo para cada grafo que se segue:

2

4 5

1

3G:

5

10

7

47

5

3

6

[TG]:


1

D:5

10

810

6

4 3

2

[TG]:

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos

Cadeia: Sequência de vértices adjacentes

1

2

3 1

2

3


54 54

1,2,4,3,1,4,5,3

Caminho: Sequência de vértices adjacentes, acessados no sentido do arco,quando se percorre arcos.


1

2

3 1

2

3


54 54

3,1,2,4,5,1,2

Ciclo: Sequência de vértices adjacentes, onde o vértice inicial é igual a ovértice final


1

2

3 1

2

3


1,2,3,5,4,1

54 54

Circuito: Caminho, onde o vértice inicial é igual a o vértice final


1

2

3 1

2

3


1,2,4,3,5,1

54 54

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos- ATIVIDADES1) Caminho Euleriano-Determinar um caminho euleriano, ou seja, um caminhoque passe por todas as arestas uma única vez:

1 2


5

4 3

6

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos- ATIVIDADES2) Circuito Euleriano-Determinar um circuito euleriano, ou seja, um caminho deextremos iguais, que passe por todas as arestas uma única vez e retorna aovértice inicial:

1 2


5

4 3

6

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em Grafos- ATIVIDADES3) Caminho Hamiltoniano-Determinar um caminho hamiltoniano, ou seja, umcaminho que passe por todas os vértices uma única vez:

5d

8

e

9a

2

1


d aji

h7

c

6

f

g10

b

4 3


Matriz de Adjacência ou de Incidência Vértice-Vértice M(aij)

aij =1, se existir uma ligação entre os nós i e j

0, caso contrário

1 2 3 4 5

0 1 1 1 1 1

1 0 1 0 1 2

1 1 0 0 1 31

2

3


1 1 0 0 1 3

1 0 0 1 1 4

1 1 1 1 0 5

54Matriz simétrica

Informações guardadas em dobroIneficiente computacionalmente


Matriz de Adjacência ou de Incidência Vértice-Vértice M(aij)ATIVIDADE: Determinar a matriz de adjacência do grafos dado:

1

2

3

1 2 3 4 5

1

2


0, caso contrário


54

2

3

4

5


Matriz de Adjacência ou de Incidência Vértice-Vértice M(aij)ATIVIDADE: Determinar a matriz de Incidência Vértice-Vértice do grafos dado:

1

2

3

1 2 3 4 5

1


0, caso contrário


1

54

3 1

2

3

4

5


Matriz de Incidência Vértice-Aresta M(aij)

1

2

3

Não pode conter laços

K=(i,j)∈A(G) =

aik =1

ajk =1

0, caso contrário


54

1 2 3 4 5 6 7 8

1



1

2

3

Enumeração das arestas

K=(i,j)∈A(G) =

aik =1

ajk =1

0, caso contrário

Arestas1 3

24

2

3

4

5


54

Vé

rtice

s

6

8

75



1

2

3

1 32

4

Enumeração das arestas

K=(i,j)∈A(G) =

aik =1

ajk =1

0, caso contrário

1 0 0 1 1 1 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8

1

Arestas


54

6

8

751

0

0

0

1

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

1

0

0

1

1

2

3

4

5

Vé

rtice

s


Matriz de Incidência Vértice-Aresta M(aij)ATIVIDADE: Determinar a matriz de incidência vértice-aresta

2

K=(i,j)∈A(G) =

aik =1

ajk =1

0, caso contrário

Arestas


1

5

2

4

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

Arestas

Vé

rtice

s

1 23

4

76

5

9

10

8


Não pode conter laços

1

2

3

K=(i,j)∈A(G) =

aik =1 (saída)

ajk =-1 (chegada)

0, caso contrário

Matriz de Incidência Vértice-Arco M(aij)


54

1 2 3 4 5 6 7 8

1


Matriz de Incidência Vértice-Arco M(aij)

K=(i,j)∈A(G) =

aik =1 (saída)

ajk =-1 (chegada)

0, caso contrário

1 0 0 -1 -1 -1 0 01

2

3

Arestas1

23

4

2

3

4

5


-1

0

0

0

-1

0

0

1

1

-1

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

1

0

-1

0

0

1

-154

Vé

rtice

s

5 6 7

8


2

Matriz de Incidência Vértice-Arco M(aij)ATIVIDADE: Determinar a matriz de incidência vértice-arco

K=(i,j)∈A(G) =

aik =1 (saída)

ajk =-1 (chegada)

0, caso contrário1

2 4Arestas


1

54

3

23

4

5

67

8

910

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

Arestas

Vé

rtice

s

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em GrafosSeja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com n vértices.A matriz An representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j,com n-1 vértices intermediários.

1

2

3

1 2 3 4 5

0 1 0 0 0 1

0 0 1 0 0 2


54

0 0 1 0 0 2

1 0 0 0 1 3

1 0 0 0 1 4

1 1 0 0 0 5

A =

1 2 3 4 5

0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 2

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS GRAFOSPercurso em GrafosSeja A a matriz de adjacência de um grafo G(V,A), com n vértices.A matriz An representa o número de caminhos disponíveis para ir de i para j,com n-1 vértices intermediários, ou ainda, n arcos intermediário.

1

2

3

Existem 2 caminhos do vértice 3 ao 2 com 2 arcos1º caminho

1 0 0 0 1 2

1 2 0 0 0 3

1 2 0 0 0 4

0 1 1 0 0 5


54

A2 =

1 2 3 4 5

0 0 1 0 0 1

1 0 0 0 1 2


1

2

3


1 0 0 0 1 2

1 2 0 0 0 3

1 2 0 0 0 4

0 1 1 0 0 5


54

A2 =


1

2

3

1 2 3 4 5

1 0 0 0 1 1

1 2 0 0 0 2



54

1 2 0 0 0 2

0 1 2 0 0 3

0 1 2 0 0 4

1 0 1 0 1 5

A3 =

Faça o que deve ser feito

não apenas o que lhe

pedem...


FIMOBRIGADO!

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