teoria de ramsey estrutural e a propriedade de ponto xo dos...

Teoria de Ramsey estrutural e a propriedade de

ponto fixo dos grupos de automorfismos

Dana Bartosova

Universidade de Sao Paulo

ColoquioUFSC

27 de outubro de 2016

A palestrante esta suportada pelo FAPESP 2013/14458-9.

Dana Bartosova Teoria de Ramsey e a propriedade de ponto fixo

Teoria de Ramsey


Baby Ramsey

Na festa de 6 pessoas, 3 pessoas vao ou conhecer um outro ou 3

pessoas nao vao se conhecer.


Baby Ramsey



O mesmo nao vale na festa de 5 pessoas.


Baby Ramsey



O mesmo nao vale na festa de 5 pessoas.

O numero de Ramsey por k = 2, m = 3 e r = 2 e 6:

R2(2; 3) = 6.


Teorema de Ramsey

Teorema de Ramsey

Dados numeros naturais k, m ≥ k e o numero r de cores, existe

n = Rr(k;m) tal que por cada coloracao c de subconjuntos de

um conjunto X, |X| = n, com k elementos em r cores, existe

um subconjunto Y ⊂ X, |Y | = m, tal que todos os subconjuntos

de Y com k elementos tem a mesma cor.


Teorema de Ramsey

Teorema de Ramsey






Notacao:

n→ (m)kr .


Teorema de Ramsey

Teorema de Ramsey






Notacao:

n→ (m)kr .

NUMEROS DE RAMSEY

R2(2; 2) = 2 R2(2; 3) = 6


Teorema de Ramsey

Teorema de Ramsey






Notacao:

n→ (m)kr .

NUMEROS DE RAMSEY

R2(2; 2) = 2

R2(2; 4) = 18

R2(2; 3) = 6

R2(2; 5) ∈ [43, 49]


Teorema de Ramsey

Teorema de Ramsey






Notacao:

n→ (m)kr .

NUMEROS DE RAMSEY

R2(2; 2) = 2

R2(2; 4) = 18

R2(2; 6) ∈ [102, 165]

R2(2; 3) = 6

R2(2; 5) ∈ [43, 49]

R2(2; 10) ∈ [798, 23556]


Teorema de Ramsey

Teorema de Ramsey






Notacao:

n→ (m)kr .

NUMEROS DE RAMSEY

R2(2; 2) = 2

R2(2; 4) = 18

R2(2; 6) ∈ [102, 165]

R2(2; 3) = 6

R2(2; 5) ∈ [43, 49]

R2(2; 10) ∈ [798, 23556]

R2(2; k) ≥k2k/2

e√2


Ordens lineares

(L,<) – ordem linear:


Ordens lineares


1 irreflexivo: a ≮ a,2 antisimetrico: a < b → b ≮ a,3 transitivo: a < b & b < c → a < c,4 total: ∀a, b ∈ L a < b ou b < a.


Ordens lineares



EXEMPLOS(Z, <)(Q, <)


Ordens lineares




Ordens lineares finitos sao rigidos.


Ordens lineares





Teorema de Ramsey

Por todos (L,<L) e (K,<K) ordens lineares finitos e um

numero de cores r existe um ordem linear finito (M,<M ) talque


Ordens lineares





Teorema de Ramsey

Por todos (L,<L) e (K,<K) ordens lineares finitos e um

numero de cores r existe um ordem linear finito (M,<M ) talque por cada coloracao das copias de (L,<L) em (M,<M ) comr cores existe uma copia (K ′, <K ′) de (K,<K) in (M,<M ) talque todas as copias de (L,<L) em (K ′, <K ′) tem a mesma cor.


Grafos

(V,E) – V e o conjunto de vertices e E e o conjunto de arestas


Grafos


A classe de grafos finitos nao tem a propriedade de Ramsey,mas


Grafos



Teorema (Nesetril e Rodl; Abramson e Harrington)

A classe de grafos finitos com ordens lineares tem a propriedade

de Ramsey.


Grafos





de Ramsey.

Por todos G = (V,E,<) e H = (W,F,≺) grafos finitos comordens lineares e um numero de cores r existe um grafo finitoX = (X,R, ⊳) com um ordem linear tal que


Grafos





de Ramsey.

Por todos G = (V,E,<) e H = (W,F,≺) grafos finitos comordens lineares e um numero de cores r existe um grafo finitoX = (X,R, ⊳) com um ordem linear tal que por cada coloracaodas copias de G em X com r cores existe uma copia H

′ de H inX tal que todas as copias de G em H

′ tem a mesma cor.


Espacos metrizaveis

Teorema

A classe de espacos finitos metrizaveis com ordens lineares tem

a propriedade de Ramsey.


Espacos metrizaveis

Teorema



Por todos M = (M,d,<) e N = (N, δ,≺) espacos finitosmetrizaveis com ordens lineares e um numero de cores r existeum espaco Z = (Z,m, ⊳) finito metrizavel com um ordem lineartal que


Espacos metrizaveis

Teorema



Por todos M = (M,d,<) e N = (N, δ,≺) espacos finitosmetrizaveis com ordens lineares e um numero de cores r existeum espaco Z = (Z,m, ⊳) finito metrizavel com um ordem lineartal que por cada coloracao das copias de M em Z com r coresexiste uma copia N

′ de N in Z tal que todas as copias de M emN

′ tem a mesma cor.


Propriedade de Ramsey estrutural

A = (A,RAi , f

Ai , cAi ) e uma estrutura de primeira ordem se



A = (A,RAi , f


(1) A e um conjunto,

(2) RAi ⊂ Ani e uma relacao de dada aridade ni,

(3) fAi : Ami → A e uma funcao de dada aridade mi,

(4) cAi ∈ A.



A = (A,RAi , f


(1) A e um conjunto,

(2) RAi ⊂ Ani e uma relacao de dada aridade ni,

(3) fAi : Ami → A e uma funcao de dada aridade mi,

(4) cAi ∈ A.

Definicao

A classe K de estruturas finitas em uma linguagem fixa satisfaz

a propriedade de Ramsey se por cada A ∈ K e B ∈ K e um

numero de cores r existe C ∈ K tal que por cada coloracao de

copias de A em C com r cores existe uma copia B′ de B em Ctal que todas as copias de A em B′ tem a mesma cor.


Groupos de automorfismos


Estruturas e automorfismos

A = (A,RAi , f

Ai , cAi ) – estrutura



A = (A,RAi , f


F : A→ A e um automorfismo de A se



A = (A,RAi , f



(1) (a1, . . . , ani) ∈ RA

i sse (F (a1), . . . , F (ani)) ∈ RA

i ,

(2) F (fAi (b1, . . . , bmi

)) = fAi (F (b1), . . . , F (bmi

)),

(3) F (cAi ) = cAi .



A = (A,RAi , f



(1) (a1, . . . , ani) ∈ RA

i sse (F (a1), . . . , F (ani)) ∈ RA

i ,

(2) F (fAi (b1, . . . , bmi

)) = fAi (F (b1), . . . , F (bmi

)),

(3) F (cAi ) = cAi .

G = Aut(A) grupo de automorfismos de A e o conjunto detodos os automorfismos de A com a multiplicacao definida comoa composicao:

∀g, h ∈ G : g · h = g ◦ h.


Grupos de automorfismos

A – estruturaG = Aut(A) – grupo de automorfismos de A




G com a topologia pontual fica um grupo topologico.




G com a topologia pontual fica um grupo topologico.Por A subestrutura de A finita

GA = {g ∈ G : ga = a ∀ a ∈ A}

e um subgrupo aberto e fechado de G.





GA = {g ∈ G : ga = a ∀ a ∈ A}


Os GA por A subestrutura finita de A constroem uma base devizinhancas do elemento neutral em G.





GA = {g ∈ G : ga = a ∀ a ∈ A}


Os GA por A subestrutura finita de A constroem uma base devizinhancas do elemento neutral em G.

EXEMPLOS∞(Z) e o grupo de todas as permutacoes de Z = grupo detodos os automorfismos de uma estrutura vazia no conjunto Z.


Ultrahomogeneidade

Estrutura A se chama ultrahomogenea se cada isomorfismofinito entre subestruturas de A se extende para umautomorfismo de A.


Ultrahomogeneidade

Estrutura A se chama ultrahomogenea se cada isomorfismofinito entre subestruturas de A se extende para umautomorfismo de A.

EXEMPLOS

1 Z,

2 (Q, <),

3 grafo de Rado = grafo contavel aleatorio,

4 espaco de Urysohn.


Ultrahomonegeneidade e subestruturas

G = Aut(Q, <), A ≤ Q finito,(

QA

)

– copias de A em Q




QA

)


G/GA ←→(

Q

A

)

GAg ←→ g−1A




QA

)


G/GA ←→(

Q

A

)

GAg ←→ g−1A

A – estrutura ultrahomogenea, G = Aut(A), A ≤ A finita,Ime(A,A) – imercoes de A em A




QA

)


G/GA ←→(

Q

A

)

GAg ←→ g−1A

A – estrutura ultrahomogenea, G = Aut(A), A ≤ A finita,Ime(A,A) – imercoes de A em A

G/GA ←→ Ime(A,A)GAg ←→ g−1 ↾ A


Conjuntos bastos

T ⊂ G e um conjunto basto se por cada finito F ⊂ G existe xtal que Fx ⊂ T.


Conjuntos bastos


A – ultrahomogenea, G = Aut(A), A ≤ A finita


Conjuntos bastos



Nos interessam conjuntos bastos de forma GAK por K ⊂ G(ou, equivalente, subconjuntos de G/GA

∼= Ime(A,A)).


Conjuntos bastos



Nos interessam conjuntos bastos de forma GAK por K ⊂ G(ou, equivalente, subconjuntos de G/GA

∼= Ime(A,A)).

Lemma

T = GAK ⊂ G e basto sse por cada A ≤ B ≤ A existe B′ ∈(

A

B

)

tal que Ime(A,B′) ⊂ T.


Ramsey em conjuntos bastos

A – ultrahomogeneaG = Aut(A)




Age(A) = subestruturas finitas de A




Age(A) = subestruturas finitas de A

Teorema

Os seguintes sao equivalentes.

(1) Age(A) tem a propriedade de Ramsey e consiste de

estruturas rigidas.

(2) Por cada A ∈ Age(A) e cada particao finita

G =⋃n

i=1GAKi existe i tal que GAKi e basto.


Grupos extremamente mediaveis

= grupos que tem um ponto fixo em cada acao contınua noespaco Haussdorfo compacto.




Teorema (Kechris, Pestov, and Todocevic)

A – ultrahomogenea, G = Aut(A), Age(A) = subestruturas

finitas de AOs seguintes sao equivalentes.

(1) G e extremamente mediavel.


estruturas rigidas.




Teorema (Kechris, Pestov, and Todocevic)

A – ultrahomogenea, G = Aut(A), Age(A) = subestruturas

finitas de AOs seguintes sao equivalentes.

(1) G e extremamente mediavel.


estruturas rigidas.

EXEMPLOS

(1) Aut(Q, <) (Pestov)

(2) Aut(grafo de Rado com ordem linear) (KPT)

(3) Iso(U,d) (Pestov)


Aplicacoes

Teorema (B., Lopez-Abad, Mbombo)

(1) A classe de espacos de Banach (Rn, ‖·‖∞) com imercoes

isometricas lineares tem a propriedade de Ramsey contınua.


Aplicacoes




(2) A classes de todos os espacos de Banach de dimensao finita

tem a propriedade de Ramsey contınua.


Aplicacoes






Gurarij space G e um espco de Banach separavel que contemcada espaco de Banach de dimensao finita como um subespaco eque e aproximadamente homogeneo por isometrias linearesfinitas.


Aplicacoes






Gurarij space G e um espco de Banach separavel que contemcada espaco de Banach de dimensao finita como um subespaco eque e aproximadamente homogeneo por isometrias linearesfinitas.

Teorema (BLAM)

Isol(G) e extremamente mediavel.


Demais aplicacoes

1 Dinamica topologica.


Demais aplicacoes


2 Ciencia da Computacao.


Demais aplicacoes


2 Ciencia da Computacao.

3 Teoria de modelos.


Cafe

OBRIGADA


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