teoria de conjuntos fichas de exercícios

Formação Básica em Agro-Pecuária 1º Módulo: Teoria de Conjuntos Disciplina: Matemática Escola Profissional Familiar Rural de Estaquinha E-mail: [email protected] Facebooc: Epfr de Estaquinha

Abril de 2016

1 Teoria de Conjuntos Formador: Mathusso Jucuiana E-mail: [email protected]

FICHA DE EXERCÍCIOS nº: 01 1. Defina em extensão os seguintes conjuntos e indica o cardinal dos mesmos:

a) A= { ê } g) G={ : é º 240160} b) B={ ú 7 à 13} h) H={ : é º 7} c) C={ 18} i) I={ : é ê ç } d) D={ ∈ ℝ: = 1} j) J={ : é ê ç } e) E= { ∈ ℕ: 4 < ≤ 10} k) K={ ∈ ℤ: − 3 < ≤ 6} f) F= { ∈ ℕ: ≤ 25}

2. Seja:

A o conjunto dos números naturais entre 8 e 12 inclusive; B o conjunto dos números pares entre 1 à 15; C o conjunto dos números primos até 20.

a) Defina, em extensão, cada um dos conjuntos. b) Defina, em compreensão, cada um dos conjuntos. c) Complete os espaços com os símbolos ∈ ∉ de forma a obter afirmações verdadeiras:

i. 3…. A ii. 3….B iii. 3….C iv. 10…. A v. 10….B vi. 10….C vii. 2…A viii. 2…B

3. Seja A={3,5,7,9,11,15} a) Defina, em extensão, cada um dos conjuntos:

i. B={ ∈ : é í } iii. D={ ∈ : é ú 5} ii. C={ ∈ : é ú 15} iv. E={ ∈ : é í 2}

b) Indique o cardinal de cada um dos conjuntos obtidos na aliena anterior. c) Classifique quanto ao número de elementos os conjuntos C e E.

GABARITO DA FICHA DE EXERCÍCIOS nº: 01

1. A definição de um conjunto por extensão, consiste na escrita nas chavetas o nome de cada elemento que compõe o conjunto, isto é, apresentação dos elementos da forma explícita. a) A= { , , , , } #A=5 d) D= {−1,1} #D=2 g) G1={0,1,2,4,6} #G=5 b) B= {8,10,12} #B=3 e) E={5,6,7,8,9,10} #E=6 h) H={1,2,3,4,5,6} #H=6 c) C= {1,2,3,6,9,18} #C=6 f) F2={1,2,3,4,5} #F=5 j) J={25 ℎ } #J=1 i) I={ , , , , ℎ , , , } #I=8 k)K={−2, −1,0,1,2,3,4,5,6} #K=9

2. A definição por extensão ( ver a explicação no número 1) e por compreensão, consiste em

envocar uma propriedade característica dos seus elementos, isto em outras palavras significa, usar um nome que inclui todos os elementos. a) Definição por extensão

A= {8,9,10,11,12} B= {2,4,6,8,10,12,14} C= {2,3,5,7,11,13,17,19} b) Definição por compreensão:

A= ∈ ℕ: 8 ≤ ≤ 12 B={ º 1 à 15} C={ º é 20} c) Utilização dos símbolos ∈ ∉ . Nota- Este símbolos são utilizados somente para relacionar

elementos e conjuntos. i. 3∉ A ii. 3∉ B iii. 3∈ C iv. 10 ∈ A v. 10 ∈ B vi. 10 ∉ C vii. 2 ∉ A viii. 2 ∈ B

3. Seja A={3,5,7,9,11,15} a) Definição por extensão:

i. B= {3,5,7,9,11,15} ii. C= {15} iii. D= {5,15} iv. E= { } b) Cardinal (#), representa o número de elementos que constituem um conjunto.

1 O algarismo que repete será escrito epenas uma vez no conjunto. 2 O quadrado destes números não é superior a 25, daí serem apenas estes a formarem o conjunto.


i. #B=6 ii. #C=1 iii. #D= 2 iv. #E= 0 c) Classificação dos conjuntos C e E quanto ao número de elementos.

O Conjunto C, quanto ao número de elementos é Singular. O conjunto E, quanto ao número de elementos é Vazio.

FIM

FICHA DE EXERCÍCIOS nº: 02

1. Considere os conjuntos representados pelo seguinte diagrama de Venn:

a) Defina em extensão os conjuntos A, B e C. b) Determine as partes de cada um dos conjuntos formados na alínea anterior.

2. Escreva em linguagem matemática as seguintes afirmações:

a) a é elemento do conjunto A c) A é subconjunto de B e) a não é um elemento de B b) A contém B. d) A não está contido em B f) A não contém B

3. Dado o conjunto ieaA ,, indique o valor lógico nas seguintes afirmações:

a) a ∈ c) h ∉ A e) { , } ⊂ g) A ⊃ { , , } b) a ⊂ d) { } A f) A ⊂ A h) ∅ ⊂ A

4. Define os seguintes conjuntos em extensão e indique o seu cardinal.

a) A = { } C) C= { ∈ ℕ: + 16 = 9} b) B= { ∈ ℤ: − 3 < ≤ 3} d) D= { ∈ ℕ: + 2 − 3 = 0}

5. Forme todos os subconjuntos do conjunto A = { , , , }

6. Indique todos os subconjuntos do conjunto B = {1}, {2, 3}

7. Indique o valor lógico das afirmações abaixo: a) {1, 2, 3} = {3, 2, 1} c) { , ã , } ⊃ { } e)∅ ⊂ {1, 2, 3 } g) {4} ∈ {4} b) {0, 2, 3} ⊂ {3, 2, 1} d) {2, 3} ⊃ { : − 5 + 6 = 0} f) { ∈ ℕ: 1 ≤ ≤ 10} = { ∈ ℝ: 1 ≤ ≤ 10}

8. Determine o conjunto A que satisfaça, simultaneamente, as seguintes condições:

a) A⊂ { , , , } b) A⊂ { , , } c) { , } ⊂ A

9. Se um conjunto A tem 4096 subconjuntos, determina o número de elementos do conjunto A. E se tivesse

512 subconjuntos, quantos elementos teria o conjunto A?

10. Dado o conjunto { ∈ ℝ: é çã − 4 = 0}, indica, em extensão, os elementos desse conjunto.

A B 0

1 3

2

6 7

4 5 8 9

U


OBS: x2+16= 9 x2=9-16 x2= -7; Se x∈ ℕ, impossível. x2+2x-3=0; =b2-4ac =22-4 .1.(-3) =16

1;32

422

162

xxx x∈ ℕ

GABARITO DA FICHA DE EXERCÍCIOS nº: 02 1. Dos conjuntos representados no diagrama de vem do questionário, resulta:

a) Definição dos conjuntos por extensão: A={0,1,2,3,4} B={2,3,6,7} C={2,4,5,8,9}

b) Determinar as partes de um conjunto é calcular os subconjuntos que um determinado conjunto pode formar.

2. Escrever em linguagem matemática, consiste um utilizar símbolos ao invés de texto. a) a ∈ b) ⊃ c) ⊂ d) B e) a ∉ B f) BA

3. Indicar o valor lógico é dizer se a afirmação é verdadeira ou não, através das incógnitas V ou F.

a) V b) F c) V d) F e) V f) V g) V h) V

4. Definir por extensão e indicar o cardinal: a) A={ , , , , , } #A= 6 c) C={ } #C= 0 b) B={−2, −1,0,1,2,3} #B= 6 d) D={1} #D= 1

5. Formação de subconjuntos, do conjunto: A = { , , , } Solução: A = romaroromrmomraroaoarmaomamaroma ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,

6. Os subconjuntos do conjunto B são: ∅, {1} , {2,3} , {1}, {2,3} .

7. Indicar as afirmações verdadeiras com (V) e as falsas com (F)

a) V b) F c) F d) V e) V f) F g) V

8. Determinação do conjunto que satisfaz as condições: Solução: A={ , } , porque é subconjunto de si mesmo e de todos os outros conjuntos das alíneas a) e b). NOTA: Se um conjunto está contido dentro do outro, significa é subconjunto do mesmo. E um subconjunto contém a si mesmo.

9. Determinação do número de elementos dado o nº de subconjuntos.

NOTA: observa a fórmula do nº 1 desta ficha na alínea b.

Lembre que: n(P(X))=2n

X- Conjunto n-nº de

elementos Partes do conjunto A Dados n(P(A))=2n n= 5 n(P(A))=25 n(P(A))=? n(P(A))=32 O conjunto A possui 32 subconjuntos

Partes do conjunto B Dados n(P(B))=2n n= 4 n(P(B))=24 n(P(B))=? n(P(B))=16 O conjunto B possui 16 subconjuntos

Partes do conjunto C Dados n(P(C))=2n n= 5 n(P(C))=25 n(P(C))=? n(P(C))=32 O conjunto C possui 32 subconjuntos


2;224404 22

Sxxxx

∈ ℝ, logo os elementos do conjnunto serão {−2,2}

10. Definição por extensão: f

FIM

FICHA DE EXERCÍCIOS nº: 03

1. Se A e B são dois conjuntos diferentes tais que A⊂ B e A=∅, identifique as afirmações verdadeiras (V) e as falsas (F). a) Existe sempre Ax tal que Bx ; c) Existe sempre Bx tal que Ax ; b) Se Bx , então Ax ; d) Se Bx , então Ax ; e) BA

2. O Wilker e os amigos vão participar num concurso interturmas. Os grupos formados são: DiogoIsabelWilMathussoA ,ker,, GeleleIsabelMathussoC ,, ErnestoDiogoIsabelWilB ,,ker,

Determine:

a) BA c) BA \ e) CA g) CBA \ b) AB d) AB \ f) CA h) CBA

3. No conjunto universal 9,8,7,6,5,4,3,2,1U , definem-se os conjuntos 9,7,5,3,1A , 8,6,4,2B e 5,4,3,2,1C . Determine:

a) BA d) CA g) BA \ j) ___

A m) _________

CA p) (A\B)∩ C

b) CA e) CA \ h) AB \ k) ___

C n) ______

\ BA q) (A\B) ∪ (B\C)

c) BA f) AC \ i) BA l) _________

BA o) ______

\CA r) (A∪B) ∩ (A∪ C) 4. Sendo U o conjunto Universal de dois conjuntos A e B quaisquer, prove que:

a) _____BABBA b) A ∪ (A∩ B) = A

5. Numa experiência de Biologia com um total de 30 moscas, 18 têm olhos vermelhos. 14 têm asas azuis e 5 têm ambas as características. Quantos destas moscas nem têm olhos vermelhos nem asas azuis?

6. Num concurso para a admissão de pessoal numa empresa, foram entrevistados 979 candidatos, dos quais 527 falam a língua portuguesa, 251 a língua ndau e 321 não falam nenhuma dessas línguas. Determine o número de candidatos que falam português e ndau.

7. Uma escola pretendia eleger o chefe geral para o período da manhã. No entanto, haviam concorrido dois candidatos: Marni e Wilker. Uma semana antes da eleição, foi elaborada uma sondagem com 500 eleitores. Estes deveriam indicar, num boletim de voto, em quem votariam. Os eleitores poderiam votar nos dois candidatos, em caso de dúvida, apenas num ou então votar em branco. Não era permitido anular o voto. Os resultados foram os seguintes:

Elementos de um conjunto com 4096 subconjuntos Dados n(P(C))=2n n= ? 4096 =2n n(P(C))=4096 212 =2n

n = 12 O conjunto possui 12 elementos

Elementos de um conjunto com 512 subconjuntos Dados n(P(C))=2n n= ? 512 =2n n(P(C))=512 29 =2n

n = 9 O conjunto possui 9 elementos

OBS: 1º devemos decompor os nº em factores primos. 4096 2 32 2 2048 2 16 2 1024 2 8 2 512 2 4 2 256 2 2 2 128 2 1 64 2


( ∪ ) ∩ = ∩ ( ∩ ) ∪ ( ∩ ) = ∩ ( ∪ ) ∪ ∅ = ∩ ( ∪ ) = ∩

Dados n(U)=30 n(V)=18 n(A)=14 n(V∩ ) = 5 n(N)=?

200 eleitores votaram em branco; 320 eleitores não votaram na Marni; 330 eleitores não votaram no Wilker.

Calcule o número de eleitores que votaram em ambos os candidatos.

8. Numa vila da província de Sofala, 25% dos habitantes sabem conduzir automóveis, 40% sabem conduzir motorizadas e 12% sabem conduzir os dois tipos de veículos. a) Qual é a percentagem de habitantes que não sabem conduzir nem automóveis nem motorizadas?

9. Por ocasião da campanha de vacinação de idosos a ser realizada no Centro de Saúde de Estaquinha, serão aplicadas as vacinas contra gripe (G), pneumococo (P) e antitétano (A), segundo a tabela seguinte:

Vacinas G P A G e P G e A P e A G,P e A Nº de vacinados 300 200 150 50 80 70 30

Quantos idosos terão que ser vacinados neste Centro, sabendo que todos tomarão pelo menos uma das vacinas?

GABARITO DA FICHA DE EXERCÍCIOS nº: 03

1. É preciso recordar que o conjunto elemento não possui nenhum elemento, e ainda o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. a) F b) F c) V d) V e) V

2. Recordemos que:

Reunião, consiste em agrupar os elementos de vários conjuntos; Intersecção, consiste na busca de elemento em comum em todos conjuntos; A diferença, consiste em encontrar elementos do 1º conjunto que não fazem parte do segundo;

a) ∪ = { ℎ , , , , } b) ∩ = { , , } c) \ = { ℎ } d) \ = { } e) ∩ = { ℎ } f) ∪ = { ℎ , , , , } g) ( ∪ )\ = { , , } h) ∩ ( ∪ ) = { ℎ , , , }

3. Rever as considerações do número 2: a) ∪ = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e) \ = {7,9} i) ∆ = ∪ m) ∩ = {2,4,6,7,8,9} b) ∪ = {1,2,3,4,5,6,8} f) \ = {2,4} j) ̅ = {2,4,6,8} n) \ = {2,4,6,8} c) ∩ = ∅ g) A\B={1,3,5,7,9} k) ̅ = {6,7,8,9} o) \ = {1,2,3,4,5,6,8} d) ∩ = {1,3,5} h) B\A= {2,4,6,8} l) ∪ = ∅ p) ( \ ) ∩ = {1,3,5}

q)( \ ) ∪ ( \ ) = {1,3,5,6,7,8,9} r) ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) = {1,2,3,4,5,6,8}

4. Provar, consiste em deduzir a parte integrada na expressão para encontrar uma igualdade de expressões. a)

5. A resolução de problema, exige, primeiro, interpretação, e em seguida extracção dos dados para facilitar

a resolução. Nota: O conjunto universal é representado sempre por U.

=

b) ∪ ( ∩ ) = ( ∪ ) ∩ ( ∪ ) = ∩ ( ∪ ) =

(18 − 5) + 5 + (14 − 5) + = 30 18 − 5 + 5 + 14 − 5 + = 30 18 + 14 − 5 + = 30 27 + = 30

= 30 − 27 = 3

Resolução

V A

13 5 9

N=3

U=30


R: São cerca de 3 moscas que não possuem nenhuma das características.

6. Vamos começar por estabelecer algumas condições: n( ∩ ) =

Representação geométrica R: 172 candidatos falam, ambas as línguas.

7. Os problemas da Teoria de Conjuntos, nem sempre, seguem o mesmo princípio para a sua resolução. Daí suceder que, a pessoa, ao interpelar uma situação, antes de tudo necessita reflectir profundamente para encontrar o melhor caminho para dar a resposta. OBS: Os 200 votos em brancos são para ambos os candidatos 320 − 200 = 120 eleitores, votaram no Wilker 330 − 200 = 130 eleitores, votaram na Marni

Representação geométrica R: Foram 50 eleitores que votaram em dois candidatos.

8. Os problemas que envolvem percentagens, o universo é 100%

Diagrama de Venn

a) 57% da população desta vila, não sabem conduzir nem automóveis, nem motorizadas.

Dados n(U)=927 n(P)=527 n(N)=251 n(Ne)=321 x=?

(527 − ) + + (251 − ) + 321 = 927 527 − + + 251 − + 321 = 927 527 + 251 + 321 − = 927 1099 − = 927 − = 927 − 1099 − = −172| − 1

= 172

Resolução

=355

172 =79

527-x 251-x

Ne=321

P N

U=927

Dados n(U)=500 n(B)=200 n(W)=120 n(M)=130 n(W∩ )=x=?

200 + 13 + 120 + = 500 450 + = 500

= 500 − 450 = 50

Resolução

120 50 130

B=200

W M

U=500

( ) = 100% ( ) = 25% ( ) = 40% ( ∩ ) = 12% ( ) =?

Dados

25 − 12 + 12 + 40 − 12 + = 100% 43 + = 100%

= 100% − 43% = 57%

Resolução (25 − 12) + 12 + (40 − 12) + =100%

U=100%

13% 12% 28%

N=57%

A M


9. Este problema, já tem os dados organizados na tabela. No entanto, precisas representar no diagrama de Venn e, em seguida, determinar o número de idosos a serem vacinados no Centro.

FIM

OUTROS EXERCÍCIOS (EXTRAIDOS DO TEXTE NORMAL)

4. Considere os seguintes conjuntos: M= { ∈ ℝ: −1 ≤ < 4} e N= { ∈ ℝ: 2 < < 9}. a) Determine na recta graduada ∩ . 4.1. Dos conjuntos do nº 4, represente no diagrama de Venn as seguintes situações:

a) NM \ b) ___

M

5. Numa avaliação de matemática com apenas duas perguntas, 300 formandos acertaram somente numa das perguntas e 260 acertaram na segunda pergunta. Sabendo que 100 formandos acertaram nas duas perguntas e 210 formandos erraram na primeira pergunta. a) Calcule o número de alunos que foram submetidos à avaliação. b) Represente no diagrama de Venn

6. Dos 61 formandos da EPFR de Estaquinha, 20 gostam de cuecas de cor preta, 47 gostam de cuecas de

cor vermelha, e todos os formandos gostam pelos menos duma das cores. a) Determine o número de formandos que gostam das duas cores. b) Represente no diagrama de Venn. c) Determine quantos formandos gostam apenas de cuecas de cor preta. d) Determine quantos formandos gostam apenas de cuecas de cor vermelha.

GABARITO DE OUTROS EXERCÍCIOS( EXTRAÍDOS DO TEXTE NORMAL)

4. Quando um conjunto possuir números, este, pode ser representado na recta graduada. a) Vamos determinar na recta graduada ∩ .

∩ = { ∈ ℝ: 2 ≤ ≤ 3}, logo, ∩ = {2,3}

U=?

30

20

40 50

110 200

30

G P

A

200 + 20 + 30 + 50 + 30 + 40 + 110 = 480

Total dos idosos a serem vacinados

2 3 -1 8


4.1. A partir dos conjuntos do nº 4, vamos representar as seguintes situações no diagrama de Venn a) Representação no diagrama de Venn b) Representação no diagrama de Venn

\

5. É preciso perceber com muita atenção o problema. a) Vamos determinar o número de formandos submetidos a avaliação.

Sejam: U= (formandos submetidos à avaliação) P1=( formandos que acertaram na 1ª pergunta) P2= (formandos que acertaram na 2ª pergunta) N= (formandos que não acertaram as duas perguntas)

Cem (100) formandos acertaram nas duas perguntas. Se 260 acertaram na 2ª pergunta, então: 260 − 100 = 160 formandos, acertaram apenas a 2ª pergunta.

Se 300 formandos, acertaram somente uma das perguntas, e 160 acertaram apenas a 2ª pergunta, então: 300 − 160 = 140 formandos que acertaram somente a 1ª pergunta.

Como 210 formandos erraram a 1ª, incluindo os 160 que também erraram a 1ª pergunta, então: 210 − 160 = 50 formandos, erraram as duas perguntas

Total de formandos submetido ao teste: 160 + 140 + 100 + 50 = 450 b) Representação no diagrama de Venn

6. Resolução do problema a) Determinação do nº de formandos que gostam das duas cores, isto é, a intersecção dos dois

conjuntos. R: Cerca de 6 formandos que gostam das duas cores.

2 3

4 5 6 7 8

-1 0

M N

U

-1 0

4 5 6 7 8

M

U

100 160 140

N=50

P1 P2

U=450

( ) = 61 ( ) = 20 ( ) = 47 ( ∩ ) = =?

Dados

(20 − ) + + (47 − ) = 61 20 − + + 47 − = 61 67 − = 61 − = 61 − 67

= 6

Resolução


b) Representação no diagrama de Venn

c) Formandos que gostam apenas de cuecas pretas. NOTA: Já que a questão pede para determinar, vamos demostrar, mas podemos ver no diagrama que são 14. A intersecção dos dois conjuntos é 6. Assim, teremos: 20 − 6 = 14 R: 14 formandos, gostam apenas de cuecas de cor preta.

d) Formandos que gostam de cuecas vermelhas. Também temos a resposta na alínea b). 47 − 6 = 41 formandos que gostam apenas de cuecas de cor vermelha.

FIM

Bibliografia

1. LANGA, Heitor. Matemática 10ª Classe. Livro do Aluno. Plural Editores, Moçambique -2013. 2. GUIBUNDANA, Dinis H & SAPATINHA, João C. Saber Matemática 10. Logman Moçambique, 2010, 1ª ed.

OBS: Alguns exercícios sofreram alterações, isto é, não estão tal igual como vem apresentados nos livros acima citados.

6 41 14

P V

U=61

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