Teoria das Variveis Regionalizadas

A geoestattistica foi definida por Matheron (1971) como sendo a aplicao da teoria das variveis regionalizadas para a estimao de depsitos minerais.

Varivel regionalizada (V. Re) uma varivel que se distribui num espao (em cada ponto de um espao, assume um valor) e que apresenta um certo grau de estruturao espacial. A varivel regionalizada representa uma caracterstica de um fenmeno que atuou naquele espao. Este fenmeno dito regionalizado.

Do ponto de vista matemtico, uma varivel regionalizada Z(x) simplesmente uma funo do ponto x, em geral irregular, como por exemplo, teor em um depsito mineral.

Outros exemplos

preo de um metal no tempo cotas de um terreno densidades, espessuras, teores em um depsito mineral porosidade e permeabilidadeConcentrao de poluentesIndice de pluviosidade

O arranjo espacial ou a distribuio espacial de uma srie de variveis regionalizadas num corpo mineral (teores, por exemplo) conseqncia da ao de uma srie de processos fsicos e qumicos que deram origem ao depsito mineral.

Uma V. Re apresenta um duplo aspecto contraditrio:a) aspecto local e aleatrio que relembra o comportamento de uma varivel aleatria.b)aspecto geral e estruturado segundo o qual os seus valores em dois pontos apresentam uma correlao ou dependncia espacial, ao menos para pequenas distncias entre eles.

Aspecto aleatrio e estruturado se uma varivel regionalizada

A deteco e a modelagem destes arranjos espaciais ou das estruturas de correlao espacial no somente ajudam a compreender melhor os processos que deram origem a eles , como tambm, melhoram o exerccio de interpolao espacial.

Segundo Matheron (1971), a teoria das variveis regionalizadas tem dois propsitos:

No campo terico, que expressar as propriedades estruturais numa forma adequada.

No campo prtico, que resolver problemas de estimativas da V. Re. a partir de dados de amostragem.

Uma realizao y(x) de uma funo aleatria Y(x) pode sempre ser considerada como uma varivel regionalizada . Uma varivel regionalizada y(x) pode ser considerada como uma realizao de uma certa funo aleatria Y(x).

Esta interpretao torna possvel a aplicao da teoria probabilstica das funes aleatrias para as variveis regionalizadas.

Para esta hiptese probabilstica ter um real significado, deve ser possvel reconstituir, pelo menos em parte, a lei de distribuio de probabilidade da funo aleatria Y(x).

Inferncia - Hipteses de EstacionaridadeEm geral a inferncia no possvel se se possui somente uma realizao dessa funo aleatria.

Para que essa inferncia seja possvel necessrio introduzir hipteses suplementares ( hipteses de estacionaridade) acerca de Y(x) para diminuir o nmero de parmetros do qual a lei de distribuio de probabilidade de Y(X) depende.

Uma funo aleatria estacionria se repete, de uma certa maneira, no espao, e, esta repetio torna possvel a inferncia estatstica a partir de uma nica realizao.

Propriedades da Covarincia e do Variograma

Modelos AutorizadosSeja Z(x) uma funo aleatria de segunda ordem com funo covarincia igual a C(h).C(h) deve ser definida positiva para que a varincia seja no negativa.Para a hiptese intrnseca, basta impordeve ser condicional definida positiva , ou seja, sujeito a

Comportamento do Variograma na Origem A continuidade e regularidade no espao de uma funo

aleatria Y(x) se manifestam por meio do comportamento

do variograma (h) prximo origem.

Comportamento Parablico

Comportamento Linear

Efeito de Pepita

Efeito de Pepita Puro

Modelo EsfricoO modelo de covarincia esfricocorrespode ao volume da interse-o de duas esferas de dimetroIguais a a e separadas de h.

Modelo Exponencial

Modelo Gaussiano

Modelos de Potncia

Efeito de Pepita

Influncia do Efeito de PepitaSem Efeito de PepitaEfeito de Pepitaigual a 33% davarincia total

Influncia do Efeito de PepitaEfeito de Pepitaigual a 66% davarincia totalEfeito de PepitaPuro

Modelo Global e Estruturas Imbricadas

Modelo Global e Estruturas Imbricadas

As estruturas imbricadas so gerais, podendo comportar estruturas elementares istropas ou anistropas de qualquer tipo.

Modelo Global e Estruturas Imbricadas

a2

a1

C0

C2

C1

C0+C1+C2

Anisotropia Os modelos de variogramas elementares so todos istropos.

Direes preferenciais so as direes de maior e menor variabilidade.

Direes preferenciais de anisotropia so ortogonais.

No necessariamente coincidem com as direes do sistema tri-ortogonal de coordenadas.

O efeito de pepita considerado isotrpo.

A anisotropia considerada levando-se em conta: - um vetor distncia em um sistema de coordenadas rotacionado para coincidir com o sistema de direes preferenciais. - calculando uma distncia corrigida utilizando-se fatores ou razes de anisotropia , que so razes entre amplitudes dos variogramas nas direes preferenciais.

Isotropia

MAVULO

(Variografia da acumulao em Fe)

)

((h)

Varincia a priori

Omnidireccional

NW-SE

NE-SW

N-S

E-W

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Isotropia

g(h)

Variografia da Acumulao em Fe (%)

MAVULO

Varincia a priori

Omnidireccional

Modelo Terico

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

10

8

6

4

2

0

Variogramas com Anisotropia

(Variografia do teor em P2O5)

((h)

Varincia a priori

Vertical

Horizontal

60

40

20

0

350

300

250

200

150

100

50

0

CATALO

Anisotropia Geomtrica

Anisotropia Zonal

Anisotropia GeomtricaCaracterizada por apresentar em todas as direes ummesmo modelo de variograma com mesmo patamar, mas com amplitudes diferentes para diferentes direes.

Anisotropia Geomtrica

Anisotropia Geomtrica

Anisotropia Geomtrica

Anisotropia Geomtrica

A anisotropia zonal pode ser considerada como um caso particular da anisotropia geomtrica em que a amplitude segundo duas direes preferenciais muito grande quando comparada com a amplitude da outra direo segundo a qual a estrutura zonal se manifesta.

Na definio de cada variograma ou de cada estrutura imbricada da frmula do modelo global, normalmente so necessrios 7 parmetros: forma 3 ngulos 3 parmetros ligados a amplitudesEm geral 3 ngulos definem a orientao do elipside de anisotropia.So ngulos de rotaes para o sistema cartesiano de coordenadas,a serem efetuadas em etapas para torn-lo coincidente com o sistema de semi-eixos do elipside.

Para a Gslib: ang1, ang2 e ang3.

ngulos utilizados na GSLIB para a definio da anisotropia geomtrica de um variograma a 3D.

Primeira Rotao Correo do Azimute

Segunda Rotao para Correo do Mergulho

Tercira Rotao para Correo do Trend

Sugestes para o Ajustamento de variogramasClayton V. Deutsch d as seguintes sugestes para se construir um modeloglobal ajustado legtimo para todas as direes:

Adotar um nico ( o mais baixo) efeito de pepita isotrpico.

Escolher o mesmo nmero de estruturas de variogramas para todas as direes baseado na direo mais complicada.

Assegurar que o mesmo patamar seja usado para todas as estruturas de variogramas em todas as direes.

Considerar o uso de amplitude diferente para diferentes direes.

Modelar a anisotropia zonal usando uma amplitude muito grande em uma ou mais das direes preferenciais.

Exemplo de um caso complicado ** Retirado de curso da Universidade de Alberta (Canad)

Exemplo de um caso complicado ** Retirado de curso da Universidade de Alberta (Canad)

Exemplo de um caso complicado ** Retirado de curso da Universidade de Alberta (Canad)

TrendsE[Z(x)] depende de xPode-se tentar ajustar um modelo de potnciaRetirar a tendncia, modelar os resduos e acrescentar os resduos aps estimativa e ou simulao.Subdividir regies.

Trends

Periodicidade Pode estar associados a variaes geolgicas repetitivas ou cclicas.

PeriodicidadeArenito elico: arenitos mais finos com baixa permeabilidade aparecem na cor mais escura.

Modelo de Efeito Buraco

Varivel V

Nuvens de auto-correlao V(x) vs V(x+h) para diferentes distncias h na direo vertical

iVARIOGRAMA EXPERIMENTALO variograma uma medida a disperso da nuvem de pontos Z(x) vs Z(x+h) em torno da primeira bissetriz.

O variograma o momento de inrcia da nuvem de pontos em torno da primeira bissetriz.

AJUSTE DO VARIOGRAMA EXPERIMENTAL

Feies principais de um variogramaAmplitude : distncia a partir da qual os valores da varivel Z(x) e Z(x+h) no esto mais correlacionados. Zona de influnciaPatamar : valor do variograma para distncias maiores do que a amplitude.Efeito de Pepita: devido a erros de medies da varivel e aestruturas de variabilidade que no so accessveis na escalade observao dos dados disponveis.

ANISOTROPIAa1: amplitude segundo a vertical pode corresponder espessura mdia das lentes mineralizadas.a2: amplitude segundo a horizontal pode corresponder ao comprimento mdio das lentes mineralizadas.

Clculo de variogramas com malha regular

Clculo de variogramas com malha irregular

Clculo de variogramas com malha irregular

Clculo de variogramas com malha irregular

Mudana de Coordenadas

Efeito da malha de amostragem

Efeito da malha de amostragem

Escolha da varivel a ser variografada Variveis AditivasSuporte da varivelEfeito de Pepita inversamente proporcional ao suporteCompositagemCampos de homogeneidadeVerificao de tendnciasPreferncia pelo variogramaOutras funes estruturaisAjuste automtico vs tentativas e erros informao geolgicaVariogramas OmnidirecionaisNuvens de VariogramasMapas de variogramasValidao CruzadaEfeito Proporcional

*