Universidade Federal de AlagoasCentro de Tecnologia Curso de Engenharia Ci il C d E h i Civil

Teoria das Estruturas IAula 09

Prof. Prof Flvio Barboza de Lima

Aula 08

Equao Diferencial dos Esforos Solicitantes.

Representao Grfica dos Esforos internos.

Aula 08

INTRODUO Como vimos os esforos internos solicitantes esto relacionados a uma determinada seo transversal. transversal. Portanto, conveniente expressar a variao da grandeza dos esforos graficamente ao longo do eixo das estruturas. Para tanto podemos relacion-los estruturas. relacionatravs de equaes diferenciais. diferenciais.

Equaes diferenciais dos EISp

Considere uma poro infinitesimal

Q

Q +(dQ/dx) x dx

Fy=0

dx

dQ = -p(x) dx

Q p.dxQ(dQ/ dx dx=0 dQ/ dx= p ).

Equaes diferenciais dos EISMx Mx +d(Mx/dx) . dx

Q dx

Q +(dQ/dx) x dx

M = 0Mx + (dMx/ dx).dx + p.dx.(dx / 2) Mx Q.dx = 0 dMx/ dx = Q

dMx = -Q(x) dx

d2Mx = - p(x) dx d 2

Equaes diferenciais dos EISRelaes entre carga, fora cortante e momento fletordQ = -p(x) p(x) dx d2Mx = - p(x) p( ) dx2

dMx = -Q(x) dx

Representao grfica dos Esforos Internos Diagramas de estadoRepresentao grfica que utiliza o eixo da estrutura como eixo das abscissas e as ordenadas representam a grandeza do esforo solicitante. solicitante.

Representao grfica dos Esforos Internos TiposDiagrama de Esforos Normais Diagrama de Esforos Cortantes Diagrama de Momento Fletor

Representao grfica dos Esforos Internos Importncia dos diagramas Visto que o clculo de Q e M fundamental para o projeto de vigas deve-se estudar o comportamento devedessas variveis ao longo da viga. viga.

Estas sees devem ser estudadas em regies determinadas pelo surgimento ou t i d t i d l i t trmino d um de novo carregamento (fora concentrada, carga

distribuda ou momento binrio). binrio).

Representao grfica dos Esforos InternosEstruturas com exigncia de esforos cortante e momento fletor.

Representao grfica dos Esforos Internos Importncia dos diagramas

O estudo feito realizando cortes para distncias arbitrrias em toda a extenso da viga. viga.

Os diagramas de esforos internos facilitam a visualizao d i t i li da intensidade. intensidade. id d

Representao grfica dos Esforos InternosObserve como os diagramas facilitam a visualizao dos esforos internos.

OBS:. OBS: OBS: Para essa viga necessitamos de pelo :.menos cinco sees e cada seo com trs equaes. equaes.

Representao grfica dos Esforos InternosCom os diagramas a representao C simplificada pelos traados mostrados abaixoDiagrama N

Diagrama Q

Diagrama M

Representao grfica dos Esforos Internos Convenes de sinais para os diagramas +DEN

+ +DEC

+

+ +DMF

-

Representao grfica dos Esforos Internos Convenes de sinais para os diagramas

-++

DMF

FLEXO PURA

Conveno adotada para acompanhar o grfico da viga em flexo pura. pura.

Representao grfica dos Esforos InternosComo traar os diagramas?

Traado atravs de expresses analticas dos p esforos

Traado direto

Representao grfica dos Esforos Internos Traado atravs de expresses analticas dos esforos

Deduzir as equaes de cada seoClculo das reaes

Clculo dos esforos em pontos estratgicos para cada seo

Traar os diagramas pelos pontos e equaes

Representao grfica dos Esforos Internos

EX:

Representao grfica dos Esforos Internos

EX:

Mx = 600

Mx = 600-1000

Mx = 600.x Mx = 600.x 1000.(2,5-x)

Representao grfica dos Esforos Internos Traado direto

Observar as leis que regem a distribuio dos esforosClculo das reaes

Mentalizar os cortes nas sees de interesse

Traar os diagramas, seo por seo

Representao grfica dos Esforos Internos

EX:

Representao grfica dos Esforos Internos

EX:

Mentalmente so calculados pontos do diagrama

Representao grfica dos Esforos InternosCaractersticas dos carregamentos Viga Bi-apoiada com carga aplicada g Bi- p g p P a bDMF [kN.m]

+DEC [kN]P.b L P.a.b L

+

-

x [m]- P.a L

Representao grfica dos Esforos InternosViga Bi-apoiada com carga distribuda Biq

L

DEC [kN] q.L 2

+

DMF [kN m] [kN.m] L/4 L/2 3.L/4

-

x [m] -q.L 2

q.L2 32

q.L2 8

9.q.L2 32

Representao grfica dos Esforos InternosPara uma viga qualquer

Quando temos uma carga ou momento aplicado ele representado por uma descontinuidade no respectivo diagrama. diagrama.

As equaes diferenciais so vlidas e importantes no desenho dos diagramas dos esforos internos

Representao grfica dos Esforos Internos Fluxograma para resoluo de problemasClculo das reaes Clculo dos EIS Traado dos esforos internos

DEISDEIS- ExemplosExemplo 1 Viga bi-apoiada com carga concentrada bi80kN

S13m

S2

80kN

HA

A

B RVB

3m

RVA

y + x

M

A

=0 RVB = 40kN

6 xRVB 3 x60 + 0 xRVA = 0

M

Fx = 0 HA = 0

B

=0 80kN

6 xRVA + 3 x80 + 0 xRVB = 0

RVA = 40kN

Diagrama de corpo livre p

A

B

40kN

40kN

DEISDEIS- ExemplosClculo dos esforos solicitantes MQ S1:0 x