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Teoria da Probabilidade

1. Elementos do estudo das probabilidades:

a) Experimento aleatório: Consideramos experimentosaleatórios os fenômenos que apresentam resultadosimprevisíveis quando repetidos, mesmo que ascondições sejam semelhantes.b) Espaço amostral: Espaço amostral é o conjunto detodos os resultados possíveis de ocorrer numexperimento aleatório. Esse conjunto será indicado pelaletra S.c) Evento: Evento (E) é qualquer subconjunto de umespaço amostral S. Muitas vezes um evento pode sercaracterizado por um fato.· Evento certo: evento que possui os mesmos elementosdo espaço amostral.· Evento impossível: evento igual ao conjunto vazio.· Evento simples: evento que possui um único elemento.· Evento complementar: se A é um evento de um espaçoamostral S, o evento complementar de A indicado por étal, que .· Eventos mutuamente exclusivos: dois ou mais eventossão mutuamente exclusivos quando a ocorrência de umdeles implica a não-ocorrência do outro. Se A e B sãoeventos mutuamente exclusivos, então .

EXERCÍCIOS

1. No lançamento simultâneo de 2 dados, considere asfaces voltadas para cima e determine:a) espaço amostral S;b) evento : números cuja soma é igual a 5;c) Evento : números iguais;d) Evento : números cuja soma é um número par;e) Evento : números ímpares nos 2 dados;f) Evento : número 2 em pelo menos um dos dados;g) Evento : números cuja soma é menor que 12;h) Evento : números cuja soma é maior que 12;i) Evento : números divisores de 7 nos dois dados.

2. Um casal planeja ter 3 filhos. Determine os eventos:a) os 3 são do sexo feminino;b) pelo menos 1 é do sexo masculino;c) os 3 do mesmo sexo.

3. Uma urna contém 20 bolinhas numeradas de 1 a 20.Escolhe-se ao acaso uma bolinha e observa -se os eunúmero. Determine os seguintes eventos:a) o número escolhido é ímpar;b) o número escolhido é maior que 15;c) o número escolhido é múltiplo de 5;d) o número escolhido é múltiplo de 2 e de 3;e) o número escolhido é primo;

f) o número escolhido é par e múltiplo de 3;g) o número escolhido é ímpar e múltiplo de 7.

1. Probabilidade:Considerando um espaço amostral S, não -vazio, e umevento E, sendo , a probabilidade de ocorrer o evento E é

o números real , tal que: , sendo S um conjuntoequiprovável, ou seja, todos os elementos têm a mesma"chance" de acontecer:: número de elementos do evento E: número de elementos do espaço amostral S

4. Qual A probabilidade de ocorrer o número 5 nolançamento de um dado?

5. Qual a probabilidade de se obter um número par nolançamento de um dado?

6. Um disco tem uma face branca e a outra azul. Se odisco for lançado 3 vezes, qual a probabilidade de a faceazul ser sorteada pelo menos uma vez?

7. Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade deos 3 serem do mesmo sexo?

8. (Unesp-SP) João lança um dado sem que Antonioveja. João diz que o número mostrado pelo dado é par.Qual a probabilidade de Antonio descobrir esse número?

9. (Vunesp) Um baralho de 12 cartas tem 4 ase s.Retiram-se 2 cartas, uma após a outra. Determine aprobabilidade de a segunda ser um ás, sabendo que aprimeira é um ás.

10. (UFSCar-SP) Uma urna tem 10 bolas idênticas,numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma bola da urna, aprobabilidade de não obtermos a bola número 7 é igual aquanto?

11. Determine a probabilidade de se obterem os eve ntosa seguir, no lançamento simultâneo de 2 dados,observadas as faces voltadas para cima:a) números iguais.b) números cuja soma é igual a 5.c) números cuja soma é ímpar.d) números cuja soma é par.e) números cuja soma é menor que 12.f) números cuja soma é maior que 12.g) números primos nos 2 dados.

12. Uma urna contém 2 bolas brancas e 5 bolasvermelhas. Retirando-se 2 bolas ao acaso e semreposição, calcule a probabilidade de:

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a) as bolas serem de cores diferentesb) as 2 bolas serem vermelhas.

13. (Mauá-SP) Uma caixa contém 11 bolas numeradasde 1 a 11. Retirando-se uma delas ao acaso, observa-seque ela tem um número ímpar. Determine aprobabilidade de esse número ser menor que 5.

14. Uma bola é retirada de uma urna que contém bol ascoloridas. Sabe-se que a probabilidade de ter sidoretirada uma bola vermelha é . Calcule a probabilidadede ter sido retirada uma bola que não seja vermelha.

3. União de dois eventos:Considerando A e B dois eventos contidos em ummesmo espaço amostral S, o número de elementos dareunião de A com B é igual ao número de elementos doevento A somado ao número de elementos do evento B,subtraído do número de elemen tos da intersecção de Acom B. Sendo o número de elementos do espaçoamostral, vamos dividir os dois membros da equação porafim de obter a probabilidade .

Para eventos mutuamente exclusivos , a equação obtidafica:

15. Uma urna contém 30 bolinhas numeradas de 1 a 30.Retirando-se ao acaso uma bolinha da urna, qual aprobabilidade de essa bolinha ter um número múltiplo de4 ou de 3?

16. Jogando-se um dado, qual a probabilidade de seobter o número 3 ou um número ímpar?

17. Consultadas 500 pessoas sobre as emissora s de TVque habitualmente assistem, obteve -se o seguinteresultado: 280 pessoas assistem ao canal A, 250 assistemao canal B e 70 assistem a outros canais, distintos de A eB. Escolhida uma pessoa ao acaso, determine aprobabilidade de que ela assista:a) ao canal Ab) ao canal Bc) ao canal A ou ao canal B

18. (PUCCAMP-SP) Num grupo, 50 pessoas pertencema um clube A, 70 pertencem a um clube B, 30 a umclube C, 20 pertencem aos clubes A e B, 22 aos clubes Ae C, 18 aos clubes B e C e 10 pertencem aos 3 clubes.Escolhida ao acaso uma das pessoas presentes, qual aprobabilidade de ela:a) pertencer aos 3 clubesb) pertencer somente ao clube Cc) pertencer a pelo menos dois clubesd) não pertencer ao clube B

19. De uma reunião participam 200 profissionais, sendo60 médicos, 50 dentistas, 32 enfermeiras e os demaisnutricionistas. Escolhido ao acaso um elemento dogrupo, qual a probabilidade de ele ser médico oudentista?

3. Probabilidade Condicional:Considerando os eventos A e B de um espaço amost ralS, define-se como probabilidade condicional do eventoA, tendo ocorrido o evento B e indicado por, a razão:

4. Multiplicação de Probabilidades:A probabilidade de ocorrer é igual ao produto daprobabilidade de um deles pela probabilidade do outroem relação ao primeiro.Sendo: ou, então:ou

5. Eventos independentes:Dois eventos A e B de um espaço amostral S sãoindependentes quando ou .Sendo os eventos A e B independentes, temos: (I) e (II)Substituindo (II) em (I), obtemos:

EXERCÍCIOS

20. Lançando-se simultaneamente dois dados, qual aprobabilidade de se obter o número 1 no primeiro dado eo número 3 no segundo dado?

21. Uma urna A contém 3 bolas brancas, 4 pretas e 2verdes. Uma urna B contém 5 bolas brancas, 2 pretas e 1verde. Uma urna C contém 2 bolas brancas, 3 pretas e 4verdes. Uma bola é retirada de cada uma. Qual é aprobabilidade de as três bolas reti radas da primeira,segunda e terceira urnas serem respectivam ente, branca,preta e verde?

22. A probabilidade de que um aluno A resolva ce rtoproblema é , a de que outro aluno B o resolva é e a deque um aluno C o resolva é . Calcule a probabilidade deque os três resolvam o problema.

23. (Cesgranrio-RJ) Dois dados são lançados sobre umamesa. Qual probabilidade de ambos os dados mostraremna face superior números ímpares?

24. (Unesp) Num grupo de 100 pessoas da zona rura l, 25estão afetadas por uma parasitose intestinal A e 11 poruma parasitose intestinal B, não se verificando nenhumcaso de incidência conjunta de A e B. Duas pessoasdesse grupo são escolhidas, aleatoriamente, uma após aoutra. Determine a probabilidade de que, dessa dupla, aprimeira pessoa esteja afetada por A e a segunda por B.



25. (Unesp) Numa gaiola estão nove camundongosrotulados 1, 2, 3, ..., 9. Selecionando-se conjuntamentedois camundongos ao acaso (todos têm igualprobabilidade de escolha), qual a probabilidade de quena seleção ambos os camundongos tenham rótulo ímpar?

6. Distribuição binomial:

Considerando um experimento aleatório, observa-se aprobabilidade de ocorrer um evento E (sucesso), assimcomo o seu complementar E (insucesso), em n tentativasindependentes. A probabilidade de ocorrerem k sucessose fracassos é dada pelo termo geral do Binômio deNewton ., sendo p a probabilidade de sucesso em cada te ntativa ea probabilidade de fracasso."Sucesso" e "fracasso" aqui apenas representamocorrências que se excluem e se complementam:a) se ocorre um sucesso, não ocorre um fracasso, e vice -versa.b) Sucesso e fracasso cobrem todas as possibilidades,não há ocorrência diferente dessas.

26. Um dado é lançado 5 vezes. Qual a probabilidade deo número 2 aparecer 3 vezes? (3,2% aproximadamente)

27. Se jogarmos 7 vezes uma moeda, qual aprobabilidade de obtermos coroa 5 vezes? (16,4%aproximadamente)

28. Dois times de futebol A e B disputam 6 partidas.Qual a probabilidade de o time A ganhar 4 partidas?(8,2% aproximadamente)

29. Sabendo-se que a probabilidade de uma p essoaacertar um tiro no alvo é, qual a probabilidade de acertarpelo menos um tiro em 4 tentativas?

30. (Cescem-SP) Qual é a maior probabilidade: de seobter 50% de caras no lançamento de 4 moedas ou 50%de caras no lançamento de 40 moedas?

31. (Vunesp-SP) Dois jogadores A e B vão lançar umpar de dados. Eles combinam que se a soma dosnúmeros dos dados for 5, A ganha; se essa soma for 8, Bé quem ganha. Os dados são lançados. Sabe -se que Anão ganhou. Qual a probabilidade de B ter ganho?

32. (Unicamp-SP) Ao se tentar abrir uma porta com umchaveiro contendo várias chaves parecidas, das quaisapenas uma destranca a referida porta, muitas pessoasacreditam que é mínima a chance de se encontrar achave certa na primeira tentativa, e chegam mesmo adizer que essa chave só vai aparecer na última tentativa.Para esclarecer essa questão, calcule, no caso de umchaveiro contendo 5 chaves:

a) a probabilidade de se encontrar a chave certa d epoisda primeira tentativa;b) a probabilidade de se acertar na primeira t entativa;c) a probabilidade de se acertar somente na últimatentativa.

33. Carolina lança um dado, observa a face superior etelefona a Marcelo dizendo-lhe que o número mostradopelo dado é ímpar. Qual a probabilidade de Marceloacertar?

34. Na tentativa de melhorar o desempenho dotransplante de determinado órgão humano, uma equipemédica desenvolveu novo instrumental cirúrgico,obtendo um resultado positivo em 90% dos transplantesefetuados. Determine a probabilidade de 5 transplantesserem bem-sucedidos, caso esse procedimento sejarealizado 6 vezes.

35. Um vestibulando, ao olhar o relógio, perce beu quesó restavam dez minutos para o término da prova. Diantedisso, resolveu responder, sem critério, as 5 questões queainda não tinham resolução. Considerando que cadaquestão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delascorreta, qual a probabilidade desse vestibulando acertar3 dessa questões?

36. (Cesgranrio) Três moedas são lançadassimultaneamente. Qual a probabilidade de se obter 2caras e 1 coroa?

37. Para animar uma festa, o anfitrião resolveu oferecerum prêmio para quem, ao lançar 5 vezes uma moeda,obtivesse coroa, exatamente 3 vezes. Qual aprobabilidade de um candidato levar o prêmio, ca soparticipe apenas uma vez?

38. (Mack-SP) Jogando 5 vezes um dado honesto, qual aprobabilidade de ocorrer só três vezes o resultado 2?

39. (FEI-SP) Um caçador treina tiro ao alvo usando umalâmpada como alvo. A probabilidade de acertar um tirona lâmpada é 20%. Sabendo-se que o caçador só possui5 balas, qual a probabilidade de atingir a lâmpada?

40. Uma prova teste, possui 10 questões com 5alternativas cada, com uma única cor-reta. Qual aprobabilidade de acertar 8 das 10 questões?

EXERCÍCIOS COMPLEMENTARES

1. (UFPA) Numa lanchonete que vende cachorro -quentesão oferecidos ao freguês pimenta, cebola, mostarda emolho de tomate como temperos adicio nais. Quantostipos de cachorro quentes diferentes (pela adição ou nãode algum tempero) podem ser vendidos?



2. (Fuvest-SP) Duas pessoas A e B arremessam moedas.Se A faz 2 arremessos e B faz 1, qual a probabilidade deA obter o mesmo número de coroas que B?

3. (Fuvest-SP) Seis pessoas A, B, C, D, E e F, vãoatravessar um rio em 3 barcos. Distribuindo -se ao acasoas pessoas de modo que fiquem 2 em cada barco, qual aprobabilidade de A atravessar com B, C junto com D e Ejunto com F?

4. (Fuvest-SP) Duas pessoas A e B, jogam dadoalternadamente, começando com A, até que uma delasobtenha um 6; a primeira que obtiver o 6 ganha o jogo.a) Qual a probabilidade de A ganhar na primeira jogada?b) Qual a probabilidade de B ganhar na segunda jogada?c) Calcule a probabilidade de A ganhar o jogo.

5. (Fuvest-SP) Escolhem-se ao acaso 2 números naturaisdistintos, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que oproduto dos números escolhidos seja ímpar?

6. De uma urna que contém 18 bolas, sendo 10 pretas e 8vermelhas, retiramos 3 bolas, sem reposição. Qual é aprobabilidade de as primeiras serem pretas e a terceiraser vermelha?

7. (Fuvest-SP) Uma urna contem 3 bolas: 1 verde, 1 azule 1 branca. Tira-se uma bola ao acaso, registra-se a cor ecoloca-se a bola de volta na urna. Repete -se essaexperiência mais 2 vezes. Qual a probabilidade de seremregistradas 3 cores dist intas?

8. Fuvest-SP) Sorteiam-se 2 úmeros ao acaso entre 101 e1000, inclusive, com reposição. Calcule a probabilidadede que o algarismo das unidades do produto dosnúmeros sorteados não seja zero.

9. (FEI-SP) Numa urna foram colocadas 30 bolas: 10azuis numeradas de 1 a 10, 15 bolas brancas numeradasde 1 a 15 e 5 bolas cinza numeradas de 1 a 5. Ao retirar -se aleatoriamente uma bola, qual a probabilidade de seobter uma bola par ou branca?

10. (Osec-SP) Lançando-se um dado 2 vezes, vamosobservar os pares ordenados de números das facessuperiores. Qual a probabilidade de ocorrência donúmero 5 em pelo menos uma vez?

11. (Unicamp-SP) Uma urna contém 50 bolas qu e sedistinguem apenas pelas seguintes características:· x delas são brancas e numeradas seqüencialmente comos números naturais de 1 a x;· x+1 delas são azuis e numeradas seqüencialmente comos números naturais de 1 a x+1;· x+2 delas são amarelas e numeradas seqü encialmentecom os números naturais de 1 a x+2;

· x+3 delas são verdes e numeradas seqüencialm ente de1 a x+3.a) Qual o valor numérico de x?b) Qual a probabilidade de ser retirada, ao acaso, umabola azul ou uma bola com o número 12?


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