Teorema Fundamental da Programação Linear

• Dado um problema de Programação Linear na forma padrão

min c.x

s.a. Ax = b

x 0

onde A é uma matriz (m x n) de “rank” m,

i) se existir uma solução factível, existe uma solução

básica factível;

ii) se existir uma solução factível óptima, existe uma

solução básica factível óptima.

Teorema da Equivalência entre pontos extremos e soluções básicas

• Seja A uma matriz m x n e b um vector de m componentes.

Seja K o polítopo convexo consistindo de todos os vectores

x de tamanho n que satisfazem

Ax = b

x 0

Um vector x é um ponto extremo de K sse x é uma solução

básica factível.

A04-1

Corolário 1: Se o conjunto convexo K correspondente a

Ax = b

x 0

é não vazio, possui pelo menos um ponto extremo.

Corolário 2: Se existir uma solução óptima finita para um problema

de programação linear, existe uma solução óptima fini-

ta que é um extremo do conjunto de restrições.

Corolário 3: O conjunto de restrições K correspondente a Ax = b,

x 0 possui, no máximo, um número finito de

pontos extremos.

Corolário 4: Se o conjunto K (polítopo convexo) for limitado, então

K é um poliedro convexo, i.e., K consiste de pontos

que são combinações lineares de um número finito de

pontos.

Proposição: Uma função objectivo linear, cx, atinge o seu mínimo

sobre um poliedro convexo K num ponto extremo de

K.

A04-2

Teorema: Dada uma solução básica factível não degenerada com

custo z0, suponha-se que para algum j se verifica

cj - zj < 0. Então existe uma solução factível com

custo z < z0.

Se a coluna aj puder ser substituída por algum vector

na base original que conduza a uma nova solução

básica factível, esta nova solução tem z < z0.

Se aj não puder ser substituída, então o conjunto K de

soluções factíveis é não limitado e a função objectivo

pode ser feita arbitrariamente pequena.

Teorema: Se para alguma solução básica factível cj - zj 0 para

todo o j, então a solução é óptima.

A05-1

Passo1: Calcular os coeficientes de custo relativo

r = cD - cBB-1D.

Primeiro calcular = cBB-1 e depois o vector de custo

relativo cD - D. Se r 0 parar; a solução presente é

óptima.

Passo 2: Determinar que vector aj entra na base selecionando

aquele para o qual o custo relativo é mais negativo;

calcular yj = B-1aj que expressa aj na base presente.

Passo 3: Calcular os valores yi0/yij para determinar que vector sai

da base.

Passo 4: Actualizar B-1 e a solução presente é B-1b. Voltar ao

Passo 1.

Dados de partida: Uma base e B-1 correspondente com a solução

respectiva dada por xB = y0 = B-1b.

O método Simplex

A07-1

Lema 1: Se x e são factíveis para (1) e (2), respectivamente,

então cx b.

PRIMAL

min c.x

s.a. Ax = b (1)

x 0

DUAL

min b

s.a. A c (2)

Corolário: Se x0 e 0 são factíveis para (1) e (2), respectivamente, e

se cx0 = 0b, então x0 e 0 são óptimos para os seus

problemas respectivos.

PORQUÊ?...

Teorema da Dualidade:

Se qualquer dos problemas (1) ou (2) possuir uma solução

óptima finita, também o outro a possui, e os valores das

funções objectivo são iguais.

Se qualquer dos problemas tiver uma função objectivo não

limitada, o outro não tem qualquer solução factível.

A07-2

Teorema:Seja o problema de programação linear (1) com uma solução

básica factível óptima correspondente à base B.

Então o vector = cBB-1 é uma solução óptima para o

problema dual (2).

Os valores óptimos para ambos os problemas são iguais.

Teorema 1: (Complementary Slackness - forma assimétrica)(Complementary Slackness - forma assimétrica)

Seja x e soluções factíveis para o problema primal e dual,

na forma assimétrica, respectivamente. Uma condição

necessária e suficiente para que ambas sejam óptimas é que

para todo o i:

i) xi > 0 ai = ci

ii) xi = 0 ai < ci

em que ai é a i-ésima coluna de A.

Teorema 2: (Complementary Slackness - forma simétrica)(Complementary Slackness - forma simétrica)Sejam x e soluções factíveis para o problema primal e dual,na forma simétrica, respectivamente. Uma condição necessária e suficiente para que ambas sejam óptimas é que para todo o i e j:

i) xi > 0 ai = ci

ii) xi = 0 ai < ci

iii) j > 0 ajx = bj

iv) j = 0 aix > bj

em que aj é a j-ésima linha de A e ai é a i-ésima coluna de A.

A07-3