teorema de bernoulli-andres granados

7/17/2019 Teorema de Bernoulli-Andres Granados

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TEOREMA DE BERNOULLIpor: Andres L. Granados M., Junio/96

Lınea de Corriente

El teorema de Bernoulli (Daniel Bernoulli, 1738), tal como es conocido en la actualidad, se basa enla integracion de las ecuaciones del movimiento de un fluido no viscoso a lo largo de una l ınea de corriente.Sin embargo, en esta oportunidad se hara la deduccion del mismo teorema sin despreciar, en principio, losefectos viscosos y considerando el recorrido por otros caminos.

Las ecuaciones del movimiento de un fluido viscoso (no necesariamente newtoniano) se expresa a travesde la ecuacion de Cauchy como sigue

ρa = ρg + ∇.T T = −P I + T a = ∂ v

∂t + v.∇v (1)

considerando que los esfuerzos tienen un componente debido a la presion y otro debido a la viscosidad.

Uniendo todas las expresiones de (1) en una sola expresion queda que

∂ v

∂t + v.∇v = g − ∇P

ρ +

∇.T

ρ (2)

El teorema de Bernoulli tambien se basa en el hecho de que todas las fuerzas de cuerpo o a distanciag son del tipo conservativo, dependiendo de una funcion potencial ϕ. Se emplea tambien una identidad para

el campo de velocidades que involucra los conceptos de energıa cinetica especıfica v2/2 y de la vorticidad w.Estas consideraciones se resumen en las siguientes expresiones

g = −∇ϕ v.∇v = ∇

v2

2

+ w× v w = ∇ × v (3)

Al substituir todas estas expresiones en (2) y, luego de reorganizar los terminos, se obtiene que

∂ v

∂t + ∇

v2

2

+ ∇ϕ +

∇P

ρ =

∇.T

ρ − w × v (4)

Multiplicando ahora toda la ecuacion (4) por el diferencial dr de un recorrido cualquiera del dominiode flujo para un instante t dado, resulta

∂ v

∂t · dr + ∇

v2

2

· dr + ∇ϕ. dr +

1

ρ ∇P. dr =

1

ρ (∇.T ) . dr− (w × v) . dr (5)

donde, al considerar que los terminos con gradientes se convierten en diferenciales exactos, resulta

∂ v

∂t · dr + d

v2

2

+ dϕ +

dP

ρ =

1

ρ (∇.T ) . dr− (w × v) . dr (6)

Notese que hemos aplicado que para un campo escalar φ se satisface que ∇φ.dr = dφ. Luego, al integrarentre el punto o que es origen del recorrido y un punto generico x, queda que

x

o

∂ v

∂t · dr +

x

o

d

v2

2

+

x

o

dϕ +

x

o

dP

ρ =

x

o

1

ρ (∇.T ) . dr−

x

o

(w× v) . dr (7)

1



Las integrales definidas de diferenciales exactas depende solamente de los valores del integrando en lospuntos extremos. El resto de las integrales se convierten en integrales de lınea, es decir, dependen del caminorecorrido. De acuerdo a esto, la ecuacion (7) se puede expresar convenientemente como

B(t, x)−Bo(t) = R(t, x)− W (t, x) B(t, x) =

x

o

∂ v

∂t · dr +

v2

2 + ϕ +

x

o

dP

ρ Bo(t) =

v2

o

2 + ϕo (8)

donde B(t, x) se denomina el bernoulliano y Bo(t) = B(t, o) es el valor del bernoulliano en el punto o.Los terminos con los esfuerzos viscosos y con la vorticidad se han substituido con la siguiente definicion devariables

R(t, x) =

x

o

1

ρ (∇.T ) . dr W (t, x) =

x

o

w × v. dr (9)

donde R(t, x) se denomina el termino de perdidas viscosas y W (t, x) se denomina el termino de vorticidad .El termino de perdidas viscosas se anula cuando se satisfacen algunos de los siguientes casos

R(t, x) = 0

v = 0 Hidrostatica

∇v = 0 Flujo Uniforme o Simetrıa

µ = λ = 0 Fluido Perfecto

(10)

El termino de vorticidad se anula cuando se satisfacen algunos de los siguientes casos

W (t, x) = 0

v = 0 Hidrostatica

w = 0 Flujo Irrotacional

w, v, dr Coplanares

vw lıneas de corriente y torbellino coincidenvdr dr forma parte de una lınea de corrientewdr dr forma parte de una lınea de torbellino

(11)

Ahora estamos en condiciones de enunciar el siguiente teorema

Teorema 1. Teorema de Bernoulli.

Si para un instante determinado t se satisface que R(t, x) = W (t, x) = 0 en un subdominio cualquieradel flujo, entonces el Bernoulliano B(t, x) es uniforme, e igual a Bo(t), para dicho subdominio.

Demostracion. La demostracion de este teorema esta conformada por la deduccion hecha en las ex-presiones (1)-(11). El recıproco de este teorema no es valido. Como puede observarse, el caso planteado alprincipio, con un fluido perfecto y haciendo un recorrido sobre la lınea de corriente, es un caso particular del

teorema de Bernoulli tal como esta expuesto aquı. El caso hidrostatico (v = 0) tambien es un caso particular del teorema de Bernoulli donde

ϕ +

x

o

dP

ρ = ϕo (12)

Esto es equivalente a la ecuacion general de la hidrostatica

∇P = −ρ∇ϕ (13)

obtenida de eliminar de la ecuacion (4) los terminos no validos para este caso.

2



Tubo de Corriente

Se denomina tubo de corriente a la superficie que recubre a un manojo de lıneas de corriente. Llamemosa la superficie

A que es siempre perpendicular a las l ıneas de corriente superficie normal . El vector normal

unitario a dicha superficie en la direccion del campo de velocidades se denotara n. En un tubo de corrientese puede definir entonces una superficie normal de entrada Ae y una superficie normal de salida As. Lasuperficie normal posee una frontera perimetral que denotaremos S = ∂ A, cuya normal exterior, la cual estangente a A, se denotara η .

Para obtener la expresion de la ecuacion de Bernoulli valida para un tubo de corriente es necesarioestablecer las siguientes hipotesis:

• El fluido es incompresible.

• El tubo de corriente es rıgido.

• Los cambios sobre la superficie normal son puramente hidrostaticos.

La primera hipotesis se establece para poder considerar que los resultados incluyen el esfuerzo cortante(viscoso) en la pared del tubo de corriente. De otra forma tendrıan que aparecer las potencias de estos

mismos esfuerzos como en la primera ley de la termodinamica para sistemas abiertos (Cap.VI). Por otrolado, esta hipotesis facilita la manipulacion de las ecuaciones de forma conveniente, puesto que el flujovolumetrico a traves de las superficies normales es siempre constante. Adicionalmente, esta hipotesis ofreceuna manipulacion mas sencilla para el termino de presion sin tener que considerar las variaciones de ladensidad sobre las superficies normales. Finalmente, esta hipotesis permite eliminar la forma bilinear n.T .npor ser T un tensor puramente desviatorio.

La segunda hipotesis se establece para no tener que considerar los cambios que pueden haber en lassuperficies normales dentro del termino transitorio. Esto cambios harıan las expresiones resultantes difıcilesde calcular, puesto que se tendrıan que calcular las velocidades relativas del flujo a traves de las paredes deltubo de corriente, el flujo neto a traves de las superficies normales de entrada y de salida, y la acumulaciondel fluido dentro del tubo. Adicionalmente, esta hipotesis hace mas factible la tercera hipotesis, la cual serıapracticamente imposible de cumplir sin satisfacer la segunda. En los casos no establecidos por estas hip otesis,es preferible emplear el principio de conservacion de la energıa total (Cap.III) o, equivalentemente, la primera

ley de la termodinamica para sistemas abiertos (Cap.VI).

La tercera hipotesis se establece para poder extraer de la integral sobre la superficie normal los terminoshidrostaticos dϕ + dP/ρ. Esto es posible si se considera que la variacion de los terminos hidrostaticos a lolargo de las lıneas de corriente es independiente de la posicion de estas a traves de la superficie normal. Estoultimo se demuestra considerando que no existe aceleracion ni efectos viscosos sobre las superficies normalesy se aplica la ecuacion de Euler sobre las mismas.

Multiplıquese ahora la expresion (4) por el vector normal n

∂ v

∂t .n +

∂

∂r

v2

2

+

∂ ϕ

∂r +

1

ρ

∂P

∂r =

1

ρ (∇.T ). n− w× v. n (14)

Notese que se ha aplicado la regla ∇ϕ.n = ∂ϕ/∂r, donde r es la coordenada longitudinal sobre una lınea de

corriente. El termino con la vorticidad w se elimina por ser n paralelo a v. Vamos a integrar a lo ancho dela superficie normal A y a lo largo de la l ınea de corriente que pasa por los centroides c de area de todas lassuperficies normales. Ası se obtienen para los diferentes terminos de (14) los siguientes resultados. El primertermino de (14) da

se

A

∂ v

∂t · n dA dl =

se

∂

∂t

A

v.n dA dl =

se

A ∂U

∂t dl U =

1

A A

v.n dA (15)

donde U es la velocidad de flujo promedio en la superficie normal. El segundo termino de (14) da

se

A

∂

∂r

v2

2

dA dl = αl

se

d

dl

A

v2

2

dA dl = αl

se

d

dl

αv U 2A

2

dl = αl

αv U 2A

2

s

e

(16)

3



donde αl es un coeficiente de correcion para poder intercambiar el orden de integracion entre las superficiesnormales y las lıneas de corriente, siendo un valor medio para todo el recorrido. El coeficiente αv, definidocomo

αv = 1

U 2A A

v2

dA (17)

corrige el efecto del perfil de velocidades en la seccion del tubo de corriente, puesto que al final aparece elcuadrado de la velocidad promedio U y no el promedio de la velocidad al cuadrado. El tercer termino de(14) da

se

A

∂ϕ

∂r +

1

ρ

∂P

∂r

dA dl =

se

dϕ

dl +

1

ρ

dP

dl

cA dl =

se

A

dϕc + dP c

ρc

(18)

donde los valores de los terminos hidrostaticos se han evaluado en c, punto cercano a los centroides c de lassuperficies normales en la medida que el comportamiento del integrando sea mas lineal en la seccion A. Elpenultimo termino, que esta en el miembro de la derecha de (14), da

s

e A

1

ρ (∇.T ) . n dA dl =

s

e A

1

ρ ∇ . (T . n) dA dl −

s

e A

1

ρ T : ∇n dA dl

= se

S

1

ρ η.T .n dS dl +

se

A

1

ρ (∇.n) n .T . n dA dl −

se

A

1

ρ T : ∇n dA dl

= − se

τ w S ρc

dl + se

A

1

ρ T : [ nn (∇.n)−∇n ] dA dl (19)

donde a la primera integral se le ha aplicado el teorema de la divergencia, siendo τ w el modulo del esfuerzocortante promedio en la pared del tubo de corriente, y el cual se opone perimetralmente al movimiento.

En el caso de flujo incompresible, el producto T : nn se anula debido a que el tensor de esfuerzo poseesolamente parte desviatoria. En el caso de que A sea plana, toda la segunda integral de la derecha se anula.Cuando los desarrollos de todos los terminos (15)-(19) se colocan juntos, entonces finalmente se obtiene

s

e

∂U

∂t A dl + αlαv U 2

A2s

e + s

e A dϕc

+

dP c

ρc

= − s

e

τ w

S ρc dl (20)

Veremos ahora cual serıa el resultado obtenido en el caso de haber multiplicado la expresion (4) porel vector velocidad v = vn. Primeramente, la expresion (14) cambiarıa a la forma

∂ v

∂t .v +

∂

∂r

v2

2

v +

∂ ϕ

∂r v +

1

ρ

∂P

∂r v =

1

ρ (∇.T ). v (21)

Notese que se ha aplicado la regla ∇ϕ.v = v ∂ϕ/∂r, donde r es de nuevo la coordenada longitudinal sobreuna lınea de corriente, siendo v el modulo del vector velocidad. El termino con la vorticidad de nuevo seelimino por ser n paralelo a v. Vamos a integrar a lo ancho de la superficie normal A y a lo largo de la lıneade corriente que pasa por los centroides c de area de todas las superficies normales. Ası se obtienen para losdiferentes terminos de (21) los siguientes resultados. El primer termino da

se

A

∂ v

∂t · v dA dl =

se

∂

∂t

A

v2

2

dA dl =

se

A ∂

∂t

αv U 2

2

dl =

se

U A ∂

∂t(αvU ) dl (22)

donde U es de nuevo la velocidad de flujo promedio en la superficie normal y αv al igual que antes corrige elefecto que produce tener el la velocidad promedio al cuadrado y no el promedio de la velocidad al cuadrado.El segundo termino da

se

A

∂

∂r

v2

2

v dA dl =

se

A

∂

∂r

v3

3

dA dl = α

l se

d

dl

A

v3

3

dA dl

= αl se

d

dl

αc U 3A

3

dl = α

l

αc U 3A

3

s

e

(23)

4



donde αl es un coeficiente de correcion para poder intercambiar el orden de integracion. Este coeficiente es

en general diferente a αl en el desarrollo (16), pero cuando el tubo de corriente tiene area constante se tiene

que αl = αl = 1. El coeficiente αc, definido como

αc = 1

U 3A A

v2 v. n dA (24)

corrige el efecto del perfil de velocidades en la seccion del tubo de corriente, puesto que aparece el cubo dela velocidad promedio y no el promedio de la velocidad al cubo. El tercer termino da

se

A

∂ϕ

∂r +

1

ρ

∂P

∂r

v dA dl =

se

∂ϕ

∂r +

1

ρ

∂P

∂r

c

U A dl = se

U A

dϕc + dP c

ρc

(25)

donde los valores de los terminos hidrostaticos se han evaluado en los centroides c de las superficies normales.El ultimo termino, que esta en el miembro de la derecha da

s

e

A

1ρ

(∇.T ) . v dA dl = s

e

A

1ρ ∇ . (T . v) dA dl −

s

e

A

1ρ T : ∇v dA dl

= se

S

1

ρ η.T .v dS dl +

se

A

1

ρ (∇.n) n .T . v dA dl −

se

A

1

ρ T : ∇v dA dl

= − se

τ w vw S ρc

dl + se

A

1

ρ T : [ vn (∇.n)−∇v ] dA dl (26)

donde a la primera integral se le ha aplicado de nuevo el teorema de la divergencia, siendo τ w y vw losmodulos de los promedios del esfuerzo cortante y la velocidad tangencial en la pared del tubo de corriente,respectivamente, estando ambas cantidades definidas en la direccion que se opone al movimiento.

En el caso incompresible, el producto de la segunda integral T : vn se anula debido a que el tensor deesfuerzo posee solamente parte desviatoria y ademas v posee la misma direccion que n. En el caso de que

Asea plana, dicho termino tambien se anula. Cuando los desarrollos de todos los terminos (22)-(26) se colocan juntos, entonces finalmente se obtiene

se

∂

∂t(αvU ) dl + αl

αc U 2

3

s

e

+ se

dϕc +

dP c

ρc

= −

se

1

ρc

τ w S A

vwU

+ C µ

dl (27)

donde se ha eliminado el factor comun U A por ser esta cantidad constante a lo largo del tubo de corriente acausa de que el fluido es incompresible. La integracion de la funcion de disipacion viscosa Φµ se substituyepor la potencia del trabajo viscoso τ w S U mediante el uso del coeficiente C µ, definido como

C µ = 1

τ w

S U

A

Φµ dA Φµ = T : ∇v = T : D ≥ 0 (28)

El termino con C µ en (27) integrado dentro de todo el tubo de corriente entre la entrada e y la salida s

representa la potencia del trabajo W −µ cedido por el sistema material en forma de calor Qµ, como lo indica

la siguiente expresion

W −µ = − V m

T : ∇v dV = − V m

Φµ dV = − Qµ (29)

La relacion vw/U entre la velocidad en la pared y la velocidad promedio representa un factor del deslizamientoocurrido en la superficie lateral del tubo de corriente.

La tabla 1 presenta las expresiones validas para una tuberıa de seccion circular constante, por lo que elflujo esta desarrollado, y donde se cumple la condicion de no deslizamiento en la pared de la misma. El regimen

5



del flujo puede se laminar o turbulento. Para el regimen laminar se ha usado el perfil de velocidades parabolicoque se obtiene al integrar las ecuaciones de Navier-Stokes con las condiciones de borde correspondientes. Parael regimen turbulento se ha empleado el perfil de velocidades que sigue una ley de potencia . La tabla 2 presenta

valores caracterısticos de las variables mostradas en la tabla 1.

Tabla 1. Formulas para el flujo en un seccion circular constante.

Variables Laminar Turbulento

Perfil de

Velocidades v = v(r)

v

vmax

=

1−

r

R

2 v

vmax

=

1− r

R

1

n

Velocidad

PromedioU =

1

A A

v.n dA U

vmax

= 1

2

U

vmax

= 2n2

(n + 1)(2n + 1)

Coeficientede Velocidad

αv = 1U 2A

A

v2 dA αv = 43

αv = (n + 1)(2n + 1)2

4 n2 (n + 2)

Coeficiente

de Energıa

Cinetica

αc = 1

U 3A A

v2v.n dA αc = 2 αc = (n + 1)3 (2n + 1)3

4 n4 (n + 3)(2n + 3)

Esfuerzo

Cortante τ (r) = µ

dv

dr

+ τ t τ = 4µU

R

r

R

τ t = 0 τ = τ w

r

R

τ t = ρ vrvz

Esfuerzo

Cortante

en la Pared

τ w = µ dv

drr=R

τ w = 4 µ U

R τ w =

f

8 ρ U 2

Factor de

Friccionf = 4 C f =

4τ w1

2ρ U 2

f = 64

IRe f =

log

IRe

√ f

2.52

2−2≈ 1

n2

Funcion de

DisipacionΦµ(r) = τ

dv

dr

Φµ = 16 µU 2

R2

r

R

Φµ =

τ (τ − τ t )

µ

Coeficiente

de DisipacionC µ =

1

τ w U S A

Φµ dA C µ = 1 C µ ≈ f IRe

64

1−

roR

4

En las tabla 1 y 2 se ha empleado para el esfuerzo cortante τ , en la tuberıa con un flujo turbulento,un valor ofrecido por el factor de friccion f a traves del esfuerzo cortante en la pared τ w. Esto se ha hechoası debido a que el perfil de velocidad que sigue la ley de potencia posee una derivada de la velocidad que esinfinita en la pared de la tuberıa (r = R) y no posee una derivada nula en el eje de la tuberıa (r = 0). El factorde friccion en una tuberıa con estos perfiles se puede correlacionar mediante la correlacion de Colebrook para

tuberıas lisas o mediante la formula simplificada f = 1/n2 cuyos resultados son estimativos de la primeracorrelacion, la cual se supone precisa. La correlacion estimativa fue la que se empleo para obtener los valoresde C µ en la tabla 2, sin incluir la influencia del factor con ro (τ t ≈ τ para r < ro y τ t ≈ 0 para r > ro).

La tabla 2 no presenta los valores de IRe ni de C µ para n = 5, puesto que este valor de n no existefısicamente en regimen turbulento para ningun valor del numero de Reynolds. Obviamente, para este caso

6



tampoco se ha podido obtener el valor de C µ, ya que este depende del numero de Reynolds como se indicaal final de la tabla 1.

Tabla 2. Factores para el flujo promedio en una seccion circular constante.

Laminar Turbulento

IRe < 2×103 4.0×103 1.1×105 3.5×105 106 3.2×106

n 5 6 7 8 9 10

U/vmax 0.500 0.758 0.791 0.817 0.837 0.853 0.866

αv 1.333 1.037 1.027 1.020 1.016 1.013 1.011

αc 2.000 1.106 1.077 1.058 1.046 1.037 1.031

C µ 1 1.736 35.076 85.449 192.901 500.0

Vamos a aplicar las expresiones (20) y (27) para el caso particular de seccion circular constante, conlo cual se obtiene

se

∂U

∂t dl + αv

U 2

2

s

e

+ se

dϕc +

dP c

ρc

= −

se

1

ρc

τ w S A

dl (30)

αv se

∂U

∂t dl +

2

3αc

U 2

2

s

e

+ se

dϕc +

dP c

ρc

= −C µ

se

1

ρc

τ w S

A

dl (31)

donde, debido a que el flujo es incompresible (ρc = ρ = cte), los terminos hidrostatico y de perdidas viscosasson

se

dϕc +

dP cρc

=

ϕc +

P c

ρc

s

e

se

1

ρc

τ w S A

dl =

τ w S LρA (32)

respectivamente. Notese que se ha supuesto que el esfuerzo cortante en la pared τ w es constante a lo largode la tuberıa de longitud L. Esto concuerda con el hecho de que, en una tuberıa de seccion constante conflujo incompresible, el gradiente de presion en la direccion del eje de la tuberıa es constante en la direccionespacial. Esta propiedad tambien se considera igualmente valida para el perfil de velocidades.

Comparando las expresiones (30) y (31) se observa que los coeficiente que afectan a los terminostransitorio, de energıa cinetica y de perdida viscosa no son iguales para una expresion y para la otra, con laexcepcion del termino de energıa cinetica para el regimen laminar, donde si se cumple que αv = 2αc/3. Sin

embargo, para regimen turbulento se tiene que αv ≈ αc ≈ 1. El valor del coeficiente C µ en la expresion (31)coincide con la expresion (30) en el regimen laminar. Sin embargo, difiere enormemente de la unidad en lamedida que el numero de Reynolds aumenta.

Aunque las expresiones (30) o (31), cualquiera de las dos se considere valida, se desarrollaron para elflujo incompresible, se han escrito en la forma expuesta para poderlas usar como un aproximacion del flujocompresible. Esto se justifica si consideramos que localmente el flujo es incompresible en una tuberıa delongitud dL y luego realizamos la integracion a lo largo de la lınea de corriente que recorre los centroides delas superficies normales.

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Teorema de la Divergencia

El teorema de la divergencia aplicado anteriormente se deriva bajo la condicion de que las superficiesson curvadas y poseen una curvatura media κ (considerada positiva si n apunta hacia el centro medio decurvatura y en caso contrario negativa). El teorema de la divergencia en este caso se expresa como

L

η.φ dL =

A

[∇.φ− (∇. n) n.φ ] dA 2κ = −(∇. n) (33)

REFERENCIAS

[1] Bernoulli, D. “Theorema de Motu Curvilineo Corporum, Quæ Resitentiam Patiuntur Velocitatis sueQuadrato Proportionalem”, Comm. Acad. Petrop., Vol.V, 1730/1731, (1738)

[2] Bernoulli, D. Hydrodynamics by Daniel Bernoulli & Hydraulics by Johann Bernoulli. Dover

Publications (New York), 1968.[3] Serrin, J. “Mathematical Principles of Classical Fluid Mechanics”. Encyclopedia of Physics. Ed.

S. Flugge. Vol.VIII/1, pp.125-263. Springer-Verlag, 1959.

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