temperatura

PROBLEMAS RESOLVIDOS DE FÍSICA Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson [email protected] Última atualização: 29/09/2005 11:43 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 2

Capítulo 22 - Temperatura

Problemas

01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES

Problemas Resolvidos 09. Observa-se que objetos quentes ou frios esfriam ou esquentam, respectivamente, para atingir a

temperatura do ambiente. Se a diferença de temperatura ΔT entre o objeto e sua vizinhança(ΔT = Tobj − Tviz) não for grande, a taxa de esfriamento ou aquecimento do objeto será aproximadamente proporcional à diferença de temperatura, isto é, dΔT/dt = −A(ΔT), onde A é uma constante. O sinal menos aparece porque se ΔT for positivo, ele decresce com o tempo e, se for negativo, cresce. Esta é a lei de Newton para o resfriamento. (a) De que fatores A depende? (b) Se no instante t = 0 a diferença de temperatura for ΔT0, mostre que num instante t ela será ΔT = ΔT0 e−At. (Pág. 176)

Solução. (a) A constante A depende da massa, da área superficial e do calor específico do corpo. A unidade de A é s-1. (b) Partindo-se da função fornecida,

TAdt

TdΔ−=

Δ

pode-se rearranjá-la da seguinte forma:

Tddt

Adt Δ=−1 (1)

Integrando-se (1) dentro dos limites apropriados, obtém-se:

∫∫Δ

Δ=Δ=−

T

T

t

tTd

dtdtA

00

10

0lnln TTAt Δ−Δ=−

AteTT −=

ΔΔ

0

Finalmente AteTT −Δ=Δ 0

[Início]

25. O comprimento de uma barra, medido com uma régua de ferro à temperatura ambiente de 20oC,

é de 20,05 cm. A barra e a régua são colocadas em um forno a 270oC e a medida da barra com a régua é agora de 20,11 cm. Calcule o coeficiente de dilatação térmica do material da barra. (Pág. 177)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 22 – Temperatura

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T0

T

L0

L

Régua

Barra

Régua

Barra

Régua

T0

T

T0L’

L’

Para calcular o coeficiente de dilatação da barra, é preciso determinar seu comprimento após a expansão térmica, medindo-a com uma régua que esteja à temperatura T0. No presente caso, o comprimento final da barra foi medido com uma régua à temperatura T, que resultou na medida L’.

T

Régua

Barra

TL’

Como conhecemos o coeficiente de expansão linear da régua, podemos determinar o quanto a régua expandiu. Ou seja, à temperatura T a marca L’ (20,11 cm)da régua coincide com o comprimento da barra. Se a régua for resfriada à temperatura T0, mas a barra não, a régua irá marcar L como sendo o comprimento da barra.

T

L

Barra

Régua T0L’

A expansão térmica da régua é dada por (T0 → T; L’ → L): TLLLL R Δ=−=Δ '' α

)1'(' +Δ= TLLL Rα (1) A expansão térmica da barra é dada por: TLLLL B Δ=−=Δ 00 α

)1( 00 +Δ= TLLL Bα (2)

Igualando-se (1) e (2): )1'(')1( 00 +Δ=+Δ TLLTLL RB αα

)1'('00 +Δ=Δ+ TLLTLL RB αα

0

0)1('TL

LTL RB Δ

−+Δ=

αα (3)

Substituindo-se os numéricos fornecidos em (3): 1o5 C 103002,2 −−×=Bα

1o5 C 103,2 −−×≈Bα

[Início] 28. Uma barra de comprimento L0 = 3,77 m e coeficiente de dilatação térmica 25 × 10−6 por grau C

é fixada em seus extremos e tem uma rachadura em seu centro. Como conseqüência de um aumento de temperatura de 32oC ela se eleva no centro, como mostra a Fig. 15. Determine a elevação x.


3


(Pág. 177)

Solução. O comprimento final da barra é )1(0 TLL Δ+= α (1)

Aplicando-se o teorema de Pitágoras ao triângulo indicado na figura abaixo:

xL/2

L /20

2

022

22⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ L

xL (2)

Resolvendo-se (2) para x e substituindo-se o valor de L dado por (1):

44

)1( 20

2202 LTL

x −Δ+

=α

]1)1[(4

2202 −Δ+= T

Lx α

1)1(2

20 −Δ+= TL

x α (3)

Substituindo-se em (3) os valores numéricos fornecidos: cm 5,7m 07541,0 ≈=x

[Início] 33. A densidade é obtida dividindo-se a massa pelo volume. Como o volume V depende da

temperatura, a densidade ρ também deve depender dela. Mostre que a variação da densidade Δρ com a variação da temperatura ΔT é dada por Δρ = − βρΔT, onde β é o coeficiente de dilatação volumétrica. Explique o sinal menos. (Pág. 178)

Solução. Seja ρ0 a densidade à temperatura T0 e ρ a densidade à temperatura T, definidas por:

0

0 Vm

=ρ

Vm

=ρ

A variação do volume ΔV devida à variação de temperatura ΔT é dada por: TVV Δ=Δ 0β (1) ________________________________________________________________________________________________________ Resnick, Halliday, Krane - Física 2 - 4a Ed. - LTC - 1996. Cap. 22 – Temperatura

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A variação de densidade devida à variação de temperatura será:

0

0

00

)(VV

VVmVm

Vm −

=−=−=Δ ρρρ

00

0 )(VV

VmVV

VVm Δ

−=−

−=Δρ (2)

Substituindo-se (1) em (2):

V

TmVV

TVm Δ

−=Δ

−=Δββ

ρ0

0

TΔ−=Δ ρβρ (3) O sinal negativo em (3) é conseqüência do fato de a uma variação positiva da temperatura resultar numa variação negativa da densidade.

[Início] 41. O pêndulo de um relógio é feito de latão e é projetado para dar o tempo com precisão a 20oC.

Qual será o erro, em segundos por hora, se o relógio funcionar a 0oC? (Pág. 178)

Solução. Considere o seguinte esquema para a situação:

L0

T0

L

T

O erro pedido no problema é a variação observada no período do relógio de pêndulo (ΔP), durante uma hora. Utilizou-se a abreviação P para o período para não confundir com a temperatura T. A variação do período do relógio de pêndulo devida à variação de temperatura ΔT é dada por: (1) 0PPP −=Δ

onde P0, o período do relógio de pêndulo à temperatura T0, e P, o período à temperatura T, são definidos por:

gL

P 00 2π=

gLP π2= (2)

Na equação (2), g é a aceleração local da gravidade. O comprimento da haste do pêndulo, à temperatura T é: )1(0 TLL Δ+= α (3)


)1()1(2)1(

2 000 TPT

gL

gTL

P Δ+=Δ+=Δ+

= ααπα

π (4)


5



)1)1(()1( 000 −Δ+=−Δ+=Δ TPPTPP αα

Em uma hora, o que implica em P0 = 3600 s, o erro será: s 68,0s 68406,0 −≈−=ΔP

O sinal negativo de ΔP significa que houve diminuição no período do relógio que, em uma hora, acumulou 0,68 s. Como uma diminuição no período faz com que o relógio ande mais rápido, a conseqüência é que o relógio vai adiantar 0,68 s em uma hora.

[Início] 45. Três barras retas de alumínio, invar e aço, de mesmo comprimento, formam a 20oC um triângulo

equilátero com articulações nos vértices. A que temperatura o ângulo oposto ao lado de invar será de 59,95o? (Pág. 178)

Solução. Considere o seguinte esquema para a situação:

Al Inv

Aço

L0 L0

L0

LAlLInv

LAço

T0 T

θ

A resolução deste problema é geométrica. Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo à temperatura T: (1) θcos2222

AçoAlAçoAlInv LLLLL −+=

Mas: )1(0 TLL Δ+= α (2)

Substituindo-se a eq. 2 em 1:

θαα

ααα

cos)1()1(2 )1()1()1(

00

220

220

220

TLTLTLTLTL

AçoAl

AçoAlInv

Δ+Δ+−

−Δ++Δ+=Δ+

Eliminando-se L02 e expandindo-se os termos entre parênteses:

)1(cos2)(

21)(21)(2122

22

TTTT

TTTTT

AçoAlAçoAlAço

AçoAlAlInvInv

Δ+Δ+Δ+−Δ+

+Δ++Δ+Δ+=Δ+Δ+

ααααθα

ααααα

Reconhecendo-se que os termos envolvendo α2 são muito menores dos que aqueles envolvendo apenas α, pode-se desprezar os primeiros: )1(cos2212121 TTTTT AçoAlAçoAlInv Δ+Δ+−Δ++Δ+=Δ+ ααθααα

TTTTT AçoAlAçoAlInv Δ−Δ−−Δ++Δ=Δ θαθαθααα cos2cos2cos22122

θθαθαααα cos21coscos −=Δ+Δ+Δ−Δ−Δ TTTTT AçoAlAçoAlInv


6


θθαθαααα cos21)coscos( −=Δ++−− TAçoAlAçoAlInv

)coscos(

cos21

AçoAlAçoAlInv

Tθαθαααα

θ

++−−

−=Δ (3)

Substituindo-se os valores numéricos fornecidos em (3): C 426497,46 o=ΔTPor definição: 0TTT −=Δ

TTT Δ+= 0

C70426497,4620 o≈+=T

[Início]


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temperatura

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