teleinformática e redes i comunicação de dados e representação de sinais analógicos e digitais...

Teleinformática e Redes I

Comunicação de Dados e Representação de Sinais

Analógicos e Digitais

Aula 03

Profa. Priscila Solís Barreto

Bits, números e informação Bit: numero com valor 0 ou 1

n bits: representação digital para 0, 1, … , 2n

Byte ou Octeto, n = 8 Palavra, n = 16, 32, ou 64

n bits permitem a numeração de 2n possibilidades Campo n-bit no cabeçalho Representação de n-bits de uma amostra de voz Mensagem consistente de n bits

O número de bits requeridos para representar uma mensagem é a medida do seu conteúdo de informação Mais bits → Mais conteúdo

Bloco vs. Informação de Stream

Bloco Informação que ocorre

em um único bloco Mensagem de texto Arquivo de dados Imagem JPEG Arquivo MPEG

Tamanho = Bits / bloco

ou bytes/bloco 1 kbyte = 210 bytes 1 Mbyte = 220 bytes 1 Gbyte = 230 bytes

Stream Informação que é

produzida e transmitida continuamente Voz tempo real Streaming vídeo

Taxa de bits= bits / seg 1 kbps = 103 bps 1 Mbps = 106 bps 1 Gbps =109 bps

Receptor

Canal de Comunicação

Transmissor

Visão Abstrata da Transmissão de Dados

Propriedades do canal de comunicação:

Largura de banda

Atraso de propagação e transmissão

Jitter

Perdas/erros

Buffering

Atraso de Transmissão

Uso de compressão para reduzir LUso de modem rápido para aumentar R

Colocar servidor mais próximo para reduzir d

L numero de bits na mensagem R bps velocidade do sistema de transmissão digital L/R tempo para transmitir a informação tprop tempo para que ou sinal se propague através do meio d distancia em metros c velocidade da luz (3x108 m/s não vazío)

Delay = tprop + L/R = d/c + L/R segundos

Compressão Informação normalmente não representada de

forma eficiênte Algoritmos de compressão de dados

Representa a informação usando menos bits Sem ruido: informação original recuperada de forma

exata E.g. zip, compress, GIF, fax

Ruidoso: recuperar informação aproximadamente JPEG Balanço entre # bits e qualidade

Relação da compressão #bits (arquivo orginal) / #bits (arquivo comprimido)

Informação de Stream

Um sinal de voz de tempo real deve ser digitalizado e transmitido conforme é produzido

O nível de um sinal analógico varia continuamente não tempo

Exemplo

CD Largura de banda de 22KHz Cada amostra tem 16bits e ou sinal é amostrado

a 44kamostras/seg Em um sistema stereo (com dois canais):

44.000 amostas/seg * 16 bits/amostra x 2 canais=1.4 Mbps

Uma hora de música = 317 Mbytes de informação

Um sistema de transmissão

Transmissor Converte informação em um sinal adequado para transmissão Injeta energia não meio de comunicacação ou canal

O telefone converte voz em corrente elétrica Modem converte bits em tons

Receptor Recebe energia do méio Converte ou sinal recebido de forma adequada para ser

entregue ao usuário Telefone converte corrente em voz Modem converte tons em bits

Receptor

Canal de comunicação

Transmissor

Problemas de Transmissão

Canal de Comunicação Par de fios de cobre Cabo coaxial Radio Luz em fibra óptica Luz não ar Infravermelho

Problemas na Transmissão Atenuação do sinal Distorção do sinal Ruido Interferencia de outros

sinais

Sinal Transmitido

Sinal Recebido Receptor

Canal de Comunicação

Transmissor

Comunicações de Longa Distância Analógicas

Cada repetidor restaura ou sinal analógico à sua forma original A restauração é imperfeita

Distorção não é completamente eliminada Ruido e interferência são parcialmente removidos

A qualidade do sinal diminui com ou número de repetidores As comunicações são limitadas na distancia Ainda utilizado em sistemas analógicos de TV a cabo Analogia: Copiar uma música usando-se um gravador de fita

Fonte DestinatárioRepetidor

Segmento de transmissão

Repetidor. . .

Na transmissão digital todos os detalhes devem ser reproduzidos

Enviado

Enviado

Recebido

Recebido

• Exemplo: telefonia digial, áudio CD

Na transmissão digital somente níveis discretos devem ser reproduzidos

• Exemplos: AM, FM, TV aberta

Transmissão Analógica versus Digital

Canal de comunicação

d metros

0110101... 0110101...

Fonte Repetidor ReceptorRepetidor

Segmento de Transmissão

Em um canal de comunicação

Sinal atenuado e com distorção +ruído

Equalizador

Sinal recuperado+

Ruído residual

Repetidor

Amp.

Analógico vs. Transmissão Digital

Transmissão analógica : todos os detalhes devem ser produzidos de forma precisa

Enviado

Enviado

Recebido

Recebido

DistorçãoAtenuação

Transmissão Digital : somente níveis discretos devem ser reproduzidos

DistorçãoAtenuação

Receptor simples: O pulso original era positivo ou

negativo?

Comunicações Digitais de Longa Distancia

O regenerador recupera a sequencia original de dados e a transmite não segmento seguinte

Projetado para que a probabilidade de erro seja pequena Cada regeneração é como a primeira vez! Comunicação é possível em distâncias muito longas Sistemas digitais vs. sistemas analógicos

Menos potência, maiores distâncias, menor ou custo do sistema Monitoramento, multiplexação, codificação, encriptação,

protocolos …

Fonte DestinoRegenerador

Segmento de transmissão

Regenerador. . .

Repetidor Digital

AmplifierEqualizer

TimingRecovery

Decision Circuit.& SignalRegenerator

Digitalização de um Sinal Analógico

Amostrar ou sinal analógico em tempo e amplitude Encontrar a aproximação mais próxima

Sinal original

valor amostragem

Aproximação

Rs = Taxa de bits= # bits/amostra x # amostras/seg

3 b

its /

sam

ple

Taxa de bits de um sinal digitalizado

Largura de banda Ws Hertz: a velocidade de variação do sinal Largura de banda mais alta → amostrar mais frequentemente Taxa minima de amostragem = 2 x Ws

Precisão da representação : intervalo de aproximaçào de erro Maior precisão

→ menor espaçamento entre valores de aproximação

→ mais bits por amostra

Exemplo: Voz & Audio

Voz no telefone Ws = 4 kHz → 8000

amostras/sec 8 bits/amostra Rs=8 x 8000 = 64 kbps

Telefones celulares usam algoritmos mais poderosos de : 8-12 kbps

CD Audio Ws = 22 kHertz → 44000

amostras/seg 16 bits/amostra Rs=16 x 44000= 704 kbps

por canal de audio MP3 usa algoritmos mais

poderosos de compressão : 50 kbps por canal de audio

Transmissão de Informação de Stream Taxa constante de bits

Sinais tais como a voz digitalizada produzem um stream estável : e.g. 64 kbps

A rede deve suportar a transmissão estável do sinal, e.g. circuito de 64 kbps

Taxa variável de bits Os sinais tais como vídeo digitalizado produzem

stream que variam na taxa de bits, e.g. de acordo com a movimentação e detalhe na cena

A rede deve suportar taxa de transmissão variável do sinal, e.g. comutação de pacotes ou suavização da taxa com circuito de taxa constante de bits

Qualidade de Serviço de Stream

Problemas na transmissão de rede Atraso: A informação é entregue no tempo

certo? Jitter: A informação é entregue

suficientemente ‘suavizada’? Perda: A informação é entregue sem perdas?

Se ocorrem perdas, a qualidade do sinal é aceitável?

Aplicações e protocolos de aplicação são desenvolvidos para lidar com estes problemas

Digitalização de Sinais Analógicos

1. Amostragem: obter amostras de x(t) em intervalos uniformes de tempo

2. Quantização: mapear cada amostra em um valor de aproximação finita

Pulse Code Modulation: conversa de telefone CD audio

3. Compressão: para diminuir a taxa de bits mais adiante, aplicar um método adicional de compressão

Coding diferencial : conversa telefonia celular Codificação Subband : MP3 audio

Taxa de Amostragem e Largura de Banda Um sinal que varia mais rapidamente precisa ser

amostrada mais frequentemente Largura de Banda mede a velocidade de variação do sinal

Que é a largura de banda de um sinal ? Como se relaciona a largura de banda com a taxa

de amostragem?

1 ms

1 1 1 1 0 0 0 0

. . . . . .

t

x2(t)1 0 1 0 1 0 1 0

. . . . . .

t

1 ms

x1(t)

Canalt t

Aincos 2ft Aoutcos (2ft + (f))

Aout

AinA(f) =

Caraterização do Canal – Domínio da Frequência

1 0 0 0 0 0 0 1

. . . . . .

t

1 ms

O pulso

Canal

t0t

h(t)

td

Caraterização do Canal – Domínio do Tempo

Introdução a Séries de FourierIntrodução a Séries de Fourier

A análise de Fourier foi introduzida em 1822 no trabalho “Théorie analyitique du chaleur” para tratar da solução de problemas de valores na fronteira e na condução do calor.

Mais de século e meio depois as aplicações desta teoría são amplas: Sistemas Lineares, Comunicações, Física moderna, Eletrónica, Óptica, Processamento de Sinais, entre muitas outras.

Funções PeriódicasFunções Periódicas

Uma Função Periódica f(t) tem a seguinte propriedade para todo valor de t.

f(t)=f(t+T)

A constante mínima para a qual se cumpre o anterior é chamado do período da função

Aplicando ciclicamente a propriedade pode-se obter:

f(t)=f(t+nT), onde n=0,1, 2, 3,...

Funções PeriódicasFunções PeriódicasExemplo: ¿Cuál é o período da função

Solução.- Se f(t) é periódica então:

Mas cos(x+2k)=cos(x) para qualquer inteiro k, então para manter a igualdade é necessário que

T/3=2k1, T/4=2k2Ou seja ,

T = 6k1= 8k2onde k1 e k2 são inteiros,

O valor mínimo de T se obtém com k1=4, k2=3, ou seja,T=24

€

f(t) = cos( t3) + cos( t

4 )

€

f(t + T) = cos( t +T3 ) + cos( t +T

4 )

€

=f(t) = cos( t3) + cos( t

4 )


Gráfico da função

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24

T€


4 )

Funções PeriódicasFunções PeriódicasPoderíamos pensar que qualquer soma de funções seno e coseno produz uma função periódica.

Isto não é assim, por exemplo, consideremos a função

f(t) = cos(1t)+cos(2t).Para que seja periódica precisamos encontrar dois inteiros m, n tais que

1T= 2m, 2T=2nonde

Ou seja, a relação 1/ 2 deve ser um número racional.

€

1

ω2

=m

n

Series de Fourier. 32


Exemplo: a função cos(3t)+cos(+3)t não é periódica, já que não é um número racional.

€

1

ω2

=3

3 +π

0 5 10 15 20 25 30-2

-1

0

1

2f(t)=cos(3t)+cos((3+pi)t)

t

f(t)


Tarefa 1 : Encontrar o período das seguintes funções, se é que são periódicas:

1) f(t) = sen(nt), onde n é um inteiro.

2) f(t)= sen2(2t)

3) f(t)= sen(t)+sen(t+)

4) f(t)= sen(1t)+cos(2t)

5) f(t)= sen(2 t)

Série Trigonométrica de FourierSérie Trigonométrica de Fourier

Algumas funções periódicas f(t) de período T podem expresar-se pela seguinte série, chamada Série Trigonométrica de Fourier

f(t) = ½ a0 + a1cos(0t)+a2cos(20t)+...

+ b1sen(0t)+b2sen(20t)+...

onde 0=2/T.

e,

])tn(senb)tncos(a[a)t(f1n

0n0n021


É possível escrever de uma maneira ligeramente diferente a Série de Fourier, se observamos que o termo ancos(n0t)+bnsen(n0t) se pode escrever como

Podemos encontrar uma maneira mais compacta para expressar estes coeficiêntes pensando em um triângulo rectângulo:

€

an2 +bn

2 anan

2 +bn2

cos(nω0t) +bnan

2 +bn2sen(nω0t)

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟


Dessa forma, temos que :€

anan

2 +bn2

= cosθ n

bnan

2 +bn2

= senθ nan

bn

2n

2nn baC

n

)tn(sensen)tncos(cosC 0n0nn

)tncos(C n0n


Se também definimos C0=a0/2, a série de Fourier pode-se escrever como

Assim,

e

1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

2n

2nn baC

n

n1n a

btan


Tarefa 2:

Definir adecuadamente os coeficiêntes C0, Cn e n, de maneira que a série de Fourier se possa escrever como

€

f (t) =C0 + Cn sen(nω0t +θ n )[ ]n=1

∞

∑

Componentes e harmônicosComponentes e harmônicos

Assim, uma função periódica f(t) se pode escrever como a soma de componentes sinusoides de diferentes frequências n=n0.

A componente sinusoide de frequência n0: Cncos(n0t+n) é chamada de n-éssimo harmônico de f(t).

O primero harmônico (n=1) é o componente fundamental e seu período é o mesmo que o de f(t)

A frequência 0=2f0=2/T é a frequência angular fundamental.


A componente de frequência zero C0, é ou componente de corrente direta (cd) e corresponde ao valor médio f(t) em cada período.

Os coeficiêntes Cn e os ángulos n são respectivamente as amplitudes e os ángulos de fase dos harmônicos.



Exemplo: A função

Como foi mostrado tem um período T=24, sua frequência fundamental é 0=1/12 rad/seg.

Componente fundamental é da forma:

0*cos(t/12).

Terceiro harmônico:

cos(3t/12)=cos(t/4)

Quarto harmônico:

Cos(4t/12)=cos(t/3)

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24

€


4 )



Exemplo: Como pode-se ver, a função anterior tem tantas partes positivas como negativas, então seu componente de cd é zero, em vez

0 50 100 150 200-3

-2

-1

0

1

2

3

f(t)=1+cos(t/3)+cos(t/4)

t

f(t)

24

€

f(t) =1+ cos( t3) + cos( t

4 )

Têm tantas partes

acima como abaixo de 1 então, seu

componente de cd é 1.


Tarefa 3

Qual é a componente fundamental, de harmônicos diferentes de zero e o componente DC direta de

a) f(t) = sen2t

b) f(t) = cos2t ?

Mostrar o gráfico das funções e marcar nelas o período fundamental e o componente de cd.

ortogonalidade de senos e cosenosortogonalidade de senos e cosenos

Um conjunto de funções fk(t) são ortogonais no intervalo a<t<b se duas funções fm(t), fn(t) de tal conjunto cumprem

nmparar

nmpara0dt(t)(t)ff

n

b

anm


ortogonalidade de senos e cosenosortogonalidade de senos e cosenos

Exemplo: as funções t e t2 são ortogonais no intervalo –1< t <1, pois

Exemplo: As funções sen t e cos t são ortogonais no intervalo –/2< t </2, pois

€

tt 2dt−1

1

∫ = t 3dt−1

1

∫ =t 4

4

1

−1

= 0

€

sentcostdt−π

π

∫ =sen2t

2

π

−π

= 0

Cálculo dos coeficiêntes da sérieCálculo dos coeficiêntes da série

Dada uma função periódica f(t), como se calcula a série de Fourier?

O primeiro passo é calcular os coeficiêntes a0,a1,a2,...,b1,b2,... e considerando a ortogonalidade das funções seno e coseno, o processo pode ficar simplificado.

€

f (t) = 12 a0 + [an cos(nω0t) +bnsen(nω0t)

n=1

∞

∑ ]

Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da Série

Multiplicando ambos lados por cos(n0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtemos:

Similarmente, multiplicando por sen(n0t) e integrando de –T/2 a T/2, obtemos:

Similarmente, integrando de –T/2 a T/2, obtemos:

€

an = 2T f (t)cos(nω0t)dt

−T / 2

T / 2

∫ n = 0,1,2,3,...

€

bn = 2T f (t)sen(nω0t)dt

−T / 2

T / 2

∫ n =1,2,3,...

€

a0 = 2T f (t)dt

−T / 2

T / 2

∫


O intervalo de integração não precisa ser simêtrico respeito à origem.

Como a ortogonalidade das funções seno e coseno não só acontece no intervalo de –T/2 a T/2, se não em qualquer intervalo que cobre um período completo:

(de t0 a t0+T, com t0 arbitrário)

as fórmulas anteriores podem calcularse em qualquer intervalo que cumpra este requisito.


Cálculo de os coeficiêntes da SérieCálculo de os coeficiêntes da Série

Exemplo: Encontrar a Série de Fourier para a seguinte função de período T:

Solução: A expressão para f(t) em –T/2<t<T/2 é

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

2T

2T

t0para1

0tpara1)t(f


Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da SérieCoeficiêntes an:

2/T

2/T0T

2n dt)tncos()t(fa

2/T

00

0

2/T0T

2 dt)tncos(dt)tncos(

0

2/T

002/T

0

00

T2 )tn(sen

n

1)tn(sen

n

1

0npara0


Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da SérieCoeficiênte a0:

€

a0 = 2T f (t)dt

−T / 2

T / 2

∫

€

= 2T −dt

−T / 2

0

∫ + dt0

T / 2

∫ ⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

= 2T −t

0

−T / 2

+ tT / 2

0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

0


Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da SérieCoeficiêntes bn:

€

bn = 2T f (t)sen(nω0t)dt

−T / 2

T / 2

∫

€

= 2T −sen(nω0t)dt

−T / 2

0

∫ + sen(nω0t)dt0

T / 2

∫ ⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

= 2T

1

nω0

cos(nω0t)0

−T / 2

−1

nω0

cos(nω0t)T / 2

0

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

€

1

nπ(1− cos(nπ )) − (cos(nπ ) −1)[ ]

€

=2

nπ1− (−1)n )[ ] para n ≠ 0


Cálculo dos coeficiêntes da SérieCálculo dos coeficiêntes da SérieSérie de Fourier: Finalmente a Série de Fourier fica assim:

Na figura seguinte são mostrados o componente fundamental e os harmônicos 3, 5 e 7 assim como a soma parcial destes primeros quatro térmos da série para 0=, ou seja , T=2:

...)t5(sen)t3(sen)t(sen4

)t(f 051

031

0


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Componentes da Série de Fourier

t

Co

mp

on

ente

s

Sumafundamentaltercer harmônicoquinto harmônicoseptimo harmônico


Tarefa 4 : Encontrar a série de Fourier para o seguinte sinal senoidal retificado de meia onda de período 2.

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal rectificada de media onda

t

f(t)

Funções Pares e ímparesFunções Pares e ímparesUma função (periódica ou não) é função par (ou com simetría par) se seu gráfico é simêtrico respeito ao eixo vertical, i. e. , a função f(t) é par se f(t) = f(-t)

f(t)

t

Funções Pares e ímparesFunções Pares e ímpares

De forma similar, uma função f(t) é função ímpar ou com simetría ímpar, se seu gráfico é simêtrico respeito à origem, ou seja, se cumpre ou seguinte: -f(t) = f(-t)

f(t)

t



Exemplo: Que funções são pares ou ímpares? f(t) = t+1/tg(t) = 1/(t2+1), Solução:Como f(-t) = -t-1/t = -f(t), então f(t) é função ímpar.Como g(-t)=1/((-t)2+1) = 1/(t2+1)=g(t), então g(t) é função par.



Exemplo: A função h(t)=f(1+t2) é par ou ímpar?, onde f é uma função arbitraria.Solução:Sea g(t)= 1+t2, então h(t)=f(g(t))Ou seja h(-t) = f(g(-t)),Mas g(-t)=1+(-t)2 = 1+t2=g(t),finalmente h(-t)=f(g(t))=h(t), então h(t) é função par, sem importar como seja f(t).



Exemplo: De acordo com o exemplo anterior, todas as siguientes funções são pares:h(t) = sen (1+t2)h(t) = exp(1+t2)+5/ (1+t2)h(t) = cos (2+t2)+1h(t) = (10+t2)-(1+t2)1/2etc...Pois todas tem a forma f(1+t2)


Como a função sen(n0t) é uma função ímpar para todo n0 e a função cos(n0t) é uma função par para todo n, é de esperar que:

Si f(t) é par, sua série de Fourier não tera termos seno, então bn= 0 para todo n

Si f(t) é ímpar, sua série de Fourier não terá termos coseno, então an= 0 para todo n



Por exemplo, o sinal quadrado, analisado previamente :

É uma função ímpar, pois sua série de Fourier não contem termos coseno:

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

€

f (t) =4

πsen(ω0t) + 1

3 sen(3ω0t) + 15 sen(5ω0t) + ...[ ]

Simetría de Meia OndaSimetría de Meia Onda

Uma função periódica de período T é simêtrica de meia onda, se cumpre a propriedade

Ou seja, se no seu gráfico as partes negativas são um reflexo das positivas mas deslocadas meio período:

)t(f)Tt(f 21

f(t)

t


Simetría de Quarto de OndaSimetría de Quarto de Onda

Se uma função tem simetría de meia onda e também é função par ou ímpar, podemos dizer que tem simetría de quarto de onda par ou ímparExemplo: Função com simetría ímpar de quarto de onda:

f(t)

t



Exemplo: Função com simetría par de quarto de onda:

f(t)

t


Tarefa 5:

Que tipo de simetría tem o seguinte sinal de voltagem?

f(t)

t

Simetrías e coeficiêntes de FourierSimetrías e coeficiêntes de Fourier

Simetría coeficiêntesFunções na

série

Nenhuma

Senos e cosenos

Par bn=0

únicamente cosenos

ímpar an=0únicamente

senos

meia onda

Senos e cosenos ímpares

2/

0

04 )cos()(

T

Tn dttntfa

2/

0

04 )()(

T

Tn dttnsentfb

imparndttntf

parn

aT

Tn

2/

0

04 )cos()(

0

imparndttnsentf

parn

bT

Tn

2/

0

04 )()(

0

2/

2/

02 )cos()(

T

TTn dttntfa

2/

2/

02 )()(

T

TTn dttnsentfb

Simetrías e coeficiêntes de FourierSimetrías e coeficiêntes de Fourier

Simetría coeficiêntesFunções na série

NenhumaSenos e cosenos

¼ de onda par

an=0 (n par)

bn=0Só

cosenos ímpares

¼ de onda ímpar

an=0

bn=0 (n par)só

senos ímpares

2/

2/

02 )cos()(

T

TTn dttntfa

2/

2/

02 )()(

T

TTn dttnsentfb

)(

)cos()(4/

0

08

imparn

dttntfaT

Tn

)(

)()(4/

0

08

imparn

dttnsentfbT

Tn


Simetrías e coeficiêntes de FourierSimetrías e coeficiêntes de FourierPor exemplo, o sinal quadrado, já analisado em um exemplo prévio:

É uma função com simetría de ¼ de onda ímpar, então a sua série de Fourier só contém termos seno de frequência ímpar:

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

...)t5(sen)t3(sen)t(sen4

)t(f 051

031

0

Fenômeno de GibbsFenômeno de Gibbs

Se a série de Fourier para uma função f(t) se trunca para alcançar uma aproximação em soma finita de senos e cosenos, é natural pensar que a medida que agreguemos mais harmônicos, a somatoria se aproximará mais a f(t).


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 1 armónico

1 harmônico


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5 Serie con 3 armónicos

3 harmônicos


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


5 harmônicos


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


7 harmônicos


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


15 harmônicos


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


50 harmônicos


-1 -0.5 0 0.5 1-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1


100 harmônicos

Forma Complexa da Série de Forma Complexa da Série de FourierFourier

Consideremos a série de Fourier para uma função periódica f(t), com período T=2/0.

É possível obter uma forma alternativa usando as fórmulas de Euler:

onde

€

f (t) = 12 a0 + [an cos(nω0t) +bnsen(nω0t)

n=1

∞

∑ ]

€

cos(nω0t) = 12 (e jnω 0t + e− jnω 0t )

sen(nω0t) = 12 j (e

jnω 0t − e− jnω 0t )

1j

Forma Complexa da Série de FourierForma Complexa da Série de Fourier

Fazendo a substituição:

E sabendo que 1/j=-j

definimos:

O que é coerente com a equação para bn, pois b-n=-bn, dado que a função seno é ímpar.

€

f (t) = 12 a0 + [an

12 (e jnω 0t + e− jnω 0t ) +bn

12 j (e

jnω 0t − e− jnω 0t )n=1

∞

∑ ]

€

f (t) = 12 a0 + [ 1

2 (an − jbn )ejnω 0t + 1

2 (an + jbn )e− jnω 0t

n=1

∞

∑ ]

€

c0 = 12 a0, cn = 1

2 (an − jbn ), c−n = 12 (an + jbn )


A série pode-se escrever como

Ou,

Então,

€

f (t) = c0 + (cnejnω 0t + c−ne

− jnω 0t

n=1

∞

∑ )

€

f (t) = c0 + cnejnω 0t

n=1

∞

∑ + cnejnω 0t

n=−1

−∞

∑

€

f (t) = cnejnω 0t

n=−∞

∞

∑

Forma Complexa da Série de FourierForma Complexa da Série de FourierA expressão obtida

É a forma Complexa da série de Fourier e seus coeficiêntes cn podem obter-se a partir dos coeficiêntes an, bn, ou:

Para n=0, 1, 2, 3, ...

€

cn = 1T f (t)e− jnω 0tdt

0

T

∫€

f (t) = cnejnω 0t

n=−∞

∞

∑


Os coeficiêntes cn são números complexos, e também podem-se escrever em forma polar:

Obviamente,

onde ,

Para tudo n0,

Para n=0, c0 é um número real:

€

cn = cn ejφ n

€

c−n = cn* = cn e

− jφ n

€

cn = 12 an

2 +bn2

€

n = arctan(−bnan

)

€

c0 = 12 a0


Exemplo. Encontrar a forma complexa da série de Fourier para a função:

Solução 1. Os coeficiêntes na forma trigonomêtrica (an e bn):

an=0 para tudo ne

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

€

bn = 2nπ [1 − (−1)n ] para tudo n

Forma Complexa de a Série de FourierForma Complexa de a Série de Fourier

Podemos calcular os coeficiêntes cn de:

Então a Série Complexa de Fourier fica€

cn = 12 [an − jbn ] = − j 1

22nπ [1− (−1)n ]

€

cn = − j 1nπ [1− (−1)n ]

€

f (t) = 2π j(...+

15 e

− j5ω 0t + 13 e

− j 3ω 0t + e− jω 0t

− e jω 0t − 13 e

j 3ω 0t − 15 e

j 5ω 0t − ...)


Forma Complexa de a Série de FourierForma Complexa de a Série de FourierSolução 2. Também podemos calcular os coeficiêntes cn mediante a integral

€

cn = 1T f (t)e− jnω 0tdt

0

T

∫

€

= 1T ( e− jnω 0tdt

0

T / 2

∫ + −e− jnω 0tdtT / 2

T

∫ )

€

= 1T ( 1

− jnω oe− jnω 0t

T / 2

0

− 1− jnω o

e− jnω 0tT

T / 2

)

€

= 1− jnω oT

[(e− jnω 0T / 2 −1) − (e− jnω 0T − e− jnω 0T / 2)]


Forma Complexa de a Série de FourierForma Complexa de a Série de FourierComo 0T=2 e temos

o qual coincide com o resultado já obtido.

€

e± jθ = cosθ ± jsenθ

€

cn = 1− jnω oT

[(−1)n −1) − (1− (−1)n )]

€

=−j 2nω oT

[1− (−1)n ]

€

=−j 1nπ [1− (−1)n ]

Forma Complexa da Série de FourierForma Complexa da Série de FourierTarefa 6: Calcular os coeficiêntes cn para a seguinte função de período 2.l A partir dos coeficiêntes an,bn

l Diretamente da integral

-6 -4 -2 0 2 4 6-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Senoidal retificada de meia onda

t

f(t)

Espectros de Frequência DiscretaEspectros de Frequência Discreta

O gráfico da magnitud dos coeficiêntes cn contra a frequência angular da componente correspondente é o espectro de amplitude de f(t).

O gráfico do ángulo de fase n dos coeficiêntes cn contra , é o espectro de fase de f(t).

Como n só tem valores inteiros, a frequência angular =n0 é uma variable discreta e os espectros mencionados são gráficos discretos.


Dada uma função periódica f(t), lhe corresponde uma e somente uma série de Fourier, i. e. um conjunto único de coeficiêntes cn.

Por isso, os coeficiêntes cn especifican a f(t) no domínio da frequência da mesma maneira que f(t) especifica a função no domínio do tempo.



Exemplo. Para a função já analisada:

Encontramos

Então,

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

€

cn = − j 1nπ [1− (−1)n ]

€

cn = 1n π [1− (−1)n ]


O espectro de amplitude:

O eixo horizontal é um eixo de frequência, (n=número de harmônico = múltiplo de 0).

-30 -20 -10 0 10 20 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7Espectro de Amplitude de f(t)

n

Cn

Frequência negativa (?) Frequência


Tarefa 7 :

Desenhar o espectro de amplitude para a função senoidal retificada de ½ onda.

Potência e Teorema de ParsevalPotência e Teorema de Parseval

O valor médio de um sinal qualquer f(t) em um período (T) pode-se calcular como a altura de um rectângulo que tenha a mesma área que a área abaixo da curva de f(t)

1f(t)

t

h=Alturamédia

T

0

dt)t(fArea

T

Area=Th


Pelo anterior, se a função periódica f(t) representa um sinal de voltagem ou corrente, a potencia média entregue a uma carga resistiva de 1 ohm em um período está dada por

Se f(t) é periódica, também será [f(t)]2 e o valor médio em um período será o valor médio em qualquer outro período.€

1T [ f (t)]2dt

−T / 2

T / 2

∫


O teorema de Parseval nos permite calcular a integral de [f(t)]2 mediante os coeficiêntes com-plexos cn de Fourier da função periódica f(t):

Ou também, em termos dos coeficiêntes an, bn:

€

1T [ f (t)]2dt

−T / 2

T / 2

∫ = cn2

n=−∞

∞

∑

€

1T [ f (t)]2dt

−T / 2

T / 2

∫ = 14 a0

2 + 12 (an

2 +bn2)

n=1

∞

∑


Uma consequência importante do teorema de Parseval é o seguinte resultado:

O valor quadrático médio de uma função periódica f(t) é igual à soma dos valores quadráticos médios de seus harmônicos,

onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e C0 é o componente DC.€

1T [ f (t)]2dt

−T / 2

T / 2

∫ =C02 +

Cn2

2

n=1

∞

∑


No resultado anterior é conveniente encontrar a relação entre os coeficiêntes complexos cn da série

E os coeficiêntes reais Cn da série

onde Cn é a amplitude do n-ésimo harmônico e C0 é o componente DC.

n

tjnn

0ec)t(f

1n

n0n0 )tncos(CC)t(f

Potencia e Teorema de ParsevalPotencia e Teorema de Parseval

Por um lado

E

Então, e,

E para o harmônico Seu valor rms é então seu valor quadrático medio é

Para a componente DC C0, seu valor rms é C0, então seu valor quadrático médio será C02.

,baC 2n

2nn

€

cn = 12 an

2 +bn2

€

cn = 12Cn

€

cn2

= 14 Cn

2

€

fn (t) =Cn cos(nω0t −θ n )[ ]

€

Cn / 2

€

Cn2 /2



Exemplo. Calcular ou valor quadrático médio da função f(t):

Solução. Do teorema de Parseval

e do exemplo anterior

então

1f(t)

t. . . -T/2

0

T/2 T . . .

-1

€

1T [ f (t)]2dt

−T / 2

T / 2

∫ = cn2

n=−∞

∞

∑

€

cn = 1n π [1− (−1)n ]

€

cn2

n=−∞

∞

∑ =8

π 2 1+1

9+

1

25+

1

49+ ...

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥



A série numérica obtida converge a

então,

Como era de esperarse.Então, que significa essa convergência ?

€

1+1

9+

1

25+

1

49+ ... =1.2337

€

1T [ f (t)]2dt

−T / 2

T / 2

∫ = cn2

n=−∞

∞

∑ =8

π 2 (1.2337) =1


Tarefa 8

Calcular o valor quadrático médio para o sinal senoidal retificado de meia onda de período 2.

Para que serve a relação entre a potência média de um sinal periódico com os seus coeficiêntes de Fourier ?

Exemplo Determinar as linhas espectrais para a função

periódica f(t), dada por um trem de pulsos retangulares de amplitude 1 e de duração d=

0.05 s, cujo período é de T=0,25 s

-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Exemplo

Esta função pode ser modelada matematicamente por:

T/2td/2-d/2,tT/2- se 0

d/2td/2- se 1)t(f

ExemploAplicando-se a definição dos coeficientes complexos da

série de Fourier, tem-se que:

xonde

T

dnsinc

T

d

TdnTdn

sin

T

dc

AssimTd

n

dnsin

T

d

dnj

ee

T

dee

jnT

jn

e

Tdte

Tdtetf

Tc

n

djn

djnd

jnd

jn

d

d

d

d

tjntjn

T

T

tjnn

x)sin(sinc(x) ),

.(.

..

)..

(

:,2

mas

2

)2

(

2..2

1.

1

1.1

1).(

1

0

0

0

0

22)2

(2

0

2

2

2

20

2

2

00

00

0

00

Exemplo Aplicando as condições do problema,

onde T=0,25 s e d=0,2 s, tem-se que

.2,0.n

)2,0.n(sin2,0cn

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

As tarefas 1 a 8

Devem ser feitas em grupo para praticar.

Espectro & Largura de Banda

Espectro de um sinal : magnitude das amplitudes como função da frequência

x1(t) varia mais rápido não tempo e tem conteúdo mais alto de frequencia que x2(t)

A largura de banda Ws é definida como ou intervalo de frequencias em que ou sinal tem uma potencia significante, ou seja, ou intervalo da banda que contém 99% da potencia total do sinal

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42

frequency (kHz)

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42

frequency (kHz)

Espectro de x1(t)

Espectro de x2(t)

teleinformática e redes i comunicação de dados e representação de sinais analógicos e digitais...

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