tÉcnicas alternativas de monitoramento e controle...

III Jornada de Iniciação Científica - 2007

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TÉCNICAS ALTERNATIVAS DE MONITORAMENTO E CONTROLE

ESTATÍSTICO DE PROCESSOS AOS GRÁFICOS DE CONTROLE DE

SHEWHART

Rodrigo Rodenburg Magalhães (IC) e Raquel Cymrot (Orientadora)

Apoio: PIVIC Mackenzie

Resumo

A forma mais eficiente, para se detectar mudanças na média de alguma variável de interesse de

um processo de produção, é obtida mediante a utilização das cartas de controle estatístico.

Quando se deseja detectar pequenas mudanças na média, a carta tradicional de Shewhart pode

ser pouco eficaz, uma vez que não costuma detectar mudanças inferiores à ordem de 1,5 vezes o

desvio padrão do processo. A fim de melhorar o desempenho destas cartas de controle, outros

critérios podem ser acrescentados às cartas de Shewhart, como por exemplo, testes para

seqüências e uso de limites de alerta. A utilização destas regras adicionais pode, porém, reduzir o

comprimento médio da seqüência quando o processo está sob controle, sendo, portanto, não

recomendável. Cartas de controle alternativas, como o gráfico de controle de soma cumulativa

(CUSUM) e o gráfico de controle de média móvel exponencialmente ponderada (EWMA), foram

desenvolvidas e mostraram-se bastante ágeis na detecção de pequenas alterações na média de

uma variável de interesse. A utilização destes gráficos também é vantajosa no caso em que se

têm observações individuais, situação esta que torna impossível a estimação da variabilidade da

variável em estudo dentro do subgrupo racional. Foram realizadas simulações através das quais

se puderam constatar a eficiência e as vantagens de um método sobre o outro. A melhor escolha

da carta de controle a ser utilizada é de significativa importância, já que a velocidade e precisão na

identificação de qualquer anomalia em processos são fatores decisivos para aperfeiçoá-los.

Palavras chave: cartas de controle; CUSUM; EWMA

Abstract

The most efficient form of detecting changes in some interest variable mean in a production

process is obtained by using the statistic control charts. Whenever small changes in the mean are

wished to be found, Shewhart traditional chart may have little efficacy, once is not used to detect

changes less then an order of 1.5 times the process standard deviation. Aiming at improving the

control chart performance, other criteria may be added to Shewhart chart, such as sequence tests

and use of warning limits. The additional rules utilization may, however, reduce the mean sequence

length when the process is under control, it being, therefore, not advisable. Alternative control

charts, like the Cumulative Sum control chart (CUSUM) and the Exponentially Weighed Moving

Average control chart (EWMA) were developed and proved to be very agile in detecting small

alterations in an interest variable mean. Using these charts is also very advantageous in case of

individual observation, and under such situation, estimating the variable variability within its rational

group becomes unfeasible. Simulations were done whereby the efficiency and advantages of each

method could be verified. It is very important to make the best control chart choice, once the

velocity and accuracy in detecting any anomaly in the processes are decisive factors to improve it.

Key words: Control charts, CUSUM, EWMA

Universidade Presbiteriana Mackenzie

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1 INTRODUÇÃO

Até a revolução industrial, os processos produtivos eram realizados por

famílias de artesões. A qualidade do produto final era de responsabilidade do

artesão e a satisfação do cliente final trazia retorno imediato através de maiores

vendas e prestígio na sociedade.

Com o advento da industrialização, as tarefas de produção foram divididas

entre vários operários. A qualidade final só era detectada depois de pronto o

produto, muitas vezes já em posse do consumidor.

Falhas detectadas depois de encerrado o processo de produção, causam

um maior prejuízo, uma vez que aumentam o número de itens necessitados de

retrabalho, aumentam o número de refugos e obrigam o produtor a trabalhar com

um estoque bem maior. É importante salientar que um problema na qualidade,

detectado pelo consumidor, pode vir a causar a perda de boa imagem do

fabricante, trazendo muitas vezes prejuízos irreversíveis.

A obtenção da qualidade desejada ou até mesmo a superação desta meta

é um fator diferencial para a empresa, levando a uma melhor competitividade e

tendo como conseqüência a manutenção desta empresa no mercado e um

crescimento na rentabilidade do negócio (ALVES, 2003b).

Segundo Montgomery (2004), uma definição para qualidade é que esta é

inversamente proporcional à variabilidade.

O controle estatístico de processos (CEP) auxilia a distinguir as causas

especiais de variabilidade do processo, que ocorrem de forma esporádica das

causas comuns de variabilidade e tem enorme papel não só na detecção de

possíveis causas de anomalias no processo, bem como na percepção de

possíveis medidas que tragam benefícios em relação à qualidade do produto

final. O controle estatístico de processo não é apenas um detector de problemas.

É uma ferramenta importante para o aperfeiçoamento contínuo do processo de

produção.

Devido a estas características, o controle estatístico do processo tem sido

muito utilizado por parte da indústria nacional. Apenas para citar um exemplo,

Martins (2003) cita sua utilização na indústria brasileira de eletrodomésticos,

linha branca.


3

Com a utilização do CEP verifica-se a estabilidade do processo de

produção, isto é, sua previsibilidade. Uma vez constatada a estabilidade do

processo pode-se analisar sua capacidade em atender às especificações do

mercado. O nível de capacidade do processo é parâmetro exigido em diversos

contratos de compra da produção. Quando o processo está sob controle com as

condições de operação mantidas tão uniformes quanto possível, tais amostras

são denominadas subgrupos racionais (ALVES, 2003a).

O conhecimento sobre o processo determina o intervalo entre as

amostragens e o tamanho de cada sub-grupo racional amostrado. Deseja-se ter

ao mesmo tempo uma alta probabilidade de detecção das causas de possíveis

anomalias no processo e uma baixa probabilidade de falsos positivos, isto é, de

se detectar um problema que na realidade não existe. Além disso, a velocidade

de detecção de mudanças no comportamento do processo é uma característica

importantíssima, uma vez que possibilita a tomada de ações corretivas, evitando

maiores prejuízos. O objetivo é a manutenção do processo sob controle, isto é,

com desempenho adequado e previsível. (RAMOS, 2002)

Em 1931, Shewhart publicou os fundamentos do Controle Estatístico de

Processos, através da construção de cartas de controle para variáveis e

atributos. Tais cartas apresentavam limites de controle dentro dos quais

poderiam ocorrer variações aleatórias, de modo que, pontos fora destes limites

indicassem a possibilidade de existência de causas especiais, interferindo no

processo de produção (MOTGOMERY, 2004). Nestas cartas só é levada em

consideração a informação relativa ao último ponto coletado. Os limites de

controle são definidos em função de um tamanho de amostra n, fixo e pré-

estabelecido, a ser inspecionado a cada intervalo de tempo t. Esta amostra de

tamanho n deve constituir um subgrupo racional, isto é, supõe-se que haja

condições relativamente homogêneas dentro deste subgrupo, sendo que as

variações ocorrem apenas devido a causas comuns, que são naturalmente parte

do processo.

Pequenas mudanças no processo são difíceis de serem detectadas

através da utilização das cartas de Shewhart. Outras técnicas foram então

desenvolvidas a fim de detectar mudanças na média do processo inferiores a 1,5

σ, sendo σ o desvio padrão da variável controlada no processo de produção ou

se detectar pequenas variações na variabilidade do processo. Estas técnicas


4

levam em conta as informações obtidas através das medidas realizadas durante

todo o processo e não somente a última medida realizada. Duas destas técnicas

são o gráfico de controle da soma cumulativa (do inglês, Cumulative Sum,

CUSUM) e o gráfico de controle de média móvel exponencialmente ponderada

(do inglês, Exponentially Weighted Moving Average, EWMA).

1.1 Objetivos

Este trabalho teve como objetivo apresentar uma revisão da literatura

sobre as cartas de controle CUSUM e EWMA apresentando suas vantagens e

desvantagens em relação às cartas de controle de Shewhart e às cartas de

controle de Shewhart modificada.

Foram realizadas simulações utilizando conjuntos de dados nos quais

houve uma modificação na média da distribuição de probabilidades durante a

geração destes dados e construídas cartas de controle de Shewhart, de

Shewhart com modificação, CUSUM e EWMA. O objetivo destas simulações foi

comparar o desempenho destas cartas de controle e realizar uma análise crítica

de quando cada uma delas deve ser utilizada.

1.2 Justificativa

Quando o tamanho do subgrupo racional utilizado for igual a um, não há

como ser estimada a variabilidade da variável em estudo dentro deste subgrupo

racional. Esta situação ocorre, por exemplo,quando for utilizada uma tecnologia

de inspeção e medição automática e toda unidade fabricada é inspecionada,

quando a unidade observada tiver alto custo e o experimento realizado para

analisar a variável a ser controlada for destrutivo, quando a taxa de produção for

muito lenta. Neste caso, utiliza-se nas cartas de Shewhart, a amplitude móvel de

duas observações consecutivas para estimar tal variabilidade. Em tal situação os

gráficos de controle da soma cumulativa e da média móvel exponencialmente

ponderada são alternativas mais apropriadas, especialmente quando há um

pequeno deslocamento da média ou da variabilidade do processo.

Levando-se em conta a realidade da indústria eletroeletrônica, na qual a

qualidade é fator essencial para o sucesso da empresa, tem-se que pequenas


5

variações no processo de produção devem ser rapidamente detectadas e

medidas que levem a melhoria do produto precisam ser prontamente

implantadas. Os gráficos de CUSUM e EWMA estudados neste projeto

propiciam a obtenção destes objetivos de forma mais rápida e precisa quando

comparados com a carta de controle de Shewhart. Simulações realizadas neste

trabalho comprovam tais afirmações.

REFERENCIAL TEÓRICO

As cartas de controle de Shewhart foram construídas supondo que a

variável em estudo tem uma distribuição aproximadamente Normal. Construindo-

se um intervalo, em geral com 99,73% de confiança (com 3 σ para cada lado),

obtêm-se os limites superior e inferior de controle. A fuga da suposição de

normalidade, especialmente em cartas com medidas individuais, em geral,

tornam as cartas de Shewhart inadequadas.

Para se estimar os parâmetros µ e σ devem-se coletar amostras

preliminares, cada uma contendo n observações da característica de qualidade

em estudo. Sendo as cartas de CUSUM e EWMA preferencialmente utilizadas

quando há só uma medida em cada sub-grupo racional, este artigo utilizará, para

comparação, as cartas de controle para dados individuais (x) e amplitude (R).

Neste caso, os limites de controle para o gráfico de dados individuais são:

REXd

RXLICX 2

2

3−=−= (1)

REXd

RXLSCX 2

2

3+=+= (2)

RDRd

dR

d

dRLICR 3

2

3

2

3 313 =

−=

−= , se D3 > 0. (3)

Se D3 ≤ 0, não existirá LICR.

RDRd

dR

d

dRLSCR 4

2

3

2

3 313 =

+=

+= (4)


6

Os fatores E2, d2, d3 , D3 e D4 são tabelados e podem ser encontrados em

Ramos (2002).

A amplitude é calculada pelo módulo da diferença de cada observação em

relação à observação posterior. Ter-se-á, portanto, uma medida a menos que no

total de dados coletados. Pode-se também achar a amplitude de cada três

dados, cada quatro dados, etc. Os grupos de dados selecionados constituirão os

grupos móveis no cálculo da amplitude. E2 é um fator que varia com o tamanho

da amostra eR é a média das amplitudes móveis.

Segundo ALVES (2003a) deve-se tomar cuidado ao interpretar o gráfico

de amplitude móvel, pois as amplitudes são correlacionadas e tal correlação

pode induzir uma forma de seqüências ou ciclos no gráfico. Montgomery (2004)

chega a recomendar que não se utilize o gráfico de amplitude móvel, pois este

gráfico não fornece informação segura sobre mudança na variabilidade do

processo.

Segundo Montgomery e Runger (2003), quando é possível especificar

valores para a média e para o desvio padrão do processo, podem-se utilizar tais

valores padrões ou de referência na construção dos gráficos de x e R.

As cartas tradicionais de Shewhart têm como único critério de estabilidade

do processo, o ponto cair fora dos limites de controle, ignorando quaisquer

informações fornecidas pela seqüência de pontos. Tal característica torna as

cartas de Shewhart pouco sensíveis a pequenas mudanças no processo. Com

relação à média são consideradas pequenas as mudanças em que o

deslocamento é inferior a 1,5 σ (MONTGOMERY, 2004). Para corrigir tal falha a

indústria adotou vários critérios complementares, porém, fora complicarem sua

utilização, podem levar a um “super- controle” aumentando drasticamente o

número de falsos positivos, isto é, a aumentando a probabilidade da carta

detectar que o processo sofreu alteração quando, na realidade, isto não ocorreu.

Neste trabalho serão adotados dois critérios adicionais, muito utilizados

nas indústrias nacionais, a saber: não haver sete pontos consecutivos acima ou

abaixo da média e não haver sete pontos consecutivos subindo ou descendo,

tanto para o gráfico das medidas individuais como para o gráfico das amplitudes.

Para ilustrar uma carta de Shewhart, foram geradas 30 observações a

partir de uma distribuição Normal com média igual a dez e desvio padrão igual a

um. As próximas 20 observações foram geradas a partir de uma distribuição


7

Normal com média igual a onze e mesmo desvio padrão igual a um. Para gerar a

carta de Shewhart foram utilizados os valores especificados igual a 10 para a

média e 1 para o desvio padrão. Os dados gerados estão apresentados na

tabela 1 a seguir e o gráfico 1 apresenta a carta de Shewhart para a série de

dados da tabela 1.

Tabela 1 Valor das 50 observações geradas

11,73 9,13 9,16 9,41 11,20 9,13 10,83 9,84 11,54 12,5711,87 9,60 10,33 11,56 8,36 11,19 11,18 11,67 10,19 10,608,93 10,28 10,67 9,79 9,61 10,69 10,32 11,18 11,84 8,409,76 10,06 9,59 11,32 8,85 8,85 11,94 11,46 13,41 10,2910,63 10,06 10,45 10,93 10,62 10,17 10,74 11,41 10,42 11,28

Observa-se que embora a mudança na média do processo tenha ocorrido

na observação número 31, a carta detectou esta mudança somente na

observação 43, quando da utilização dos três critérios da carta de Shewhart

modificada e somente na observação número 44, quando da utilização da carta

de Shewhart.

Gráfico 1

Carta de Shewhart para as 50 observações geradas

Uma medida muito importante de análise das cartas de controle é o

comprimento médio da corrida (do inglês Average run length, ARL) que é o

número esperado de pontos plotados até que um ponto indique uma condição

fora de contole. Seja p a probabilidade de que, em uma carta de Shewhart, um


8

ponto caia fora dos limites de controle. Baseado na distribuição geométrica

prova-se que:

p

ARL1

= (5)

Como a carta tradicional de Shewhart é construída com 3 desvios padrões

acima e abaixo da média, têm-se p = 0,0027 e ARL = 370,37.

Outros tipos de cartas de controle foram desenvolvidos. Page (1954) foi

quem primeiro propôs o uso das cartas de controle de soma acumulada

(CUSUM).

A carta CUSUM leva em conta o valor de todas as observações,

trabalhando com somas cumulativas e tem sua utilização particularmente

aconselhável quando o tamanho do subgrupo, n, é igual a um. A carta detecta

mais rapidamente pequenas mudanças. Seu uso permite, portanto, um controle

mais rigoroso do processo tornando possível ao analista mantê-lo centrado no

seu valor nominal (ALVES, 2003a).

A carta de CUSUM pode ser realizada através de um procedimento

tabular ou de um procedimento denominado Máscara V.

No procedimento tabular é utilizado um algoritmo para cálculo de somas

acumuladas unilaterais que são comparadas com um valor H a fim de determinar

se o processo está sob controle.

Seja:

0)( 0

1

0 =−=∑=

CexCi

j

ji µ (6)

A tabela 2 apresenta os cinco primeiros valores de Ci para os 50 dados

gerados.

Tabela 2 Valores de xi e de Ci para as cinco primeiras observações geradas

Amostra xi xi - 10 Ci = (xi - 10) + C i - 11 11,73 1,73 1,732 11,87 1,87 3,603 8,93 -1,07 2,534 9,76 -0,24 2,305 10,63 0,63 2,92

O gráfico 2 apresenta a carta CUSUM para as 50 observações geradas.


9

Gráfico 2

Carta CUSUM para as 50 observações geradas

A carta CUSUM não é uma carta de controle, pois não existem limites

estatísticos de controle. No geral uma mudança na média do processo será

observada por uma mudança na inclinação da carta CUSUM. Além disto, a carta

também indica o número de observações relevantes para a determinação desta

mudança (EDWAN, 1963). Note que a partir da observação 31 ocorre uma

mudança na inclinação da carta CUSUM.

Neste trabalho todas as amostras têm tamanho igual a um e o desvio

padrão do processo, σ, é conhecido. Seja xi a i-ésima observação do processo.

Se o processo está sob controle X ~ N( µo ; σ2 ). Pode-se encarar µo como o

valor alvo para a característica X. Sejam:

Ci+ = max [ 0 , xi – (µ0 + k) + Ci-1

+ ] (7)

Ci- = max [ 0 , (µ0 – k) – xi + Ci-1

- ] (8)

, com C0+ = C0

- = 0 e k um valor de referência, geralmente metade da distância

entre o objetivo µ0 e o valor da média fora de controle µ1 = µ0 + δσ , isto é:

22

01 µµσ

δ −==k

(9)

Tanto Ci+ como Ci

- ao tornarem-se negativos passam a assumir o valor

igual a zero. Se Ci+ ou Ci

- excederem o intervalo de decisão H, o processo é

considerado fora de controle. Segundo Montgomery (2003), um valor

aconselhável para H é 4σ ou 5σ.


10

Na tabela 3 é apresentado o algoritmo CUSUM e o gráfico 3 exibe o seu

gráfico. Para os dados gerados, adotou=se k = 0,5 e H = 5.

Gráfico 3

Carta CUSUM para as 50 observações geradas

As quantidades k, Ci+, Ci

-, N+ e N- podem ser usadas para estimar a nova

média do processo, a fim de se poder dimensionar a ação a ser feita no mesmo

de modo a trazê-lo de volta para o alvo µ0.


11

Tabela 3 Algoritmo do CUSUM para procedimento tabular

período observação xi - 10,5 Ci+ N+

9,5 -xi Ci- N -

1 11,73 1,23 1,23 1 -2,23 0,00 02 11,87 1,37 2,60 2 -2,37 0,00 03 8,93 -1,57 1,03 3 0,57 0,57 14 9,76 -0,74 0,30 4 -0,26 0,31 25 10,63 0,13 0,42 5 -1,13 0,00 06 9,13 -1,37 0,00 0 0,37 0,37 17 9,60 -0,90 0,00 0 -0,10 0,27 28 10,28 -0,22 0,00 0 -0,78 0,00 09 10,06 -0,44 0,00 0 -0,56 0,00 010 10,06 -0,44 0,00 0 -0,56 0,00 011 9,16 -1,34 0,00 0 0,34 0,34 112 10,33 -0,17 0,00 0 -0,83 0,00 013 10,67 0,17 0,17 1 -1,17 0,00 014 9,59 -0,91 0,00 0 -0,09 0,00 015 10,45 -0,05 0,00 0 -0,95 0,00 016 9,41 -1,09 0,00 0 0,09 0,09 117 11,56 1,06 1,06 1 -2,06 0,00 018 9,79 -0,71 0,35 2 -0,29 0,00 019 11,32 0,82 1,17 3 -1,82 0,00 020 10,93 0,43 1,60 4 -1,43 0,00 021 11,20 0,70 2,30 5 -1,70 0,00 022 8,36 -2,14 0,16 6 1,14 1,14 123 9,61 -0,89 0,00 0 -0,11 1,03 224 8,85 -1,65 0,00 0 0,65 1,68 325 10,62 0,12 0,12 0 -1,12 0,56 426 9,13 -1,37 0,00 0 0,37 0,94 527 11,19 0,69 0,69 1 -1,69 0,00 028 10,69 0,19 0,88 2 -1,19 0,00 029 8,85 -1,65 0,00 0 0,65 0,65 130 10,17 -0,33 0,00 0 -0,67 0,00 031 10,83 0,33 0,33 1 -1,33 0,00 032 11,18 0,68 1,01 2 -1,68 0,00 033 10,32 -0,18 0,83 3 -0,82 0,00 034 11,94 1,44 2,27 4 -2,44 0,00 035 10,74 0,24 2,51 5 -1,24 0,00 036 9,84 -0,66 1,85 6 -0,34 0,00 037 11,67 1,17 3,02 7 -2,17 0,00 038 11,18 0,68 3,70 8 -1,68 0,00 039 11,46 0,96 4,65 9 -1,96 0,00 040 11,41 0,91 5,56 10 -1,91 0,00 041 11,54 1,04 6,60 11 -2,04 0,00 042 10,19 -0,31 6,29 12 -0,69 0,00 043 11,84 1,34 7,63 13 -2,34 0,00 044 13,41 2,91 10,55 14 -3,91 0,00 045 10,42 -0,08 10,46 15 -0,92 0,00 046 12,57 2,07 12,53 16 -3,07 0,00 047 10,60 0,10 12,63 17 -1,10 0,00 048 8,40 -2,10 10,52 18 1,10 1,10 149 10,29 -0,21 10,31 19 -0,79 0,32 250 11,28 0,78 11,09 20 -1,78 0,00 0

CUSUM superior CUSUM inferior

Estima-se:

HCseN

Ck i

i >++= ++

+

0ˆ µµ (10)

HCseN

Ck i

i >−−= −−

−

0ˆ µµ (11)

As escolhas de k e H influenciam a eficiência da carta de controle

CUSUM.


12

Para n = 40, Ci+ = 5,56 > 5 logo o processo saiu de controle. Como N+ =10

temos que o processo estava pela última vez sob controle no período 30 = 40 –

10.

Pode-se estimar para quanto foi a média do processo através de (10).

056,1110

56,55,00,10ˆ 40

0 =++=++=+

+

N

Ckµµ

Note que a estimativa da nova média chegou bem perto do novo valor que

é igual a 11.

Gan (1991), em seu artigo An Optimal design of CUSUM Quality Control

Charts, apresenta gráficos que auxiliam na implementação dos quatro passos

para a obtenção do modelo ótimo de carta de controle CUSUM por ele

propostos, a saber: Selecionar o menor valor aceitável de ARL; decidir qual o

menor deslocamento na média para o qual é importante uma rápida detecção.

Selecionar o k que produz o mínimo ARL para o deslocamento selecionado;

determinar H tal que a carta CUSUM produza o ARL anteriormente escolhido e

fazer uma análise de sensibilidade comparando o ARL para o k e H selecionados

com outras escolhas de k e H que produzam o mesmo ARL. Se o ARL para o

deslocamento mínimo escolhido for muito grande, aumentar o tamanho da

amostra. Neste mesmo artigo, Gan (1991) diz concordar com muitos outros

autores quando sugere como melhor opção para k o valor da metade do menor

deslocamento na média para o qual é importante uma rápida detecção.

Em 1982, Lucas e Crosier propuseram que os valores de C0+ e C0

- não

fossem nulos e sim iguais a um outro valor, em geral H/2. Tal procedimento foi

denominado uso de resposta rápida inicial ou headstart. Quando o processo está

sob controle em seu início, a utilização de um headstart será inócua, porém,

quando o processo já começar fora de controle, o uso do headstart aumenta a

rapidez com que o problema é detectado, diminuindo seu ARL. Tal propriedade

fica clara no resultado das simulações apresentadas por estes autores.

Em 1981 Hawkins sugeriu um procedimento tabular do CUSUM para ser

utilizado no controle da variabilidade do processo, quando as observações são

individuais. Ele foi motivado em seus estudos pela necessidade de que em muitas

aplicações industriais este controle é muito importante. Seja yi o valor padronizado

da observação xi. Hawkins (1981) sugeriu o uso da estatística apresentada em


13

(12) quando a média µ0 é desconhecida e a estatística apresentada em (13)

quando a média µ0 é conhecida.

σ

1−−= ii

i

xxy (12)

σµ0−

= ii

xy (13)

Seja vi definido segundo a equação (14).

349,0

822,0|| −= i

i

yv (14)

Montgomery (2004) afirma que a estatística vi é sensível tanto a

mudanças na média como a mudanças na variância. Tem-se:

Si+ = max [ 0 , vi – k + S i-1

+ ] (15)

Si- = max [ 0 , – k – vi + S i-1

- ] (16)

, com S0+ = S0

- = 0 e com os valores k e H selecionados como no CUSUM para o

controle da média do processo. Hawkins (1981) sugere o uso de k = 0,25 e H = 6.

O procedimento de Máscara V se aplica aos valores Ci da soma dos

valores das observações padronizadas. Seja yi conforme a equação (13). Tem-

se:

∑=

−+==i

j

iiii CyyC1

1 (17)

O gráfico 4 mostra uma máscara V típica. O processo de decisão consiste

em colocar a máscara V sob o gráfico das somas Ci, com o ponto O sobre o

último valor de Ci e a linha OP paralela ao eixo horizontal. Se todos os pontos

anteriores a Ci se localizarem dentro dos dois braços da máscara, o processo

estará sob controle. O desempenho da máscara V depende das escolhas de d e

do ângulo θ. Existe equivalência entre os procedimentos tabular e máscara V se

k = A tanθ e H = A d tan θ, com A igual a escala unitária do eixo y

(MONTGOMERY, 2004).

Montgomery (2004), entretanto, desaconselha o uso da máscara V

citando entre outros problemas a dificuldade de uso em cartas unilaterais, a

impossibilidade de se utilizar algo equivalente ao headstart, a dificuldade de

interpretação e a ambigüidade associada aos erros tipo I (α) e erro tipo II (β).


14

Gráfico 4 Máscara V típica

Fonte MONTGOMERY (2004, p. 267)

Outro tipo de carta a ser estudada é o gráfico de controle da média móvel

exponencialmente ponderada (do inglês, Exponentially Weighted Moving

Average, EWMA) que foi introduzido por Roberts (1959). Segundo Hunter

(1986), a carta de EWMA teve sua origem em trabalhos de econometria. Ela é

útil tanto para o controle da qualidade de itens manufaturados como no controle

da qualidade em processos contínuos de produção. A carta EWMA é fácil de ser

plotada, é fácil de ser interpretada e seus limites de controle são facilmente

calculados.

O procedimento da carta EWMA é baseado em médias móveis

geométricas. Seja:

1)1( −−+= iii zxz λλ (18)

, com 0 < λ ≤ 1 constante e o valor inicial z0 igual a µ0 (alvo do processo) ou z0 =

x .

Segue que:

∑−

=− −+−=

1

0

0)1()1(i

j

i

ji

j

i zxz λλλ (19)

Os pesos dados a uma observação decrescem geometricamente com a

distância entre esta observação e a observação atual. No caso em que há uma

observação por vez, Borror, Montgomery e Runger (1999) concluíram que a

carta de controle para média móvel exponencialmente ponderada é robusta à

suposição de normalidade.

Segundo Montogomery (2004), os limites das cartas de controle são

dados por:


15

])1(1[)2(

2

0

iLLIC λλ

λσµ −−

−−= (20)

])1(1[)2(

2

0

iLLSC λλ

λσµ −−

−+= (21)

que se aproximarão assintoticamente para os valores a seguir, quando o gráfico

já está rodando por vários períodos de tempo.

)2(

0 λλ

σµ−

−= LLIC (22)

)2(

0 λλ

σµ−

+= LLSC (23)

Montgomery (2004) recomenda que enquanto o processo estiver no

começo, se use os limites exatos de controle.

Para ilustrar a construção desta carta será utilizado novamente o conjunto

de dados no qual houve um deslocamento da média de um desvio padrão, a

partir da 31ª observação. A tabela 4 mostra os valores de zi para 1 ≤ i ≤ 5,

utilizando λ = 0,1 e o gráfico 5 mostra a carta EWMA construída. Para a

construção da carta EWMA adotou-se λ = 0,1 e L = 2,7, conforme recomendação

de Montgomery (2004).

Tabela 4

Cinco primeiros valores de zi para construção da carta EWMA, com λ = 0,1. observação xi zi

1 11,73 10,1732 11,87 10,3433 8,93 10,2024 9,76 10,1585 10,63 10,205

Crowder (1987) propôs um método simples para estimar o comprimento

médio das seqüências e o desvio padrão do comprimento das seqüências,

assumindo distribuição Normal para o comprimento das seqüências. O

procedimento foi estendido para alguns casos de não normalidade. Em 1989 o

mesmo autor revisa os procedimentos para utilizar a carta de EWMA e apresenta

gráficos tais que haja uma identificação rápida dos parâmetros ótimos para esta

carta (CROWDER, 1989). Montgomery (2004) propõe o uso de λ ente 0,05 e

0,25. Este autor sugere que se utilizem valores menores de λ quando o objetivo


16

for detectar pequenas mudanças na média do processo. Quando λ é pequeno é

sugerido o uso de L entre 2,6 e 2,8 ao invés de se usar L = 3,0.

Gráfico 5

Carta EWMA para as 50 observações geradas

Rhoads, Montgomery e Mastrangelo (1996) propuseram do uso de uma

resposta inicial rápida para a carta EWMA de forma similar a que Lucas e

Crosier (1982) fizeram para a carta CUSUM.

Para controlar a variabilidade de um processo, Crowder e Hamilton (1992)

mostraram que a carta de média móvel exponencialmente ponderada baseada

na transformação log da variância amostral é superior às cartas de controle de

Shewhart. MacGregor e Harris (1993) propuseram a utilização da carta de

variância móvel exponencialmente ponderada (EWMV) e da carta de variância

média exponencialmente ponderada (EWMS) a fim de monitorar vários tipos de

variabilidade em processos contínuos. Estas cartas são especialmente úteis no

controle de cartas para observações individuais e para observações

autocorrelacionadas que são variações da carta EWMA para controle do desvio

padrão do processo.

METODOLOGIA

Foram gerados quatro conjuntos de cem amostras de tamanho cinqüenta.

Cada valor foi gerado a partir de uma distribuição Normal. Para cada amostra os

trinta primeiros números foram gerados a partir de uma distribuição Normal com


17

média 10,0 e desvio padrão 1,0. Para os vinte últimos números variou-se a

média, mantendo-se o mesmo desvio padrão. Nos quatro conjuntos de dados, as

médias foram respectivamente modificadas para 10,5; 11,0; 11,5 e 12,0

correspondendo respectivamente a mudanças na média de 0,5; 1,0; 1,5 e 2,0

desvios padrões.

Para cada amostra foram construídas as cartas de controle de Shewhart,

CUSUM e EWMA. Para os quatro conjuntos de dados com médias a partir da

31º observação iguais a 10,5; 11,0; 11,5 e 12,0 adotaram-se nas cartas CUSUM,

H = 5 e k respectivamente iguais a 0,25; 0,50; 0,75 e 1,00 e nas cartas EWMA, L

= 2,7 e λ respectivamente iguais a 0,05; 0,10; 0,10 e 0,10. Foram gerados ao

todo 1200 cartas de controle sendo 400 de cada tipo (Shewhart, CUSUM e

EWMA).

Para a carta de Shewhart modificada adotaram-se três critérios de

estabilidade do processo, a saber: não ter ponto fora dos limites de controle, não

ter sete pontos seguidos subindo ou descendo e não ter sete pontos seguidos

acima ou abaixo da média, tanto para o gráfico de X como para o gráfico das

amplitudes. Para análise da carta de Shewhart adotou-se só o primeiro critério.

Para todas as cartas de controle, foi anotada em que observação foi

detectada, pela primeira vez, a ocorrência de mudança na média, após este fato

ter realmente ocorrido, isto é após a 30ª observação.

Como houve amostras em que as mudanças não foram detectadas até o

instante 50, optou-se por utilizar o teste não paramétrico de Friedman para

comparar se, em média, as quatro cartas apontaram a ocorrência de mudança

na média do processo em uma mesma observação. Como houve empates nos

postos atribuídos em uma mesma amostra, foi utilizado o teste não paramétrico

de Friedman com ajustes. Quando o teste apontou para diferenças nestas

médias, testaram-se, par a par, as hipóteses de igualdade entre as médias do

número das observações em que os gráficos detectaram a mudança ocorrida

(CONOVER, 1999). Para melhor visualização, foram construídos os gráficos de

Boxplot para os quatro tipos de cartas de controle, com marcação das médias,

para as observações em que pela primeira vez, após a 30º observação, as

cartas detectaram a mudança ocorrida.

Todas as cartas foram analisadas quanto ao fato de terem sinalizado ou

não pelo menos um falso positivo, isto é, alguma alteração antes da 31ª


18

observação, quando esta ainda não havia ocorrido. Para comparar se a

proporção de falsos alarmes foi igual para os quatro tipos de cartas de controle

foi realizado o teste Q de Cochran. Para testar se cada par de tipos de cartas de

controle tem a mesma probabilidade de falsos alarmes foram realizados testes

não paramétricos de McNemar (CONOVER, 1999). Para melhor visualização

foram construídos gráficos de setor para o número de falsos positivos em cada

tipo de carta.

Todas as hipóteses foram testadas utilizando um nível de significância α

igual a 0,05. Para cada teste foi calculado seu nível descritivo (P) e conclusões

foram tiradas a cerca da significância das hipóteses testadas.

As análises estatísticas foram realizadas no Laboratório de Simulação da

Escola de Engenharia da Universidade Presbiteriana Mackenzie, com a

utilização do software estatístico MINITAB. Tal programa foi utilizado na geração

das amostras, na construção das cartas de controle, na construção de gráficos

de setor, boxplot e na realização de alguns testes não paramétricos.

RESULTADOS E DISCUSSÃO

Para os quatro conjuntos, os dados foram coletados segundo a tabela 5.

Esta tabela, do conjunto de dados no qual a média se deslocou em 1 desvio

padrão, será apresentada somente com as primeiras cinco linhas.

Tabela 5 Primeiro alerta efetivo e primeiro falso positivo para cada tipo de carta de controle

observação Shewhart Shewhart mod. CUSUM soma contador EWMA Shewhart Shewhart mod. CUSUM EWMA1 37 37 33 5,00 3 37 27 8 0 02 100 47 45 5,89 15 44 0 29 0 03 100 34 49 5,13 9 47 0 0 0 04 43 31 38 6,68 8 38 6 6 0 05 100 37 35 5,29 5 50 0 24 0 0

1º alerta Falso positivo

A Tabela 6 mostra em cada conjunto de dados com médias modificadas

respectivamente para 10,5; 11,0; 11,5; e 12,0, para os quatro tipos das cartas de

controle, a soma dos postos atribuídos ao número das observações nas quais

houve a detecção da mudança da média a partir do momento em que esta

realmente ocorreu.


19

Tabela 6 Soma dos postos para cada tipo de carta de controle em cada conjunto de dados.

Carta de controle nova média = 10,5 nova média = 11,0 nova média = 11,5 nova média = 12,0Shewhart 314,0 346,5 295,5 254,5Shewhart modificada 213,0 222,0 198,5 191,0CUSUM 172,5 220,0 280,0 319,0EWMA 300,5 211,5 226,0 235,5

Para testar a hipótese H0 de que, em média, o número das observações

nas quais os quatro tipos de carta de controle detectaram a mudança ocorrida na

média do processo são iguais, foi realizado o teste ajustado de Friedman e

calculada a estatística T2 que tem distribuição de Fisher com graus de liberdade

3 (nº de tipos de carta de controle – 1) e 297 ((nº de amostras – 1) x (nº de tipos

de carta de controle – 1)). Ao nível de significância de 5% a região crítica é: R.C.

= {T2 | T2 ≥ 2,6350}. Quando a hipótese é rejeitada, afirma-se que, em média, os

postos médios atribuídos ao número das observações em que os quatro tipos de

carta de controle detectaram a mudança ocorrida na média do processo não são

iguais. Para os quatro conjuntos de dados, com média modificada em 0,5; 1,0;

1,5; e 2,0 desvios padrões, os valores de T2 foram respectivamente iguais a

62,4481 (P = 2,48E–31), 42,7146 (P = 5,61E–23), 18,5947 (P = 4,42E–11) e

29,3510 (P = 1,20E –16).

Pode-se, portanto, concluir ao nível de significância de 5% que as cartas

de controle não são todas iguais quanto ao número da observação que, em

média, detectam a mudança ocorrida na média do processo.

Foram testados, então, todos os contrastes dois a dois. Considera-se que

dois tipos de carta de controle não detectam a mudança ocorrida em média no

mesmo momento se o valor absoluto da diferença da soma de seus postos

exceder um determinado valor que é calculado em função dos postos obtidos, do

número de variáveis (tipos de cartas de controle), do número de respostas e do

valor t297;2,5% da distribuição t de Student. Para os quatro conjuntos de dados,

com média modificada em 0,5; 1,0; 1,5; e 2,0 desvios padrões, o valor máximo

foi respectivamente igual a 24,08; 27,46; 29,33 e 27,30.

As tabelas 7 e 8 apresentam os contrastes realizados, a diferença

absoluta das soma dos postos, o nível descritivo P de cada teste e a conclusão

obtida ao nível de significância de 5% para os quatro conjuntos de dados.


20

Tabela 7 Contrastes entre os tipos de cartas de controle Shewhart (1), Shewhart modificada (2), CUSUM (3) e EWMA (4), diferença absoluta entre as soma de postos, nível descritivo e conclusão obtida

com modificações nas médias de 0,5 e 1,0 desvios padrões.

Contrastes Diferença P Conclusão Diferença P Conclusãoabsoluta absoluta

(1) e (2) 101,0 7,31E-09 rejeita-se H0 124,50 1,55E-09 rejeita-se H0


(1) e (4) 13,5 2,80E-01 não se rejeita H0 135,00 2,88E-10 rejeita-se H0

(2) e (3) 40,5 2,65E-03 rejeita-se H0 2,00 8,87E-01 não se rejeita H0



nova média = 10,5 nova média = 11,0

Tabela 8 Contrastes entre os tipos de cartas de controle Shewhart (1), Shewhart modificada (2), CUSUM (3) e EWMA (4), diferença absoluta entre as soma de postos, nível descritivo e conclusão obtida com

modificações nas médias de 1,5 e 2,0 desvios padrões.

Contrastes Diferença P Conclusão Diferença P Conclusãoabsoluta absoluta








O gráfico 6 apresenta um conjunto de gráficos boxplot com os postos

médios marcados para cada carta. O boxplot apresenta o menor valor que não é

uma observação discrepante, o primeiro quartil, a mediana, o terceiro quartil e o

maior valor que não é observação discrepante, dando uma visão tanto das

medidas de posição, como da variabilidade envolvida.

Para testar a hipótese H0 de que as proporções de algum falso positivo

são as mesmas para os quatro tipos de carta foi utilizado o teste Q de Cochran.

A tabela 9 mostra as proporções com que cada tipo de carta de controle

detectou uma mudança na média do processo quando esta ainda não tinha

ocorrido (falso positivo).

A estatística Q tem distribuição Quiquadrado com 3 com graus de

liberdade (nº de tipos de carta de controle – 1). Ao nível de significância de 5% a

região crítica é: R.C. = {χ2 | χ2 ≥ 7,815}. Para os quatro conjuntos de dados, com

média modificada em 0,5; 1,0; 1,5; e 2,0 desvios padrões, os valores de Q foram

respectivamente iguais a 73,8700 (P = 6,33E–16), 119,9321 (P = 7,98E–26),


21

121,4043 (P = 3,85E–26) e 125,3750 (P = 5,37E –27). Ao nível de significância

de 5%, rejeitou-se H0 para os quatro conjuntos de dados e afirma-se que as

proporções de pelo menos um falso positivo não são iguais para os quatro tipos

de cartas.

Gráfico 6 Gráficos de boxplot para os quatro tipos de carta de controle com modificações nas médias de

0,5, 1,0, 1,5 e 2,0 desvios padrões

Tabela 9 Proporção de falso positivo para os quatro tipos de cartas de controle, com modificações nas

médias de 0,5, 1,0, 1,5 e 2,0 desvios padrões

Carta de controle nova média = 10,5 nova média = 11,0 nova média = 11,5 nova média = 12,0Shewhart 0,24 0,26 0,25 0,25Shewhart modificada 0,62 0,62 0,55 0,56CUSUM 0,29 0,04 0,00 0,00EWMA 0,12 0,05 0,04 0,03

Probabilidade de falso positivo

Para testar se as probabilidades de pelo menos um falso positivo para

cada par de cartas de controle são iguais foram realizados testes de McNemar.

Os resultados destes testes estão apresentados nas tabelas 10 e 11.


22

Tabela 10 Contrastes entre as proporções de falsos positivos para os quatro tipos de cartas de controle Shewhart (1), Shewhart modificada (2), CUSUM (3) e EWMA (4), estatística para o teste de

McNemar, nível descritivo do teste realizado e conclusão obtida com modificações nas médias de 0,5 e 1,0 desvios padrões.

Contrastes Estatística P Conclusão Estatística P Conclusãode McNemar de McNemar

p1 e p2 38,000 7,07E-10 rejeita-se H0 38,000 7,07E-10 rejeita-se H0p1 e p3 0,806 3,69E-01 não se rejeita H0 16,133 5,90E-05 rejeita-se H0p1 e p4 5,000 1,69E-02 rejeita-se H0 3,000 4,92E-05 rejeita-se H0p2 e p3 10,000 1,57E-03 rejeita-se H0 54,258 1,76E-13 rejeita-se H0p2 e p4 43,103 5,19E-11 rejeita-se H0 55,068 1,16E-13 rejeita-se H0p3 e p4 2,000 2,21E-04 rejeita-se H0 4,000 1,00E+00 não se rejeita H0

nova média = 11,0nova média = 10,5

Tabela 11 Contrastes entre as proporções de falsos positivos para os quatro tipos de cartas de controle Shewhart (1), Shewhart modificada (2), CUSUM (3) e EWMA (4), estatística para o teste de

McNemar, nível descritivo do teste realizado e conclusão obtida com modificações nas médias de 1,5 e 2,0 desvios padrões.

Contrastes Estatística P Conclusão Estatística P Conclusãode McNemar de McNemar

p1 e p2 30,000 4,32E-08 rejeita-se H0 31,000 2,58E-08 rejeita-se H0





p3 e p4 4,000 1,25E-01 não se rejeita H0 3,000 6,25E-01 não se rejeita H0


O gráfico 7 apresenta um conjunto de gráficos de setor para a

porcentagem de pelo menos um falso positivo para cada carta para os quatro

conjuntos de dados estudados.

No que se refere à detecção de mudanças na média, para um

deslocamento na média de 0,5 desvio padrão, a melhor carta de controle foi a

CUSUM (apresentou menor posto médio), seguida pela carta de Shewhart

modificada. As cartas de Shewhart e EWMA foram as piores cartas em termos

de detectar as mudanças ocorridas e tiveram desempenho estatisticamente

iguais. Com relação à probabilidade de ocorrência de pelo menos um falso

positivo a carta EWMA foi a melhor. As cartas CUSUM e Shewhart tiveram

desempenho estatisticamente equivalentes e a carta de Shewhart modificada foi

a que teve pior desempenho.


23

Gráfico 7

Gráficos de setor das porcentagens de pelo menos um falso positivo para os quatro tipos de carta de controle com modificações nas médias de 0,5, 1,0, 1,5 e 2,0 desvios padrões

No que se refere à detecção de mudanças na média, para um

deslocamento na média de 1,0 desvio padrão, as cartas de controle CUSUM,

EWMA e Shewhart modificada foram seguida pela carta de Shewhart

modificada. As cartas de Shewhart e EWMA tiveram desempenho

estatisticamente iguais. A carta de Shewhart modificada foi a pior carta em

termos de detectar as mudanças ocorridas. Com relação à probabilidade de

ocorrência de pelo menos um falso positivo as cartas CUSUM e EWMA foram as

melhores, apresentando uma probabilidade muito pequena de falsos positivos. A

carta de Shewhart teve um desempenho pior e a carta de Shewhart modificada

foi a que teve um desempenho realmente muito ruim (62% de cartas com pelo

menos um falso positivo).

Este padrão de comportamento das cartas de controle em relação à

probabilidade de pelo menos um falso positivo se repetiu tanto para um

deslocamento na média de 1,5 desvios padrões, como para um deslocamento na

média de 2,0 desvios padrões. Já no que se refere à detecção de mudanças na

média, para um deslocamento na média de 1,5 desvio padrão, as melhores


24

cartas foram a de Shewhat modificada e a EWMA. As cartas de Shewhat

modificada e a EWMA tiveram desempenho estatisticamente iguais, assim como

as cartas CUSUM e de Shewhart. Com relação a um deslocamento na média de

2,0 desvios padrões, a melhor carta foi novamente a Shewhat modificada. As

cartas CUSUM, e Shewhart tiveram desempenho estatisticamente iguais e a

carta EWMA foi a que apresentou pior desempenho.

CONCLUSÃO

As cartas de Shewhart modificadas apresentaram para todos os valores

de deslocamento da média, sempre probabilidades altíssimas de apresentar pelo

menos um falso positivo. Esta conclusão se torna ainda mais importante se

levado em conta que neste estudo, usaram-se apenas dois critérios adicionais

para a estabilidade do processo, a saber: não haver sete pontos seguidos

subindo ou descendo e não haver sete pontos seguidos acima ou abaixo da

média. Na prática, muitas indústrias utilizam ainda mais critérios adicionais para

a verificação de estabilidade do processo, aumentando consequentemente ainda

mais as probabilidades de se parar o processo sem motivo e de se perder uma

grande quantidade de tempo e recursos procurando uma causa especial que de

fato não existe. Um número excessivo de falsos alarmes provoca ajustes

desnecessários, levando a uma perda de confiança na ferramenta de cartas de

controle, causando prejuízos na produção.

Quando o deslocamento da média foi pequeno, da ordem de 0,5 desvio

padrão, a carta CUSUM foi a que teve melhor desempenho, levando em conta

tanto à velocidade de detecção das mudanças como a probabilidade de

apresentar pelo menos um falso positivo. Para deslocamentos da ordem de 1,0

desvio padrão as cartas CUSUM e EWMA foram as que apresentaram melhor

desempenho.

Para um deslocamento da ordem de 1,5 desvio padrão a carta EWMA foi

a que teve melhor desempenho, levando em conta tanto à velocidade de

detecção das mudanças como a probabilidade de apresentar pelo menos um

falso positivo. Quando o deslocamento foi maior, da ordem de 2,0 desvios

padrões, a carta de Shewhart já dá mostras de melhora em seu desempenho.


25

Vale ressaltar que os desempenhos das cartas CUSUM e EWMA

dependem muito da escolha dos parâmetros destas cartas. Neste estudo

utilizamos valores recomendados na literatura de forma geral. Outras

simulações, com outros valores de parâmetros, poderiam alterar um pouco

essas conclusões. Na prática, uma vez escolhido o valor de deslocamento que

se deseja detectar, vale a pena fazer simulações com um maior número de

parâmetros a fim de se encontrar a melhor configuração a ser utilizada.

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