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Escola de Engenharia Universidade Presbiteriana Mackenzie Departamento de Engenharia Elétrica

PROBLEMA 01 (Sussekind, p.264, prob.9.3)

Determinar, pelo Método dos Nós, os esforços normais nas barras da treliça.

vãos: 2m x 2m




vãos: 3m x 4m




vãos: 2m x 2m




vãos: 2m x 3m




vãos: 4m x 3m


PROBLEMA 07 (Sussekind, p.269, prob.9.19/modificado)


distâncias horiz.: 4m/1m/1m/4m vert: 3,5m/1,5m


PROBLEMA 08 (extra)


vãos: 1m x 1m


PROBLEMA 09 (extra)


vãos: 3m x 4m


PROBLEMA 10 (Hibbeler, Mecânica/Estática, p.218, prob.6.44)


vãos: 3m x 3m


PROBLEMA 11


vão 2m (60o , 45

o , 30

o )


PROBLEMA 12


vão 4m (60

o , 45

o , 30

o )


PROBLEMA 13


vão 4m (60

o , 45

o , 30

o )


PROBLEMA 14



PROBLEMA 15



PROBLEMA 16


vão 4m (45

o , 30

o )


PROBLEMA 17



PROBLEMA 18



Problemas propostos Problemas propostos Problemas propostos Problemas propostos –––– Dimensionamento e verificação de treliças Dimensionamento e verificação de treliças Dimensionamento e verificação de treliças Dimensionamento e verificação de treliças

Problemas propostos – Dimensionamento e verificação de treliças

Exercício 1 Determinar o esforço normal na barra 1, indicada abaixo, sabendo-se que ela é a mais carregada da estrutura. Determinar qual o perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser idênticas. Dado de projeto: tensão admissível aço σ

adm =150 MPa.

20 kN

20 kN

40 kN

40 kN

40 kN

40 kN

40 kN

2m

2m

2m 2m 2m 2m 2m

1

Resposta: N1 =−180 kN

D1=60mm t1=8mm

Exercício 2 Determinar o esforço normal na barra 1, indicada abaixo, sabendo-se que ela é a mais carregada da estrutura. Determinar qual o perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser idênticas. Dados de projeto: tensão esmagamento alumínio σ C = 560 MPa

e coeficiente de segurança à compressão 2,65.

30 kN

30 kN

60 kN

60 kN

60 kN

60 kN

60 kN

2m

2m

2m 2m 2m 2m 2m

1

Resposta: N1 =−270 kN

D1=60mm t1=8mm


Exercício 3 Determinar o esforço normal nas barras 1 e 2, indicadas abaixo, sabendo-se que elas são as mais carregadas da estrutura. Determinar qual o perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser idênticas. Dados de projeto: tensão esmagamento alumínio σ C = 560 MPa, tensão escoamento alumínio σ T = 265 MPa (tração) e coeficiente de

segurança à compressão 2,65 e à tração 2,00.

60 kN

60 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

2m

2m

2m 2m 2m 2m 2m

1

2

Resposta: N1 =−540 kN (compressão) A1 > 25,6 cm2

N2 =480 kN (tração) A2 > 36,2 cm2 D2=100mm t2=14mm

Exercício 4 Determinar o peso da estrutura do problema anterior, sendo que as barras comprimidas serão dimensionadas a partir do esforço na barra 1 e as barras tracionadas, a partir da barra 2.

+ ++ ++ +− − − −−−−

− − − − − −

+ + + + + +

Resposta: comprimidas: D1=80mm t1=12mm p1=20,1 kg/m tracionadas: D2=100mm t2=14mm p2=29,7 kg/m

(13 x 2m x 20,1 kg/m) + [(6 x 2m)+(6 x 2,83m)] x 29,7 kg/m peso estrutura: ≈1383 kg


Exercício 5 Determinar o esforço normal nas barras 1 e 2, indicadas abaixo, sabendo-se que elas são as mais carregadas da estrutura. Determinar qual o perfil tubular mais econômico, sendo que todas as barras deverão ser idênticas. Dados de projeto: tensão esmagamento alumínio σ C = 560 MPa, tensão escoamento alumínio σ T = 265 MPa (tração) e coeficiente de

segurança à compressão 2,65 e à tração 2,00.

60 kN

60 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

2m

2m

2m 2m 2m 2m 2m

1

2

Resposta: N1 =−480 kN (compressão) A1 > 22,7 cm2

N2 =540 kN (tração) A2 > 40,75 cm2 D2=100mm t2=16mm

Exercício 6 Determinar o peso da estrutura do problema anterior, sendo que as barras comprimidas serão dimensionadas a partir do esforço na barra 1 e as barras tracionadas, a partir da barra 2.

− −− −− − + + −++−

− − − −

+ + + + + +

Resposta: comprimidas: D1=80mm t1=12mm p1=20,1 kg/m tracionadas: D2=100mm t2=16mm p2=33,1 kg/m

(10 x 2m x 33,1 kg/m) + [(9 x 2m)+(6 x 2,83m)] x 20,1 kg/m (Obs: para as barras ociosas adota-se o perfil mais leve)

peso estrutura: ≈1365 kg


Exercício 7 Determinar a máxima carga P que poderá ser aplicada na treliça, sendo que a barra 1é a mais carregada e todas as barras são tubulares de diâmetro externo D= 80 mm e espessura de parede t=14mm. Dados: tensão admissível aço σ

adm =183,9 MPa.

3m

6P 6P4P 2P P2P2P

4m

3m 3m 3m 3m 3m

1

Resposta: Pmax = 20 kN

Exercício 8 Determinar a máxima carga P que poderá ser aplicada na treliça, sendo que a barra 1 é a mais carregada e todas as barras são tubulares de diâmetro externo D= 40 mm e espessura de parede t=8mm. Dados: tensão admissível aço σ

adm =125 MPa.

4P 3P 5P 6P

1

2m2m

2m 2m 2m 2m 2m 2m

Resposta: Pmax = 25 kN


Exercício 9 Verificar a segurança estrutural da treliça indicada abaixo, sabendo-se que as barras são formadas por barras chatas 32 x 6 mm e a barra mais solicitada é a barra 1. Dado de projeto: tensão de escoamento do aço σ

Y =250 MPa (tração ou compressão).

20 kN 20 kN2m

2m 2m

6mm

32mm

2m

2m

1

Resposta: γ = 1,7 Exercício 10 Idem para a treliça abaixo composta por barras circulares.

20 kN

80 kN 80 kN

40 kN

1

3m

3m

4m4m

φ 32mm

Resposta: γ = 1,72


Exercício 11 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, sabendo-se que as barras 1e 2 são as mais comprimidas. Todas as barras são tubulares de aço. Dados: diâmetro externo D= 100 mm, espessura de parede t= 12 mm e módulo de elasticidade E =210 GPa.

60 kN

60 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

2m

2m

2m 2m 2m 2m 2m

1

2

Resposta: |N1|=480 kN Pcr,1 = 1695 kN |N2|=424,3 kN Pcr,2 = 847,5 kN γ = 2

Exercício 12 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, sabendo-se que a barra 1 é a mais comprimida e todas as diagonais são tracionadas (Treliça Pratt). Todas as barras são tubulares de aço. Dados: diâmetro externo D= 100 mm, espessura de parede t= 12 mm e módulo de elasticidade E =210 GPa.

60 kN

60 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

2m

2m

2m 2m 2m 2m 2m

1

Resposta: |N1 |=540 kN Pcr,1 = 1695 kN γ = 3,14


Exercício 13 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, sabendo-se que as barras 1e 2 são as mais comprimidas. Todas as barras são tubulares de alumínio. Dados: diâmetro externo D= 100 mm, espessura de parede t= 12 mm e módulo de elasticidade alumínio E = 70 GPa.

60 kN

60 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

2m

2m

2m 2m 2m 2m 2m

1

2

Resposta: |N1|=480 kN Pcr,1 = 565 kN |N2|=424,3 kN Pcr,2 = 282,5 kN γ = 0,66 (FLAMBOU!!!)

Exercício 14 Verificar a segurança à flambagem da treliça abaixo, sabendo-se que a barra 1 é a mais comprimida e todas as diagonais são tracionadas (Treliça Pratt). Todas as barras são tubulares de aço. Dados: diâmetro externo D= 100 mm, espessura de parede t= 12 mm e módulo de elasticidade E = 70 GPa.

60 kN

60 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

120 kN

2m

2m

2m 2m 2m 2m 2m

1

Resposta: |N1 |=540 kN Pcr,1 = 565 kN γ = 1,05

(RISCO DE FLAMBAGEM!!!)


Exercício 15 Qual deve ser o perfil comercial a ser adotado para que a treliça de alumínio do exercício 13 tenha segurança à flambagem γ > 2.

Resposta: D1=140mm t1=16mm γ = 2,48

Exercício 16 Qual deve ser o perfil comercial a ser adotado para que a treliça de alumínio do exercício 14 tenha segurança à flambagem γ > 2.

Resposta: D1=120mm t1=14mm γ = 2,13

Exercício 17 Verificar a segurança à flambagem da treliça do exercício 9, sabendo-se que a barra mais comprimida é a barra 1. Dados: momento de inércia da seção retangular I=32. 63/12 mm4 e módulo de elasticidade do

aço E =210 GPa. Caso não seja verificada a segurança a flambagem qual deverá ser a dimensão b da seção quadrada para que se tenha γ = 2?

Resposta: γ = γ = 0 b=40mm

Exercício 18 Verificar a segurança à flambagem da treliça do exercício 10, sabendo-se que a barra mais comprimida é a barra 1. Dados: momento de inércia da seção retangular I= π/64.(32)4 mm4 e módulo de elasticidade

do aço E =210 GPa. Caso não seja verificada a segurança a flambagem ( γ < 1 ) qual deverá ser o diâmetro da barra para que se tenha γ = 2?

Resposta: γ γ = 0 φ=87mm

ou reduzir o comprimento de flambagem

20 kN

80 kN 80 kN

40 kN


Obs: Momento de inércia da seção tubular [ ]44 )t2D(D64

−−⋅π

=Ι

D

(mm)

t

(mm)

A (cm2)

W

(cm3)

p

(kg/m)

40 6 6,4 4,8 5,0 40 8 8,0 5,5 6,3

40 10 9,4 5,9 7,4

60 6 10,2 12,5 8,0 60 8 13,1 15,1 10,3 60 10 15,7 17,0 12,3

80 10 22,0 34,4 17,3

80 12 25,6 38,2 20,1 80 14 29,0 41,3 22,8

100 12 33,2 65,4 26,0

100 14 37,8 71,8 29,7 100 16 42,2 77,2 33,1

120 14 46,6 111,0 36,6 120 16 52,3 120,6 41,0 120 18 57,7 128,9 45,3

140 16 62,3 174,0 48,9 140140 18 69,0 187,4 54,2

140 20 75,4 199,3 59,2

150 20 81,7 235,5 64,1

150 22 88,5 248,7 69,4 150 24 95,0 260,5 74,6

160 22 95,4 291,0 74,9 160 24 102,5 305,6 80,5

26 109,5 318,6 85,9

Tabela 1 Características perfis tubulares

D

A = área da seção transversalW = módulo resistentep = peso linear

t


Problemas propostos Problemas propostos Problemas propostos Problemas propostos –––– Dimensionamento e verificação de treliças Dimensionamento e verificação de treliças Dimensionamento e verificação de treliças Dimensionamento e verificação de treliças

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