tÉcnicas digitais i - apresentação · 2007-11-22 · centro tecnológico escola de engenharia...

UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSECENTRO TECNOLÓGICO - ESCOLA DE ENGENHARIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES

APOSTILA PARA DISCIPLINAS DE

TÉCNICAS DIGITAIS I (CURSO DE ENGENHARIA DE TELECOMUNICAÇÕES DA UFF)

&CIRCUITOS DIGITAIS

(CURSO DE BACHARELADO EM INFORMÁTICA DA UFF)

1º PARTE (v.02)

Centro TecnológicoEscola de EngenhariaDepartamento de Engenharia de TelecomunicaçõesTécnicas Digitais 1 &/ Circuitos Digitais

Prof ª Carmen Maria Costa de Carvalho Outubro,2002

Aos meus ex-alunos, que reclamaram da ausência desta e aos presentes e futuros que, espero façam bom proveito da mesma.

1


Agradecimentos

A todos os monitores, que tanto me auxiliaram no exercício desta maravilhosa e, infelizmente, mal reconhecida profissão de magistério.

Em especial, gostaria de exaltar o trabalho dos ex-monitores Clayton do Amorim Baltazar e Rodrigo Souto de Souza, que deram início à tarefa de digitação e elaboração de alguns circuitos e aos ex-monitores de 2001 Bruno Bastos Lima, Fábio Lima da Silva, Fernando Lourenço Pinho Costa e Luciana Esteves Neves, que tiveram a paciência de digitar todo o esboço para a conclusão deste material.


Prefácio

Após inúmeros ensaios para organizar em uma apostila o material aplicado nas disciplinas de Técnicas Digitais I e Circuitos Digitais, respectivamente dos Cursos de Engenharia de Telecomunicações e de Bacharelado em Informática, surgiu a versão inicial, contendo a primeira parte da matéria.

Como toda primeira versão, esta já sofreu correções, acréscimos e modificações, gerando a segunda versão que ora se apresenta e que espero, ainda venha a receber sugestões, críticas e observações dos próprios alunos.

É importante que os alunos estejam cientes que este material deve ser utilizado apenas como consulta rápida para nossas aulas e que não devem abrir mão da leitura obrigatória de livros sobre o assunto.

Niterói, outubro de 2002Prof. Carmen Maria Costa de Carvalho


Índice

Parte 1 – Ferramentas para Construção de Circuitos Digitais

1-Sistemas de Numeração1.1- Sistema de Numeração Posicionado1.2- Mudanças de Base

1.2.1- Mudança de uma base b para a base 101.2.2- Mudança da base 10 para uma base b1.2.3- Mudança de uma base b para uma base c

2- Aritmética Binária2.1- Operações de Soma, Subtração, Multiplicação e Divisão2.2- Subtração Realizada pela Soma com o Complemento

2.2.1- Complemento em relação à base2.2.2- Complemento em relação à base menos 1

3- Representação de Números Relativos

4- Álgebra de Boole4.1- Proposições lógicas4.2- Conectivos lógicos4.3- Representação das funções Booleanas4.4- Postulados de Boole4.5- Fórmula de Interpolação de Lagrange4.6- Suficiência ou Equivalência das operações

5- Formas padrão das funções lógicas5.1- Soma Padrão de Produtos - Mintermos5.2- Produto Padrão de Somas – Maxtermos5.3- Numeração de Mintermos e Maxtermos

6- Mapa de Karnaugh6.1- Construção de Mapa K 6.2- Simplificação de Funções Lógicas por Mapa K6.3- Condições Irrelevantes

7- Referências Bibliográficas


PARTE 1

Ferramentas Para Construção de Circuitos Digitais


1- Sistemas de Numeração

O sistema numérico amplamente utilizado por todos e que se aplica às mais diversas situações é o decimal. No universo dos sistemas digitais, entretanto, o binário é o que predomina, pela sua característica ímpar de apresentar apenas duas possibilidades distintas, o que satisfaz plenamente à idéia do Sim ou Não, Falso ou Verdadeiro, ter ou não passagem de corrente elétrica.

1.1 - Sistema de Numeração Posicionado

É o sistema usualmente utilizado na construção dos números decimais. Dependendo da posição de cada símbolo, ele assume um determinado valor, associado à potência de 10 correspondente.

• Sistema Decimal → 10 símbolos

Ex.: 1527=1000+500+20+7=1x103+5x102+2x101+7x100

Este princípio pode ser estendido a qualquer sistema numérico.

Base 10 → possui 10 símbolos – 0,1,2,3,...,9Base 5 → possui 5 símbolos – 0,1,2,3,4Base 4 → possui 4 símbolos – 0,1,2,3Base 2 → possui 2 símbolos – 0,1

A posição de cada símbolo de uma base representa uma potência da base, que pode ser positiva ou negativa.

Ex.: 0111(2) = 0x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20 = 7(10)

131(4) = 1x42 + 3x41 + 1x40 = 29(10)

0,111(2) = 0x20 + 1x2-1 + 1x2-2 + 1x2-3 = 0,875(10)

• Existem bases que necessitam mais do que 10 símbolos.

Ex.: Base 16 → 16 símbolos (convencionou-se usar letras)- 0, 1, 2, 3, ..., 9, A, B, C, D, E, F


1.2 - Mudanças de Base

Número qualquer na base b:

Nb = ...B3 B2 B1 B0, B-1 B-2 B-3 ...Nb = ... Ib + Fb (parte inteira mais parte fracionária)

Número na base 10 :

N10 = ... D3 D2 D1 D0 , D-1 D-2 D-3 D-4 ...N10 = ... I10 + F10 (parte inteira mais parte fracionária)

1.2.1 - Mudança da base b para a base 10 - Método do Dente de Serra

• Parte inteira: Ib= ... B3 B2 B1 B0

I10= …B3 x b3 + B2 x b2 + B1 x b1 + B0 x b0

I10= …[(B3b+B2)b+B1]b + B0

Ex.: 4A0(12)

Ex.: 10110(2)

Ex: 10110(2)

B3

B2 B

1 B

0 → I

10

Dente de → + + + Serra x b x b x b =B

3b =(B

3b+B

2)b =[(B

3b+B

2)b+B

1]b

4 A 0

+ + = 696(10)

x 12 x 12 =48 =696

1 0 1 1 0

+ + + + =22(10)

x 2 x 2 x 2 x 2 =2 =4 =10 =22


• Parte fracionária: Fb= 0, B-1 B-2 B-3 ... F10= B-1 x b-1 + B-2 x b-2 + B-3 x b-3 +...

+++= −

−− ...11 3

2110 b

BB

bB

bF

Ex.: 0,1110(2)

Atenção: Não deve deixar de ser observado que a última operação a ser realizada é a divisão pela base.

1.2.2 - Mudança da base 10 para a base b.

• Parte inteira: Método das divisões sucessivas

I10= ... D3 D2 D1 D0 =… B3 x b3 + B2 x b2 + B1 x b1 + B0 x b0

B

-1 B

-2B

-3

÷b ÷b ÷b Dente + + ← de

Serra

= = =

(1,75) (1,5) 0, 1 1 1

÷2 + ÷2 + ÷2 = 0,875(10)

=0,875 =0,75 =0,5


Ex.: 22(10) → Base 2

Ex.: 3855(10) → Base 16

• Parte Fracionária: multiplica-se a parte fracionária pela base até encontrar remanescente zero ou até chegar ao número de casas desejado.

F10=0, D-1 D-2 D-3 D-4 ...=0, B-1 b-1 + B-2 b-2 + B-3 b-3 + ...

...,03

3

2

2110 +++= −−−

b

B

b

B

b

BF

B3 x b3 + B

2 x b2 + B

1 x b1 + B

0 b

- B3 x b3 + B

2 x b2 + B

1 x b1

B3 x b2 + B

2 x b1 + B

1 b

B0 -B

3 x b2 + B

2 x b

B3b+B

2 b

B1

- B3b

B2 B

3

22 11 1 5 2 1 2 2 0 1 22

(10)=10110

(2)

3855 16 65 240 16 15 00 15

3855(10)

→ F0F(16)


- multiplicando-se a parte fracionária por b:

......)(232

133

221 +++=+++ −−

−−−−

b

B

b

BBb

b

B

b

B

b

B → B-1

novamente → ......)( 322

32 ++=++ −−

−−

b

BBb

b

B

b

B → B-2 = 0,B-1B-2 B-3 ... (b)

novamente → ......)( 33 +=+ −

− Bbb

B → B-3

Ex.: 0,875(10) → para base 2 0,875x2=1,75 → 1 0,75x2=1,50 → 1 0,111(2)

0,50x2=1,00 → 1

Observações Importantes:

1) A conversão de base 2 para decimal pode ser realizada mais rapidamente somando-se apenas as potências de 2 correspondentes aos 1’s do número binário.Ex: 1 0 1 1 0 1 , 1 0 1 (2) 32 + 8 + 4 + 1 + 0,5 + 0,125 = 45,625 (10)

2) A conversão da parte inteira de um número decimal para binário pode ser realizada, mais rapidamente, subtraindo-se sucessivamente as potências de 2 pertencentes a este número.Ex: 394 (10) 394 – 256 = 138 – 128 = 10 – 8 = 2 – 2 = 0

256 128 8 21 1 0 0 0 1 0 1 0

3) Se o número a ser convertido tiver tanto parte inteira como parte fracionária, a conversão deverá ser feita separadamente, e os resultados combinados.

4) Vírgula- Deslocando-se a vírgula para a direita, multiplica-se o número pela base.- Deslocando-se a vírgula para a esquerda, divide-se o número pela base.

}


1.2.3- Mudança de uma base b para uma base c

Para passar de uma base b para uma base c de forma prática, convém passar

primeiro para a base 10, a não ser nos seguintes casos de potência: 2 4 b c

2 8 2 16 10

• Relação entre sistemas na base 4 , octal (8) e hexadecimal (16) com sistema binário

Exemplo: 10011111100, 11010010101 (2)

Base 4 → 1 0 3 3 3 0, 3 1 0 2 2 2 01 00 11 11 11 00, 11 01 00 10 10 10

Octal → 2 3 7 4 , 6 4 5 2 010 011 111 100, 110 100 101 010

Hexa → 4 F C , D 2 A 0100 1111 1100, 1101 0010 1010

Atenção: os zeros à direita da parte fracionária de um número inteiro, devem ser completados, de modo a obter a correspondência exata nas outras bases.

Tabela ilustrativa dos correlatos decimais de 0 a 16 nas bases 2, 4, 8 e 16.CONTAGEM

BASE 10 BASE 2 BASE 4 BASE 8 BASE 160 0000 00 00 01 0001 01 01 12 0010 02 02 23 0011 03 03 34 0100 10 04 45 0101 11 05 56 0110 12 06 67 0111 13 07 78 1000 20 10 89 1001 21 11 910 1010 22 12 A11 1011 23 13 B12 1100 30 14 C13 1101 31 15 D14 1110 32 16 E15 1111 33 17 F16 10000 100 20 10

{

{


2-Aritmética Binária

2.1 – Operações de Soma, Subtração, Multiplicação e Divisão

Basicamente, são válidas as mesmas regras do sistema decimal

• Adição Binária

0 + 0 = 0Regras 0 + 1 = 1

1 + 1 = 0 E VAI 11 + 1 + 1 = 1 E VAI 1

Ex.:

• Subtração Binária

0 - 0 = 0Regras 1 - 0 = 1

0 - 1 = 1 E PEDE EMPRESTADO 11 - 1 = 0

Ex.:

- Outros exemplos de subtração binária

- Exemplos de subtração hexadecimal

1 1 1

1 1 0 1 1 → 27 1 1 1 1 0 → 301 1 1 0 0 1 → 57

0 10 0 10

1 0 0 1 → 9 1 1 0 → 61 0 0 0 → 8 0 1 1 → 30 0 0 1 → 1 0 1 1 → 3

1 1 0 0 0 1 10 10 0 10 10 10 0 10 10 0 10 0 10 10 0 10

1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1-1 0 0 1 1 - 0 1 0 1 1 - 0 1 1 0 1 - 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1

A F 23=16+7 16 16+12 8 7 16

B 0 C A 4 A C 1 9 8 0- 9 8 E 3 - 2 0 B - 2 9 2 1 7 E 7 2 A 1 1 6 E E

{


• Multiplicação Binária

0 x 0 = 0Regras 0 x 1 = 0

1 x 0 = 01 x 1 = 1

Ex.:

• Divisão Binária

Ex.:

2.2 – Subtração Realizada pela Soma com o Complemento

A operação de subtração pode ser realizada através da adição do minuendo com o complemento do subtraendo.

O complemento poderá ser obtido em relação à base (b) ou em relação à base menos 1 (b-1).

Na base 10 o complemento a b será em relação a 10 e o complemento a b-1 será tomado em relação a 9.

Na base 2 o complemento a b será em relação a 2 e o complemento a b-1 será tomado em relação a 1.

2.2.1 – Complemento em relação a base b

Base 10Primeiro caso: M ≥ S

Ex.: Usual C10 23 Soma com o complemento

1 1 0 1 x 1 0 1

1 1 0 1 → qdo. mult. p/ 1 repete o número+ 0 0 0 0 → qdo. mult. p/ 0 o resultado é todo 0 1 1 0 11 0 0 0 0 0 1

1 0 1 1 0 1 1 0 1-1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 - 1 0 1 0

Resultado correto

overflow


Segundo caso: M < S

UsualC1085 Soma c/ complemento C1038

Razões destes Procedimentos:

1) Para M ≥ S - o resultado é positivo e direto

83-23 Acrescida de 100 dá: 85 + (100-23) 85 + C1023 = 162

ou

(85+100) – 23 = 162

2) Para M < S - o resultado é negativo e precisa ser complementado

23 – 85 Acrescida e diminuída de 100 dá:

23 – 100 + (100 - 85) 23 – 100 + C1085

- [100 - (23 – C1085)]= - 62

Para o complemento em relação à base, podemos enunciar o seguinte resumo:

A subtração pode ser realizada através da adição do minuendo com o

complemento do subtraendo. Se houver overflow, o resultado será positivo e direto.

Caso contrário, será negativo e o resultado obtido com o complemento do resultado da

soma.

O valor do método de subtração na forma de soma com o complemento a b está

em sua aplicação na base 2, onde o complemento poderá ser obtido sem a necessidade

de uma subtração, graças à peculiaridade da tabuada neste sistema.

8 52 36 2

1 0 02 37 7

8 5+ 7 71 6 2

1 0 0- 3 8- 6 2

1 0 08 51 5

2 38 56 2

2 3+ 1 5

3 8

Overflow

Overflow

Não houve Overflow

O Resultado correto é obtido após novo complemento e ele é negativo

Não houve overflow

É preciso complementar para obter o resultado correto e ele é negativo.


Base 2: (O procedimento é o mesmo da base 10)

Primeiro caso: M ≥ SEx.: Usual C2 Soma com o complemento

Segundo caso: M < S

Usual C2 Soma com o

complemento C2

• Processo prático para a obtenção do Complemento a 2

Até o primeiro algarismo menos significativo igual a 1 (inclusive) mantém-se os

bits, que, daí por diante, são invertidos.

Ex.: 1001 C2 = 0111

10100 C2 = 01100

OBS: Existe um outro processo para obtenção do complemento a 2, que será visto mais

adiante, quando for estudado o complemento em relação à base menos 1 (b– 1) de um

número binário.

1 0 0 0 0

- 1 0 0 1

0 1 1 1

1 1 0 0

+ 0 1 1 1

1 0 0 1 1

1 1 0 0

- 1 0 0 1

0 0 1 1

1 0 0 0 0

- 1 1 0 0

0 0 1 0 0

1 0 0 1

- 1 1 0 0

(-) 0 0 1 11 0 0 1

+ 0 1 0 0

1 1 0 1

1 0 0 0 0

- 1 1 0 1

(-) 0 0 1 1

overflow

Resultado correto

overflowÉ preciso complementar novamente para obter o resultado correto e ele é negativo


2.2.2 – Complemento em relação a base b - 1

Base 10 – Complemento a 9

Primeiro caso: M > S Soma com o complemento

Ex.: Usual C923

Obs: Na prática, o overflow é retornado para a entrada do circuito somador e, então,

adicionado. Esta operação denomina-se EAC (End Around Carry).

Segundo caso: M ≤ S

Ex.: Usual C985 Soma c/ complemento C937

Base 2 – Complemento a 1

M>S Usual C1 Soma com o complemento

1 2- 9

3

M≤S Usual C1

8 5

+ 7 6

1 6 1

1 +

6 2

8 5

- 2 3

6 2

9 9

- 2 3

7 6

2 3- 8 5

(-) 6 2

9 9- 8 5

1 4

2 3+ 1 4

3 7

9 9- 3 7

(-) 6 2

1 1 0 00 1 1 0 +

1 0 0 1 0 1 +

0 0 1 1

1 1 1 1- 1 0 0 1

0 1 1 01 1 0 0

- 1 0 0 10 0 1 1

1 0 0 1- 1 1 0 0(-) 0 0 1 1

1 1 1 1- 1 1 0 0

0 0 1 1

Não houve overflow

para obter o resultado correto e ele é negativo

EAC

9- 1 2

(-) 3


Soma com o complemento

Regras práticas:

• O complemento a 1 é obtido pela subtração do subtraendo a uma sucessão de uns.

Dois casos podem acontecer: 0 para 1, cujo resultado é 1, e 1 para 1, cujo resultado é 0.

Logo,

• Considerando-se o complemento a 2 como C2 = C1 + 1, outro modo possível de se

obter o complemento a 2 é invertendo-se todos o bits e, a seguir, somando-se 1.

Resumo:

1) Complemento a b

M ≥ S Resultado positivo, indicado pela presença de overflow e direto.

M < S Resultado negativo, indicado pela ausência de overflow e deve ser

complementado a b.

2) Complemento a b-1

M > S Resultado positivo e deve ser adicionado 1. (EAC)

M ≤ S Resultado negativo, indicado pela ausência de overflow e deve ser

complementado a b-1.

1 1 1 1- 1 1 0 0(-) 0 0 1 1

1 0 0 1+ 0 0 1 1

1 1 0 0

O COMPLEMENTO A 1 CONSISTE NA INVERSÃO BIT A BIT DO SUBTRAENDO

Não houve overflow

É preciso complementar para obter o resultado correto e ele é negativo


3 – Representação de Números Relativos

Existem duas informações a transmitir na manipulação de números positivos e

negativos: a magnitude (módulo) e o sinal.

São três as maneiras de caracterizar números relativos no sistema binário:

- Sinal e magnitude (SM)

- Sinal e magnitude complementada a 2 (SMC2)

- Sinal e magnitude complementada a 1 (SMC1)

Sinal e magnitude ( SM )

O bit mais significativo representa o sinal

Bit 1 ⇒ nº negativo

Bit 0 ⇒ nº positivo

A magnitude é representada de forma convencional

Ex: (+) 7 0 0111

Sinal magnitude

(-) 7 1 0111

Desvantagem: Existem duas representações para o zero: 0 0000 ou 1 0000

Sinal e magnitude complementada a 2 (SMC2)

Números positivos: idem SM

Números negativos tem sua magnitude complementada a 2 e o bit de sinal é

negativo (1).

Ex.: (+) 7 0 0111

Sinal Magnitude

(-) 7 1 1001 C2


Sinal e magnitude complementada a 1 (SMC1)

Números positivos: idem SM

Números negativos tem sua magnitude complementada a 1 e o bit de sinal é

negativo (1).

Ex.: (+) 7 0 0111

Sinal Magnitude

(-) 7 1 1000 C1

Desvantagem: Existem duas representações para o zero: 0 0000 ou 1 1111

A notação sinal e magnitude é mais conveniente para as operações de multiplicação e

divisão, onde as magnitudes são operadas de modo convencional e o sinal do resultado da

operação é a saída de uma porta lógica ou exclusivo (ex-or), que recebe em suas entradas os

bits de sinal dos operandos (sinais diferentes na entrada, resultado negativo).

As notações SMC1 e SMC2 são mais adequadas para adição e subtração, pois opera-se com

o bit de sinal da mesma forma que a empregada na magnitude.

Atualmente, todos os computadores trabalham com a representação de números relativos

em SMC2.


4 - Álgebra de Boole

≅ 1850 George Boole — Álgebra das proposições

≅ 1939 Claude Shannon — Aplicação prática em sistemas digitais (simplificação de

circuitos de chaves e relés)

4.1 - Proposições Lógicas

De modo geral, pode-se estabelecer uma proposição qualquer, especificando variáveis e

funções, onde:

Variáveis: o campo pode ser especificado de várias maneiras.

Ex: X pode variar de -∞ a +∞ ou pode ficar restrita ao intervalo de –17 a –4.

Função: é uma regra para determinação de uma segunda variável Y (dependente) a partir do

valor da variável X (independente), e representada por Y=f(X).

Ex: Y = 5x2 + 3

Quando o número de valores permitidos a X for finito é possível especificar uma função

através de uma tabela.

Se o número for finito e pequeno não só é possível mas também conveniente.

X Y=f(X)0 31 82 23

Exemplo não numérico:

X –> as cores de um sinal de trânsito

Y=f(X) –> comportamento de um motorista

X Y=f(X)Verde AndeAmarelo DevagarVermelho Pare

Nestes dois exemplos, não são apresentadas variáveis, nem funções lógicas. Porquê?


Resposta: Na álgebra de variáveis lógicas, qualquer variável ou função pode assumir

somente dois valores: 0 (zero) ou 1 (um). Estes dois valores podem corresponder a duas

situações ou grandezas físicas ou lógicas que se excluem mutuamente.

Não há significado numérico para 0 ou 1, somente significado lógico.

As variáveis não precisam ser numéricas.

VARIÁVEIS LÓGICAS

É uma variável que tem três propriedades distintas, sendo:

• A variável lógica pode assumir um (ou o outro) de dois valores possíveis.

• Os valores são expressos por afirmações declarativas.

• Estes dois valores possíveis devem ser tais que, com base no raciocínio humano, ou

seja, com base na lógica, sejam mutuamente exclusivos.

Revendo o exemplo não numérico acima e estabelecendo para as cores do sinal somente

Verde e Vermelho e supondo que eles não possam ocorrer simultaneamente, tem-se:

X Y=f(X)Verde AndeVermelho Pare

Partindo do princípio da exclusividade mútua é possível estabelecer para proposições

lógicas os conceitos de falso (F) e verdadeiro (V).

Ex: X = V quando o sinal está verde;

X = F quando o sinal está vermelho; e

Y = V para o motorista andando; e

Y = F para o motorista parado;

A relação entre sinal e motorista passaria a ser:

X Y=f(X)V VF F

Para valores diferentes a tabela será

diferente, mas a relação funcional

permanece igual.ESTA TABELA É CHAMADA DE TABELA VERDADE


4.2 – Conectivos Lógicos

Considerando-se a função Z=f(A,B) de duas variáveis ou proposições lógicas e conectivos

para estas proposições: E, OU, OU-EXCLUSIVO ( . , + , ⊕ )

Conectivo E

Z= chove E faz frio (onde, Z1 = chove e Z2 = faz frio)

Z= Z1 E Z2 = Z1 . Z2 = Z1Z2

Tabela verdade com todas as combinações possíveis de proposições

Z1 Z2 ZF F FF V FV F FV V V

OBS.: N variáveis possibilitam 2n combinações

Ex.: 2 variáveis 22 = 4 combinações

Conectivo OU

Z = chove OU faz frio

Z = Z1 OU Z2 = Z1 + Z2

Z1 Z2 ZF F FF V VV F VV V V

Conectivo OU-EXCLUSIVO

Z = Pedro está dirigindo um carro preto OU um carro branco


Z = Z1 OU EXCLUSIVO Z2 = Z1 ⊕ Z2

Z1 Z2 ZF F FF V VV F VV V F

Operação de Negação (barra)

Z1 = chove Z1 = não chove

• A notação 0 e 1

F 0 V 1

Tabela verdade dos conectivos

A B A . B A + B A ⊕ B A . B A + B A ⊕ B A0 0 0 0 0 1 1 1 10 1 0 1 1 1 0 0 11 0 0 1 1 1 0 0 01 1 1 1 0 0 0 1 0

E OU OU-EX NÃO E NÃO OU NÃO

OU-EX

NEGAÇÃO

DE A

OBS.: Em sistemas digitais rápidos, os valores lógicos de uma variável são geralmente

representados por tensões elétricas mantidas entre um par de fios.

4.3 - Representação de Funções Booleanas

As funções Booleanas podem ser representadas de diversas maneiras. As que serão

apresentadas a seguir, são: Diagrama de Portas, Tabela Verdade, Diagrama de

Contatos, Diagrama de Venn e Mapa de Karnaugh, sendo as duas primeiras e a última

as mais importantes para o estudo de Circuitos Digitais.


• Diagrama de portas

Buffer – amplificador, casador de impedância, isolador.

Inversor – é uma porta lógica que tem uma única entrada e uma saída que é o

complemento lógico da entrada.

Conectivo E (and)

OBS.: Pode ter várias entradas.

Conectivo NÃO E (nand)


Conectivo OU (or)


Conectivo NÃO OU (nor)


Conectivo OU-EXCLUSIVO (ex-or ou xor)

A A

A_A

A

B

_ _ _ _ _Z = A . B

A

BZ = A + B

A

B

_ _ _ _ _Z = A + B

A B

Z= A.B


OBS.: Somente de 2 entradas

Conectivo NÃO OU-EXCLUSIVO (ex-nor ou xnor)

OBS.: Somente de 2 entradas

O ex-nor também é chamado de equivalência, porque somente é verdadeiro quando A = B

Exemplos de diagramas de portas, com funções de mais de duas variáveis

Ex.1: X = A . B + C ( A ⊕ B)

Ex.2: Y= A+B + AB (A ⊕ C)

A

B

C

Y

A B

_ C

A.B X

C


OBS.: Pode ser construído com 4 portas. Que tal tentar a construção mais econômica?

• Tabela Verdade

A Tabela Verdade, para funções com mais de duas variáveis, deve ser construída a partir de

todas as combinações dessas variáveis e desenvolvendo a função passo a passo.

Ex.: X = A + BC

A B C C CB CBA +0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 00 1 0 1 1 10 1 1 0 0 01 0 0 1 0 11 0 1 0 0 11 1 0 1 1 11 1 1 0 0 1

• Diagrama de contatos

Ex.:

1 c h a v e f e c h a d a

c h a v e a b e r t a0

A

B

A + B A BA B

A B _

A _ B


Esta construção do ou-exclusivo será melhor compreendida quando for verificada a

equivalência da ex-or com as portas and, or e inversora.

• Diagrama de Venn

Álgebra de Boole Teoria dos ConjuntosA AB B

. (interseção)

+ (união)

0 φ (vazio)1 ∪ (universo)

Ex.:


• Mapa de Karnaugh

A representação pelo Mapa de Karnaugh será vista com mais detalhes no Capítulo 6,

adiante.


4.4 – Postulados de Boole

Serão apresentados, abaixo, os Postulados mais comumente utilizados no processo de

simplificação das funções Booleanas.

1) 0 + A = A

2) 1 + A = 1

3) A + A = A

4) A + A = 1

5) 0 . A = 0

6) 1 . A = A

7) A . A = A

8) A . A = 0

9) A = A

10) A +B = B + A

11) A . B = B . A

12) A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C

13) A (B . C) = (A . B) C = A . B . C

14) A (B +C)= A .B + A . C Propriedade Distributiva

15) A + A . B = A

15.a) A + B .C = (A + B) (A + C)

16) A (A + B) = A

17) (A + B) (A + C) = A + B . C

18) A + BA = A + B

18.a) A ( A + B) = A . B

19) A . B + A . B = A

20) (A + B) (A + B ) = A

21) A . B + A . C = (A + C) ( A + B)

22) (A + B) ( A + C) = A .C + A B

23) A . B + A . C + B .C = AB + A C

24) (A + B) ( A + C) (B + C) = (A + B) ( A + C)

} Propriedade Comutativa

} Propriedade Associativa


Comprovação do Postulado 24 com o uso da tabela verdade:

A B C S1 = (A + B) ( A + C) (B + C) S2 = (A + B) ( A + C)0 0 0 0 = (0 + 0) (1 + 0) (0 + 0) 0 = (0 + 0) (1 + 0)0 0 1 0 = (0 + 0) (1 + 1) (0 + 1) 0 = (0 + 0) (1 + 1)0 1 0 1 = (0 + 1) (1 + 0) (1 + 0) 1 = (0 + 1) (1 + 0)0 1 1 1 = (0 + 1) (1 + 1) (1 + 1) 1 = (0 + 1) (1 + 1)1 0 0 0 = (1 + 0) (0 + 0) (0 + 0) 0 = (1 + 0) (0 + 0)1 0 1 1 = (1 + 0) (0 + 1) (0 + 1) 1 = (1 + 0) (0 + 1)1 1 0 0 = (1 + 1) (0 + 0) (1 + 0) 0 = (1 + 1) (0 + 0)1 1 1 1 = (1 + 1) (0 + 1) (1 + 1) 1 = (1 + 1) (0 + 1)

S1 = S2 (Sempre que tabelas verdade coincidem, implica que as funções são equivalentes.)

• Teoremas de “De Morgan”

BABA ⋅=+

BABA +=⋅

Estes teoremas podem ser expandidos para mais de duas variáveis:

A + B + C + ... + N = A . B . C . ... . N

A . B . C . ... . N = A + B + C + ... + N

• Princípio do Complemento

É possível obter-se o complemento de uma função aplicando-se o seguinte princípio:

Troca-se 0’s por 1’s (e vice-versa), troca-se “+” por “ • ” (e vice-versa) e complementa-se

todas as variáveis (A A→ ).

Ex: X = A . B . C + 0 . A + C .B

X = (A + B + C ) . (1 + A) . (C + B)

4.5 – Fórmula de Interpolação de Lagrange

Qualquer função de n variáveis, cada uma das quais assumindo somente um de

dois valores lógicos 0 ou 1 e a própria função também assumindo de cada vez um dos dois


valores lógicos 0 ou 1, é igual ao polinômio dado pela fórmula de interpolação de

Lagrange, abaixo:

f ( X, Y, ... , Z ) = f ( 0, 0, ... , 0 ) . X Y ... Z + f ( 0, 0, ... , 1 ) . X Y ... Z + ... +

f ( 1, 1, ... , 1 ) . X Y ... Z

A aplicação desta fórmula é muito útil para se obter a expressão de uma função a

partir da tabela verdade.

Ex:

X Y f(X,Y)0 0 f(0,0)0 1 f(0,1)1 0 f(1,0)1 1 f(1,1)

f(X,Y) = f(0,0) X Y + f(0,1) X Y + f(1,0) X Y + f(1,1) X Y

Exemplos práticos:

X Y f1 (X,Y) f2 (X,Y)0 0 0 10 1 1 01 0 1 01 1 0 1

f1 (X,Y) = 0. X Y + 1 . X Y + 1 . X Y + 0 . X Y

f1 (X,Y) = X Y + X Y = X ⊕ Y

f2 (X,Y) = 1. X Y + 0 . X Y + 0 . X Y + 1 . X Y

f2 (X,Y) = X Y + X Y = X ⊕ Y

Pode-se notar, a partir da aplicação da fórmula de interpolação de Lagrange, que os

conectivos ex-or e ex-nor podem ser obtidos com uma expressão equivalente de and, or e

negação.

4.6 - Suficiência ou Equivalência das Operações

A partir dos Postulados de Boole e das expressões equivalentes para as portas

Ex-or e Ex-nor, pode-se afirmar que são suficientes para expressar qualquer função lógica:

- as operações E (AND), OU (OR) e NÃO (NOT)

- as operações AND e NOT, uma vez que é possível obter uma porta OR a partir destas

duas.


A + B = A . B

- as operações OR e NÃO, uma vez que é possível obter uma porta AND a partir destas

duas.

A . B = A + B

- a operação NAND, uma vez que é possível obter uma porta AND e uma porta NÃO a

partir da mesma.

Proposta para AND: A . B = A . B

Proposta para NÃO: A = AA ou A = A 1

AA AA 1A00 1 111 0 0

- a operação NOR, uma vez que é possível obter uma porta OR e uma porta NÃO a partir

da mesma.

Proposta para OR : A + B = A + B

Proposta para NÃO: A = A + A ou A = A + 0

AA AA + 0+A00 1 111 0 0

OBS.: Freqüentemente, é conveniente projetar um circuito lógico usando somente um tipo

de porta lógica. As portas NAND e NOR são apropriadas para este propósito, pois são

suficientes.

BABA =+

A + B = BA

BABA +=⋅

BABA +=⋅

A _A A

1

_A

A_A A

0

_A


_ _ _A + B

B

A A

B

_ _A . B

A

BA + B A

B

_ _ __ _A . B

AB

A . B_ _ _

B

A _ _A + B

B

AA . B

_ _ _

B

A _ _A + B


5 - Formas Padrão das Funções Lógicas

5.1 - Soma Padrão de Produtos - Mintermos

Qualquer função pode ser escrita na forma de uma soma de produtos.

Ex.: Expressar esta função como uma soma de produtos.

f(A,B,C,D) = ( ) ( )DCBBCA +⋅+

= DCBCBBCDCABA +++

= BCDCABA ++

- Se um sinal de complemento aparecer sobre uma combinação de variáveis, usa-se o

teorema de De Morgan tantas vezes quantas necessárias até que o sinal de complemento

apenas apareça sobre variáveis individuais.

- Neste exemplo, os termos individuais não envolvem o mesmo número de variáveis e

nenhum termo envolve todas as variáveis.

Uma padronização maior pode ser efetuada, levando a uma expressão na qual todos os

termos envolvam todas as variáveis (complementadas ou não). Deste modo, será obtida a

soma padrão de produtos.

Ex.: f(A,B,C) = A + BC

Multiplicar o primeiro termo por ( ) ( )CCBB +⋅+

Multiplicar o segundo termo por ( )AA +

f(A,B,C) = ( ) ( ) ( )AABCCCBBA +⋅++⋅+⋅

= BCAABCCBACBACABABC +++++

= BCACBACBACABABC ++++ SOMA PADRÃO DE PRODUTOS

Cada um dos produtos da forma padrão de soma de produtos é chamada de MINTERMO.


5.2 – Produto Padrão de Somas - Maxtermos

A forma padrão para o produto de somas é aquela que cada termo contém todas as

variáveis.

O processo de geração é:

f(A,B,C) = ( )CBA +⋅ , que já está na forma de produto das somas.

Adicionando-se ao primeiro termo CCBB + .

Adicionando-se ao segundo termo AA ,

a função não se altera, pois 0=== CCBBAA .

f(A,B,C)= ( ) ( )CBAACCBBA ++⋅++

= ( ) ( ) ( ) ( )CBACBACBBACBBA ++⋅++⋅++⋅++

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBACBACBACBACBACBA ++⋅++⋅++⋅++⋅++⋅++

= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )CBACBACBACBACBA ++⋅++⋅++⋅++⋅++

PRODUTO PADRÃO DE SOMAS

Cada um dos termos completos, na forma padrão de produto de somas é chamado

MAXTERMO.

5.3 - Numeração de mintermos e maxtermos

- Método para atribuição de números aos mintermos (produtos completos) e maxtermos

(somas completas).

Mintermos

Atribui-se o número binário “0” a cada variável complementada, e o número binário

“1” a cada variável não complementada.

Ex.: Para um termo de uma função de 3 variáveis, tem-se:

6110 =→CAB

nº do mintermo = m6

Seqüência arbitrária, (A,B,C,D,E,...), porém consistente.


Maxtermos

Atribuição de “1” ou “0” é invertida em relação a mintermos, ou seja:

- Uma variável complementada recebe o dígito 1

- Uma variável não complementada recebe o dígito 0

Ex.: O maxtermo CBA ++ de uma função de 3 variáveis tem a numeração: 100 = 4 M4.

Especificação de funções utilizando mintermos e maxtermos

Uma função lógica pode ser especificada usando-se a convenção adotada para a

numeração de mintermos e maxtermos.

Exemplo para Mintermos:

f(A,B,C) = ABCCABCBACBABCA ++++

0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

3 4 5 6 7

f(A,B,C) = m3 + m4 + m5 + m6 + m7

A função pode ser expressa ainda das seguintes formas:

f(A,B,C) = Σm(3,4,5,6,7) ou ainda f(A,B,C)=Σ(3,4,5,6,7)

Exemplo para Maxtermos:

{0 0 0}{0 0 1}{0 1 0}{0 1 1}

0 1 2 3

f(A,B,C) = M0. M1. M2. M3

f(A,B,C)= ΠM(0,1,2,3) ou ainda f(A,B,C)= Π(0,1,2,3)

Relação entre Mintermos, Maxtermos e a Tabela Verdade

Uma função lógica pode ser expressa em uma tabela verdade como uma soma de

Mintermos ou produto de Maxtermos.

))()()((),,( CBACBACBACBACBAf ++++++++=


As relações entre estes modos de representação podem ser vistos abaixo:

Linha Número A B C f(A,B,C)0 0 0 0 1 Mintermo1 0 0 1 0 Maxtermo2 0 1 0 1 Mintermo3 0 1 1 1 Mintermo4 1 0 0 0 Maxtermo5 1 0 1 0 Maxtermo6 1 1 0 1 Mintermo7 1 1 1 1 Mintermo

Deve-se notar que, numa função, o que não for Mintermo será Maxtermo.

)5,4,1()).().((),,(

)7,6,3,2,0(..........),,(

Π=++++++=

Σ=++++=

CBACBACBACBAf

CBACBACBACBACBACBAf


6 - Mapa de Karnaugh

Mapa de Karnaugh é uma das formas de se representar uma função lógica.

É um dispositivo extremamente útil na simplificação e minimização das funções algébricas

Booleanas.

Um Mapa K é uma figura geométrica que contém uma região (quadrículo) para

cada linha de uma Tabela Verdade.

Correspondência Biunívoca:

Linhas Tabela Verdade Maxtermos ou Mintermos Quadrículos do Mapa K

6.1 - Construção de Mapa K

Mapa K para 1 Variável:

O Mapa K para 1 variável pode ser representado de 3 maneiras:

A 0 1 A0 1

A forma do Mapa K depende somente do número de variáveis incluídas e não da

expressão Booleana para a qual o Mapa K será usado.

Mapa K para 2 Variáveis:

B A 0 1 Linha No A B f(A,B)0 0 2 0 0 01 1 3 1 0 1

2 1 03 1 1


Ex.: Representar no Mapa K a função determinada pela tabela verdade abaixo:

Linha No A B f(A,B)

0 0 0 1

1 0 1 0

2 1 0 0

3 1 1 1

B A 0 1 B A 0 1 B A 0 10 1 0 0 1 0 01 0 1 1 1 1 0

De um modo geral, registra-se em uma tabela verdade os 1’s e os 0’s, e em um

Mapa K são registrados os 1’s ou os 0’s .

Pode-se verificar que a função do exemplo é:

Um Mapa K alternativo para 2 variáveis:

AAB 00 01 11 10

0 1 3 2

B

- Deve ser observada a ordenação dos quadrículos. Este tipo de ordenação aparece para

mapas com um número maior de variáveis.

- Percorrendo o topo do Mapa, de um quadrículo para o seguinte, os números de dois

dígitos exibem mudança em apenas um dígito de cada vez (característica essencial da

ordenação proposta).

2130 .)).((..),( MMBABAmmBABABAf =++=+=+=


Exemplo:

A B X=A.B Y=A+B Z=A⊕B0 0 0 0 00 1 0 1 11 0 0 1 11 1 1 1 0

AB 00 01 11 10X=A.B 1

Y=A+B

AB 00 01 11 101 1 1

AB0

Mapa K para 3 Variáveis

C AB 00 01 11 100 0 2 6 4

1 1 3 7 5

Exemplo:

C AB 00 01 11 100 0 2 1 6 4 11 1 1 3 7 1 5

AB 00 01 11 10Z=A⊕B 1 1

CBACBACBACBAX ........ +++=

BABAZ .. +=


A B C X0 0 0 00 0 1 10 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 01 1 0 01 1 1 1

Mapa K para 4 Variáveis:

CD AB 00 01 11 1000 0 4 12 8

01 1 5 13 9

11 3 7 15 11

10 2 6 14 10

OBS: O Mapa K pode ser usado para qualquer número de variáveis.

- 5 Variáveis 25=32 Quadrículos

- 6 Variáveis 26=64 Quadrículos

6.2 - Simplificação de Funções Lógicas por Mapa K

A característica essencial dos Mapas K é que quadrículos adjacentes

horizontalmente e verticalmente (mas não diagonalmente) correspondem a Mintermos ou

Maxtermos que diferem apenas em uma variável, que aparece complementada em um

termo e não complementada no outro.

Ex.:

CD AB m12 m8

1 1m1 1m 3 1

DCABBDCADCBADCBA

çãoSimplifica

DCBAm

DCBAm

..).(........

...)110012(12

...)10008(8

=+=+

⇓==

==

DBACCDBADCBADCBA

çãoSimplifica

DCBAm

DCBAm

..).(........

...)00113(3

...)00011(1

=+=+

⇓==

==


Variável Eliminada

Deste modo, dois termos, com 4 variáveis, podem ser substituídos por um termo

de 3 variáveis.

O mérito do Mapa K está em possibilitar a determinação das combinações de

Mintermos ou de Maxtermos através da visualização geométrica.

O princípio geral que se aplica ao Mapa K:

- Qualquer par de Mintermos ou Maxtermos adjacentes pode ser combinado em um

único termo, o que resulta em uma variável a menos que as pertencentes aos Mintermos

ou Maxtermos.

- Se forem englobados 2n termos, irão desaparecer n variáveis.

Ex.: Englobando-se 4 termos=22 Desaparecem 2 variáveis.

Englobando-se 16 termos = 24 Desaparecem 4 variáveis

O termo combinado é determinado através da eliminação da variável que aparece

complementada em um Mintermo ou Maxtermo e não complementada no outro.

Adjacências Lógicas Adicionais

o Mintermos ou Maxtermos geometricamente adjacentes são também logicamente

adjacentes.

o Há casos em que os quadrículos não são geometricamente adjacentes, mas os

Mintermos ou Maxtermos o são.

o Os quadrículos na coluna mais à esquerda, são logicamente adjacentes aos quadrículos

situados na mesma linha e na coluna mais à direita.

Ex.: m8 é adjacente a m0

m1 é adjacente a m9

o Os quadrículos na linha superior são adjacentes aos situados na linha inferior e na

mesma coluna.

Ex.: m0 é adjacente a m2

m4 é adjacente a m6

}Cilindro Vertical

}Cilindro Horizontal


Ex.: Uma Simplificação A mesma função c\ envolvimentos diferentes

CD AB 00 01 11 10 CD AB 00 01 11 1000 0 4 12 1 8 1 00 0 4 12 1 8 101 1 5 13 9 01 1 5 13 9

11 3 1 7 15 11 11 3 1 7 15 11

10 2 1 6 14 10 1 10 2 1 6 14 10 1

As funções acima parecem ser diferentes, porém são idênticas. A comprovação é

feita pela tabela verdade.

Pode-se verificar, pelas simplificações acima, que as equações podem ser mais

simplificadas usando-se um mesmo mintermo duas vezes, tirando-se partido de um dos

postulados da Álgebra de Boole, sendo por exemplo:

Agrupamento Maiores em um Mapa K

2n quadrículos adjacentes Termo com n variáveis eliminadas.

Ex.:

CD AB 00 01 11 10 CD AB 00 01 11 10

f = A D

0001 1 111 1 110

f = BD

00 1 1011110 1 1

CD AB 00 01 11 10 CD AB 00 01 11 1000 1 1011110 1 1

f = D

00 1 1 1 1011110 1 1 1 18=23 –> 3 Var. eliminadas

CD AB 00 01 11 10 CD AB 00 01 11 10

)12,10,8,3,2(

......),,,(

m

DCBCBADCADCBAf

Σ=++=

)12,10,8,3,2(

......),,,(

m

DBACBADCADCBAf

Σ=++=

............2 ++== DCBADCBADCBAm

DBf .=

1=+= AAfMaxtermosCADCAf )).(( +++=


00 1 1 1 101 1 1 1 111 1 1 1 110 1 1 1 1

00 0 001 0 011 0 010

• O número de quadrículos que deve ser considerado tem que ser uma potência de 2. É

possível agrupar 20=1, 21=2, 22=4, 23=8, ..., mas não é possível agrupar 3 quadrículos

adjacentes.

• Uma boa aproximação na leitura da solução ótima de um Mapa é computar primeiro

todos os quadrículos que contém 1’s que não combinam com quaisquer outros. A

seguir, os quadrículos com 1’s que combinam com somente outro quadrículo. A seguir,

dois quadrículos com 1’s que combinam com dois outros quadrículos, e assim por

diante com grupos de 4, 8, 16, etc...

• A combinação de quadrículos (Mintermos ou Maxtermos) que for selecionada deve

incluir todos os quadrículos pelo menos uma vez. Um quadrículo pode ser combinado

mais de uma vez, desde que esteja ajudando na simplificação de outros quadrículos.

• As combinações devem ser selecionadas com a finalidade de incluir o maior número

possível de quadrículos (potência de 2), de tal modo que seja efetuado o menor número

de combinações.

Mapeamento de uma Função não expressa por Mintermos ou Maxtermos

Se uma função não for expressa na forma de Mintermos ou Maxtermos, não é

necessário expandi-la algebricamente para obter seus Mintermos ou Maxtermos. A

expansão em Mintermos ou Maxtermos pode ser obtida pelo processo de Mapeamento.

Ex.: f(A,B,C,D)=A . B. C. D + B.C.D + A .C + A

|-- Somente este termo está na forma de Mintermos

CD AB 00 01 11 10A . B . C . D 00 1 1 1 1 A

01 1 1 1 1

C

11 1 1 D


10 1 1 A . C A B. C. D B

Simplificando, vai dar f(A,B,C,D) =A+C

Mapa K de 5 Variáveis

Ex.:

DE ABC 000 001 011 010 110 111 101 10000 1 101 1 1 1 1 1 111 1 110 1 1 1 1 1 1 1 1

Mapa K de 6 Variáveis

Ex.:

DEF ABC 000 001 011 010 110 111 101 100000 1 1 1 1 1 1001011 1 1 1 1010 1 1 1 1 1 1110 1 1 1 1 1 1111 1 1 1 1101100 1 1 1 1 1 1

6.3 - Condições Irrelevantes

• Uma função lógica é definida quando assume valor 0 ou 1 para cada combinação

possível das variáveis, que poderá ser representada por um Mapa K, através de

Maxtermos e Mintermos.

ECAEDCBEDCAEBAEDX ........... ++++=

FEBECFAX .... ++=


Supondo que se deseje obter a forma mais simples de uma função que é

especificada por algumas (mas não todas) as possíveis combinações das variáveis.

Neste caso, um número de diferentes funções é possível, todas elas satisfazendo às

especificações.

Na prática, estas funções incompletamente especificadas aparecem em duas

situações:

1. Não nos interessa que valor a função assuma para estas combinações de variáveis.

2. Certas combinações de variáveis nunca ocorrem. Neste caso, é considerado que elas

não interessam, já que o efeito é o mesmo.

Ex.: Duas chaves A e B operam contatos. Estas chaves ligam uma lâmpada somente se a

chave A está operada e a chave B não está. Estas chaves são mecanicamente interligadas de

modo que somente possa ser pressionada uma de cada vez, porém ambas podem estar

desativadas.

A B S0 0 00 1 01 1 --1 0 1

S =A.B

Desde que a chave A esteja pressionada, não é necessário estipular que a chave B

não está pressionada, já que as duas não podem ser pressionadas ao mesmo tempo. Logo,

somente a chave A comanda o circuito. A condição A.B é irrelevante. Então, S pode ser

dado por A.

Pode-se obter A a partir de S =A.B+A.B = A.

Condições Irrelevantes (Don’t Care) tanto podem assumir valor 1 ou 0. Se

facilitar, na simplificação, é permitido assumir algumas condições don’t care como 1’s.


Ex.: f(A,B,C,D) = Σm(1,2,5,6,9) + d(10,11,12,13,14,15)

No Mapa K o don’t care é marcado por cruzes (X) ou tracinhos (-).

CD AB 00 01 11 1000 X01 1 1 X 111 X X10 1 1 X X

Os quadrículos 10, 13 e 14 são assumidos como 1’s, permitindo mais facilmente a

simplificação da função.

Se somente fossem combinados os 1’s ter-se-ia:

DCDCf .. +=

DCADCBDCAS ...... ++=


7- Referências Bibliográficas

- Taub, Herbert – Circuitos Digitais e Microprocessadores

- Idoeta, Ivan e Capuano, Francisco – Elementos de Eletrônica Digital

- Tocci, Ronald J. – Sistemas Digitais – Princípios e Aplicações

- Capuano, Francisco – Exercícios de Eletrônica Digital.

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