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  • 17-1

    CAPTULO 17

    TCNICAS DIGITAIS

    SISTEMAS DE NUMERAO Os sistemas de numerao foram desenvolvidos na histria da humanidade atendendo s crescentes necessidades. Inicialmente o homem, por convenincia utilizou-se dos dedos como forma de contagem, criando o sistema decimal. Com o advento do computador, outros sistemas vieram a ser criados, visando maior facilidade de representao interna codificada. Dentre os mais comuns podemos citar os sistemas Binrio, Octal e Hexadecimal, que adequam-se s necessidades ou funes internas de diversos equipamentos. O sistema decimal, porm, nunca foi deixado de lado como forma de representao numrica, convencionada para ns, humanos. Sistema decimal de numerao O sistema decimal um sistema de base 10, no qual existem dez algarismos para representao de uma quantidade: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ........., 9. O menor algarismo de uma determinada base zero (0) e o maior igual a base menos 1 (10 1 = 9).

    No exemplo 1 a seguir temos um nmero na base 10.

    (583)10 Podemos decompor este nmero em potncia de dez, j que sua base 10 e fazendo isso teremos: (5 x 100) + (8 x 10) + (3 x 1) = 583 Neste exemplo podemos notar que o algarismo menos significativo (no caso o trs) multiplica-se a unidade (1 ou 100), o segundo algarismo (o oito) multiplica-se a dezena (10 ou 101) e o mais significativo (no caso o cinco) multiplica-se a centena (100 ou 102). A soma desses resultados ir representar o nmero. Exemplo 2: (1592)10 Decompondo o mesmo teremos:

    1 x 103 + 5 x 102 + 9 x 101 + 2 x 100 = 1592 1000 + 500 + 90 + 2 = 1592 Exemplo 3: (583,142)10 Notamos que no exemplo 3 temos um nmero com uma parte fracionria. Vejamos ento sua decomposio em potncia de dez: 5 x 102 + 8 x 101 + 3 x 100 + 1 x 10-1 + 4 x 10-2 + 2 x 10-3 ou 500 + 80 + 3 + 1 / 10 + 4 / 100 + 2 / 1000 ou ainda 500 + 80 + 3 + 0,1 + 0,04 + 0,002 = = 583,142 Sistema binrio de numerao No sistema binrio a base 2 (b = 2) e existem apenas dois algarismos para representar uma determinada quantidade: o algarismo 0 (zero) e o algarismo 1 (um). Para representar a quantidade zero, utilizamos o algarismo 0, para representar a quantidade um, utilizamos o algarismo 1. No sistema decimal, ns no possumos o algarismo dez e representamos a quantidade de uma dezena utilizando o algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). Nesse caso, o algarismo 1 (um) significa que temos um grupo de uma dezena e o algarismo 0 (zero) nenhuma unidade, o que significa dez. No sistema binrio agimos da mesma forma, para representar a quantidade dois, utilizamos o algarismo 1 (um) seguido do algarismo 0 (zero). O algarismo 1 (um) significar que temos um grupo de dois elementos e o 0 (zero) um grupo de nenhuma unidade, representando assim o nmero dois. Exemplo: Seja o nmero (1011)2 e faamos a sua decomposio em potncia s que desta vez a base ser dois: 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20 1000 + 000 + 10 + 1 = (1011)2

  • 17-2

    Sistema octal de numerao No sistema octal a base oito e temos oito algarismos para representar qualquer quantidade. Esses algarismos so: 0, 1, 2, 3, ...7. Para a formao de um nmero, utilizam-se esses algarismos e toda vez que tivermos uma quantidade igual ao valor da base, soma-se um (1) ao algarismo de valor posicional imediatamente superior como fazemos no sistema decimal. Notamos tambm que, em qualquer base o maior algarismo igual ao valor da base menos um (1) e o nmero de algarismos sempre igual ao da base. Exemplo: Decompondo o nmero (361)8 em potncia de base oito temos: 3 x 82 + 6 x 81 + 1 x 80 3 x 100 + 6 x 10 + 1 x 1 =(361)8

    Podemos escrever que a base elevada a uma determinada potncia igual a um (1 seguido de tantos zeros quantos forem os valores das potncias, assim temos:

    23 = 1000 22 = 100 21 = 10

    103 = 1000 102 = 100 101 = 10

    83 = 1000 82 = 100 81 = 10

    No sistema decimal, o nmero 100 aparece aps o nmero 99 na ordem crescente. No sistema binrio, o nmero 100 aparece aps o nmero 11 na ordem crescente. No sistema octal, o nmero 100 aparece aps o nmero 77 na ordem crescente. Sistema hexadecimal de numerao No sistema hexadecimal de numerao, a base dezesseis e dispomos de dezesseis algarismos para representao de uma determinada quantidade de coisas. Como existem apenas dez algarismos numricos utilizamos tambm algarismos alfanumricos. Portanto temos os seguintes algarismos: 0, 1, 2, 3,......9, A, B, C, D, E e F.

    Hex Dec A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15

    Exemplo: Tomemos o nmero (2C0A)16 e faamos sua decomposio. 2 x 163 + C x 162 + 0 x 161 + A x 160 ou 2 x 4096 + 12 x 256 + 0 x 16 + 10 x 1 = = 8192 + 3072 + 0 + 10 = = (11274)10 Complemento de um nmero O complemento de um nmero o que falta a este nmero para atingir o valor da base. Exemplo: Complemento de (7)10 10 7 = 3 No sistema binrio para chegar-se ao complemento, obtem-se primeiramente o falso complemento. (1011)2 0100 Complemento verdadeiro consiste em somar-se 1 (um) ao complemento falso. 0100 + 1 0101 Converso de bases Converso para base decimal Para convertermos um nmero representado em qualquer sistema numrico, para o sistema decimal usamos a notao posicional e resolvemos a expresso como na base decimal. Seja o nmero 1101 no sistema binrio. A notao posicional seria:

    Complemento falso

  • 17-3

    1 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x 20 =

    1 x 8 + 1 x 4 + 0 x 2 + 1 x 1 = 8 + 4 + 0 + 1 = (13)10

    Portanto (1101)2 = (13)10 Como segundo exemplo o nmero 107 do sistema octal. A notao posicional seria:

    1 x 82 + 0 x 81 + 7 x 80 = 1 x 64 + 0 x 8 + 7 x 1 =

    64 + 0 + 7 = (71)10 Portanto (107)8 = (71)10 Converso do sistema decimal para outras bases Para converso da base 10 para outras bases, o mtodo consiste em divises sucessivas pela base desejada, at que o quociente seja nulo. Os restos das divises indicaro o resultado da converso, sendo o primeiro resto equivalente ao dgito menos significativo e o ltimo ao mais significativo. Exemplo 1 Faamos a converso do nmero (934)10 para base hexadecimal. (10 A) 934 16 1 resto 6 58 16 2 resto 10 3 16 3 resto 3 0 Portanto (934)10 = (3A6 )16

    Exemplo 2 Converso do nmero (76)10 para a

    base 8. 76 8 4 9 8 1 1 8 1 0

    Portanto (76010 = (114 )8 Exemplo 3 Converso do nmero (12 )10 para a base 2. 12 2 0 6 2 0 3 2 1 1 2 1 0

    Portanto (12 )10 = (1100)2 Contagem nas diversas bases Na tabela de contagem nos sistemas de base decimal, binria, octal e hexadecimal observa-se que um nmero expresso num sistema de base menor exige maior quantidade de algarismos do que outro, de base maior, para representar a mesma quantidade.

    DECI- MAL BINARIA OCTAL

    HEXA- DEC.

    0 0 0 0 1 1 1 1 2 10 = 21 2 2 3 11 3 3 4 100 = 22 4 4 5 101 5 5 6 110 6 6 7 111 7 7 8 1000 = 23 10 = 81 8 9 1001 11 9 10 1010 12 A 11 1011 13 B 12 1100 14 C 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 16 10000=24 20 10=161

    - - - - 31 11111 37 1F 32 100000=25 40 20 - - - -

    63 111111 77 3F 64 1000000=26 100=82 40 - - - -

    99 1100011 143 63 100 1100100 144 64

    - - - - 127 1111111 177 7F 128 10000000=27 200 80

    - - - - 255 11111111 377 FF 256 100000000=28 400 100=162

    - - - - - - 1000=83 -

  • 17-4

    Cdigos Ao cdigos so formas de representao de caracteres alfanumricos. So vrios os cdigos existentes havendo porm vantagens de um ou outro, de acordo com a aplicao ou funes internas do equipamento. Cdigo BCD 8421 A sigla BCD repre-senta as iniciais de Bynary Coded Decimal, que significa uma codificao no sistema decimal em binrio. Os termos seguintes (8421) significam os pesos de cada coluna, isto , 8 = 23, 4 = 22, 2 = 21 e 1 = 20. O valor corresponder soma dos pesos onde na coluna houver o bit um (1).

    DECIMAL BCD 8 4 2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 2 0 0 1 0 3 0 0 1 1 4 0 1 0 0 5 0 1 0 1 6 0 1 1 0 7 0 1 1 1 8 1 0 0 0 9 1 0 0 1

    O nmero de bits de um cdigo o nmero de dgitos binrios que este possui. O cdigo BCD 8421 um cdigo de 4 bits. Cdigo excesso 3 Consiste na transformao do nmero decimal, no binrio correspondente, somando-se a ele trs unidades. Exemplo:

    (0)10 = (0000)2 Somando-se trs unidades, teremos 0011

    DECIMAL EXCESSO 3 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 2 0 1 0 1 3 0 1 1 0 4 0 1 1 1 5 1 0 0 0

    6 1 0 0 1 7 1 0 1 0 8 1 0 1 1 9 1 1 0 0

    O cdigo Excesso 3 utilizado em circuitos aritmticos. Cdigo Johnson Baseia-se no deslocamento de bits e utilizado na construo do Contador Johnsos.

    DECIMAL JOHNSON 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 1 3 0 0 1 1 1 4 0 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 6 1 1 1 1 0 7 1 1 1 0 0 8 1 1 0 0 0 9 1 0 0 0 0

    Cdigo Gray ou sistema de numerao refletido Sua principal caracterstica que, em conta-gens sucessivas, apenas um bit varia. A codificao Gray mostrada na tabela a seguir, onde os campos em destaque representam um espelho a ser refletido para a contagem seguinte, acr

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