TAREFA 1

Questão 1 (1,5 pontos)

Uma praga de insetos ataca uma plantação de batatas; deseja-se controlar, biologicamente a praga,através de uma estratégia ótima. Considerando uma margem de perda ao redor de 4% ao supor umaplantação inicial para recolher os insetos e supondo a área de plantação um campo retangular dedimensões M = 100 m e N = 50 m. Faça uma Modelagem Matemática do problema de encontrara largura da faixa em torno da plantação do campo retangular. Identifique e explique as etapas daModelagem Matemática do problema. Rpta. x = 0, 675.

Questão 2 (1,5 pontos)

Um grupo de pesquisadores obtiveram os seguintes dados experimentais em um processo de mediçãoentre as grandezas x e y:

x 2 4 6 8 10

y 5 4 8 6 12

a) Construa o diagrama de dispersão.b) Determine a reta dos mı́nimos quadrados. Rpta. y = 0, 8x+ 2, 2.c) Utilizando a reta dos mı́nimos quadrados, estime os valores de y para x = 5 e x = 8. Rpta. Parax = 5, y = 6, 2; para x = 8, y = 8, 6.d) Calcule as médias aritméticas x̄ e ȳ dos xi e dos yi respectivamente e verifique que a reta dos mı́nimosquadrados passa pelo ponto (x̄, ȳ). Rpta. x̄ = 6, ȳ = 7.

Questão 3 (1,5 pontos)

A temperatura estacionária T (x) em uma viga de comprimento 5 metros depende da posição x dospontos da viga. A tabela a seguir mostra os dados coletados em graus Celsius.

x 0 1 2 3 4 5

T (x) -1 2 1,5 3,5 3,8 4,5

Construa o diagrama de dispersão e determine a reta dos mı́nimos quadrados. Rpta. y = 349350x− 23

210.

Questão 4 (1,5 pontos)

A tabela a seguir apresenta as vendas semanais (em toneladas) de arroz, das últimas 6 semanas, de umsupermercado. (Na linha dos x, o -6 estará representando atrás, o −5 cinco semanas atrás etc.)

1

x -6 -5 -4 -3 -2 -1

y 2 2,4 1,9 1,8 2,1 2,2

(Pela tabela, há seis semanas foram vendidas 2 toneladas de arroz; há cinco semanas, 2,4 toneladas etc.)a) Determine a reta dos mı́nimos quadrados. Rpta. y = 31

15.

b) Estime a venda para a semana atual (x = 0). Rpta. 3115.

Questão 5 (2,0 pontos)

O aumento de células cancerosas num tumor por unidade do tempo t, supondo o tempo de duplicaçãodas células constante, é dado através dos seguintes dados experimentais:

Tempo (dias) Número de células (miles)0 0,1

0,5 0,41,0 1,11,5 1,82,0 2,52,5 5,53,0 12

Com estes dados, determine a dependência funcional do número de células N(t) do tumor em relaçãoao tempo t mediante um ajuste linear.Rpta. N(t) = 0, 16181e1,4589t.

Questão 6 (2,0 pontos)

A Tabela seguinte fornece os valores experimentais da pressão P de uma dada massa de gás correspon-dente a vários valores do volume V . De acordo com prinćıpios termodinâmicos, existe entre as variáveisuma relação PV β = α, onde α e β são constantes.

a) Encontre os valores de α e β (aplique o método dos mı́nimos quadrados para ajustar os dados atravésde um modelo de ajuste linear geométrico). Rpta. α = 1, 6 × 104, β = 1, 4.b) Escreva a equação relacionando P e V . Rpta. PV 1,404 = 15, 972.

c) Estimar P quando v = 100, 0 in3. Rpta. P = 25, 1 lb/in2.

Volume V (in3) 54,3 61,8 72,4 88,7 118,6 194,0

Pressão P (lb/in) 61,2 49,5 37,6 28,4 19,2 10,1

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