sumario´ - portal do aluno rumo´e adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em...

Rumo Curso Pre Vestibular Assistencial - RCPVADisciplina: Matematica

Professor: Vinıcius Nicolau10 de Outubro de 2014

Sumario

1 Questoes de Vestibular 21.1 ENEM 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Questao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Questao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Questao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.4 Questao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.5 Questao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.6 Questao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.7 Questao 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.8 Questao 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.9 Questao 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.10 Questao 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.11 Questao 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.12 Questao 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.13 Questao 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.1.14 Questao 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 UFPR 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.1 Questao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.2 Questao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.2.3 Questao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.4 Questao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Respostas - ENEM 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.1 Questao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.2 Questao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3 Questao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.4 Questao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.5 Questao 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.6 Questao 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.7 Questao 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.8 Questao 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.9 Questao 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.10 Questao 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.11 Questao 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.3.12 Questao 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

Voltar para o Sumario MAT A- Questoes de Vestibular p. 1



1.3.13 Questao 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.14 Questao 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.4 Respostas - UFPR 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.1 Questao 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.4.2 Questao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241.4.3 Questao 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.4.4 Questao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1 Questoes de Vestibular

1.1 ENEM 2012

1.1.1 Questao 1

O esporte de alta competicao da atualidade produziu uma questao ainda sem resposta: Qual

e o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por

ter corrido 42 quilometros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planıcies da

California, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas.

Um professor de Educacao Fısica, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do

maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centımetros, que representaria

o percurso referido.

Disponıvel em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).

Se o percurso de Dean Karnazes fosse tambem em uma pista reta, qual seria a escala entre a

pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?(a) 1:700(b) 1:7000(c) 1:70000(d) 1:700000(e) 1:7000000

Resposta




1.1.2 Questao 2

O losango representado na Figura 1 foi formado pela uniao dos centros das quatro circun-

ferencias tangentes, de raios de mesma medida.

Dobrando-se o raio de duas das circunferencias centradas em vertices opostos do losango e

ainda mantendo-se a configuracao das tangencias, obtem-se uma situacao conforme ilustrada

pela Figura 2.

O perımetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perımetro do losango da Figura 1,

teve um aumento de(a) 300%(b) 200%(c) 150%(d) 100%(e) 50%

Resposta

1.1.3 Questao 3

Jose, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas.

Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte

eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaco de

cada um. Na primeira parte do trajeto Jose, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporcao 6




: 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto Jose, Carlos e Paulo dividiram as laranjas

na proporcao 4 : 4 : 2, respectivamente.

Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de

laranjas que Jose, Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto?(a) 600, 550, 350(b) 300, 300, 150(c) 300, 250, 200(d) 200, 200, 100(e) 100, 100, 50

Resposta

1.1.4 Questao 4

Em um blog de variedades, musicas, mantras e informacoes diversas, foram postados Contos

de Halloween. Apos a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reacoes em:

Divertido, Assustador ou Chatfi. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes

distintos acessaram esta postagem. O grafico a seguir apresenta o resultado da enquete.

O administrador do blog ira sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem

Contos de Halloween. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade

de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto Contos de

Halloween e Chato e mais aproximada por(a) 0,09




(b) 0,12(c) 0,14(d) 0,15(e) 0,18

Resposta

1.1.5 Questao 5

Arthur deseja comprar um terreno de Cleber, que lhe oferece as seguintes possibilidades depagamento:

• Opcao 1: Pagar a vista, por R$ 55 000,00.

• Opcao 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30 000,00, e mais uma prestacao deR$ 26 000,00 para dali a 6 meses.

• Opcao 3: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 20 000,00, mais uma prestacao deR$ 20 000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18 000,00 para dali a 12 meses da datada compra.

• Opcao 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15 000,00 e o restante em 1 ano da datada compra, pagando R$ 39 000,00.

• Opcao 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60 000,00.

Arthur tem o dinheiro para pagar a vista, mas avalia se nao seria melhor aplicar o dinheiro

do valor a vista (ou ate um valor menor) em um investimento, com rentabilidade de 10% ao se-

mestre, resgatando os valores a medida que as prestacoes da opcao escolhida fossem vencendo.

Apos avaliar a situacao do ponto de vista financeiro e das condicoes apresentadas, Arthur

concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opcao(a) 1(b) 2(c) 3(d) 4(e) 5

Resposta




1.1.6 Questao 6

Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informacao de que encolhera apos a

primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas ori-

ginais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressao

algebrica que representa a area do forro apos ser lavado e (5− x) · (3− y).

Nestas condicoes, a area perdida do forro, apos a primeira lavagem, sera expressa por(a) 2xy(b) 15− 3x

(c) 15− 5y

(d) −5y − 3x

(e) 5y + 3x− xy

Resposta

1.1.7 Questao 7

A capacidade mınima, em BTU/h, de um aparelho de ar-condicionado, para ambientes sem

exposicao ao sol, pode ser determinada da seguinte forma:

• 600 BTU/h por m2, considerando-se ate duas pessoas no ambiente;

• para cada pessoa adicional nesse ambiente, acrescentar 600 BTU/h;

• acrescentar mais 600 BTU/h para cada equipamento eletroeletronico em funcionamentono ambiente.

Sera instalado um aparelho de ar-condicionado em uma sala, sem exposicao ao sol, de di-

mensoes 4 m× 5 m, em que permanecam quatro pessoas e possua um aparelho de televisao em

funcionamento. A capacidade mınima, em BTU/h, desse aparelho de ar-condicionado deve ser(a) 12000




(b) 12600(c) 13200(d) 13800(e) 15000

Resposta

1.1.8 Questao 8

A resistencia mecanica S de uma viga de madeira, em forma de um paralelepıpedo retangulo,

e diretamente proporcional a sua largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente

proporcional ao quadrado da distancia entre os suportes da viga, que coincide com o seu com-

primento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k e chamada de

resistencia da viga.

A expressao que traduz a resistencia S dessa viga de madeira e

(a) S =k · b · d2

x2

(b) S =k · b · dx2

(c) S =k · b · d2

x

(d) S =k · b2 · d

x

(e) S =k · b · 2d

2x

Resposta




1.1.9 Questao 9

O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma

brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 comodos; um dos

personagens esconde um dos objetos em um dos comodos da casa. O objetivo da brincadeira

e adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual comodo da casa o objeto

foi escondido.

Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno e sorteado e da a sua resposta. As

respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno nao pode ser sorteado

mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele e declarado vencedor e a brincadeira

e encerrada.

O diretor sabe que algum aluno acertara a resposta porque ha(a) 10 alunos a mais do que possıveis respostas distintas.(b) 20 alunos a mais do que possıveis respostas distintas.(c) 119 alunos a mais do que possıveis respostas distintas.(d) 260 alunos a mais do que possıveis respostas distintas.(e) 270 alunos a mais do que possıveis respostas distintas.

Resposta

1.1.10 Questao 10

Um biologo mediu a altura de cinco arvores distintas e representou-as em uma mesma malha

quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicacoes na figura a seguir.

Qual e a arvore que apresenta a maior altura real?(a) I(b) II




(c) III(d) IV(e) V

Resposta

1.1.11 Questao 11

Em um jogo ha duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir

indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

Uma jogada consiste em:

1 ◦) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que sera retirada por ele da urna 2;

2 ◦) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as

que la estao;

3 ◦) em seguida ele retira, tambem aleatoriamente, uma bola da urna 2;

4 ◦) se a cor da ultima bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo.

Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ga-

nhar?(a) Azul.(b) Amarela.(c) Branca.(d) Verde.(e) Vermelha.

Resposta




1.1.12 Questao 12

Os hidrometros sao marcadores de consumo de agua em residencias e estabelecimentos

comerciais. Existem varios modelos de mostradores de hidrometros, sendo que alguns deles

possuem uma combinacao de um mostrador e dois relogios de ponteiro. O numero formado

pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em m3, e os dois ultimos

algarismos representam, respectivamente, as centenas e dezenas de litros de agua consumidos.

Um dos relogios de ponteiros indica a quantidade em litros, e o outro em decimos de litros,

conforme ilustrados na figura a seguir.

Considerando as informacoes indicadas na figura, o consumo total de agua registrado nesse

hidrometro, em litros, e igual a(a) 3 534,85.(b) 3 544,20.(c) 3 534 850,00.(d) 3 534 859,35.(e) 3 534 850,39.

Resposta

1.1.13 Questao 13

O dono de uma farmacia resolveu colocar a vista do publico o grafico mostrado a seguir,

que apresenta a evolucao do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano

de 2011.




De acordo com o grafico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor

venda absolutas em 2011 foram(a) marco e abril.(b) marco e agosto.(c) agosto e setembro.(d) junho e setembro.(e) junho e agosto.

Resposta

1.1.14 Questao 14

Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes for-

matos. Nas imagens apresentadas estao as planificacoes dessas caixas.

Quais serao os solidos geometricos que Maria obtera a partir dessas planificacoes?(a) Cilindro, prisma de base pentagonal e piramide.(b) Cone, prisma de base pentagonal e piramide.(c) Cone, tronco de piramide e piramide.(d) Cilindro, tronco de piramide e prisma.(e) Cilindro, prisma e tronco de cone.

Resposta




1.2 UFPR 2010

1.2.1 Questao 1

Num mapa da Regiao Metropolitana de Curitiba, na escala 1 : 250.000, uma das pistas da

rodovia BR-116 aparece desenhada com um milımetro de largura. A partir dessa informacao, e

correto afirmar:(a) A largura da pista e de 20 m.(b) A largura da pista e de 15 m.(c) A largura da pista e de 25 m.(d) A representacao da rodovia com um milımetro de largura, num mapa na escala 1:250.000,

esta de acordo com a largura real da rodovia.(e) Trata-se de uma questao de generalizacao cartografica e nesse caso o desenho da rodovia

nao obedece a relacao de escala.

Resposta

1.2.2 Questao 2

Uma corda de 3,9 m de comprimento conecta um ponto na base de um bloco de madeira

a uma polia localizada no alto de uma elevacao, conforme o esquema abaixo. Observe que o

ponto mais alto dessa polia esta 1,5 m acima do plano em que esse bloco desliza. Caso a corda

seja puxada 1,4 m, na direcao indicada abaixo, a distancia x que o bloco deslizara sera de:

(a) 1,0 m.(b) 1,3 m.(c) 1,6 m.(d) 1,9 m.(e) 2,1 m.




Resposta

1.2.3 Questao 3

Assinale a alternativa que apresenta a historia que melhor se adapta ao grafico.

tempo

distância de casa

(a) Assim que saı de casa lembrei que deveria ter enviado um documento para um clientepor e-mail. Resolvi voltar e cumprir essa tarefa. Aproveitei para responder mais algumasmensagens e, quando me dei conta, ja havia passado mais de uma hora. Saı apressada e tomeium taxi para o escritorio.

(b) Saı de casa e quando vi o onibus parado no ponto corri para pega-lo. Infelizmente omotorista nao me viu e partiu. Apos esperar algum tempo no ponto, resolvi voltar para casae chamar um taxi. Passado algum tempo, o taxi me pegou na porta de casa e me deixou noescritorio.

(c) Eu tinha acabado de sair de casa quando tocou o celular e parei para atende-lo. Era meuchefe, dizendo que eu estava atrasado para uma reuniao. Minha sorte e que nesse momentoestava passando um taxi. Acenei para ele e poucos minutos depois eu ja estava no escritorio.

(d) Tinha acabado de sair de casa quando o pneu furou. Desci do carro, troquei o pneu efinalmente pude ir para o trabalho.

(e) Saı de casa sem destino - estava apenas com vontade de andar. Apos ter dado umas dezvoltas na quadra, cansei e resolvi entrar novamente em casa.

Resposta

1.2.4 Questao 4

Qual das seguintes retas passa pelo centro da circunferencia x2 + y2 + 4y − 3 = 0?(a) x+ 2y = 4.(b) 5x− y = 2.




(c) x+ y = 0.(d) x− 5y = −2.(e) 2x+ y = 7.

Resposta




1.3 Respostas - ENEM 2012

1.3.1 Questao 1

Vamos comecar fazendo uma Regra de Tres para converter a distancia percorrida pelo ma-

ratonista de quilometros para centımetros:

Quilometros (km) Centımetros (cm)

1 100000

420 x

Obs.: Se voce nao lembrar quantos centımetros ha em um quilometro, faca outras Regras

de Tres para converter de km para m e de m para cm, ou entao utilize a tabela para conversao de

medidas.

Como as grandezas sao diretamente proporcionais, temos que

1 · x = 420 · 100000

x = 42 000 000

Agora, sabemos que o desenho na lousa de 60 cm representa o percurso de 42 000 000 cm

percorrido por Dean Karnazes.

Para descobrir a escala utilizada, se o percurso fosse em uma pista reta, utilizamos nova-

mente a Regra de Tres, conforme abaixo:

Representacao (cm) Real (cm)

60 42 000 000

1 y

Novamente, como as grandezas sao diretamente proporcionais, temos que

60 · y = 1 · 42 000 000




y =42 000 000

60= 700000

Logo, a escala utilizada foi de 1:700000.

Voltar para a Questao 1

1.3.2 Questao 2

Vamos dizer que os raios das circunferencias da figura 1 medem r. Como as circunferencias

sao tangentes, os lados do losango medem r + r = 2r. Portanto, o perımetro do losango inicial

e 2r + 2r + 2r + 2r = 8r.

Na figura 2, como em duas circunferencias opostas o raio foi dobrado, medindo agora 2r,

e visto que as circunferencias continuam tangentes, temos que cada lado do losango mede r +

2r = 3r. Assim, o perımetro do losango da figura 2 mede 3r + 3r + 3r + 3r = 12r.

Logo, houve um aumento de 12r − 8r = 4r, que representa 50% do perımetro inicial.


1.3.3 Questao 3

Na primeira parte do trajeto, o total x de laranjas foi dividido em 6 + 5 + 4 = 15 partes,

sendo que Jose levou6x

15laranjas, Carlos levou

5x

15laranjas e Paulo levou

4x

15laranjas.

Ja na segunda parte do trajeto, o total x de laranjas foi dividido em 4 + 4 + 2 = 10 partes,

sendo que Jose levou4x

10laranjas, Carlos levou

4x

10laranjas e Paulo levou

2x

10laranjas.

Portanto, podemos construir a tabela abaixo:

1a parte 2a parte

Jose6x

15

4x

10Nao houve alteracao, pois

6

15=

4

10=

2

5

Carlos5x

15

4x

10Houve alteracao, pois

5

15<

4

10

Paulo4x

15

2x

10Houve alteracao, pois

4

15>

2

10




Assim, o unico que levou mais laranjas no segundo trajeto foi Carlos. Portanto,

4x

10=

5x

15+ 50

4x

10− 5x

15= 50

(12− 10)x

30= 50

2x = 1500⇔ x = 750

Ou seja, o total de laranjas e 750.

Obs.: Neste momento, podemos observar que a unica alternativa que faz sentido e a (b),

pois e a unica em que as duas primeiras quantidades sao iguais e a soma das tres quantidades e

750.

Substituindo o valor de x nas fracoes anteriores, temos que, na segunda parte do trajeto,

Jose e Carlos levaram4(750)

10= 300 laranjas e Paulo levou

2(750)

10= 150 laranjas.


1.3.4 Questao 4

O total de visitantes registrado foi de 500 pessoas, porem 21% deles nao opinaram. Assim,

apenas 79% · 500 =71

100· 500 = 395 opinaram.

Do enunciado, concluımos que 12% · 500 do total de visitantes assinalaram a opcao Chato,

ou seja, 12% · 500 =12

100· 500 = 60 pessoas assinalaram essa opcao.

Portanto, a probabilidade de escolher alguem que assinalou a opcao Chato dentre todos que

opinaram e

P =60

395≈ 0, 15





1.3.5 Questao 5

Arthur tem inicialmente R$ 55000 e todo o dinheiro que nao for utilizado naquele momento

sera investido para render 10% em um semestre. Assim, podemos montar a seguinte tabela:

1◦ Semestre 2◦ Semestre

OpcaoValor pago

inicialmente

Valor

investidoRendimento

Valor

pago

Valor

investidoRendimento

Valor

pagoTotal

Primeira 55000 - - - - - - 0

Segunda 30000 (25000) 2500 26000 - - - 1500

Terceira 20000 (35000) 3500 20000 (18500) 1850 18000 2350

Quarta 15000 (40000) 4000 - (44000) 4400 39000 9400

Quinta - (55000) 5500 - (60500) 6050 60000 6550

Logo, a quarta opcao e a mais vantajosa financeiramente.


1.3.6 Questao 6

Da figura, temos que a area inicial do forro e 15. Apos lavado, a area passa a ser

(5− x) · (3− y). Logo, a area perdida (Ap) e igual a area inicial menos a area apos a lavagem,

ou seja,

Ap = 15− (5− x) · (3− y)

Ap = 15− [15− 5y − 3x+ xy] = 15− 15 + 5y + 3x− xy

Ap = 5y + 3x− xy





1.3.7 Questao 7

Do enunciado, temos que o ambiente possui 20 m2, 4 pessoas e 1 aparelho eletronico.

O primeiro item diz que o aparelho de ar-condicionado utilizara 600 BTU/h por m2 para ate

duas pessoas. Entao, utilizara 20 · 600 = 12000 BTU/h.

Para cada pessoa apos a segunda, o aparelho acrescentara 600 BTU/h. Como ha outras duas

pessoas no ambiente, sera acrescido 2 · 600 = 1200 BTU/h.

Como ha apenas um aparelho eletronico em funcionamento, deve-se acrescentar 1 · 600 =

600 BTU/h.

Logo, temos que a capacidade mınima de funcionamento do aparelho de ar-condicionado

sera de 12000 + 1200 + 600 = 13800 BTU/h.


1.3.8 Questao 8

Relembrando:

• duas grandezas S e T sao diretamente proporcionais quando o aumento de S causa o

aumento de T , e reciprocamente. Matematicamente, se S e T sao diretamente proporcio-

nais, escrevemos S = k · T , para alguma constante k.

• duas grandezas S e T sao inversamente proporcionais quando o aumento de S causa a

reducao de T , e reciprocamente. Matematicamente, se S e T sao inversamente proporci-

onais, escrevemos S = k · 1T

, para alguma constante k.

Assim, do enunciado temos que S e diretamente proporcional a b e a d2, e inversamente

proporcional a x2. Logo, concluımos que S =k · b · d2

x2.


1.3.9 Questao 9

Vamos escolher um dos personagens, por exemplo o Personagem 1. Entao, temos o seguinte:


Personagem 1

Objeto 5

Comodo 9 Possibilidade 45Comodo 8 Possibilidade 44Comodo 7 Possibilidade 43Comodo 6 Possibilidade 42Comodo 5 Possibilidade 41Comodo 4 Possibilidade 40Comodo 3 Possibilidade 39Comodo 2 Possibilidade 38Comodo 1 Possibilidade 37

Objeto 4


Objeto 3


Objeto 2


Objeto 1




Ou seja, para apenas o Personagem 1 temos 45 possibilidades. Como sao 6 personagens,temos um total de 6 · 45 = 270 possibilidades.

Logo, visto que foram convidados 280 alunos, ha 10 alunos a mais que o total de possibili-dades.


1.3.10 Questao 10

Primeiro, observe que somente as figuras III e V estao na mesma escala. E como narepresentacao III a arvore e maior que na representacao V, ja podemos excluir a alternativa(e).

Utilizando apenas Regra de Tres, podemos encontrar as alturas reais da arvores I, II, III eIV. Visto que as grandezas envolvidas sao diretamente proporcionais, temos que

Arvore Altura Resultado

I


1 100

9 x1

x1 = 900

II


2 100

9 x2

x2 = 450

III


2 300

6 x3

x3 = 900

IV


1 300

4,5 x4

x4 = 1350

Logo, a arvore representada em IV e a que possui a maior altura real.Voltar para a Questao 10

1.3.11 Questao 11

Levando em consideracao as regras do jogo e o fato de haver mais bolas vermelhas na urna2, alguem estaria inclinado a escolher a cor vermelha. E, nesse caso, estaria correto.




Observe que a probabilidade de uma bola vermelha ser retirada da urna 2 sera sempre4

11≈ 0, 36, seja qual for a bola retirada na urna 1.

Enquanto isso, a probabilidade de retirar uma bola verde da urna 1 e, em seguida, uma bola

verde da urna 2 e de1

10· 411

=4

110≈ 0, 036.

E ainda, a probabilidade de ser retirada uma bola de qualquer outra cor da urna 1 e em

seguida uma de cor verde e de9

10· 311

=27

110≈ 0, 245.

Ou seja, a probabilidade de ser retirada uma bola verde da urna 2 e de 0, 036 + 0, 245 =0, 281.

Utilizando o raciocınio acima, vamos dizer que x e a quantidade de bolas na urna 2 de umadeterminada cor. A probabilidade de ser retirada uma bola desta cor da urna 2 e de

4− x

10· x+ 1

11+

10− (4− x)

10· x11

sendo que a primeira parcela e a probabilidade de retirar uma bola daquela cor escolhida tantoda urna 1 quanto da urna 2, e a segunda parcela e a probabilidade de retirar uma bola de outracor da urna 1 e da cor escolhida da urna 2.

Assim, podemos montar a tabela abaixo

CorQuantidade na

Urna 2 (x)Probabilidade

Resultado

Aproximado

Amarela 0 4−010· 0+1

11+ 10−(4−0)

10· 011

0,04

Azul 1 4−110· 1+1

11+ 10−(4−1)

10· 111

0,12

Branca 2 4−210· 2+1

11+ 10−(4−2)

10· 211

0,20

Verde 3 4−310· 3+1

11+ 10−(4−3)

10· 311

0,28

Vermelha 4 4−410· 4+1

11+ 10−(4−4)

10· 411

0,36

Logo, o jogador deve escolher a cor vermelha.Voltar para a Questao 11

1.3.12 Questao 12

Do enunciado e da figuras, concluımos que foram consumidos 3534 m3, mais 8 centenas delitros, mais 5 dezenas de litros, mais 9 litros e mais 3,5 decimos de litros. Convertendo tudo




para litros, temos que o consumo foi de

3534000 + 800 + 50 + 9 + 0, 35 = 3 534 859, 35.


1.3.13 Questao 13

Basta analisar o grafico e encontrar o ponto mais alto e mais baixo da curva, que correspon-dem aos meses de Junho e Agosto, respectivamente.


1.3.14 Questao 14

Podemos observar que a primeira figura representa um cilindro planificado, a segunda re-presenta a planificacao de um prisma cuja base e um pentagono e a terceira figura representa aplanificacao de um tetraedro ou de uma piramide de base triangular.


1.4 Respostas - UFPR 2010

1.4.1 Questao 1

Vamos comecar convertendo a medida de 1 mm para centımetros. Podemos utilizar tanto atabela de conversao de medidas quanto a regra de tres. De qualquer forma, teremos que 1 mmequivale a 0,1 cm.

Agora, utilizamos a regra de tres para saber qual a medida real que 0,1 cm do desenhorepresenta. Entao,


1 250000

0,1 x

Assim, como as grandezas sao diretamente proporcionais, temos que x = 0, 1 · 250000 =25000. Logo, a medida de 0,1 cm no mapa representa a medida de 25000 cm, ou 250 m.Observe que essa medida nao faz sentido para a largura de uma rodovia, mas encontramos essevalor porque (e) Trata-se de uma questao de generalizacao cartografica e nesse caso o desenhoda rodovia nao obedece a relacao de escala.





1.4.2 Questao 2

Observe que, antes de ser realizado o movimento, temos o triangulo retangulo abaixo, emque d1 e a distancia inicial do bloco de madeira a base da elevacao.

Assim,(d1)

2 + (1, 5)2 = (3, 9)2

(d1)2 = 12, 96 =

1296

100

Como d1 e uma distancia, temos que

d1 =

√1296

100=

√1296√100

=36

10= 3, 6

Ou seja, a distancia inicial e 3,6 m.Apos o movimento, teremos o seguinte triangulo retangulo, em que d2 e a distancia final do

bloco de madeira a base da elevacao:

Portanto,(d2)

2 + (1, 5)2 = (2, 5)2

(d2)2 = 4

Novamente, como d2 e uma distancia, temos que

d2 = 2

Ou seja, a distancia final e 2 m.




Entao, a distancia x que o bloco deslizou foi de 3, 6− 2 = 1, 6 m.Voltar para a Questao 2

1.4.3 Questao 3

Observando o grafico, percebemos que num primeiro momento houve um crescimentorapido da distancia em relacao a casa ate chegar a uma certa marca, permanecendo constanteem seguida. Depois a distancia da casa diminuiu ate chegar a zero, ou seja, a pessoa estava nacasa, e permaneceu nula por algum tempo. Finalmente, a distancia da casa cresceu a uma taxaconstante.

Logo, a historia que mais se adapta ao grafico e a apresentada na alternativa (b).Voltar para a Questao 3

1.4.4 Questao 4

Relembrando que a equacao reduzida de uma circunferencia, cujo centro e o ponto (a, b), e(x− a)2 + (y − b)2 = r2.

Expandindo as potencias e subtraindo r2 nos dois membros, temosx2 + y2−2ax−2by + a2 + b2 − r2 = 0, que e a equacao geral de uma uma circunferencia comcentro em (a, b).

Observe que a equacao do enunciado esta na forma geral. Comparando entao a equacaoacima com a equacao do enunciado, temos

x2 + y2 + 4y − 3 = 0⇔ x2 + y2−2(0)x−2(−2)y − 3 = 0

Logo, o centro da circunferencia e o ponto (0,−2).Assim, a unica reta que passa por esse ponto e a (b) 5x− y = 2.Voltar para a Questao 4


sumario´ - portal do aluno rumo´e adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em...

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