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Lúcia M.J. S. Dinis2005/2006
Resistência dos Materiais16ªAula
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Sumário e Objectivos
Sumário: Outros Métodos de Obtenção da Deformada num ponto.Objectivos da Aula: Apreensão da forma de cálculo da deformada em vigas.
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Viga Flectida
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Estrutura de Edifício
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Stonehenge
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Método da Viga Conjugada
A equação que relaciona o momento flector com a carga exterior é formalmente análoga à equação que define a curvatura em termos do momento flector, como facilmente se constata, assim como a equação do esforço transverso e da rotação
dT p(x)dx
= − T(x) p(x)dx T(0)= − +∫
2
2
Md p(x)dx
= − M(x) p(x)dx T(0)x M(0)= − + +∫∫
2
2
v M(x)dd EIx
=dv M(x)(x) dx (0)dx EI
θ = = + θ∫M(x)v dx (0)x v(0)
EI= + θ +∫ ∫
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Viga Real e Viga Conjugada
M ≠ 0T ≠ 0M = 0
T ≠ 0
M = 0T ≠ 0
v = 0θ ≠ 0 v = 0
θ ≠ 0M = 0T ≠ 0
M = 0T ≠ 0
v = 0θ = 0
v ≠ 0θ≠ 0
M = 0T = 0
M ≠ 0T ≠ 0
v ≠ 0θ≠ 0
v = 0θ ≠ 0
v = 0θ ≠ 0
v = 0θ ≠ 0
v = 0θ ≠ 0
v ≠ 0θ≠ 0
v ≠ 0θ≠ 0
M ≠ 0T ≠ 0
M ≠ 0T ≠ 0 M = 0
T ≠ 0M = 0T ≠ 0
v = 0θ = 0
v = 0θ = 0 v ≠ 0
θ≠ 0v ≠ 0θ≠ 0
M ≠ 0T ≠ 0
M ≠ 0T ≠ 0
M = 0T = 0
M = 0T = 0
Viga Real Viga Conjugada
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Exemplo 16.1
Considere a viga encastrada representada na figura e determine a expressão da deformada e o deslocamento transversal máximo recorrendo ao método da viga conjugada.
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Exemplo 16.1-Resolução
O momento cM na viga conjugada obtém-se por integração da equação
O Momento na Viga real é tal que M(x) P(L x) M= − +
A viga conjugada representada na figura está sujeita à carga distribuída
cP(L x) M(x)p
EI− +
= −
2c
2
P(L x) Md Md EIx
− +=
ou seja
2c
1d PL P MM xx x Cdx EI 2EI EI
= − + + para x=0 T=0 1 0C⇒ =
3 2
2c 2
PL P Mx x CM x2EI 6EI 2EI= − + + para x=0 M=0 2 0C⇒ =
2 3
cr(PL M) Px xv M 2EI 6EI
+= = −
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Exemplo 16.2
Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura e determine a expressão da deformada e o deslocamento transversal máximo considerando o método da viga conjugada.
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Exemplo 16.2-Resolução
O Momento na Viga real é tal que2p pLxM x
2 2= − +
A viga conjugada está representada na figura sujeita à carga distribuída2
cp pLxx(x)p
2EI− +
= −
O momento na viga conjugada obtém-se por integração da equação2 2
c2
p pLxd M xd 2EIx
+=
ou seja
3c 2
1d PL PM x Cxdx 4EI 6EI
= − + para x=0 3pLT
24EI= −
4 3 3
c 2p pL p xx x L CM 24EI 12EI 24EI
= − + − + para x=0 M=0 2 0C⇒ =
( )3 2 3cr
px 2Lv M L x x24EI= = − − +
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Método das Diferenças Finitas
n 1 n 1
x 0n
vdv v vlimdx x 2 x
+ −
∆ →
∆ −⎡ ⎤ = ≅⎢ ⎥ ∆ ∆⎣ ⎦
2n 1 n n 1
2 2x 0n
dvv 2 vdx vd vlim
d xx x+ −
∆ →
⎛ ⎞∆⎜ ⎟ −⎡ ⎤ +⎝ ⎠= ≅⎢ ⎥ ∆ ∆⎣ ⎦
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Método das Diferenças Finitas
2
23n 2 n 2n 1 n 1
3 3x 0n
vddv 2 2vv vxd vlim
d x 2x x+ −+ −
∆ →
⎛ ⎞∆ ⎜ ⎟ − −⎡ ⎤ +⎝ ⎠= ≅⎢ ⎥ ∆ ∆⎣ ⎦
3
34n 2 n 2n 1 n n 1
4 4x 0n
vddv 4 6 4 vv vxd v vlim
d xx x+ −+ −
∆ →
⎛ ⎞∆ ⎜ ⎟ − +⎡ ⎤ + −⎝ ⎠= ≅⎢ ⎥ ∆ ∆⎣ ⎦
A equação da elástica representada por diferenças finitas toma a forma
4n 2 n 2n 1 n n 1
p(x )4 6 4 vv v xv v EI+ −+ −− + = − ∆+ −
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A aplicação das condições de fronteira conduz a equações que têm de ser verificadas, estas equações conjuntamente com a equação da elástica conduzem ao sistema de equações por solução do qual se pode obter o deslocamento transversal num conjunto discreto de pontos.
Bordo Simplesmente Apoiado
v = 0 n 0v =⇒
M = 0 2
n 1 n n 12 2
n
v 2 vvd v 0dx x
+ −−⎡ ⎤ +⇒ ≅ =⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ ou n 1 n 1v v− +=−
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Bordo Encastrado
v = 0n 0v =
n 1 n 1
n
dv v v 0dx 2 x
+ −−⎡ ⎤ ≅ =⎢ ⎥ ∆⎣ ⎦ou n 1 n 1v v− +=
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Exemplo 16.3
Considere a viga representada na figura e determine o deslocamento no ponto médio por aplicação do método das diferenças finitas.
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Exemplo 16.3-Resolução
A aplicação das condições de fronteira conduz às equações seguintes
0
1 1
4
5 3
0vv v
0vv v
−
== −
== −
A consideração da equação da Elástica nos pontos em que é desconhecido o deslocamento no interior da viga conduz às equações seguintes
4
3 2 1 0 1
4
4 3 2 1 0
4
5 4 3 2 1
5pL4 6 4v v v v v256 4EI
3pL4 6 4v v v v v 256 2EI7pL4 6 4v v v v v
256 4EI
−− + − + = −
− + − + = −
− + − + = −
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Problemas Propostos
1. Considere a viga representada na figura seguinte e determine fazendo uso do método das diferenças finitas e do método da viga conjugada, a flecha e a inclinação na extremidade C. Compare as soluções obtidas.
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Problemas Propostos (Cont.)
y
x
A
p
B C
L L
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Problemas Propostos
2. Considere a Viga Plana Isostática representada na figura do slide seguinte, cuja secção recta também se representa e despreze o peso da viga para efeitos dos cálculos subsequentes.
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Problemas Propostos Cont.
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Problemas Propostos Cont.
a)Trace os Diagramas de Esforços Transversos e Momentos Flectores
b) No ponto A da viga existe um extensómetro que indica que a deformação axial é de compressão e de 30×. Determine a carga P a que a viga está sujeita.
c) Determine as Tensões de Corte máximas na viga.d)Determine o deslocamento transversal máximo usando os
três métodos estudados.O Módulo de Young do material da viga é 200Gpa.
10 3−
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Problemas Propostos
3. Considere a viga representada na figura e determine:a)o esforço transverso máximo e o momento flector máximo.b)as tensões longitudinais ou axiais máximas.c)as tensões de corte máximas.d)o deslocamento transversal máximo recorrendo a um dos métodos aprendidos.e)a deformação axial máxima.f)Verifique se as tensões obtidas correspondem a um estado de tensão admissível, considerando o critério de Cedência de von Mises.
E=200GPa e cσ =250MPa. Justifique os cálculos que efectuar.
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Problemas Propostos
Secção Plana 2kN/M 10kN
2m 4m
30mm
30mm30mm
200mm