sumÁrio 1. introduÇÃo 2 2. por que matemÁtica … · alunos a compreensão dos conceitos e...
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ............................................................................................. 2
2. POR QUE MATEMÁTICA FINANCEIRA? .................................................. 3
3. O QUÊ DE MATEMÁTICA FINANCEIRA? ................................................. 5
4. POSSIBILIDADES DE ENCAMINHAMENTOS ........................................... 7
4.1 Atividade - construção de um glossário ...................................................................................... 8
4.2 Atividade - juros simples ............................................................................................................ 11
4.3 Atividade - taxas e juros embutidos .......................................................................................... 14
4.4 Atividade - construção e interpretação de gráficos .................................................................. 16
4.5 Atividade - aquisição de uma motocicleta ................................................................................. 18
4.6 Atividade - como calcular as prestações .................................................................................... 20
4.7 Atividade - Tabela de Planejamento Financeiro ...................................................................... 24
4.8 Atividade - Tabela de Controle do Orçamento Familiar ......................................................... 25
4.9 Atividades – Problemas interessantes ....................................................................................... 29
5. CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................... 30
6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ............................................................ 32
7. ANEXOS ...................................................................................................... 33
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1. INTRODUÇÃO
A proposta deste trabalho é abordar os conteúdos de Matemática
Financeira de forma clara, coerente, aplicada e articulada com situações
cotidianas, proporcionando aos aprendentes a interpretação, o raciocínio e a
busca por soluções, contribuindo de forma significativa na formação
matemática, auxiliando no planejamento de ações, demonstrando a
importância da aplicabilidade da matemática em situações do dia-a-dia.
De acordo com as Diretrizes Curriculares de Matemática para o Ensino
Médio (2006, p.30)
O conceito de Matemática Financeira é utilizado em diversos ramos da atividade humana, cuja aplicação influencia as decisões de ordem pessoal e de conjuntura social, provocando mudanças de forma direta na vida das pessoas e da sociedade de forma geral. Sua importância se reflete nas atividades cotidianas de quem precisa lidar com dívidas ou crediários, interpretar descontos, entender reajustes salariais, escolher aplicações financeiras, entre outras atividades de caráter financeiro.
Neste contexto, o ensino de Matemática Financeira deve possibilitar aos
alunos a compreensão dos conceitos e princípios matemáticos aplicados a
diversas situações, tais como: descontos, acréscimos, dívidas e aplicações de
ordem financeira. Assim, nesta unidade pedagógica, estão sistematizadas
algumas aulas que serão estudadas pelos alunos e alunas da 3ª série do
Ensino Médio.
Por meio de atividades que demonstram o conhecimento já elaborado
pelos alunos, o professor deve estabelecer pontos considerados relevantes
para intermediar o conhecimento que os mesmo já possuem e formar um
conhecimento mais elaborado a cerca de Matemática Financeira, considerando
que as atividades são ou poderão ser situações problemas vivenciadas por
eles. De acordo com Skovsmose (2001, p.24)
[...] é essencial que os problemas se relacionem com situações e conflitos sociais fundamentais, e é importante que os estudantes possam reconhecer os problemas como “seus próprios problemas”, de acordo com ambos os critérios, subjetivo e objetivo da identificação do problema na Educação Crítica. Problemas não devem pertencer a “realidades de faz-de-conta” sem nenhuma
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significação exceto como ilustração de matemática como ciência das situações hipotéticas.
Devemos considerar a Matemática Financeira como uma ciência que
deve ser interessante e desafiadora, proporcionando condições e
possibilidades de analisar e compreender dados e informações, por meio do
conhecimento científico adquirido, que se posiciona como facilitador na
compreensão e resolução de problemas de maneira que possam exercer
plenamente suas condições de cidadãos, destacando a condição de
consumidor capaz de defender seus direitos por meio do domínio dos
conhecimentos matemáticos.
2. POR QUE MATEMÁTICA FINANCEIRA?
A escolha do tema Matemática Financeira se deve ao fato de não ser
bem explorada no Ensino Médio, além de que, existem poucas pesquisas
sobre o processo de ensino e aprendizagem desse assunto.
Em uma sociedade capitalista onde a economia tem forte base no lucro,
o estudo da Matemática Financeira é de fundamental importância.
Compreender seus conceitos básicos nos permite ir muito além de apenas
escolher entre os menores preços, mas sim saber quando e como comprar, se
à vista ou a prazo, como sairmos de situações de endividamento e melhorar
nossa qualidade de vida.
Barbosa (2007, p. 161) corrobora com estas afirmações considerando
que:
[...] administrar bem o dinheiro não é apenas uma questão de fazer pequenas economias, mas sim, de tomar atitudes inteligentes, aprendidas e construídas desde os primeiros anos de vida.
E, dentro deste contexto, a responsabilidade da escola, principalmente
por meio de seus professores de matemática, se torna de fundamental
importância.
Uma educação voltada para a valorização de um consumo consciente
passa por diferentes aspectos: a administração das contas habituais, como
água, luz e telefone, as compras no mercado, a aquisição de roupas, gastos
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com a saúde, e também a compra de algum bem, como eletrodomésticos,
automóveis ou mesmo uma casa própria. Via de regra, a aquisição de bens
duráveis, passa pela necessidade de realizar um financiamento, seja na própria
loja que se adquiriu o bem, em um banco, ou mesmo em uma financeira.
Instituições diferentes cobram taxas de juros distintas, saber avaliar qual
a melhor opção, pode fazer a diferença entre entrar ou não no vermelho.
Muitas vezes tais taxas são apresentadas ao consumidor de forma
totalmente equivocada. E, sem saber como e de que forma os juros são
calculados, sem qualquer conhecimento matemático que as habilite a entender
tais cálculos, as pessoas acabam mensurando-os apenas pelo fator “prestação
que cabe no bolso” e, com freqüência, pagando exorbitâncias, sem poderem,
sequer, buscar alguma forma alternativa.
É aí que reside uma das grandes responsabilidades do professor de
Matemática: por meio de cálculos matemáticos é possível mostrar aos alunos a
solução para uma série de situações financeiras encontradas no dia-a-dia.
Sendo assim, o professor deve assumir uma postura de instigador com a
finalidade de envolver os alunos a trabalharem os conteúdos de Matemática
Financeira que estão presentes nas suas situações de consumo. Segundo o
que diz Carvalho (1999, p.62),
[...] que as atividades dos alunos não se reduzam a achar
soluções mas que os levem a explorar, investigar e analisar diferentes soluções, discutir entre si e com o professor os vários recursos e processos de trabalho, formular e resolver problemas, expor e argumentar as soluções e conclusões que vão sendo encaminhadas – e, em especial, no caso da educação para o consumo, refletir e argumentar sobre as questões sociais e éticas implícitas nos problemas.
Dentro desta perspectiva se pensarmos em um ensino de Matemática
Financeira que possa vir a ser realmente significativo e relevante, devemos
considerar que os encaminhamentos sugeridos partam de problemas reais e
pertinentes à realidade dos alunos.
Estas idéias estão em consonância com o que afirma Skovsmose (2001,
p.34)
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Deveria ser possível para todos os estudantes perceber que o problema é de importância. Isto é, o problema deve ter relevância subjetiva para os estudantes. Deve estar relacionado a situações ligadas às experiências deles.
O problema deve estar relacionado a processos importantes na sociedade.
De alguma maneira e em alguma medida, o engajamento dos estudantes na situação-problema e no processo de resolução deveria servir como base para um engajamento político e social (posterior).
Com a intenção de despertar o interesse a cerca do assunto, serão
proporcionadas situações reais de consumo, as quais são reportagens
encontradas na mídia, internet, telejornais, revistas, jornais, etc., elas deverão
ser lidas, interpretadas e analisadas, buscando que os nossos alunos explorem
ao máximo as informações contidas, fazendo análises críticas a respeito e
socializando as suas conclusões, neste sentido, ocorrerá um compartilhamento
de opiniões, que enriquecerá e proporcionará um verdadeiro aprendizado.
3. O QUÊ DE MATEMÁTICA FINANCEIRA?
A Matemática Financeira tem como finalidade estudar as várias formas
de evolução do valor do dinheiro no tempo. Por meio dela podemos analisar e
comparar as melhores alternativas para a aplicação ou aquisição de recursos
financeiros. Os conteúdos contemplados nesta unidade pedagógica são os
seguintes:
Noções de frações;
Proporções;
Regra de três simples e composta;
Porcentagem;
Juros simples;
Juros compostos;
Descontos e acréscimos (simples e sucessivos);
Equivalência de capitais;
Funções;
Progressões Aritméticas (PA) e Geométricas (PG);
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Conceito de valor atual e futuro;
Cálculos da inflação.
De acordo com as Diretrizes Curriculares da rede Pública de Educação
Básica do Estado do Paraná, os conteúdos a serem trabalhados devem estar
inter-relacionados (2006, p.42)
No Ensino Médio, ao inserir o estudo dos conteúdos função afim e progressão aritmética, ambos do conteúdo estruturante Funções, o professor pode buscar na matemática financeira, mais precisamente nos conceitos de juros simples, elementos para abordá-los. Para os conteúdos função exponencial e progressão geométrica, os conceitos de juros compostos também são básicos. Neste caso, entende-se não ser necessário estudar isoladamente matemática financeira.
Conteúdo estruturante
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO
• Juros simples Função Afim e
Progressão Aritmética
• Juros Compostos Função Exponencial e
Progressão Geométrica
Portanto, o professor pode introduzir em suas aulas, da forma que
considerar melhor, conteúdos matemáticos que poderão ser abordados sob o
contexto de outro conteúdo, contribuindo para o processo de ensino de forma
que os conceitos empregados possam se:
Articular;
Intercomunicar;
Complementar.
A Matemática Financeira é vista como um instrumento utilizado para
resolver problemas. O conteúdo é considerado muito difícil porque é usado
sem uma metodologia adequada. Os problemas de Matemática Financeira são
resolvidos de acordo com as seguintes etapas:
Leitura e interpretação do enunciado;
Conteúdo estruturante
FUNÇÕES
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Coleta e organização das informações;
Aplicação de estratégias para desenvolver o raciocínio.
Segundo as Diretrizes Curriculares da rede Pública de Educação Básica
do Estado do Paraná (2006, p.43)
O ensino de Matemática tem como um dos desafios a abordagem de conteúdos a partir da resolução de problemas. Trata-se de uma metodologia pela qual o estudante terá oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos já adquiridos em novas situações de modo a resolver a questão proposta.
É de fundamental importância que os aprendentes tenham a
oportunidade de aplicar conceitos previamente adquiridos para melhor
compreensão dos conteúdos de Matemática Financeira, relacionando as
situações-problemas do mundo financeiro com as indagações e desejos que
possuem. Buscando despertar o interesse, a participação e a construção de
informações suficientes para um mais perfeito planejamento de ações.
Os temas contemplados nas atividades desta unidade pedagógica são
os seguintes: Orçamento Familiar, Fluxo de Caixa, Cheque Especial, Cartão de
Crédito, Regime de Juros Simples, Regime de Juros Compostos, Tabelas
Financeiras, Anuidades ou Prestações, Avaliação das melhores propostas de
consumo (à vista ou a prazo), Planejamento Financeiro Futuro, Aposentadoria,
entre outros.
4. POSSIBILIDADES DE ENCAMINHAMENTOS
Os temas serão desenvolvidos semanalmente sendo que cada assunto
pode ser inserido ao estudo seguinte favorecendo uma continuidade orgânica.
É muito interessante observar a curiosidade dos alunos pelos assuntos
trabalhados.
Embora o professor tenha conhecimento dos tópicos trabalhados,
sempre que há dúvidas, recorremos aos profissionais do mercado para
esclarecimentos.
O conteúdo de Matemática Financeira é uma grande oportunidade para
os professores justaporem os diversos conceitos matemáticos, fazendo uma
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analogia com o mundo real em que se depara, revisando e reforçando os
conteúdos aplicados no Ensino Fundamental, possibilitando a contextualização
das atividades por meio de propagandas extraídas de revistas, jornais e
panfletos. Também devemos ressaltar o uso das planilhas eletrônicas para
inserir os aprendentes nos meios tecnológicos, os quais são sugeridos pelos
Parâmetros Curriculares Nacionais do Ensino Médio.
4.1 Atividade - construção de um glossário
4.1.1 Descrição:
Nesta atividade os alunos deverão confeccionar um glossário com os
termos utilizados na Matemática Financeira.
4.1.2 Objetivos:
Estabelecer relações entre os termos pesquisados na Matemática
Financeira e sua aplicabilidade em situações-problemas;
Identificar semelhanças e diferenças entre os termos empíricos com
os termos científicos;
Reconhecer a importância do conhecimento científico como
facilitador na compreensão e na resolução de situações-problemas
encontradas no seu cotidiano;
Desenvolver a autonomia como pesquisador e elaborador.
4.1.3 Resultados esperados:
Reconhecer, interpretar e utilizar com maior habilidade os termos usados
nas atividades relacionadas com a Matemática Financeira e também, em
situações reais vivenciadas pelos nossos alunos. Planejar, elaborar e
confeccionar material de pesquisa sempre que houver necessidade.
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Glossário
A Ábaco: Acréscimo:
Algarismo: Adição: Algoritmo:
Alíquota: Amortização: Amostra:
Aproximação: Aritmética: Arredondar:
Associativa: Aumento sucessivo: Avos:
B Base de potências: Biênio:
C Calcular: Capital:
Centena: Centésimo: Compensação:
Comutativa: Consecutivo: Consórcio:
Cotas:
D Dados: Decênio:
Décimo: Desconto: Descontos sucessivos:
Dezena: Diferença: Dígitos:
Distributiva: Divisor: Dízima periódica:
E Enumerar: Equação:
Equação exponencial: Equivalentes: Estatística:
Expressão numérica:
F Fator: Fatoração:
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I Índice: Infinito:
Interpolação:
J Juros: Juros simples:
Juros compostos:
L Linha do tempo: Logaritmo:
M Matemática: Matemática Comercial:
Matemática Financeira: Média aritmética: Média geométrica:
Milésimo: Milhão: Moda:
Multiplicação: Múltiplo:
N Notação científica: Numerador:
Número: Número decimal:
O Ordem:
Fórmula: Fração: Fração centesimal:
Fração decimal: Fração equivalente: Freqüência:
Função: Função logarítmica:
G Gráfico: Gráfico de barras:
Gráfico de linhas: Gráfico de setores:
H Histograma:
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P Porcentagem: Potência:
Previsão: Produto: Projeção:
Proporcional:
Q Quadriênio: Qüinqüênio:
Quinzena: Quociente:
R Razão: Reajuste:
Regra de três: Renda per capita:
S Seqüência: Sexagesimal:
Símbolo: Sistema decimal: Somatório:
Subtração:
T Tabuada: Taxa:
Termo: Total:
U Unitário:
V Variável:
4.2 Atividades - juros simples
4.2.1 Descrição:
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A forma gráfica denominada de eixo das setas ajuda na visualização de
quaisquer operações financeiras e é formada pelos seguintes elementos
gráficos:
Um eixo horizontal, funcionando como uma escala de tempo, que
evolui da esquerda para a direita e;
Setas verticais, posicionadas sobre datas indicando valores, que
podem ser recebimentos ou pagamentos.
4.2.2 Objetivos:
Esta atividade procura contribuir para a integração dos alunos com os
conceitos de juros simples, funções e progressão aritmética, proporcionando-
lhes conhecimentos básicos de teoria e aplicação prática da Matemática
Financeira.
4.2.3 Conteúdos:
Porcentagem;
Plano Cartesiano;
Leitura e interpretação de gráficos;
Juros simples;
Funções;
Progressão Aritmética.
4.2.4 Resultados esperados:
Analisar e interpretar dados provenientes de problemas matemáticos
representados pelos gráficos, observando e realizando previsões de
tendências.
4.2.5 Representação Gráfica de Juros simples:
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Para exemplificar este método do eixo das setas, apresento uma
atividade referente a juros simples demonstrada no trabalho desenvolvido
por Lilian Nasser e Rosa C. Novellino de Novaes (2006)
A aplicação de um capital de R$100,00 por um período de 3 meses, com
acréscimo constante de 10% ao mês, é representada no eixo das setas
mostrado acima.
Essa situação corresponde a uma PA (progressão aritmética) onde o 1º
termo é R$ 100,00 e a razão é R$10,00 (10% de R$100,00), e o gráfico que dá
esses valores em função do tempo é representado por pontos colineares,
caracterizando a relação entre juro simples e função afim.
Esta mesma atividade seria resolvida, para encontrar o montante após
três meses de aplicação, por uma metodologia que privilegie o uso de fórmulas
da seguinte maneira:
Cn = C0 . (1 + i.t) (Fórmula de juros simples)
C3 = 100 . (1 + 0,1. 3)
C3 = 100 . (1 + 0, 3)
C3 = 100 . (1,3)
C3 = R$ 130,00
4.2.6 Sugestão de atividade:
Um jovem emprestou a importância de R$2500,00, pelo prazo de 6
meses, à taxa de 2,4% ao mês. Represente esta atividade no eixo das setas,
demonstre esta situação por meio de um gráfico e determine o valor dos juros a
serem pagos.
100,00 110,00 120,00 130,00
0 1 2 3
+10,00 +10,00 +10,00
Juros Simples
100
110
120
130
90
100
110
120
130
140
0 1 2 3 4 t
R$
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4.3 Atividade - taxas e juros embutidos
4.3.1 Descrição: Por meio de uma reportagem exibida no Programa Globo Repórter, nossos alunos irão se deparar com uma situação de compra, na qual relatam que o objeto adquirido é um desejo de consumo. Essa reportagem demonstra que as pessoas, na grande maioria, não possuem o hábito de analisar as taxas cobradas, e sim, que elas tomam atitudes influenciadas pela emoção. Eles deverão se posicionar com relação a essa situação, socializando por meio de um debate em plenário.
4.3.2 Objetivos: Compreender os conceitos, procedimentos, estratégias matemáticas
para planejar soluções para novos problemas e situações que exijam iniciativa
e criatividade. Aplicar os conhecimentos matemáticos para compreender,
interpretar e resolver situações problemas do cotidiano.
4.3.3 Conteúdos:
Porcentagem; Regra de três simples; Funções; Juros simples; Juros compostos; Taxas.
4.3.4 Resultados: Por meio desta atividade os alunos deverão analisar e interpretar
criticamente os dados provenientes da situação encontrada. Após a análise,
eles deverão posicionar-se com relação à situação, elaborando uma
justificativa, a qual será socializada por meio de um plenário para possíveis
discussões e debates.
Em São Paulo, a satisfação da dona de casa Mara Cristina Galera: ela, a mãe e a filha negociam uma TV 29 polegadas que a família só pode ter se comprar a prazo: 15 vezes de R$ 63. Mas elas não sabem quanto vão pagar de juros.
O Globo Repórter foi em busca de uma solução simples, que pode ajudar Mara e qualquer outro consumidor nessa conta. É uma tabela criada pelo professor de economia José Nicolau Pompeo, da Escola Politécnica da Universidade de São Paulo (USP).
Basta uma conta simples para descobrir qual a taxa de juros que você está pagando. “Pega o valor financiado e divide pelo valor
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da parcela, da prestação. O resultado é a taxa de juros”, explica o professor Pompeo.
Para descobrir os juros, primeiro é preciso descontar do preço o valor da entrada, se houver. No caso, Mara não deu entrada. A TV custava R$ 669 à vista. Ela financiou em 15 vezes de R$63,14. Então, para ela, é só dividir R$ 669 pelo valor da prestação e procurar o resultado aproximado na tabela feita pelo professor.
A taxa de juros por mês é de 4,5%; Ao ano, quase 70%. Para economistas, um valor alto demais. “Eu diria que crédito bom não pode ultrapassar a taxa de 3% a 4% ao mês. Aí ele passa a ser punitivo para quem vive de salário”, analisa o professor de economia.
Mas tem algo que nem a matemática pode explicar e é a aposentada Beatriz Galera, mãe da dona de casa Mara, que nos revela: “O que eu estou realizando é um sonho. Eu queria uma televisão grande”. Ela e a filha vão dividir o pagamento do carnê. No fim vai custar R$945, R$276 a mais do que se fosse à vista.
“Eu não me importei com a diferença provocada pelos juros, porque queria comprar de qualquer jeito, desde que desse para pagar as parcelas no vencimento, sem atraso. A gente sabe que tem juros embutidos, mas, tudo bem”, explica Mara.
Você olha só o valor da parcela ou o quanto vai pagar por todo o carnê? “Um dos erros gravíssimos que a pessoa comete ao adquirir um crédito: comparar a prestação com o salário. Esse é o erro mais grave que existe. Tem que comparar com o que sobra em relação ao salário. Segundo erro: não verificar se já fez outro tipo de prestações e se já está endividada. Normalmente, o desespero pelo consumo e a necessidade que isso acaba criando leva a pessoa automaticamente a criar mais dívidas. Isto vai gerando dificuldades. Falta um planejamento financeiro: ver quanto você ganha e quanto você realmente pode gastar. A maior parte das pessoas gasta além das suas possibilidades”, comenta José Pompeo.
Fonte: http://globoreporter.globo.com/Globoreporter/0,19125,VGC0-2703-20012-2.html
4.3.5 Sugestões de atividades:
1. Com intermediação do professor, os alunos serão divididos em grupos
(máximo quatro alunos), deverão levantar alguns pontos para discussões,
provocando espaços para reflexões sobre os termos utilizados na
reportagem anterior e em suas justificativas, por exemplo: “sonho de
consumo”; juros; taxas; créditos; valor financiado; planejamento financeiro;
etc. O enfoque mediado pelo professor dar-se-á da seguinte forma:
a) Com análise do último parágrafo, quais comentários você faria?
b) De acordo com o texto, a aquisição da TV 29 polegadas representa a
realização de um sonho, qual é o seu “sonho de consumo”?
c) Você já vivenciou uma situação semelhante? Descreva-a.
d) Essa reportagem representa uma situação real de compra a prazo?
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e) As informações apresentadas no texto falam sobre o número de
parcelas e o valor de cada parcela, mas oculta informações sobre os juros
cobrados, você observa essas informações durante suas compras?
f) Na compra de um objeto, você considera apenas o valor de cada
parcela ou o valor que pagará por todo o carnê?
g) Existe a preocupação sobre os juros aplicados?
h) Escreva o que você sabe sobre Juros.
i) Com base no texto e sem usar a tabela criada pelo professor de
economia José Nicolau Pompeo, como você faria para calcular os juros?
j) Faça uma simulação de compra de um “sonho de consumo”.
2. Utilizando a tabela citada acima, determinar a taxa de juros aplicada
na compra de uma TV de plasma 40” cujo valor à vista é R$1999,00 e a prazo
é 10 vezes de R$222,50.
4.4 Atividade - construção e interpretação de gráficos
4.4.1 Descrição:
Considerando uma família formada por cinco pessoas (pai, mãe e três
irmãos), sendo que apenas o pai trabalha no comércio local e seu salário
líquido mensal corresponde a R$720,00, será realizado um levantamento das
despesas feitas por essa família durante um mês, como exemplo: alimentação;
energia elétrica; água; telefone; vestuário; saúde; medicamentos; transporte;
material escolar; outras despesas. Com essas informações serão feitas as
tabulações e os diferentes tipos de gráficos (gráfico de barras e gráfico de
setores):
Serão feitas as representações gráficas das despesas em relação ao
salário, demonstrando assim o percentual destinado a cada item entre
as despesas;
Representação gráfica do percentual que sobra do salário;
Os gráficos e as tabelas serão construídos com o auxílio de planilhas
eletrônicas.
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Com as construções gráficas sendo desenvolvidas, os alunos serão
instigados a começarem a ter uma preocupação com a quantia que sobra do
salário mensal, despertando desta forma uma maneira de planejarem o que
podem fazer (comprar ou investir) com o valor que restou. Estimulando o hábito
de esquematizar os ou investimentos com o valor que sobra do salário e não
cometer o erro de realizar novas compras ou investimentos em relação ao valor
do salário.
Com posse dos dados levantados anteriormente, será proposto um
plano de ajuste das despesas em função dos rendimentos obtidos. Nessa
etapa do trabalho, os alunos construirão tabelas com esses dados. A partir
disso, deverão elaborar um plano financeiro com o objetivo de constituir um
fundo de reserva de 10% do rendimento. Eles deverão encontrar uma maneira
de economizar 10% para o fundo de reserva. Deverão demonstrar os
encaminhamentos feitos para atingir esse objetivo, como por exemplo, quais os
gastos que podem ser reduzidos e quanto representa essa redução.
4.4.2 Objetivos:
Reconhecer os tipos de gráficos como formas de comunicação visual de
um fato ou de uma idéia. Compreender, aprender a construir e empregar os
recursos gráficos, com o auxílio de planilhas eletrônicas, ampliando seus
conhecimentos adquiridos.
4.4.3 Conteúdos:
Porcentagem;
Regra de três;
Juro simples;
Plano cartesiano;
Estatística.
4.4.4 Resultados:
Ampliação dos conhecimentos adquiridos. Leitura e interpretação de
gráficos. Utilização de recursos tecnológicos. Aplicação dos conceitos
adquiridos em situações do cotidiano.
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4.5 Atividade - aquisição de uma motocicleta
4.5.1 Descrição:
Através de outra situação-problema, o professor deverá instigar a
realização de hipóteses, análises e as reflexões, intervindo através da
mediação o desenvolvimento, a fim de encontrar as possíveis soluções desta
situação proposta. Um jovem morador desta cidade trabalha em uma
madereira durante o dia, das 8 às 18 horas e tem intervalo de duas horas para
almoço, cursa o Ensino Médio no período noturno, das 19 às 23 horas. A
distância percorrida entre a sua casa e o local de trabalho é de 6 km, sendo
percorridos de bicicleta. O seu salário líquido é de R$680,00, sendo que 20%
desse valor são destinados para ajudar nas despesas de casa, 25% do seu
salário são para o vestuário e ainda 15% para o seu lazer. De acordo com essa
situação, ele deve fazer um planejamento para verificar a possibilidade da
aquisição de uma motocicleta nova, da marca Suzuki, modelo Burgmann 125
Automatic. A situação-problema proposta para os alunos e as alunas será a
aquisição de uma motocicleta nova. Os valores citados abaixo são reais e
servem de exemplo, foram pesquisados na loja Strack em União da Vitória no
dia 26/07/2008. Com a finalidade de responder as questões abaixo, os alunos e
as alunas serão divididos em grupos (máximo de quatro alunos) para
realizarem o trabalho, o qual necessita de uma pesquisa no comércio local:
a) A motocicleta, neste caso, é uma necessidade ou um desejo?
b) Existem outras motocicletas similares no mercado?
c) Quais são as opções de pagamento que existem?
d) Qual é a melhor opção de pagamento?
e) Comprando à vista, quais são os descontos?
f) Comprando a prazo, quais são os acréscimos?
g) A parcela do financiamento representa quantos por cento do salário?
h) Com relação ao prazo de pagamento, qual é a melhor opção?
Com esse questionamento respondido e com os dados citados acima,
vamos simular a compra dessa motocicleta, sabendo que o valor é R$6280,00.
I) Se você comprar à vista, terá um desconto de 4,8%. Quanto será
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o desconto e qual será o valor pago pela motocicleta?
II) Se comprar em 24 parcelas fixas de R$343,00 e sem entrada,
quanto será o valor total pago? Qual foi a taxa de juro empregada nessa
compra?
III) Comprando a motocicleta sem entrada e em 36 parcelas fixas, a
taxa de financiamento será de 1,8%. Quanto será o valor de cada
parcela? Qual o valor total pago pela motocicleta?
IV) Se comprar em 48 parcelas fixas de R$211,00 e sem entrada,
quanto será o valor pago? E qual é a taxa do financiamento?
V) Você realiza os cálculos ou apenas confia nas revendedoras?
VI) Os cálculos realizados por você são os mesmos oferecidos pelas
revendedoras?
VII) Se não forem os mesmos, o que se deve fazer?
VIII) Nessa situação, existe algum órgão de proteção ao consumidor?
4.5.2 Objetivos:
Compreender os conceitos, procedimentos, estratégias matemáticas
para planejar soluções para novos problemas e situações que exijam iniciativa
e criatividade. Aplicar os conhecimentos matemáticos para compreender,
interpretar e resolver situações problemas do cotidiano.
4.5.3 Conteúdos:
Porcentagem; Regra de três simples; Funções; Juros simples; Juros compostos; Taxas.
4.5.4 Resultados:
Interpretar, refletir e resolver situações-problemas relacionadas com a
questão de consumo. Utilizar os conceitos adquiridos de forma clara e
coerente.
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4.6 Atividade - como calcular as prestações
4.6.1 Descrição:
Se participar de operações financeiras é inevitável, como pessoas
comuns podem adaptar-se à realidade atual, na qual as utilizações das
operações de crédito e de investimento tornam-se cada vez mais corriqueiras?
A falta de informação matemática tem sido um dos principais fatores desse
problema. Faz-se necessário, portanto, a democratização do conhecimento.
Quando o sujeito passa a ter um domínio sobre o saber, torna-se possível
desencadear uma prática transformadora.
Esta é uma atividade referente à como Calcular prestações de uma
dívida, atividade retirada da Revista do professor de Matemática n° 66.
Calcular prestações de uma dívida, como? Guillermo Zamalloa Torres.
Introdução Em nossa trajetória de professores de Matemática, somos
testemunhas de muitas situações que devemos superar para satisfazer a curiosidade ou elucidar dúvidas que nos consideram como paradigmas.
É uma dessas situações que serve de âncora para esse estudo sobre juros incidentes nas prestações pagas por uma dívida.
Um amigo meu, convicto da necessidade de adquirir um computador para desenvolver suas atividades profissionais, e não contando com recursos financeiros para comprar à vista, pesquisou como poderia obter o dinheiro emprestado. Trouxe-me três alternativas, pedindo-me esclarecimentos que a justificassem, já que eram bastante díspares.
Ele precisava de um empréstimo de R$1500,00 e estava disposto a pagá-lo em dez prestações mensais, sem entrada, isto é, pagando a primeira um mês depois do empréstimo.
A primeira alternativa foi produzida por um agiota, que lhe informou que seu dinheiro “valia 5% ao mês” a juros compostos, resultando em dez prestações R$234,33.
A segunda alternativa foi produzida pela loja que vendia o computador, que informou estar cobrando uma taxa de 5% ao mês, resultando em dez prestações de R$225,00.
A terceira alternativa provinha de um banco que, para emprestar a quantia solicitada a juros compostos de 5%, cobrava dez prestações de R$198,10.
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Se a questão fosse qual alternativa escolher, não haveria dúvida que a terceira seria a melhor. O problema era justificar cada uma delas.
Como foram efetuados os cálculos em cada caso? O agiota, visando ao maior lucro, capitalizou o empréstimo à
taxa estipulada de 5% de juros compostos durante dez meses e o montante foi dividido em dez prestações iguais, como segue:
Usando a fórmula M = Co (1 + i)t, chegamos a
M = 1500(1 + 0,05)10 M = 2443,34, que dividindo por 10, resulta nas 10 prestações de R$ 244,33. O lojista projetou a dívida considerando 5% de juros simples
por dez meses, resultando em um acréscimo de 50% sobre o valor da dívida. Finalmente o montante é dividido em dez prestações.
Usando a fórmula M = Co (1 + ti), chega-se a M = 1500(1 + 10 x 0,05) = 2250. Dividindo o montante por dez
obtemos as prestações de R$225,00. O cálculo efetuado pelo banco, com o qual erroneamente
concordaram alguns autores de livros didáticos do Ensino Médio, é desenvolvido da maneira a seguir.
A dívida contratada é dividida em dez parcelas iguais, obtendo-se R$150,00. Como as parcelas serão pagas mensalmente ao longo dos próximos dez meses, cada uma delas é projetada para a data do pagamento, fazendo uso da fórmula do juro composto M = Co (1 + 1)
t Assim, a primeira parcela a ser paga, um mês após a contratação do empréstimo, será de P1 = 150(1 + 0,05) = 150 x (1,05).
A segunda parcela será P2 = 150 x (1,05)2; a terceira parcela
será P3 = 150 x (1,05)3 e seguindo esse raciocínio, chega-se a ultima
parcela P10 = 150 x (1,05)10. O montante da dívida é a soma das
parcelas M = P1 + P2 +...+ P10. Observamos que as parcelas constituem elementos de uma
progressão geométrica de dez termos, razão 1,05 e a1 = 150 x (1,05). Aplicando a fórmula para Sn da soma de n termos de uma PG,
calculamos o montante M da dívida: Sn =a1(q
n – 1), M = 150(1,05) (1,0510 – 1) = 1981,02. q – 1 1,05 – 1 Dividindo esse montante novamente por dez, obtêm-se as dez
prestações de R$198,10. Ao chegar nesse ponto, meu amigo sentiu-se plenamente
satisfeito e estava disposto a fechar o negócio com o banco consultado, na certeza de que não estaria sendo ludibriado. Pedi então que ele tivesse um pouco mais de paciência, a fim de que eu pudesse concluir minha explanação.
Na verdade, os três métodos estão incorretos, pois cometem sempre o mesmo erro básico: Não perceber que, se o dinheiro “está valendo 5% ao mês”, não tem sentido somar quantias referentes a épocas diferentes sem levar em consideração esse valor variável (ver as advertências sobre “erros comuns em raciocínios financeiros” no livro de progressões e Matemática Financeira, de Morgado, A. C., Wagner, E. e Zani, S.C.).
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O raciocínio correto é o seguinte: desejamos que a dívida de R$1500,00 seja paga em dez prestações iguais, cujo valor, no instante da contratação, vamos chamar de x.
Assim, a primeira parcela que vai ser paga um mês depois, tem que ser P1 = x / 1,05. A segunda parcela será P2 = x / (1,05)
2. E assim por diante, até a última parcela que será P10 = x / (1,05)
10. Somando essas dez parcelas, teremos o valor inicial do
empréstimo contratado: 1500 = P1 + P2 + P... + P10. Novamente, verificamos que as parcelas dessas somas são
elementos de uma progressão geométrica de dez termos, com razão igual a 1/ 1,05 e primeiro termo igual a x/ 1,05. Usando a fórmula da soma dos termos de uma PG temos:
1500 = (x/ 1,05) [(1/1,05)10 – 1] ou x = 1500 . 0,05 . (1/ 1,05) – 1 1 – (1/ 1,0510) Uma calculadora fornece o valor aproximado x = R$194,26,
valor de cada prestação. Não haverá dificuldade maior em fazer o mesmo raciocínio
literalmente, obtendo o valor da prestação igual a x = C0 .i / [1 – 1/ (1 + i)
t],
sendo C0 o valor da dívida no momento da contratação, i a taxa de juros e t o número de prestações.
4.6.2 Objetivos:
Propor a leitura e interpretação das informações para a execução da
atividade, podendo utilizar as fórmulas para calcular os juros e as taxas.
4.6.3 Conteúdos:
Porcentagem; Potência; Funções; Juros simples; Juros compostos; Progressão aritmética; Progressão geométrica;
4.6.4 Resultados:
Conscientizar das diferenças entre os preços praticados com as variadas
formas de pagamento. Reconhecer a importância do conhecimento científico
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como facilitador na compreensão e na resolução de situações-problemas
encontradas no seu cotidiano.
4.6.5 Sugestão de atividade:
Esta atividade será realizada em grupo de no máximo quatro
integrantes, ocorrerá uma troca de problemas elaborados por eles com os
seguintes encaminhamentos:
Solicitação para que os alunos elaborem alguns problemas envolvendo porcentagem e juros, considerando que os problemas serão trocados entre os grupos e resolvidos; Os alunos que elaboraram os problemas, também deverão resolvê-los; Considerando que os problemas serão similares ao exemplo dado, necessita que as respostas sejam justificadas.
Esse assunto interfere, portanto, no exercício da cidadania, e é relevante
por vários motivos, tais como a contribuição no desenvolvimento de um olhar
mais amplo e indagador, conduzindo ao raciocínio crítico em situações
cotidianas, como operações de crédito e investimento. Auxilia na formação do
cidadão consciente, pois na medida em que aumenta a capacidade de análise
em situações financeiras, como decidir entre comprar à vista ou a prazo,
identificar descontos em sistemas de financiamento, estimar o crescimento do
capital investido, comparar o valor do que é anunciado e o que de fato é
cobrado em compras a prazo, dentre outros, o consumidor tem condições mais
efetivas de exercer a sua cidadania, tendo mais clareza dos seus direitos por
saber a matemática envolvida nessas situações.
Como sugestão de atividade: Uma jovem precisa comprar um
computador. Depois de realizar uma pesquisa de preços, ela optou pela
compra de um computador no valor de R$3000,00 à vista ou em duas parcelas
fixas de R$1505,00. Para fazer essa compra, ela tem R$3000,00 aplicados na
poupança, rendendo 1% ao mês. Com essas informações, qual é o plano de
pagamento mais vantajoso? Analisando a situação apresentada e fazendo uso
de conceitos de Matemática Financeira, pode-se concluir que a segunda opção
de pagamento é mais vantajosa para a jovem. Pois, se ela comprar o
computador à vista, não restará nada na sua poupança. Entretanto, se comprar
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em duas parcelas iguais de R$1505,00 cada uma, após o pagamento da
primeira parcela sobrará R$1495,00 que produzirá R$14,95 de juros em um
mês. Ao pagar a segunda parcela, sobrará ainda R$4,95. Portanto, a segunda
opção é a melhor.
4.7 Atividade - Tabela de Planejamento Financeiro
4.7.1 Descrição:
Esta atividade deve estimular a curiosidade, o interesse e a criatividade
dos alunos, de modo que possam aplicar os conceitos adquiridos numa
situação de planejamento financeiro. Deverão simular os rendimentos de uma
família, as despesas e as receitas. Com as informações obtidas, deverão
construir gráficos para facilitar a análise e a interpretação dos dados. Serão
realizados debates para que sejam identificadas as possíveis soluções para os
problemas encontrados.
4.7.2 Objetivos:
Elaborar e construir uma tabela de planejamento financeiro, delimitando
a importância de se fazer, para que serve e como deve ser utilizada.
4.7.3 Conteúdos:
Porcentagem; Funções; Tabelas; Gráficos; Estatística.
4.7.4 Resultados:
Ampliação dos conhecimentos adquiridos. Leitura e interpretação de
tabelas e gráficos. Utilização de recursos tecnológicos. Aplicação dos conceitos
adquiridos em situações do cotidiano.
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Tabela de Planejamento Financeiro
Gastos Abr/R$ Mai/R$ Jun/R$
Habitação (Aluguel/financ, energia, água, telefone)
Alimentação (Supermercado, padaria, açougue)
Transporte (passagens, combustível, manutenção)
Desp. Pessoal (revistas, bebida, cigarro, cinema)
Saúde (plano de saúde, medicamento)
Vestuário
Educação (cadernos, livros, Xerox, etc.)
Total de gastos
Salário líquido mensal
Resultado do mês
Investimento
Saldo acumulado
4.8 Atividade - Tabela de Controle do Orçamento Familiar
4.8.1 Descrição:
Esta atividade deve estimular a curiosidade, o interesse e a criatividade
dos alunos, de modo que possam aplicar os conceitos matemáticos adquiridos
numa situação de Controle do Orçamento Familiar. Deverão simular os
rendimentos de uma família, as despesas e as receitas. Com as informações
obtidas, deverão construir gráficos para facilitar a análise e a interpretação dos
dados. Serão realizados debates para que sejam identificadas as possíveis
soluções para os problemas de planejamento no controle do orçamento
familiar.
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4.8.2 Objetivos:
Elaborar e construir uma tabela de controle do orçamento familiar,
delimitando a importância de se fazer, para que serve e como deve ser
utilizada.
4.8.3 Conteúdos:
Porcentagem; Funções; Tabelas; Gráficos; Estatística.
4.8.4 Resultados:
Ampliação dos conhecimentos adquiridos. Leitura e interpretação de
tabelas e gráficos. Utilização de recursos tecnológicos. Aplicação dos conceitos
adquiridos em situações do cotidiano.
Abr/R$ Mai/R$ Jun/R$
Receitas Prev. Rec. Prev. Rec. Prev. Rec.
Salários
Aluguel
Receitas Extraordinárias
Outros
Receita Total
Despesas Prev. Gast. Prev. Gast. Prev. Gast.
Aluguel
Financiamento da moradia
Conta de luz
Conta de água
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Gás
Impostos
Telefone
Outros
Alimentação Prev. Gast. Prev. Gast. Prev. Gast.
Supermercado
Açougue
Padaria
Feira
Outros
Transporte Prev. Gast. Prev. Gast. Prev. Gast.
Prestação do carro
Seguro
Combustível
Impostos
Ônibus
Outros
Saúde Prev. Gast. Prev. Gast. Prev. Gast.
Plano de saúde
Médicos/Dentista
Farmácia
Outros
Educação Prev. Gast. Prev. Gast. Prev. Gast.
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Mensalidades escolares
Cursos
extras/Idiomas/Computação
Vestuário Prev. Gast. Prev. Gast. Prev. Gast.
Roupas / calçados
Lazer/Informação Prev. Gast. Prev. Gast. Prev. Gast.
Academia
Jornais/Revistas
Internet
Programas culturais
Outros
Reservas para gastos
futuros
Prev. Gast. Prev. Gast. Prev. Gast.
Impostos
Escola
Viagem
Outros
Despesa total
Investimentos
Resultado do mês
Saldo do mês
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4.9 Atividades – Problemas interessantes
4.9.1 Objetivos:
Na resolução de problemas de Matemática Financeira, um problema
pode despertar o interesse pelo trabalho mental, sempre que for desafiador e
instigador, possibilitando aos alunos a satisfação pela descoberta da resolução.
4.9.2 Conteúdos:
Porcentagem; Regra de três; Potência; Funções; Juros simples; Juros compostos; Progressão aritmética; Progressão geométrica;
1. Um apartamento é alugado por R$450,00, mas se o pagamento for
com atraso, existe uma multa de R$50,00. O proprietário, para se garantir,
firmou no contrato o valor de R$500,00, e se o pagamento for pontual, terá um
desconto de R$50,00. Assim, a multa passou a ser desconto. Compare as
taxas de multa e de desconto. Qual é a maior taxa?
2. Uma senhora deseja comprar um aparelho de som à vista. Após fazer
uma pesquisa de preços, escolheu um aparelho, porém a quantia de dinheiro
que ela dispõe corresponde a 80% do valor do aparelho. O vendedor propôs
10% de desconto à vista, mas, mesmo assim, ainda faltam R$98,00. Determine
o valor do aparelho de som e a quantia de dinheiro que a senhora tinha.
3. Uma pessoa resolveu aplicar R$2000,00 num banco. Após conversar
com o gerente de contas, duas opções lhe despertou a curiosidade. A primeira
opção oferecia 3% ao mês com aplicação de 6 meses, a segunda opção era
2% ao mês com aplicação durante 9 meses. Com essas informações dadas,
descubra os montantes de cada aplicação.
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5. CONSIDERAÇÕES FINAIS
O estudo da Matemática Financeira nesta unidade pedagógica é
abordado de forma significativa, atualizada e instigadora. Proporcionando aos
alunos a contextualização dos temas abordados com situações da realidade.
De acordo com Skovsmose (2001, p.42)
[...] Nossa concepção de realidade tem de ser estruturada de forma que padrões específicos possam ser identificados: temos de selecionar elementos da realidade que serão concebidos como importantes, e temos de decidir quais relações entre esses elementos são importantes. Essas duas seleções fundamentais constituem uma interpretação da “realidade”.
Desta forma o professor sempre deve proporcionar atividades que
busquem aproximar os aprendentes com a realidade em que vivem,
proporcionando uma interação de forma crítica, com a finalidade aplicar os
conhecimentos teóricos matemáticos em situações financeiras de ordem
pessoal e social.
As reportagens e os materiais pesquisados pelos aprendentes têm como
finalidade a interação entre os conteúdos de Matemática Financeira com
situações encontradas no seu cotidiano. Utilizar-se de modelos de tabelas para
anotar despesas, desperta nos aprendentes, a necessidade de planejar suas
ações, de forma que possam aplicar os conhecimentos teóricos em situações
financeiras de ordem pessoal.
Este trabalho procura esclarecer algumas dúvidas que estão presentes
nas transações financeiras, para que nossos alunos não tomem decisões com
base em dados não muito claros, que podem estar “escondidos” e serem
difíceis de identificar. A abordagem deste tema busca informar, oferecendo
instrumentos e condições para ampliar a capacidade de analisar, conceituar,
sintetizar e julgar as situações vivenciadas.
Uma das riquezas da Matemática Financeira é a interatividade entre os
seus conteúdos, permitindo a diversidade de resoluções de um mesmo
problema, fornecendo elementos para que os aprendentes possam criar sua
própria técnica de resolução de problemas. Possibilitando o desenvolvimento
de condições de leitura crítica dos acontecimentos ocorridos na sociedade,
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apresentando condições para que possam realizar interpretações de tabelas e
gráficos, os quais são utilizados para representar ou descrever informações.
Entendemos que conhecer Matemática Financeira é possuir meios e
condições de compreender, interferir e interagir de forma significativa nas
situações encontradas e no mundo financeiro em que fazemos parte.
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6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BARBOSA, J. C. A prática dos alunos no ambiente de Modelagem
Matemática: um esboço de um framework. In. BARBOSA, J.C.; CALDEIRA,
A.D. & ARAUJO, J.L. (orgs). Modelagem Matemática na Educação
Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, 2007.
CARVALHO, V. Educação Matemática: Matemática e Educação para o
consumo. Dissertação de Mestrado, UNICAMP-FE, Campinas, 1999.
DIRETRIZES CURRICULARES. Disponível no site:
http://www.seed.pr.gov.br/portals/portal/semana/t_matematica.pdf
GLOBO REPÓRTER. Disponível no site:
http://globoreporter.globo.com/Globoreporter/0,19125,VGC0-2703-20012-
2,00.html
GOUVEA, S. A. S. Novos caminhos para o ensino e aprendizagem de
Matemática financeira: construção e aplicação de WebQuest.Dissertação de
Mestrado, UNESP, Rio Claro – SP, 2006.
MEC. Orientações Curriculares para o Ensino Médio, volume 2, 2006.
Disponível no site http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/book_volume
2_internet.pdf
NASSER, Lillian e NOVAES, Rosa C. N. Projeto Fundão, Instituto de
Matemática, UFRJ. Matemática financeira: uma abordagem visual - 4º encontro
estadual de Educação matemática, 2006.
PCN. Parâmetros Curriculares Nacionais. In: EMR, Ensino Médio em Rede:
Programa de Formação Continuada para Professores do Ensino Médio, 2004.
PUCCINI, Abelardo de Lima. Matemática Financeira objetiva e aplicada. 6ªed.
São Paulo – SP. Editora Saraiva. 1999.
SKOVSMOSE, Ole. Educação Matemática Crítica: A questão da democracia.
Ed Papirus. Campinas, SP. 2001.
TORRES, Guillermo Z. Revista do Professor de Matemática. Nº 66, p.9
Sociedade Brasileira de Matemática – SBM. 2008.
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7. ANEXOS