Solucionando a EDP por separação de variáveis e séries de Fourier

Por – R.W.

A equação da onda unidimensional descreve o modelo da corda elástica vibrante como visto anteriormente, sendo exemplos disso, cordas de guitarra, violão e demais instrumentos de cordas semelhantes.

Sabendo que esta é:

, com c²= t/p

Considerando as seguintes condições para a deflexão u(x,t):

(Condições de contorno): Corda presa nas extremidades, tendo assim, x=0 e x=l

e também que o movimento da corda dependerá da flexão inicial(deflexão no tempo t=0), sendo esta denominada f(x) e de sua velocidade inicial,(V=0), sendo esta g(x), tendo assim as seguintes condições iniciais:

(Podendo afirmar que o termo ut=(du/dt))

Vamos agora, através de 3 passos, achar uma solução para a EDP inicial que satisfaça essas condições estabelecidas.

1° passo= Utilizando o método da separação de variáveis(método do produto), com u(x,t) = f(x)g(t), obtemos uma EDO para f(x), e outra para g(t).

2° passo= Solucionamos essas EDOs aplicando os contornos

3° passo= Usando série de Fourier fazemos uma composição das soluções obtidas, para obter uma solução que satisfaça ambos os contornos.

1° PASSO: Método da separação de variáveis:

Determinamos soluções da equação da onda da forma:

u(x,t) = F(x)G(t)

Podendo-se afirmar que: e que:

du/dt = F(x)]G’(t) du/dx = F(x)’G(t)

d²u/dt² = F(x)G”(t) d²u/dx² = F(x)”G(t)

Substituimos, então, na EDP inicial, obtendo:

F(x)G”(t) = (c²)F”(x)G(t)

Ou para melhor análise,

Para que G(t) = F(x) só uma possibilidade, que sejam contante.

Podemos dizer então que:

, (EDO)

, (EDO)

2° PASSO : Solucionamos as EDOs aplicando os contornos :

Logo, podemos afirmar que G(t) é diferente de 0, e que:

Agora vamos fazer testes para saber se este K é positivo, negativo ou nulo, para que possamos resolver a equação.

Para K=0

F”(x) = 0 (pois K zerará o outro termo)

F(x) = ax+b (antes das derivadas deveríamos ter)

Logo, F(0) = a.0 + b = 0, pode se afirmar que b=0

Já para : F(L)= a.L, provamos que a=0, já que L não pode ser nulo.

Concluindo-se assim, que caso K=0, todas as partes da minha equação também serão nula, o que a torna não útil para nossa análise.

Para testarmos K como sendo positivo, podemos fazer K = u²;

Sabendo-se que ao aplicar u² nós temos como uma solução geral previamente

estabelecida

Aplicando as condições de F(0) e F(L), temos:

F(0) = A+ B = 0, logo, B = -A

Para F(L),

A .eµL+B .e−µL

Manipulando, temos: (invertendo devido ao – e fazendo mmc passando o divisor para

direita)

Como B = -A, podemos dizer:

A.(e2µL -1) = 0, onde ou (e2µL -1) = 0 ou A = 0, porém se analisarmos e2µL não pode ser 1, pois seu expoente não 0, logo A = 0

O que também não nos serve,

Para K sendo um número negativo, podemos dizer: K = -P²

Então pode ser dita como:

Tendo aplicando o f(0) e F(L):

É necessário fazer B diferente de 0 uma vez que, caso contrário, F=0. Logo, sen pL = 0.

Assim: (para n inteiro)

Fazendo B= 1, obtemos um número infinito de soluções F(x) =Fn(x), onde:

Mas e G(t)?

Sendo, k= –p² ; e dizendo que c².p² = (cp)²; e que p = nπ/L; temos que (cnπ/L)²,

denominando tudo no interior de λn :

Tendo uma solução geral disto como:

Logo, escrevemos, un(x, t) = Gn(t)Fn(x), na forma de:

Temos uma solução, mas ela sozinha não satisfaz as condições iniciais, porém, um somatório delas sim!

3° PASSO = Como a equação da onda é Linear e homogênea, segue-se o Teorema fundamental, que diz que a soma de um número finito de soluções um é uma solução da EDP inicial.

Para satisfazer as condições iniciais, vamos considerar esta como sendo infinita, e retomando o valor de lambda., ficando assim:

Satisfazendo a condição inicial (deslocamento inicial), obtemos:

Aplicando a série de Fourier;

Derivamos para encontrar a velocidade inicial dada:

(t=0 pois é o início)

Podendo ser escrito como:

Portanto, devemos escolher os Bn*s tais que, para t= 0, a derivada du/dt se torne a série de Fourier senoidal de g(x). Assim,

Como ln=cnπ/L , obtemos por divisão:

Considerando que parte do repouso, e aplicando na formula passada, G(x) = 0,