SOLUÇÃO NUMÉRICA DE EQUAÇÕES

DIFERENCIAIS

Prof. Flávio Pietrobon Costa

Áreas de conhecimento do CNPQ

1.01.04.00-3 - Matemática Aplicada

3.05.01.04-0 - Princípios Variacionais e Métodos Numéricos

SUMÁRIO• Introdução

• Origens

• Conceitos gerais

– Equações diferenciais

– Métodos numéricos

• Métodos numéricos de solução

– ODE

– PDE

INTRODUÇÃO • Equações diferenciais

• Surgiram na segunda metade

do século XVII

• Associadas à descrição de

problemas aplicados

• Soluções dessas equações

por procedimentos

numéricos

• Problemas de elevado grau

de complexidade

• Avanços importantes

tornaram-se possíveis, no

sentido da satisfação das

necessidades humanas.

• Preservação ambiental,• Estudo de ecossistemas, • determinação de deformações e

esforços em grandes estruturas• barragens, plataformas de petróleo e

torres de telecomunicação, • análise de estruturas de esbeltez

elevada,• estudos de aerodinâmica,• previsão atmosférica,• erosão costeira ou fluvial, • poços profundos,• planejamento cirúrgico, • exploração de jazidas subterrâneas, • análise de problemas e projetos

relativos sistemas de potência e transmissão de energia,

Problemas que resultam em sistemas de

equações diferenciais,

Elevado número de incógnitas,

Esforço de cálculo analítico proibitivo,

Custos elevados de execução,

Soluções vulnerabilizadas a erros

comprometedores (Cook, Malkus e Plesha, 1989).

• Evolução dos computadores nas últimas décadas,

• Desenvolvimento das técnicas computacionais,

• Abordagem por métodos numéricos,

• Problemas complexos: grande no. de variáveis e

de equações: sistemas,

• Atualmente resolvidos por via computacional:

solução automatizada,

• Problemas envolvendo mecânica do contínuo

(Pietrobon, 1998).

• Os métodos numéricos computacionais, utilizando técnicas de programação adequadas à otimização da busca de soluções, viabilizam o estudo dos problemas complexos, com elevado número de variáveis.

• Advento dos métodos numéricos: décadas de 50 e 60 (sec. XX),

• Prever e projetar, com apurado índice de acerto, resultados derivados de sistemas complexos de equações.

• Problemas associados à mecânica do contínuo: simulação temporal por soluções precisas (Bushnell, 1990).

• Ciências físicas, biológicas, matemáticas, químicas, engenharia, e do meio ambiente.

ORIGENSEquações diferenciais

• O raiar da Teoria das Equações Diferenciais:

– acúmulo de 325 anos de informações,– 11 de novembro de 1675, Leibinitz:

• Newton (Methodus fluxionum et serierum infinitarum, escrito em 1671, editado em 1744):– equações de fluxo,– relação entre taxas de variação (“fluxo”) e

variáveis independentes (“fluente”)

• associando dois fluentes,

• definindo as Equações Diferenciais Ordinárias, EDO (inglês ODE).

• classe de equações: EDP (PDE),

• relaciona uma taxa de variação com mais de duas variáveis.

• Contribuições de Newton e Leibnitz.

• Newton:

– desenvolvimento de solução em série de potências,

– solução da equação por uma série infinita,

• resulta por substituição da série representativa de y

• in Tractatus de quadratura curvarum, 1676, 1a publicação em Opticks, 1704

• O coeficiente a0 resulta totalmente arbitrário,

• Família de soluções, infinita.

• Leibnitz, 1691, técnica de separação de variáveis:

• Desenvolvimento econômico e industrial,

• Sec. XVIII a XX, requisitos:

•ocupação do espaço territorial,

•mecânica, eletricidade, mineração, navegação, vôo, construção, e outras demandas da sociedade moderna.

– Choque ideológico e econômico entre as potências,

– Requisito de maiores e novos avanços na tecnologia,

– Avanço no conhecimento em áreas fundamentais: matemática, física, química e engenharia,

–Rápido alcance dos limites de segurança de materiais e técnicas empíricas de construção de equipamentos,

–Condições de uso nos limites da segurança e da resistência dos materiais: vôo a jato, exploração em águas profundas, construções de grandes estruturas,

No seu conjunto, requisitos de desenvolvimento da tecnologia:

• resultam em modelos matemáticos

• sistemas de ODEs e EDPs,

• solução numérica computacional.

CONCEITOS GERAIS

solução de sistemas de equações diferenciais (Tanehill, Andersen e Pletcher, 1997):

• experimental: modelo físico, medição direta, análise dimensional, Teoria da Semelhança (Carneiro, F. Lobo, 1993).

• analítica: simplificações teóricas, problemas complexos tratáveis, solução depende da precisão e eficácia das hipótese simplificadoras.

• computacional: modelo matemático, algoritmo de solução, hipóteses coerentes, simulação numéricas,discretização do contínuo.

•Objeto de resolução: sistema de equações diferenciais obtidas no modelo numérico.

•Pontualmente na malha de discretização do contínuo: função algébrica integrada solução,

•MDF: derivadas substituídas por diferenças finitas apropriadas,

•MEF: funções de forma elementais ponderadas, para modelar solução.

VANTAGENS DA ABORDAGEM NUMÉRICA COMPUTACIONAL

• Liberdade de limitações de ordem dimensional, de ordem física e espacial,

• Ausência de limitações de hipóteses simplificadoras,

• É a abordagem de maior potencial evolutivo.

• Precisão, prevenção de erros numéricos, estabilidade e convergência do processo de solução (Lapidus e Pinder, 1999).

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS•Contém uma ou mais derivadas, de 1a , 2a, ou ordem superior.

•Derivadas ordinárias, correlaciona uma função, ou variável dependente, com uma única variável independente: EDO.

•Derivadas parciais: função dependente de mais de uma variável. Derivadas indicando a variável com que se relaciona: EDP (Dieguez, 1994):

MÉTODOS NUMÉRICOS• procedimentos matemáticos,

• aplicação otimizada para emprego computacional,

• implementação em códigos que obedeçam a algoritmos lógicos,

• solução de um problema de caráter científico

• aproximações numéricas sucessivas: processo iterativo.

• rotina de análise e modelagem do problema,

• relações matemáticas entre variáveis, funções e condicionantes desse problema,

• testes de validação e aperfeiçoamento.

PROBLEMAS DE APLICAÇÃO

MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUÇÃO

• EDOs, podem sempre ser reduzidos à 1a ordem:

• z(x) nova variável dependente (Dieguez, 19994).

• Solução genéricas de EDOs: redução das EDOs de ordem superior ao estudo de uma cadeia de n equações de 1a ordem acopladas em termos de funções yi , i=1,2,...,n:

O problema de solução numérica de EDO de ordem n:

• Não é resolvido somente com essas n equações de 1a ordem,

• Crucial é a modelagem numérica (MDF, MEF etc),

• Consideração das condições de contorno associadas à equação.

• Condições de contorno: valores algébricos de xi ou de yi em pontos discretos específicos.

PVI, problema de valor inicial: em que valores algébricos de yi são fornecidos em pontos iniciais xs, sendo necessário o conhecimento desses valores para iniciar a solução da equação;

PVC, problema de valor de contorno: sendo necessário o conhecimento de valores, ou condições associadas a yi, em pontos xf que determinam a fronteira da solução do problema.

• Conceito de discretização desenvolvido por Euler: substitui-se a taxa relacional por “steps” ou incrementos y e x (Numerical recipes, 2002):

• Multiplicando toda a equação por x,

• Resultado: formulação algébrica análoga à EDO, que fornece variação da função correspondente à variação de x de um x.

• No limite: incrementos adequadamente pequenos, aproximação ótima para a avaliação da função y, solução da EDO.

MÉTODO DE RUNGE-KUTTA PARA EDO

Método de Euler

Euler: expansão em série de Taylor, truncando a série no 2o termo, resultando um erro de ordem O(h2).

Runge-Kutta: redução da ordem de erro, seqüência de formulações de 1a ordem, avaliação do valor aproximado da função solução da EDO de ordem n.

Runge-Kutta de 2a ordem

Runge-Kutta de 4a ordem

EDO,

condições iniciais x0 = 0, y0 = 1, e xn = 0,1.Tomando 10 partições (n = 10) e, portanto h = 0,0:

SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EDP

• Relacionada a métodos de discretização e integração de variáveis sobre um contínuo,

• Método das Diferenças Finitas (FDM),

• Método dos Elementos Finitos (FEM).

• Nas últimas décadas: Diferenças Finitas Energéticas (EFDM), Elementos de Contorno (Boundary), Tiras (Strips) Finitas, dentre outros.

FDM: substituição das derivadas por formas de diferenças finitas,

Obtidas pela expansão em Série de Taylor e truncamento a nível da ordem de erro desejada:

Formulações análogas para formas em diferenças finitas, centrais, a vante e a ré, para derivadas de ordem superior, assim para a 2a derivada resulta a forma central:

Aplicação em EDPs: equações algébricas,

Integrando contribuições pontuais do valor da função,

Domínio contínuo discretizado em uma malha de pontos,

Valores da função em vértices da malha :

Equação de onda, EDP, propagação de ondulação em um meio contínuo:

Condições de bordo (contorno): extremidades fixas:

u(0,t) = u(L,t) = 0

Equação algébrica só tem solução para a condição de estabilidade (Lapidus e Pinder, 1999; e Diegues, 1994):

Corda inicialmente em repouso, em posição u(x) = x (4-x), de extremidades fixas, com comprimento 4 m, de 2 m/s, discretizada em 8 partições, resultando x = 0,5 m e t = 0,25 s.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA( E. L. Ince, Ordinary differential equations, Dover publications, New york, 1944;

( L. Lapidus and G. F. Pinder, Numerical solutions of partial differential equations in science and engineering, John Wiley & Sons Inc, Toronto, 1999;Cook, Malkus e Plesha, 1989;

( Pietrobon, F.C.; Formulação Numérica por Diferenças Finitas Energéticas da Flexão Dinâmica de Vigas com a Consideração da Deformabilidade por Cortante e da Inércia de Rotação; Tese M.Sc., COPPE/PEC-UFRJ, Rio de Janeiro, 1998;

( Bushnell, D.; Finite-difference Energy Models Versus Finite Element Models: Two Variacional Approaches in One Computer Program; Lockheed Missiles and Space Co., Palo Alto, in “Stress, Stability and Chaos in Structural Engineering Approach”, organizer El Naschie, McGraw-Hill Book Co., Singapore, 1990;)Isaac Newton, Methodus fluxionum et serierum infinitarum, 1744;

( Tractatus de quadratura curvarum, Opticks, 1704;

( Tannehill, J.C.; Andersen, D.A.; Pletcher, R.H.; Computacional Fluid Mechanics and Heat Transfer; Taylor & Francis Publishers, 1997;

( Carneiro, F. Lobo.; Análise Dimensional e Teoria da Semelhança e dos Modelos Físicos; Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 1993;

( Numerical recipes, Cambridge University Press, 2002.