Renato Cardoso Mesquita

Departamento de Engenharia Elétrica – UFMG

renato@ufmg.br

Problemas eletromagnéticos – modelagem básica;

Métodos numéricos baseados em malhas;

Introdução aos métodos sem malha.

Nossos principais trabalhos na área.

Conclusões

Equações de Maxwell:

D

.

0. B

tDJHx

tBEx

Sem variação no tempo, só estamosinteressados no campo elétrico:

D

.0 Ex

0. B

JHx

Exemplo 1: Eletrostática

Aplicação: micromotor

eletrostático

As equações ficam:

Relação entre D e E:

D

.0 Ex

ED

Permissividade elétrica

Se

==>

0 Ex

VE

Potencial escalar elétrico!

Equação diferencial:

Equação de Poisson não é constante

◦ Geralmente é descontínuo

V

.

Condição de contorno de Dirichlet;

Condição de contorno de Neumann:

Condições de interface (descontinuidade)

go emVV

hn emDn

V

em

n

V

n

V 22

11

em

n

V

n

V 22

11

V

.

oVV

nDn

V

Equações de Maxwell:

D

.

0. B

tDJHx

tBEx

Exemplo de aplicação: radar

HB

tDHx

tBEx

t

HEx

ED

t

EHx

t

HEx

tE

Hx

t

EHx

2

2

tE

tHx

2

21

tEExx

Definir Condições de contorno;

Interface entre materiais descontínuos;

...

• Parte-se das equações de Maxwell;

• Consideram-se as condições

específicas do problema;• EDPs do problema

• Condições de contorno

• Condições de interface (meios com

descontinuidade nas características físicas)

Métodos analíticos:◦ Só funcionam para problemas muito simples

(geometria simples, materiais lineares, ...)

Métodos numéricos ◦ Baseados em malha:

Elementos finitos (FEM) – elementos nodais e de aresta;

Diferenças finitas (FDM) – domínio do tempo - FDTD;

Finite Integration Technique (FIT) ;

Elementos de contorno (BEM);

Método dos momentos (MoM);

◦ Sem malha

Métodos sem malha (MM).

Boa parte dos métodos numéricos utilizados (incluindo a maioria dos métodos sem malha) é baseada no método de Galerkin.

Forma forte Forma fraca

Discretização pelo

método de Galerkin

(W)(S)

(G)Métodos numéricos:

fornecem funções

de base para o

método de Galerkin

Forma Matricial (M)

(S) Dados e , determinar a função V: -> quesatisfaça:

Dirichlet

Neumann

Interface

gemVV 0

hn emDn

V

kemn

V

n

V

22

11

V

.

Seja S o espaço das funções admissíveis e U oespaço das funções de teste:

S = { V | V H1(), V(x,y) = V0, (x,y) g }

U = {w | wH1(), w(x,y) = 0, (x,y) g }

H1, espaço de funções com derivada primeiracom quadrado integrável

Produto interno em H1:

VwdwV ,

Montamos o resíduo para a equação a ser resolvidano domínio:

Efetuamos o produto interno com uma função deteste, wU. Forçamos a ortogonalidade doresultado, w U:

UwdwVwR

0.,

VR . V

.

(W) Dados , V0 e Dn, determinar V S, tal que

Interpretação fundamental: ortogonalidade doresíduo em relação ao espaço das funções de teste

UwdwDdwdVw

h

n

.

UwdwVwR

0.,

Construir uma aproximação de dimensão finitapara os espaços S e U Sh e Uh, onde

Sh S , Uh U

Se uh Sh e wh Uh, então:

Vh(x,y) = V0 ,(x,y) g

wh(x, y) = 0, (x,y) g

SgUdgyxVSV hn

hhhh

,,,1

UcyxwUwn

hhh

,,1

(a não ser por gh, Sh e Uh são

compostos pela mesmas funções)

Reescrever a forma fraca em termos de Vh e wh:

(G) Dados , V0 e Dn (como em W), determinar Vh =yh+gh , onde gh Sh e yh Uh, tal que:

hhhh

n

h

hhh

UwdgwdDw

dwdyw

h

.

.

Udyn

h

,1

O método de Galerkin, como apresentado, étambém conhecido como método de Bubnov-Galerkin;

Se as funções de base de Sh fossem diferentes dasde Uh , teríamos o método de Petrov-Galerkin.

As funções de Sh precisam satisfazerexplicitamente as condições de contorno deDirichlet!◦ A escolha das funções de base não é arbitrária.

Interpretação fundamental: Resíduo ortogonal aoespaço de aproximação

hhhhhh UwdwVwR

0.,

Sh

Vh

RhVS

Para que o método

funcione, a escolha das

funções deve ser feita

de modo que Sh aproxime

S de forma consistente.

Como escolher estas funções de maneira

sistemática é a questão fundamental que os

métodos numéricos tentam responder

Como determinar as funções de base () necessáriaspara construir as funções de Uh e Sh ?

No método de elementos finitos, isto é simples:◦ Criam-se “funções chapéu”, NA , associadas a cada nó A

da malha.

◦ As funções são iguais a 1 naquele nó e 0 nos demais(propriedade do delta de Kronecker, ij ).

◦ Na nomeclatura do MEF estas funções são denominadas“funções de forma”.

etc ...

1 2

3

1N3(x,y)

Função de forma

Possuem suporte compacto: só são diferentes de zero emuma pequena parcela do domínio;

Formam uma partição da unidade:

Satisfazem o delta de Kronecker: Ni(xj) = ij

◦ É fácil impor condições de contorno de Dirichlet (ou seja, é fácilgerar funções que pertençam a Sh.

Satisfazem a condição de reprodução de um campolinear:

◦ Possuem consistência de ordem 1 (conseguem reproduzirpolinômios de primeira ordem).

xxNn

i

i

,1)(1

,)(1

xxxN i

n

i

i

Gera-se a aproximação da solução usando asfunções de forma geradas na malha de elementosfinitos:

Substituindo as expressões das aproximações naforma de Galerkin, obtém-se o sistema matricial,

(M) [K][d] = [f]

dNN BA. KAB

B

B

nAAA gKdDNdNf

hg

AB

A

n

A

A

h NdyxV

1

,

Observações:

1- K é simétrica, positiva definida e esparsa

2- O processo de cálculo das matrizes e vetorespode ser efetuado elemento por elemento

Partição (cobertura) do domínio;

Define a conectividade entre os nós.

Estruturada:

adaptação mais

difícil à geometriaNão estruturada: adapta-se mais

facilmente à geometria

São mais complexas de serem geradas.

Malhas de baixa qualidade (triângulos outetraedros distorcidos, muito distantes dosequiláteros) podem gerar grandes erros nasolução.

Gerar uma malha 3D de qualidade para ométodo de elementos finitos, para geometriasarbitrárias ainda é um dos grandes problemasna aplicação do método de elementos finitos.

Obter as funções de forma para o método deGalerkin sem usar uma malha.

Usam apenas nós (pontos) espalhados sobreo domínio

Eliminar a malha pode gerar métodosmais simples para problemas muitocomplexos:◦ Geometrias 3D complexas;

◦ Implementação de adaptatividade;

◦ Problemas envolvendo movimento egeometria variável:

Máquinas elétricas;

Otimização de forma e problemas inversos.

No caso dos métodos sem malha, a determinação dasfunções de forma não é tão simples.

É desejável que elas satisfaçam as mesmas condições doMEF:

◦ Suporte compacto (se não satisfizerem, o sistema de equaçõesobtido não será esparso);

◦ Partição da unidade (se não satisfizerem, não serão capazes dereproduzir um termo constante da solução);

◦ Condição de reprodução de campo linear , ou seja, tenham, nomínimo, consistência de ordem 1

◦ Delta de Kronecker (nem sempre satisfazem – neste caso, teremosdificuldades de impor condições de contorno de Dirichlet);

◦ Possam ser obtidas a partir de uma distribuição arbitrária de nós ;

◦ O algoritmo para sua obtenção seja computacionalmente eficiente;

• Várias estratégias foram desenvolvidas.

• Já testamos:◦ Smoothed Particle Hydrodynamics (SPH)

◦ Reproducing Kernel Particle Method (RKPM)

◦ Moving Least Squares (MLS)

◦ Point Interpolation Method (PIM)

◦ Radial Point Interpolation Method (RPIM)

◦ Radial PIM com reprodução polinomial (RPIMp)

◦ Funções de Shepard .

◦ ...

Desenvolvidos originalmente por matemáticospara ajuste de superfícies e regressão de dados.

O método é um dos mais utilizados atualmentepara a construção de funções de forma de métodos sem malha.

Principais características: ◦ A função de aproximação gerada é contínua e suave em

todo o domínio;

◦ O método é capaz de gerar uma aproximação com a ordem de consistência que se desejar.

Seja u(x) uma função definida em um domínio Ω. Sua aproximação em um ponto x é uh(x).

Aproximação por MLS:

a(x) :

Note que a(x) varia com x!

p(x) é o vetor de funções de base ◦ normalmente monômios de baixa ordem

◦ é possível enriquecer a base com outras funções.

O vetor de coeficientes a(x) é determinado usando os valores de u(x) em um conjunto de nós incluídos no domínio de suporte de x.

O domínio de suporte de x determina o número de nós (n) que são usados localmente para aproximar o valor de u(x) no ponto x.

Dado o conjunto dos n valores da função sendoaproximada nos n nós do domínio de suporte:◦ u1, u2,…,un, em x1, x2,…,xn

Pode-se calcular o valor da função aproximadanestes nós:

Um funcional de resíduos ponderados é construído utilizando os valores aproximados dafunção e os parâmetros nodais :◦ uI = u(xI),

Funcional:

Exemplo de funções peso

No MLS, em um ponto arbitrário x, a(x) minimizao resíduo ponderado.

A condição de minimização requer que:

Mas

Portanto:

A é a matriz de momentos (ponderada).

Onde:

Resolvendo o sistema:

Mas:

Portanto:

Mas, como:

Obtem-se as funções de forma para o MLS:

O requisito n>>m geralmente evita a singularidade da matriz de momentosponderados, de maneira que A−1 exista.

Exemplos de função de forma obtidas por MLS:

Suas derivadas de primeira ordem:

• OBS: não satisfazem o delta de

Kronecker, mas formam uma

partição da unidade!

A consistência da aproximação MLS depende daordem do polinômio completo utilizado (p(x)).◦ Se a ordem é k, as funções de forma do MLS possuem

consistência Ck.

Propriedade importante: qualquer função queapareça na base do MLS é reproduzidaexatamente◦ Se soubermos a priori algo sobre o comportamento da

solução, este comportamento poderá ser incluído naaproximação, pela simples adição dele à base do MLS (desde que se garanta que a matriz A continuaráinversível)

De posse das funções de forma geradas pelo MLS, substitui-las na forma fraca.

Obtém-se sistema matricial semelhante ao do MEF:

Ku=f

Obs: necessário integrar em todo domínio ◦ Gerar uma malha de integração;

◦ EFG não é um método “totalmente sem malha”.

dBA. KAB B

B

nAAA gKdDNdNf

hg

AB

Usa uma estratégia diferente da do MLS;

Número de nós no domínio de suporte igual ao número de monômios usados na base;

Vantagem:◦ Satisfaz delta de Kronecker imposição de condições

de contorno facilitada;

Desvantagens:◦ Existem distribuições de nós em que não se consegue

determinar as funções de forma (matriz singular)

usar funções de base radial ao invés de polinômios RPIM e RPIMp ;

◦ Descontinuidades das funções de forma (difícil usar uma forma fraca global);

Se as funções de forma não são contínuas, melhor usar formas fracas locais;◦ Os domínios onde as formas fracas são satisfeitas

são superpostos e cobrem o domínio global

Para isso, utiliza-se uma formulação do tipo Petrov-Galerkin;◦ Funções de teste diferentes das funções de forma;

Funções de teste escolhidas de maneira a simplificar e facilitar a formulação;

Grande flexibilidade para escolha tanto das funções de forma quanto das funções de teste;

Domínios das funções de forma podem ser distintos dos das funções de teste

◦ Integração local método verdadeiramente sem malha.

Meshless Local Petrov-Galerkin - MLPG

Método sem malha, segue construção “semelhante” ao do método de elementos finitos

Porém utiliza uma estratégia diferente para obter as funções de forma, onde não se usa uma malha.◦ As funções são computacionalmente mais

complicadas;

◦ Algumas não satisfazem as condições do delta de Kronecker.

◦ Diversas maneiras de obter as funções de forma (MLS, PIM, RPIM, RPIMp, SPH, RKPM, Shepard,…).

O método ainda está em sua “infância”.

Problemas / questões:◦ imposição de condições de contorno;

◦ melhoria de desempenho computacional;

◦ quais as melhores formulações para problemas específicos em eletromagnetismo (baixas e altas freqüências / domínio do tempo )?

◦ etc.

Apresentaremos algumas das soluções geradas em nosso grupo de pesquisa na UFMG.

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

Distribuição de Nós

Nó

Y(cm)

X(cm)

Viana, Simone A. ; Mesquita, R.C. . Moving least square reproducing kernel method for electromagnetic field computation. IEEE Transactions on Magnetics, New York, v. 35, n. 3, p. 1372-1375, 1999.

PARREIRA, Guilherme F. ; FONSECA, Alexandre R.; LISBOA, Adriano C. ; SILVA, Elson José da ; MESQUITA, R. C. . Efficient Algorithms and Data Structures for Element-free Galerkin Method. IEEE Transactions on Magnetics, New York, v. 42, n. 4, p. 659-662, 2006.

EFG

Fonseca, Alexandre R. ; Viana, Simone A. ; Silva, Elson J. ; Mesquita, R.C. . Imposing boundary conditions in theMeshless local Petrov Galerkin method. IET Science Measurement & Technology, v. 2, p. 387, 2008.

Boundary nodes

Inner nodes

m

j

Nodes that influence the

node m shape-function.

Nodes that influence the

node j shape-function.

j

ji k

i

1

j k

m

m nl

ml n

MLPG

Guimarães, Frederico G. ; Saldanha, Rodney R. ; Mesquita, Renato C. ; Lowther, David A. ; Ramirez, Jaime A. . A Meshless Method for Electromagnetic Field Computation Based on the Multiquadric Technique. IEEE Transactions on Magnetics, v. 43, p. 1281-1284, 2007.

0 20 40 60 80 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

25 30 35 40 45 50 55 6010

15

20

25

30

35

40

45

50

Coppoli, Eduardo H. R. ; MESQUITA, R. C. ; Silva, Renato S. Periodic Boundary Conditions in Element Free Galerkin Method. COMPEL – The International Journal for Computation and Mathematics in Electrical and Electronic Engineering, vol. 28, p. 922-934, 2009

E.H.R. Coppoli, R. C. Mesquita, R. S. Silva - Field-Circuit Coupling With Element-Free Galerkin Method, 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, maio 2010).

EFG com interpolating

moving least squares

FONSECA, Alexandre R. ; MENDES, Miguel L. ; Mesquita, Renato C. ; SILVA, Elson J. da . Mesh Free Parallel Programming for Electromagnetic Problems. Journal of Microwaves , Optoelectronics and Electromagnetic Applications, vol. 8, p. 101S-113S, 2009.

Update Electric

Field Thread 1

Join Threads

Update MagneticField Thread 1

Update Field Thread 2

Magnetic Update Field Thread N

Magnetic

Initialize nodes

Update Electric

Field Thread 2

Update Electric

Field Thread N

Join Threads

j

K f

i

SPEM MLPG

Alexandre R. Fonseca, Bruno C. Corrêa, Elson J. Silva and Renato C. Mesquita - Improving the Mixed Formulation for Meshless Local Petrov–Galerkin Method, IEEE Transactions on Magnetics (2010), v. 46, p. 2907-2910, 2010.

Nicomedes, Williams L. ; MOREIRA, Fernando José da Silva ; MESQUITA, R. C. . Electromagnetic Scattering Problem Solving by an Integral Meshless-Based Approach. Aceito para publicação no COMPEL – Journal of Computations andMathematics in Electrical Engineering, 2010 .

Nicomedes, Williams L. ; MESQUITA, R.C., Moreira, Fernando J. S. - 2D Scattering Integral Field Equation Solution through an IMLS Meshless-Based Approach, IEEE Transactions on Magnetics, 2010, v. 46, p. 2783-2786, 2010

Bruno C. Corrêa, Elson J. Silva, Alexandre R. Fonseca, Diogo B. Oliveira & Renato C. Mesquita - Meshless Local Petrov-Galerkin in Solving Microwave Guide Problems, 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, EUA, maio 2010)

Case Iris RPIMP 2D (GHz) FEM 3D (GHz)

1 a/8 9.255 9.251

2 a/4 9.168 9.169

3 a/2 8.765 8.768

4 7a/8 8.6 7.585

Frequency [Hz]

|E| -

ele

ctric

fie

ld [V

/m]

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.060

0.005

0.01

0.015

0.02

Ainda não publicado (trabalho do aluno Williams Nicomedes)

2009 SBMO/IEEE MTT International Microwave & Optoelectronics Conference(IMOC 2009 –novembro, 2009): Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita and

Fernando J. S. Moreira - A Local Boundary Integral Equation (LBIE) Method in 2D Electromagnetic Wave Scattering, and a Meshless Discretization Approach (p. 133-137).

Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita and Fernando J. S. Moreira - The Unimoment Method and a Meshless Local Boundary Integral Equation (LBIE) Approach in 2D Electromagnetic Wave Scattering (p. 514-518).

Williams L. Nicomedes, Renato C. Mesquita, Fernando J. S. Moreira - A Meshless Local Boundary Integral Equation Method for Three Dimensional Scalar Problems. 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, EUA, maio 2010). Aceito para publicação no IEEE Transactions on Magnetics.

PARREIRA, Guilherme Fonseca ; SILVA, Elson José da ; FONSECA, Alexandre Ramos ; MESQUITA, R. C. . The Element-free Galerkin Method in 3-Dimensional Electromagnetic Problems. IEEE Transactions on Magnetics, v. 42, n. 4, p. 711-714, 2006.

Luciano C. A. Pimenta, Miguel L. Mendes, Renato C. Mesquita, and Guilherme A. S. Pereira, Fluids in Electrostatic Fields: An Analogy for Multi-Robot Control, IEEE Transactions on Magnetics, v. 43, 2007.

Luciano C. A. Pimenta ; Nathan Michael ; MESQUITA, R. C. ; Guilherme A. S. Pereira ; Vijay Kumar . Control of Swarms Based on Hydrodynamic Models. IEEE International Conference on Robotics and Automation, 2008.

Naísses Z. Lima; Renato C. Mesquita; Marcos L. Assis Jr., Framework for meshless methodsusing generic programming, 14th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation – CEFC (Chicago, EUA, maio2010)

Métodos sem malha são alternativa interessante aos métodos baseados em malhas;

Há muito ainda para desenvolver:◦ Gerar implementações ainda mais eficientes;

◦ Investigar as formulações mais adequadas para os diversos tipos de problemas eletromagnéticos;

◦ Novos tipos de funções de interpolação:

Por exemplo, seria possível desenvolver o equivalente aos elementos de aresta (funções de interpolação vetoriais) sem uma malha?

Estamos trabalhando ativamente nessas questões!

Ao mesmo tempo, há muitas questões matemáticas em aberto:◦ Vários dos métodos ainda não têm estimativas teóricas

de convergência;

◦ Existem algumas técnicas que desenvolvemos que não temos certeza se funcionariam corretamente em todas situações;

É um campo vasto de pesquisa para Engenheiros, Matemáticos, Físicos, ...◦ renato@ufmg.br