Solução Analítica do Movimento das Vibrações das Válvulas

Semilunares do Coração Modelada por Equações Diferenciais

Fracionárias

Daniele P. Magalhães Programa de Pós-Graduação em Modelagem Computacional, UFJF, 36036-330, Juiz de Fora, MG

E-mail: dannyelip@yahoo.com.br

J. A. J. Avila Departamento de Matemática e Estatística - DEMAT, UFSJ, 36307-352, São João Del Rei, MG

E-mail: avila_jaj@ufsj.edu.br

Resumo

O presente trabalho aproxima a solução analítica do movimento das vibrações da válvula semilunar aórtica do coração. Esse fenômeno é modelado por equações diferenciais

fracionárias não lineares e resolvido pelo Método de Perturbação Homotópica (MPH) e o

software Mathematica.

Palavras-chave: Válvulas Semilunares, Equações Diferenciais Fracionárias, Método de Perturbação Homotópica e Mathematica.

1. Introdução

As válvulas semilunares: aórtica e pulmonar encontram-se na base da artéria aorta e da artéria pulmonar, respectivamente. Elas impedem que o fluxo sanguíneo volte ao coração. Cada

válvula é formada por três pequenas valvas de formato semiesférico. A força que impulsiona a

válvula fechada a vibrar é a diferença de pressão. No caso, da válvula aórtica, é entre a pressão ventricular e a pressão aórtica. Quando estas válvulas se fecham, elas criam vibrações intensas

no sangue e nas paredes cardíacas, tais vibrações, provocam sons que são os respectivos sons

dos batimentos cardíacos. Blick et al. [1] modelou a válvula aórtica como sendo uma membrana

circular de raio a . Momani e Odibat [2] revelam que o MPH é um método analítico alternativo

para resolver equações diferenciais fracionárias. Yldirim e Gulkanat [3] resolve o caso não

linear de [1] usando o MPH. Este, trabalho, acompanha de perto [3] e modifica algumas inconsistências, no referente à família de equações diferenciais, após equação (15).

2. Equação Governante

A equação diferencial fracionária não linear que modela o movimento forçado e

amortecido das vibrações da membrana (válvula aórtica), em qualquer instante de tempo t , é

dada por

3( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

c kx t D x t x t x t f t

m m m

(1)

onde, ( )x t é o deslocamento vertical (deflexão) do ponto médio da membrana, fixa em seus

bordes, em cada instante de tempo t . A derivada fracionária ( )α

tD x t , 0 1 , representa o

termo de amortecimento. As constantes , ,m c k e são, respectivamente, a massa efetiva de

vibração, o coeficiente de força de amortecimento, o fator de rigidez e o parâmetro não linear.

( )f t é a força externa gerada pela diferença de pressões, neste trabalho, constante. As

condições iniciais de (1) são: (0) 0x e (0) 0x . Na verdade, o perfil inicial da membrana, no

instante 0t , é parabólico.

3. Derivada Fracionária

Definição 1. (Derivada Fracionária, segundo Caputo, [4]). Seja 0 e n ,

( )

( )

Γ( ) ( ) ( ) se( )

( ) se

tn α n

α

tn

n α t τ x τ dτ n α nD x t

x t α n

1

01 1

(2)

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4. Método de Perturbação Homotópica - MPH

O MPH produz aproximação de soluções analíticas na forma de uma série convergente,

envolvendo, equações diferenciais fracionárias, [2].

Aplicando o MPH a Eq.(1) temos:

3( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

c kx t f t p D x t x t x t

m m m

(3)

onde [0,1]p . Suponha que a Eq. (3) tenha solução da seguinte forma:

2 3

0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ...x t x t x t p x t p x t p (4)

Substituindo (4) em (3) temos a seguinte família de equações diferenciais:

0

3

1 0 0 0

2

2 1 1 0 1

2

3 2 2 0 1

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( )

t

t

t

x t f t

c kx t D x t x t x t

m m m

c kx t D x t x t x t x t

m m m

c kx t D x t x t x t x t

m m m

(5)

com as seguintes condições inicias: 0 0 1 1 2 2(0) (0) 0, (0) (0) 0, (0) (0) 0,...x x x x x x

Tomando ( )f t A , usando (2), as condições iniciais e o software Mathematica, temos

4

2

0

3

1

2 3 3 2 26 10 14 6 2

2

4 8

2 2 2 2

3 36 10 10

2 2 2

( )2

90( )

(5 ) (5) (9)

3( )

720 2688 326144 (7 2 )

2 90 3

(7 ) (11 ) 4(10 )(9 ) (5 )

Atx t

cA kA Ax t

m m m

Ak A k A Acx t t t t t

m m m m

Ack A c A ct t t

m

t

m m

t t

(6)

Substituindo (6) em (4) e aplicando o limite quando 1p obtemos uma aproximação da

solução analítica de nosso problema.

5. Conclusões

O MPH nos leva à aproximação da solução analítica, sem a necessidade de resolvê-la

numericamente, ou, por qualquer outro método de linearização ou perturbação. Abrindo-se um leque de possibilidades em equações diferenciais fracionárias, resolvidas pelo MPH.

6. Agradecimento

Agradecemos à CAPES e UFJF pelo apoio financeiro para a apresentação deste trabalho.

7. Referências

[1] Blick E., Sabbak H. e Stein P. “One-dimensional model of diastolic semilunar valve vibrations productive of hearts sounds”. Journal of Biomechanics 1979; 12:223-227.

[2] Momani S., Odibat Z. “Homotopy perturbation method for nonlinear partial differential equations of fractional order”. Physics Letters A, Vol. 365, 11, 2007; 345-350.

[3] Yldirim A. e Gulkanat Y. “Realiable analysis for the nonlinear fractional calculus model of

the semilunar heart valve vibrations”. I. J. N. Meth. Biom. Eng., Turkey, 2010.

[4] Podlubny I. “Fractional Differential Equations”. Academic Press. New York, 1999.

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