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SOBRE
APLICAÇÕES GENÉRICAS M4-+ IR2
Yolanda Kioko Saito Furuya
Tese apresentada ao Instituto de
Ciências Matemáticas de São Carlos,
da Universidade de São Paulo, para
obtenção do grau de Doutor em Ciên-
cias (Matemática).
ORIENTADOR: Prof. Dr. Paulo Ferreira da Silva Porto Jr.
São Carlos
1986
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MEUS SINCEROS AGRADECIMENTOS
Ao Professor Paulo Ferreira da Silva Porto Jr., pela
orientação efetiva, pelo estímulo e pela paciincia;
Aos Professores Luis Emeristo Mata-Lorenzo, Frances-
co Mercuri e Vera Lucia Carrara Zanetic, pelas conversas e su
gestões;
Aos Professores do Instituto de Canejas Matemáticas
de São Carlos e do Instituto de Matemática Pura e Aplicada,
pela formação;
Aos colegas do Departamento de Matemática da Univer-
sidade Federal de São Carlos, pelo apoio;
A Noritsuna Furuya, José Hiroki Saito e Nelio Baldin
pelo incentivo à utilização de recursos computacionais;
Ao meu gato Gremlin, pela companhia.
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ABSTRACT
:The main purpose of the present work as to study geometrical
properties of closed, oriented 4-manifolds as domam n of generic
maps into the plane.
First, we get the local configurations for the 2-dimensional
complex Wf of the Stein Factoriaation of a stable map f: M --> R2
and we study some examples where the maps are not stable.
Then, we study the special generic maps where - all the
singularities are definite folds, and we also classify the 4-
manifolds which arise as the domain of such a map, generalizing
the theorems of O. Burlet and G. de Rham for the 3-dimensional
case.
Finally, we get a relation between smooth families of
special generic maps and image-homotopy tin the sense of L.
Kauffman) of immersions of compact surfaces with boundary into
the plane.
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fNDICE
INTRODUÇA0 1
CAPITULO I
DEFINIQOES, RESULTADOS GERAIS E O CASO 3-DIMENSIONAL
1. fts aplicacões genéricas
2. A Fatorização de Stein_ 5
3. Vizinhanças retangulares
• • • •• .............. • • • •, • a
4. Vizinhanças produto e variedades transversais
5. O caso 3-dimensional orientado
5.1. Configuraçbes locais 15
5.2. Decomposição de M em fibrados 20
5.8. Realização de um complexo W-imerso 22
5.4. Aplicações genéricas especiais 24
5.5. Arcos V-estáveis 26
CAPITULO II
O CASO 4-DIMENSIONAL ORIENTADO
I. introdução 33
2. Alguns resultados de Teoria de Morse e Cobordismo
2.1. Cirurgia 34
2.2. Vizinhanças características 35
3. Configuracbes locais
3.1. Introducão 36
3.2. Os pontos de dobra definida 38
3.3. Os pontos de sela simples 39
10
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3.4. Os pontos de sela duplos 45
3.5. Os pontos cuspidais 52
4. Decomposição de M 56
5. O problema de realização 59
6. Os arcos Tf-estáveis 61
CAPIXULO 111
APLICAÇOES GENERICAS ESPECIAIS EM DIMENSOES MAIS ALTAS
I. Introdução 77
2. Sobre fibrados orientados em k-esferas ........... 79
3. A fatorização de Stein de uma aplicação genérica especial e os- fibrados em k-esferas sobre Wf 82
4. Sobre os domInios de aplicações genéricas especiais 87
CAPITULO IV
RELAÇOES ENTRE APLICAÇOES GENERICAS E IMERSOES
I. Introdução 91
2. As aplicaçoes genéricas especiais e o problema de extensão de imersões 92
3. Imagem-equsvalencia de aplicações genéricas especiais
3.1. Introdução 95
3.2. Imagem-homotopia de ,imersões 97
3.3. Equivalência de aplicaçbes genéricas especiais segundo O. Burlet e G.de Rham 98
3.4. Imagem-equivaléncia 99
BIBLIOGRAFIA 106
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INTRODUOM
Os principais objetos de nosso estudo são as variedades M4 fechadas (compactas e sem bOrdo) orientadas de dimensão quatro e as aplicações genéricas definidas em tais variedades e com valores no plano.
. O objetivo deste trabalho é analisar os aspectos geométricos 'relacionados com tais objetos. Este estudo .compreende os seguintes problemas:
ti) Analisar o comportamento topológico das fibras f-1 (p) de uma aplicação estável f, principalmente em torno da imagem do conjunto singular:
(2) Classificar as variedades fechadas orientadas de dimen.-são quatro que podem ser domínios de aplicações genéricas especiais ( aplicações cujas singularidades são todas de dobra definida ) com valores no plano:
(3) Através da imagem do conjunto singular, buscar informações sobre a variedade domínio.
Tais estudos envolvem, essencialmente, o estudo do complexo bidimensional Wf obtido como quociente da variedade M pela relação de equivalência que identifica pontos de uma mesma componente conexa de uma fibra da aplicação.
A escolha da dimensão se 'deve ao fato que o caso 3- dimensional já está praticamente resolvido e, a dimensão 4 permite ainda vizualizar as fibras (bidimensionais), possibilitando uma análise gráfica dos problemas. Porém, apresentaremos também alguns resultados concernentes à dimensão 3 e a dimensbes maiores que quatro.
A seguir, apresentaremos a organização do presente trabalho.
No Capitulo 1 apresentaremos as principais definições e alguns resultados gerais delas decorrentes, além de um resumo sobre os resultados conhecidos para o caso 3-dimensional, que inspiraram este estudo.
No Capitulo. II apresentaremos os resultados relacionados com o problema t1) reunidos no TEOREMA I, que apresenta todas as configurações locais admissiveis para o complexo Wf de uma aplicação estável f:M -->R2. Além disso, serão apresentadas também algumas transições nos espaços W<Fit> nos pontos de bifurcação de uma homotopia Tr7estável F:Mx[0,11-->R2 em e(M,R2).
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No Capitulo III serão apresentados os Teoremas A' e B',. relacionados .com o problema (2). Na 'demonstração destes teoremas, obtemos alguns resultados válidos para dimensões mais altas. Além • disso, como pré-requisitos ao Capitulo, apresentamos um resumo de alguns resultados conhecidas sobre fibrados em k-esferas.
Finalmente, no Capitulo IV, desenvolvemos o problema (3) em duas partes: a primeira trata do reconhecimento de uma coleção de circulas imersos no plano como imagem do conjunta singular de uma aplicação genérica especial; a segunda trata de uma nova classi-ficação de aplicações genéricas especiais, em função de condições especiais sobre a imagem. Nesta última parte, surge um teorema relacionando famílias de aplicações genéricas especiais com imagem-homotopia de imersões de superfícies compactas com bordo, no plano.
Durante toda a evoluçãO deste trabalho, o apelo visual será. acentuado, não apenas devido à dificuldade de se expressar com palavras os elementos estudados, mas para fazê-lo de maneira mais clara e, por outro lado, devido também à própria natureza do trabalho. Algumas figuras relacionadas com •formas • locais de. singularidades foram obtidos com auxílio de um microcomputador.
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CAP. IV
e
sáo equivalentes segundo O. Burlet e G. de Rham, porém, no sáo imagem-equivalentes.
' Além disso, as extensões distintas de imersões de circulas no plano a imersdes definidas no disco, na classificação de Blank, citadas no paragrafo
deste Caprtulo, representam aplicações genéricas especiais definidas na esfera S." e são imagem-equivalentes, jà que sd se tem uma classe de imagem-homotopia de imersbes definidas no disco.
rs./
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