* Av. Tancredo Neves, 5655 - 49.080-470 - Aracaju - SE - BRASILTel.: (79) 3043-0690 - Fax: (79) 259-7313 - e-mail: alecio@nepen.org.br

SNPTEESEMINÁRIO NACIONALDE PRODUÇÃO ETRANSMISSÃO DEENERGIA ELÉTRICA

GSC-1319 a 24 Outubro de 2003

Uberlândia - Minas Gerais

GRUPO XGRUPO DE ESTUDO DE SOBRETENSÕES E COORDENAÇÃO DE ISOLAMENTO - GSC

MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO NO DOMÍNIO DE FASES: ESTADO DA ARTE

Alécio Barreto Fernandes* Washington L. A. Neves Antônio Carlos S. Lima Núcleo de Estudos e Pesquisas Universidade Federal Universidade Federal do Nordeste - NEPEN de Campina Grande - UFCG do Rio de Janeiro - UFRJ Faculdade Pio Décimo

RESUMO

Em estudos de transitórios eletromagnéticos, existembasicamente duas classes de modelos computacionaisutilizados para representar linhas de transmissão:modelos no domínio modal e modelos no domínio defases. Os modelos no domínio modal foram propostosna década de 1960 enquanto que os modelos nodomínio de fases surgiram mais recentemente comobjetivo de superar algumas limitações dos modelosconvencionais. Neste trabalho, apresenta-se o estadoda arte sobre modelos de linhas de transmissão nodomínio de fases. Simulações no tempo permitemanalisar o desempenho dos modelos desenvolvidosrecentemente. Destaca-se: precisão, eficiênciacomputacional, e possíveis problemas de instabilidadee oscilações numéricas.

PALAVRAS-CHAVE

Transitórios eletromagnéticos, Linhas de transmissão,Modelos computacionais, Domínio de fases, Estado daarte.

1.0 - INTRODUÇÃO

Várias ferramentas têm sido usadas ao longo dos anospara estudos de transitórios eletromagnéticos.Devido ao alto grau de complexidade dos sistemasreais, o uso de métodos computacionais é bastanteatrativo, mas não é uma tarefa simples. Devido aoaumento da capacidade de processamento e adisponib i l idade de potentes ferramentascomputacionais, resultantes do recente avançotecnológico, a simulação digital tem conquistado umespaço nunca antes imaginado e o uso de modelos

matemáticos um significado expressivo frente a estenovo paradigma (1).Dentre as técnicas desenvolvidas para simulaçãodigital de sistemas elétricos, os programas tipo EMTP(Electromagnetic Transients Program) têm sedestacado, pois permitem uma solução direta nodomínio do tempo, possibilitam a consideração demudanças súbitas na configuração do sistema (comodefeitos, abertura e fechamento de disjuntores, etc.) ea consideração de elementos não lineares, de umaforma bastante prática (2).Dentre os modelos computacionais disponibilizadosnos programas tipo EMTP, as linhas de transmissão sedestacam por duas particularidades: seus parâmetrossão distribuídos ao longo de sua extensão eapresentam forte dependência da freqüência (3), (4).Neste trabalho, apresenta-se o estado da arte sobremodelos de linhas de transmissão no domínio de fases.Esta classe recente de modelos tem despertado muitointeresse e tem se mostrado preciso quando osmodelos convencionais (modelos modais), da formaque estão implementados, se mostram limitados.Simulações no tempo, permitem analisar aspectosimportantes dos principais modelos desenvolvidosrecentemente. Destaca-se: precisão, eficiênciacomputacional e possíveis problemas de instabilidadee oscilações numéricas.

2.0 - MODELOS DE LINHAS DE TRANSMISSÃO

Devido às suas particularidades, as linhas detransmissão podem ser modeladas de diferentesformas, de acordo com a precisão e a eficiêncianecessárias (4), (5).Quanto à natureza distribuída de seus parâmetros, aslinhas de transmissão podem ser representadas por:

2

• Modelos a parâmetros concentrados: a linha detransmissão é representada por elementosconcentrados, usualmente em uma conexão cascatade seções p, cujos valores são calculados para umadeterminada freqüência;• Modelos a parâmetros distribuídos: a naturezadistribuída dos parâmetros é levada em consideraçãoatravés do princípio da propagação de ondas. Assim,um distúrbio se propaga sujeito a atenuações até serrefletido nos terminais da linha, existindo um atrasoentre tensões (e correntes) em terminais opostos.

Quanto à dependência de seus parâmetros com afreqüência, distinguem-se duas classes de modelos delinhas de transmissão:• Modelos a parâmetros constantes na freqüência: adependência da freqüência dos parâmetros da linha édesprezada;• Modelos a parâmetros dependentes da freqüência:representam com maior precisão o fenômeno físico dapropagação de ondas, pois consideram os efeitos dafreqüência sobre seus parâmetros.

Linhas de transmissão polifásicas, podem ainda sermodeladas no domínio modal ou no domínio de fases.• Modelos no Domínio Modal: fazem uso da técnicada transformação modal (3), (6). Através do cálculo deautovalores e autovetores das matrizes quecaracterizam a linha, as n fases de uma linha polifásicapodem ser desacopladas em n linhas monofásicasindependentes. São modelos de grande utilização,embora no atual estágio de desenvolvimento nãopossam ser utilizados com a mesma precisão paratodos os tipos e configurações de linhas. São bastanteprecisos no caso de linhas de transmissão aéreassimétricas (7), mas perdem em precisão, quandoaplicados a linhas aéreas com alto grau de assimetria,linhas em configurações de circuitos multiplos e cabossubterrâneos (8); (9); (10);• Modelos no Domínio de Fases: visando ummodelo sem restrições quanto à geometria ou naturezadas linhas de transmissão, trabalhos recentes propõemmodelar linhas de transmissão diretamente no domíniode fases (9); (11); (12). A idéia principal é determinar ocomportamento dinâmico da linha diretamente nodomínio de fases, evitando a transição para o domíniomodal durante a simulação no tempo. Estes modelostêm despertado muito interesse e têm se mostradoprecisos quando os modelos modais (convencionais)se mostram limitados (4); (10).

3.0 - DOMÍNIO DE FASES: ESTADO DA ARTE

Dentre os diversos modelos de linhas de transmissãodesenvolvidos ao longo dos anos, o modelo modalproposto por Martí (3) se destaca por ter fundamentadouma metodologia, na qual a linha de transmissão écompletamente caracterizada no domínio da freqüênciapela admitância característica Yc(jw), e pelo fator depropagação A (jw), estando implementado nosprincipais programas tipo EMTP.A mesma metodologia é a base dos modelos nodomínio de fases, só que nas simulações no tempo asgrandezas são determinadas diretamente emcoordenadas de fases, sem a transição entre osdomínios modal e de fases (4); (10).

Dentre os programas EMTP, o programa EMTDC (13)disponibiliza um modelo de linhas de transmissão nodomínio de fases, denominado modelo universal(Universal Model), conforme proposto por Morched etal (9). Versão recente do programa ATP (14); (15)também disponibiliza um modelo de linhas detransmissão no domínio de fases, denominado modeloIARMA (Interpolated Auto-Regressive MovingAverage), conforme proposto por Noda et al (11); (16).Aprimoramentos de modelos de linhas de transmissãono domínio de fases foram apresentados em umtrabalho de doutorado recente realizado na UFPB (4).Detalha-se a seguir os principais aspectos dosmodelos de linhas de transmissão no domínio de fasessupra-citados.

4.0 - MODELO IARMA

Noda et al (16) apresentam um modelo no domínio defases, definido no plano z, denominado modelo ARMA(Auto-Regressive Moving Average). Y c(jw) e A(jw) nodomínio de fases são aproximados por funçõesracionais no plano z, reescritas na forma linear:

[ ].)()(

22

11

22

110

mm

nn

zbzbzbzGzazazaazG

---

---

⋅++⋅+⋅⋅-

+⋅++⋅+⋅+=

KK (1)

fazendo uso do método de Householder,conforme o algoritmo proposto por Golub (16). Atransição para o domínio do tempo é direta (17) esem originar convoluções no domínio do tempo,pois da Equação (1) tem-se:

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) .22

)(

2

12

10

tmtvbttvbttvbtntiattia

ttiatiatv

m

n

D-⋅--D-⋅-

D-⋅-D-⋅++D-⋅

+D-⋅+⋅=

KK (2)

O ajuste de funções racionais no plano z tem suscitadodiscussões quanto à sua praticidade, uma vez que estádiretamente associado ao intervalo de tempo D tutilizado na transição para o domínio z (discretização).Este passo de tempo Dt deve ser o mesmo utilizado nomodelo ARMA para simulações com programas EMTP.Ao alterar o passo de tempo, o usuário deve obternovas aproximações. Usando interpolação, pode-seobter de um modelo ARMA independente do D t dasimulação (11).O novo modelo, denominado IARMA (InterpolatedARMA), permite um passo de tempo diferente paracada modelo, e desta forma, o maior inconveniente nomodelo ARMA é superado.O maior problema fica a cargo da estabilidade domodelo (18). Critérios distintos de estabilidade sãoestabelecidos para a admitância característica e o fatorde propagação no domínio de fases. No entanto,segundo Noda e Ametani (15), estes critérios aindanão foram implementados na rotina NODA SETUP doATP.O modelo IARMA é disponibilizado em versão recentedo programa ATP (15).

5.0 - MODELO UNIVERSAL

Morched et al. (9) apresentam um modelo de linhas detransmissão no domínio de fases, denominado demodelo universal (Universal Model). Esse modelo faz

3

uso do método de ajuste vetorial (19) para obteraproximações racionais para Yc(jw) e A(jw) no domíniode fases. Inicialmente a matriz fator de propagação nodomínio modal é aproximada por funções racionais, naforma:

( ) ( ) ,. ..mod

ijii ejPjA tw-

- w@w (3)

sendo: ( ) ( ) ( ) ,.mod

djjdji

ii eejA ⋅wb-⋅wa-- ⋅=w modo i do

fator de propagação, com módulo ( )( )djie ⋅wa- e fase

( )( )dji ⋅wb- na freqüência w; Pi(jw) = função

polinomial racional de fase mínima; t i = tempo depropagação (ou de trânsito) da mais veloz componentede freqüência do modo i.Sendo o processo de ajuste vetorial um método linear,não é capaz de levar em consideração o tempo detrânsito na Equação (3) como uma variável doprocesso de ajuste. Desse modo, é necessária adeterminação do tempo de trânsito em uma etapaanterior ao processo de ajuste para cada um dos imodos do fator de propagação. Uma vez calculados ostempos de propagação de cada modo i, as rotações defase devidas a estes são extraídas,

( ) Â=

-t+

-@

N

m m

mi

s

pscsAe i

1mod

. . , para s = j.w, (4)

sendo:cm = resíduos da função racional aproximadapara o modo i; pm = pólos da função racionalaproximada para o modo i.Morched et al (9) agrupam os modos com tempos depropagação muito próximos, no intuito de tornar omodelo mais eficiente. Este artifício reduz o número deconvoluções no tempo, contribuindo com um ganho emeficiência computacional. Os modos para os quais ocritério da Equação (5) é satisfeito são agrupados sobum tempo de trânsito comum t* (igual ao menor tempode trânsito individual entre os modos agrupados).

( ),360102 ⋅p⋅<tD⋅W ij

(5)

sendo: Dtij = t i - tj , diferença entre os tempos detrânsito dos modos i e j.De posse dos pólos calculados no domínio modal, oselementos de A(jw) no domínio de fases são calculadosde modo a compartilharem de todos os póloscalculados no domínio modal, e assim:

( ) ,1

.

1Â Â

=

t-

=

-

˙˙˚

˘

ÍÍÎ

È⋅˜̃

¯

ˆÁÁË

Ê

-@

n

k

sN

m mk

ijmkij

kk

eps

csA (6)

sendo: Aij(s ) = elemento (i, j) da matriz A (s ) nodomínio de fases; pmk = pólos da função racionalaproximada para o modo k; tk = tempo de trânsito domodo k ; Nk = ordem da aproximação racional paramodo k; cmk-ij = resíduo da função racional para o modok ; n = número de modos (ou grupos, caso hajaagrupamento de modos).Nota-se que a cada elemento da matriz fator depropagação estão associados n tempos de propagaçãomodal. O compartilhamento de pólos contribui para umaumento na eficiência computacional em simulaçõesno domínio do tempo.Como as aproximações racionais para os n modosAmod-i(jw ) são obtidas de forma independente,eventualmente, alguns pólos de diferentes modospodem estar muitos próximos. Se isto ocorre em baixas

freqüências, os respectivos resíduos da função racionalaproximada no domínio de fases podem ter valoreselevados com sinais opostos. Isto pode levar ainstabilidades em simulações no tempo. Aprobabilidade disto ocorrer é proporcional à ordem doajuste (10).Os elementos da admitância característica Yc(jw), porsua vez, são aproximados diretamente no domínio defases, também compartilhando os mesmos pólos,

( ) Â=

-- -

+@n

k k

ijkijijc ps

cdsY

1

, para s = j.w, (7)

sendo: Yc- ij(s) = elemento (i,j) da matriz Yc(s) nodomínio de fases.O modelo proposto Morched et al (9) é disponibilizadoem versão recente do programa EMTDC (13).

6.0 - MODELO DESENVOLVIDO

No modelo proposto por Fernandes (4), as matrizesadmitância característica Yc(jw) e fator de propagaçãoA(jw) no domínio de fases, são obtidas por:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1

mod

Tmod

-

-

w⋅w⋅w=w

w⋅w⋅w=w

jTjAjTjAjTjYjTjY

ii

icic (8)

Ao contrário do usual, a matriz transformação modal éconsiderada como complexa e dependente dafreqüência, incluíndo-se as condutâncias em derivação(20).Normalmente, em uma linha de transmissão polifásicacom n fases, tem-se n tempos de propagação modais.No modelo computacional desenvolvido, os elementosdas matrizes admitância característica e fator depropagação no domínio de fases, são escritos na formapolar (módulo e fase), a partir da Equação (8), como:

( ) ( ) ( )wq⋅- w=w jj

ijijcijejYjY .

(9)

( ) ( ) ( ) tw-wy⋅w=w .... jjjijij eejAjA ij , (10)

sendo: t = tempo de propagação comum a todos oselementos de A(jw).Uma vez calculados os n tempos de propagaçãomodais, encontra-se o menor tempo de trânsito tmin,dentre os modos, tal que tmin £ ti , i = 1, 2, …, n. Faz-se então t=tmin , e extrai-se o tempo de trânsito mínimode todos os modos do fator de propagação. Noequacionamento apresentado, observa-se que todosos elementos de A(jw) têm um tempo de propagaçãocomum e único. Portanto, a fase yij(jw) em (10) possuiuma parcela devida à contribuição da diferença entreos tempos de propagação (w.(ti - t)).Com o agrupamento de diferentes tempos depropagação no cálculo de A(jw) no domínio de fases, épossível associar um único tempo de propagação atodos os elementos desta matriz. Mesmo para linhasde transmissão extensas em que há maior diferençaentre os tempos de propagação, esta associação nãoresulta em funções com oscilações no módulo ou nosângulos de fase.Na obtenção do modelo desenvolvido, todos oselementos das matrizes Yc(jw) e A(jw) são sintetizadospor funções racionais precisas de baixa ordem,diretamente no domínio de fases, em uma única etapa,fazendo-se uso do método de ajuste vetorial. Destaca-se a possibilidade de se obter funções polinomiais

4

racionais aproximadas para todos os elementos de umvetor ou uma matriz de uma só vez, o que é umdiferencial deste método de ajuste para a aplicaçãoaqui estudada, em que se têm matrizes cheias(domínio de fases). O método de ajuste vetorialpossibilita ainda o compartilhamento de pólos pelasfunções racionais aproximadas, o que contribuiu parauma maior eficiência do modelo na resolução deintegrais de convoluções no tempo por métodosrecursivos.A validação do modelo desenvolvido se deu na formade um estudo de casos. Observou-se que o modelocomputacional proposto é preciso, eficiente enumericamente estável em simulações no domínio dotempo.

7.0 - ESTUDO DE CASOS

Fazendo uso dos programas EMTDC e ATP,apresenta-se a seguir um estudo de casos, nos quaisse destacam aspectos importantes dos modelos nodomínio de fases em análise. Adotou-se o valor de1.0x10 -9 S/km para a condutância de dispersão emtodos os modelos obtidos, e a freqüência de 1,2 kHzpara o cálculo da matriz transformação modal nosmodelos do EMTDC e do ATP.

7.1 Caso 01 – Linha de Transmissão Trifásica

Considere a linha de transmissão trifásica horizontal,não transposta da Figura 1. Este sistema foi modeladono EMTDC e no ATP com os modelos nos domíniosmodal e de fases implementados. Um quarto modelotambém foi obtido, conforme o modelo desenvolvidoaqui apresentado.

15,0 m

10,0 m

1 2 3

10,0 m

Condutores das Fases: Rdc= 32,06 mW/km ; Diâmetro: 4,069 cm Condutores dos Cabos Pára-Raios: Rdc= 286,45 mW/km ; Diâmetro: 1,105 cm Comprimento da Linha: 100,0 km Resistividade do Solo: 100,0 W.m

14,0 m

7,0 m

Figura 1 - Linha de transmissão trifásica horizontal, nãotransposta, com dois cabos pára-raios.

Dados relativos ao processo de síntese de funçõesracionais aproximadas para Yc(jw) e A(jw), para os trêsmodelos em estudo, são apresentados na Tabela 1.

Tabela 1 - Dados relativos ao processo de síntese de funçõesracionais aproximadas.

Modelo doATP

Modelo doEMTDC

ModeloDesenvolvido

Yc(jw)03 a 06 pólos(variável entreos elementos)

08 pólos 08 pólos

A(jw)

10 a 15 pólos(variável entreos elementos)01 tempo depropagação:t = 334,19 ms

29 pólos03 grupos de

atrasot1 = 333,58 mst2 = 334,43 mst3 = 346,68 ms

24 pólos01 tempo depropagação

t = 333,52 ms

Utilizando os modelos em estudo, simulou-se nosprogramas ATP e EMTDC a energização da linha daFigura 1 por um degrau de tensão de 1,0 p.u. aplicadona fase 1, estando os demais terminais em aberto.Nas referidas simulações utilizou-se um passo detempo de 1,0 ms.As tensões transitórias nos terminais receptores,obtidas com os quatro modelos em estudo, sãoapresentadas nas figuras 2 e 3.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-0,5

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

Fase 3

Fase 2

Fase 1

Modelo Modal do EMTDC Modelo de Fases do EMTDC Modelo Proposto

Tens

ão (

p.u.

)

Tempo (ms)

Figura 2 - Tensões transitórias nos terminais receptores dalinha da Figura 1 - Modelos Modal, Universal e o modelo

desenvolvido.

0 20 40 60 80 100-6

-4

-2

0

2

4

6

Fase 1 Fase 2 Fase 3

Tens

ão (

p.u.

)

Tempo (ms)

Figura 3 - Tensões transitórias nos terminais receptores dalinha da Figura 1 – Modelo IARMA do ATP.

Dos resultados das simulações observa-se que até 20ms, aproximadamente, os resultados concordam, comrelativa precisão, entre os modelos analisados nestetrabalho. Dando-se continuidade à simulação, noentanto, têm-se problemas de estabilidade numéricacom o modelo IARMA.O mapa pólo-zero, no plano z, das funções racionaisaproximadas, revelam a existência zeros reais enegativos fora da região de estabilidade do plano z(círculo de raio unitário) (17), como mostrado na Figura4. Tal constatação serve de referência para osproblemas numéricos obtidos com o modelo IARMA.O esforço computacional, em termos do tempo deprocessamento, é apresentado na Tabela 2, para umpasso de cálculo de 1ms com 20ms de tempo desimulação. Apesar das diferenças entre os tempos deprocessamento não serem significativas, observa-seque o modelo proposto apresentou um desempenhointermediário que se torna mais expressivo à medidaque o sistema em estudo aumenta de porte. O modeloIARMA mostrou maior eficiência. Um fator que contribui

5

para esta eficiência é o uso de um tempo depropagação único para todos os elementos da matrizfator de propagação.

Figura 4 – Mapa pólo-zero no plano z para a função racionalaproximada do elemento (1,2) de A(z) – Programa ARMAFIT.

Tabela 2 - Esforço Computacional quantizado em termos dotempo de processamento – Microcomputador com

processador PENTIUM II 400 MHz, 128 MB de RAM.

IARMA Modelo Universal Modelo Proposto

7,531 s 11,466 s 11,016 s

7.2 Caso 02 – Linhas de Transmissão TrifásicasFisicamente Próximas

Considere o sistema de transmissão da Figura 5,composto por duas linhas de transmissão trifásicas,horizontais, não transpostas e fisicamente próximasEste sistema foi modelado no EMTDC e no ATP comos modelos nos domínios modal e de fasesimplementados. Um quarto modelo também foi obtido,conforme o modelo desenvolvido por um dos autores.Utilizando os modelos em estudo, simulou-se nosprogramas ATP e EMTDC a energização do sistemada Figura 5 por uma fonte de tensão senoidal, trifásicae equilibrada (1,0 p.u., 60 Hz), aplicada nas fases 1, 2e 3, estando os demais terminais em aberto.Nas referidas simulações, utilizou-se um passo detempo de 1,0 ms.As tensões transitórias induzidas nos terminaisreceptores das fases 4, 5 e 6, obtidas com os modelosem estudo, são apresentadas nas figuras 6 e 7.

15,0 m

10,0 m

1 2 3

10,0 m

14,0 m

7,0 m

15,0 m

10,0 m

4 5 6

10,0 m

14,0 m

7,0 m

40,0 m

Condutores das Fases: Rdc= 32,06 mW/km ; Diâmetro: 4,069 cm Condutores dos Cabos Pára-Raios: Rdc= 286,45 mW/km ; Diâmetro: 1,105 cm Comprimento da Linha: 100,0 km; Resistividade do Solo: 100,0 W.m

Figura 5 - Sistema de transmissão composto por duas linhasde transmissão trifásicas, horizontais, não transpostas e

fisicamente próximas.

O modelo universal e o modelo desenvolvidoapresentam resultados coerentes e concordantes. Dosresultados, verificam-se problemas de oscilaçãonumérica com o modelo IARMA para as tensõesinduzidas nos terminais receptores das fases 4, 5 e 6(Figura 7).

0 2 4 6 8 10-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

Modelo Modal do EMTDC Modelo de Fases do EMTDC Modelo Proposto

Tens

ão (

p.u.

)

Tempo (ms)

Figura 6 - Tensões transitórias induzidas nos terminaisreceptores das fases 4, 5 e 6 – Modelos Modal, Universal e o

modelo desenvolvido.

0 20 40 60 80 100

-0.15

-0.10

-0.05

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20 Fase 4 Fase 5 Fase 6

Tens

ão (

p.u.

)

Tempo (ms)

Figura 7 - Tensões transitórias induzidas nos terminaisreceptores das fases 4, 5 e 6 da linha da Figura 5 – Modelo

IARMA do ATP.

Mais uma vez comprova-se a possibilidade deproblemas numéricos (18) ao se analisar a localizaçãodos zeros e pólos no plano z (Figura 8). Talconstatação serve de referência para os problemasnuméricos obtidos com o modelo IARMA.

Figura 8 – Mapa pólo-zero no plano z para a função racionalaproximada do elemento (2,6) de A(z) – Programa ARMAFIT.

6

Agora, por se tratar de um sistema de maior porte, asdiferenças entre os tempos de processamento sãomais expressivas. O modelo IARMA do ATPapresentou um desempenho intermediário entre odesempenho do modelo Universal do EMTDC e omodelo desenvolvido (Tabela 3), o passo de cálculo foitambém 1ms com 20ms de tempo de simulação.Para sistemas de maior complexidade, a maioreficiência computacional do modelo proposto será maissignificativa.

Tabela 3. Esforço Computacional quantizado em termos dotempo de processamento – Microcomputador com

processador PENTIUM II 400 MHz, 128 MB de RAM.

IARMA Modelo Universal Modelo Proposto

16,103 s 18,326 s 14,095 s

8.0 - CONCLUSÕES

A aplicação dos modelos no domínio de fasesanalisados, revela aspectos importantes relativos aprecisão, eficiência computacional e estabilidadenumérica.Os resultados obtidos como modelo Universal e omodelo proposto, se mostraram teoricamentecoerentes e concordantes entre si. O modelo IARMA,por sua vez, apresentou problemas tanto deestabilidade quanto de oscilação numéricas. Umestudo detalhado do processo de ajuste por funçõesracionais, revela evidências que justificam taisproblemas. A implementação de critérios deestabilidade nas rotinas de ajuste seria uma possívelsolução deste problema.Sob o aspecto eficiência computacional, o modeloproposto apresenta o melhor desempenho. Deve seressaltar que mesmo considerando todas as grandezasdependentes com a freqüência, o modelo propostoainda se mostrou mais eficiente.

9.0 - AGRADECIMENTOS

Os autores agradecem o apoio financeiro do CNPq.

10.0 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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