SLIDE 14 -A Transformação de Perspectiva

Uma visão em perspectiva pode ser gerada simplesmente pela projeção de cada ponto de um objeto no plano da tela, como na figura 4. As coordenadas da imagem projetada do ponto P medido nas coordenadas do observador são facilmente calculadas.

Figura 5 - O plano mostrando detalhes da projeção em perspectiva.

xDx

Szse

e

y

Dy

Szse

e

(13)

SLIDE 15 -A Transformação de Perspectiva Alternativamente, podemos converter para coordenadas de tela, incluindo uma especificação da localização da janela pela qual a imagem é mostrada

xDx

SzV Vs

e

esx cx

y

Dy

SzV Vs

e

esy cy

(14)

Os quatro parâmetros são dados em notação “center-size”: a janela está centrada em , tem unidades de altura e unidades de largura. Estes quatro parâmetros podem ser determinados a partir dos parâmetros da janela de visualização.

A transformação de perspectiva é fundamentalmente diferente daquela para rotação, translação e mudança de escala: ela envolve divisão pelo valor da coordenada , enquanto as outras envolvem apenas multiplicações e adições. Gerar uma imagem em perspectiva verdadeira, requer divisão pela profundidade de cada ponto.

. Se a razão D/S for pequena, abertura será “ampla” e produzirá imagens similares àquelas de ângulo aberto.

. Uma razão D/S grande especifica uma abertura “estreita” correspondendo a vistas do tipo “telefoto”

D1D2

SImagem

Vista 2

Vista 1

Se a razão D/S for pequena, abertura será “ampla” e produzirá imagens similares àquelas de ângulo aberto como a foto acima

Uma razão D/S grande especifica uma abertura “estreita” correspondendo a vistas do tipo “telefoto” como a foto acima

SLIDE 16 – Clipping tridimensional

É possível demonstrar que:

eee

eee

zyS

Dz

zxS

Dz

(14)

SLIDE 17 – Clipping tridimensional

Por conveniência da tarefa de recorte, definiremos um novo sistema de coordenadas, “o sistema de coordenadas de clipping”, em função do sistema de coordenadas do observador

(14)

1000

0100

00/0

000/

SD

SD

Ncc

Nzyxzyx eeeccc 11

Onde

ccc

ccc

zyz

e

zxz

SLIDE 17 – Clipping tridimensional

Reescrevedo a equação 14

(14)

cc

cxsxc

cs VV

z

xx

cxsxc

cs VV

z

yy

SLIDE 18 - Visão em perspectiva de um cuboConsidere um cubo centrado na origem do sistema de coordenadas do “mundo”, definido pelos seguintes pontos e linhas

Linhas Pontos

x y z

AB, BC, A -1 1 -1

CD, DA, B 1 1 -1

EF, FG, C 1 -1 -1

GH, HE D -1 -1 -1

AE, BF, E -1 1 1

CG, DH F 1 1 1

G 1 -1 1

H -1 -1 1

Vamos observar este cubo a partir do ponto (6,8,7.5), com o eixo de visualização apontando diretamente para a origem do sistema de coordenadas do “mundo”. Existe ainda um grau de liberdade sobrando, que é uma rotação arbitrária em torno do eixo : vamos assumir que o eixo está no plano z = 7.5.

SLIDE 19 - Visão em perspectiva de um cubo

Figura 10 - Cinco passos para realizar a transformação de visualização: (a) Translação; (b) Rotação em torno do eixo x; (c) Rotação em torno do eixo y; (d) Rotação em torno do eixo x; (e) Invertendo o eixo z.

1) O sistema de coordenadas é transladado para (6,8,7.5), como mostrado na figura (a). O ponto (6,8,7.5) no sistema de coordenadas original passa a ser a origem:

T1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

6 8 7 5 1

.

Operação desejada Matriz Translação

Resultando Note que usamos a operação inversa (-6, -8, -7.5)

1

0100

0010

0001

11

zyx TTT

zyxzyx

2) Rotação de -90 do sistema de coordenadas em torno do eixo “x’”, como mostrada na figura (b). Observe que, devido à utilização da transformação inversa, substituímos = 90 na equação de rotação em torno do eixo “x”.

Operação desejada Matriz de Rotação de um ângulo , em torno de do eixo X

Resultando

T2

1 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

x y z x y zsin

sin1 1

1 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 1

cos

cos

3) Rotação em torno do eixo y’ , de um ângulo , tal que o eixo z’ fique na direção do eixo z (embora no sentido contrário), como mostrado na figura (c). Novamente devemos utilizar a transformação inversa.

Operação desejada Matriz de Rotação de um ângulo , em torno de do eixo Y

Resultando

1000

08.006.0

0010

06.008.0

3T

1000

0cos0

0010

00cos

11

sin

sin

zyxzyx

4) Rotação em torno do eixo X’ , de um ângulo , tal que a origem do sistema de coordenadas original fique sobre o eixo , como mostrado na figura (d). Novamente devemos utilizar a transformação inversa.

Operação desejada Matriz de Rotação de um ângulo , em torno de do eixo X

Resultando

T4

1 0 0 0

0 08 0 6 0

0 0 6 08 0

0 0 0 1

. .

. .

x y z x y zsin

sin1 1

1 0 0 0

0 0

0 0

0 0 0 1

cos

cos

5) Finalmente, invertendo o sentido do eixo z , de modo a criar um sistema de coordenadas de “mão-esquerda”, de acordo com as convenções do sistema de coordenadas do observador, como mostrado na figura (e). Uma matriz de mudança de escala é utilizada. Esta operação completa as cinco transformações primitivas necessárias para estabelecer a transformação de visualização.

Operação desejada Matriz de Mudança de escala

Resultando

1000

0100

0010

0001

5T

x y z x y z

S

S

S

x

y

z

1 1

0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0 1

Suponha que desejamos preencher uma tela de 30 cm x

30 cm, desenhada para ser vista de uma distância de 60 cm, e cujo o sistema de coordenadas da tela vai de 0 a 1023. Assim, D = 60, S = 15, e a transformação resultante será

SLIDE 21 - Visão em perspectiva de um cubo

N

4 0 0 0

0 4 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

e a equação 18 passa a ser

xxzs

c

c

5115 5115. . y

yzs

c

c

5115 5115. . (23)

Todos os detalhes das transformações já foram especificados. Cada vértice do cubo é transformado pela matriz VN, sofre um processo de “clipping”, e convertido para coordenadas de tela usando-se a equação 23.

V TT T T T N

1 2 3 4 5

3 2 144 0 48 0

2 4 192 0 64 0

0 3 2 0 6 0

0 0 12 5 1

. . .

. . .

. .

.

SLIDE 22 - Visão em perspectiva de um cubo

Podemos agora aplicar esta transformação aos oito vértices do cubo:

xc yc zc

A 5.6 -3.68 12.94

B -0.8 -6.56 11.98

C -5.6 -2.72 13.26

D 0.8 0.16 14.22

E 5.6 2.72 11.74

F -0.8 -0.16 10.78

G -5.6 3.68 12.06

H 0.8 6.56 13.02

SLIDE 23 - Visão em perspectiva de um cubo Apesar da necessidade da rotina de “clipping” ser aplicada a cada linha no cubo, está

aparente na tabela que todos os vértices estão dentro da pirâmide de visualização, e o algoritmo de “clipping” irá aceitar trivialmente todas as linhas. As coordenadas de tela das extremidades das linhas são calculadas com a equação 23, e as linhas são desenhadas como mostrado na figura 11.

Figura 11 - A visão em perspectiva do cubo, gerada pelos cálculos do exemplo do texto.