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Análise de InvestimentosTomada de Decisão em

Projetos Industriais

Capítulo 2

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Matemática Financeira• Capitalização por Juros Simples e Compostos • Capitalização Contínua• Pagamentos Simples e Múltiplos• Pagamentos Simples• Pagamentos Múltiplos - Série Uniforme• Série Gradiente• Taxas de Juros Nominal e Efetiva• Inflação e Taxa de Juros• Taxa de Juros e Política Macroeconômica

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Juros e Taxa de Juros• “Juro (J) é a diferença entre o que foi emprestado no

presente (P) e o que é cobrado no período de tempo futuro (F), quer seja ano, mês ou dia

• “Taxa de Juros (i) é definida como:”

– Quantifica a remuneração de capital– Geralmente apresentada em %

J = F - P (1)

i = J /P = (F-P) / P (2); e J = P . i

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Capitalização por Juros Simples

• As parcelas adicionais são dadas por um valor proporcional ao capital inicial e ao tempo de aplicação

• Combinando as equações

Jn = P.i.n; (3)F = P + Jn; (4)

F = P . ( 1+ i . n ) (5)

ondeP é o capital inicial;F é o capital disponível ou exi-gível no final do período n, ou montante;Jn são os juros acumulados até o final de n períodos de capitalização;n é o número de períodos capitalizados; e i é a taxa de juros empregada por período de capitalização.

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Capitalização por Juros Simples - Exemplo

• Qual o montante equivalente a R$ 100,00 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos?

Extrai-se do enunciado diretamente que P = 100, e i = 50% ao ano . É possível calcular diretamente:

F = 100 × (1+0,50× 5) = R$ 350,00De outra forma: J = P. i. n = 100× 0,50× 5 = 250F = P + J = 100 + 250 = 350

Período Valor início Juros Valor fim (anos) período período período 0 0 0 100 1 100 50 150 2 150 50 200 3 200 50 250 4 250 50 300 5 300 50 350

Tabela 2.1Note que os juros são iguais para todos os períodos!

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Capitalização por Juros Compostos

• Método mais empregado por instituições bancárias e financiadoras

• Juros são incorporados ao capital, e os juros para o próximo período calculados sobre o novo capital

C1 = C0 + C0.i = C0.(1+i)C2 = C1+C1.i = [C0.(1+i)].(1+i)

= C0.(1+i)2

Cn = C0 .(1+i)n (6)Jn = C0 . [(1+i)n –1] (7)

ondeC0 é o capital inicial;Cn é o capital disponível ou exigível no final do período n, ou montante;Jn são os juros acumulados até o final de n períodos de capitalização;

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Capitalização por Juros Compostos - Exemplo

• Qual o montante equivalente a R$ 100,00 capitalizados a 50% ao ano em cinco anos?

Período(anos)

Saldo devedorinício período

Jurosperíodo

Saldo devedor fim período

0 0 0 100,001 100,00 50,00 150,002 150,00 75,00 225,003 225,00 112,50 337,504 337,50 168,75 506,255 506,25 253,12 759,37

Note que os juros em cada período eqüivalem a 50% do saldo devedor no início do mesmo período

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Capitalização Contínua• Empregado em mercados financeiros e substituição

de equipamentos• Capitalização se dá de forma contínua, em intervalos

infinitesimais de tempo

• Integrando a equação acima, obtemos:

dCt = Ct.i.dt (8)onde: dCt é o acréscimo do capital total entre t e t+dt; Ct é o capital total em t; i é a taxa de juros; e dt é o acréscimo infinitesimal de tempo.

CT = C0. ei.T (9)onde: T é o tempo decorrido para capitalização; e é o número neperiano (2,718)

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Capitalização ContínuaExemplo

• Dado um empréstimo de R$ 1.000,00 tomado com juros de 5% ao mês capitalizados continuamente ao longo do tempo, qual o montante equivalente para um mês à frente? E para 40 dias?

Resolução: Aplicando a fórmula (9), tem-se para 30 dias:C30 = 1.000 . e(0,05 30/30) = 1.000 . e(0,05)

= 1.000 . 2,718(0,05) = 1000 . 1,051 = R$ 1.051,27

Para o período de 40 dias, a solução é análoga:C40 = 1.000 .e(0,05 40/30) = 1.000 . e(0,05 4/3)

= 1.000. 2,718(0,067)

= R$ 1.068,94

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Regimes de Capitalização• Valor de um empréstimo de R$ 100,00 com juros de

50% a.a. Comparação entre regimes de juros

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

0 1 2 3 4 5

Período

Val

or

Juros simples Juros compostos Juros contínuos

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Diagramas Representativos de Fluxo

de Caixa

Tempon2 3 ...10

-$

+$ Receita ou Encaixe

Desembolso ou despesa

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Pagamentos Simples• Diagrama de Fluxo de Caixa

• Fórmulas:

P

0

1 2 3 4 n………..

F

F = P.(1+i)n (10)P = F/(1+ i)n (11)C0 = Cn/(1+i)n (6*)

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Pagamentos Múltiplos Série Uniforme

• Diagrama de Fluxo de Caixa

• Fórmulas:

P

0

1 2 3 4 n………..

A

P = A [(1+i)n – 1 ] / [ i.(1+i)n ] (12)F = A [ (1+i)n – 1 ] / i (13)A = F i / [ (1+i)n – 1 ] (14)A = P [ i(1+i)n] / [ (1+i)n – 1] (15)

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Exemplo - Pagamento Simples e Múltiplo

• Um apartamento é vendido em 5 anos, com parcelas mensais de R$ 1.000,00. Para pagamento a vista, o total é de R$ 53.000,00. Sabendo-se que a taxa de juros utilizada será de 0,50% ao mês, qual a opção, se se dispõe do total a ser pago a vista? E se a taxa de juros fosse de 0,40% ao mês?

Convertendo a série para o valor presente (P) só se necessita aplicar a fórmula (13), sabendo que n = 12 5 = 60 meses;

i = 0,50% ao mês; e A = R$ 1.000,00.

Aplicando a fórmula vem P = R$ 51.725,26. Como R$ 51.725,26 < R$ 53.000,00, opta-se pela opção a prazo.

Usando a taxa de juros de 0,40% ao mês, encontra-se P = R$ 53.248,87Como R$ 53.248,87 > R$ 53.000,00, opta-se pela compra a vista.

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Série Gradiente• É a série cujo valor anual cresce ou decresce de

maneira uniforme ao longo dos anos

P

0

1 2 3 4 n………..

(n-1).G

G2G

3G

A = G.{1/i-N/i.[i/{(1+i)n-1}]} (16)P = G.{1/i-N/i.[i/{(1+i)n-1}]}.{[(1+i)n-1]/[i.(1+i)n ] (17)

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Taxa de Juros Nominal e Efetiva

• Taxa de juros nominal anual com capitalização mensal

• Taxas efetivas são sempre maiores que as taxas nominais, pois a capitalização é feita a intervalos menores

(1+i)1 = (1+r/M)M (18)onde: i é a taxa de juros efetiva anual; r é a taxa de juros nominal anual; Mé o número de meses (de períodos de capitalização à taxa efetiva anual);

i = (1+r/M)M-1 (19)

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Taxa de Juros Nominal e Efetiva - Exemplo

• Qual a taxa efetiva anual equivalente a uma taxa nominal de 12% a.a. com capitalização mensal?

Taxa nominal: 12% ao ano (r) com capitalização mensal,ou seja M=12 (o ano tem 12 meses)

Taxa efetiva mensal = r/M, ou seja, (12% a.a.) /12 meses por ano = 1% a.m.

Taxa efetiva anuali = [1+(12%/12)]12-1 = 12,68% ao ano.

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Inflação e Taxa de Juros• Relação entre índices de preços em dois períodos

consecutivos • Fundamental quando se avalia propostas em

diferentes países• Considere a seguinte situação:

• A inflação é dada por:

I0 - Índice de Preços no período (0);I1 - Índice de Preços no período (1);

= I1 / I0 – 1 I1 / I0 = (1+ ) (20)

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Inflação e Taxa de Juros• No caso de inflação nula (I1=I0), temos, entre dois

períodos consecutivos: F = P. (1+i)• Utilizando os índices de preço, desenvolvemos:

• Chamando i’ de taxa de juros inflacionada, temos:

F/I1 = [P (1+ i )]/I0, ouF=[P (1+ i )] {I1/I0 } (21)F = P (1+ ) (1+ i ) (22)

i’={[(1+i) (1+)]-1} (24)F = P(1+i’) (22a)(1+i’)=(1+i)(1+) (23)

e

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Inflação - Exemplo• Taxa real de juros: 10% a.a.• Taxa de inflação 15% a.m.• Qual a taxa inflacionada?

A partir de (24), obtemos:i’ = {(1+0,10) . (1+0,15) - 1} = {(1,10) . (1,15) - 1 } = 1,265 - 1 = 26,5% a.a.Logo, a taxa inflacionada é de 26,5% a.a.De forma ilustrativa:

10% + 15% + 10%.15% = 26,5%

Taxa Inflacionada

Juros reais Inflação “Juros da Inflação” ou “Inflação dos Juros”

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Funções do Excel• Pagamentos Simples (VP, VF e TAXA)• Pagamentos Múltiplos (VP, VF, TAXA e

PGTO)• Séries Genéricas e Gradientes (VPL)• Taxa de Juros (NOMINAL, EFETIVO)

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Função VP• Retorna o valor presente dados uma série de

pagamentos uniformes (e/ou) um valor futuro equivalente, uma taxa de juros e um número de períodos de capitalização

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Função VF• Retorna o valor futuro dados uma série de

pagamentos uniformes (e/ou) um valor presente equivalente, uma taxa de juros e um número de períodos de capitalização

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Função TAXA• Retorna a taxa de juros, dados um valor

presente e futuro e um número de períodos de capitalização

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Função PGTO• Retorna o pagamento uniforme, dados um

valor presente e futuro e um número de períodos de capitalização

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Função EFETIVO e NOMINAL

• Retornam as taxas efetivas ou nominais através do número de períodos da composição e da taxa nominal ou efetiva

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Função VPL• Retorna o valor presente líquido, dada uma

taxa de juros e uma série de pagamentos