Sistemas Lineares

Telico Jose de O. S. Filho

27 de Marco de 2014

1 Introducao

Apresentaremos um classe e modelos muito importante a qual e usada paraanalisar e projetar sistemas fısicos chamada sistemas dinamicos.Grosseiramente falando, um sistema dinamico pode ser asociado a um espacode entrada U , ( i.e. o conjunto de todas as entradas de interesse), um espacode saıda Y ( o conjunto de todas as saıdas) e um espaco de estado Σ (i.e. oconjunto de todos os estados). As entradas e saıdas sao funcoes do tempo,definidas, tipicamente em (−∞,+∞) ou [0,∞) no caso de tempo contınuo ouem {nT : n ∈ Z} ou {nT : n ∈ N} no caso de tempo discreto. Para equiparde domınio do tempo nas entradas e saıdas, iremos denotar por T , onde T eum subconjunto de R. A propriedade fundamental de um sistema dinamico eque ele e dado por um tempo ”inicial”t0 ∈ T , um estado ”iniclal”x0 ∈ Σ e umaentradau(.) ∈ U , ambos x(t) e y(t) sao unicamente definidos. Tambem, dadosx0 e t0 o estado x(t) e a saıda y(t) dependem apenas dos valores da entradau(.)no intervalo fechado [t0, t]. Estamos prontos para uma definicao formal.

2 Conceitos iniciais

Definicao 1. Dizemos que o modelo de um sistema fısico e um sistema dinamicose podemos associa-lo a uma quıntupla D = (U,Σ, Y, s, r) satisfazendo doisaxiomas, onde:

• U : e o conjunto de funcoes: seus elementos sao funcoes T . Um elementou(.) ∈ U e chamado de entrada no tempo t.

• Σ e um conjunto. Um elemento x de Σ e chamado estado. (TipicamenteΣ e Rn. Para algum t ∈ T , x(t) e chamado de estado no tempo t. Umafuncao x(.) e chamada trajetoria de estado.

• Y e um conjunto de funcoes. Seus elementos sao funcoes T Um elementoy(.) de Y e chamada de saıda. y(t) e chamado valor de saıda no tempo t.

• s e chamada de funcao de transicao de estado a funcao s e definida paratodos os pares (t1, t0) ∈ (T × T )+ para todo estado inicial x0 ∈ Σ e todasas entradas u tal que x(t1) = s(t1, t0, x0, u),

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• r e a funcao de saıda: a funcao r e definida para todo os instantes t ∈ T ,para todos os estados no tempo t a saber x(t) ∈ Σ e para todas as entradasu(t) ∈ U no tempo t tal que

y(t) = r(x(t), u(t), t)

Axioma da transicao de estadoPara todo par (t1, t0) ∈ (T )+, para todo x0 ∈ Σ, se u, u ∈ U tal que u(t) = (u)(t)para todo t ∈ [t0, t1] ∩ T entao

s(t1, t0, x0, u) = s(t1, t0, x0, u)

Axioma do semi-grupo

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