Equaes Diferenciais Ordinrias

3.5 Sistemas de Equaes e Equaes de Ordem Elevada

Em sees anteriores, foram resolvidas equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem problemas de valor inicial de primeira ordem.

3.5 Sistemas de Equaes e Equaes de Ordem Elevada

Em sees anteriores, foram resolvidas equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem problemas de valor inicial de primeira ordem.

Entretanto, a maioria das aplicaes prticas so modelas por equaes diferencias de ordem mais elevada, gerando um sistema de equaes diferenciais.

3.5 Sistemas de Equaes e Equaes de Ordem Elevada

Em sees anteriores, foram resolvidas equaes diferenciais ordinrias de primeira ordem problemas de valor inicial de primeira ordem.

Entretanto, a maioria das aplicaes prticas so modelas por equaes diferencias de ordem mais elevada, gerando um sistema de equaes diferenciais.

Primeiramente, sero abordados como resolver numericamente sistemas de equaes diferenciais de primeira ordem e, para finalizar o captulo, como resolver numericamente um sistema de equaes diferenciais de ordem elevada.

3.5.1 Sistemas de Equaes DiferenciaisConsiderando um sistema de n equaes diferenciais de primeira

ordem y = f(x, y), ou seja

3.5.1 Sistemas de Equaes DiferenciaisConsiderando um sistema de n equaes diferenciais de primeira

ordem y = f(x, y), ou seja ),...,,,( 211'1 nyyyxfy =

3.5.1 Sistemas de Equaes DiferenciaisConsiderando um sistema de n equaes diferenciais de primeira

ordem y = f(x, y), ou seja ),...,,,( 211'1 nyyyxfy =),...,,,( 212'2 nyyyxfy =

3.5.1 Sistemas de Equaes DiferenciaisConsiderando um sistema de n equaes diferenciais de primeira

ordem y = f(x, y), ou seja ),...,,,( 211'1 nyyyxfy =),...,,,( 212'2 nyyyxfy =

. . .

),...,,,( 21' nnn yyyxfy =onde y, y e f so vetores com componentes yi, yi e fi (i = 1, 2, ... , n).

3.5.1 Sistemas de Equaes DiferenciaisConsiderando um sistema de n equaes diferenciais de primeira

ordem y = f(x, y), ou seja ),...,,,( 211'1 nyyyxfy =),...,,,( 212'2 nyyyxfy =

. . .

),...,,,( 21' nnn yyyxfy =onde y, y e f so vetores com componentes yi, yi e fi (i = 1, 2, ... , n).

Para o sistema possuir uma nica soluo imposto uma condio inicial, para um dado x0 e um vetor y0, ou seja,

00 )( yy =x

Considerando um sistema com duas equaes diferencias, conforme mostrado a seguir

.)()(

),,('),,('

00

00

zxz

yxyzyxgzzyxfy

=

=

=

=

(1)

Considerando um sistema com duas equaes diferencias, conforme mostrado a seguir

.)()(

),,('),,('

00

00

zxz

yxyzyxgzzyxfy

=

=

=

=

(1)

Nesta caso, para resolver o sistema de equaes, eq. (1), pelo mtodo de Euler tem-se

),,(1 nnnnn zyxfhyy +=+

Considerando um sistema com duas equaes diferencias, conforme mostrado a seguir

.)()(

),,('),,('

00

00

zxz

yxyzyxgzzyxfy

=

=

=

=

(1)

Nesta caso, para resolver o sistema de equaes, eq. (1), pelo mtodo de Euler tem-se

(2)),,(1 nnnnn zyxfhyy +=+),,(1 nnnnn zyxghzz +=+

Exemplos:

1) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Euler, com h = 0,05.

0)0(1)0(

32''

=

=

+=

=

z

yzyz

zy

Exemplos:

1) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Euler, com h = 0,05.

0)0(1)0(

32''

=

=

+=

=

z

yzyz

zy

Conforme mtodo de Euler para resolver um sistema de equaes diferenciais, apresentado na eq. (1), obtm-se

),,(1 nnnnn zyxfhyy +=+),,(1 nnnnn zyxghzz +=+

Exemplos:

1) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Euler, com h = 0,05.

0)0(1)0(

32''

=

=

+=

=

z

yzyz

zy

Conforme mtodo de Euler para resolver um sistema de equaes diferenciais, apresentado na eq. (1), obtm-se

),,(1 nnnnn zyxfhyy +=+),,(1 nnnnn zyxghzz +=+

nn hzy +=

Exemplos:

1) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Euler, com h = 0,05.

0)0(1)0(

32''

=

=

+=

=

z

yzyz

zy

Conforme mtodo de Euler para resolver um sistema de equaes diferenciais, apresentado na eq. (1), obtm-se

),,(1 nnnnn zyxfhyy +=+),,(1 nnnnn zyxghzz +=+

nn hzy +=)32( nnn zyhz ++=

Tabela de clculo

-1,00000yn

0,000000,000znxnn

nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

Tabela de clculo

-1,00000yn

10,000000,000

znxnn

nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

Tabela de clculo

-1,00000yn

0,0510,000000,000

znxnn

nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

Tabela de clculo

-1,00000-1,00000

yn

0,0510,000000,000

znxnn

nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

Tabela de clculo

-1,00000-1,00000

yn

0,100000,0510,000000,000

znxnn

nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

Tabela de clculo

-1,00000-1,00000

yn

0,1020,100000,0510,000000,000

znxnn

nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

Tabela de clculo

-0,99500-1,00000-1,00000

yn

0,1020,100000,0510,000000,000

znxnn

nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

Tabela de clculo

-0,99500-1,00000-1,00000

yn

0,215000,1020,100000,0510,000000,000

znxnn

nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

Tabela de clculo

0,66846-0,942050,255

0,34675-0,984250,1530,49719-0,966910,204

-0,90863

-0,99500-1,00000-1,00000

yn

0,862930,306

0,215000,1020,100000,0510,000000,000

znxnn

90863,0)3,0( =ySoluo:

nnn zhyy +=+1)32(1 nnnn zyhzz ++=+

2) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, com h = 0,05.

0)0(1)0(

32''

=

=

+=

=

z

yzyz

zy

2) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, com h = 0,05.

0)0(1)0(

32''

=

=

+=

=

z

yzyz

zy

Observa-se que o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para uma simples equao definido por

{ }43211 )(26 kkkkhyy nn ++++=+

2) Dado o sistema de equaes diferenciais abaixo, determinar y(0,3), usando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, com h = 0,05.

0)0(1)0(

32''

=

=

+=

=

z

yzyz

zy

Observa-se que o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para uma simples equao definido por

{ }43211 )(26 kkkkhyy nn ++++=+

),(1 nn yxfk =)

2,

2( 12 k

hyhxfk nn ++=

)2

,

2( 23 k

hyhxfk nn ++=

),( 34 khyhxfk nn ++=

com

O mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para resolver um sistema de duas equaes diferenciais, fica assim definido

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

O mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para resolver um sistema de duas equaes diferenciais, fica assim definido

onde),,(1 nnn zyxfk =),,(1 nnn zyxgl =

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

O mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para resolver um sistema de duas equaes diferenciais, fica assim definido

onde),,(1 nnn zyxfk =),,(1 nnn zyxgl =

)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxgl nnn +++=)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxfk nnn +++=

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

O mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem, para resolver um sistema de duas equaes diferenciais, fica assim definido

onde),,(1 nnn zyxfk =),,(1 nnn zyxgl =

)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxgl nnn +++=)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxfk nnn +++=

)2/,2/,2/( 223 hlzhkyhxfk nnn +++=)2/,2/,2/( 223 hlzhkyhxgl nnn +++=

),,( 334 hlzhkyhxfk nnn +++=),,( 334 hlzhkyhxgl nnn +++=

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

),,(1 nnn zyxfk =

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

),,(1 nnn zyxfk = nz=

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

),,(1 nnn zyxfk = nz=),,(1 nnn zyxgl =

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

),,(1 nnn zyxfk = nz=),,(1 nnn zyxgl = nn zy 32 +=

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

),,(1 nnn zyxfk = nz=),,(1 nnn zyxgl = nn zy 32 +=

)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxfk nnn +++=

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

),,(1 nnn zyxfk = nz=),,(1 nnn zyxgl = nn zy 32 +=

)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxfk nnn +++= 2/1hlzn +=

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

),,(1 nnn zyxfk = nz=),,(1 nnn zyxgl = nn zy 32 +=

)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxfk nnn +++= 2/1hlzn +=)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxgl nnn +++=

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

),,(1 nnn zyxfk = nz=),,(1 nnn zyxgl = nn zy 32 +=

)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxfk nnn +++= 2/1hlzn +=)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxgl nnn +++= )2/(3)2/(2 11 hlzhky nn +++=

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

),,(1 nnn zyxfk = nz=),,(1 nnn zyxgl = nn zy 32 +=

)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxfk nnn +++= 2/1hlzn +=)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxgl nnn +++= )2/(3)2/(2 11 hlzhky nn +++=)2/,2/,2/( 223 hlzhkyhxfk nnn +++=

)2/,2/,2/( 223 hlzhkyhxgl nnn +++=2/2hlzn +=

)2/(3)2/(2 22 hlzhky nn +++=

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Considerando o sistema de equaes diferenciais

0)0(;1)0(32';'

==

+==

zyzyzzy

Aplicando o mtodo de Runge-Kutta de quarta ordem

),,(1 nnn zyxfk = nz=),,(1 nnn zyxgl = nn zy 32 +=

)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxfk nnn +++= 2/1hlzn +=)2/,2/,2/( 112 hlzhkyhxgl nnn +++= )2/(3)2/(2 11 hlzhky nn +++=)2/,2/,2/( 223 hlzhkyhxfk nnn +++=

)2/,2/,2/( 223 hlzhkyhxgl nnn +++=),,( 334 hlzhkyhxfk nnn +++=

),,( 334 hlzhkyhxgl nnn +++=

2/2hlzn +=)2/(3)2/(2 22 hlzhky nn +++=

)(3)(2 33 hlzhky nn +++=3hlzn +=

))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+

Tabela de clculo

-1,000000yn

0,0000000,000znxnn

nzk =1nn zyl 321 +=

2/12 hlzk n +=)2/(3)2/(2 112 hlzhkyl nn +++=

2/23 hlzk n +=)2/(3)2/(2 223 hlzhkyl nn +++=

34 hlzk n +=)(3)(2 334 hlzhkyl nn +++=

))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

Tabela de clculo

-1,000000yn

0,0510,0000000,000

znxnn

nzk =1nn zyl 321 +=

2/12 hlzk n +=)2/(3)2/(2 112 hlzhkyl nn +++=

2/23 hlzk n +=)2/(3)2/(2 223 hlzhkyl nn +++=

34 hlzk n +=)(3)(2 334 hlzhkyl nn +++=

))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

Tabela de clculo

-0,997371-1,000000

yn0,051

0,0000000,000znxnn

nzk =1nn zyl 321 +=

2/12 hlzk n +=)2/(3)2/(2 112 hlzhkyl nn +++=

2/23 hlzk n +=)2/(3)2/(2 223 hlzhkyl nn +++=

34 hlzk n +=)(3)(2 334 hlzhkyl nn +++=

))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

Tabela de clculo

-0,997371-1,000000

yn0,1077990,0510,0000000,000

znxnn

nzk =1nn zyl 321 +=

2/12 hlzk n +=)2/(3)2/(2 112 hlzhkyl nn +++=

2/23 hlzk n +=)2/(3)2/(2 223 hlzhkyl nn +++=

34 hlzk n +=)(3)(2 334 hlzhkyl nn +++=

))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

Tabela de clculo

-0,997371-1,000000

yn

0,1020,1077990,0510,0000000,000

znxnn

nzk =1nn zyl 321 +=

2/12 hlzk n +=)2/(3)2/(2 112 hlzhkyl nn +++=

2/23 hlzk n +=)2/(3)2/(2 223 hlzhkyl nn +++=

34 hlzk n +=)(3)(2 334 hlzhkyl nn +++=

))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

Tabela de clculo

-0,988939-0,997371-1,000000

yn

0,1020,1077990,0510,0000000,000

znxnn

nzk =1nn zyl 321 +=

2/12 hlzk n +=)2/(3)2/(2 112 hlzhkyl nn +++=

2/23 hlzk n +=)2/(3)2/(2 223 hlzhkyl nn +++=

34 hlzk n +=)(3)(2 334 hlzhkyl nn +++=

))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

Tabela de clculo

-0,988939-0,997371-1,000000

yn

0,2324630,1020,1077990,0510,0000000,000

znxnn

nzk =1nn zyl 321 +=

2/12 hlzk n +=)2/(3)2/(2 112 hlzhkyl nn +++=

2/23 hlzk n +=)2/(3)2/(2 223 hlzhkyl nn +++=

34 hlzk n +=)(3)(2 334 hlzhkyl nn +++=

))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

Tabela de clculo

-0,988939-0,997371-1,000000

yn

0,1530,2324630,1020,1077990,0510,0000000,000

znxnn

nzk =1nn zyl 321 +=

2/12 hlzk n +=)2/(3)2/(2 112 hlzhkyl nn +++=

2/23 hlzk n +=)2/(3)2/(2 223 hlzhkyl nn +++=

34 hlzk n +=)(3)(2 334 hlzhkyl nn +++=

))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

Tabela de clculo

-0,973810-0,988939-0,997371-1,000000

yn

0,3760490,1530,2324630,1020,1077990,0510,0000000,000

znxnn

nzk =1nn zyl 321 +=

2/12 hlzk n +=)2/(3)2/(2 112 hlzhkyl nn +++=

2/23 hlzk n +=)2/(3)2/(2 223 hlzhkyl nn +++=

34 hlzk n +=)(3)(2 334 hlzhkyl nn +++=

))(2(6/ 43211 llllhzz nn ++++=+))(2(6/ 43211 kkkkhyy nn ++++=+

Tabela de clculo

-0,877600-0,919330-0,950981-0,973810-0,988939-0,997371-1,000000

yn

0,9445180,3060,7293900,255

0,3760490,1530,2324630,102

0,5408430,204

0,1077990,0510,0000000,000

znxnn

Soluo: y(0,3) = -0,877600

Obrigado.