Disciplina: Álgebra Linear e Geometria Analítica Curso: Engenharia Mecânica

Professora: Valéria Lessa

APOSTILA 1

SISTEMAS LINEARES Muitos problemas em várias áreas da Ciência recaem na solução de sistemas lineares. Vamos ver como a álgebra matricial pode simplificar o estudo dos sistemas lineares. EQUAÇÕES LINEARES

Definição: Toda equação do tipo 𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑏 = 0 é denominada equação linear, em que:

naaa ,...,, 21 são coeficientes reais;

nxxx ,...,, 21 são as incógnitas;

b é o termo independente. As equações abaixo são lineares:

2𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 4

−3𝑥1 + 4𝑥2 − 1 = 0

2𝑚

3+

𝑛

5= 1

Obs 1. Quando o termo independente é nulo, como no exemplo, dizemos que é uma equação linear homogênea:

𝑎1𝑥1 + 𝑎2𝑥2 + 𝑎3𝑥3 + ⋯ + 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑏 = 0

Obs 2. Numa equação linear, os expoentes das incógnitas são sempre unitários. Portanto, a equação 𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0 não é linear:

𝑥3 + 3𝑥2 − 4𝑥 + 5 = 0

Obs 3. Uma equação linear não apresenta elemento misto, ou seja, cada termo da equação tem exatamente uma

incógnita. Portanto, a equação 2𝑥𝑦 – 3𝑧 = 8 não é linear. A solução de uma equação linear é a sequência de números reais que, colocados respectivamente no lugar das incógnitas tornam verdadeira a igualdade dada. Exemplo 1: Ache soluções para as equações dadas. a) 4𝑥 − 5𝑦 = 23 b) 2𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 3

Obs 4. Toda equação linear homogênea admite solução nula, pois quaisquer que sejam os coeficientes

naaa ,...,, 21 tem-se 00...00 21 naaa

2

Dizemos que duas equações lineares são equivalentes quando têm as mesmas soluções. Podemos obter equações equivalentes:

Multiplicando os dois membros da equação por um mesmo número real não nulo.

12

34238

2010542

2

1

5

yxyx

yxyx

Adicionando um mesmo número real aos dois membros da equação.

5526152

53143

)1(

4

yxyx

xx

INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS EQUAÇÕES LINEARES Equações lineares de 2 incógnitas representam retas. As soluções da equação linear são infinitos pares ordenados (x, y), ou seja, infinitos pontos que pertencem a reta.

Equações lineares de 3 incógnitas representam planos. As soluções da equação são infinitos pares ordenados (x, y, z), ou seja, infinitos pontos que pertencem ao plano.

3

SISTEMAS LINEARES Um sistema de equações é um conjunto de equações lineares com as mesmas incógnitas. Exemplos:

Sistema 2x2:

273

145

yx

yx; sistema 3x3:

02

02

0

zyx

zyx

zyx

e sistema 2x4:

72

1

wzyx

wzyx

A solução de um sistema Dizemos que uma sequência de números é solução de um sistema linear, quando for solução de cada

equação do sistema. Por exemplo: o par ordenado (4, 1) é solução do sistema

3

5

yx

yx, pois satisfaz as duas

equações. Classificação de um sistema quanto às soluções: Resolução de Sistema Linear 2x2: Métodos da Adição e Substituição Exemplo 2: Ache a solução dos sistemas abaixo.

a) {2𝑥 + 3𝑦 = −6

𝑥 − 𝑦 = 7

SPD =>S = (3, -4)

b) {2𝑥 + 𝑦 = 3

6𝑥 + 3𝑦 = 9

SPI => S = (𝑡, 3 − 2𝑡), ∀ 𝑡 ∈ 𝑅

c) {𝑥 + 𝑦 = 5

2𝑥 + 2𝑦 = −1

SI => S = ∅

Sistema Possível

Sistema Impossível

Determinado: Uma solução (SPD)

Indeterminado: Infinitas soluções (SPI)

Sem solução (SI)

4

Interpretação Geométrica dos Sistemas Lineares 2x2 Achar a solução de um sistema 2x2 é encontrar o ponto de intersecção entre as duas retas representadas pelas duas equações lineares do sistema. Podemos encontrar três situações: 1º) Retas concorrentes: um ponto de intersecção → SPD 2º) Retas coincidentes: infinitos pontos comuns → SPI

3º) Retas paralelas: nenhum ponto comum → SI

Verificação no Software Geogebra (http://geogebra.org)

Interpretação Geométrica dos Sistemas Lineares 3x3 Achar a solução de um sistema 3x3 é encontrar um ponto (ou uma coleção de pontos) de intersecção entre três planos representados pelas três equações lineares do sistema. Podemos encontrar oito situações: 1º) Planos Coincidentes: infinitos pontos em comum → SPI

2º) Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo: nenhum ponto em comum aos três planos → SI

3º) Os três planos são paralelos dois a dois: nenhum ponto em comum → SI

4º) Dois planos coincidem e o terceiro os intercepta segundo uma reta: infinitos pontos de intersecção → SPI

5º) Dois planos são paralelos e o outro os intersepta segundo retas paralelas r e s: nenhum ponto em comum aos três planos → SI

6º) Os três planos são distintos e têm uma reta em comum: infinitos pontos em comum → SPI

7º) Três planos de interseptam dois a dois segundo retas paralelas: nenhum ponto comum aos três planos → SI

8º) Três planos de interceptam num único ponto → SPD (único caso)

5

Sistemas Equivalentes Dizemos que dois sistemas são equivalentes, quando admitem a mesma solução.

Ex.

42

32

yx

yx e

52

543

yx

yx são equivalentes pois ambos têm solução S = (1, 2)

Observe que esses sistemas são equivalentes embora as equações que os formam não sejam. Representação Matricial de um sistema A partir da definição de multiplicação de matrizes é possível representar um sistema na forma de matrizes. Vejamos por meio de exemplos:

Sistema Matriz Completa Matriz Incompleta Equação Matricial

273

145

yx

yx

273

145

73

45

2

1

73

45

y

x

02

02

0

zyx

zyx

zyx

0112

0121

0111

112

121

111

0

0

0

112

121

111

z

y

x

72

1

wzyx

wzyx

72111

11111

2111

1111

7

1

2111

1111

w

z

y

x

Notação da equação matricial: A . X = B OBS: Se a matriz incompleta for quadrada, podemos calcular seu determinante. Se D ≠ 0, o sistema admite solução única e é, portanto, SPD. Sistemas Escalonados Um sistema linear está na forma escalonada se o número de coeficientes nulos aumenta de equação para equação. Esta forma facilita muito a resolução dos sistemas. Exemplos:

6

5

132

23

z

zy

zyx

123

354

zy

zyx

32

02

14

w

wtz

wtzyx

Resolução de um sistema escalonado Exemplo 3: Ache a solução dos sistemas abaixo.

(a)

5

132

23

z

zy

zyx

(d)

zy

zyx

2

100

Resolução de Sistema Linear 3x3: Métodos de Resolução por Escalonamento Esse método procura transformar o sistema dado em sistemas equivalentes (têm a mesma solução), até chegar a um sistema escalonado, usando as seguintes transformações elementares:

trocar as posições de duas equações e/ou mudar de posição os termos; multiplicar uma das equações por um número real diferente de zero; multiplicar uma das equações por um número real diferente de zero e somar a outra equação;

Dicas:

Tornar, se ainda não for, o primeiro coeficiente da primeira equação igual a 1. Transformar o sistema numa matriz completa para facilitar a escrita dos cálculos.

Exemplo 4: Resolva os sistemas abaixo pelo método do Escalonamento.

(a)

733

822

542

zyx

zyx

zyx

S = {(1,-2,2)}

(b)

322

1423

12

cba

cba

cba

S = ø

(c)

2325

143

334

zyx

zyx

zyx

S = {(α, α-1, -α)}

7

Exemplo 5: Em um restaurante são servidos três tipos de saladas, A, B e C cujos preços por quilograma são diferentes. Num dia de movimento, observaram-se três clientes. O primeiro cliente serviu-se de 200g de salada A, 300g da B e 100g da C e pagou R$5,50 pelo prato. O segundo cliente serviu-se de 150g de salada A, 250g da B e 200g da C e pagou R$5,85. Já o terceiro cliente serviu-se de 120g de salada A, 200g da B e 250g da C e pagou R$5,76. Calcule o preço do quilograma de cada salada.

Exercícios LISTA 1

Sistemas Lineares

1. Resolva por escalonamento e classifique os sistemas lineares 3x3:

a)

723

11532

4

zyx

zyx

zyx

b)

10473

132

82

zyx

zyx

zyx

c)

148

1252

0222

zyx

zyx

zyx

d)

5366

2363

132

zyx

zyx

zy

2. (UNICAMP-SP) Resolva o sistema linear 4x4.

16537

4375

0753

12753

wzyx

wzyx

wzyx

wzyx

3. Resolva a equação matricial

8

2

2

115

632

741

z

y

x

4. (UFRN) Três amigos, denominados X, Y e Z, utilizam o computador todas as noites. Em relação ao tempo em horas em que cada um usa o computador, por noite, sabe-se que:

o tempo de X mais o tempo de Z excede o tempo de Y em 2; o tempo de X mais o quádruplo do tempo de Z é igual a 3 mais o dobro do tempo de Y; o tempo de X mais 9 vezes o tempo de Z excede em 10 o tempo de Y.

A soma do número de horas de utilização do computador, pelos três amigos, em cada noite, é igual a: (a) 4 h (b) 7 h (c) 5 h (d) 6 h 5. (FMTM-MG) Três pacientes usam, em conjunto, 1830mg por mês de um certo medicamento em cápsulas. O paciente A usa cápsulas de 5mg, o paciente B, de 10mg, e o paciente C, de 12mg. O paciente A toma metade do

8

número de cápsulas de B e os três tomam juntos 180 cápsulas por mês. O paciente C toma um número de cápsulas por mês igual a: (a) 30 (b) 60 (c) 75 (d) 90 (e) 120 6. (Uniube-MG) Ao descontar um cheque, recebi somente notas de R$ 10,00 e R$ 50,00, em um total de 14 notas. Quando fui conferir, descobri que o caixa havia se enganado, pois recebi tantas notas de R$ 50,00 quanto as de R$ 10,00, que deveria ter recebido e vice-versa. Percebido o erro, verifiquei que, se gastasse R$ 240,00 da importância recebida, ainda ficaria com o valor do meu cheque. Qual era o valor do meu cheque? (a) R$ 540,00 (b) R$ 300,00 (c) R$ 480,00 (d) R$ 240,00 Gabarito

1) (a) S = {(3, 1, 2); (b) 𝑆 = {(1−4𝛼

7,

−1−3𝛼

7, 𝛼)} ; (c) S = ∅

2) S = {(1, -1, 0, 2)}

3) S = {(1, 2, -1)}

4) letra D

5) letra D

6) letra B

VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO

1) CONCEITOS PRIMITIVOS São elementos que não possuem definição e são aceitos como verdadeiro. Na geometria os conceitos primitivos são: ponto, reta, plano e espaço. PONTO: é um objeto adimensional (sem dimensão) e só conseguimos representá-lo no mundo das ideias, por uma “bolinha”e usamos letras maiúsculas A, B, C, ... RETA: é um objeto unidimensional e também só conseguimos representa-la no mundo das ideias, já que a reta é infinita. Representamos por um “risco em linha reta” e usamos letras minúsculas como r, s, t, u, ... SEGMENTO DE RETA: como o próprio nome diz, é uma parte da reta, limitado por dois pontos. Representamos por 𝐴𝐵 ou 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . PLANO: é um objeto bidimensional e também só conseguimos representa-la no mundo das ideias, já que o plano é infinito. Representamos por uma “folha de papel em perspectiva” e usamos letras gregas como 𝜋, 𝛼, 𝛽, …

2) DEFINIÇÕES SOBRE VETORES Muitas grandezas físicas, como velocidade, força, deslocamento e impulso, para serem completamente identificadas, precisam, além da magnitude (módulo), da direção e do sentido. Estas grandezas são chamadas grandezas vetoriais ou simplesmente vetores. Geometricamente, vetores são representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos de retas com um sentido de percurso) no plano ou no espaço. A ponta da seta do segmento orientado é chamada

9

ponto final ou extremidade e o outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado.

Módulo: "comprimento" do vetor. Direção: "duas retas paralelas têm a mesma

direção" Sentido: "orientação do vetor"

Notação: vAB

,

Casos Particulares:

(a) Vetores Paralelos ou Colineares ( uv

// ): têm a mesma direção.

(b) Vetores Iguais (𝑣 = �⃗⃗�) têm mesmo módulo, direção e sentido.

(c) Vetor Nulo (𝐴𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ): Tem módulo nulo, a origem coincide com a extremidade, é um ponto qualquer do

espaço.

(d) Vetor Oposto (𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = −𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ ): "sentido contrário e mesma direção e módulo".

(e) Vetor Unitário: |𝑣| = 1, tem comprimento 1.

(f) Vetores Ortogonais: vetores perpendiculares.

(g) Vetores Coplanares: dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde esses vetores

estão todos representados.

(h) VERSOR: Vetor unitário de mesmo sentido de v. Exemplos:

- Se |v|=5, então o versor de v é �⃗⃗�

5

- Se |v|=1/3, então o versor de v é3𝑣

Assim, o versor de um vetor v é dado por v

v

10

3) TRATAMENTO GEOMÉTRICO DE VETORES

Adição uv

Vetores Paralelos:

Mesmo Sentido Sentido Contrário

Vetores Não Paralelos: Mesma Origem (fazer um paralelogramo) Origens Diferentes

Soma de três ou mais vetores

Propriedades da Adição

Subtração vuvu

)(

11

Esquema para Adição e Subtração:

Exemplo 1: Com base na figura, determinar os vetores, expressando-os com origem no ponto A.

Exemplo 2: Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A

Multiplicação de Vetores por escalar:

Dado um vetor 0v

e um número real 0 , chama-se o produto de um número real pelo vetor, o

vetor v

, tal que:

12

Abaixo o vetor v

e alguns de seus múltiplos

Considerando o ponto O como origem de v

, 0v

e de todos os vetores v

que lhe são paralelos

teremos:

Assim, temos:

Ângulo entre dois Vetores

O ângulo entre dois vetores não nulos é o ângulo Ɵ formado por duas semirretas AO e OB de mesma

origem O, onde 0 .

Se os dois vetores são paralelos e têm o mesmo sentido, então 0 .

Se os dois vetores são paralelos e têm sentidos contrários, então .

13

Exemplo 3: Sabendo que os vetores u e v formam um ângulo de 60°, determine o ângulo entre os vetores:

a) u

e v

b) u

e v

2

c) u

e v

d) u

3 e v

5

4) TRATAMENTO ALGÉBRICO DE VETORES Inicialmente vamos tratar de alguns conceitos e operações de vetores no plano (R2) e posteriormente no espaço (R3). Em termos práticos, um vetor pode ser é definido por um par ordenado, assim como um ponto, porém seu extremo inicial fica na origem e seu extremo final nas coordenadas indicadas. Veja os exemplos no geogebra:

Em termos algébricos, todo vetor pode ser escrito como uma combinação linear de vetores mais simples e unitários que chamaremos de base canônica. No caso do plano cartesiano, nossa base canônica são vetores unitários sobre os eixos x e y.

Definimos a base canônica do eixo x de 𝑖 = (1,0) e do eixo y de 𝑗 = (0,1).

14

Dessa forma, podemos escrever o vetor 𝑣 = (2,3) como uma combinação linear:

𝑣 = (2,3) = 2(1,0) + 3(0,1) = 2𝑖 + 3𝑗 Genericamente temos:

�⃗⃗⃗� = 𝜶𝒊 + 𝜷𝒋

Propriedades Dados dois vetores ),( 11 yxv

e ),( 22 yxu e R . Defini-se:

I. 2121 yyexxvu

II. 2121 , yyxxvu

III. 11 , yxv

Exemplo 4: A partir dos vetores )1,2(v

e )2,1(u

, encontre vu

e u

3 e represente no plano

cartesiano. Exemplo 5: A partir dos vetores )2,3(v

e )2,1(u

, encontre os valores dos novos vetores e

represente no plano: a) vu

23

b) vu

32

Vetor definido por dois pontos Considerando o vetor AB de origem no ponto ),( 11 yxA e extremidade em ),( 22 yxB

Exemplo 6: Encontre o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , tal que A(2, 3) e B(3, 1).

Exemplo 7: Encontre o vetor 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ , tal que C(-2, 5) e D(4, -1).

Para encontrar um vetor com origem em O, que seja

igual ao vetor AB , fazemos OAOB . Assim temos:

21212211 ,,, yyxxyxyxOAOBAB

O que é o mesmo que fazer ABAB

15

Módulo de um Vetor Módulo de um vetor é o comprimento deste vetor. Calculamos usando o Teorema de Pitágoras.

Se o vetor tem sua origem no ponto (0,0), marca-se as projeções sobre os eixos e aplica-se o teorema de pitágoras:

222yxv

22 yxv

Se o vetor é definido por dois pontos, fazemos o cálculo da distância entre dois pontos:

212

2

12 yyxxABdAB

OBS: O módulo de um vetor unitário é 1. Exemplo 8: Qual é o módulo do vetor 3,2v

Exemplo 9: Qual é o módulo do vetor AB , tal que 5,3A e 2,2B

Versor Vetor unitário associado a um vetor v

, paralelo a ele e de mesmo sentido.

v

vu

Exemplo 10: Encontrar o versor de 4,3v

Vetores Paralelos

Dois vetores são paralelos se são proporcionais, ou seja, vuuv //

Exemplo 11: Seja v = (3, 2), encontre vetores paralelos usando valores reais quaisquer para α

16

Ponto Médio entre dois pontos

O cálculo é feito através da média aritmética das abscissas (xA e xB) e das ordenadas (yA e yB):

𝑀 = (𝑥𝐴 + 𝑥𝐵

2,𝑦𝐴 + 𝑦𝐵

2)

Ponto Médio de um vetor Para calcular o ponto médio de um vetor que é definido a partir da origem, basta dividir suas componentes por dois. Se o vetor for definido por dois pontos (não está na origem do plano cartesiano), é necessário primeiro encontrar o vetor correspondente na origem e depois achar seu ponto médio. Exemplo 12: Calcule o ponto médio do vetor v = (4, 3) Exemplo 13: Calcule o ponto médio do vetor 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ definido por A(3, 5) e B(-2, 2). Vetores no espaço (R3)

No espaço vamos considerar o plano com os três eixos: x, y e z. Assim, a base canônica será },,{ kji

, na

qual:

1,0,0

0,1,0

0,0,1

k

j

i

17

Combinação Linear:

zyxvkzjyixv ,,

Exemplo 14: Represente os vetores a seguir no plano a) v = (2, 3, 1) b) u = (-3, 4, 5) c) w = (0, 1, 3)

Os cálculos algébricos no R³ são semelhantes aos do R².

Vetor definido por dois pontos: 111 ,, zyxA e 222 ,, zyxB

121212 ,, zzyyxxABAB

Soma: cbav ,, e fedu ,,

→ fcebdauv ,,

Módulo: 212

2

12

2

12 zzyyxxABdAB

Ponto Médio:

2,

2,

2

212121 zzyyxxM

Exemplo 15: Sejam os pontos A(3,-2,4) e B(1,2,3):

a) Encontrar o vetor AB com origem em (0,0,0).

b) Calcular o AB .

c) Calcular o ponto médio do vetor AB .

Exercícios LISTA 2

Vetores no Plano e no Espaço 1) Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das afirmações:

18

2) Apresentar, graficamente, um representante do vetor �⃗⃗� − 𝑣 nos casos

3) Dados os vetores coplanares �⃗⃗�, 𝑣 e �⃗⃗⃗�, representados na figura abaixo, determinar:

a) um representante do vetor 𝑥 + 𝑦, sendo 𝑥 = �⃗⃗� + 2𝑣 e 𝑦 = 𝑣 + 2�⃗⃗�; b) o ângulo entre os vetores -3v e w; c) o ângulo entre os vetores -2u e –w.

4) Dados os vetores 𝑢 = 2𝑖 – 3𝑗, 𝑣 = 𝑖 – 𝑗 𝑒 𝑤 = −2𝑖 + 𝑗, determinar:

a) 2𝑢 – 𝑣

b) 𝑣 – 𝑢 + 2𝑤

c) 1

2𝑢 − 2𝑣 − 𝑤

d) 3𝑢 −1

2𝑣 −

1

2𝑤

5) Dados os pontos 𝐴(−1,3), 𝐵(2,5), 𝐶(3, −1)𝑒 𝑂(0,0), calcular:

a) 𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ – 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

b) 𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ – 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗

c) 3𝐵𝐴⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ – 4𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗

6) Dados os pontos A(3, -4) e B(-1, 1) e o vetor v = (-2, 3), calcular a) (B – A) + 2v b) (A – B) – v c) B + 2(B – A) d) 3v – 2(A – B)

19

7) Sejam os pontos A(-5, 1) e B(1, 3). Determinar o vetor v = (a, b) tal que a) B = A + 2v b) A = B + 3v

8) Representar no gráfico o vetor 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ e o correspondente vetor posição, nos casos: a) A(-1, 3) e B(3, 5) b) A(-1, 4) e B(4, 1) c) A(4, 0) e B(0, -2) d) A(3, 1) e B(3, 4) 9) Qual o ponto inicial do segmento orientado que representa o vetor v = (-1, 3), sabendo que sua extremidade está em (3, 1)? Representar graficamente este segmento. 10) Encontrar o vértice oposto a B, no paralelogramo ABCD, para a) A(-3, -1), B(4, 2) e C(5, 5) b) A(5, 1), B(7, 3) e C(3, 4) 11) Calcular os valores de a para que o vetor u = (a, -2) tenha módulo 4. 12) Calcular os valores de a para que o vetor 𝑢 = (𝑎, ½ ) seja unitário.

13) Traçar no mesmo sistema de eixos os retângulos de vértices: a) A(0, 0, 1), B(0, 0, 2), C(4, 0, 2) e D(4, 0, 1) b) A(2, 1, 0), B(2, 2, 0), C(0, 2, 2) e D(0, 1, 2) 14) A figura abaixo apresenta um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos aixos coordenados e de medidas 2, 1 e 3. Determinar os coordenadas dos vértices deste sólido, sabendo que A(2, -1, 2)

15) Dados os pontos A(2, -2, 3) e B(1, 1, 5) e o vetor v = (1, 3, -4), calcular: a) A + 3v b) (A – B) – v c) B + 2(B – A) d) 2v – 3(B – A) 16) Dados os pontos A(3, -4, -2), B(2, 1, 0), determinar o ponto N pertencente ao segmento AB tal que

𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ =2

5𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

17) Dados os pontos A(1, -2, 3), B(2, 1, -4) e C(-1, -3, 1), determinar o ponto D tal que 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ + 𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ = 0⃗⃗ 18) Sabendo que 3u – 4v = 2w, determinar a, b e c, sendo u = (2, -1, c), v = (a, b-2, 3) e w = (4, -1, 0). 19) Dados os vetores u = (2, 3, -1), v = (1, -1, 1) e w = (-3, 4, 0), determinar o vetor x de modo que 3u – v + x = 4x + 2w

20

20) Sendo A(2, -5, 3) e B(7, 3, -1) vértices consecutivos de um paralelogramo ABCD e M(4, -3, 3) o ponto de interseção das diagonais, determinar os vértices C e D. 21) Quais dos seguintes vetores u = (4, -6, 2), v = (-6, 9, -3), w = (14, -21, 9) e t = (10, -15, 5) são paralelos? 22) Dado o vetor w = (3, 2, 5), determinar a e b de modo que os vetores u = (3, 2, -1) e v = (a, 6, b) + 2w sejam paralelos. 23) Obter o ponto P do eixo das abscissas equidistantes dos pontos A(3, -1, 4) e B(1, -2, -3). 24) Obter um ponto P do eixo das cotas cuja distância ao ponto A(-1, 2, -2) seja igual a 3. Gabarito 1) V F F V F F F V F V V 2) gráfico 3) (a) gráfico; (b) 75°; (c) 60° 4) (a) (3, -5); (b) (-5, 4); (c) (1, -1/2); (d) (13/2, -9) 5) (a) (-4, 1); (b) (2, 5); (c) (-5, -30) 6) (a) (-8, 11); (b) (6, -8); (c) (-9, 11); (d) (-14, 19) 7) (a) v = (3, 1); (b) v = (-2, -2/3) 8) (a) (4, 2) + gráfico; (b) (5, -3) + gráfico; (c) (-4, -2) + gráfico; (d) (0, 3) + gráfico 9) (4, -2) 10) (a) D(-2, 2); (b) D(1, 2)

11) ±2√3

12) ± √3

2

13) gráfico 14)B(2, -3, 2); C(3, -3, 2); D(3, -1, 2); E(3, -1, 5); F(2, -1, 5); G(2, -3, 5); (3, -3, 5) 15) (a) (5, 7, -9); (b) (0, -6, 2); (c) (-1, 7, 9); (d) (5, -3, -14) 16) N = (13/5, -2, -6/5) 17)D( -2, -6, 8) 18) a = -1/2, b = 7/4, c = 4 19) x = (11/3, 2/3, -4/3) 20)C(6, -1, 3) e D(1, -9, 7) 21) São paralelos entre si os vetores u, v e t. 22) a= 9 e b = -15

23) P(3, 0, 0) 24) P(0, 0, 0) ou P(0, 0, -4)