sistemas inteligentes1 tratamento de incerteza e lógica fuzzy teresa ludermir

Sistemas Inteligentes 1

Tratamento de Incerteza e Lógica Fuzzy

Teresa Ludermir


ConteúdoLógica Fuzzy

• Incerteza• Introdução a Lógica Fuzzy• Conjuntos Fuzzy• Operadores de Conjuntos Fuzzy• Variáveis Linguísticas• Lógica Fuzzy• Sistemas Fuzzy• Raciocínio• Conclusão


IncertezaLógica Fuzzy

• O conhecimento humano é muitas vezes incompleto, incerto ou impreciso.

• IA preocupa-se com formalismos de representação e raciocínio que permitam o tratamento apropriado a cada tipo de problema.

• Incerteza pode ser tratada de várias formas entre elas com Lógica Fuzzy e Redes Bayseanas.



• O mundo muda, algumas vezes de forma não previsível;

• Nossas crenças sobre o mundo mudam;

• Nossas crenças a cerca do mundo podem ser incertas;

• Não podemos garantir que nossas observações são corretas ou completas.



• Ex.: Você vai para o show de Caetano ?– talvez sim.

– se não chover eu vou.

– se o ingresso não for caro vou.

– vou logo cedo.

• Muitas das frases e estimativas humanas não são facilmente definidas através de formalismos matemáticos.



• Incerteza estocástica: A probabilidade de acertar o alvo é 0.8

• Incerteza léxica:– "Homens Altos", "Dias Quentes", "Moeda Estável"– Nós provavelmente teremos um bom ano de

negócios– A experiência do especialista A mostra que B está

quase para ocorrer, porém, o especialista C está convencido de que não é verdade


Introdução Lógica Fuzzy

• A teoria dos conjuntos fuzzy (nebulosos ou difusos) foi proposta por Zadeh em 1965.

• Na lógica convencional a classificação de um objeto qualquer segundo um critério é feita em uma entre duas categorias pré-determinadas. Ex: par-ímpar, bom-mau, falso-verdadeiro.


IntroduçãoLógica Fuzzy

• Classes que não são definidas precisamente. Ex: Classe dos homens altos, a classe de erros significativos, etc.

• Esses conceitos, apesar de imprecisos, têm um significado óbvio considerando-se um determinado ambiente.

• Na teoria dos conjuntos fuzzy a noção básica de conjunto é modificada, permitindo que os valores de pertinência de cada elemento ao conjunto variem de [0,1].


Introdução Lógica Fuzzy

• A lógica fuzzy pode ser vista em parte como uma extensão da lógica de valores múltiplos. É a lógica que trata de modelos de raciocínio incerto ou aproximado.

• O poder expressivo da lógica fuzzy deriva do fato de conter como casos especiais não só os sistemas lógicos binários e de valores múltiplos, mas também teoria de probabilidades e lógica probabilística.



• As principais características da lógica fuzzy, que a diferencia das lógicas tradicionais são:

• Os valores verdade podem ser subconjuntos nebulosos de um conjunto base T, usualmente o intervalo [0,1], e denotados por termos lingüísticos como verdadeiro, muito verdadeiro, mais ou menos verdadeiro, não muito falso, etc.



• Os predicados podem ser precisos como na lógica clássica (mortal, par, pai_de), ou imprecisos (cansado, grande, muito_mais_ pesado_ que, amigo_de).

• Os quantificadores podem ser de vários tipos como a maioria, muitos, vários, freqüentemente, cerca de 10, pelo menos 7.

• Os modificadores de predicado tais como não, muito, mais_ou_menos, extremamente, levemente, podem ser também representados.



– As proposições podem ser qualificadas de três As proposições podem ser qualificadas de três formas diferentes:formas diferentes:

• qualificação de verdade, como emqualificação de verdade, como em

(Maria é jovem) não é bem verdade(Maria é jovem) não é bem verdade

• qualificação de probabilidade, como emqualificação de probabilidade, como em

(Maria é jovem) é pouco provável(Maria é jovem) é pouco provável

• qualificação de possibilidade, como emqualificação de possibilidade, como em

(Maria é jovem) é quase impossível.(Maria é jovem) é quase impossível.


HistóriaLógica Fuzzy

• 1965 Seminal paper “Fuzzy Logic” por Prof. Lotfi Zadeh,

• 1970 Primeira aplicação de Lógica Fuzzy em engenharia de controle (Europa)

• 1975 Introdução de Lógica Fuzzy no Japão

• 1980 Verificação empírica de Lógica Fuzzy na Europa

• 1985 Larga aplicação de Lógica Fuzzy no Japão

• 1990 Larga aplicação de Lógica Fuzzy na Europa

• 1995 Larga aplicação de Lógica Fuzzy nos Estados Unidos

• 2000 Lógica Fuzzy tornou-se tecnologia padrão e é também aplicada em análise de dados e sinais de sensores. Aplicação de Lógia Fuzzy em finanças e negócios


Lógica Fuzzy Hierarquia

Sistemas Fuzzy (implementação)

Lógica Fuzzy (formalização)

Teoria dos Conjuntos Fuzzy (teoria de base)


• Definição de conjunto fuzzy

Seja X um conjunto (o nosso conjunto universo)

O conjunto fuzzy, A, será representado pela função de pertinência,

Lógica Fuzzy Teoria dos Conjuntos Fuzzy

1,0: XxA


Lógica Fuzzy Exemplo Conjunto Fuzzy

• Definição discreta:Definição discreta:

• µµFAFA

(35°C) = 0(35°C) = 0µµFAFA

(38°C) = 0.1(38°C) = 0.1 µµFAFA

(41°C) = 0.9(41°C) = 0.9

• µµFAFA

(36°C) = 0(36°C) = 0µµFAFA

(39°C) = 0.35(39°C) = 0.35 µµFAFA

(42°C) = 1(42°C) = 1

• µµFAFA

(37°C) = 0(37°C) = 0µµFAFA

(40°C) = 0.65(40°C) = 0.65 µµFAFA

(43°C) = 1(43°C) = 1

• Conjunto febre baixo/mediano/altoConjunto febre baixo/mediano/alto


Definição Contínua Definição Contínua

Definição contínua:Definição contínua:

39°C 40°C 41°C 42°C38°C37°C36°C

1

0

µ(x)


Lógica Fuzzy Exemplo Conjunto Fuzzy

• Definição discreta:Definição discreta:

• µµPLPL

(18) = 1.0(18) = 1.0 µµPLPL

(6) = 0.4(6) = 0.4 µµPLPL

(12) = 0.7(12) = 0.7

• µµPLPL

(2) = 0.2(2) = 0.2 µµPLPL

(8) = 0.5(8) = 0.5 µµPLPL

(14) = 0.8(14) = 0.8

• µµPLPL

(4) = 0.3(4) = 0.3 µµPLPL

(10) = 0.6(10) = 0.6 µµPLPL

(16) = 0.9(16) = 0.9

• Conjunto duração de tempo de projetos em semanas, Conjunto duração de tempo de projetos em semanas, curto/médio/longocurto/médio/longo


Lógica Fuzzy Definição Contínua

Grau de Pertinência

)(x

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

Duração(em semanas)

1

Um projeto Longo


Lógica Fuzzy Conjuntos Fuzzy

• São funções que mapeam o valor que poderia ser um membro do

conjunto para um número entre 0 e 1.

• O grau de pertinência 0 indica que o valor não pertence ao conjunto.

• O grau 1 indica significa que o valor é uma representação completa do

conjunto.

• Um conjunto fuzzy indica, por exemplo, com qual grau um projeto

específico é membro do conjunto de projetos LONGOS.

• A definição do que é um projeto LONGO depende do contexto.


Operadores dos Conjuntos Fuzzy

• Intersecção

Lógica Fuzzy

. e em contidos

conjuntos e pontos, de conjunto Sejam

XxX

BAX

A B))(),(min()()( xxx BABA

)()()()( xxx BABA



• União

Lógica Fuzzy

. e em contidos

conjuntos e pontos, de conjunto Sejam

XxX

BAX

A

))(),(max()()( xxx BABA

)()()()( xxx BABA

B



• Complemento

Lógica Fuzzy

. e em contido

conjunto um pontos, de conjunto Sejam

XxX

AX

)(1)( xx AA

A



• Em conjuntos Fuzzy,

o que não satisfaz a teoria dos conjuntos clássica.

•

Lógica Fuzzy

),() ( e )()( FALSEAATRUEAA

11/2

)2/1,2/11max(

))(),(max()(

AAAA

01/2

)2/1,2/11min(

))(),(min()(

AAAA

,2/1)( Considere A


Principais Lógicas Lógica Fuzzy

Soma limitada

produto

Zadeh

União (OR)Intersecção (AND)

yΒ

μxΑ

μMax ,

yΒ

μxΑ

μ

yΒ

μxΑ

μMin ,

yΒ

μxΑ

μyΒ

μxΑ

μ

1,0 yΒ

μxΑ

μMax yΒ

μxΑ

μMin ,1

• Dependendo de como são definidos os conectivos AND e OR, uma nova lógica é criada. O conectivo NOT é, em geral, imutável.


Qualificadores Lógica Fuzzy

• Mesmo papel que advérbios

• Modifica o gráfico da função de pertinência do conjunto difuso.

• É uma função, assim como um conjunto difuso

• Aumenta significativamente o nosso poder descritivo.

• Conjuntos difusos + Qualificadores = variável lingüística.


Tipos de qualificadores Lógica Fuzzy

Aumenta a precisão do conjunto

Bastante, extremamente

Restringe uma regiãoMenos que, menor que

Restringe uma regiãoMais que, maior que

ComplementarNão

Dilui o conjuntoUm pouco

Aproxima um escalarPor volta de, Aproximadamente

FunçãoQualificador


O Qualificador “bastante” Lógica Fuzzy


O Qualificador “não” Lógica Fuzzy


O Qualificador “mais que” Lógica Fuzzy


Variáveis Lingüísticas

• É o centro da técnica de modelagem de sistemas fuzzy.

• Uma variável lingüística é o nome do conjunto fuzzy.

• Pode ser usado num sistema baseado em regras para tomadas de decisão.

• Exemplo: if projeto.duração is LONGO

then risco is aumentado.

• Transmitem o conceito de qüalificadores.

• Qüalificadores mudam a forma do conjunto fuzzy.

Lógica Fuzzy



• Algumas variáveis lingüísticas do conjunto LONGO com qüalificadores:– muito LONGO– um tanto LONGO– ligeiramente LONGO– positivamente não muito LONGO

Lógica Fuzzy

Variáveis Linguísticas

Conjunto Fuzzy

Qüalificadores




• Permitem que a linguagem da modelagem fuzzy expresse a semântica usada por especialistas.

• Exemplo:If projeto.duração is positivamente não muito LONGO

then risco is reduzido um pouco

• Encapsula as propriedades dos conceitos imprecisos numa forma usada computacionalmente.

• Reduz a complexidade do problema.

• Sempre representa um espaço fuzzy.

Lógica Fuzzy


Lógica Fuzzy Sistemas Fuzzy

• Externamente são menos complexos e mais fáceis de entender.

• Os problemas são rapidamente isolados e fixados, reduzindo o tempo de manutenção.

• Requisitam menos regras, por isso o tempo médio entre as falhas diminui.



• Possuem grande habilidade para modelar sistemas comercias altamente complexos.– sistemas convencionais tem dificuldade em resolver problemas

não-lineares complexos.

• São capazes de aproximar o comportamento do sistema– porque apresentam várias propriedades não-lineares e pouco

compreensíveis.



• Benefícios para os especialistas:– habilidade em codificar o conhecimento de uma forma próxima a

linguagem usada por eles.

• Mas o que faz uma pessoa ser um especialista?– é a capacidade em fazer diagnósticos ou recomendações em

termos imprecisos.

• Sistemas Fuzzy capturam uma habilidade próxima do conhecimento do especialista.

• O processo de aquisição do conhecimento é:– mais fácil,– mais confiável,– menos propenso a falhas e ambigüidades.



• É capaz de modelar sistemas envolvendo múltiplos especialistas.

• Nos sistemas do mundo real, há vários especialistas sob um mesmo domínio.

• Representam bem a cooperação múltipla, a colaboração e os conflitos entre os especialistas.

• Um exemplo das posições dos gerentes de controle, de produção, financeiro e marketing.– Nosso preço deve ser baixo.– Nosso preço deve ser alto.– Nosso preço deve ser em torno de 2*custo– Se o preço dos concorrentes não é muito alto então nosso preço deve ser

próximo do preço deles.



• Devido aos seus benefícios, como:– regras próximas da linguagem natural

– fácil manutenção

– simplicidade estrutural

• Os modelos baseados em sistemas Fuzzy são validados com maior precisão.

• A confiança destes modelos cresce.



• Sistemas especialistas convencionais são modelados a partir da:– probabilidade Bayesiana– algumas fatores de confiança ou certeza.

• Ambas alternativas confiam na transferência de valores incertos fora do próprio modelo.

• Sistemas Fuzzy fornecem a sistemas especialistas um método mais consistente e matematicamente forte para manipulação de incertezas.


ImprecisãoLógica Fuzzy

Por que imprecisão:

• Ela existe devido a nossa incoerência em compreender um fenômeno do mundo real.

• Ferramentas baseadas na visão formalizada de Aristóteles.

O que dizer da seguinte declaração:

O CARRO ESTÁ RÁPIDO



O CARRO ESTÁ RÁPIDO

O que significa rápido?

A qual conjunto rápido pertence?

Modelo Dependente do Contexto



Curiosidade do Cotidiano:

Diálogo entre Artur e Rodrigo para decidir “O quão rápido é um carro rápido”



Artur: ... então podemos criar uma categoria para carros rápidos uRÁPIDO [x] = { velocidade 100 };

Rodrigo: ... e um carro a 99.5 km/h não é rápido?

Artur: ... vamos diminuir o limite para 99, combinado?

Rodrigo: ... ainda não. E 98.5?

Artur: Temos que parar em algum ponto !

Rodrigo: Porque?

Artur: ... concordar em algum ponto onde os carros não estão rápidos.


Rodrigo: É verdade. Então vamos dizer que carros abaixode 35 km/h não são rápidos.

Artur: ... concluímos que u RÁPIDO [x] = { velocidade 35 e

velocidade 100 }. Não, não podemos ter dois limites para rápido. Então u RÁPIDO [x] = { velocidade 35 }.

Rodrigo: Não! Carros a 35 km/k são lentos para serem considerados rápidos.

Artur: Sem problemas. 35 será o mínimo para ser considerado rápido - não em todos os casos, e




Artur: 100 será a velocidade que nós dois consideramos ser rápido. Qualquer valor entre eles terá o seu grau de rapidez.

CONCLUSÕES ?


• Esta variação de grau de rapidez significa que alguns carros estarão mais fortemente associados com a categoria rápido do que outros;

• Este grau pode assumir qualquer valor em um determinado intervalo, não ficando restrito apenas a PERTENCER ou NÃO PERTENCER aquele intervalo;

• Finalmente Artur e Rodrigo conseguiram entender o princípio da lógica Fuzzy.



• Identificar o conhecimento do domínio

•Representá-lo em uma lógica fuzzy

•Implementar um mecanismo de inferência para utilizá-lo

Sistemas FuzzyLógica Fuzzy


• 2 componentes principais (separados):•Base de Conhecimento•Mecanismo de Inferência

Base de Conhecimento:•contém sentenças em uma Lógica Fuzzy

Mecanismo (máquina) de Inferência associado:•responsável por inferir, a partir do conhecimento da base, novos fatos ou hipóteses intermediárias/temporárias

Sistemas FuzzyLógica Fuzzy


Um agente inteligente com BC

entrada

saída

Sensores

efetuadores

Base de Conhecimento Raciocínio


entrada

saída

Sensores

efetuadores

BC

Agente inteligente difuso

Inferência

Regras

Condicionais

Incondicionais

Variáveis lingüísticas

Conjuntos Difusos

Qualificadores

DefuzzificaçãoMin-max vs. aditivas

Máximos vs. Centróide

Fuzzificação


• Condicionais.– If x is X then a is A.

– If x is X and y is Y then a is A.

– If x is muito X then a is A.

• Incondicionais.– a is A.

– a is mais que A.

Base de Conhecimento: RegrasLógica Fuzzy


• Variáveis lingüísticas: Conjuntos difusos e Qualificadores.

• Técnica de armazenamento:– Guardar a expressão da função.

– Guardar um par de vetores X e Y

Base de Conhecimento: Variáveis Lingüísticas

Lógica Fuzzy


• Consiste em construir os conjuntos difusos relativos às variáveis de entrada.

• Mais de um conjunto difuso pode ser construído para cada variável.

• No passo seguinte (composição), estes conjuntos serão usados para encontrar o conjunto difuso final da variável.

Raciocínio: FuzzificaçãoLógica Fuzzy


• Transforma os conjuntos difusos de cada variável de saída em um único.

• Técnicas mais comuns:– Regra aditiva (cumulativa): Para encontrar o conjunto difuso

composto, tomamos a soma limitada:

– Regra min-max (limiar): Para encontrar o conjunto difuso composto, tomamos o máximo:

Raciocínio: InferênciaLógica Fuzzy

xxx n ...,1min 1

xxx n ,...,max 1


• Determinar um valor discreto para cada variável, a partir de seu conjunto difuso definido na composição.

• Métodos mais comuns:– Máximo (frágil);

– Média dos máximos;

– Centróide (mais robusto);

Raciocínio: DefuzzificaçãoLógica Fuzzy


Lógica Fuzzy

1ª FUZZIFICAÇÃO

2ª INFERÊNCIA

AGREGAÇÃO

3ª DEFUZZIFICAÇÃO

COMPOSIÇÃO

Etapas do Raciocínio


Etapas do RaciocínioLógica Fuzzy

Linguístico

NuméricoNível

Variáveis Calculadas

Variáveis Calculadas

(Valores Numéricos)

(Valores Linguísticos)Inferência Variáveis de Comando

Defuzzificação

Objeto

Fuzzificação

(Valores Linguísticos)

Variáveis de Comando(Valores Numéricos)

Nível


Fuzzificação e CertezaLógica Fuzzy

• Lógica Fuzzy é um cálculo de compatibilidade. Ela trabalha com a descrição das características das propriedades ;

• Descreve características que variam continuamente, associando partes dos valores a significados semânticos ;

• Representa uma medida de pertinência de um elemento a um conjunto Fuzzy;


FuzzificaçãoLógica Fuzzy

• Etapa no qual as variáveis lingüísticas são definidas de forma subjetiva, bem como as funções membro (funções de pertinência).

Engloba:

Análise do Problema;

Definição das Variáveis;

Definição das Funções de Pertinência; e

Criação das Regiões.



• Na definição das funções de pertinência para cada variável, diversos tipos de espaço podem ser gerados.

• Os mais comuns são: Triangular, Trapezoidal e Sino



TRIANGULAR:

Frio Normal Quente



TRAPEZOIDAL:

Lento Rápido


Fuzzificação - Exemplo Lógica Fuzzy


InferênciaLógica Fuzzy

• Etapa na qual as proposições (regras) são definidas e depois são examinadas paralelamente.

Engloba:

Definição das proposições;

Análise das Regras; e

Criação da região resultante.



• O mecanismo chave do modelo Fuzzy é a proposição.

• A proposição é o relacionamento entre as variáveis do modelo e regiões Fuzzy

• Na definição das proposições, deve-se trabalhar com:

PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS

PROPOSIÇÕES NÃO CONDICIONAIS


• PROPOSIÇÕES CONDICIONAIS:

if W is Z then X is Y

• PROPOSIÇÕES NÃO-CONDICIONAIS:

X is Y



COMPOSIÇÃO:Calcula a influência de cada regra nas variáveis de saída.


AGREGRAÇÃO:Calcula a importância de uma determinada regra para a situação corrente.



Regras de Inferência:

1ª - IF duração = longa AND qualidade = alta THEN risco = médio

2ª - IF duração = média AND qualidade = alta THEN risco = baixo

3ª - IF duração = curta AND qualidade = baixa THEN risco = baixo

4ª - IF duração = longa AND qualidade = média THENA risco = alto


DefuzzificaçãoLógica Fuzzy

• Etapa no qual as regiões resultantes são convertidas em valores para

a variável de saída do sistema;

•Esta etapa corresponde a ligação funcional entre as regiões Fuzzy e o valor esperado;

• Dentre os diversos tipos de técnicas de defuzzificação destacamos:

Centróide, First-of-Maxima, Middle-of-Maxima e Critério Máximo.


DefuzzificaçãoLógica Fuzzy

Exemplos:

z0 z0 z0

Centróide First-of-Maxima Critério Máximo


Lógica Fuzzy

Estudo de Caso


ConstruçãoLógica Fuzzy

• Construir os conjuntos difusos fundamentais (Variáveis Lingüísticas sem qualificador).

• Definir as estratégias para o passo de composição e de defuzzificação.

• Construir as regras:– condicionais.

– incondicionais.


Construção

• Construir os três conjuntos difusos de entrada ENOS, ZCIT e ATL com três valores Desfavorável, favorável e neutro

Lógica Fuzzy


Construção

• Definir o conjunto difuso de saída ESTAÇÃO

Lógica Fuzzy


Construção

• Construir as regras:

Lógica Fuzzy


ConstruçãoLógica Fuzzy

• Escolhendo a estratégia de composição:– min-max ou aditiva

– Vamos escolher min-max

• Escolhendo a estratégia de defuzzificação:– centróide, máximos, ou etc...

– Vamos escolher centróide.


• Suponha a situaçao com as três variáveis de previsão como na figura a seguir:

ExecuçãoLógica Fuzzy


• Suponha apenas as três regras como nas duas figuras a seguir:

ExecuçãoLógica Fuzzy


Primeira fase

• As regras são avaliadas individualmente.

• O grau de pertinência de cada variável de saída é dado pelo mínimo das pertinências das variáveis de entrada da regra

• Cálculo na figura anterior


Segunda fase

• A pertinência final de cada categoria da variável de saída, após a avaliação de todas as regras, é a máxima pertinência obtida nas regras da categoria

• Cálculo gráfico no final da figura das regras


Segunda fase

• µ(normal) = max [µ(regra1),µ(regra3)] µ(normal) = max [µ(regra1),µ(regra3)] = max[0.1;0.6]=0.6= max[0.1;0.6]=0.6

• µ(chuvosa) = [µ(regra2)] = 0.7µ(chuvosa) = [µ(regra2)] = 0.7

• [µ(muito seca)] = [µ(seca)] = [µ(muito [µ(muito seca)] = [µ(seca)] = [µ(muito chuvosa)] = 0chuvosa)] = 0


Defuzzificação

• Centro de gravidadeCentro de gravidade


Lógica Fuzzy

Estudo de Caso 2

(Exercício)


FormulaçãoLógica Fuzzy

fa

t, p

t: temperatura

p: pressão

a: ângulo

f: fluxo


Lógica Fuzzy no MundoLógica Fuzzy

• Lógica Fuzzy tornou-se tecnologia padrão e é também aplicada em

análise de dados e sinais de sensores;

• Também utiliza-se lógica fuzzy em finanças e negócios;

• Aproximadamente 1100 aplicações bem sucedidas foram publicadas

em 1996; e

• Utilizada em sistemas de Máquinas Fotográficas, Máquina de Lavar

Roupas, Freios ABS, Ar Condicionado e etc.


ConclusãoLógica Fuzzy

Lógica Fuzzy é uma importante ferramenta para auxiliar a

concepção de sistemas complexos, de difícil modelagem,

e pode ser utilizada em conjunto com outras tecnologias

de ponta, como é o caso da combinação entre Lógica Fuzzy

e Redes Neurais Artificiais.


BibliografiaLógica Fuzzy

• Cox, E. The Fuzzy Systems Handbook;

• Kartalopoulos, S. V. Understanding Neural Networks and Fuzzy

Logic. IEEE PRESS, 1996;

• Kosko, B. Fuzzy Engineering. Prentice-Hall, 1997;

• Kosko, B. Neural Networks and Fuzzy Systems. Prentice-Hall, 1992


BibliografiaLógica Fuzzy

• Almeida, P. e Evsukoff, A. Sistemas Fuzzy em Sistemas

Inteligentes organizado por Solange Rezende. Manole, 2002;

•Galvão, C. Introdução à Teoria dos Conjuntos Difusos em Sistemas

Inteligentes organizado por Carlos Galvão e Meuser Valença.

ABRH, 1999;

• FAQ: http://www.csa.ru/ai/faq/kantrowitz/fuzzy/faq.html

sistemas inteligentes1 tratamento de incerteza e lógica fuzzy teresa ludermir

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