sistemas hiperestaticos

SISTEMAS HIPERESTTICOS II

VOLUME 1

LUIZ CARLOS MENDES

2009

1

CAPITULO 3

O M T O D O D O S D E S L O C A M E N T O S

3.1 GENERALIDADES

No Mtodo dos Esforos escolhiam-se determinadas incgnitas do

sistema de equaes de compatibilidade esttica, que eram verdadeiramente

esforos sob a forma de momentos fletores ou cargas concentradas, onde

atravs da resoluo do sistema estes esforos eram determinados.

Agora, no Mtodo dos Deslocamentos, determinam-se os

deslocamentos angulares e lineares sofridos pelos ns das estruturas, para,

a partir dos valores dessas incgnitas, se obter os diagramas de momentos e

cortantes, objetivo final de ambos os mtodos

3.2 INCGNITAS DO MTODO

So certos deslocamentos que so conhecidas nos extremos das

hastes que permitem que sejam determinados os esforos seccionais.

Estes deslocamentos podem ser:

- Rotaes nos ns ( ). - Deslocamentos lineares ( ).

2

3.3 PRINCPIO DA CONTINUIDADE

Este princpio muito empregado no Mtodo dos Deslocamentos. Ele

mostra que "as rotaes nos extremos das hastes que concorrem num

mesmo n so iguais e definem, portanto, a rotao do n. "

Figura 3.1 - Rotao de um n.

3.4 GRAU DE HIPERGEOMETRIA

definido pelo nmero de incgnitas do problema. Tambm

chamado de grau de indeterminao cinemtica da estrutura. o nmero

de deslocamentos a se anular de modo a se obter subestruturas de

clculo conhecido que s podem ser:

- Hastes biengastadas

- Hastes engastada-apoiadas

3

Os deslocamentos ficam anulados quando se introduzem vnculos

rgidos que procuram impedir as rotaes nos ns e os seus deslocamentos

lineares.

As chapas impedem as rotaes nos ns e os apoios do primeiro ou

segundo gnero impedem os seus deslocamentos lineares.

Figura 3.2 -Impedimento de rotaes e deslocamentos.

A estrutura hiperesttica fica transformada (chamada de estrutura

isogeomtrica) e, dessa forma, fica configurado o sistema principal.

3.5 DETERMINAO DOS GRAUS DE HIPERGEOMETRIA

Sejam as estruturas de prticos e quadros contraventados:

4

a)

h=2

b)

h=3

c)

h=6

5

d)

h=7

e)

h=12

f)

h=3

Figura 3.3 Estruturas de prticos.

6

Quando a estrutura apresentar rtulas intermedirias, no se deve

colocar nelas chapas, a fim de anular as rotaes. Deve ser

respeitada a condio natural da estrutura naquele ponto. Assim, as

Figuras 3.4 a, b e c, ilustram alguns casos de estruturas rotuladas.

a)

h=5

b)

h=1

c)

h=5

Figura 3.4 - Estruturas rotuladas.

7

Quando a estrutura possuir balanos carregados, estes no devem ser

includos na analise estrutural isogeomtrica. O balano pode ser retirado e

sua ao substituda sobre o resto da estrutura por um momento fletor e

fora equivalentes aplicados pela parte exterior da mesma. Assim, de

acordo com as Figuras 3.5 a e b, tm-se:

a)

h = 2

b)

h = 2

Figura 3.5 Estruturas dotadas de balano

8

No caso de grelhas, cada n rgido possui duas componentes de

rotao e uma de deslocamento linear vertical. Assim, de acordo com as

Figuras 3.6 a, b e c, tm-se:

a)

h = 6

b)

h = 8

c)

h = 18

Figura 3.6 Graus de hipergeometria em grelhas.

9

3.6 GRANDEZAS FUNDAMENTAIS

3.6.1 Fatores de forma de segunda espcie

So os momentos de reao a e b que surgem nos extremos de

uma haste biengastada quando se d uma rotao unitria numa de suas

extremidades.

Os momentos de reao so definidos por:

a = L

JE4

(3.1)

b = L

JE2

(3.2)

e expressam as rigidezes nos ns da barra biengastada.

a b

= 1

Figura 3.7 - Fatores de forma da haste biengastada.

10

3.6.2 Fator de forma derivado de segunda espcie

E o momento de reao a que surge no extremo da haste

engastada-apoiada quando se d uma rotao unitria no seu extremo

engastado.

definido por:

LJE3a =

(3.3)

onde L o comprimento da haste.

a

Figura 3.8 - Fator de forma da haste engastada-apoiada.

11

3.6.3 Fator de forma devido a deslocamentos ortogonais ao eixo da

haste biengastada

So os momentos de reao que surgem nos extremos de uma haste

biengastada quando se d um deslocamento linear unitrio num de seus

extremos, ficando os engastes sem sofrer rotaes.

definido por:

c = 2LJE6

(3.4)

onde L o comprimento da haste.

= 1

c

c

Figura 3.9 Fator de forma devido a deslocamentos ortogonais.

12

A rotao definida por:

= L

(3.5)

Como = 1 , ento = L1

O momento de reao nada mais do que a soma dos fatores de

forma da haste biengastada multiplicados pela rotao, ou seja:

M = (a + b) (3.6)

M = 2LJE6

L1

LJE2

LJE4 =

+

(3.7)

Dessa forma:

c = 2LJE6

(3.8)

13

3.6.4 Fator de forma devido a deslocamento ortogonal ao eixo da

haste engastada-apoiada

o momento de reao que surge no engaste de uma haste engastada-

apoiada quando se d um deslocamento unitrio no bordo apoiado ortogonal

ao eixo ficando o engaste sem sofrer rotao.

definido por:

c = 2LJE3

(3.9)

= 1

c

Figura 3.10 - Fator de forma c .

14

A rotao definida por:

= L1

(3.10)

e o momento de reao por:

M = a (3.11)

M = 2LJE3

L1

LJE3 =

(3.12)

3.6.5 Fatores de carga de segunda espcie

So os momentos de reao que surgem nos extremos da haste

biengastada devido ao de um carregamento qualquer. So alguns

exemplos:

a)

P

M = - 8LP M = +

8LP

L

R = 2P R =

2P

15

b)

M = - 22

LbaP P M = + 2

2

LbaP

a b

R = 32

La)2L(bP + R = 3

2

Lb)2L(aP +

c)

q

M = - 12Lq 2 M = +

12Lq 2

R = 2Lq R =

2Lq

16

d)

M = - 20Lq 2 M = +

30Lq 2

R = Lq207 R = Lq

203

L

Figura 3.11 - Fatores de carga

3.6.6 Fatores de carga derivados de segunda espcie

o momento de reao que surge no extremo da haste engastada-

apoiada devido ao de um carregamento qualquer.

17

a)

P

M = - LP163

R = P1611 R = P

165

b)

M = - ( )bLL2

baP2 + P

a b

R = ( )3 22L2 bL3bP R = ( )32 L2 bL2aP +

L

18

c)

q

M = - 15Lq 2

R = 5

Lq2 R = 10

Lq

d)

q

M = - 120

Lq7 2

R = 40

Lq9 R = 40

Lq11

19

e)

q

M = - 8Lq 2

R = 8

Lq5 R = 8

Lq3

Figura 3.12 - Fatores de carga derivados.

Em alguns problemas de estruturas sujeitas s deslocabilidades

lineares, so de muita utilidade as reaes de apoio.

20

3.7 EXERCCIOS

3.7.1 A viga continua VC1

Seja a viga continua submetida a um carregamento uniformemente

distribudo conforme o apresentado na Figura 3.13.

2 kN/m

3 10 20 10 3 (m)

Figura 3.13 - Viga continua com carga uniforme. a) Formao do sistema principal. h = 2

Figura 3.14 - Grau de hipergeometria da viga.

21

b) Determinao dos fatores de forma. Haste AB a = 3/L = 3/10 = 0,30

Haste BC a = 4/L = 4/20 = 0,20

b = 2/L = 2/20 = 0,10

A B B C

Figura 3.15 - Subestruturas de clculo conhecido.

c) Determinao dos fatores de carga. 2 kN/m -66,66 +66,66 B C B C

Figura 3.16 - Fatores de carga da haste BC

MB = - q L2/12 = 2 (20)2/12 = - 66,66 kN m

MC = + q L2/12 = 2 (20)2/12 = + 66,66 kN m

22

2 kN/m -4,5 A B A B

Figura 3.17 - Fator de carga

MA = 2 (3) (1,5) = 9 kN m

Este momento deve ser transmitido para o n B, mediante o

fator de transmisso 0,5.

MB = 9 ab = (9) (0,10/0,20) = - 4,5 kN m

2 kN/m + 25 A B A B

Figura 3.18 - Fator de carga

MB = q L2/8 = (2) (10)2/8 = + 25 kN m

Assim, superpondo-se os momentos do n B, obtm-se os

fatores de carga finais.

23

+20,5 -66,66 +66,66 -20,5

Figura 3.19 - Resumo dos fatores de carga

d) Ao do hiperesttico 1 = 1 no sistema principal. 1 = 1 0,30 0,20 0,10

Figura 3.20 - Ao da rotao unitria em B. e) Ao do hiperesttico 2 = 1 no sistema principal. 2 = 1 0,10 0,20 0,30

Figura 3.21 - Ao da rotao unitria em C.

24

f) Equaes de coerncia

(20,5 - 66,66) + (0,30 + 0,20) 1 + 0,10 2 = 0 (66,66 - 20,5) + 0,10 1 + (0,20 + 0,30) 2 = 0

Na soluo deste sistema so fornecidos:

1 = + 115,25 2 = - 115,25

g) Clculo dos momentos fletores.

MBesq = 20,5 + 0,30 1 = 20,5 + 0,30 (115,25) = 55,07 kNm MBdir = - 66,66 + 0,20 1 + 0,10 2 =

= - 66,66 + 0,20 (115,25) + 0,10 (-115,25) = - 55,07 kNm

h) Diagrama dos momentos fletores em kN.m 55,07 55,07 9 9

Figura 3.22 - Momentos fletores finais em kN.m.

25

i) Clculo dos momentos fletores em formas programveis. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Figura 3.23 - Diviso da viga contnua em sees.

i1) Momentos pela carga uniforme.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Figura 3.24 - Parbolas simtricas em cada tramo

Primeiro vo - M = q L2 / 2 wr = (2) (10)2 / 2 wr

Segundo vo - M = q L2 / 2 wr = (2) (20)2 / 2 wr

i2) Suspenso dos momentos fletores.

A reta que une os momentos fletores determinados nas sees

0 e 5 apresenta uma inclinao. necessrio que seja calculada a

distncia d.

26

Primeiro vo

46,07 d 9 1 2 3 4 5 0

Figura 3.25 - Suspenso dos momentos no primeiro vo.

Pela regra de trs, tem-se:

(55,07 - 9) _________________________ 10

d _____________________________ x

onde x assume os valores 0, 2, 4, 6, 8 e 10.

O valor d fica expresso por:

d = 10

07,46 x

ou ento:

d = 4,607 x

27

Segundo vo

A reta que une os momentos fletores determinados nas sees e 0

e 5 horizontal, portanto, os momentos existentes entre as sees

intermedirias so constantes.

Na Tabela 3.1 so calculadas todas as parcelas dos momentos

fletores separadamente para todas as sees transversais.

Tabela 3.1 - Momentos fletores parciais e finais

wr (qL2 / 2) wr Linha de chamada Momento total (kNm) 0 0 0 9 -9 1 0,16 16 -9,214 - 9 -18,214 -2,214 2 0,24 24 -18,428 - 9 -27,428 -3,428 3 0,24 24 -27,642 - 9 -36,642 -12,6 4 0,16 16 -36,856 - 9 -45,856 -29,8 5 0 0 - 55,07 -55,07 6 0,09 36 - 55,07 -19,07 7 0,16 64 -55,07 8,93 8 0,21 84 -55,07 28,93 9 0,24 96 -55,07 40,93 10 0,25 100 -55,07 44,93 11 0,24 96 -55,07 40,93 12 0,21 84 -55,07 28,93 13 0,16 64 -55,07 8,93 14 0,09 36 -55,07 -19,07 15 0 0 -55,07 -55,07

28

i3) Momentos fletores finais em cada seo ao longo da viga

contnua.

Figura 3.26 - Diagrama de momentos fletores finais.

29

j) Clculo dos cortantes em formas programveis.

So extradas de cada segmento biapoiado as reaes provenientes

do carregamento externo aplicado e do par de momentos em cada

extremidade, obtidos pelo mtodo das deformaes. Estas reaes so

analisadas esquerda e direita de cada seo de apoio e correspondem

aos esforos cortantes nestas sees.

q = 2 kN/m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

9 9 55,07 55,07 55,07 55,07 9 9

6 10 10 20 20 10 10 6 4,6 4,6 4,6 4,6

6 5,4 14,6 20 20 14,6 5,4 6

Figura 3.27 - Reaes de apoio em kN.

Para o primeiro vo obtm-se:

R = q L / 2 = 2 (10) / 2 = 10 kN ( carga uniforme )

R = M / L = (55 - 9) / 10 = 4,6 kN ( momentos fletores )

Para o segundo vo obtm-se:

R = q L / 2 = 2 (20) / 2 = 20 kN (carga uniforme)

30

j1) Cortantes finais em cada seo ao longo da viga contnua.

Figura 3.28 - Cortantes finais.

31

3.7.2 Viga continua VC2

Seja a viga contnua submetida a um carregamento irregular conforme

o apresentado na Figura 3.29.

4 kN 2 kN/m 6 kN 1 kN/m

2 m 12 m 16 m 8 m 2 m 8 m 3 m

Figura 3.29 - Viga contnua de carregamento diverso.

a) Formao do sistema principal

A B C D E

h = 3

Figura 3.30 - Grau de hipergeometria da viga.

32

b) Determinao dos fatores de forma.

Haste AB a = 3/L = 3/12 = 0,25

Haste BC a = 4/L = 4/16 = 0,25

b = 2/L = 2/16 = 0,125

Haste CD a = 4/L = 4/10 = 0,40

b = 2/L = 2/10 = 0,20

Haste DE a = 3/L = 3/8 = 0,375

c) Determinao dos fatores de carga

Haste AB MB = q L2 / 15 = (2) (12)2 / 15 = 19,2 kN m

MB = - 4 (2) (0,5) = - 4 kN m

2 kN/m 4 kN

A +19,2 B A -4 B

Figura 3.31 Fatores de carga na haste AB.

33

Haste BC MB = - q L2 / 12 = - (2) (16)2 / 12 = - 42,67 kN m

MC = + q L2 / 12 = + (2) (16)2 / 12 = + 42,67 kN m

2 kN/m

-42,67 +42,67

Figura 3.32 - Fatores de carga na haste BC.

Haste CD MC = - ( )( )( ) 92,1

10286

LbaP

2

2

2

2==

MD = + ( )( ) ( ) 68,7

10286

LbaP

2

2

2

2+==

6 kN

-1,92 +7,68

C D

Figura 3.33 - Fatores de carga na haste CD.

34

Haste DE

MD = - q L2 /8 = - (1) (8)2 /8 = - 8 (da carga concentrada)

MD = + (1) (3) (1) (0,5) / 2 = + 0,75 (da carga triangular do balano)

1 kN/m

1 kN/m

D -8 E D +0,75 E

Figura 3.34 - Fatores de carga da haste DE.

d) Resumo dos fatores de carga.

+15,2 -42,67 +42,67 -1,92 +7,68 -7,25

A B C D E

Figura 3.35 - Fatores de carga totais.

35

e) Resumo dos fatores de forma e ao dos hiperestticos no

sistema principal.

+15,2 -42,67 +42,67 -1,92 +7,68 -7,25

A B C D E

Ao de 1 = 1 1 0,25 0,25 0,125

A B C D

Ao de 2 = 1 2 0,125 0,25 0,4 0,2

A B C D E

Ao de 3 = 1 3 0,2 0,4 0,375

A B C D E

Figura 3.36 - Fatores de carga, de forma e rotaes.

36

f) Equaes de coerncia

(15,2 - 42,67) + 0,5 1 + 0,125 2 = 0 (42,67 - 1,92) + 0,125 l + 0,65 2 + 0,2 3 = 0 (7,62 - 7,25) + 0,2 2 + 0,775 3 = 0

Na soluo deste sistema so encontrados:

l = 75,88 2 = - 83,76 3 = 21,04

g) Clculo dos momentos fletores. (kN m)

MB esq = 15,2 + 0,25 (75,88) = 34,17

MB dir = - 42,67 + 0,25 (75,88) + 0,125 (-83,76) = - 34,17

MC esq = 42,67 + 0,125 (75,88) + 0,25 (-83,76) = 31,22

MC dir = - 1,92 + 0,4 (-83,76) + 0,2 (21,04) = - 31,22

MD esq = 7,68 + 0,2 (-83,76) + 0,4 (21,04) = - 0,64

MD dir = - 7,25 + 0,375 (21,04) = 0,64

+ +

A B C D E

Figura 3.37 - Momentos fletores finais (kN m).

37

3.7.3 Prtico com deslocabilidade linear PDL1

Seja o prtico sujeito a deslocabilidade linear, composto dos

carregamentos indicados na Figura 3.38.

10 kN C 20 kN 2 kN/m

3 m

A B E F H

4 m 1 kN/m

D

2 m

G

3 m 20 m 20 m 3 m

Figura 3.38 - Prtico submetido a carregamentos uniformes e

concentrados.

38


C

B F

A H

D G h = 3

Figura 3.39 - Grau de hipergeometria.

b) Determinao dos fatores de forma

Haste AB a = 3/L = 3/3 = 1

Haste CB a = 3/L = 3/3 = 1

c = 3/L2 = 3 / 32 = 0,333

Haste BD a = 4/L = 4/4 = 1

b = 2/L = 2/4 = 0,5

c = 6/L2 = 6/42 = 0,375

39

Haste FG a = 4/L = 4/6 = 0,67

b = 2/L = 2/6 = 0,33

c = 6/L2 = 6/62 = 0,167

Haste BF a = 4/L = 4/20 = 0,20

b = 2/L = 2/20 = 0,10

Haste FH a = 3/L = 3/20 = 0,15


Haste AB MB = + q L2 / 8 = (2) (3)2 /8 = + 2,25

Haste BF MB = - q L2 / 12 = (2) (20)2 / 12 = - 66,67

MB = - P L / 8 = (20) (20) / 8 = - 50

Haste FG MF = MG = q L2 / 12 = (1) (6)2 / 12 = 3

MF = - 3

MG = + 3

40

Haste FH MF = - q L2 /8 = - (2) (20)2 / 8 = - 100

MF = (2) (3) (1,5) (0,5) = + 4,5

a) 2 kN/m

+ 2,25

A B

b)

2 kN/m 20 kN

-66,67

B -50 +50 +66,67 F

41

c) F d)

2 kN/m

-3

-100

F H

1 kN/m

+3

G

Figura 3.40 - Fatores de carga.

d) Resumo dos fatores de carga e de forma e ao dos hiperestticos

no sistema principal.

42

d1) Fatores de carga

+ 2,25 - 116,67 +116,67 -95,5

3 3

3 3

d2) Ao de 1 = 1

0,333

0,333 1 0,20 0,10

1

0,375 1

0,5

0,375

43

d3) Ao de 2 = 1

0,167

0,10 0,20 0,15

0,67

0,33

0,167

d4) Ao de 3 = 1

0,111

0,111 0,333

0,188 0,056

0,375 0,167

0,375

0,188

0,167 0,056

Figura 3.41 - Fatores de carga, rotaes e deslocamentos.

44

e) Equao de coerncia

( 2,25 - 116,67 ) + ( 1 + 1 + 1 + 0,2 ) 1 + 0,1 2 + ( -0,375 + 0,333 ) 3 = 0 ( 116,67 - 3 - 95,5 ) + 0,10 1 + ( 0,20 + 0,67 + 0,15 ) 2 - 0,167 3 = 0 ( 3 ) + ( 0,333 - 0,375 ) 1 - 0,167 2 + ( 0,11 + 0,188 + 0,056 ) 3 = 0

3,2 1 + 0,1 2 - 0,045 3 = 114,42 0,1 1 + 1,02 2 - 0,167 3 = - 13,17 - 0,045 1 - 0,167 2 + 0,356 3 = - 3,0

1 = 36,29 2 = - 23,83 3 = - 15,02

f) Clculo dos momentos fletores

MB esq = 2,25 + 1,0 (36,29) = 38,54

MB dir = - 116,67 + 0,2 (36,29) + 0,1 (-23,83) = - 111,79

MB sup = 1,0 (36,29) + 0,33 (-15,02) = - 31,33

MB inf = 1,0 (36,29) - 0,375 (-15,02) = 41,92

MF esq = 116,67 + 0,1 (36,29) + 0,2 (-23,83) = 115,53

MF inf = - 3,0 + 0,67 ( -23,83) - 0,167 (-15,02) = - 16,45

MF dir = - 95,5 + 0,15 (-23,83) = - 99,07

MD = 0,5 (36,29) - 0,375 (-15,02) = 23,77

MG = 3 + 0,33 (-23,83) - 0,167 (-15,02) = - 2,35

45

31,3 111,8 115,5 99,1 9 9

38,5

A B F

41,9 16,4 H

23,8

D 2,4

G h = 3

Figura 3.42 - Sentido de aplicao dos momentos.

111,8 115,5

38,5 99,1 9

41,9 31,3 + 16,4

23,8

2,4

Figura 3.43 - Momentos fletores finais.

46


Seja o prtico sujeito a deslocabilidade linear composto dos

carregamentos indicados na Figura 3.44.

E

2 kN/m

2 m

G

A B

1 kN I 4 m

1 kN 1 kN

L H M

C 1 kN J D

1 3 3 1 (m) 2 m

F

Figura 3.44 - Prtico com carregamentos.

47


E

A G B

C H D

F h = 3



Hate AG = Haste GB = Haste CH = Haste HD

a = 3/L = 3 / 4 = 0,75

Haste GH a = 4 / L = 4/4 = 1

b = 2 / L = 2/4 = 0,5

c = 6 / L2 = 6/42 = 0,375

48

Haste EG = Haste HF a = 4 / L = 4/2 = 2

b = 2 / L = 2/2 = 1

c = 6 / L2 = 6 / 22 = 1,5


Haste AG MG = + q L2 / 15 = (2) (4)2 /15 = 2,13

Haste GH MG = MH = P L / 8 = (1) (4) / 8 = 0,5

Haste HF MH = MF = P L / 8 = (1) (2) / 8 = 0,25

Haste CH MH = ( ) ( )( )( )( )( ) ( )1442132bL

L2baP

22 +=+ = 0,9375

onde a = 3 e b = 1

49

d) Resumo dos fatores de carga e ao dos hiperestticos no sistema

principal

Fatores de carga

E

2,13 2,13

A G B

0,5 0,5

0,5

C 0,9375 H 0,9375 0,5 D

0,25 0,5

0,25

F 0,5

Ao de 1 = 1

1,5 E

2

A 1,5 0,75 G 0,75 0,375

B

1

C 0,5 H 0,375 D

F h = 3

50

Ao de 2 = 1

E

A G 0,375 B

0,5

1 0,375

C 0,75 0,75 D

2 1,5

1 1,5

F

Ao de 3 = 1

E

A G B

0,375 0,1875

C 0,1875 H 0,375 D

1,5 1,5

1,5

F 1,5


51

e) Equaes de coerncia

0,5 + (0,75 + 0,75 + 1 + 2) l + 0,5 2 - 0,375 3 = 0 (0,25 - 0,5) + 0,5 l + (1 + 0,75 + 2 + 0,75) 2 + + (0,375 - 1,5) 3 = 0 (-0,5 - 0,5) + 0,375 1 + (0,375 - 1,5) 2 + + (0,1875 + 1,5) 3 = 0

4,5 l + 0,5 2 + 0,375 3 = - 0,5 0,5 1 + 4,5 2 - 1,125 3 = 0,25 0,375 1 - 1,125 2 + 1,69 3 = 1

l = - 0,21 2 = 0,29 3 = 0,83


MG sup = 2 (-0,21) = - 0,42

MG esq = 2,13 + 0,75 (-0,21) = 1,97

MG dir . = - 2,13 + 0,75 (-0,21) = - 2,28

MG inf = 0, 5 + 1 (-0,21) + 0,5 (0,29) + 0,375 (0,83) = 0,75

ME = 1 (-0,21) = - 0,21

MH sup = - 0,5 + 0,5 (-0,21) + (1) (0,29) + 0,375 (0,83) = - 0,004

MH esq = 0,94 + 0,75 (0,29) = 1,16

MH dir = - 0,94 + 0,75 (0,29) = - 0,72

MH inf = 0,25 + 2 (0,29) - 1,5 (0,83) = - 0,42

MF = - 0,25 + 1 (0,29) -1,5 (0,83) = - 1,21

52

Observa-se que a conveno de sinais empregada no Mtodo dos

Deslocamentos nada tem a ver com a utilizada nos diagramas de momentos

fletores, tais como ilustrados na Figura 3.47.

No Mtodo dos Deslocamentos, quando o momento gira no sentido

horrio em torno do n, ele assume um sinal positivo. No diagrama final dos

momentos, o sinal positivo nas hastes horizontais se verifica quando as

tenses de trao ocorrerem nas fibras inferiores. Nas hastes verticais

indiferente a escolha do sinal positivo, seja para a tenso de trao

nas fibras da esquerda ou nas fibras da direita.

0,2

1,97 2,3

0,42

+

+ 0,75

1,0

1,16 + 0,72

+ 0,004 0,42 +

1,5 1,32

-

1,21


53


Seja o prtico com o carregamento indicado na Figura 3.48.

C 1 m F 3 kN 1 kN/m 1 m D B 1 m 2 kN/m G 3 kN 1 m A E 2 m

Figura 3.48 - Prtico sujeito aos carregamentos.


C B D A E


54


Haste AB = Haste ED = Haste CD = Haste BD

a = 4/L = 4/2 = 2

b = 2/L = 2/2 = 1

c = 6 / L2 = 6 / 22 = 1,5

c)Determinao dos fatores de carga

Haste AB MB = MA = q L2 / 12 = (2) (2)2 / 12 = 0,67

Haste BD MD = MB = q L2 / 12 = (2) (2)2 /12 = 0,67

Haste BD MD = MB = q L2 /12 = (1) (2)2 / 12 = 0,33

Haste CD MC = MD = P L / 8 = (3) (2) / 8 = 0,75

Haste DE MD = ME = P L / 8 = (3) (2) / 8 = 0,75

55

2 kN/m B 2 1,5 C 0,67 0,75 3 kN 0,67 0,75 2 1,5 A D 1 kN/m B D 0,33 0,33

Figura 3.50 - Fatores de carga nas hastes.

56

d) Resumo dos fatores de carga, de forma e a ao dos hiperestticos

no sistema principal

Fatores de carga 1,5 0,75 0,33 0,75 1,5 0,33 0,67 2 1,5 0,75 0,67 0,75 2 1,5 Ao da rotao 1 = 1 = 1 1,5 2 1 2 1,5 1

57

Ao da rotao 2 = 1

1 1,5 1 2 2 1,5 1,5 2 1 1,5 Ao do deslocamento linear unitrio 3 = 1 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5 1,5


58


(0,67 - 0,33) + ( 2 + 2 ) l + (1) 2 - 1,5 3 = 0 (0,33 + 0,75 - 0,75) + (1) 1 + ( 2 + 2 + 2 ) 2 + + (1,5 - 1,5) 3 = 0 (-2 + 1,5 + 1,5) - 1,5 1 + (1,5 - 1,5) 2 + + (1,5 + 1,5 + 1,5) 3 = 0

A soluo :

1 = - 0,183 2 = - 0,025 3 = - 0,283


MA = -0,67 + 1 (-0,183) - 1,5 (-0,383) = - 0,43

MB inf = 0,67 + 2 (-0,183) - 1,5 (-0,283) = + 0,72

MB dir = - 0,33 + 2 (-0,183) + 1 (-0, 025) = - 0,72

MD esq = 0,33 + 1 (-0,183) + 2 (-0,025) = + 0,10

MC = - 0,75 + 1 (-0,025) + 1,5 (-0,283) = -1, 2

MD sup = 0,75 + 2 (-0,183) + 1,5 (-0,283) = + 0,28

MD inf = - 0,75 + 2 (-0,183) - 1,5 (-0,283) = - 0,38

ME = 0, 75 + 1 (-0, 025) - 1,5 (-0,283) + 1,15

59

C 1,2 - 0,76 + 0,72 0,72 0,10 0,28 B + D 0,38 + 0,74 + 0,43 1,15 A B



Seja o prtico rotulado sujeito a deslocabilidade linear com os

carregamentos indicados conforme a Figura 3.53.

60

3 kN/m D E 1 m A 5 kN 2 m C

3 m 4 kN/m 6 m 5 m

Figura 3.53 - Prtico rotulado.

a) Formao do sistema principal.

D E A h = 2 C B


61


Haste AD a = 3 E J / L = 3/6 = 0,5

Haste DE a = 3 E J / L = 3/5 = 0,6

Haste DB a = 4 E J / L = 4/6 = 2/3

b = 2 E J / L = 2/6 = 1/3

c = 6 E J / L2 = 6 / 62 = 1/6

Haste EC a = 3 E J / L = 3/3 = 1

c = 3 E J / L2 = 3 / 32 = 1/3

=1 =1 a = 0,6 a = 0,5 A D D E = 1 = 1 = 1 D D E a = 0,667 c = 0,167 b = 0,333 c = 0,167 c = 0,333 B B C

Figura 3.55 - Fatores de forma das hastes.

62


Haste AD MD = + q L2 / 8 = (3) (6)2 / 8 = 13,5

Haste DE MD = - q L2 / 8 = - (3) (5)2 / 8 = - 9,375

Haste DB MD = + q L2 / 30 = + (4) (6)2 / 30 = 4,8

MB = - q L2 /20 = - (4) (6)2 / 20 = - 7,2

RD = q L / 6 = (4) (6) / 6 = 4

RB = q L / 3 = (4) (6) / 3 = 8

RD = - ( 7,2 - 4,8 ) / 6 = - 0,4

RB = + ( 7,2 - 4,8 ) / 6 = + 0,4

Repare que as reaes nos pontos D e B podem ser calculadas de uma

s vez, utilizando-se o formulrio do carregamento triangular para haste

biengastada, ou seja:

RD = 3 / 20 q L = 3,6

RB = 7 /20 q L = 8,4

Haste CE MC = + ( ) ( )( )( )( )( ) 22,23213125bL

L2baP

22 =+=+

RE = ( ) ( )( ) ( )[ ]

( ) =+=+ 3

2

3

2

3213225

L2bL2aP 2,59

RC = ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]

( ) == 3

22

3

22

3213315

L2bL3bP 2,41

63

3 kN/m 3 kN/m 13,5 - 9,375 D D E

A Figura 3.56 - Fatores de carga nas hastes.

Para estas hastes horizontais no so necessrias as reaes

concentradas nos apoios, uma vez que nenhuma deslocabilidade vertical

ocorre.

D 4,0 0,4 3,6 4,8 7,2 8,0 0,4 8,4 4 kN/m E 2,59 5 kN C 2,41

Figura 3.57 - Fatores de carga nas hastes.

64

d) Resumo dos fatores de carga, forma e ao dos hiperestticos no

sistema principal.

Fatores de carga

13,5 9,375 3,6 4,8 2,59 2,41 2,22 7,2 8,4 Ao da rotao 1 = 1 0,5 0,6 0,167 0,67 0,33 0,167

65

Ao do deslocamento linear 2 = 1 = 1 = 1 0,111 0,0556 0,167 0,333 0,111 0,167 0,0556

Figura 3.58 -(a) - Fatores de carga

(b) - Ao da rotao 1 = 1 (c) - Ao do deslocamento 2 = 1 Reaes na haste DB

RD = RB = [ 1/6 + 1/6 ] / 6 = 1/18 = 0,0556

RC = RE = [1/3]/3 = 1/9 = 0,111


(4,8 + 13,5 - 9,375) + (0,5 + 0,6 + 0,667) 1 - 0,167 2 = 0 (2,59 - 3,6) - 0,167 1 + (0,0556 + 0,111) 2 = 0

8,925 + 1,767 l - 0,167 2 = 0 - 1,0 - 0,167 1 + 0;167 2 = 0

66

A soluo :

1 = - 4,95 2 = + 1,10

f) Clculo dos momentos fletores em kN m

MD esq = 13,5 + 0,5 (-4,95) = 11,03

MD dir = - 9,375 + 0,6 (-4,95) = - 12,34

MD inf = 4,8 + 0,667 (-4,95) - 0,167 (1,10) = 1,32

MB = - 7,2 + 0,333 (-4,95) - 0,167 (1,10) = - 9,03

MC = 2,22 - 0,333 (1,10) = 1,86

11,03 12,34 6,17 5,51 1,32 + + 3,21 2,72 7,99 + 1,86 21,49 12,59 9,03


67

3.8 ESTRUTURAS SIMTRICAS E ANTIMTRICAS

comum o tirar o partido da simetria em algumas estruturas

hiperestticas. Basta fazer uma reordenao das cargas e colocar alguns

vnculos fictcios que representem a condio anterior da estrutura antes de

ser desmembrada.

3.8.1 Caso em que o eixo de simetria intercepta um n da estrutura

Seja o prtico da Figura 3.60.

P

C

B D

A E

Figura 3.60 - Prtico com carga.

A carga pode ser transformada em simtrica e antimtrica.

68

P P/2 C

C

B D B D

P/2

A E A E

Carga simtrica. Carga antimtrica.

Figura 3.61 - Desmembramento do carregamento.

a) Estudo do carregamento simtrico

A estrutura simtrica com o carregamento simtrico fica representada

por:

P/2

Figura 3.62 - Estrutura com carga simtrica.

69

Foi escolhido o vnculo fictcio na extremidade C, em virtude de o n C

no sofrer rotao; s deslocamentos verticais.

Na resoluo hiperesttica o sistema principal fica constitudo por:

C

B

A h = 2

Figura 3.63 - Sistema principal.

So necessrios dois vnculos para transformarem esta estrutura em

totalmente indeslocvel.

b) Estudo do carregamento antimtrico

A estrutura simtrica com o carregamento antimtrico fica

representada por:

70

P/2

C

B

A

Figura 3.64 - Estrutura com carregamento antimtrico.

Observa-se que o n C no apresenta deslocamento vertical em

virtude da disposio das cargas, mas um deslocamento horizontal a ser

considerado.

Na resoluo hiperesttica, o sistema principal fica constitudo por:

A

B

h = 2

A


71

So necessrios dois vnculos para transformarem esta estrutura em


3.8.2 Caso em que o eixo de simetria intercepta completamente uma barra da estrutura

Seja o quadro da Figura 3.66.

P

C

B D

A E

Figura 3.66 - Quadro com a carga total.

A carga pode ser transformada em:

72

P/2 P/2

C

B D

A E

Figura 3.67 a Carga simtrica.

P/2

C

B D

P/2

A E

Figura 3.67 b - Carga antimtrica.

73

a) Estudo do carregamento simtrico

A estrutura simtrica com o carregamento simtrico fica

representada pela aquela da Figura 3.68.

P/2 C

B

A

Figura 3.68 - Estrutura com carga simtrica.

No ocorrem rotaes nem deslocamentos verticais no n C.

74

Na resoluo hiperesttica, a o sistema principal fica constitudo por:

C

B

A


Uma chapa no n B necessria para transformar esta estrutura em


75

b) Estudo do carregamento antimtrico

A estrutura com o carregamento antimtrico pode ser representada

pela aquela da Figura 3.70.

P/2 C

B

A

Figura 3.70 - Estrutura com carga antimtrica.

O n C sofre rotaes, mas no pode sofrer deslocamentos verticais.

A nica maneira de representar esta situao manter a barra vertical que

passa pelo n C.

76

Na resoluo hiperesttica, o sistema principal fica constitudo por:

C

B

h = 3

A


3.8.3 Caso de viga contnua em que o eixo de simetria coincide com o apoio e o carregamento simtrico

Seja a viga contnua da Figura 3.72.

P P (kN)

p p (kN/m)

A B C D E

Figura 3.72 - Viga com carga simtrica.

77

Ela pode ser tratada simplesmente como:

P

p

A B C

Figura 3.73a Viga carregada at a metade.

O apoio central, que no sofre rotaes nem deslocamentos verticais,

pode ser assimilado perfeitamente a um engaste, mantendo-se o

carregamento na metade do comprimento total da viga.

Figura 3.73b Viga carregada at a metade.

78

3.8.4 Caso de viga continua em que o eixo de simetria coincide com o apoio e o carregamento totalmente antimtrico


p P

A B C D E

p

P

Figura 3.74 Viga contnua com carga antimtrica.

Ela pode ser tratada simplesmente como a apresentada na Figura

3.75.

p P

A B C

Figura 3.75 Viga carregada at a metade.

Havendo rotaes, mas sem deslocamentos verticais, o apoio central

permanece como uma rtula e os momentos fletores se apresentam

antimtricos de sinais contrrios.

79

3.8.5 Caso de viga continua em que o eixo de simetria corta um vo e o carregamento simtrico


p P P p

Figura 3.76 - Viga com carregamento simtrico.

A soluo feita por inteiro, sem tirar nenhum partido de simetria.

No h como idealizar um apoio fictcio no meio do vo que

represente a ausncia de rotaes e a presena de deslocamento vertical.

Os hiperestticos encontrados nos pontos simtricos so iguais,

porm, de sinais contrrios.

Isto significa dizer que:

1 = - 2

80

Os momentos fletores nos pontos simtricos so iguais e de mesmo

sinal.

A B C D


3.8.6 Caso de viga continua em que o eixo de simetria corta um vo e o carregamento totalmente antimtrico


p P

P p

Figura 3.78 - Viga com carregamento antimtrico.

81

A soluo feita por inteiro, sem tirar partidos de simetria. No h

como idealizar um apoio fictcio no meio do vo que represente a presena

de rotaes e a ausncia de deslocamentos verticais. Os hiperestticos

encontrados nos pontos simtricos so iguais e de mesmo sinal, ou seja:

1 = 2

Os momentos fletores nos pontos simtricos so iguais, mas tm sinais

contrrios.

A B C D


3.8.7 Exemplo de um quadro com hastes de inrcias variveis

Seja o quadro de carregamento assimtrico da Figura 3.80, onde

ocorrem variaes do momento de inrcia em cada haste em dm4.

Uma das hastes ser considerada como sendo a de momento de

inrcia bsico. Os momentos de inrcia das demais sero determinados

em funo deste momento de inrcia bsico onde expresso o

comprimento de haste equivalente l.

82

5 kN/m J = 200 J = 200 G J = 200 H J=200 E A 3 m 8 kN/m 3 kN/m J = 100 J = 100 J = 100 B C D 4 m 8 m 8 m 4 m

Figura 3.80 - Quadro de inrcia varivel ( J EM dm4).

a) Comprimento elstico das hastes.

Ser escolhida como inrcia bsica Jb = 200 m4.

Haste AF = Haste HE L = LJJab =

100200 4,0 = 4,0 m

Haste BF = Haste CG = Haste DH L = 100200 3,0 = 6,0 m

Haste FG = Haste GH L = 200200 8,0 = 8,0 m

Ja = inrcia da haste em anlise

83

b)Clculo dos fatores de forma das hastes

Haste AF = Haste HE a = 3 / L = 3 / 4 = 0,75

Haste BF = Haste CG = Haste DH a = 4 / L = 4 / 6 = 0,667

b = 2 / L = 2 / 6 = 0,333

Haste FG = Haste GH a = 4 / L = 4 / 8 = 0,50

b = 2 / L = 2 / 8 = 0,25

O problema ser dividido em duas grandes partes:

Estudo do carregamento simtrico Estudo do carregamento antimtrico

c) Estudo do carregamento simtrico

5 kN/m F G H E

A

4 kN/m 4 kN/m B C D

Figura 3.81 - Quadro com carregamento simtrico.

84

c1) Formao do sistema principal

O n se comporta como se fosse perfeitamente engastado. Basta

que se analise o quadro simplesmente como o mostrado na Figura

3.82.

F G A B h = 1

Figura 3.82 - Sistema principal

c2) Clculo dos fatores de carga

Haste AF MF = q L2 / 8 = (5) (4)2 / 8 = 10

Haste FG MF = - q L2 / 12 = - (5) (8)2 / 12 = - 26,67

MG = + q L2 / 12 = + (5) (8)2 / 12 = + 26,67

Haste FB MB = - q L2 / 12 = - (4) (3)2 / 12 = - 3

MF = + q L2 / 12 = + (4) (3)2 / 12 = 3

c3) Resumo dos fatores de carga e de forma

10 -26,67 +26,67

F G A +3 a) f. carga B - 3

85

0,75 0,50 0,25 F G A b) f. forma B 0,333

Figura 3.83 - (a) Fatores de carga e (b) Fatores de forma.

c4) Equao de coerncia

(0,50 + 0,667 + 0,75) 1 + (10 + 3 - 26,67) = 0 1 = + 7,131

Para o quadro inteiro, tm-se para os resultados dos hiperestticos:

1 = + 7,131 2 = 0 3 = - 7,131

c5) Clculo dos momentos ( kN m)

MB = - 3 + 0,333 (7,131) = - 0,63

MF esq = 10 + 0,75 (7,131) = 15,35

MF inf = 3 + 0,667 (7,131) = 7,75

MF dir = - 26,67 + 0,50 (7,131) = 23,10

MG esq = 26,67 + 0,25 (7,131) = 28,45

86

28,45 23,10 23,10 15,35 15,35 A F + G + H 7,75 7,75 + + 0,63 0,63 B C D

Figura 3.84 - Momentos fletores.

d) Estudo do carregamento antimtrico F G H

A E 4 kN/m 3 kN/m 4 kN/m B C D

Figura 3.85 - Quadro com carregamento antimtrico.

87

d1) Formao do sistema principal

F G H A E h = 3 B C D

Figura 3.86 Sistema principal.

d2) Resumo dos fatores de carga e de forma Fatores de carga + 3 + 2,25 + 3 - 3 - 2,25 - 3

88

Rotao 1 = 1 0,75 0,50 0,25 0,667 Rotao 2 = 1 0,25 0,50 0,50 0,25 0,667 0,333

89

Rotao 3 = 1

0,25 0,50 0,75 0,667 0,333

Figura 3.87 - Fatores de carga e de forma.

d3) Equao de coerncia

3 + (0,75 + 0,50 + 0,667) 1 + 0,25 2 = 0 2,25 + (0,25) 1 + (0,50 + 0,50 + 0,667) 2 + (0,25) 3 = 0 3 + (0,25) 2 + (0,50 + 0,75 + 0,667) 3 = 0

Resulta em:

1 = 3 = - 1,445 2 = - 0,916

90

d4) Diagrama dos momentos (kN m)

0,95 0,82 1,08

- - - 2,03 1,64 2,03 + + + 1,08 0,82 0,95 + + -

3,48 B 2,55 C 3,48 D

Figura 3.88 - Momentos fletores do carregamento assimtrico

d5) Momentos fletores finais

Os momentos fletores finais resultam do somat6rio dos momentos

fletores do carregamento simtrico junto dos momentos fletores do

carregamento antimtrico.

Quanto aos sinais dos diagramas, observa-se que so

considerados segundo uma nova conveno.

91

No dependem mais do sentido da rotao e nem para que bordo

que esto apontando na seo.

24,05 29,27 22,15 14,27 27,63 16,43 + F + G + H + 9,78 1,64 5,72 + + + 4,11 2,55 2,85 B C D

Figura 3.89 - Momentos fletores finais em kN m.

92

CAPTULO 4

MTODO DE CROSS 4.1 GENERALIDADES

O Mtodo de Cross constitui-se de um algortmo iterativo pertencente ao Mtodo

das Deformaes de muita simplicidade e rapidez para a resoluo de vigas contnuas e

quadros.

Nas vigas contnuas o processo conduz determinao dos momentos fletores

nos apoios e, nos quadros, aos momentos fletores em torno dos ns.

4.2 O COEFICIENTE DE DISTRIBUIO

Quando se aplicado um momento fletor no n de uma estrutura totalmente

indeslocvel, ele se distribui entre as diversas barras que chegam neste n, segundo

parcelas que so proporcionais rigidez de cada barra que tambm chega neste n.

M

k1 k2

Figura 4.1 Distribuio do momento fletor.

A frao do momento que se distribui expressa por:

= i

ik

k (4.1)

e denominada coeficiente de distribuio.

93

No caso de vigas contnuas, ki tomado pelos fatores de forma a ou a que

representam a rigidez da barra dependendo da sua condio de extremidade.

Assim, de acordo com o exemplo de viga contnua de dois vos indicada na figura

abaixo, tm-se os seguintes coeficientes de distribuio:

aAB aBC

A B C

Figura 4.2 - As rigidezes das hastes que chegam ao n.

BA = BCAB

ABaa

a+

(4.2)

BC = BCAB

BCaa

a+

(4.3)

4.3 O FATOR DE TRANSMISSO

Quando surge um momento fletor no apoio de uma viga contnua, este se propaga

aos outros apoio atravs do fator de transmisso definido por:

= ba

(4.4)

onde a e b so os fatores de forma de uma haste biengastada ou seja:

a = L

JE4 (4.5)

b = L

JE2 (4.6)

No caso de vigas contnuas de inrcia constante, este valor de assume sempre o valor 0,5.

94

4.4 O MTODO DE CROSS APLICADO A VIGAS CONTNUAS

Inicialmente so determinados os fatores de forma e os de carga, como no

Mtodo das Deformaes. Os coeficientes de distribuio so colocados em cada

tramo que converge para o n, os fatores de carga so colocados na primeira linha do

algoritmo, respeitando-se a conveno de sinais prescrita no Mtodo das Deformaes.

Escolhe-se qualquer um dos ns para se iniciar o algorltmo iterativo e o processo

termina quando os momentos atingem valores da ordem de 0,01 kN m, onde fechado

pela ltima vez o equilbrio do n.

Os momentos finais so determinados atravs do somat6rio de todos os momentos

encontrados ao longo do algortmo respeitando-se, todavia, os seus sinais.

4.5 EXEMPLOS

4.5.1 Viga Continua VC 1

Seja a viga continua indicada na Figura 4.3 submetida aos seguintes

carregamentos:

1 kN 1 kN

2 kN/m

A C

B D E F

1 m 2 m 4 m 2 m 1 m

Figura 4.3 - Viga contnua com carregamentos.

95

a) Determinao do sistema principal

h = 2



Haste BD a = 3/L = 3/2 = 1,5

Haste DE a = 4/L = 4/4 = 1

b = 2/L = 2/2 = 0,5


Haste BD MD = - (1) (1) (0,5) = - 0,5

MD = 3 / 16 P L = 3/16 (1) (2) = + 0,375

Haste DE MD = - q L2 / 12 = - (2) (4)2 / 12 = - 2,667

ME = + 2,667

Haste EF ME = - q L2 / 15 = - (2) (2)2 / 15 = - 0,533


2 kN / m 2 kN / m

-2,667 +2,667 -0,533

D E E F

Figura 4.5 - Fatores de carga nas hastes DE e EF

96

d) Clculo dos coeficientes de distribuio

DB = 6,015,15,1

aaa

DEDBDB =+=+

DE = 4,015,11

aaa

DEDBDE =+=+

e) Resumo dos fatores de carga

-0,125 -2,667 +2,667 -0,533

Figura 4.6 - Fatores de carga.

f) Algoritmo de Cross

0,6 0,4 0,4 0,6 ______________________________________________________________ -0,125 -2,667 +2,667 -0,533 +1,677 +1,118 +0,559 -0,535 -1,078 -1,617 +0,321 +0,214 +0,107 -0,02 -0,04 -0,06 +0,0012 +0,008 +1,86 -1,86 +2,21 -2,21 g) Momentos fletores finais 1,86 2,21 1,0 - - + 1,97 B D E F

Figura 4.7 - Diagrama de momentos fletores.

97

4.5.2 Viga contnua VC 2

Seja a viga contnua indicada na Figura 4.8.

1 kN 1 kN 3 kN

A E B C D F 1 m 4 m 6 m 3 m


a) Grau de hipergeometria h = 2


Haste BC a = 3/L = 3 / 4 = 0,75

Haste CD a = 4/L = 4 / 6 = 0,67

b = 2/L = 2 / 6 = 0,333

Haste DF a = 3/L = 3 / 3 = 1

c) Determinao dos fatores de carga.

Haste BC MC = - (1) (1) (0,5) = - 0,5

MC = q L2 / 8 = (3) (4)2 /8 = 6

Haste CD MC = - q L2 / 20 = - (3) (6)2 / 20 = - 5,4

MD = + q L2 /30 = + (3) (6)2 / 30 = + 3,6

Haste DF MD = - 3 P L / 16 = - (3) (1) (3) / 16 = - 0,5625

98

d) Clculo dos coeficientes de distribuio

CB = 53,067,075,075,0

aaa

CDCBCB =+=+

CD = 47,067,075,067,0

aaa

CDCBCD =+=+

DC = 40,0167,067,0

aaa

DFDCDC =+=+

DF = 60,0167,01

aaa

DCDFDF =+=+

e) O algoritmo de Cross

0,53 0,47 0,40 0,60 +5,5 - 5,4 + 3,6 - 0,5625 -0,053 - 0,047 ------> - 0,024 - 0,603 < ----- -1,205 -1,808 +0,319 + 0,283 ----- > +0,142 - 0,028 < ------ -0,057 -0,085 +0,015 + 0,013 -------> +0,007 +5,78 - 5,78 -0,003 -0,004 +2,46 -2,46

f) Momentos fletores finais 5,78 1,0 2,46 - - + +

A B C D E F


99

4.5.3 Viga contnua VC 3

Seja a viga contnua ilustrada na Figura 4.10. 5 kN 5 kN 2 kN / m A C F B D E 2 m 8 m 10 m 10 m


a) Grau de hipergeometria h = 2

b) Formao do sistema principal

A F D E B


c) Determinao dos fatores de forma

Haste BD a = 3/L =

sistemas hiperestaticos

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