Sistema Fuzzy tipo 2 para operacao day-trade no mercado forex

Me. Adelino Pinheiro SilvaInstituto de Criminalistica - MG

Secao de Perıcias em Audio e VıdeoBelo Horizonte, Brasil

Email: adelino@cpdee.ufmg.br

Esp. Augusto Sousa da Silva FilhoUniversidade Federal de Minas Gerais - UFMG

Departamento de Engenharia EletricaBelo Horizonte, Brasil

Email: augustofilho@cpdee.ufmg.br

Resumo—Este trabalho tem como objetivo estudar o uso desistemas fuzzy do tipo-2 para auxiliar em operacoes de day-trade, no mercado forex. Inicialmente as series temporais domercado foram estudas com a metodologia classica para pre-visao de series temporais. Os resultados foram discutidos antesda aplicacao de um sistema nebuloso do tipo-2 na tentativare realizar a mesma previsao. Inicialmente sao apresentadosconceitos e caracterısticas do mercado em questao seguido poruma breve introducao teorica sobre sistemas nebulosos do tipo-2 e de analise estatıstica de series temporais. Na sequencia eapresentada a modelagem utilizada para predicao das seriestemporais, tanto na abordagem classica como na abordagemnebulosa, seguido dos resultados de erros avaliados com osvalores reais de mercado.

Keywords-Fuzzy tipo-2, Neuro-Fyzzy, Forex, Series Tempo-rias.

I. INTRODUCAO

O mercado financeiro, dentro de uma conjecturaglobalizada, apresenta um sistema de trocas financeiras entremoedas de diferentes nacoes, este mercado e conhecidocomo Foreign Exchange Market (forex, FX, ou mercado cor-rente). O mercado forex difere em varias caracterısticas dosmercados de acoes e de commodities, o primeiro opera compapeis de varias empreses espalhadas pelo mundo, como GEe Petrobras, o segundo com produtos basicos, como cafe eminerio de ferro, pois o mercado forex opera com as taxascambiais de moedas. Alem desta diferenca basica, o mercadoopera com grande velocidade, volumes e liquidez elevados.Segundo relatorio do Bank for International Settlements [2],em abril de 2010, o volume de negocios medio diario nosmercados cambiais globais foi estimado em 3,98 trilhoesdolares, o que equivale a mais de quinhentas vezes o recordediario da bovespa de 7,082 bilhoes de 12 de maio de 2010.

Com base nestes numeros este trabalho busca aplicartecnicas de sistemas nebulosos para estimativa de valoresfuturos no sistema forex. Primeiramente o desafio esta nocomportamento nao parametrico e completamente varianteno tempo deste mercado; e sequencialmente na abordagem,de forma que para o mercado forex um valor futuro encontra-se no intervalo entre um a trinta minutos do valor atual.

Inicialmente este texto expoe alguns conceitos basicos dos

mercados de valores, mais especificamente as particulari-dades do mercado em foco. Na sequencia realiza-se umarevisao conceitual de sistemas fuzzy do tipo-2, seguida pelamodelagem efetuada e terminando com a apresentacao dosresultados.

II. CONCEITUACAO

A. Mercado Forex

Analise grafica e uma tecnica utilizada por ope-radores do mercado financeiro para tentar prever o seucomportamento . Este tipo de analise visa simplificar osmodelos de fora a interpretar as informacoes presentes nosvalores de mercado que se alteram temporalmente com muitavelocidade. Desta forma o tempo e dividido em perıodosde observacao, que podem variar de minutos ate horas.Para cada perıodo sao observador 5 grandezas, os precode abertura e fechamento do perıodo, os precos maximose mınimos atingidos no perıodo e o volume de negociacoes.Existem basicamente duas formas de representar os quatroprecos do perıodo, na forma de barras ou velas (candlestick).Tanto nas barras como nos candlesticks as linhas verticaisrepresentam a extensao entre os precos maximos e mınimos,nas barras a linhas horizontais representam a esquerda opreco de abertura e a direita o preco de fechamento. Nocandlestick nao preenchido, a base e o topo do retangulorepresentam respectivamente o preco de abertura e de fe-chamento; o analogo para o candlestick preenchido [16].

Figura 1. Representacao de Candlesticks utilizados para mercados devalores.

O mercado forex e um mercado internacional de divisas,e esta associado ao cambio de moedas [2], neste mercado ooperador trabalho com uma taxa de relacao entre duas moe-das, sendo possıvel lucrar com a valorizacao/desvalorizacaode qualquer uma delas. Como ferramenta auxiliar foramdesenvolvidas diversas tecnicas de analise grafica dos valoresdo mercado [16], que nao fazem parte do escopo deste texto,entretanto tais tecnicas variam desde o reconhecimento depadroes graficos ate a utilizacao de medias na construcaode indicadores [16]. Um exemplo aplicado neste texto e opapel que indexa a variacao entre a libra esterlina (GreatBritain Pound) e o dolar americano (United States Dollar)representado por GBPUSD em um perıodo de 5 minutos.

Figura 2. Exemplo da representacao de precos do mercado forex. PapelGBPUSD

Basicamente, as operacoes no mercado forex definem-seem alguns conceitos basicos abaixo relacionados:• Day-trade (negociacao do dia) - forma de negociacao

no mercado de valores com o objetivo de ganhar coma oscilacao do preco ao longo do dia.

• Preco de venda (Ask) - valor pelo qual um papel ecomprado no mercado.

• Preco de compra (Bid) - valor pelo qual um papel evendido no mercado.

• Spread - Diferenca entre os precos de compra e devenda, e um valor estipulado pela corretora. Boascorretoras possuem baixos spreads.

• Ponto (Point) - valor fracionario da taxa entre as medas.E a referencia de ganho e perda do operador.

• Ordem de Compra (Buy Order) - Ordem que efetuacompra do papel, esta ordem e lucrativa quando o precoaumenta.

• Ordem de Venda(Sell Order) - Ordem que efetua vendado papel, esta ordem e lucrativa quando o preco dimi-nui.

• Ordem de Hedge (Barreira) - Ordem simetrica a umaordem corrente que tem como objetivo manter a perdaconstante com a variacao do preco.

• Take profit (Ganho Maximo) - limite de ganho de umaordem (em pontos), ao atingir o valor de ganho maximoa ordem e executada com o lucro corrente.

• Stop loss (Perda Maxima) - limite de perda de umaordem (em pontos), ao atingir o valor de ganho maximoa ordem e executada com o prejuizo corrente.

• Volume (Lots) - Volume do papel comprado/vendidopara a ordem. O lucro/prejuızo do operador e dire-tamente proporcional o produto entre o volume e avariacao de pontos entre a entrada da ordem e suaexecucao.

B. Sistema Nebulosos do Tipo-2

Os sistemas nebulosos do tipo-1 foram inicialmente pro-postos por Zadeh [7] em 1965, e a teoria foi utilizadacom sucesso em diferentes aplicacoes. Diferentemente dosconjuntos euclidianos, nos conjuntos nebulosos (ou fuzzy) oselementos estao incluıdos em um conjuntos de acordo comum grau de pertinencia, sendo que para conjuntos contınuoso grau de pertinencia pode ser representado por uma funcaode pertinencia (FP ou MF- membership function). Nos con-juntos nebulosos do tipo-1, o grau de pertinencia resultantede funcoes de pertinencia e um valor unico, como o sistemanebuloso X, apresentado a figura 3, o grau de pertinenciado valor 3, 2 e 0, 75, x = 0, 75/2, 3.

Figura 3. Funcao de pertinencia de um conjunto fuzzy tipo-1.

A extensao apresentada pelos sistemas nebulosos do tipo-2 (IT2 FS - Interval Type-2 Fuzzy Set) esta no grau depertinencia, que e estendido de um valor unico para umafuncao de pertinencia, desta forma o grau de pertinenciade um elemento do conjunto possui uma nova funcao depertinencia. Um exemplo de uma funcao de pertinencia dode um sistema nebuloso tipo-2, X , e apresentado na figura4 em tres dimensoes. Fica claro que diferentemente dossistemas nebulosos do tipo-1 o valor de pertinencia e agoraum intervalo [0,25, 0,85]. Representando o sistema em duascoordenadas (figura 5), observa-se tambem que o sistemanebuloso do tipo-2 possui em suas fronteiras suas funcoesde pertinencia do tipo-1, neste caso X , e X sao chamadasde funcao de pertinencia superior (FPS ou UMF - uppermember function) e funcao de pertinencia inferior (FPI ouLMF -lower member function), A area entre as duas funcoesde pertinencia e chamada de mancha de incerteza [12] (MIou FOU- footprint of iuncertainty).

Figura 4. Vista tridimensional de um funcao de pertinencia de um conjuntofuzzy tipo-2.

Figura 5. Vista bidimensional de uma funcao de pertinencia de umconjunto fuzzy tipo-2.

Um sistema nebuloso do tipo-2 e semelhante ao seuequivalente do tipo-1, com a adicao de um redutor detipo, que converte o conjunto nebuloso do tipo-2 em umconjunto nebuloso do tipo-1, como apresentado no diagramaesquematico da figura 6.

Figura 6. Sistema de inferencia nebulosa do tipo-2

Na pratica o sistema pode ser significativamente simpli-ficado, considerando um sistema nebuloso do tipo-2 queconsiste em um vetor de entrada x = x1, ..., x1

′, sendo quecada entrada e dividida em N regras nebulosas de entradada forma:

Rn : SE x1 e Xn1 e . . . e xI e Xn

I ,

ENTAO yn = q + p1 · x1 + . . . + pI ·xI n = 1, 2, ..., N

Onde Xni (para i = 1,...,I) e um conjunto nebuloso do tipo-

2 e yn e a saıda do n-esima regra SE-ENTAO, como umvalor unico. Essas regras apresentamos valores de incertezaocorrem nos antecedentes.

Desta forma, adotanto como entrada o vetor x =x1, x2, ..., xI computa-se a funcao membro de x para cadaXn

i da forma µX(x) = [µX(x), µX(x)] e o intervalo de n-esima regra Fn(x) da forma:

Fn(x) =

[I∏

i=1

µXni(x),

I∏

i=1

µXni(x)

](1)

Fn(x) = [fn, fn], n = 1...N (2)

Para esta aplicacao foi utilizado o operador de produtopara o calculo da T-norma. Dentro das formas de combinasFn(x) a utilizada no modelo de TSK (Takagi-Sugeno-Kang)tambem e denominada de centro do conjunto (CC ou COS- Center of Set) [7].

Ycc(x) =⋃

fn∈F n(x)yn∈Y n

∑Nn=1 fnyn

∑Nn=1 fn

= [yl, yr] (3)

A saıda desfuzzificada pode ser calculada como a mediaaritmetica entre as saidas [yl, yr]:

y =yl + yr

2(4)

C. Modelagem estatıstica de series temporais

Em linhas gerais, ha quatro abordagens da previsaoeconomica baseada em dados de series temporais: (1) mode-los de regressao de equacao unica; (2) modelos de regressaode equacao simultaneas; (3) modelos auto-regressivos inte-grados de media movel (ARIMA); e (4) modelos de auto-regressao vetorial (VAR).

A publicacao por G.E.P. Box e G.M.Jenkins de TimeSeries Analysis: Forecasting and Control, abriu caminhopara uma nova geracao de ferramentas para previsao. Conhe-cida como metodologia de Box-Jenkins, mas tecnicamenteconhecida como metodologia ARIMA, a enfase desses no-vos metodos de previsao nao esta em construir modelosde equacao unica ou de equacoes simultaneas, mas emanalisar as propriedades probabilısticas de series temporaiseconomicas. Ao contrario dos modelos de regressao, nosquais Yt e explicado por k regressores X1, X2, X3, . . . , Xk,nos modelos de serie temporal do tipo Box-Jenkins, Yt

pode ser explicado por valores passados (ou defasados) doproprio Y e dos termos de erro estocasticos. Por esta razao,os modelos ARIMA sao chamados as vezes de modelosateoricos, pois nao podem ser derivados de nenhuma teoria

economica - e teorias economicas sao frequentemente a basede modelos de equacoes simultaneas.

1) Estacionaridade: O conceito de estacionaridade e aprincipal ideia que se deve ter pra estimar uma serie tem-poral. Segundo [3], e fundamental a constatacao de estaci-onaridade que permitira proceder a inferencias estatısticassobre os parametros estimados como base na realizacaode um processo estocastico. Se nem a esperanca nem aautocovariancia dependem do tempo, entao yt e fracamenteestacionario.1

O processo estocastico, ou a serie temporal, {yt, t ∈Z},Z = {0,±1,±2, . . .} e fracamente estacionario se:

(a) E|yt|2 < ∞;(b) E(yt) = µ, para todo t ∈ Z , e(c) E(yt − µ)(yt−j − µ) = γj .

2) Ruıdo Branco: Um processo fundamental das seriestemporais estocasticas discretas e o ruıdo branco. Se-gundo [3], uma sequencia {εt} e um ruıdo branco se cadavalor nela tiver media zero, variancia constante e nao forcorrelacionada com qualquer realizacao da propria serie.

O processo sera um ruıdo branco se:(a) E(εt) = 0; ∀t(b) E(ε2

t ) = σ2; ∀t(c) E(εtεt−j) = 0; todo j 6= 0.

Desta forma, diz-se que o processo e um ruıdo branco,cuja representacao e RB(0, σ2).

3) Modelo de Medias Moveis - MA(q): No processo demedias moveis de ordem q cada observacao de yt e geradapor uma media ponderada de perturbacoes aleatorias que vaopara tras q perıodos. Esse processo e denotado como MA(q)e e escrito da seguinte forma:

yt = µ + εt − θ1εt−1 − θ2εt−2 − . . .− θqεt−q (5)

onde os εi sao erros aleatorio nao correlacionados, nao ob-servaveis, com media zero e variancia constante σ2

e . As cons-tantes µ, θ1, θ2, . . . , θq sao constantes desconhecidas quepodem assumir valores positivos ou negativos. No modelode media movel devemos considerar que as perturbacoesaleatorias sejam distribuıdas independentemente ao longodo tempo, isto quer dizer que deveremos trabalhar com umprocesso de ruıdo branco.

1O conceito de estacionaridade fraca tambem e conhecido como estaci-onaridade, covariancia estacionaria, estacionaridade lato sensu ou estacio-naridade de segunda ordem.

4) Processo Auto-Regressivo - AR(p): Considerando queεt e um processo puramente aleatorio com media zero evariancia σ2, entao, o processo Yt dado por:

Yt = α1Xt−1 + α2Xt−2 + . . . + αrXt−r + δ + εt (6)

e chamado de processo auto-regressivo de ordem p e edenotado por AR(p). Como a expressao acima e parecidacom uma equacao de regressao multipla, ela e chamada de“regressiva”. Contudo, ela e uma regressao de Yt em seusvalores passados. Portanto, ela e auto-regressiva.

No processo auto-regressivo de ordem p a observacao cor-rente yt e gerada por uma media ponderada de observacoespassadas que recua p perıodos, junto com uma perturbacaoaleatoria no perıodo corrente. Na equacao (6), δ e um termoconstante que se relaciona a media do processo estocastico.

Como o processo auto-regressivo deve ser estacionario, asua media, µ, devera ser invariavel em relacao ao tempo; istoe, E(y) = E(yt−1) = E(yt−2) = . . . = µ. Desta forma, µ,deve ser dada por:

µ =δ

1− φ1 + φ2 − . . .− φp(7)

A equacao (7), para a media do processo, nos da a condicaopara que o processo seja estacionario. Se o processo eestacionario, a media µ tem de ser finita. Se isso nao seobservasse, o processo se afastaria aleatoriamente para cadavez mais longe de qualquer ponto de referencia fixo e naopoderia ser estacionario.

5) Modelo Misto Auto-Regressivo e de Medias Moveis -ARMA(p,q): Muitos processos aleatorio estacionarios naopodem ser modelados puramente como medias moveis oupuramente como auto-regressivos, pois possuem qualidadesde ambos os tipos de processo. A extensao logica dos mo-delos apresentados anteriormente e o processo misto auto-regressivo e de medias moveis de ordem(p,q). Denotaremosesse processo como ARMA(p,q) e ele e representado por:

yt = φ1yt−1 + . . .+φpyt−p +δ+εt−θ1εt−1− . . .−θqεt−q

(8)

Pressupomos que esse processo e estacionario, e assimsua media e constante ao longo do tempo e e dada por:

µ =δ

1− φ1 − . . .− φp(9)

Isso nos da a condicao necessaria para que o processoseja estacionario, isto e,

φ1 + φ2 + . . . + φp < 1 (10)

III. MODELAGEM VIA BOX-JENKINS

A. Analise Estatıstica de Series Forex

O grafico abaixo mostra o comportamento da serie fecha-mento.

Figura 7. Visualizacao da serie inicial

Para utilizarmos a metodologia de Box-Jenkins, de-veremos usar uma serie estacionaria. Logo, a serie acima foidiferenciada uma vez e o teste Aumentado de Dickey-Fuller,foi usado para mostrar que a nova serie obtida pode podeser considerada estacionaria.

{H0 : Nao estacionaridade;H1 : Estacionaridade.

O teste de Dickey-Fuller, e dado a seguir:

Augmented Dickey-Fuller Test

data: a Dickey-Fuller = -13.0227,Lag order = 12 p-value = 0.01alternative hypothesis: stationary

Logo, como o p-valor associado ao Teste Aumentado deDickey-Fuller foi de 0,01, isto nos fornece evidencias amos-trais suficientes para rejeitarmos a hipotese nula ao nıvel de5% de significancia, ou seja, a serie pode ser consideradaestacionaria.

O grafico para a serie estacionaria com uma diferenciacaoe mostrado a seguir.

Os graficos da funcao de autocorrelacao e da funcaode autocorrelacao parcial serao usados para determinarmosas defasagens dos modelos MA(q) e AR(p), respecti-vamente. Logo, atraves da analise do grafico da funcaode autocorrelacao e da funcao de autocorrelacao parcial,poderemos trabalhar com um modelo AR(1) e MA(1). O

0 500 1000 1500 2000

−0.

004

−0.

002

0.00

00.

002

0.00

4

Gráfico para o fechamento com d=1

Observações

dife

renc

iaçã

o

Figura 8. Grafico da serie original com uma diferenciacao

0 5 10 15 20

0.0

0.6

Lag

Aut

ocor

rela

ção

FAC para d=1

5 10 15 20

−0.

060.

00

Lag

Aut

ocor

rela

ção

Par

cial

FACP para d=1

Figura 9. Correlogramas para d=1

modelo do processo auto-regressivo de ordem 1 - AR(1), edado a seguir:

yt = −0, 0581577yt−1 + εt (11)

Apos a obtencao do modelo, o passo natural e a previsaocom o modelo obtido. No entanto, deveremos primeiramenteefetuar o estudo do εt e testar se o mesmo e um ruıdo branco.

O outro modelo obtido e MA(1), descrito a seguir:

yt = −0, 0000244 + 0, 0626691εt−1 + εt (12)

Em que εt deve ser um ruıdo branco.

B. Teste de Normalidade dos Resıduos

Uma maneira de testar a serie e verificando se, alem deruıdo branco, os resıduos sao normalmente distribuıdos. Parase testar a normalidade dos resıduos um dos testes utilizadose o Teste de Anderson Darlin para verificarmos a adequacaodos resıduos para o modelo AR(1).

A estatıstica de Anderson-Darling mede quao bem osdados seguem uma distribuicao particular. Quanto melhor adistribuicao se ajustar aos seus dados, menor esta estatısticasera. Dada a hipotese abaixo:

{H0 : Distribuicao Normal;H1 : Outra distribuicao.

No modelo AR(1), a Estatıstica de Anderson Darling foide AD = 11, 072 e um p-value=< 0, 005 para testar se osdados sao provenientes da distribuicao normal. Como o p-valor e menor do que o valor alfa escolhido (5%), entaorejeitaremos a hipotese nula, ou seja, os dados nao saoprovenientes de uma distribuicao normal, desta forma, naopoderemos utilizar o modelo para realizar previsoes, vistoque o mesmo nao se mostrou um ruıdo branco.

Figura 10. Grafico de Probabilidade Normal - Resıduos

C. Teste de Breusch-Pagan

O teste de Breusch-Pagan detecta a presenca de Homo-cedasticidade nos resıduos, logo temos:

{H0 : σ2

i = σ2

H1 : σ2i 6= σ2

Onde temos as seguintes estatısticas de teste de Breusch-Pagan:

BP = 1.8156, df = 1, p− value = 0.1778

Logo como o p-valor acima e maior do que 5% naopossuımos evidencias amostrais para rejeitarmos a hipotesenula, ou seja, os resıduos sao constantes.

Figura 11. Valores previsto versus Resıuos

Ressalta-se, entretanto, que tal teste nao e muito poderosoe pode levar a nao rejeicao da hipotese de homocedasticidadequando, na verdade, ha heterocedasticidade.

D. Teste de Autocorrelacao nos resıduos

Se houver independencia, a magnitude de um resıduo naoinfluencia a magnitude do resıduo seguinte. Neste caso, acorrelacao entre resıduos sucessivos e nula (ρ = 0). Ashipoteses do teste, para aferir se a relacao entre dois resıduosconsecutivos e estatisticamente significativa, e dada a seguir:

{H0 : ρ = 0 (Existe independencia)H1 : ρ 6= 0 (Existe dependencia).

O teste utilizado sera o de Durbin-Watson:

DW = 1.9721, p− value = 0.387

A estatıstica de Durbin-Watson foi igual a 2.003 e o p-valor e 0.5276. Logo nao rejeitamos a hipotese nula ao nıvelde 5% de significancia, indicando que existe independencianos resıduos, o que e visto na figura 13.

Figura 12. Grafico de independencia nos Resıduos

Logo, foi possıvel observar que os resıduos para o modeloAR(1) nao se comporta como um ruıdo branco, nao sendopossıvel realizarmos previsoes para a serie fechamento,utilizando este modelo.

Para a o modelo de MA(1), veremos o grafico dos seusresıduos e uma tabela com os valores das estatıstica de testese os seus respectivos p-valores.

Figura 13. Graficos de Resıduos para MA(1)

Teste Estatıstica P-valorAnderson-Darling 11,122 < 0, 005

Breush-Pagan 1,7599 0,1846Durbin-Watson 1,9985 0,4865

Logo, assim como o modelo AR(1), o modelo MA(1),nao possuem resıduos considerados como um ruıdo branco.Desta forma, nao poderemos proceder as previsoes com osmodelos obtidos para a serie fechamento, o que poderia tersido visto tambem pelo grafico da funcao de autocorrelacaoe funcao de autocorrelacao parcial para os resıduos, quemostra LAG, fora do intervalo de confianca ao nıvel de 95%.

Figura 14. FACP dos Resıduos da AR(1)

Figura 15. FACP dos Resıduos da MA(1)

E. Sistemas Nebulosos para Predicao de Series Temporais

Varios trabalhos [17] ja demonstraram a compatibi-lidade dos sistemas nebulosos para modelagem de equacoeslineares e nao lineares incluindo sistemas caoticos. Basica-mente a utilizacao de sistemas neuro-fuzzy para predicao deseries temporais esta na utilizacao de valores passados paraa predicao de um valor futuro. No caso de series temporaisdiscretas, pode-se definir os parametros como o numerode entradas passadas, o numero de perıodos adiantes quedeseja-se prever, e o espacamento entre as entradas passadas.Sobre o espacamento entre as entradas passadas pode-seescolher um espacamento homogeneo ou nao [17].

Desta forma tem-se: o valor de entrada futura n+P, onde ne o valor atual da amostra e P o numero de amostras adianteque se deseja prever; e D o vetor de espacamentos para asentradas passadas. Por exemplo para D = [0,1,2,3,5,8]’ e P=1 temos o vetor x de entrada e y de saıda como sendo:

x = [x(n−8), x(n−5), x(n−3), x(n−2), x(n−1), x(n)]′

y = x(n + 1)

A topologia do tipo TSK (Takagi-Sugeno-Kang) para umsistema neuro-fuzzy do tipo-2 ter-se-ia topologia da figura14. Onde µ e o mecanismo de fuzzificacao das variaveisde entrada, resultando em nos limites F i(n) que combinadocom yi do modelo de TSK. R representa o redutor de tipo.

F. Modelo para as Series Forex

Como apresentado anteriormente existem variosparametros para se operar no mercado de valores, sendoque para cada perıodo pode-se contar com cinco variaveis(precos de abertura, maximo, mınimo e fechamento e vo-lume) mais uma gama de indicadores de mercado. Entre-tanto, como o objetivo deste trabalho e a realizacao doday-trade faz-se necessario encontrar os pre-perıodos de

Figura 16. Diagrama do neuronio fuzzy modelo de TSK do tipo-2.

tendencia e realizar os lucros o maior numero de vezes aodia sem permanecer com nenhum papel, principalmente paranao sofrer as oscilacoes indesejadas de precos.

Com base nisto o presente trabalho propoe um modelonebuloso do tipo-2 para prever o preco de fechamento deum perıodo a frente utilizando os valores de precos passadose mais dois indicadores, o ındice de forca relativa (IFR RSI- Relative Strengh Index) calculado para 14 perıodos, asdiferencas entre duas medias moveis simples, uma rapida dedez perıodos e uma lenta de cinquenta perıodos. Para cadavariavel sera agrupada com tres valores passados homoge-neamente espacados de dois perıodos, sendo que o vetorfinal de entrada possuira dezoito posicoes. O intervalo deentrada foi dividido em tres conjuntos nebuloso do tipo-2,modelados por funcao membro gaussiana de largura variavel(figura 15), igualmente espacadas.

s

s

Figura 17. Exemplo de funcao de pertinencia gaussiana com largura σvariavel.

Tal funcao membro pode ser interpretada como acomposicao de funcoes gaussianas de centro c e largura entreσ1 e σ2. O motivo da escolha desta funcao foi a facilidadede diferencia-la em toda sua extensao, o que permite autilizacao do metodo do gradiente para o treinamento. Osparametros de TSK de yn = q + p1 · x1+. . . + pI ·xI foramcalculados por regressao linear multipla.

IV. RESULTADOS

O modelo anteriormente sugerido foi avaliado emseis papeis diferentes, sendo eles o EURCFH (Euro vs SwissFranc), EURNZD (Euro vs Neo Zelland Dollar), EURUSD(Euro vs US Dollar), GBPUSD (Great Britain Pound vs UDDollar) e USDTRY (US Dollar vs Turkish Lira). O perıodode precos adotado foi de cinco minutos,com um total de2048 amostras por papel, coletados por volta das 16 horas(GMT) em quinze de novembro do ano de dois mil e oito.

Para um determinado perıodo o modelo era treinado bus-cando minimizar o erro quadratico medio para prever o precode fechamento de um perıodo a frente. Para cada perıodotreinado o modelo foi avaliado por um intervalo de duracaoe para cada intervalo foram calculados o erro quadraticomedio (EQM ou MSE - Mean Square Error), o desvioabsoluto medio (DAM ou MAD - Mean Absolute Deviation)e o erro percentual absoluto medio (EPAM ou MAPE -Mean Absolute Percentage Error). Apos a avaliacao de umtreinamento o modelo foi treinado novamente cinquentaamostras a frente para avaliar a durabilidade do modelo paravarios treinamentos diante da variacao dos precos.

Como a referencia para os papeis e uma grandeza denomi-nada ponto, ou dıgitos, e a variacao de pontos que reflete olucro ou prejuızo do operador. Para os papeis selecionadoso valor do ponto e 10−4. Desta forma e desejavel que oresultado do modelo desvie em poucos pontos do valoresperado.

O sistema foi avaliado entao para avaliar a dispersao emrelacao a duracao do modelo, para 3, 5, 6, 12, 18, 20, 24e 30 perıodos por um intervalo de 1300 perıodos espacadosde 50 no total de 26 treinamentos. Para cada perıodo foramcalculados os valores do MAPE, MAD e MSD. Os valoresmedios e o desvio padrao dos erros foram calculados paracada um dos papeis em estudo. A figura 16 apresenta osgraficos com os valores encontrados, exceto para o USDJPY,pois como o ponto possui um valor diferente (10−2 conta10−4 dos demais) os valores apresentam-se fora da escalade comparacao.

Quanto aos resultados primeiramente e notorio que asmedias dos treze experimentos nao sao representativasquanto a uma tendencia central, pois o desvio padrao possuivalores da mesma ordem de grandeza da media. Entretantoos valores de erro apresentados sao muito pequenos, mesmoapresentando tamanha dispersao em torno da media, excetopara EURNZD, que apresentou os maiores resultados de erroe dispersao.

Para ilustrar como os valores previstos se dispersao afigura 17 apresenta as sequencias de previsao do EURUSDem 6, 18 e 30 perıodos. O desempenho do sistema nebuloso

Figura 18. Diagrama de barras com os valores de erro medio e desvio padrao.

Figura 19. Exemplo do resultado da estimacao de precos para EURUSD.

foi satisfatorio, considerando a natureza da serie e que seuerro de previsao excursiona-se por um limite menor que10 pontos, entretanto, como as previsoes sao para poucosminutos as variacoes mais abruptas ainda sao bastante im-previsıveis com base apenas no modelo adotado.

V. CONCLUSAO

Primeiramente, uma proposta de continuidade seriaavaliar a utilizacao do modelo agregando diferentes indi-cadores ao vetor de entrada como indicador de tendenciaMACD (Moving Averenge Convergence Divergence), indi-

cador de momento estocastico, indicador de volatilidade deBollinger ou o ındice de acumulacao/distribuicao de volume.

Complementarmente, o modelo de mercado baseado emlogica nebulosa apresentou um bom desempenho com valo-res de erro pequeno e com capacidadede seguir a tendenciaque o mercado apresenta, entretanto, mesmo com todo traba-lho estatıstico realizado, o modelo apresentado no presentetrabalho nao e definitivo, frente aos seguintes motivos: Omodelo ainda paresenta um desempenho ruim para variacoesbruscas no mercado e seu custo computacional ainda eelevado; e por tratr de um sistema nao parametrico e

variante no tempo, um conjunto de especialistas, incluindoum sistema nebuloso, seria mais apropriado para operarautomaticamente em day-trade.

REFERENCIAS

[1] Aguirre, L.A. Introducao a Identificacao de Sistemas -Tecnicas Lineares e Nao-Lineares Aplicadas a Sistemas Re-ais. Belo Horizonte: Editora UFMG, 2007.

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