Sistema Efluente de DespoluiçãoIntrodução

Muitas indústrias descartam resíduos em rios e lagos, podendo danificar o ambiente e

prejudicar populações humanas. Geralmente, a poluição pode ser reduzida a limites toleráveis

pela utilização de um sistema efluente no qual os resíduos são tratados antes de serem lança-

dos no meio ambiente; em alguns casos, esse tratamento pode ser realizado pela ação de

organismos específicos que degradam ou digerem os resíduos. Para que o sistema efluente

funcione, é necessário controlar adequadamente o fluxo de resíduos e a população de organis-

mos.

Uma modelagem matemática de um sistema efluente para tratamento de um poluente

por uma população de organismos pode ser formulada com as seguintes hipóteses:

O sistema efluente consiste de um único tanque com volume V possuindo uma entrada para

água poluída e uma saída para a água tratada -- denote por k a concentração de poluente na

água que entra no tanque e por Q o fluxo de água que entra e que sai do tanque;

A concentração de poluente c(t) e a concentração de organismos b(t) no tanque são uni-

formes (mediante dispositivos que misturam continuamente o conteúdo do tanque);

A taxa de degradação/digestão do poluente pela população de organismos é diretamente

proporcional a concentração dos organismos e a quantidade de poluente -- denote por r1 o

coeficiente dessa proporção;

A taxa de reprodução dos organismos é diretamente proporcional a concentração do poluente

e a quantidade de organismos -- denote por r2 o coeficiente dessa proporção;

Os organismos morrem numa taxa constante d.

Dessas hipóteses podemos deduzir o seguinte sistema de equações para a dinâmica das concen-

trações de poluente e população de organismos:

Na sequência, analisamos alguns aspectos das soluções desse sistema dinâmico.

Análise Matemática

Parâmetros

In[1]:= V = 10

Q = 1

k = 0.5

d = 0.1

r1 = 1

r2 = 2

Out[1]= 10

Out[2]= 1

Out[3]= 0.5

Out[4]= 0.1

Out[5]= 1

Out[6]= 2

Estado estacionário

In[7]:= Syse = 8Hk - c1L * Q � V - r1 * c1 * b1 � 0 && Hr2 * c1 - d - Q � VL * b1 � 0<Solve@Syse, 8c1, b1<D

Out[7]= :1

10

H0.5 - c1L - b1 c1 � 0 && b1 H-0.2 + 2 c1L � 0>

Solve::ratnz : Solve was unable to solve the system with inexact coefficients. The

answer was obtained by solving a corresponding exact system and numericizing the result. �

Out[8]= 88c1 ® 0.1, b1 ® 0.4<, 8c1 ® 0.5, b1 ® 0.<<

In[9]:= c1 = HQ + d * VL � Hr2 * VLb1 = Hk * Q * V * r2 - d * Q * V - Q^2L � Hr1 * V * HQ + d * VLL

Out[9]= 0.1

Out[10]= 0.4

Sistema Dinâmico com condição inicial dada

In[11]:= Sysd = 8c'@tD � Hk - c@tDL * Q � V - r1 * c@tD * b@tD,

b'@tD � Hr2 * c@tD - d - Q � VL * b@tD, c@0D � k, b@0D � b1 � 10<

Out[11]= :c¢@tD �

1

10

H0.5 - c@tDL - b@tD c@tD,

b¢@tD � b@tD H-0.2 + 2 c@tDL, c@0D � 0.5, b@0D � 0.04>

2 model_modelo-efluente.nb

Solução

In[12]:= DSolve@Sysd, 8c@tD, b@tD<, tDOut[12]= $Aborted

In[13]:= NDSolve@Sysd, 8c@tD, b@tD<, 8t, 0, 10<DOut[13]= 88c@tD ® InterpolatingFunction@880., 10.<<, <>D@tD,

b@tD ® InterpolatingFunction@880., 10.<<, <>D@tD<<

In[20]:= Plot@8c@tD, b@tD, c1, b1<, 8t, 0, 10<, AxesOrigin ® 80, 0<D

Out[20]=

2 4 6 8 10

0.1

0.2

0.3

0.4

model_modelo-efluente.nb 3