simulação eficiente de fluidos no espaço paramétrico de malhas estruturadas tridimensionais...

Simulação eficiente de fluidos no espaço paramétrico de malhas estruturadas tridimensionaisAluno: Vitor Barata R. B. Barroso ([email protected])

Orientador: Waldemar Celes ([email protected])

Tese de Doutorado

Motivação Exemplos de fluidos

Correntes de rios Ondas do mar Fumaça de uma chaminé ou cigarro Vapor quente de um bule ou motor

Estudos importantes envolvendo fluidos Vento passando pelas asas e turbinas de um avião Formação e evolução de tempestades e furacões Fluxo de sangue por veias e artérias Transporte de água e óleo em dutos

Introdução Simulação de fluidos

Métodos Lagrangianos: representam o fluido com partículas (ex.: SPH) Métodos Eulerianos: subdividem o espaço em voxels

Descrição euleriana de um fluido em uma grade regular Campos de valores escalares e vetoriais amostrados no centro de cada célula (i,j,k) da

grade Posição: x = [x y z]T

Velocidade: u = [u v w]T

Pressão: q Propriedades intrínsecas constantes

Massa específica: Viscosidade cinemática: Temperatura: T

Objetivo: integrar os campos de propriedades para descrever sua variação no tempo

x(i,j,k)

y

x

Fronteiras Curvas Grade regular

Marcação de células exteriores Tratamento diferenciado de células de fronteira

Grade em multirresolução Captura melhor a forma Não evita artefatos associados a degraus

Malha simplicial Requer informação topológica Maior custo computacional

Grade curvilínea paramétrica estruturada Simples e rápido Não requer topologia Evita artefatos

Proposta Idéia básica: explorar o conceito de malhas curvilíneas de CFD

Mapear a grade física curvilínea do espaço do mundo para uma grade computacional uniforme no espaço paramétrico

Realizar a integração eficientemente no espaço paramétrico

Vantagens: Evitar a necessidade de armazenar dados para toda a caixa envolvente do domínio Considerar paredes e obstáculos curvos de maneira natural, sem a necessidade de se

refinar a grade ou de se lidar com casos especiais próximo às fronteiras

Proposta

Foco: Gerar boas aproximações para aplicações interativas e de visualização científica

Estratégia: Começar com o algoritmo Stable Fluids clássico [Stam99]

Realizar adaptações para levar em conta métricas e Jacobianos, além do esquema de amostragem deslocada

Incorporar gradativamente técnicas avançadas mais recentes conforme o necessário, sempre verificando as adaptações necessárias para a sua implementação no espaço paramétrico

Transformação de Coordenadas Regra da Cadeia para gradientes de campos escalares

Notação Matricial

Jacobiano

pzpypxp

tztytxt

szsysxs

zfyfxff

zfyfxff

zfyfxff

zpztzsz

ypytysy

xpxtxsx

pftfsff

pftfsff

pftfsff

z

y

x

ppp

ttt

sss

p

t

s

f

f

f

zyx

zyx

zyx

f

f

f

p

t

s

zzz

yyy

xxx

z

y

x

f

f

f

pts

pts

pts

f

f

f

zyxpts fJf ,,,, ptszyx fJf ,,1

,,

Transformação de Coordenadas Regra da Cadeia para velocidades

Notação Matricial

Jacobiano

pztzszz

pytysyy

pxtxsxx

pts

pts

pts

p

t

s

zzz

yyy

xxx

z

y

x

pts

pts

pts

zpypxpp

ztytxtt

zsysxss

zyx

zyx

zyx

z

y

x

ppp

ttt

sss

p

t

s

zyx

zyx

zyx

zyxT

pts uJu ,,,,

ptsT

zyx uJu ,,,,

Transformação de Coordenadas

J e J-1 podem ser precomputados armazenados por célula como 9 escalares (4 em 2D) podem ser interpolados fora dos pontos amostrais

Precisaremos também de termos de segunda ordem: sxx, syy, szz, txx, tyy, tzz, pxx, pyy, pzz

Domínio físico(espaço do mundo)

Domínio computacional(espaço paramétrico)

Modelo para Simulação Equações de Navier-Stokes (fluidos incompressíveis)

Termos: Advecção: as propriedades do fluido são carregadas por ele próprio Pressão: o fluido tende a ocupar áreas de menor pressão Difusão / viscosidade: atrito interno e resistência à deformação Forças externas: acelerações adicionais

auquut

u

21

0 u

Algoritmo Stable Fluids original Equações de Navier-Stokes (fluidos incompressíveis)

Stable Fluids [Stam99]

Aproximação de alto desempenho e incondicionalmente estável Separação de primeira ordem em passos fracionados

Termos considerados sequencialmente de forma independente Algoritmos eficientes e estáveis para cada etapa Cálculo da velocidade em cada passo usa o resultado do anterior

Ordem dos operadores é importante Advecção exige campo livre de divergência

)(1 nn uADFPu

auquut

u

21

0 u

Separação de Operadores Estratégia do tipo “dividir-e-conquistar”

Dividir um problema complexo em um conjunto de subproblemas mais simples

Resolução de cada subproblema por algoritmos especializados Soma das contribuições de cada solução intermediária

Tipos Separação de coordenadas Passos fracionados (separação por fenômenos físicos)

Erro Pode ser estimado, existem métodos de diferentes ordens Pode limitar a acurácia da integração mesmo com operadores exatos

Problema de valor inicial:

Resolução direta:

Método de Lie-Trotter (primera ordem):

Separação de Operadores

)(

)()(],,[)),(()(

)(],,[)),(()(

11

11

1

nB

n

nA

nB

nnB

B

nnA

nnA

A

trr

trtrttttrBt

tr

rtrttttrAt

tr

0)0(],,0[)),(())(()(

rrTttrBtrAt

tr

nnnn rtrttttrBtrAt

tr

)(],,[)),(())((

)( 1

Tt

t

Nn

N

0

1,...,1,00

Amostragem colocalizada [Stam99]

Pressões e velocidades nos centros das células Equações desacopladas, componentes oscilatórias

Amostragem deslocada [Harlow65,Bridson08]

Pressões nos centros, velocidades nas faces das células

Componentes de velocidade separadas (interpolação)

Discretização do domínio

]2[2

1

][2

1

,,2,,,,222

2

,,1,,1

kjikjikji

x

kjikjix

rrrx

r

uux

u

]2[1

][1

,,1,,,,12

,,21

2

2

,,21,,21,,

kjikjikjixkji

kjikjixkji

rrrx

r

uux

u

Representação das velocidadesVelocidades no mundo Velocidades paramétricas

Malha colocalizada

Malha deslocada

Velocidades no espaço do mundo Tratamento matemático mais simples Malha deslocada:

Desalinhamento entre velocidades e normais das faces não é prejudicial ao resultado[Azevedo12]

Maior dificuldade com condições de contorno

Velocidades no espaço paramétrico Maior complexidade matemática Malha deslocada:

Velocidades normais são mais intuitivas Condições de contorno mais simples

Advecção semi-Lagrangiana Dados:

Tempo atual t, passo de integração h Partícula numa posição amostral xA com velocidade uA

Procedimento: Partícula que seria carregada pelo fluido até o ponto amostral xA

Rastrear para trás (qualquer ordem, passo -h) até origem xB

Atribuir à amostra a velocidade interpolada em xB

Dissipação numérica Interpolação cúbica saturada e outras técnicas Efeito comparável à difusão/viscosidade

),(),(

)(

),(

txuhtxu

huxx

txuu

BA

AAB

AA

Advecção semi-Lagrangiana

Malhas curvilíneas Integração pode ser feita no espaço global ou paramétrico

Maior eficiência no espaço em que a velocidade está representada Maior precisão no espaço em que a velocidade exibe comportamento mais simples

Subdivisão em passos adaptativos Ao atravessar fronteiras entre células ou percorrer distância unitária no espaço paramétrico Considera variações nas velocidades e nos jacobianos

Atribuição final deve ser feita sempre com base no espaço do mundo Evitar influência da variação de tamanho e rotações das células

Trajetórias de uma partícula com velocidade u:

A – linear no espaço do mundo(correta para u constante no mundo)

B – linear no espaço paramétrico local(correta para u paramétrica constante)

C – linear no espaço local com passo adaptativo(aproximada para u constante no mundo)

Difusão Equação de Poisson implícita da difusão: [Stam99]

Malhas regulares (cada componente) Solução de um sistema esparso simétrico com 7 diagonais em 3D (5 em 2D) Iterações de Jacobi: Regra de atualização acessa 6 vizinhos em 3D (4 em 2D) Exemplo de solver: Gradiente Conjugado (CG) com pré-condicionador Cholesky

Incompleto (IC)

Malhas curvilíneas (cada componente) Solução de um sistema esparso não-simétrico com 19 diagonais em 3D (9 em 2D) Iterações de Jacobi: Regra de atualização acessa 18 vizinhos em 3D (8 em 2D) Exemplo de solver: Gradiente Biconjugado Estabilizado (BiCGStab) com pré-

condicionador Multigrid Algébrico (AMG)

zzyyxx uuuhuu

Forças externas

Integração explícita de primeira ordem é suficiente em qualquer caso

Acelerações arbitrárias violam fortemente condição de incompressibilidade Aplicar projeção logo após esta etapa

ahuu

Projeção Visão geral

Após etapas anteriores, velocidades violam condição de incompressibilidade Queremos projetar as velocidades em um campo livre de divergência Utilizamos a decomposição de HelmHoltz-Hodge:

Procedimento Calcular a divergência do campo de velocidades intermediárias Calcular a pressão q (a menos de uma constante) resolvendo a equação de Poisson Projetar a velocidade num campo livre de divergência:

Malhas regulares Solução de um sistema esparso com a mesma estrutura do operador de difusão Exemplo de solver: Gradiente Conjugado (CG) com pré-condicionador Cholesky

Incompleto (IC)

u

qu 2

quu

0)(,0, qrotuquu

Projeção em malhas curvilíneas Divergência

Malha regular:

Malha curvilínea:

Espaço paramétrico:

As divergências das bases do espaço paramétrico podem ser pré-calculadas

zyx zyxu

zpztzs

ypytys

xpxtxs

pztzsz

pytysy

pxtxsxu

),,(

),,(

),,(

ppp

ttt

sss

pts

zyxp

zyxt

zyxs

ptsu

Projeção em malhas curvilíneas Pressão

Solução de um sistema esparso com a mesma estrutura do operador de difusão Exemplo de solver: Gradiente Biconjugado Estabilizado (BiCGStab) com pré-

condicionador Multigrid Algébrico (AMG)

Projeção Malha regular:

Malha curvilínea:

Espaço paramétrico:

Os termos da matriz composta acima podem ser pré-calculados

),,(),,(),,( ][ zyxzyxzyx quu

),,(1

),,(),,( ][ ptszyxzyx qJuu

),,(1

),,(),,( ][ ptsT

ptspts qJJuu

Transporte de partículas e densidades de tinta Transporte de partículas sem massa

Integração direta da posição das partículas Segue as mesmas regras da advecção semi-lagrangeana Posições guardadas diretamente no espaço paramétrico

Conversão do espaço do mundo para o paramétrico seria custosa

Advecção de densidades de tinta[Stam99]

Estrutura análoga à equação de Navier-Stokes Operadores: advecção, difusão, extinção e fontes externas Resolução análoga ao procedimento aplicado para Navier-Stokes

Srrrut

red

2

Condições de Contorno em malha regular Camada extra de células junto às fronteiras e

obstáculos Cada célula de borda B está associada a um offset

em (s,t,p) para uma célula interior R de referência Relação entre pressões e velocidades de B e R

determina diferentes comportamentos

EfeitoMalha

colocalizada

Malha deslocada Pressã

o

uBtan uBort uBtan uBort qB

Passagem livre uRtan uRort uRtan uRort 0

Parede lisa uRtan -uRort uRtan 0 qR

Parede rugosa -uRtan -uRort -uRtan 0 qR

Entrada de fluido 0 uin 0 uin qR

Saída de fluido 0 uout 0 uout qR

Condições de Contorno em malha curvilínea Aplicadas no espaço paramétrico

normalizado Componentes tangente e ortogonal sempre

alinhadas com os eixos locais Módulos independentes do tamanho local das

células

Utilização de fatores de escala e offset: Pressão:

Velocidade:

Malha deslocada e velocidades globais: paredes lisas não suportadas devido à

dificuldade em garantir que apenas acomponente normal seja igual a zero

RB qsq q

ortRortB

RB

ovsv

vsv

ortort

tantan tan

EfeitoMalha colocalizada Malha deslocada Pressão

stan sort oort stan sort oort sq

Passagem livre

1 1 0 1 1 0 0

Parede lisa 1 -1 0 1 0 0 1

Parede rugosa

-1 -1 0 0 0 0 1

Entrada de fluido

0 0 uin 0 0 uin 1

Saída de fluido

0 0 uout 0 0 uout 1

Implementação – Dados CUDA

Propriedades que requerem leitura e escrita simultânea precisam de 2 áreas de memória (x2) Cuda Arrays oferecem interpolação eficiente por hardware Suporte a CUDA Surfaces depende do hardware do cliente Dados com 3 componentes devem ser separados para manter o acesso coalescente

Dado Armazenamento Escrita Exemplos

Dados pré-computados

2D/3D Cuda Arrays - Vértices de célulasCentros de célulasJacobianos

Propriedades simuladas

2D Pitch-linear memoryou2D/3D Cuda Arrays

Acesso diretoou2D/3D CUDA Surfaces

Velocidade (x2)DivergênciaPressão (x2)Densidade de tinta (x2)

Influências externas

2D/3D Cuda Arrays Page-locked async copy Forças externasFontes de tinta

Condições de contorno

2D/3D Cuda Arrays Page-locked async copy Offsets de B para RParâmetros vtan, vort, oort

Visualização PBOs / VBOs / Texturas

CudaGraphicsResource VelocidadesDensidades de tintaPosições de partículas

Implementação – Kernels CUDA

Não há necessidade de uso da memória compartilhada, pois todos os acessos são naturalmente coalescentes ou apresentam localidade espacial. A ser testado: tornar os kernels limitados por computação em vez de por banda [Nguyen10]

Atualizações de células de borda: marcações “v” e “p” no diagrama Gargalo: resolução de sistemas lineares esparsos (tarjas no diagrama)

Iterações de Jacobi BiCGStab com pré-condicionador Multigrid Algébrico (implementados na biblioteca CUSP)

Visualização feita com o auxílio de shaders GLSL

Resultados – Validação Inicial Resultados idênticos ao Stable Fluids em grades regulares 2D/3D

Resultados – Caminho curvo 2D

Resultados – Caminho curvo 3D

Resultados – Constrição 2D


Gráfico mostrando a velocidade média do fluido na direção x ao longo de seções transversais do grid com constrição. A área da constrição é 1/4 da área nas outras partes do percurso.

Resultados – Caminho suave 2D

Resultados – Caminho suave 3D

Resultados – Obstáculo 3D

Resultados Informações gerais:

Intel Core i5 750 2.67GHz, 4GB RAM, placa gráfica GeForce GTX 550 Ti. Gargalo: resolução das equações de Poisson

Convergência: Jacobi x BiCGStab Iterações de Jacobi não conseguem atingir erros tão baixos quanto BiCGStab BiCGStab não converge em alguns casos!

Melhora com uso da última pressão como chute inicial Melhora significativamente com utilização de um ponto de pressão fixa

Condição de Parada

Iterações BiCGStab

Iterações de Jacobi

t = 23ms 1 40

t = 37ms 2 65

t = 51ms 3 90

erro relativo < 10% 3 >200

Resultados - DesempenhoTempos para a simulação completa (fluido, partículas e tinta), mas sem renderização

Iteraçõesde Pressão

Stable Fluids

(64 x 64 x 32)

Nosso método

(64 x 64 x 32)

1 CG / BiCGStab 18 ms 45 ms



50 Jacobi 14 ms 48 ms



Iteraçõesde Pressão

Stable Fluids

(300x300)

Nosso método

(300x300)




2 a 3 mais lento, mas melhor representação de domínios curvos

Conclusão Método eficiente para a simulação euleriana de fluidos confinados em domínios tridimensionais curvilíneos

estruturados Matrizes Jacobianas relacionam o espaço do mundo com o paramétrico de malhas estruturadas Simulação realizada com base numa simples grade uniforme

Desempenho Técnica implementada em CUDA, explora bem o paralelismo das placas gráficas atuais. 2 a 3 vezes mais lento que o Stable Fluids original com implementação similar.

Fronteiras curvilíneas Dispensa informações topológicas Não exige tratamento de casos especiais Não requer maior refinamento próximo às fronteiras Evita o surgimento de artefatos na simulação

Resolvedores de sistemas lineares esparsos Iterações de Jacobi: mais simples de se implementar e paralelizar, estabilidade garantida BiCGStab: convergência muito rápida, diminuindo o tempo de simulação e melhorando a qualidade do resultado, mas

estabilidade não garantida

Trabalhos futuros Abordagem integral para pressões Técnicas de preservação da vorticidade Tratamento de gravidade e superfície livre

Perguntas?

Referências[1] N Foster, D Metaxas, Modeling the Motion of a Hot, Turbulent Gas - Proceedings of ACM SIGGRAPH 1997

[2] J Stam, Stable Fluids – Proceedings of ACM SIGGRAPH 1999

[3] M J Harris, Fast Fluid Dynamics Simulation on the GPU – GPU Gems, 2004

[4] P Mullen et al., Energy-Preserving Integrators for Fluid Animation – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2009

[5] E Wu, Y Liu, X Liu, An Improved Study of Real-Time Fluid Simulation on GPU – The Journal of Visualization and Computer Animation, 2004

[6] N Foster, R Fedkiw, Practical Animation of Liquids – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2001

[7] D Enright, S Marschner, R Fedkiw, Animation and Rendering of Complex Water Surfaces – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2002

[8] G Irving et al., Efficient Simulation of Large Bodies of Water by Coupling Two and Three Dimensional Techniques – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2006

[9] J-M Hong, C-H Kim, Discontinuous Fluids – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2005

[10] F Losasso et al., Multiple Interacting Liquids – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2006

[11] A Robinson-Mosher et al., Two-way Coupling of Fluids to Rigid and Deformable Solids and Shells – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2008

[12] E. Guendelman et al., Coupling Water and Smoke to Thin Deformable and Rigid Shells – Proceedings of ACM SIGGRAPH 2005

[13] C Batty, F Bertails, R Bridson, A Fast Variational Framework for Accurate Solid-Fluid Coupling - Proceedings of ACM SIGGRAPH 2007

[14] Nguyen A. et al., 3.5-D Blocking Optimization for Stencil Computations on Modern CPUs and GPUs –Proceedings of International Conference for High Performance Computing, Networking, Storage and Analysis, 2010

[15] AZEVEDO, V. C., Efficient smoke simulation on curvilinear grids. – Master’s thesis, UFRGS, 2012.

Anexos

Difusão em malhas regulares Equação de Poisson implícita da difusão: [Stam99]

Malhas regulares:

zzyyxx uuuhuu

zzkjikji

yykjikji

xxkjikji

kjizzyyxxkji

kuu

kuu

kuu

ukkku

1,,1,,

,1,,1,

,,1,,1

,,,, )](2[

2

2

2

1

1

1

1

zzz

yyy

xxx

k

k

k

h

Difusão em malhas curvilíneas

pskjikjikjikji

tpkjikjikjikji

stkjikjikjikji

pkjikjippkjikji

tkjikjittkjikji

skjikjisskjikji

kjippttsskji

kuuuu

kuuuu

kuuuu

kuukuu

kuukuu

kuukuu

ukkku

1,,11,,11,,11,1,

1,1,1,1,1,1,1,1,

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,,1,,1,,1,,1

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222

222

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