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ANÁLISE NÃO-LINEAR DE ESTRUTURAS DE CONCRETO EM SITUAÇÃO DE INCÊNDIO

Non-Linear Analysis of Concrete Structures in Fire Conditions

Caldas, Rodrigo Barreto (1); Sousa Jr., João Batista Marques (2); Fakury, Ricardo Hallal (3)

(1) MSc. Eng. Civil, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de EngenhariaUniversidade Federal de Minas Gerais

email: caldas@dees.ufmg.br

(2) Professor Doutor, Departamento de Engenharia Civil, Escola de MinasUniversidade Federal de Ouro Preto

email: joao@em.ufop.br

(3) Professor Doutor, Departamento de Engenharia de Estruturas, Escola de EngenhariaUniversidade Federal de Minas Gerais

email: fakury@dees.ufmg.br

Departamento de Engenharia Civil – Universidade Federal de Ouro PretoCampus Morro do Cruzeiro – 35400000 – Ouro Preto, MG, Brasil

ResumoAs normas de projeto de estruturas em situação de incêndio apresentam procedimentos simplificados, permitindo, no entanto, a utilização de análise avançada. A utilização de métodos avançados é capaz de proporcionar maior economia e melhor representação do problema em estudo. Dentre os procedimentos avançados, a utilização de análise numérica não-linear é uma opção interessante. O objetivo deste trabalho é apresentar os resultados do desenvolvimento de um programa para análise de estruturas de concreto em situação de incêndio. O programa desenvolvido é capaz de realizar a análise de transferência de calor ao longo da seção dos elementos de barra a partir da relação temperatura-tempo dos gases no incêndio, e, em conjunto, a análise mecânica da estrutura. Os resultados são validados a partir de comparações com dados numéricos e experimentais encontrados na literatura.

Palavras-Chave: Estruturas de Concreto em Situação de Incêndio, Análise Termo-Mecânica.

AbstractDesign codes for structural elements under fire conditions prescribe simplified methods of analysis, but the use of advanced methods is allowed. These methods are able to represent the problem more accurately and may result in more economic designs. Nonlinear numerical analysis is an economic means of performing advanced structural analysis under fire conditions. The purpose of this paper is to present the results of the development of a computer code to simulate the behavior of reinforced concrete framed structures under fire action. Given a prescribed temperature-time evolution law, the heat transfer analysis is performed at the section level and the mechanical problem is simultaneously solved. The results obtained are validated against some published numerical results.

Keywords: Fire design of concrete structures; Thermo-mechanical analysis.

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1 Introdução

No final de 2004 entrou em vigor a ABNT NBR15200: “Projeto de Estruturas de Concreto em Situação de Incêndio”. A NBR 15200 (2004) baseia-se no EUROCODE 2 Parte 1.2 e apresenta os seguintes métodos de verificação: tabular, simplificado, métodos gerais e método experimental.O método tabular baseia-se em observações experimentais ou numéricas a partir das quais podem ser construídas tabelas. No método tabular, a partir das características do elemento estrutural, como dimensões e solicitações, obtém-se diretamente o tempo de exposição ao incêndio padrão (NBR 5628, 2001).No método simplificado, as solicitações de cálculo em situação de incêndio podem ser tomadas iguais a 70% das solicitações de cálculo à temperatura ambiente. Os esforços resistentes podem ser calculados com base na distribuição de temperatura obtida para a seção transversal, considerando exposição ao incêndio padrão conforme o TRRF obtido segundo a NBR 14432 (2000). Os mesmos critérios estabelecidos na NBR 6118 (2003) podem ser utilizados para o dimensionamento, adotando-se para os materiais as propriedades médias em situação de incêndio. Para utilização de métodos gerais de cálculo as principais recomendações são: combinação de ações em situação de incêndio composta rigorosamente; os esforços resistentes devem ser calculados considerando as distribuições de temperatura conforme o TRRF; e, ambas as distribuições, de temperatura e resistência, devem ser rigorosamente calculadas considerando as não-linearidades envolvidas. Este trabalho se enquadra entre os métodos gerais de cálculo. Para obtenção da distribuição de temperaturas na seção utiliza-se o modelo baseado no método das diferenças finitas (Caldas et al., 2005). O modelo considera as não-linearidades das propriedades térmicas e mecânicas do concreto segundo a NBR 15200 (2004) e o Eurocode 2 Parte 1.2 (2003), sendo capaz de modelar qualquer condição de contorno, como faces da seção expostas ao incêndio sendo aquecidas por convecção e radiação, faces submetidas ao arrefecimento e outras. Para análise mecânica, utilizam-se elementos de barra planos não-lineares derivados empregando-se o princípio dos trabalhos virtuais (Caldas e Sousa Jr., 2004). A partir da distribuição de temperaturas pode-se obter as características físicas dos materiais, módulo de elasticidade e resistência, em temperatura elevada. Pode-se, então, obter os esforços resistentes e a rigidez dos elementos a partir da integração destes na seção. Os esforços resistentes e rigidezes são utilizados na obtenção do vetor de forças internas e da matriz de rigidez da estrutura, e os deslocamentos são obtidos utilizando o método de Newton Raphson.As análises térmicas e mecânicas são acopladas, uma vez que os esforços resistentes e as rigidezes necessárias para obtenção da matriz de rigidez e da força interna durante a análise da estrutura dependem da distribuição de temperatura na seção dos elementos de barra.Observa-se que este trabalho satisfaz as prescrições dos métodos gerais de cálculo dado pela NBR 15200 (2004), fornecendo tanto os deslocamentos quanto a capacidade resistente da estrutura.O programa FEMOOP (www.lmc.ep.usp.br/people/tbitten/femoop/home.htm) baseado no paradigma da orientação a objeto vem sendo adaptado para incluir novos elementos de barra (Caldas e Sousa Jr., 2004; Sousa Jr. e Muniz, 2005) e atualmente foi modificado para possibilitar o acoplamento das análises térmica e mecânica.

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2 Modelo de Elementos Finitos

A partir da relação deformação-deslocamento para rotações moderadas (Crisfield, 1991)

(Equação 1)

sendo u, v e w as componentes de deslocamento nas direções X, Y e Z, respectivamente, figura 1, e utilizando-se o princípio dos trabalhos virtuais pode-se desenvolver as equações de equilíbrio baseadas em uma formulação lagrangeana total. Para maiores detalhes, deve-se consultar o trabalho de Caldas e Sousa Jr. (2004). As equações são resolvidas utilizando-se o método de Newton Raphson, com modificações para incluir os efeitos da variação de temperatura com o tempo. Funções de interpolação cúbicas para os deslocamentos transversais e quadráticas para o deslocamento axial são utilizadas para obtenção da matriz de rigidez e da força interna do elemento. Os esforços resistentes e rigidezes generalizadas são obtidos a partir da integração na seção transversal nos pontos de integração (Caldas e Sousa Jr., 2004). Para integração ao longo da seção, utiliza-se um modelo de fibras, que também é usado na obtenção da distribuição de temperatura por meio do método das diferenças finitas (Caldas et al., 2005).As deformações térmicas são calculadas a partir dos alongamentos dos materiais baseados no coeficiente de dilatação térmica (NBR 15200, 2004; Eurocode 2 Parte 1.2, 2003).O procedimento para consideração das deformações térmicas apresentado no trabalho de Najjar e Burgess (1996) é utilizado neste trabalho, sendo descrito resumidamente a seguir. Para se chegar aos esforços resistentes e à rigidez dos elementos, obtém-se as deformações mecânicas devido ao carregamento dadas pela expressão 1. As deformações térmicas são calculadas a partir da distribuição de temperaturas na seção, nas fibras onde se fará a integração para obtenção dos esforços e da rigidez, e acrescentadas às deformações mecânicas como deformações de compressão. Resolvendo-se as equações de equilíbrio, utilizando-se o método de Newton Raphson, obtém-se os incrementos de deslocamento que incluem os deslocamentos induzidos pelas deformações térmicas. Estes incrementos de deslocamentos são adicionados ao vetor de deslocamentos da estrutura, que deverá ser utilizado nas próximas iterações para cálculo das deformações mecânicas. Isto significa que todas as deformações térmicas acrescentadas na primeira iteração devem ser subtraídas nas iterações sucessivas para assegurar o equilíbrio.Devido ao gradiente de temperaturas ao longo da seção, observa-se que as seções deixam de ser planas. Este fato não influenciará na solução do sistema de equações, uma vez que a solução representará uma média que satisfaça o equilíbrio.Durante o incêndio o carregamento da estrutura, em geral, é considerado constante. Desta forma, o método de Newton Raphson é utilizado, na sua forma convencional, até que a estrutura esteja completamente carregada. A partir deste instante, incrementos de tempo de exposição ao incêndio são dados, nos quais realiza-se a análise de transferência de calor ao longo das seções transversais. As novas temperaturas são utilizadas para obtenção das propriedades dos materiais e conseqüentemente da matriz de rigidez e da força interna da estrutura, figura 2a. Um procedimento iterativo é realizado até que se restaure o equilíbrio.

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Y, v

X, uZ, w

L

Z

Y

X, CG

Am

Figura 1. Sistema de coordenadas de referência para o elemento desenvolvido por Caldas e Sousa Jr. (2004)

Os incrementos de tempo de exposição ao incêndio continuam até que a força interna da estrutura seja inferior à força externa, figura 2b, caracterizando o colapso. Obtém-se assim o tempo que a estrutura resiste quando exposta ao incêndio.

(a) (b)Figura 2. Método de Newton Raphson com controle do tempo:

(a) incrementos de tempo e processo iterativo; (b) falha da estrutura.

A não-linearidade física é considerada no nível seccional por meio das relações tensão-deformação não-lineares de cada material envolvido, apresentadas no item seguinte. Para obtenção dos esforços resistentes e das rigidezes generalizadas que compõem a matriz de rigidez e a força interna do elemento, utiliza-se um modelo de fibras (Uy, 2001; Sfakianakis, 2002) conforme supracitado. A não-linearidade geométrica é considerada por meio de medidas adequadas de deformação conforme a expressão 1.

3 Materiais

3.1 Concreto

O Eurocode 2 Parte 1.2 (2003) apresenta a relação tensão-deformação mostrada na figura 3 para o concreto em temperatura elevada.As tabelas 1 e 2 apresentam o modelo e os parâmetros conforme mostrado na figura 3 segundo o Eurocode 2 Parte 1.2 (2003), sendo fc a resistência característica à compressão do concreto em temperatura ambiente.

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Figura 3. Modelo matemático para representação da relação tensão-deformação do concreto em

temperatura elevada (Eurocode 2 Parte 1.2, 2003).

Tabela 1. Modelo matemático apresentado na figura 3 (Eurocode 2 Parte 1.2, 2003)

Deformação TensãoMódulo de Elasticidade

(tangente)

Para propósitos numéricos, pode-se utilizar uma reta descendente, conforme a figura. Modelos lineares ou não-lineares

são permitidos.

Caso seja utilizada uma reta descendente:

Tabela 2. Parâmetros utilizados no modelo matemático apresentado na figura 3 para concretos de densidade normal preparados com agregados silicosos ou calcáreos

(Eurocode 2 Parte 1.2, 2003)Temperaturado concreto

(°C)

Agregado silicoso Agregado calcáreo

fc,/ fc c1, cu1, fc,/ fc c1, cu1,

20 1,00 0,0025 0,0200 1,00 0,0025 0,0200100 1,00 0,0040 0,0225 1,00 0,0040 0,0225200 0,95 0,0055 0,0250 0,97 0,0055 0,0250300 0,85 0,0070 0,0275 0,91 0,0070 0,0275400 0,75 0,0100 0,0300 0,85 0,0100 0,0300500 0,60 0,0150 0,0325 0,74 0,0150 0,0325600 0,45 0,0250 0,0350 0,60 0,0250 0,0350700 0,30 0,0250 0,0375 0,43 0,0250 0,0375800 0,15 0,0250 0,0400 0,27 0,0250 0,0400900 0,08 0,0250 0,0425 0,15 0,0250 0,04251000 0,04 0,0250 0,0450 0,06 0,0250 0,04501100 0,01 0,0250 0,0475 0,02 0,0250 0,04751200 0,00 - - 0,00 - -

.

Segundo o ECCS-TC3 (2001) a resistência à compressão residual do concreto aquecido à uma temperatura máxima e depois resfriado até a temperatura ambiente de pode ser tomada igual a:

para

para

para

(2)

Nas equações 2, o fator de redução kc,max é o valor da relação fc,/fc dado na tabela 2, correspondente à temperatura máxima atingida pelo concreto.

3.2 Aço

O Eurocode 3 Parte 1.2 (2003) apresenta a relação tensão-deformação mostrada na figura 4 para o aço em temperatura elevada.

Figura 4. Relação tensão-deformação do aço em temperaturas elevadas (Eurocode 3 Parte 1.2, 2003).

As tabelas 3 e 4 apresentam o modelo e os valores dos parâmetros conforme a figura 4, sendo fy o limite de escoamento do aço à temperatura ambiente.

Tabela 3. Modelo matemático, figura 4 (Eurocode 3 Parte 1.2, 2003)

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Deformação TensãoMódulo de Elasticidade

(tangente)

0

-

0 -

Parâmetros

Funções

Tabela 4. Valores dos parâmetros do modelo matemático apresentado na figura 4 (Eurocode 3 Parte 1.2, 2003)

Temperatura do aço

a

(°C)

Fator de redução para a resistência ao

escoamento (relativo a fy)

ky, = fy,/fy

Fator de redução para o limite de

proporcionalidade(relativo a fy)

Kp, = fp,/fy

Fator de redução para o módulo de

elasticidade (relativo a Ea)

kE, = Ea,/ Ea

20 1,000 1,000 1,0000100 1,000 1,000 1,0000200 1,000 0,807 0,9000300 1,000 0,613 0,8000400 1,000 0,420 0,7000500 0,780 0,360 0,6000600 0,470 0,180 0,3100700 0,230 0,075 0,1300800 0,110 0,050 0,0900900 0,060 0,0375 0,06751000 0,040 0,0250 0,04501100 0,020 0,0125 0,02251200 0,000 0,0000 0,0000

Nota: Para valores intermediários da temperatura do concreto pode ser feita interpolação linear

De acordo com o ECCS-TC3 (2001), a tensão de escoamento residual do aço aquecido à um temperatura máxima max e depois resfriado até a temperatura ambiente de pode ser tomada igual a

para

para (Equação 3)

Tabela 5. Valores dos parâmetros do modelo matemático, figura 4, para os aços trefilados segundo o Eurocode 2 Parte 1.2 (2003)

Temperatura do aço

Fator de redução para a resistência ao

escoamento

Fator de redução para o limite de

proporcionalidade

Fator de redução para o módulo de

elasticidade

.

s

(°C)(relativo a fy)

ky, = fy,/fy

(relativo a fy)

Kp, = fp,/fy

(relativo a Es)

kE, = Es,/ Es

20 1,00 1,00 1,00100 1,00 0,96 1,00200 1,00 0,92 0,87300 1,00 0,81 0,72400 0,94 0,63 0,56500 0,67 0,44 0,40600 0,40 0,26 0,24700 0,12 0,08 0,08800 0,11 0,06 0,06900 0,08 0,05 0,051000 0,05 0,03 0,031100 0,03 0,02 0,021200 0,00 0,00 0,00

Nota: Para valores intermediários da temperatura do concreto pode ser feita interpolação linear

Segundo o Eurocode 2 Parte 1.2 (2003), para o aço das armaduras, as mesmas considerações anteriores podem ser adotadas, caso este seja laminado. No caso dos aços trefilados pode-se utilizar o modelo apresentado na figura 4 com os parâmetros apresentados na tabela 5.

4 Exemplo

Neste exemplo, uma viga de concreto analisada por Cai et al. (2003) utilizando o programa VULCAN (www.vulcan-solutions.com) é comparada com o programa desenvolvido no presente trabalho. No trabalho de Cai et al. (2003) também são encontrados os resultados do ensaio experimental da viga, figura 5, realizado por Ellingwood e Liu (1991).A viga mostrada na figura 5 é submetida à curva de incêndio dada pela ASTM E119 (1983) e a um incêndio de curta duração e grande intensidade, SDHI, figura 6. O incêndio atua em três faces ao longo do vão principal da viga. O balanço é mantido à temperatura ambiente. O concreto possui resistência à compressão de 29,65 MPa para a viga submetida ao incêndio dado pelo ASTM E119 e 34,54 MPa para a viga submetida ao incêndio SDHI. Para as armaduras considerou-se na análise realizada no presente trabalho uma resistência ao escoamento de 495 MPa e módulo de elasticidade igual a 187244 MPa. A viga foi modelada com um total de 16 elementos. As características térmicas e mecânicas dos materiais foram tomadas segundo o Eurocode 2 Parte 1.2 (2003). A resistência residual do concreto submetido a uma temperatura máxima e depois resfriado foi tomada segundo as recomendações do ECCS-TC3 (2001).Na modelagem feita por Cai et al. (2003) com o programa VULCAN, foram utilizados 20 elementos para discretizar a viga. As distribuições de temperatura nas seções dos elementos foram obtidas por meio do programa FPRCBC-T (Huang et al., 1996), capaz de realizar análises tridimensionais de transferência de calor e de massa. Os efeitos da umidade foram considerados porém, segundo Cai et al. (2003), nenhuma informação a este respeito é encontrada no trabalho de Ellingwood e Liu (1991). Cai et al. (2003) também não informam claramente os parâmetros utilizados. Na ausência destas informações considerou-se, nas análises realizadas neste trabalho, uma umidade de 3% do peso do concreto e para a condutividade térmica o limite inferior definido pelo Eurocode 2 Parte 1.2 (2003).

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(a)

(b)

Figura 5. Viga de concreto armado (Cai et al., 2003): (a) esquema do ensaio experimental; (b) seção transversal no corte A-A, dimensões em mm.

No trabalho de Cai et al. (2003), o modelo matemático utilizado para representar a relação tensão-deformação do concreto sob compressão é o do Eurocode 4 Parte 1.2 (2001), idêntico ao do Eurocode 2 Parte 1.2 (2003). A resistência à tração do concreto também é modelada.

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0

200

400

600

800

1000

1200

0 30 60 90 120 150 180 210 240

Tempo de incêndio (min)

Tem

pera

tura

(°C

)

Figura 6. Relação temperatura-tempo para os incêndios segundo o ASTM E119 (1983) e o incêndio SDHI.

-16

-12

-8

-4

0

0 3600 7200 10800 14400

Tempo de incêndio (s)

Des

loca

men

to (

cm)

Figura 7. Deslocamentos máximos para a viga mostrada na figura (5.16) submetida ao incêndio da ASTM E119 (1983).

ASTM E119 SDHI

Experimental (Ellingwood e Liu, 1991) VULCAN (Cai et al., 2003) Presente trabalho (0% umidade) Presente trabalho (3% umidade)

.

-8

-6

-4

-2

0

0 3600 7200 10800 14400

Tempo de incêndio (s)

Des

loca

men

to (

cm)

Figura 8. Deslocamentos máximos para a viga mostrada na figura (5.16) submetida ao incêndio SDHI.

Observa-se a partir da figura 7 que os resultados apresentados pelo programa desenvolvido no presente trabalho se aproximam dos resultados apresentados pelo VULCAN e dos resultados obtidos experimentalmente quando se aumenta a umidade do concreto. Entre as diferenças quanto às análises realizadas, pode-se citar que no VULCAN, a distribuição de temperatura foi obtida com o programa FPRCBC-T (Huang et al., 1996), capaz de simular os fenômenos de transferência de calor e de massa, e a resistência à tração do concreto é considerada. Nas análises realizadas com o programa desenvolvido no presente trabalho, considerou-se uma umidade de 3% com base em recomendações do Eurocode 2 Parte 1.2, uma vez que no trabalho de Cai et al. (2003) os parâmetros relacionados à umidade não são fornecidos.Na figura 8 onde se considera uma umidade de 3% na análise realizada com o programa desenvolvido no presente trabalho, também observa-se uma boa concordância com os resultados obtidos no VULCAN.Apesar de todas as incógnitas envolvidas, observa-se que o programa desenvolvido apresenta resultados que podem ser considerados bons, portanto modelando de forma adequada o comportamento da viga submetida aos dois tipos de incêndio. Futuras implementações deverão aperfeiçoar o presente modelo a fim de tornar mais rigorosa a análise.

5 Conclusões

Neste trabalho apresentou-se um programa para análise não-linear de estruturas de concreto em situação de incêndio. O programa apresentado é capaz de realizar as análises térmica e mecânica de elementos de concreto como vigas e pilares e de estruturas, como pórticos planos. No desenvolvimento as não-linearidades presentes são consideradas, estando o programa enquadrado nas definições do método geral dado pela NBR 15200 (2004). O

Presente trabalho Experimental (Ellingwood e Liu, 1991) VULCAN (Cai et al., 2003)

.

programa é capaz de chegar aos deslocamentos da estrutura em situação de incêndio até a ruptura, fornecendo sua capacidade resistente.Devido ao caráter dado à implementação, os procedimentos relacionados à transferência de calor e as considerações quanto ao método de Newton Raphson e às deformações térmicas podem ser utilizados com os demais elementos de barra implementados no FEMOOP, como, por exemplo, elementos co-rotacionais implementados por Sousa Jr. e Muniz (2005), e com os modelos utilizados para análise 3D de pilares mistos implementados por Sousa Jr e Caldas (2005).

Agradecimentos

À V&M, ao CNPq, à FAPEMIG e à CAPES, por tornarem possível a elaboração e a apresentação deste trabalho.

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