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Silvia Beatriz Fagundes de Carvalho
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2º GRAU:
UMA ABORDAGEM METODOLÓGICA
Santa Maria, RS
2008
Silvia Beatriz Fagundes de Carvalho
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2º GRAU:
UMA ABORDAGEM METODOLÓGICA
Trabalho Final de Graduação apresentado ao Curso de Matemática Licenciatura - Área de
Ciências Naturais e Tecnológicas, do Centro Universitário Franciscano - UNIFRA, como
requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática.
Orientadora: Nires Metilde Colletto
Santa Maria, RS
2008
Silvia Beatriz Fagundes de Carvalho
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES DE 2º GRAU:
UMA ABORDAGEM METODOLÓGICA
Trabalho Final de Graduação apresentado ao Curso de Matemática Licenciatura – Área de Ciências Naturais e Tecnológicas, do Centro Universitário Franciscano - UNIFRA, como requisito parcial para obtenção do grau Professor – Licenciado em Matemática.
_____________________________________ Nires Metilde Colletto – Orientadora (Unifra)
_____________________________________ Leila Brondani Pincolini (Unifra)
_____________________________________ Rosane Rossato Binotto (Unifra)
Aprovado em ....... de .................................... de ..............
RESUMO
A escolha deste tema deve-se ao fato da equação de 2º grau nos parecer hoje pouco trabalhada, limitando-se apenas em mostrar a fórmula abordada nos livros didáticos. Apresenta-se a resolução da equação do 2ºgrau, abordando sua forma geométrica e algébrica, desde os egípcios até nossos dias, num estudo mais profundo a fim de interpretar seus resultados. Para isto foi feito um estudo histórico do desenvolvimento da equação do 2º grau partindo das civilizações antigas e as contribuições dos matemáticos egípcios, babilônios, gregos, hindus, árabes e europeus. A história da matemática é utilizada para estabelecer comparações entre as idéias desenvolvidas pelos povos antigos e atuais, utilizando técnicas geométricas e algébricas na resolução da equação do 2º grau, que auxilia na compreensão dos conceitos matemáticos na situação atual. Esta pesquisa foi desenvolvida por meio de uma pesquisa bibliográfica. Os primeiros indícios históricos sobre o surgimento de equações de 2º grau são encontrados em antigos documentos que revelam as necessidades e preocupações dos povos, como do Egito, Babilônia, China, Grécia, Índia, Mundo Árabe, Europa Medieval em estabelecerem conceitos matemáticos. Os gregos realizavam demonstrações por meio de construções geométricas, os babilônios apresentavam soluções algébricas, os árabes apresentaram a equação do 2º grau e sua resolução ampliando horizontes entre o método geométrico e algébrico. A história da matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do conhecimento, possibilitando suporte para estudar matemática em sala de aula, analisando as evoluções históricas dos conceitos e a contribuição histórica de cada civilização, que possibilita ao aluno um estímulo para a aprendizagem.
Palavras-chave: equação do 2º grau. ensino e aprendizagem. história como instrumento pedagógico.
ABSTRACT The theme of this work was chosen due to the fact that the equation of second degree is, nowadays, a little developed, since there is only its formula in the student books. In this work, it is presented the resolution of the equation of second degree, approaching its geometric and algebric formula since the Egypicians until the present days, in a deepest study in order to interpret its results. In order to achieve this, it was made a historical study about the development of the equation of the second degree since the ancient civilizations to the contributions of egyptians, babylonic, greek, hindus, arabians and europeans mathematicians in the present context. This research was developed through a bibliographical research. The first historical indicium about the origem of the equation of second degree are found in ancient documents that reveal the need and worries of the peoples from Egytp, Greece, India, Arabian World and Medieval Europe in establishing mathematical conceptions. The greeks showed its demostrations through the geometric buildings, the babilonics showed algebric solutions, the arabians showed the equation of the second degree and its resolution enlarging the knowledge between the geometric and algebric methods. The history of Mathematics constitutes one of the most interesting chapters of the knowledge, giving support to study Mathematics in the classroom, analysing the historical evolutions of the conceptions and the historical contribution of each civilization which gives the student motivation to the learning
Keywords: equation of second degree- learning and teaching – history as a pedagogical
device
SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO.................................................................................................................. 6
2 DESENVOLVIMENTO..................................................................................................... 7
2.1 Abordagem histórica........................................................................................................ 7
2.2 Solução apresentada pelos egípcios................................................................................. 9
2.3 Solução apresentada pelos babilônios............................................................................. 9
2.4 Solução apresentada pelos gregos................................................................................... 11
2.5 Solução apresentada pelos hindus................................................................................... 12
2.6 Solução apresentada pelos árabes.................................................................................... 16
2.7 Solução apresentada por Fibonacci, Viéte e Descartes................................................... 18
2.8 A Fórmula de Resolução da Equação do 2º Grau: Uma grande descoberta.................... 27
3 CONCLUSÕES.................................................................................................................. 29
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.................................................................................. 30
6
1 INTRODUÇÃO
Por mais antigo, tradicional e reprisado que seja o assunto sobre equação de 2º grau,
convém procurar novos ângulos para focalizá-la, outras maneiras de abordá-la, não somente
buscando tornar nossas aulas mais atraentes e também, quebrando a monotonia de todos os
anos a “mesma aula”.
Atualmente o ensino da resolução da equação de 2º grau, fica focado praticamente à
apresentação da fórmula e poucas vezes, das relações entre coeficientes e raízes.
Geralmente, a curiosidade surge em relação à maneira como apareceu a fórmula e não
quanto a seu uso.
Mesmo que alguns não acreditem nas vantagens do nosso ponto de vista, pelo menos
ampliarão seus conhecimentos, dentro do princípio de que se deve sempre saber um pouco
mais do que se ensina.
Achamos conveniente que se mostre e justifique, durante sua apresentação para os
alunos do Ensino Fundamental, o surgimento da fórmula e outros enfoques sobre a resolução
de equações de 2º grau. E muitas vezes os alunos ficam esperando por estes esclarecimentos,
mas as aulas se sucedem e suas curiosidades nem sempre são satisfeitas.
Segundo Silva (2001), não devemos ignorar as contribuições dadas por homens e
mulheres à Matemática ao longo da história nem tão pouco suas dificuldades. Dessa forma o
ensino da matemática poderá acontecer de maneira mais eficiente e prazerosa para o aluno.
Ao recorrermos à história, somos capazes de entender melhor as dificuldades vividas
pelo aluno diante de cada novo conceito, com a vantagem de que, em se tratando de
Matemática, o novo sempre vem esclarecer, completar ou transformar conhecimentos antigos,
o que estabelece um elo entre o presente e o passado. Elo este não composto apenas por um
mundo de números, figuras e símbolos, mas também por homens que constroem essa ciência
exata e fascinante.
A escolha deste tema deve-se ao fato de a equação de 2º grau nos parecer hoje pouco
trabalhada, limitando-se apenas em mostrar a fórmula abordada nos livros didáticos. Iremos
trabalhar com resoluções de equações de 2ºgrau, abordando sua forma geométrica e algébrica,
desde os egípcios até nossos dias, num estudo mais profundo a fim de interpretar seus
resultados.
7
2 DESENVOLVIMENTO
2.1 Abordagem Histórica
A história da matemática constitui um dos capítulos mais interessantes do
conhecimento, ela nos permite conhecer a origem das idéias que deram forma a nossa cultura
e observar também os criadores dessas idéias e ainda estudar as circunstâncias em que elas se
desenvolveram.
Os primeiros indícios históricos sobre o surgimento de equações de 2º grau são
encontrados em antigos documentos que revelam as necessidades e preocupações de povos,
como do Egito, Babilônia, China, Grécia, Índia, Mundo Árabe, Europa Medieval em
estabelecerem conceitos matemáticos.
Em relação aos matemáticos egípcios, destacam-se cinco (5) papiros escritos no século
XVII a.C. dentre eles temos os papiros de Rhind e Moscou. O papiro de Rhind não apresenta
nada sobre equação de 2º grau, no entanto no papiro de Moscou são encontrados exercícios
envolvendo equações. Com isto alguns historiadores acreditam que os egípcios dominavam a
resolução destas equações.
Os povos da babilônia, aproximadamente 1700 a.C., apresentavam a equação em uma
tábua de argila e sua resolução era dada na forma de palavras, como uma “receita
matemática”.
Um matemático chinês apresentou em 1303 a.C. a obra “Precioso espelho de quatro
elementos”, onde descrevia uma técnica para a resolução da equação de 2º grau, com
aproximação e precisão, denominada método Fan-Fan.
Os estudos realizados pelos primeiros matemáticos gregos foram de grande
importância para o desenvolvimento da história da resolução da equação de 2º grau.
Matemáticos como Tales de Mileto, Pitágoras e Euclides, e sua magnífica obra Os elementos
composta de 13 livros, onde haviam demonstrações de equações resolvidas através de
construções geométricas.
O povo hindu teve um papel primordial para a solução que mais se assemelha a atual.
Com a introdução de números negativos e a utilização do zero como elementos de cálculo,
eles deram um grande passo em relação aos campos numéricos. Destacam-se matemáticos
como Aryabhata, Brhamagupta, Bhãskara I, Bhãskara II e Sridhara, onde Bhaskara II é
considerado um dos últimos grandes matemáticos até os tempos modernos.
8
Apesar dos árabes serem responsáveis pela destruição do conhecimento oriental, por
terem incendiado o museu de Alexandria, eles também foram responsáveis por sua
preservação, devido a três califas que durante seus reinados se empenharam na tradução de
importantes escritos científicos, como a obra “Os Elementos” do grego Euclides, estas não se
perderam ao longo da história. Ainda no século IX foi fundado em Bagdá um centro científico
denominado “Casa da Sabedoria” (Bait al-Hikma), para onde foram inúmeros matemáticos,
com destaque para Mohamed-ibu-Musa Al-Khowarizmi, com sua obra “Ciência das
equações”, onde apresenta a equação polinomial do 2º grau e sua resolução, também o
método geométrico denominado método de completar quadrados.
Na Europa Medieval, a matemática começa a desenvolver-se entre os séculos XII e
início do XIII. O matemático mais importante desta época foi Leonardo Fibonacci de Pisa
(1170-1250), que também possuía conhecimentos das línguas árabe e grega. Sua obra mais
famosa foi “Líber Abbaci” que foi um marco no desenvolvimento da Matemática. Nesta obra
Fibonacci introduz o sistema de numeração hindu-arábico. Seu trabalho baseou-se em
equações do hindu al-Khowarizmi e do grego Euclides.
Fibonacci utilizou com freqüência os números negativos e irracionais na forma de
resolução e também o zero como raiz da equação quadrática.
Na idade média surgem manuscritos matemáticos sobre resolução de equações
quadráticas, originados de traduções de obras árabes, mas Fibonacci inovou e tornou seus
estudos mais abrangentes abrindo caminho para o seu avanço.
Na época do Renascimento um matemático europeu de destaque foi o francês François
Viéte (1540-1603), que além de matemático também teve uma carreira bem sucedida como
advogado e conselheiro real. Em 1591 publicou a obra “In Artem Analyticem Isogoge”, que
foi muito importante para a álgebra. Foi responsável pela introdução de símbolos na
matemática, usando letras para representar números. Por isso ficou conhecido como o “Pai da
Álgebra”.
Outro matemático de destaque deste período foi René Descartes (1596-1650), que em
sua obra o “Discurso do Método”, desenvolveu um método geométrico para a obtenção da
solução positiva, pois não considerava raiz negativa de uma equação, aperfeiçoando assim a
álgebra de Viéte.
Na seqüência mostraremos algumas das soluções da equação de 2º grau obtida pelos
matemáticos, usando a simbologia atual e comentando a metodologia por eles utilizada para a
resolução.
9
2.2 Solução apresentada pelos egípcios
O mais famoso documento matemático egípcio, o papiro de Rhind (~1650), foi
descoberto em 1858, com 85 problemas, onde sua álgebra era bastante primitiva e prática.
Para a solução de uma equação linear simples geralmente usavam o método conhecido por
Regra da Falsa Posição. Ela ensina por meio dos números tomados a sorte.
Um exemplo encontrado no papiro de Moscou envolvendo equações de 2º grau:
“a área de um quadrado é 100 e tal quadrado é igual a soma de dois quadrados
menores, em que o lado de um é igual a 4
3 do lado do outro”.
Solução usando a simbologia atual.
Sejam x e y lados de dois quadrados que satisfazem
)2(34
)1(10022
yx
yx
==+
A equação (1) é satisfeita por x = 3 e y = 4, assim 2543 2222 =+=+ yx . Para obter a
soma 100, bastaria multiplicar ambos os membros por 4, isto é, bastaria fazer 23.4=x ;
24.4=y , então resultaria em: 100643622 =+=+ yx e 4x = 4.6 = 24; 3y = 3.8 = 24.
Porém, com este método não constituíram nenhum conhecimento substancial a
respeito de soluções ou aplicações. Não formalizaram nenhum processo que se voltasse para o
cálculo das raízes da equação de 2º grau.
2.3 Solução apresentada pelos babilônios
Os babilônios registraram a equação de 2º grau em uma tábua de argila, cuja
apresentação e a forma de resolução era dada em uma álgebra retórica, já que o alfabeto ainda
não era conhecido. A solução era apresentada como uma “receita matemática”.
Por exemplo:
Qual o lado de um quadrado em que a área menos o lado dá 870?
Solução atual: seja x o lado do quadrado que satisfaz 8702 =− xx .
Solução de acordo com a “receita” dos babilônios.
Tome a metade de 1 (coeficiente x) e multiplique por ela mesma (0,5 . 0,5 = 0,25).
Some o resultado a 870 (termo independente). Obtém-se um quadrado ( 5,2925,870 = ), cujo
lado somado à metade de 1 vai dar 30, o lado do quadrado procurado.
10
Apesar de formularem os problemas usando termos geométricos, os processos usados
nas suas soluções eram predominantemente algébricos, apesar de não darem enfoque ao
problemas algébricos.
Na verdade, cerca de 2000 antes da nossa era, os babilônios podiam resolver sistemas
de equações com duas variáveis, onde se sabe a soma e o produto da forma:
==+
)2(
)1(
qxy
pyx
Consistia no seguinte:
1.Tomar metade de p:
22
yxp +=
2.Elevar ambos os membros ao quadrado:
22
22
+=
yxp
3.Subtrair q do resultado obtido:
22
22
22
22
−=−
−
+=−
yxq
p
xyyx
qp
4.Tomar a raiz quadrada do resultado obtido:
22
2yx
qp −=−
5.Somar a metade de p ao resultado:
870 305,05,298702 =+==x
11
xqpp
yxyxq
pp
=−
+
−++=−
+
2
2
22
2222
O resultado obtido (x) é um dos números desejados e o outro é a diferença deste para
p, sendo assim, tem-se:
p – x = (x + y) – x = y
Note que os números procurados são:
2
4
22
22 qppq
pp −+=−
+
e
2
4
22
22 qppq
ppp
−−=
−
+−
.
Pesquisas recentes de Pitombeira (2004) sobre a matemática dos babilônios,
mostraram que eles chegaram a este resultado por meio do raciocínio geométrico.
O que está de acordo com as fórmulas que ainda hoje utilizamos para resolver
equações:
qpxx −=−2
.
Os modelos indicados para as equações quadráticas eram necessários, porque os
babilônios não podiam e não conheciam os números negativos.
2.4 Solução apresentada pelos gregos
Quanto aos gregos, segundo Oliveira (2004), eles foram os responsáveis, sem dúvida,
por dar a matemática um novo tratamento, ou seja, encarregaram-se de fazer o que as
civilizações orientais haviam deixado de fazer e buscar as razões de suas constatações.
A civilização grega crescia rapidamente para assumir a liderança da produção cultural
da época. Na matemática destacaram-se Euclides, Pitágoras, Thales de Milleto, Diophanto de
Alexandria, entre outros.
Com habilidade e gosto natural pela geometria, os gregos deram um tratamento
geométrico para problemas matemáticos.
12
O surgimento da álgebra geométrica motivou soluções geométricas para a equação de
2º grau, onde foram definidas três operações fundamentais:
i) A soma de dois segmentos de reta;
ii) A soma de dois polígonos;
iii) O produto de dois segmentos de reta
O livro II dos Elementos apresenta a proposição 11:
“Dividir um segmento de reta dada de maneira que o retângulo determinado pelo todo
e por uma das partes seja o quadrado sobre a outra parte”.
Seja AB = a o segmento dado, o objetivo é encontrar um ponto H neste segmento de
modo que AHHBAB =)).(( .
Ou ainda se AB = a e AH = x temos
axxaxxaa +=⇔=− 22)(
Com isso Euclides mostra em seu livro a resolução geométrica da equação de 2º grau
do tipo axxa += 22 .
Segundo Oliveira (2004) embora a solução geométrica para a equação de 2º grau tenha
surgido como um caminho para resolver um problema sem solução no campo numérico, não
significa que este procedimento geométrico seja acessível ou de fácil compreensão. Para
resolver equações quadráticas, era necessário entender x e os coeficientes das equações como
quantidades geométricas e lidar com construções e teoremas para a obtenção do valor de x
(raiz da equação), o que envolvia um alto nível de conhecimento.
2.5 Solução apresentada pelos hindus
Cerca de 500 anos após, surge Diophanto de Alexandria, com sua obra “Aritmética”
composta de 13 livros, onde deu uma significativa contribuição na passagem da álgebra
geométrica para a álgebra simbólica.
Segundo Nobre (2003) em sua obra não há nenhuma teoria da resolução de equações,
mas a introdução de algumas equações específicas de 2º grau e outras equações de potência
maior, onde há uma utilização de potências em diferentes variáveis, como 222 ayx =+ .
Porém os números negativos ainda não eram conhecidos. As equações trabalhadas por
Diophanto e suas respectivas resoluções, escritas na forma atual:
1) ax2 + bx = c
13
22
2b
acb
ax −+
=
2) ax2 + c = bx
acbb
ax −
+=2
22
3) ax2 = bx + c
acbb
ax +
+=2
22
Os matemáticos hindus aperfeiçoaram métodos desenvolvidos por povos milenares,
como os babilônios. A introdução de números negativos nos coeficientes da equação de 2º
grau e a utilização do zero como elemento de cálculo, foram decisivas para chegar à solução
geral, pois a matemática hindu era feita a partir de problemas reais.
Aryabhata (476-550) ou também conhecido como Aryabhata I, foi matemático e
astrônomo. Escreveu no ano 499 a obra “Aryabhatiya”, um tratado sobre matemática e
astronomia, composta por 120 versos divididos em 4 partes. Dentre esses, 33 eram versos
sobre problemas matemáticos e outros resultados importantes para a matemática, como o
valor do seno de 0º e 90º graus, modelos planetários, frações contínuas, cálculo do tempo, etc.
Outro matemático e astrônomo hindu de destaque foi Bhramagupta (~598-665?) que
realizou um estudo mais completo sobre equações algébricas do que Aryabhata. Foi o
primeiro autor a inserir o zero como elemento de cálculo e também utilizar números
negativos, o que proporcionou uma melhor compreensão na resolução da equação de 2º grau.
Outra contribuição importante de Bhramagupta foi usar o zero como elemento de separação
entre os números positivos e os números negativos.
Quanto à resolução de equação de 2º grau, desenvolveu estudos para equações do tipo
ax2 + bx = d.
Segundo Nobre (2003) a solução dada por Bhramagupta a esta equação foi:
1. A soma multiplicada pelo coeficiente do quadrado, você adiciona o quadrado da
metade do coeficiente da incógnita;
22
2.
+= bdax
14
2. Em seguida toma a raiz quadrada;
2
2.
+= bdax
3. A metade do coeficiente da incógnita é subtraída;
22.
2bb
dax −
+=
4. E finalmente divide pelo coeficiente do quadrado;
a
bbda
x22
.2
−
+=
Desenvolvendo a equação acima têm-se:
a
bbadx
2
4 2 −+=
“É interessante observar que, já nessa época, havia plena consciência de que números negativos não são quadrados, e de que o número de raízes de uma equação de 2º grau pode ser 0, 1 e 2. Bhramagupta afirma que o quadrado de negativo e de positivo é positivo e de zero é zero.” (Pitombeira, 2004, p.23)
Mais tarde destaca-se um aluno de Bhramagupta, chamado Bhaskara I. Este realizou
importantes estudos sobre a obra “Aryabhatiya de Aryabhata”, onde reescreveu de forma
descritiva os versos desta obra.
Surge também na Índia Bhaskara II (1114-1193), matemático e astrônomo,
historicamente conhecido, pois obteve grandes feitos no que diz respeito à resolução da
equação de 2º grau. Sua principal obra foi dividida em 4 partes, dedicadas a matemática e a
astronomia. São elas: “Lilavati” (A bela) sobre aritmética, “Bijaganita” sobre álgebra,
“Goladhyaya” sobre o globo celeste e “Grahaganita” sobre a matemática dos planetas.
Bhaskara II resolveu equações do tipo ax2 + bx = c, utilizando o método de “completar
quadrados”. Por exemplo:
a oitava parte de um bando de macacos, elevada ao quadrado, brinca em um bosque.
Além disso, 12 macacos podem ser vistos sobre uma colina. Qual o total de macacos?
xx =+
128
2
xx =+1264
2
15
Resolvendo, as soluções são x1 = 48 e x2 = 16.
Bhaskara II afirma que:
“O quadrado de uma grandeza positiva ou de uma grandeza negativa é positivo: e a raiz quadrada de uma grandeza positiva é dupla, positiva e negativa. Não há raíz quadrada de uma grandeza negativa, pois ela não é uma grandeza.” (Pitombeira, 2004, p.24)
O matemático hindu Sridhara (?850-950? d.C.) foi quem enunciou a regra que
originou a fórmula atual para a resolução de equações de 2º grau.
Após sua descoberta batizou-a como “Fórmula geral para resolução da equação
polinomial do 2º grau,” que é denominada no Brasil como “Fórmula de Baskara.”
O matemático Bhaskara II também mostra como resolver a equação ax2 + bx = c.
Nesta época havia plena consciência de que números negativos não são quadrados, e de que o
número de raízes de uma equação do 2º grau pode ser 0, 1 ou 2. Bramagupta afirma que “o
quadrado de negativo e de positivo é positivo e de 0 é zero”.
A primeira descrição da regra geral para achar as raízes da equação do 2º grau parece
ser encontrada em um trabalho de Sridhara (850-950 d.C.), que não foi preservado. Baskara II
e outros citam, como segue:
“Multiplique ambos os lados da equação por uma quantidade igual a quatro vezes o coeficiente do quadrado da incógnita; adicione a ambos os lados uma quantidade igual ao quadrado do coeficiente da incógnita; então extraia a raíz quadrada.” (Pitombeira, 2004, p.25)
Seja a equação: ax2 + bx = c
1. Multiplicando ambos os membros por 4a, temos:
4a2x2 + 4abx = 4ac
2. Somando a ambos os membros o quadrado do coeficiente da quantidade desconhecida:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 + 4ac,
ou seja,
(2ax + b) 2 = b2 + 4ac
3. Extraindo a raiz quadrada temos
acbbax 42 2 +=+
E agora trata-se de uma equação do primeiro grau, cuja resolução já era conhecida.
16
2.6 Solução apresentada pelos árabes
Segundo Fragoso (2000) devido à atuação de três califas considerados grandes
patronos da cultura abássida, Al-Mansur, Harum Al-Rachid e Al-Mamum, que durante seus
reinados foram responsáveis pela tradução de escritos científicos, entre eles, “Os Elementos”
de Euclides e “O Almagesto” de Ptolomeu.
Dentre os matemáticos árabes que se destacaram Al-Khowarizmi, Tabit Bem Qurra e
Omar Khayyam.
O matemático árabe de maior importância foi Mohamed-ibu-Musa Al-Khowarizmi
(780-850d.C), que foi membro da Casa da Sabedoria, e o responsável pelo apogeu das
atividades islâmicas nas ciências exatas. Realizou estudos também em outras áreas como,
geografia, astronomia, aritmética e também introdutor de métodos hindu no mundo islâmico,
o que mostra sua ligação com os indianos.
Sua principal obra foi “Hisab Al-Jabr Wal-Maqãbala”, traduzida como Ciências das
Equações, onde “al-jabr” significa operação de somar um número a uma expressão algébrica a
ambos os membros de uma equação para eliminar os termos negativos e “wal-maqãbala”
significa operação de subtrair números ou expressões numéricas a ambos os membros de uma
equação a fim de mudar um termo para o outro.
Foi por meio da operação al-jabr, que nasceu a palavra álgebra e também do nome de
Al-Khowarizmi que nasceram as palavras algoritmo e algarismo.
Segundo Nobre (2003) em sua obra Al-Khowarizmi apresenta resolução de equações
lineares e quadráticas, onde utilizou seis casos de equações:
1.Quadrados iguais a raízes bxax =2
2.Quadrados iguais a números cax =2
3.Raízes iguais a números cbx =
4.Quadrados mais raízes iguais ao número bxax +2
5.Quadrados mais números iguais a raízes cax =+2
6.Raízes mais números iguais a quadrado cbx =+
17
Porém a equação de 2º grau da forma 02 =++ cbxax não fazia sentido para Al-
Khowarizmi, pois ele não manuseava números negativos e o zero não era considerado
solução. Para os três primeiros casos as soluções eram diretas.
A resolução das três últimas equações está diretamente ligada aos nossos objetivos,
pois nestas equações não foram usados símbolos, foram utilizados exemplos para as suas
resoluções.
Al-Khowaizmi trabalhou com as três últimas etapas.
Então:
cbxax =+2 102 =+ xx
bxcax =+2 x 10212 =+
2axcbx =+ 43 xx =+
Estes foram exemplos clássicos de equações de 2º grau , usados tanto por árabes como
também por outros matemáticos posteriores a Al-Khowarizmi e até em outras regiões. Estes
exemplos apresentam a resolução algébrica e também a resolução geométrica, como forma de
justificar sua exatidão.
Quanto à resolução de quadrados mais raízes iguais a um número, o quarto caso
citado, Al-Khowarizmi utilizou em sua obra o seguinte exemplo:
“Um quadrado mais dez raízes do mesmo é igual a trinta e nove. Qual é o quadrado?”
(Nobre, 2003)
Escrevendo na forma algébrica atual, têm-se: 39102 =+ xx .
A solução de Al-Khowãrizmi foi:
“Tome a metade do número de raízes, que é igual a cinco. Isto multiplicado por ele
mesmo; obtendo vinte e cinco deste produto. Adicione a trinta e nove; obtendo sessenta e
quatro. Extraindo-se a raiz quadrada obtendo o produto oito e subtraia disto a metade do
número de raízes. O resultado é três. Esta é a raíz do quadrado procurado; Logo o quadrado é
nove.”
Escrevendo na forma algébrica, temos:
22
2b
cb
x −+
=
Substituindo os dados do problema na equação, temos:
18
2
1039
2
102
−+
=x.
Com os cálculos obtêm-se x = 3.
“A justificativa geométrica dada por Al-Khowarizmi decorre exatamente com a que está representada no Livro II, 4 dos Elementos de Euclides, no entanto não é mencionado pelo autor árabe.” (Nobre, 2003, p.18)
Considere um quadrado de lado x, com área igual a 2x . Some dois retângulos, sendo
cada um deles de lados 2
b e x. A área dos retângulos somada a área do quadrado menor é
igual a xx 102 + . Assim o quadrado menor terá lado 5 e área 25.
Ao completar o quadrado tem-se um maior com área ( ) 25522 ++ xx . Somando as
áreas dos quadrados, temos 39 + 25 = 64, então 6425102 =++ xx . Logo o lado do quadrado
maior será ( ) 645 2 =+x , daí tem-se x = 3.
Figura 2 – Demonstração de Al-Khowarizmi
Segundo Oliveira (2004) observa-se que nos trabalhos árabes, as diversas influências
se misturam, deixando-nos em dúvida a respeito da origem de sua álgebra. Os modelos
geométricos de resoluções de equações são um pouco diferente dos modelos gregos, eles são
procedimentos mais simples. Mas também revelaram habilidades algébricas ao trabalhar com
equações de 2º grau, pode-se dizer que seu estilo algoritmo e demonstrativo, permitiram
abordagens tanto no universo numérico quanto no universo geométrico.
2x
2
2
b x
b
2
xb
2 x
x 2
b
2
b
19
2.7 Solução apresentada por Fibonacci, Viéte e Descartes
O nível da matemática na Europa era muito baixo, mas a partir do século XII e início
do século XIII, esta realidade começa a mudar. As obras de Al-Khowarizmi são traduzidas do
árabe para o latim. Um dos responsáveis por estas mudanças foi Leonardo de Pisa (1170-
1250) ou Fibonacci como ficou conhecido, comerciante italiano com conhecimento das
línguas árabe e grega. Sua principal obra “Líber abbaci”, onde introduz o sistema de
numeração hindu-arábico, foi um marco para o avanço matemático.
Baseou seus estudos nas três equações mais importantes de Al-Khowarizmi,
cbxax =+2 , 2axcbx =+ , bxcax =+2 e também mostrou as mesmas justificativas
geométricas. Mas Fibonacci também introduziu e discutiu exemplos próprios, que
culminaram na utilização de números negativos e irracionais e também o zero como raiz da
equação, como forma de resolução, coisas que os árabes não trabalharam.
Na obra “Líber abbaci” de Fibonacci, aparece o exemplo:
733
21
4
31 =
+
+ xx .
No período renascentista da Europa, surge o francês François Viéte (1540-1603) que
era advogado e seu lazer era dedicado a Matemática. Fez contribuições na aritmética, álgebra,
trigonometria e geometria, mas foi na álgebra sua maior contribuição. Utilizou vogais e
consoantes para representar quantidades desconhecidas e também números conhecidos ou
dados. A álgebra árabe nesta época já havia sido aperfeiçoada, Viéte teve participação na
renovação do simbolismo e na resolução de equações quadráticas, cúbicas e quárticas.
Segundo Amaral (RPM 13, p.18-20), um exemplo de equação de 2º grau, conforme o
método de Viéte, que consistia em considerar duas novas variáveis: u e v (incógnitas
auxiliares) é dado por:
seja a equação: 02 =++ cbxax , com x = u + v
Substituindo na equação, temos:
( ) ( )( ) ( ) 02
022
2
=+++++=++++
cvubvuvua
cvubvua
Reescrevendo essa igualdade como uma equação em v, temos:
( ) 02 22 =+++++ cbuauvbauav
Anulando o coeficiente de v, temos a
bu
2
−= :
20
Substituindo na equação:
022
22 =+
−+
−+ ca
bb
a
baav
Efetuando as operações e simplificando, obtemos:
2
22
4
4
a
acbv
−=
Se 042 ≥− acb , então a
acbv
2
42 −+= .
Logo x = u + v, então:
a
acbbx
2
42 −+−= , que é a fórmula de Bhaskara.
O método de Viéte possibilita uma demonstração da fórmula de Bhaskara, de fácil
compreensão e sem grandes artifícios.
Segundo Fragoso (2000) em 1637, o francês René Descartes (1596-1650), além de
possuir uma notação que diferia da atual somente pelo símbolo da igualdade, desenvolveu um
método geométrico para obtenção da solução positiva. Em sua obra “O discurso do método”,
há uma parte denominada “La Géometrie”, onde resolve equações do tipo: 22 cbxx += ,
bxcx −= 22 e 22 cbxx −= , sempre com raízes positivas.
A construção para resolver equações do tipo 22 cbxx += , usou o seguinte método,
conforme mostrado na Figura 3.
1) Traça-se um segmento ML, de comprimento c ;
2) Em M, levanta-se o segmento MN com medida igual a 2
be perpendicular a ML;
3) Com centro em N, constrói-se um círculo de raio MN;
4) Traça-se uma reta ligando os pontos L e N que corta o círculo em O e P, com
PL = x.
Geometricamente, tem-se a construção de Descartes.
21
Figura 3 – Construção de Descartes
Com efeito, no triângulo retângulo MLN, se PL = x, pelo teorema de Pitágoras
podemos escrever:
( ) ( ) 222 )(MLMNNL +=
( )
cbxx
cbb
bxx
cbbb
xx
cbb
x
=+
+=++
+=++
+
=
+
2
222
222
222
44
4422
22
Ao analisar a origem da equação quadrática observa-se a preocupação que os
matemáticos tiveram ao tentar solucionar o problema.
Assim a história da matemática é um valioso instrumento para o processo ensino-
aprendizagem na Matemática.
Exemplos de situações problema de equações de 2º grau
1) Os babilônios já utilizavam à soma e o produto para achar dois números.
Geometricamente também pode-se determinar, por exemplo, os lados de um retângulo,
conhecendo o semiperímetro e sendo sua área de uma equação do 2º grau da forma
02 =+− psxx . Sejam βα e lados de um retângulo, onde:
β
α
22
βα + o semiperímetro do retângulo.
βα. área do retângulo.
02 =+− psxx , queremos mostrar que βα e são as raízes da equação.
Agora, denominamos s o semiperímetro e p a sua área, assim s=+ βα , p=βα. .
Substituindo βα e na equação 02 =+− psxx , vamos verificar que esta se anula para α=x
e β=x .
Considerando α=x temos:
0)( 2222 =+−−=++−=+− αβαβαααβαβαααα ps
E para β=x , temos:
0)( 2222 =+−−=++−=+− αβαβββαβββαβββ ps
Logo βα e são raízes da equação.
Uma outra maneira de chegarmos a esta conclusão é:
Substituindo s e p, com s=+ βα e p=βα. , na equação 02 =+− psxx
αββα ++−=+− xxpsxx )(22
E também vale:
αββαβα ++−=−− xxxx )())(( 2
Portanto ))((2 βα −−=+− xxpsxx
Então βα e são os únicos valores de x que satisfazem a equação. Logo βα e são as raizes
procuradas.
2) Suponha que se queira fatorar a expressão algébrica 542 −+ xx , isto é escrever.
542 −+ xx = ))(( bxax ++
Como abxbaxbxax +++=++ ).())(( 2 , então: 54).( 22 −+=+++ xxabxbax .
Temos, portanto duas condições a serem satisfeitas são:
5.
4
−==+
ba
ba
Por tentativa, podemos escolher vários pares ordenados de números (a, b) inteiros que tenham
soma 4:
(2,2), (3,1), (5, -1), (7, -3), (0,4), (6, -2).
23
Da mesma forma, tomam-se pares ordenados de números (a, b) que tenham produto –5:
(-1,5), (5, -1), (1, -5).
Os pares que satisfazem as duas condições ao mesmo tempo são: (-1,5), (5, -1).
Para o par: (-1,5) Para o par: (5, -1)
Soma: 5-1 = 4
Produto: 5.(-1) = -5
Soma: -1+5 = 4
Produto: (-1).5 = -5
Portanto, podemos escrever: )1)(5(542 −+=−+ xxxx ou )1)(5( −+ xx .
3) Interpretação geométrica da fatoração. Vejamos um exemplo:
Fatorar o trinômio 232 ++ xx , como no exemplo anterior, podemos escrever
abxbaxxx +++=++ )(23 22 assim devemos ter:
==+2.
3
ba
ba
Dois números que satisfazem simultaneamente as duas condições são 2 e 1.
Soma: 2+1 = 3
Produto: 2.1 = 2
Portanto,
1,01
2,02
)1)(2(232
−==+−==+
++=++
xx
xx
xxxx
As raízes da equação 0232 =++ xx , são –2 e –1
Geometricamente temos:
Representamos cada termo do trinômio como área de um quadrado ou retângulo.
Figura 4
2X
24
Juntamos essas regiões para formar uma região retangular de mesma área.
Figura 5
Assim: )1)(2(232 ++=++ xxxx . O par (-2, -1) é solução da equação onde a soma é
312 −=−− e o produto é 2)1).(2( =−− .
No decorrer do tempo, vários métodos foram introduzidos, porém um dos mais
conceituados é o de completar quadrados.
4) Sabemos que 222 2)( aaxxax +−=− . Se consideramos 42
22
2s
sxxs
x +−=
− .
Considerando o binômio psxx +−2 é possível adicionar ou subtrair a expressão 4
2s e
obtém-se:
4
4
242
4442222
222
22
spsx
sp
sx
sp
ssxxp
ssxx
−+
−=−+
−
=−++−=++−
Com isto podemos concluir que:
1) A parcela 2
2
− sx é positiva para todo
2
sx ≠ e se anula para
2
sx = . Resulta que x varia
entre todos os valores reais.
Quando 2
sx = , o valor da equação é
4
4 2sp −.
2) A igualdade 4
4
2
22sps
x−+
− , nos dá a fórmula para encontrar as raízes da equação
02 =+− psxx .
2X
25
04
4
2
22
=−+
− spsx
ou ainda,
4
4
2
22pss
x−=
−
Elevando ambos os membros ao quadrado, temos
4
4
2
2 pssx
−±=−
2
4
2
2 pssx
−±=−
2
4
2
2 pssx
−±=
Portanto:
2
42 pssx
−±=
5) Algebricamente podemos resolver uma equação de 2º grau completando quadrados.
Por exemplo, quais as raízes da equação 01242 =++ xx .
Adiciona-se 4 a ambos os membros para que o primeiro membro se torne um trinômio
perfeito.
Assim 412442 +=++ xx
Quadrado de 2
O dobro do produto de x por 2
Quadrado de x
Fatorando o trinômio perfeito, temos
( )
624
224
42
16)2(
162
''
'
2
−=−−=
=−=
±=+±=+
=+
x
x
x
x
x
26
Geometricamente, podemos considerar
Figura 6
6) O método de “completar quadrados” dá uma interpretação geométrica à resolução de
equações de 2º grau.
Por exemplo, seja 0362 =−+ xx
Pelo “método de completar quadrados” temos 362 =+ xx
A interpretação geométrica da expressão algébrica xx 62 + é
Figura 7
Logo completando o quadrado, temos:
2X
2X
1
27
Figura 8
Completa-se o quadrado juntando 9 quadrados de área 1, encontramos o trinômio
quadrado perfeito 962 ++ xx .
Ao considerar o trinômio 362 −+ xx para torná-lo quadrado perfeito é necessário
adicionar e subtrair 9, 099362 =−+−+ xx reescrevendo temos:
093962 =−−++ xx e fatorando:
123
12)3(
12)3(
12962
2
±−=
±=+
=+
=++
x
x
x
xx
2.8 A fórmula de resolução da equação do 2º grau: uma grande descoberta:
Generalizando a resolução de uma equação do 2º grau.
Para se chegar à fórmula, da equação na forma geral: 02 =++ cbxax supondo 0≠a ,
transforma-se a equação dada em um trinômio perfeito, baseando-se na contribuição de Viéte.
De fato,
seja a equação 02 =++ cbxax .
Somando a ambos os membros (-c), temos:
cbxax −=+2
Dividindo ambos os membros por a
a
cx
a
bx −=+2
28
Os termos da esquerda podem ser considerados como os dois primeiros do
desenvolvimento do quadrado de um binômio. Procura-se o 3º termo.
Para completar o quadrado do primeiro membro soma-se 2
2
4a
ba ambos os membros.
a
c
a
b
a
bx
a
bx −=++
2
2
2
22
44
Fatorando o trinômio quadrado perfeito obtém-se:
a
c
a
b
a
bx
a
bx
a
bx −=++=
+2
2
2
22
2
442
2
2
2
22
4
4
24
4
2 a
acb
a
bx
a
acb
a
bx
−±=+⇒−=
+
2
2
4
4
2 a
acb
a
bx
−±−=
a
acb
a
bx
2
4
2
2 −±−=
a
acbbx
2
42 −±−=
Este resultado generalizado foi desenvolvido pelo matemático por William Outghtred
(1754-1660) e apresentado na obra “Clavis mathematicce cum tractatu aequationum in
numeris....(1631)” que considera a equação do 2º grau na forma geral, cuja solução é dada
pela fórmula que é chamada de fórmula de Bháskara que vale para qualquer equação do 2º
grau.
29
3 CONCLUSÃO
Ao realizar o estudo sobre a história da matemática verificou-se a evolução dos
conceitos sobre a equação de 2º grau e a preocupação que os matemáticos tiveram ao tentar
solucionar o problema. Assim a História da Matemática é um valioso instrumento no processo
ensino-aprendizagem na Matemática.
Observa-se que os Babilônios, em relação a equações do 2º grau, tinham soluções
puramente algébricas para resolver problemas desse tipo, era o uso do algoritmo para
encontrar a solução. Os gregos obtiveram soluções geométricas, e de difícil compreensão.
Uma justificativa para esse fato era que os gregos não tinham um sistema de numeração bem
definido.
Os árabes apresentaram uma abordagem diferente para o tratamento de soluções de
equações do 2º grau, relacionando a álgebra e a geometria. Esses matemáticos contribuíram,
quanto à abordagem geométrica utilizada pelos gregos e a abordagem algébrica empregada
pelos babilônios. Os árabes demonstraram algebricamente e, logo em seguida,
geometricamente a resolução da equação do 2º grau e os europeus aprimoraram a técnica,
fornecida pelos árabes: desenvolver a álgebra simbólica, e utilizar os números negativos como
possíveis raízes de uma equação quadrática, em que ainda não era considerada pelos outros
povos.
Logo, observa-se que é possível buscar na História da Matemática, um suporte para
estudar matemática e, em particular, a equação quadrática, focalizando o aspecto geométrico e
algébrico, analisando a evolução histórica e a contribuição de cada povo, em diferentes
épocas.
Fundamentado na evolução histórica, principalmente pelo matemático François Viéte
chegou-se à generalização, isto é, como usa-se a equação do 2º grau na forma geral, a fórmula
que é chamada de fórmula de Bhaskara vale para qualquer equação do 2º grau.
30
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AMARAL, João Tomas do. Método de Viéte para resolução de equações do 2ºgrau. Revista da Sociedade Brasileira de Educação Matemática. Nº.13. Julho/1988. FRAGOSO, Wagner da Cunha. Uma Abordagem Histórica da Equação do 2º Grau. RPM. n. 43. p. 20 a 25. 2000. NOBRE, Sergio. História da resolução da equação de 2º grau: Uma Abordagem Pedagógica. Coleção histórica da matemática para professores. ed. Sociedade Brasileira de História da Matemática. Rio Claro – SP: Abril 2003. OLIVEIRA, Ana Teresa. A relação Álgebra/Geometria no estudo da equação do 2º grau. Revista da Associação de Professores de Matemática. Nº.76. Jan/Fev/2004. PITOMBEIRA, João Bosco. Revisitando Uma Velha Conhecida. Departamento de Matemática. PUC-Rio. p.1 a 41. SILVA, Circe Mary S. da. Conhecendo e usando da história da matemática. Revista da Associação de Professores de Matemática. Nº.61. Jan/Fev/2001.