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ME414 - Estatística paraExperimentalistasParte 20

Inferência para duas populações:Teste de hipótese para duas médias

Teste de hipótese para duas médias

População 1: Coletamos uma amostra aleatória de umapopulação com média e a variância e usamos para estimar .

População 2: Coletamos uma amostra aleatória de umapopulação com média e a variância e usamos para estimar .

A população 1 é independente da população 2.

, , … ,X1 X2 Xnμ1 σ

21

X̄ μ1

, , … ,Y1 Y2 Ymμ2 σ

22

Ȳ μ2

3/41


Condições:

Se pelo menos uma das condições acima é satisfeita, temos:

1. As populações 1 e 2 são aproximadamente normais ou

2. Os tamanhos amostrais e são suficientemente grandes.n m

∼ N ( , ) e ∼ N ( , )X̄ μ1σ21

nȲ μ2

σ22

m

4/41

Teste de hipótese para duas médias ( )

Caso 1: Variâncias diferentes e conhecidas

Assumindo que as duas amostras e são independentescom conhecidas, temos:

≠σ21

σ22

, … ,X1 Xn , … ,Y1 Ym≠σ2

1σ22

− ∼ N ( − , + )X̄ Ȳ μ1 μ2σ21

n

σ22

m

5/41


Caso 1: Variâncias diferentes e conhecidas

Temos interesse em testar as hipóteses:

E daí, sob , temos que:

≠σ21

σ22

: − = vs : −H0 μ1 μ2 Δ0 HA μ1 μ2

: −HA μ1 μ2

: −HA μ1 μ2

≠ ouΔ0

< ouΔ0

> .Δ0

H0

Z = ∼ N(0, 1)( − ) −X̄ Ȳ ( − )μ1 μ2

Δ0

+σ2

1

n

σ2

2

m

‾ ‾‾‾‾‾‾‾√

6/41


Definidas as hipóteses, coletamos as informações das duas populações.

Para a população : uma amostra aleatória de tamanho é coletada e calcula-se a média amostral .

Para a população : similarmente, uma amostra aleatória de tamanho écoletada e calcula-se a média amostral .

Calcula-se a estatística do teste:

≠σ21

σ22

X n

x̄

Y m

ȳ

Z = ⟹ =( − ) −X̄ Ȳ ( − )μ1 μ2

Δ0

+σ2

1

n

σ2

2

m

‾ ‾‾‾‾‾‾‾√zobs

( − ) −x̄ ȳ Δ0

+σ2

1

n

σ2

2

m

‾ ‾‾‾‾‾‾‾√

7/41


O valor-de-p é calculado de acordo com a hipótese alternativa.

Se o teste é bilateral, ou seja,

Usando o valor observado da estatísticado teste:

Conclusão: Rejeita-se se valor-p ou, de forma equivalente, se cai naregião crítica (área cinza do gráfico).

≠σ21

σ22

: −H0 μ1 μ2

: −HA μ1 μ2

= Δ0

≠ Δ0

valor-p = P(|Z| ≥ | |)zobs= 2P(Z ≤ −| |)zobs

H0 ≤ α zobs

8/41



Se o teste é unilateral à esquerda, ou seja,


Conclusão: Rejeita-se se valor-p ou, de forma equivalente, se cai na região crítica (área cinza à esquerda dográfico).

≠σ21

σ22

: −H0 μ1 μ2

: −HA μ1 μ2

= Δ0

< Δ0

valor-p = P(Z ≤ )zobs

H0 ≤ α

zobs

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Se o teste é unilateral à direita, ou seja,


Conclusão: Rejeita-se se valor-p ou, de forma equivalente, se cai na região crítica (área cinza à direita dográfico).

≠σ21

σ22

: −H0 μ1 μ2

: −HA μ1 μ2

= Δ0

> Δ0

valor-p = P(Z ≥ )zobs

H0 ≤ α

zobs

10/41


Caso 2: Variâncias iguais e conhecidas

As hipóteses são as mesmas que as testadas no caso 1.


=σ21

σ22

− ∼ N ( − , + )X̄ Ȳ μ1 μ2σ2

n

σ2

m

H0

Z = ∼ N(0, 1)( − ) −X̄ Ȳ ( − )μ1 μ2

Δ0

( + )σ2 1n 1m‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

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Caso 3: Variâncias iguais e desconhecidas

Assim como no caso de uma média com variância desconhecida, usamos umaestimativa de e a distribuição normal é substituída pela distribuição .

No caso de duas populações, o estimador da variância é a combinação dasvariâncias amostrais de cada população, ou seja,

sendo é a variância amostral da população .

=σ21

σ22

σ2 t

σ2

= ,S2p(n − 1) + (m − 1)S2

1S22

n + m − 2

S2i i

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As variâncias são iguais .

Quando é conhecida:

Quando é desconhecida:

= =σ21

σ22

σ2

σ2

Z = ∼ N(0, 1)− − ( − )X̄ Ȳ μ1 μ2

( + )σ2 1n 1m‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√σ2

T = ∼− − ( − )X̄ Ȳ μ1 μ2

( + )S2p 1n 1m‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√tn+m−2

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Temos interesse em testar:


Observação: Se e são pequenos, as duas amostras devem vir de populaçõesaproximadamente normais. Se e são grandes, então a distribuição com

graus de liberdade aproxima-se de uma normal.

Esse teste é conhecido como teste t para amostras independentes.

=σ21

σ22

: − = vs : − ≠ (ou hipóteses unilaterais)H0 μ1 μ2 Δ0 HA μ1 μ2 Δ0

H0

T = ∼ .( − ) −X̄ Ȳ ( − )μ1 μ2

Δ0

( + )S2p 1n 1m‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√tn+m−2

n m

n m t

n + m − 2

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Resumo: Teste de hipótese para duas médias

Para

Variâncias Estatística do teste Valor crítico para Valor de p

Diferentes e conhecidas ( )

Iguais e conhecidas ( )

Iguais e desconhecidas ( )

: − = vs : − ≠H0 μ1 μ2 Δ0 HA μ1 μ2 Δ0

α

≠σ21

σ2

2

Z = ∼ N(0, 1)( − ) −X̄ Ȳ Δ0

+σ

2

1

n

σ2

2

m

‾ ‾‾‾‾‾‾‾√rejeitar se | | ≥zobs zα/2 2P(Z ≥ | |)zobs

= =σ2

1σ2

2σ2 Z = ∼ N(0, 1)

( − ) −X̄ Ȳ Δ0

( + )σ2 1n 1m‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√rejeitar se | | ≥zobs zα/2 2P(Z ≥ | |)zobs

= =σ2

1σ2

2σ2 T = ∼

( − ) −X̄ Ȳ Δ0

( + )S2p 1n 1m‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√tn+m−2 rejeitar se | | ≥tobs tn+m−2,α/2 2P(T ≥ | |)tobs

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Para


Diferentes e conhecidas ( ) rejeitar se

Iguais e conhecidas ( ) rejeitar se

Iguais e desconhecidas ( ) rejeitar se

: − = vs : −


Para


Diferentes e conhecidas ( ) rejeitar se

Iguais e conhecidas ( ) rejeitar se

Iguais e desconhecidas ( ) rejeitar se

: − = vs : − >H0 μ1 μ2 Δ0 HA μ1 μ2 Δ0

α

≠σ21

σ2

2

Z = ∼ N(0, 1)( − ) −X̄ Ȳ Δ0

+σ

2

1

n

σ2

2

m

‾ ‾‾‾‾‾‾‾√≥zobs zα P(Z ≥ )zobs

= =σ2

1σ2

2σ2 Z = ∼ N(0, 1)

( − ) −X̄ Ȳ Δ0

( + )σ2 1n 1m‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√≥zobs zα P(Z ≥ )zobs

= =σ2

1σ2

2σ2 T = ∼

( − ) −X̄ Ȳ Δ0

( + )S2p 1n 1m‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√tn+m−2 ≥tobs tn+m+2,α P(T ≥ )tobs

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Relembrando: Como encontrar

Procure na tabela o valor de tal que a probabilidade acumulada até o valor de , isto é, , seja .

zα/2

P(|Z| ≤ ) = P(− ≤ Z ≤ ) = 1 − αzα/2 zα/2 zα/2

z

z P(Z ≤ z) = Φ(z) 1 − α/2

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Relembrando: Como encontrar

Nesse caso, e os valores da distribuição encontram-setabelados.

tν,α/2

P(− < T < ) = 1 − αtν,α/2 tν,α/2

ν = n + m − 2 t

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Exemplo: Tempo de Incubação

O tempo de incubação do vírus 1 segue uma distribuição normal com média e desvio padrão .

Por outro lado, o tempo de incubação do vírus 2 segue uma distribuição normalcom média e desvio padrão .

Os tempos de incubação de ambos os vírus são considerados independentes.

Afirma-se que em média, o tempo de incubação do vírus 1 é 3 meses depois dotempo médio de incubação do vírus 2.

μ1

=σ1 2‾√

μ2 = 1σ2

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Realizaram um estudo de controle e os tempos de incubação registrados foram(tempo em meses):

X: tempo de incubação do vírus 1 (20 observações)

Y: tempo de incubação do vírus 2 (22 observações)

## [1] 4.56 3.72 3.45 2.86 4.03 4.08 6.56 4.31 0.42 5.56 5.92 2.65 4.54 4.04 4.23 ## [16] 6.24 6.16 5.46 3.22 2.28

## [1] 2.44 1.49 2.68 2.60 1.51 1.60 1.47 3.70 2.22 1.78 2.36 1.56 2.98 3.33 2.22 ## [16] 0.58 2.26 2.26 1.92 0.50 1.17 1.70

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Recentemente, pacientes contaminados com os vírus foram avaliados esuspeita-se que talvez o tempo de incubação do vírus 1 não seja 3 meses depoisdo tempo médio de incubação do vírus 2.

Definindo as hipóteses as serem testadas:

Os dados coletados serão usados para avaliar se temos ou não evidências contra.

Vamos calcular a média amostral das duas populações: e .

Pelo enunciado, as duas populações são normais e as variâncias são conhecidas: e . Veja que as populações são normais, variâncias diferentes

mas conhecidas. Além disso, e .

: − = 3 vs : − ≠ 3H0 μ1 μ2 HA μ1 μ2

H0

= 4.21x̄ = 2.02ȳ

= 2σ21

= 1σ22

n = 20 m = 22

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Cálculo da estatística do teste:

Como é um teste bilateral, o valor de p é dado por:

Para um nível de significância : Como p-valor = 0.034 , nãotemos evidência para rejeitar .

Valor crítico para : , ou seja, rejeita-se se ou .

= = = −2.12zobs( − ) −x̄ ȳ Δ0

+σ2

1

n

σ2

2

m

‾ ‾‾‾‾‾‾‾√(4.21 − 2.02) − 3

+220

1

22

‾ ‾‾‾‾‾‾‾√

valor-p = P(|Z| ≥ | |) = P(|Z| ≥ 2.12) = 2P(Z ≤ −2.12) = 0.034zobs

α = 0.01 > α = 0.01: = 3 +H0 μ1 μ2

α = 0.01 = 2.58z0.005 H0 ≥ 2.58zobs≤ −2.58zobs

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Exemplo: Tecidos

Dois tipos diferentes de tecido devem ser comparados. Uma máquina de testesMartindale pode comparar duas amostras ao mesmo tempo. O peso (emmiligramas) para sete experimentos foram:

Tecido 1 2 3 4 5 6 7

A 36 26 31 38 28 20 37

B 39 27 35 42 31 39 22

Construa um teste de hipótese com nível de significância 5% para testar ahipótese nula de igualdade entre os pesos médios dos tecidos. Admita que avariância é a mesma, e igual a 49.

Quais outras suposições são necessárias para que o teste seja válido?

Adaptado de: Profa. Nancy Garcia, Notas de aula.

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Exemplo: Tecidos

Os tecidos do tipo A tem uma média amostral igual a . Já os tecidosdo tipo B têm média amostral de .

A variância populacional é igual a 49, enquanto as variâncias amostrais são 44.14e 52.62, respectivamente.

Suposições: Como os tamanhos amostrais são pequenos, devemosassumir os pesos dos tecidos dos dois tipos são normalmente distribuídos ouseja, e . Além disso são independentes e comvariâncias iguais.

= 30.86x̄A= 33.57x̄B

n = m = 7

∼ N( , )XA μA σ2 ∼ N( , )XB μB σ

2

25/41

Exemplo: Tecidos

Assumimos que as variâncias são iguais e conhecidas ( ). Além

disso, e .

Definindo as hipóteses a serem testadas:

Como a variância é conhecida, a estatística do teste é dada por

Se a hipótese nula é verdadeira, temos que e .Note que a hipótese alternativa é do tipo , então o teste é bilateral.

= = 49σ21

σ22

n = 7 m = 7

: − = 0 vs : − ≠ 0H0 μA μB HA μA μB

Z =( − ) −X̄A X̄B Δ0

( + )σ2 1nA1

nB‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

= − = 0Δ0 μA μB Z ∼ N (0, 1)≠

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Exemplo: Tecidos

Cálculo da estatística do teste:

Como é um teste bilateral, o valor de p é dado por:

Para um nível de significância : Como p-valor = ,não temos evidência para rejeitar .

Valor crítico para : , ou seja, rejeita-se se .

bs = = = −0.72zo( − ) −x̄A x̄B Δ0

( + )σ2 1n 1m‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√(30.86 − 33.57) − 0

49 ( + )17 17‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

valor-p = P(|Z| ≥ | |) = P(|Z| ≥ 0.72) = 2P(Z ≤ −0.72) = 0.4716zobs

α = 0.05 0.4716 > α = 0.05: =H0 μA μB

α = 0.05 = 1.96z0.025 H0| | ≥ 1.96zobs

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Exemplo: Tecidos

Vamos assumir agora que a variância populacional não fosse conhecida.

Assumindo ainda que as variâncias são iguais mas desconhecidas, vamos entãoestimar a variância amostral combinada.

Sabendo que , e temos:= 44.14s21

= 52.62s22

n = m = 7

s2p =(n − 1) + (m − 1)s2

1s22

n + m − 2

=(7 − 1)44.14 + (7 − 1)52.62

7 + 7 − 2

= 48.38

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Exemplo: Tecidos

Nesse caso, a estatística do teste, sob , é dada por:

Então,

Para um nível de significância , rejeitamos se .

No caso, . Portanto, não temos evidências pararejeitar a hipótese de que as médias dos dois tecidos são iguais.

H0

T = ∼−X̄A X̄B

( + )S2p 1nA1

nB

‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√tn+m−2

= = = −0.73tobs−x̄A x̄B

( + )s2p 1nA1

nB‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

30.86 − 33.57

48.38 ( + )17 17‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√α = 0.05 H0 | | ≥tobs tn+m−2,0.025

| | = 0.73 < 2.18 =tobs t12,0.025

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Inferência para duas populações:Teste de hipótese para duasproporções

Teste de hipótese para duas proporções

Considere e duas amostras independentes de ensaiosde Bernoulli tal que e , com probabilidade e deapresentarem uma certa característica.

Temos interesse em testar as hipóteses:

Em aulas anteriores vimos que:

Como as variâncias de e dependem de e e, portanto, não sãoconhecidas, iremos usar uma estimativa dessas variâncias.

, … ,X1 Xn1 , … ,Y1 Yn2X ∼ b( )p1 Y ∼ b( )p2 p1 p2

: − = 0 vs : −H0 p1 p2 HA p1 p2

: −HA p1 p2

: −HA p1 p2

≠ 0 ou

< 0 ou

> 0

∼ N ( , ) e ∼ N ( , )p̂ 1 p1(1 − )p1 p1

n1p̂ 2 p2

(1 − )p2 p2

n2

p̂ 1 p̂ 2 p1 p2

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Sob , , portanto:

No entanto, é desconhecido.

Iremos utilizar como estimativa para , a proporção de sucessos na amostratoda ( ), sem levar em consideração as populações, ou seja,

H0 = = pp1 p2

∼ N ( , ) e ∼ N ( , )p̂ 1 p1p(1 − p)

n1p̂ 2 p2

p(1 − p)

n2

p

p

p̂

= .p̂+n1 p̂1 n2 p̂2+ n2n1

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Então, para usamos a estatística do teste a seguir:

em que é a proporção de sucessos entre os elementos amostrados.

Condições: Todas as quantidades devem ser pelo menos igual a 10 para que a aproximação pela normal sejaválida.

: =H0 p1 p2

Z = ∼ N(0, 1)−p̂ 1 p̂ 2

(1 − ) ( + )p̂ p̂ 1n11

n2

‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√p̂ +n1 n2

, (1 − ), e (1 − )n1 p̂ 1 n1 p̂ 1 n2 p̂ 2 n2 p̂ 2

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Para testar , calcula-se a estatística do teste

O valor de p e a conclusão se dá de acordo com a hipótese alternativa na tabela:

Hipótese Alternativa Valor crítico para Valor de p

rejeitar se

rejeitar se

rejeitar se

: − = 0H0 p1 p2

Z = ∼ N(0, 1)−p̂ 1 p̂ 2

(1 − ) ( + )p̂ p̂ 1n11

n2

‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

α

: − ≠ 0HA p1 p2 H0 ∣ ∣≥zobs zα/2 2P(Z ≥∣ ∣)zobs

: − < 0HA p1 p2 H0 ≤ −zobs zα P(Z ≤ )zobs

: − > 0HA p1 p2 H0 ≥zobs zα P(Z ≥ )zobs

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Exemplo: decisão sobre gastos

O dinheiro que não é gasto hoje pode ser gasto depois.

Será que ao relembrar o aluno deste fato faz com que tome a decisão sobre umacompra de maneira diferente?

O cético pode pensar que relembrar não irá influenciar na decisão.

Podemos utilizar um teste de hipótese:

: Relembrar o aluno de que ele pode poupar para comprar algo especialdepois não irá influenciar na decisão de gasto do aluno.

: Relembrar o aluno de que ele pode poupar para comprar algo especialdepois irá aumentar a chance dele não gastar em algo no presente.

· H0

· HA

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Alunos de ME414 do segundo semestres de 2015 foram recrutados para um estudo e cada um recebeu aseguinte informação através do Google Forms:

Imagine que você estivesse poupando para comprar algo especial. Em uma visita ao shopping você encontraum DVD da sua série/filme favorita que estava na sua “lista de desejos” há tempos. O DVD está em promoção,custando R$ 20,00. O que você faria?

56 alunos (Grupo 1) selecionados ao acaso receberam a seguinte opção de resposta:

54 alunos (Grupo 2) selecionados ao acaso receberam a seguinte opção de resposta:

Obs: estudo adaptado do artigo Frederick S, Novemsky N, Wang J, Dhar R, Nowlis S. 2009. Opportunity CostNeglect. Journal of Consumer Research 36: 553-561.

Compraria o DVD.

Não compraria o DVD.

·

·

Compraria o DVD.

Não compraria o DVD. Pouparia os R$ 20,00 para algo especial.

·

·

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http://faculty.som.yale.edu/ravidhar/documents/OpportunityCostNeglect.pdf


Compraria Não compraria Total

Grupo1 31 25 56

Grupo2 29 25 54

Entre os alunos do Grupo 1, a proporção que decide não comprar foi

Entre os alunos do Grupo 2, a proporção que decide não comprar foi

Temos evidências contra a hipótese nula, ou seja, relembrar o aluno nãoinfluencia na decisão?

= 25/56 = 0.45p̂1

= 25/54 = 0.46p̂2

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Para realizar o teste de hipótese, devemos fazer algumas suposições.

Considere duas populações, e , tal que:

Queremos testar:

X Y

indica se o i-ésimo aluno do Grupo 1 decide não comprar o DVD e é a probabilidade de decidir por não comprar.

· ∼ b( )Xi p1p1

indica se o i-ésimo aluno do Grupo 2 decide não comprar o DVD e é a probabilidade de decidir por não comprar.

· ∼ b( )Yi p2p2

: = vs :


Seja a proporção que decide não comprar entre os alunos amostrados do Grupo 1. Seja a proporção que decide não comprar entre os alunos amostrados do Grupo 2.

Relembrando o TCL:

Condições: Todas as quantidades devem ser pelo menos igual a10 para que a aproximação pela normal seja válida.

Então, para : usamos a estatística do teste a seguir:

em que é a proporção que decide não comprar entre os alunos amostrados:

p̂ 1 n1p̂ 2 n2

∼ N ( , ) e ∼ N ( , )p̂ 1 p1(1 − )p1 p1

n1p̂ 2 p2

(1 − )p2 p2

n2

, (1 − ), e (1 − )n1 p̂ 1 n1 p̂ 1 n2 p̂ 2 n2 p̂ 2

H0 =p1 p2

Z = ∼ N(0, 1),( − )p̂ 1 p̂ 2

(1 − ) ( + )p̂ p̂ 1n11

n2

‾ ‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√p̂ +n1 n2

= = = 0.45p̂25 + 25

56 + 54

50

110

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Calculando a estatística do teste:

Para um nível de significância , rejeitamos se . No caso, . Portanto, não temos evidências pararejeitar a hipótese de que as duas proporções são iguais.

valor de p = . Portanto, nãorejeitamos .

{ ⟺ {: =H0 p1 p2: −1.64 = −zobs z0.05

P(Z ≤ ) = P(Z ≤ −0.11) = 0.4562 > αzobsH0

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Leituras

Slides produzidos pelos professores:

Ross: seções 10.1, 10.2, 10.3, 10.4 e 10.6.

OpenIntro: seções 3.2 e 4.3.

Magalhães: capítulo 9.

·

·

·

Samara Kiihl

Tatiana Benaglia

Larissa Matos

Benilton Carvalho

·

·

·

·

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http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780123743886000107https://www.openintro.org/stat/textbook.php

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