sgc_see_mg_2014_matematica_01_a_20.pdf

MATEMÁTICA – SEE - MG

Prof. Daniel Almeida

AULA 01, 02 E 03

1

RAZAO E PROPORÇÃO Chama-se razão entre dois números racionais a e b , com b ≠ 0 ,

ao quociente b

a. Também representamos este quociente por

a:b. Exemplo: No tanque do meu veículo “flex” eu coloco 20 litros de gasolina e 30 litros de álcool a cada abastecimento. Ou seja, em uma razão

de 3

2

30

20 . Concluímos que para cada 2 litros de gasolina

colocamos 3 litros de álcool no tanque. Proporção: É uma igualdade de duas razões.Dizemos que a

está para b assim como c está para d quando d

c

b

a , ou seja,

a,b,c,d (nesta ordem) formam uma proporção.

Propriedade fundamental: Exemplo: 1,2,3,x são proporcionais nesta ordem. Calcule o valor de x.

x

3

2

1 (Utilizando a propriedade acima)

Temos que: 1.x = 2.3 Logo:

APLICAÇÕES Entre as aplicações práticas de razões, as mais comuns são Velocidade média

A velocidade média em geral é uma grandeza obtida pela razão entre uma distância percorrida e o tempo gasto.

Velocidade Média =

Distância percorrida

Tempo gasto no percurso

Exemplo:

Suponhamos que um carro percorreu 120 km em 2 horas. A velocidade média do carro neste percurso é calculada a partir da razão:

Velocidade Média =

120 km

2 horas

O que significa que, por 1 hora o carro percorreu 60 km. Escala

Escala é a comparação da razão entre o comprimento considerado no desenho e o comprimento real correspondente, ambos na mesma unidade de medida.

Escala =

Comprimento do desenho

Comprimento real

Exemplo:

Em um desenho, um comprimento de 8m está representado por 16 cm. Qual a escala usada para fazer esse desenho?

Escala =

16 cm

800 cm

DIVISÃO PROPORCIONAL Utilizamos divisão proporcional quando queremos dividir uma quantia qualquer em partes proporcionais a valores pré-determinados. Ex: Dividir 100 reais em partes proporcionais a 2, 3 e 5. Sabemos que ao somar as 3 partes deveremos obter 100 reais,ou seja: A + B + C = 100 Como A é proporcional a 2, B é proporcional a 3 e C é proporcional a 5, podemos dizer que: A = 2k B = 3k C = 5k Assim substituindo na equação inicial temos: 2k + 3k + 5k = 100 10k = 100 k = 10 Finalmente, A = 20 B = 30 C = 50 Grandezas diretamente proporcionais

Duas grandezas a e b são diretamente proporcionais quando, a razão entre elas é constante, isto é aumentando uma delas, a outra aumenta na mesma razão da primeira. Grandezas inversamente proporcionais

Duas grandezas a e b são inversamente proporcionais quando, o produto entre elas é constante, isto é aumentando uma delas, a outra diminui na mesma razão da primeira.

a.d = b.c

X = 6



AULA 01, 02 E 03

2

TESTES EM SALA: 01. (UTFPR) A idade de João está para a de Mário, assim

como 7 está para 8. A soma das idades resulta 45 anos. Qual é a idade de cada um? a) 18 e 27 b) 20 e 25 c) 21 e 24 d) 22 e 23 02. (CEFET) Um pai resolveu dar um presente de natal

diferente para os seus filhos; Ana com 5 anos, Carlos com 7 anos e Joana, 8 anos. Deixou sob a árvore enfeitada um envelope contendo R$ 560,00 e um bilhete que dizia que esse dinheiro deveria ser dividido pelos seus filhos proporcionalmente às suas respectivas idades. Quais os valores recebidos pelos filhos? 03. (FCC/2008-PREFEITURA/SP) Lourival e Juvenal são

funcionários da Prefeitura Municipal de São Paulo há 8 e 12 anos, respectivamente. Eles foram incumbidos de inspecionar as instalações de 75 estabelecimentos comerciais ao longo de certa semana e decidiram dividir esse total entre si, em partes inversamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço na Prefeitura. Com base nessas informações, é correto afirmar que coube a Lourival inspecionar a) 50 estabelecimentos. b) 15 estabelecimentos a menos do que Juvenal. c) 20 estabelecimentos a mais do que Juvenal. d) 40% do total de estabelecimentos. e) 60% do total de estabelecimentos. 04. (ESPP-MPP-PR-2010) A quantia de R$ 290,00 foi

dividida entre duas crianças. A divisão seguiu o seguinte critério: ser diretamente proporcional as suas idades e inversamente proporcional aos seus pesos. Sabendo que elas tinham 10 e 12 anos e pesavam respectivamente, 50 e 40 quilos, a quantia que a mais velha recebeu foi: a) R$ 195 b) R$ 116 c) R$ 153 d) R$ 174 e) R$ 108 05. Três amigos desejam investir um total de R$ 60.000 na

abertura de um supermercado. Pedro participará com R$ 30.000, Bruno com R$ 20.000 e Felipe com o restante. Se o supermercado for vendido por R$ 210.000 em 2 anos, qual foi a média anual de lucro obtida por Felipe: a) R$ 35.000 b) R$ 25.000 c) R$ 12.500 d) R$ 105.000 e) n.d.a.

TESTES: 01. (FCC/2007-TRT-23ª) Relativamente a duas seções de

uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho, sabe-se que:

o número de funcionários de uma excede o da outra em 15 unidades;

a razão entre os números de seus funcionários é igual a

12

7 .

Nessas condições, o total de funcionários das duas seções é a) 65 b) 63 c) 59 d) 57 e) 49 02. (FCC/2008-TRF-5ª) A razão entre as idades de dois

técnicos é igual a 9

5 . Se a soma dessas idades é igual a 70

anos, quantos anos o mais jovem tem a menos do que o mais velho? a) 15 b) 18 c) 20 d) 22 e) 25 03. (PUC) Cecília presenteou seus netos, André de 8 anos e

Sofia de 6 anos, com a quantia de R$420,00 dividida em partes proporcionais a suas idades. A quantia recebida por Sofia, em reais, foi:

a) 180 b) 240 c) 300 d) 320 04. (UDESC) Uma empresa distribuiu um lucro de R$

30.000,00 a seus três sócios. A porção do lucro recebido pelo sócio de maior participação na empresa, se a participação nos lucros for diretamente proporcional aos números 2, 3 e 5, é:

a) R$ 22.000,00 b) R$ 6.000,00 c) R$ 9.000,00 d) R$ 15.000,00 e) R$ 24.000,00 05. (UFU) Paulo, Ana e Luís formaram uma sociedade e

investiram, respectivamente , R$ 2.500,00; R$ 3.500,00 e R$ 4.000,00 num fundo de investimentos. Após um ano, a aplicação estava com um saldo de R$ 12.500,00. Se os três investidores regatarem somente o rendimento e dividirem em partes diretamente proporcionais aos valores investidos, a diferença entre os valores recebidos por Ana e Paulo será igual a a) R$ 125,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 250,00 d) R$ 500,00



AULA 01, 02 E 03

3

06. (FAE-São Gonçalo) Um certo número de documentos

foi distribuído entre três fiscais, em partes diretamente proporcionais a 6, 8 e 9, respectivamente. O primeiro fiscal recebeu 960 documentos. O número de documentos distribuídos entre os três fiscais corresponde a: a) 2.880 b) 2.960 c) 3.680 d) 3.840 07. (FCC/2009-TRT-15ª) Três Técnicos Judiciários –

Alberico, Benivaldo e Corifeu – devem arquivar 340 processos e, para executar esta tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que: – Alberico tem 36 anos; – Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de

Corifeu, o mais jovem, em 12 anos; – caberá a Corifeu arquivar 90 processos. Nessas condições, é correto afirmar que a) as idades dos três somam 105 anos. b) Benivaldo deverá arquivar 110 processos. c) Corifeu tem 28 anos. d) Alberico deverá arquivar 120 processos. e) Benivaldo tem 35 anos. 08. (FCC/2008-TRF-5ª) Certa noite, dois técnicos em

segurança vistoriaram as 130 salas do edifício de uma Unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de salas vistoriadas pelo mais jovem foi a) 68 b) 66 c) 64 d) 62 e) 60 09. (FCC/2008-TRF-5ª) Certa noite, dois técnicos em

segurança vistoriaram as 130 salas do edifício de uma Unidade de um Tribunal, dividindo essa tarefa em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 31 e 34 anos. O número de salas vistoriadas pelo mais jovem foi a) 68 b) 66 c) 64 d) 62 e) 60 10. (FCC/2007-PBGAS) Dois operários foram contratados

por um empreiteiro para construir um muro num condomínio residencial com remuneração total de R$ 3.500,00 pelo trabalho. O primeiro operário, que tem 30 anos, trabalhou 6 dias e o segundo, que tem 50 anos, quatro. Eles combinaram que, findo o trabalho, a remuneração total seria dividida na razão direta dos dias trabalhados e na razão inversa das idades. Efetuando a divisão corretamente, o valor recebido pelo primeiro foi maior que o do segundo em a) R$ 500,00 b) R$ 1.000,00 c) R$ 1.500,00 d) R$ 2.000,00 e) R$ 2.500,00

11. (FCC-TRF) Godofredo mora a 11 000 metros de seu

local de trabalho. Se ele fizer esse percurso a pé, caminhando à velocidade média de 8 km/h, quanto tempo ele levará para ir de casa ao local de trabalho? a) 1 hora, 15 minutos e 20 segundos. b) 1 hora, 22 minutos e 30 segundos. c) 1 hora, 25 minutos e 20 segundos. d) 1 hora, 32 minutos e 30 segundos. e) 1 hora, 35 minutos e 20 segundos. 12. (FCC) Dois técnicos judiciários deveriam redigir 45

minutas e resolveram dividir esta quantidade em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se o primeiro, que tem 28 anos, redige 25 delas, a idade do segundo, em anos, é a) 35 b) 33 c) 32 d) 31 e) 30 13. (FCC) Dois funcionários do Ministério Público receberam

a incumbência de examinar um lote de documentos. Dividiram os documentos entre si em partes que eram, ao mesmo tempo, inversamente proporcionais às suas respectivas idades e diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Ministério Público. Sabe-se que: ao funcionário que tem 27 anos de idade e presta serviço ao Ministério há 5 anos coube 40 documentos; o outro tem 36 anos de idade e presta serviço ao Ministério há 12 anos. Nessas condições, o total de documentos do lote era a) 112 b) 120 c) 124 d) 132 e) 136 14. (FCC) Certo dia, Celeste e Haroldo, agentes de

fiscalização financeira, foram incumbidos de analisar 51 solicitações de usuários de uma unidade do Tribunal de Contas do Estado de São Paulo. Decidiram, então, dividir o total de solicitações entre si, em partes que eram, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais aos seus respectivos tempos de serviço no Tribunal e inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se também que, na ocasião, Celeste trabalhava no Tribunal há 15 anos e tinha 36 anos idade, enquanto que Haroldo lá trabalhava há 10 anos. Assim, se coube a Haroldo analisar 34 solicitações, a sua idade a) era superior a 50 anos. b) estava compreendida entre 45 e 50 anos. c) estava compreendida entre 40 e 45 anos. d) estava compreendida entre 35 e 40 anos. e) era inferior a 40 anos.



AULA 01, 02 E 03

4

15. (FCC) Três pessoas formaram, na data de hoje, uma

sociedade com a soma dos capitais investidos igual a R$ 100 000,00. Após um ano, o lucro auferido de R$ 7 500,00 é dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais iniciais investidos. Sabendo-se que o valor da parte do lucro que coube ao sócio que recebeu o menor valor é igual ao módulo da diferença entre os valores que receberam os outros dois, tem-se que o valor do capital inicial do sócio que entrou com maior valor é a) R$ 75 000,00 b) R$ 60 000,00 c) R$ 50 000,00 d) R$ 40 000,00 e) R$ 37 500,00 16. (FCC) Certo dia, Amaro, Belisário, Celina e Jasmin

foram incumbidos de digitar as 150 páginas de um texto. Para executar essa tarefa, o total de páginas foi dividido entre eles, de acordo com o seguinte critério: − Amaro e Jasmim dividiram 3/5 do total de páginas entre si, na razão direta de suas respectivas idades: 36 e 24 anos; − Belisário e Celina dividiram entre si as páginas restantes, na razão inversa de suas respectivas idades: 28 e 32 anos. Nessas condições, aqueles que digitaram a maior e a menor quantidade de páginas foram, respectivamente, a) Belisário e Celina. b) Amaro e Belisário. c) Celina e Jasmim. d) Jasmim e Belisário. e) Amaro e Celina. 17. (FCC) Certo dia, três auxiliares judiciários protocolaram

153 documentos e, curiosamente, foi observado que as quantidades que cada um havia protocolado eram inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se um deles tinha 24 anos, o outro 30 anos e o terceiro, 32 anos, então o número de documentos protocolados pelo mais velho era a) 35 b) 42 c) 45 d) 52 e) 60 18. (FCC) Quatro técnicos em contabilidade, A, B, C e D,

vão repartir entre si um total de 220 processos trabalhistas, para conferir os cálculos. Os dois primeiros receberam 2/5 do total de processos e os repartiram em partes inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Os dois últimos repartiram o restante dos processos em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades. Se as idades de A, B, C e D são, respectivamente, 24, 20, 34 e 32 anos, o número de processos recebidos por a) A foi 44 b) B foi 48 c) C foi 58 d) D foi 60 e) D foi 68

19. (IBFC-2012) A soma dos divisores positivos de n é indicada por S(n). Assim, por exemplo, temos: S(18) = 1 + 2 + 3 + 6 + 9 + 18 = 39. Se p > 1 é um número primo positivo, é correto afirmar que: a) S(p) = p b) S(p) = 1 + 2p c) S(p

2) = 1 + p

2

d) S(p2) = 1 + p + p

2

20. (IBFC-2012) Um estudante efetuou a multiplicação de 428 por um certo número encontrando o resultado 130968. Como este não era o valor esperado verificou que, por engano, trocou o algarismo das unidades do multiplicador: usou o algarismo 6 quando o correto seria o 8. Ao refazer seus cálculos obteve o valor esperado, igual a: a) 118328 b) 127724 c) 131824 d) 126964 GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 D C A D C C D A A

1 C B A A B C E C B C

2 C D C



AULA 01, 02 E 03

5

REGRA DE TRÊS SIMPLES Existem alguns problemas que envolvem duas grandezas diretamente, ou inversamente proporcionais que podem ser resolvidos através de um método pratico chamado regra de três simples. Método para solução de uma regra de três simples.

Ex: Uma fábrica de pneus produz 4500 pneus a cada 3 dias. Quantos dias serão necessários para produzir 3000 pneus? 1º Posicione as grandezas em razões. Fique atento para as unidades; elas devem se apresentar no mesmo sistema.

PNEUS DIAS

4500 3

3000 X

2º Verifique se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais, posicionando setas ao lado dessas grandezas; orientadas no mesmo sentido para as grandezas diretas e, em sentidos opostos para as grandezas inversas. Importante:

Faça esta operação sem envolver os valores, pensando somente nas grandezas, assim você não será induzido a nenhum erro. NÃO ENVOLVA OS VALORES NESTA ANÁLISE. PNEUS _______________ DIAS G.D.P. (Grandezas diretamente proporcionais) Mais dias - consequentemente mais pneus.

3º Caso as grandezas sejam diretas as setas estão orientadas no

mesmo sentido, então passe ao próximo item. Caso as grandezas sejam inversas as setas estão invertidas, desta forma, inverta uma das razões para que as setas tenham mesmo sentido, e vá para o próximo item. 4º Temos então duas razões e, entre elas uma igualdade, logo estamos diante de uma proporção que será resolvida usando a propriedade fundamental, isto é, o produto dos extremos igual ao produto dos meios.

x

3

3000

4500

diasx 24500

3000.3

REGRA DE TRÊS COMPOSTA É um processo para resolver problemas envolvendo mais de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais. Método para solução de uma regra de três composta Ex: Um grupo de 15 mineiros extraiu em 30 dias 5 toneladas de

carvão. Se esta equipe for aumentada para 20 mineiros, em quanto tempo serão extraídas 10 toneladas de carvão? 1º Posicione as grandezas em razões. Fique atento para as unidades; elas devem se apresentar no mesmo sistema

MINEIROS DIAS TONELADAS

15 30 5

20 X 10

2º Relacione cada uma das grandezas, em separado, com a variável onde aparece a incógnita.

MINEIROS DIAS TONELADAS

15 30 5

20 X 10

3º Iguale a razão que contém a variável com o produto das demais; invertendo as razões que estão contrárias a razão da variável.

10

5.

15

2030

x

150

10030

x

4500100 x

TESTES EM SALA: 01. Uma olaria fabrica 2560 tijolos em 8 dias. Quantos dias seriam

necessários para fabricar 960 tijolos? a) 2 dias b) 3 dias c) 5 dias d) 5 dias e) 6 dias 02. Seis pedreiros fazem um muro em 72 horas. Quanto tempo

levarão 18 pedreiros para fazer o mesmo muro? a) 12 horas b) 24 horas c) 48 horas d) 96 horas e) 72 horas

diasx 45



AULA 01, 02 E 03

6

03. 16 máquinas de costura aprontaram 720 uniformes em 6

dias de trabalho. Quantas máquinas serão necessárias para confeccionar 2160 uniformes em 24 dias? a) 8 máquinas b) 10 máquinas c) 12 máquinas d) 14 máquinas e) 16 máquinas 04. (BOMB-2004) Um reservatório de água possui duas

torneiras para abastecimento. Quando o reservatório está completamente vazio, uma das torneiras sozinha é capaz de encher o reservatório em 6 horas e a outra, também sozinha, é capaz de encher o reservatório em 9 horas. Se o reservatório está completamente vazio e as duas torneiras forem ligadas simultaneamente, em quanto tempo o reservatório estará cheio? a) 3 horas e 12 minutos b) 3 horas e 24 minutos c) 3 horas e 30 minutos d) 3 horas e 36 minutos e) 3 horas e 48 minutos TESTES: 01. Doze operários levaram 25 dias para executar uma certa

obra. Quantos dias levarão 10 operários para executara mesma obra? a) 20 dias b) 26 dias c) 27 dias d) 28 dias e) 30 dias 02. Com uma certa quantidade de cobre fabricam-se 16000

metros de fio com seção de 12mm². Se a seção for de 8mm², quantos metros de fio poderão ser obtidos? a) 6.000m b) 8.000m c) 16.000m d) 20.000m e) 24.000m 03. (FAE-COPEL-2009) Para realizar um trabalho de

emergência, foi necessária a contratação de 2 técnicos, uma vez que cada um deles, atuando sozinho, não conseguiria concluir tal trabalho no tempo máximo de 5 horas. O primeiro, sozinho, levaria 8 horas e o segundo, realizando o mesmo trabalho, levaria 12 horas. Quanto tempo gastarão, já que os dois trabalharão juntos?

a) 4 horas. b) 4 horas e 8 minutos. c) 4 horas e 28 minutos. d) 4 horas e 48 minutos. e) 5 horas. 04. (FAE-COPEL-2009) Um veículo percorre uma

determinada distância, a uma velocidade de 80 km/h, em 4 horas. Quanto tempo esse veículo levaria para percorrer a mesma distância a uma velocidade de 100 km/h? a) 3 horas e 42 minutos. b) 3 horas e 32 minutos. c) 3 horas e 22 minutos. d) 3 horas e 12 minutos. e) 3 horas e 02 minutos.

05. (UFPR) O gerente do SAC (serviço de atendimento ao

consumidor) de uma empresa constatou que 30 atendentes são capazes de atender satisfatoriamente, em média, 108 clientes por hora. Quantos funcionários são necessário para que o SAC dessa empresa possa atender, em média, 144 clientes por hora, mantendo a mesma qualidade de atendimento? a) 36. b) 38. c) 39. d) 40. e) 42. 06. Um motorista de táxi, trabalhando 6 horas por dia

durante 10 dias, gasta R$ 1026,00. Qual será seu gasto mensal, se trabalhar 4 horas por dia? a) R$ 1026,00 b) R$ 2052,00 c) R$ 3078,00 d) R$ 4104,00 07. (MACK-SP) Se 15 operários em 9 dias de 8 horas

ganham R$ 10.800,00; 23 operários em 12 dias de 6 horas ganhariam: a) R$ 16.560,00 b) R$ 17.560,00 c) R$ 26.560,00 d) R$ 29.440,00 e) n.d.a. 08. (Santa Casa – SP) Sabe-se que 4 máquinas, operando

4 horas por dia, durante 4 dias produzem 4 toneladas de certo produto.Quantas toneladas do esmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, operando 6 horas por dia, durante 6 dias? a) 8 b) 15 c) 10,5 d) 13,5 e) n.d.a 09. Em uma fábrica, 25 máquinas produzem 15.000 peças

de automóvel em 12 dias, trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por dia deverão trabalhar 30 dessas máquinas para produzir 18.000 peças em 15 dias? a) 8 b) 15 c) 10 d) 12 e) 20 10. (ESPP-MPP-PR-2010) As máquinas de uma fábrica

funcionam, ininterruptamente, das 10h às 18 horas. Sabe-se que 5 máquinas idênticas produzem 2000 unidades de um produto, após 40 horas de funcionamento. O fabricante recebeu uma encomenda de 600 unidades do produto, e dispõe apenas de duas máquinas para produzi-los. Sabendo-se que a produção começou às 10 horas do dia 03 de Outubro, em que dia e hora ficará pronta a encomenda? a) 3 de outubro, às 18 horas b) 4 de outubro, às 5 horas c) 5 de outubro, às 10 horas d) 7 de outubro, às 8 horas e) 6 de outubro, ás 16 horas



AULA 01, 02 E 03

7

11. (FCC) Uma máquina, operando ininterruptamente por 2

horas diárias, levou 5 dias para tirar um certo número de cópias de um texto. Pretende-se que essa mesma máquina, no mesmo ritmo, tire a mesma quantidade de cópias de tal texto em 3 dias. Para que isso seja possível, ela deverá operar ininterruptamente por um período diário de a) 3 horas. b) 3 horas e 10 minutos. c) 3 horas e 15 minutos. d) 3 horas e 20 minutos. e) 3 horas e 45 minutos. 12. (FCC) Em uma gráfica, foram impressos 1.200 panfletos

referentes à direção defensiva de veículos oficiais. Esse material foi impresso por três máquinas de igual rendimento, em 2 horas e meia de funcionamento. Para imprimir 5.000 desses panfletos, duas dessas máquinas deveriam funcionar durante 15 horas, a) 10 minutos e 40 segundos. b) 24 minutos e 20 segundos. c) 37 minutos e 30 segundos. d) 42 minutos e 20 segundos. e) 58 minutos e 30 segundos. 13. (FCC) Em um laboratório, duas velas que têm a mesma

forma e a mesma altura são acesas simultaneamente. Suponha que: - as chamas das duas velas ficam acesas, até que sejam consumidas totalmente; - ambas as velas queimam em velocidades constantes; - uma delas é totalmente consumida em 5 horas, enquanto que a outra o é em 4 horas. Nessas condições, após quanto tempo do instante em que foram acesas, a altura de uma vela será o dobro da altura da outra? a) 2 horas e 20 minutos. b) 2 horas e 30 minutos. c) 3 horas e 10 minutos. d) 3 horas e 20 minutos. e) 3 horas e 30 minutos. 14. (FCC) Certo dia, pela manhã, Mariquinha digitou 4/7 do

total das páginas de um texto em 2 horas de trabalho ininterrupto e, à tarde, ela digitou as páginas restantes. Se no período da tarde sua capacidade de produção foi 60% da do período da manhã, então, para digitar as páginas restantes ela levou a) 2 horas e 10 minutos. b) 2 horas e 25 minutos. c) 2 horas e 30 minutos. d) 2 horas e 45 minutos. e) 2 horas e 50 minutos. 15. (FCC) Duas pessoas trabalhando juntas e com

desempenho constante conseguem construir um muro em apenas 10 dias. A primeira pessoa trabalhando sozinha construiria o muro em 15 dias. Então, a segunda pessoa trabalhando sozinha construiria o muro em a) 20 dias. b) 25 dias. c) 30 dias. d) 40 dias. e) 45 dias.

16. (FCC) Uma Agência do Banco do Brasil dispõe de duas

impressoras, A e B, que são capazes de tirar 18 e 20 cópias por minuto, respectivamente. Suponha que, certo dia, as duas foram acionadas simultaneamente às 9 horas e 25 minutos e que, a partir de então, tiraram iguais quantidades de cópias de um mesmo texto. Considerando que ambas funcionaram ininterruptamente, então, se a impressora A terminou o serviço às 10 horas, 6 minutos e 40 segundos do mesmo dia, B encerrou o seu às a) 10 horas, 2 minutos e 30 segundos. b) 10 horas, 12 minutos e 40 segundos. c) 10 horas, 20 minutos e 30 segundos. d) 11 horas, 4 minutos e 20 segundos. e) 11 horas, 20 minutos e 30 segundos. 17. (FCC) Às 12 horas e 25 minutos de certo dia, um auxiliar

judiciário terminou a organização de todo o material existente em um armário. Se ele trabalhou ininterruptamente por 13.680 segundos na execução dessa tarefa, então ela foi iniciada às a) 8 horas e 17 minutos. b) 8 horas e 25 minutos. c) 8 horas e 37 minutos. d) 9 horas e 25 minutos. e) 9 horas e 37 minutos. 18. (FCC) Oito pessoas conseguem produzir 32 brinquedos

em 6 dias de trabalho. Considerando a mesma produtividade, o número de pessoas necessárias para que se possam produzir 48 brinquedos em 3 dias é a) 12. b) 16. c) 24. d) 18. e) 4. 19. (FCC) Suponha que, pelo consumo de energia elétrica

de uma máquina que, durante 30 dias funciona ininterruptamente 8 horas por dia, paga-se o total de R$ 288,00. Se essa máquina passar a funcionar 5 horas por dia, a despesa que ela acarretará em 6 dias de funcionamento ininterrupto será de a) R$ 36,00. b) R$ 36,80. c) R$ 40,00. d) R$ 42,60. e) R$ 42,80.

20. (IBFC-2008) Sônia pensou que seu relógio estivesse atrasado 10 minutos e o acertou, mas na verdade o relógio estava adiantado 5 minutos. Ana pensou que seu relógio estivesse adiantado 10 minutos e o acertou, mas na verdade o relógio estava atrasado 5 minutos. Logo depois, as duas se encontraram, quando o relógio de Sônia marcava 10 horas. Neste momento, o relógio de Ana indicava: a) 9 hs 30 min b) 9 hs 50 min c) 10 hs d) 10 hs 15 min



AULA 01, 02 E 03

8

GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 E E D D D B A D A

1 E D C D C D A C C A

2 A



AULA 04 E 05

1

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Princípio Fundamental da Contagem

Se uma ação pode ocorrer de n OU m maneiras distintas e

independentes entre si, para a ocorrência dessa ação existem:

m + n possibilidades

Desde já associe: OU +

Se uma ação é composta de duas etapas sucessivas, sendo que a primeira pode ser feita de m modos E, para cada um destes, a segunda pode ser feita de n modos, então o

número de modos de realizar a ação é:

m x n possibilidades

Associe também: E x

Fatorial (!)

Fatorial de um número natural é a multiplicação deste número por todos os seus precedentes inteiros até o 1. Ex: 2! = 2.1 = 2 3! = 3.2.1 = 6 4! 4.3.2.1 = 24 5! = 5.4.3.2.1 = 120 1! = 1 0! = 1

TESTES EM SALA: 01. (UEL-PM-2010) Sejam quatro cidades designadas por A,

B, C E D. Considere que há três rodovias que ligam a cidade A com a cidade B, duas rodovias que ligam a cidade B com a cidade C e quatro rodovias que ligam a cidade C com a cidade D. Se desejarmos ir de A até D, passando pelas cidades B e C, de quantas formas poderemos realizar tal percurso? a) 12 b) 16 c) 24 d) 30 e) 36 02. (Unesp SP) Um turista, em viagem de férias pela

Europa, observou pelo mapa que, para ir da cidade A à cidade B, havia três rodovias e duas ferrovias e que, de B até uma outra cidade C, havia duas rodovias e duas ferrovias. O número de percursos diferentes que o turista pode fazer para ir de A até C, passando pela cidade B e utilizando rodovias e trem obrigatoriamente, mas em qualquer ordem, é: a) 9. b) 10. c) 12. d) 15. e) 20.

03. (UPF-RS) Cinco jovens voltam de uma festa em um

automóvel de cinco lugares. Um deles não tem habilitação para dirigir e o outro encontra-se alcoolizado. De quantas maneiras diferentes podem os jovens ser distribuídos nos cinco lugares do automóvel, de sorte que nem o não habilitado e nem o alcoolizado fiquem no volante? a) 72 b) 120 c) 40 d) 60 e) 48 04. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com

os símbolos 2,3,4,5,6? 05. Quantos números de 3 algarismos distintos podemos

formar com os símbolos 2,3,4,5,6? 06. Dos números formados do exercício 5, quantos são

pares? 07. (CESGRANRIO) Em uma fábrica de bijuterias são

produzidos colares enfeitados com cinco contas de mesmo tamanho dispostas lado a lado, como mostra a figura.

As contas estão disponíveis em 8 cores diferentes. De quantos modos distintos é possível escolher as cinco contas para compor um colar, se a primeira e a última contas devem ser da mesma cor, a segunda e a penúltima contas devem ser da mesma cor e duas contas consecutivas devem ser de cores diferentes? a) 336 b) 392 c) 448 d) 556 e) 612 TESTES: 01.Com os algarismos de 1 a 7, quantos números de três

algarismos distintos podemos formar, de modo que os números obtidos sejam todos ímpares? a)42 b)20 c)120 d)168 e)60



AULA 04 E 05

2

02. (MACKENZIE-SP) Um trem de passageiros é constituido

de uma locomotiva e 6 vagões distintos, sendo um deles o restaurante. Sabendo que a locomotiva deve ir a frente e que o vagão do restaurante não pode ser colocado imediatamente após a locomotiva, o número de modos diferentes de se montar a composição é: a) 120 b) 320 c) 500 d) 600 e) 720 03. (PUC) Com os algarismos do sistema decimal formam-

se números de quatro algarismos distintos, todos começando com 1 e terminando por 9. Quantos números podem ser formados nessas condições? 04. (FGV SP) Deseja-se criar uma senha para os usuários

de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é: a) 7812 b) 7200 c) 15000 d) 6420 e) 50 05. Quantos números pares de três algarismos distintos

podemos formar com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7? a) 60 b) 120 c) 45 d) 70 e) 90 06. Qual a quantidade de números de quatro algarismos

distintos, que se podem formar com os algarismos 1,2,4,7,8, 9? a) 300 b) 340 c) 360 d) 380 e) 400 07. (UESPI) Quantos números com três dígitos distintos

podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3, 4, 5? a) 60 b) 120 c) 140 d) 180 e) 200

08. (FCC) Os clientes de um banco contam com um cartão

magnético e uma senha pessoal de quatro algarismos distintos entre 1 000 e 9 999. A quantidade dessas senhas, em que a diferença positiva entre o primeiro algarismo e o último algarismo é 3, é igual a a) 936 b) 896 c) 784 d) 768 e) 728 09. (FCC) Na sala de reuniões de uma empresa há uma

mesa de formato retangular com 8 cadeiras dispostas da forma como é mostrado na figura abaixo.

Sabe-se que, certo dia, seis pessoas reuniram-se nessa sala: o Presidente, o Vice-Presidente e 4 Membros da Diretoria. Considerando que o Presidente e o Vice-Presidente sentaram-se nas cabeceiras da mesa, de quantos modos podem ter se acomodado nas cadeiras todas as pessoas que participaram da reunião? a) 36 b) 72 c) 120 d) 360 e) 720 10. (CESGRANRIO) Pedrinho precisava inventar uma

bandeira para representar seu grupo em um trabalho escolar. Ele criou uma bandeira simples, de quatro listras verticais, representada abaixo.

Pedrinho decidiu pintar sua bandeira utilizando as quatro cores da bandeira do Estado de Rondônia. De quantos modos essa bandeira poderá ser pintada, se duas listras seguidas devem, obrigatoriamente, ser de cores diferentes? a) 24 b) 48 c) 72 d) 96 e) 108



AULA 04 E 05

3

11. (CESGRANRIO) Quatro equipes disputam um torneio de

futebol em que todas jogam entre si uma única vez. Cada vitória dá ao vencedor 3 pontos. Em caso de empate, cada equipe ganha 1 ponto. Não há ponto por derrota. Ao final do torneio, a pontuação é a seguinte:

É correto concluir que: a) A perdeu apenas 1 jogo. b) B perdeu apenas 2 jogos. c) B perdeu apenas 1 jogo. d) B não perdeu. e) C ganhou apenas 1 jogo. 12. (Cesgranrio – PROMINP– 2007) Certa operadora de telefonia celular só pode habilitar telefones de 8 dígitos, que comecem por 9 e tenham como segundo dígito um algarismo menor ou igual a 4. Qual a quantidade máxima de números telefônicos que essa operadora pode habilitar em uma mesma cidade? a) 3x10

6

b) 4x106

c) 5x106

d) 6x106

e) 7x106

13. (Cesgranrio – PROMINP – 2006) Seu Ernesto e filhos vendem planos de saúde por telefone. Esta semana, eles decidiram ligar somente para os telefones de sua cidade que começam por “259”, e que não possuem algarismos repetidos. Se, na cidade de Seu Ernesto, os números telefônicos têm 8 dígitos, qual o número máximo de ligações que eles farão esta semana? a) 504 b) 2.520 c) 6.720 d) 15.400 e) 30.240 14.(Cesgranrio) Para ter acesso a um arquivo, um operador

de computador precisa digitar uma seqüência de 5 símbolos distintos, formada de duas letras e três algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da seqüência em que aparecem. O maior número de tentativas diferentes que o operador pode fazer para acessar o arquivo é: a) 115 b) 120 c) 150 d) 200 e) 249

15. (UFRJ) A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é

uma combinação com cinco algarismos, cada um dos quais podendo variar de 0 a 9. Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo, mas sabe que atende às condições: a) se o primeiro algarismo é ímpar, então o último algarismo também é ímpar; b) se o primeiro algarismo é par, então o último algarismo é igual ao primeiro; c) a soma dos segundo e terceiro algarismos é 5. Quantas combinações diferentes atendem às condições estabelecidas pelo Dr. Z? GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 C D 56 C E C A E E

1 E C C B B 1800



AULA 06

1

ANALISE COMBINATÓRIA

Permutações

Quando, no problema, o grupo já está formado. Exige-se apenas que se faça a troca da posição, ou permu-tação, dos elementos.

!mPm

Ex. Calcular a quantidade de anagramas da palavra TRIGO.

120

!5

5

5

P

P

Quando existem elementos repetidos no conjunto da-do, devemos desconsiderar as permutações entre es-ses elementos, dividindo pelo número de permutações desses elementos entre si.

!,...,!,!

!,...,,

mPm

Ex. Calcular a quantidade de anagramas da palavra ARARA

10!2!.3

!5P

TESTES EM SALA: 01. De quantas maneiras distintas podem-se alinhar cinco

estacas azuis idênticas, uma vermelha e uma branca? a)12 b)30 c)42 d)240 e)5040 02.O número de anagramas da palavra ERNESTO que

começam e terminam por consoante é: a)480 b)720 c)1440 d)1920 e)5040 03. (PUC) Dos anagramas da palavra CASTELO, quantos

têm as vogais em ordem alfabética e juntas? a) 180 b) 144 c) 120 d) 720 e) 360 04. (PUC Campinas) O número de anagramas da palavra

EXPLODIR, nos quais as vogais aparecem juntas, é: a) 360 b) 720 c) 1440 d) 2160 e) 4320

05. (ITA) Quantos anagramas da palavra CADERNO

apresentam as vogais em ordem alfabética? a)2520 b) 5040 c) 1625 d) 840 e) 680 TESTES: 01. (UFAM) O número de anagramas da palavra GREVE é:

a) 120 b) 60 c) 20 d) 40 e) 30 02. (Unifor) Quantas são os anagramas da palavra

VOLUME que começam por vogal e terminam por vogal? a) 216 b) 192 c) 144 d) 72 e) 24 03. (CESGRANRIO) Quantas são as possíveis ordenações

das letras da palavra BRASIL, tais que a letra B figure na 1ª posição ou a letra R figure na 2ª posição? a) 120 b) 184 c) 216 d) 240 e) 360 04. (UECE) Seja P o conjunto cujos elementos são números

inteiros positivos com cinco dígitos obtidos com as permutações dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9. Se dispomos os elementos de P em ordem crescente, o número de ordem de 43928 é: a)58 b)57 c)59 d)60 05. (UDESC) O número de anagramas de quatro letras,

começando com a letra G, que pode ser formado com a palavra PORTUGAL é: a) 70 b) 1.680 c) 210 d) 40.320 e) 35



AULA 06

2

06. Numa reunião de uma empresa, cinco pessoas

dispostas lado a lado, desejam registrar fotografias comemorativas do final de cada ano. Considerando-se apenas o posicionamento das pessoas em cada foto, quantas fotos podem ser registradas de forma que Artur e Beto não estejam juntos na foto? a) 120 b) 72 c) 48 d) 4! e) n.d.a. 07. (UFPel) Maurício de Sousa, criador de uma famosa

revista com histórias em quadrinhos, baseou a criação de seus personagens em amigos de infância e nos filhos, conferindo a cada um deles características distintivas e personalidades marcantes. A turma da Mônica e todos os demais personagens criados pelo escritor estão aí, com um tipo de mensagem carinhosa, alegre, descontraída e até matemática, dirigida às crianças e aos adultos de todo o mundo.

Se os personagens da história em quadrinhos acima continuassem permutando as letras, com o objetivo de formar todos os anagramas possíveis, eles obteriam mais a) 718 anagramas. b) 360 anagramas. c) 720 anagramas. d) 362 anagramas. e) 358 anagramas.

GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 B C C D C B E



AULA 07, 08

1

PROBABILIDADE

PROBABILIDADE DE UNIÃO

Objetos muito utilizados no estudo das probabilidades

1) Dado: cubo (6 faces), numeradas de 1 a 6.

2) Moeda: Dois lados, cara(C) e coroa(K).

3) Baralho: 52 cartas, sendo 13 de cada naipe.

Cartas: A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K. Naipes:

(ouros)

(paus)

(copas)

(espadas)

Exemplos:

01. No lançamento de um dado qual a probabilidade de

ocorrer: a) um número par.

%502

1

6

3P

b) Um número maior que 4.

%673

2

6

2P

02. No lançamento de um dado e uma moeda qual a

probabilidade de ocorrer um número par e cara?

%254

1

12

3

2

1.

6

3P

TESTES EM SALA: 01. No lançamento de 3 moedas, calcule a probabilidade de

ocorrer exatamente três coroas. a) 3/8 b) 1/8 c) 3/5 d) 1/6 e) 4/7 02. No lançamento de 3 moedas, calcule a probabilidade de

ocorrer exatamente duas coroas. a) 3/8 b) 1/8 c) 3/5 d) 1/6 e) 4/7 03. De um baralho de 52 cartas, retira-se simultaneamente 2

cartas, calcule a probabilidade de ocorrer dois reis. a) 1/221 b) 1/230 c) 1/2652 d) 1/231 04. (EMF-PR) Uma urna contém 8 bolas, sendo apenas 3

verdes. Retirando-se duas bolas, sem reposição, a probabilidade de se obterem duas bolas que não são verdes é:

a) 3/28 b) 1/7 c) 5/8 d) 1/3 e) 5/14 05. No lançamento simultâneo de dois dados diferentes,

calcule a probabilidade de ocorrer a soma dos números igual a 7. a) 3/4 b) 6/7 c) 1/6 d) 2/7 e) 1/8 06. Um baralho tem 100 cartões numerados de 1 a 100.

Retiram-se 2 cartões ao acaso (sem reposição). A probabilidade de que a soma dos dois números dos cartões retirados seja igual a 100 é: a)49/4950 b)50/4950 c)1% d)49/5000 e) 41/4851

)(

)()(

En

AnAP

Importante:

e, utilizar multiplicação

ou, utilizar soma

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)



AULA 07, 08

2

TESTES: 01. (FCC) Suponha que certa Agência do Banco do Brasil

tenha 25 funcionários, cujas idades, em anos, são as seguintes: 24 − 24 − 24 − 25 − 25 − 30 − 32 − 32 − 32 35 − 36 − 36 − 40 − 40 − 40 − 40 − 46 − 48 48 − 50 − 54 − 54 − 60 − 60 − 65 A probabilidade de que, ao escolher-se aleatoriamente um desses funcionários, a sua idade seja superior a 48 anos é de a) 28%. b) 27,4%. c) 27%. d) 25,8%. e) 24%. 02. (UFPR – 2006) Um casal planeja ter 3 filhos. Sabendo

que a probabilidade de cada um dos filhos nascer do sexo masculino ou feminino é a mesma, considere as seguintes afirmativas: I. A probabilidade de que sejam todos do sexo masculino é

de 12,5%. II. A probabilidade de o casal ter pelo menos dois filhos do

sexo feminino é de 25%. III. A probabilidade de que os dois primeiros filhos sejam de

sexos diferentes é de 50%. IV. A probabilidade de o segundo filho ser do sexo masculino

é de 25%. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas I e III são verdadeiras. b) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras. c) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras. d) Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras. e) Somente as afirmativas II e IV são verdadeiras. 03. (UFPR-2008) Um grupo de pessoas foi classificado

quanto ao peso e pressão arterial, conforme mostrado no quadro a seguir:

Com base nesses dados, considere as seguintes afirmativas: 1. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse

grupo ter pressão alta é de 0,20. 2. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse

grupo, tem excesso de peso, a probabilidade de ela ter também pressão alta é de 0,40. 3. Se se verifica que uma pessoa escolhida ao acaso, nesse

grupo, tem pressão alta, a probabilidade de ela ter também peso normal é de 0,08. 4. A probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso nesse

grupo ter pressão normal e peso deficiente é de 0,20. Assinale a alternativa correta. a) Somente as afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras. b) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras. c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. d) Somente as afirmativas 2, 3 e 4 são verdadeiras. e) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.

04. (CESGRANRIO-PETROBRAS-2008) Pedro está

jogando com seu irmão e vai lançar dois dados perfeitos. Qual a probabilidade de que Pedro obtenha pelo menos 9 pontos ao lançar esses dois dados? a) 1/9 b) 1/4 c) 5/9 d) 5/18 e) 7/36 05. (UFPR-LITORAL-2006) Segundo os cálculos de uma

revista especializada, no começo do Campeonato Paranaense de Futebol deste ano, a probabilidade de o time do Coritiba ser campeão era o dobro da probabilidade do time do Atlético. Já a probabilidade de o time do Atlético ser campeão era o triplo da probabilidade do time do Paraná. Os demais participantes tinham probabilidade zero de ser campeão paranaense. Qual era a probabilidade do Coritiba ganhar o campeonato? a) 50% b) 60% c) 66% d) 75% e) 81% 06. (CESGRANRIO-EPE) Um dado cúbico com cada uma de suas faces numeradas de 1 a 6 é dito um dado comum. Um dado em que todos os resultados têm a mesma probabilidade de serem obtidos é chamado um dado honesto. Lança-se um dado comum e honesto repetidas vezes. Qual a probabilidade de que o 6 seja obtido pela primeira vez no terceiro lançamento?

a) 1

216

b) 6

216

c) 𝟐𝟓

𝟐𝟏𝟔

d) 36

216

e) 125

216

07. (UEPB PB/2005) Numa urna com 20 bolas numeradas

de 1 a 20, escolhem-se ao acaso duas bolas. Qual é a probabilidade de que o produto dos números dessas bolas seja um número ímpar? a) 4/7 b) 1/2 c) 9/38 d) 25/31 e) 15/16 08. (CESGRANRIO/2008) Joga-se N vezes um dado

comum, de seis faces, não-viciado, até que se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é: a)150/216 b) 91/216 c) 75/216 d) 55/216 e) 25/216



AULA 07, 08

3

09. (VUNESP) João lança um dado sem que Antonio veja.

João diz que o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade agora de Antonio acertar é: a) 1/2 b) 1/6 c) 4/6 d) 1/3 e) 3/36 10. (FCC) Um teste laboratorial de sangue é 95% efetivo

para detectar uma certa doença, quando ela está presente. Entretanto, o teste também resulta em falso positivo para 1% das pessoas saudáveis testadas. Se 0,5% da população realmente tem a doença, a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o resultado do teste é positivo, é: a) 0,90 b) 0,80 c) 0,40 d) 0,35 e) 0,32 11.(FCC) Uma fábrica de chocolate produz dois tipos de

caixas de bombons: com e sem açúcar. Cada caixa contém 10 bombons. Por descuido, foram misturados 3 bombons sem açúcar em uma caixa de bombons doces. A caixa foi oferecida a uma criança que retirou 2 bombons. A probabilidade destes dois bombons serem sem açúcar é a) 1/15 b) 1/20 c) 3/20 d) 3/15 e) 1/5 12.(FCC) Em um jogo, um participante seleciona

sucessivamente ao acaso duas bolas de uma urna que contém 10 bolas sendo: 4 pretas, 3 vermelhas e 3 brancas. O esquema de premiação do jogo consiste das seguintes regras: para cada bola vermelha sorteada o participante ganha um real, para cada bola preta sorteada ele perde um real e para cada bola branca sorteada ele não ganha e nem perde nada. Se a seleção for realizada sem reposição, a probabilidade do participante não ganhar nada neste jogo é a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/3 e) 1/8 13.(FCC) Em um jogo, um participante seleciona

sucessivamente ao acaso duas bolas de uma urna que contém 10 bolas sendo: 4 pretas, 3 vermelhas e 3 brancas. O esquema de premiação do jogo consiste das seguintes regras: para cada bola vermelha sorteada o participante ganha um real, para cada bola preta sorteada ele perde um real e para cada bola branca sorteada ele não ganha e nem perde nada. Se a seleção for realizada com reposição, a probabilidade do participante ganhar R$ 1,00 neste jogo é a) 0,25 b) 0,18 c) 0,15 d) 0,12 e) 0,10

14. (IBFC-2012) Antônio e Bernardo resolveram disputar uma série de 5 rodadas de cara e coroa, lançando ao acaso, uma moeda perfeita. Se o resultado fosse cara, Antônio ganharia 1 ponto. Se o resultado fosse coroa, Bernardo ganharia 1 ponto. Cada um deles colocou R$ 100,00 dentro de uma caixa. O ganhador seria aquele que totalizasse 3 pontos pela primeira vez. Após os 2 primeiros lançamentos, cujos resultados deram cara, Bernardo resolve desistir do jogo e propõe que os R$ 200,00 sejam repartidos em parte proporcionais às chances de cada um deles ganhar o jogo. Antônio aceitou a proposta de Bernardo. Assim a diferença entre as quantias recebidas por Antônio e por Bernardo foi igual a: a) R$ 100,00 b) R$ 150,00 c) R$ 120,00 d) R$ 75,00 GABARITO: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 E A B D B C C B D

1 E A D B B

MATEMÁTICA – SEE MG


AULA 09

1

PROBABILIDADE

PROBABILIDADE DE UNIÃO

PROBABILIDADE CONDICIONAL

Seja E um evento de um espaço amostral Ω . A probabilidade de ocorrer um evento A, uma vez que E tenha ocorrido (probabilidade condicional de A dado E), indicada por p(A /E) é dada por:

)(

)()/(

En

EAnEAp

Exemplo 01:

São lançados simultaneamente dois dados distintos e perfeitos. Qual a probabilidade da soma das faces obtidas ser igual a 8, sabendo que as faces obtidas são ímpares? Resolução:

O espaço amostral passa a ser E (1,1);(1,3);(1,5);(3,1);(3,3);(3,5);(5,1);(5,3);(5,5), logo n(E) 9. O evento obter a soma das faces igual a 6 é dado por A ∩ E (3,5);(5,3). A probabilidade procurada é dada por:

%223,22222222,09

2

)(

)()/(

En

EAnEAp

TESTES EM SALA: 01. (Vunesp-SP) Um grupo de pessoas está classificado

da seguinte forma:

Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que essa pessoa fala espanhol, a probabilidade de que ela seja mulher é: a) 0,44 b) 0,58 c) 0,83 d) 0,97 e) 1,21

02. (UEL) Em um viveiro há 12 canários machos e 15

fêmeas. A probabilidade de se retirarem dois canários desse viveiro e ambos serem do mesmo sexo é: a) 19/39 b) 20/39 c) 7/13 d) 8/13 e) 10/13 03. Um piloto de formula 1 estima que suas chances de

subir ao pódio numa determinada prova são de 60% se chover no dia da prova e de 20% se não chover. O serviço de meteorologia prevê que a probabilidade de chover durante a prova é de 75%.Nessas condições, calcula a probabilidade de que o piloto venha a subir ao pódio. a) 50% b) 43% c) 40% d) 65% e) 70% 04.(ESPM SP) Numa empresa, 60% são homens, dos quais,

10% são fumantes. Sabe-se que 5% das mulheres são fumantes. Escolhendo-se ao acaso um dos fumantes dessa empresa, a probabilidade de ser uma mulher é igual a:

a)25% b)15% c)10% d)30% e)20% 05. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de

ocorrer o número 4 ou um número impar? a) 30% b) 40% c) 55% d) 67% e) 0% 06. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de

ocorrer o número 4 ou um número par? a) 50% b) 40% c) 55% d) 66% e) 0% 07. Tirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a

probabilidade de sair uma carta de paus ou um número entre 2 e 6?

)(

)()(

En

AnAP

Importante:

e, utilizar multiplicação

ou, utilizar soma

P(AB) = P(A) + P(B) – P(AB)



AULA 09

2

TESTES: 01. Um juiz possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo,

o outro é todo vermelho e o terceiro vermelho de um lado e amarelo de outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e o mostra a um jogador. A probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha, e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é: a) 1/2 b) 2/5 c) 1/5 d) 2/3 e) 1/6 02. Na gaveta de um armário há duas chaves tipo A e uma

do tipo B. Noutra gaveta há um cadeado que é aberto pelas chaves do tipo A e três que são abertas pelas chaves do tipo B. Uma pessoa escolhe, ao acaso, uma chave da primeira gaveta e um cadeado da segunda gaveta. Qual a probabilidade de o cadeado ser aberto pela chave escolhida? a) 5/12 b) 7/12 c) 2/3 d) 5/6 e) n.d.a. 03. (UFPR-2009) Em uma população de aves, a

probabilidade de um animal estar doente é 1/25. Quando uma ave está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/4, e, quando não está doente, a probabilidade de ser devorada por predadores é 1/40. Portanto, a probabilidade de uma ave dessa população, escolhida aleatoriamente, ser devorada por predadores é de: a) 1,0% b) 2,4% c) 4,0% d) 3,4% e) 2,5% 04. (CESGRANRIO- DECEA -2007) Há duas urnas sobre

uma mesa, ambas contendo bolas distinguíveis apenas pela cor. A primeira urna contém 2 bolas brancas e 1 bola preta. A segunda urna contém 1 bola branca e 2 bolas pretas. Uma bola será retirada, aleatoriamente, da primeira urna e será colocada na segunda e, a seguir, retirar-se-á, aleatoriamente, uma das bolas da segunda urna. A probabilidade de que esta bola seja branca é: a) 5/12 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/6 e) 1/12

05. Têm-se dois dados, sendo um perfeito e o outro com

todas as faces marcadas com 6 pontos. Um deles é escolhido ao acaso e lançado. A probabilidade de se obter 6 é:

a) 7/6 b) 6/7 c) 7/12 d) 6/12 e) 1/6

06. (UFVicosa/MG/2003) Os bilhetes de uma rifa são

numerados de 1 a 100. A probabilidade do bilhete sorteado ser um número maior que 40 ou número par é:

a) 60% b) 70% c) 80% d) 90% e) 50%

07. (FCC) A caixa A tem 5 cartas numeradas de 1 a 5. A

caixa B tem 8 cartas numeradas de 1 a 8. A caixa C tem 10 cartas numeradas de 1 a 10. Uma caixa é selecionada ao acaso e uma carta é retirada. Se o número da carta é impar, a probabilidade de a carta selecionada ter vindo da caixa B é

a) 5/16 b) 7/32 c) 1/6 d) 5/32 e) 1/4 08. (FCC/2009) Uma fábrica produz parafusos utilizando

duas máquinas A e B. 60% dos parafusos são produzidos por A e o restante por B. Sabe-se que 1% dos parafusos produzidos por A e 2% dos produzidos por B são defeituosos. Então, a probabilidade de um processo de produção desta fábrica produzir parafusos sem defeito é a) 96,4% b) 97,0% c) 98,0% d) 98,2% e) 98,6% 09. (ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente

excludentes, de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é: a) 5% b) 8% c) 10% d) 15% e) 18% 10. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5

anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de: a) 2/25 b) 8/25 c) 2/5 d) 3/25 e) 4/5



AULA 09

3

11. (VUNESP) João lança um dado sem que Antonio veja.

João diz que o número mostrado pelo dado é par. A probabilidade agora de Antonio acertar é: a) 1/2 b) 1/6 c) 4/6 d) 1/3 e) 3/36 12. (FCC) Um teste laboratorial de sangue é 95% efetivo

para detectar uma certa doença, quando ela está presente. Entretanto, o teste também resulta em falso positivo para 1% das pessoas saudáveis testadas. Se 0,5% da população realmente tem a doença, a probabilidade de uma pessoa ter a doença, dado que o resultado do teste é positivo, é: a) 0,90 b) 0,80 c) 0,40 d) 0,35 e) 0,32 GABARITO: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 E A D A C C A E D

1 B D E

APROVA CONCURSOS - SEE - MG


AULA 10 E 11

1

Medidas de tendência central

A medida de centralidade é um número que está

representando todo o conjunto de dados; nas pesquisas tal

número é conhecido como medida de tendência central, que

pode ser encontrado a partir da média aritmética, da moda

ou da mediana, e o uso de cada uma delas é mais

conveniente de acordo com o nível de mensuração, o

aspecto ou forma da distribuição de dados e o objetivo da

pesquisa.

01 – Média Aritmética:

Uma livraria vende a seguinte quantidade de livros de literatura durante certa semana:

Seg Terça Quarta Quinta Sexta Sábado

22 23 22 27 25 13

Qual foi a média de livros vendidos durante essa semana? Para resolver esse problema, devemos fazer:

226

132

6

132527222322

Esse número é chamado de média aritmética dos números

22, 23, 22, 27, 25 e 13

Média aritmética ( x ) dos valores nxxxx ....321 é

o quociente entre a soma desse valores e seu número total n.

n

xxxxx n

....321

02 – Média ponderada

Quando alguns valores se repetem, torna-se mais fácil o cálculo da média aritmética. Vejamos: Calcular a média aritmética dos valores 27,27,30,30,30,30,32,32 e 32. Nesse caso, observamos que: - o valor 27 se repete 2 vezes; - o valor 30 se repete 5 vezes; - o valor 32 se repete 3 vezes; Assim, a média pode ser calculada de uma forma mais simples:

3010

300

10

9615054

352

3.325.302.27

x

A média aritmética é 30. O número de vezes que o valor se repete chama-se peso, e à média assim calculada dá-se o nome de média ponderada.

03 –Moda

A moda é o elemento da seqüência de dados que possui a maior freqüência, em que ela será localizada. Para ficar mais fácil de você lembrar, associe o fato de que aquilo que está na moda é o que as pessoas mais usam. A moda é facilmente reconhecida: basta, de acordo com definição, procurar o valor que mais se repete. Ex: Na série 7 , 8 , 9 , 10 , 10 , 10 , 11 , 12 a moda é igual a 10. Há séries nas quais não exista valor modal, isto é, nas quais nenhum valor apareça mais vezes que outros. Ex: 3 , 5 , 8 , 10 , 12 não apresenta moda. A série é amodal. Em outros casos, pode haver dois ou mais valores de concentração. Dizemos, então, que a série tem dois ou mais valores modais. Ex: 2 , 3 , 4 , 4 , 4 , 5 , 6 , 7 , 7 , 7 , 8 , 9 apresenta duas modas: 4 e 7 A série é bimodal. 04 –Mediana

A mediana representa o elemento que se encontra no centro da distribuição, quando a seqüência de dados se apresenta ordenada de forma crescente ou decrescente, cortando, assim, a distribuição em duas partes com o mesmo número de elementos. Dada uma série de valores como, por exemplo: 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9. Caso a quantidade de elementos do intervalo de dados seja par, tomaremos os dois elementos centrais e faremos a média aritmética entre eles.



AULA 10 E 11

2

TESTES EM SALA:

01. (UFPR-ADAPTADA) Na tabela abaixo encontra-se a

distribuição de freqüência dos salários das três funções existentes em uma empresa de médio porte.

Função Salário (R$) Número de funcionários

Operário 500,00 40

Inspetor 2.500,00 8

Diretor 5.000,00 2

Com base nesses dados, calcule a média aritmética do salário dos funcionários.

02. (Fuvest-adaptada) Para que fosse feito um

levantamento sobre o número de infrações de trânsito, foram escolhidos 50 motoristas. O número de infrações cometidas por esses motoristas, nos últimos cinco anos, produziu a seguinte tabela:

Pode-se então afirmar que a média do número de infrações, por motorista, nos últimos cinco anos, é:

03. (UFPR) Em levantamento feito numa sala de aula de um

curso da UFPR, verificou-se que a média das idades dos 42 alunos matriculados era de 20,5 anos. Nesse levantamento foram considerados apenas os anos completos e desconsideradas todas as frações (meses, dias etc.). Passadas algumas semanas, a coordenação do curso verificou que um aluno havia desistido, e que a média das idades caiu para 20 anos. Como nesse período nenhum dos alunos da turma fez aniversário, qual a idade do aluno que desistiu? a) 41 anos b) 25 anos c) 29 anos d) 33 anos

04. (Enem) Na tabela, são apresentados dados da cotação

mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

Mês Cotação Ano

Outubro R$ 83,00 2007

Novembro R$ 73,10 2007

Dezembro R$ 81,60 2007

Janeiro R$ 82,00 2008

Fevereiro R$ 85,30 2008

Março R$ 84,00 2008

Abril R$ 84,60 2008

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a: a) R$ 73,10. b) R$ 81,50. c) R$ 82,00. d) R$ 83,00. e) R$ 85,30.

05. (UNIMONTES) O serviço meteorológico registrou, em

alguns estados brasileiros, as seguintes temperaturas:

A moda e mediana dessas temperaturas são, respectivamente, a) 39ºC e 24ºC b) 8ºC e 39ºC c) 8ºC e 21ºC d) 21ºC e 8ºC

06. Qual a média aritmética )M( a , a moda )M( o e a

mediana )M( e , respectivamente, dos dados da tabela de

freqüências abaixo?

a) 14,3; 15; 14,5. b) 14,5; 15; 14,3. c) 14,5; 15; 14,5. d) 14,3; 14,5; 15.



AULA 10 E 11

3

TESTES: 01. (EFEI MG) Numa empresa com 20 funcionários, a

distribuição dos salários está representada no quadro abaixo:

Número deempregados

Número deSalário (em Reais)

10

5

3

2

1.540

1.860

2.120

3.440

O salário médio (em reais) dos empregados dessa empresa é: a) 1.680 b) 1.742 c) 1.786 d) 1.831 e) 1.897

02. (UFU) O Departamento de Comércio Exterior do Banco

Central possui 30 funcionários com a seguinte distribuição salarial em reais.

Nº de

funcionários

10 2.000,00

12 3.600,00

5 4.000,00

3 6.000,00

Salário

em R$

Quantos funcionários que recebem R$ 3.600,00 devem ser demitidos para que a mediana desta distribuição e salários seja de R$ 2.800,00?

a) 8 b) 11 c) 9 d) 10 e) 7

03.(FUVEST) A distribuição das idades dos alunos de uma

classe é dada pelo gráfico abaixo.

5

2

10

20

23

núm

ero d

e al

un

os

16 17 18 19 20 idade (anos)

Qual das alternativas representa melhor a média de idades dos alunos? a) 16 anos e 10 meses. b) 17 anos e 1 mês. c) 17 anos e 5 meses. d) 18 anos e 6 meses. e) 19 anos e 2 meses.

04 (UFJF) Uma empresa com 20 funcionários torna público

os salários de seus funcionários, ocultando o salário de seu diretor, conforme a tabela a seguir:

1*Diretor

42.000,00 R$Consultor

51.500,00 R$Secretária

101.000,00 R$Auxiliar

osfuncionári de ºN

SaláriosFunção

A empresa promoveu um aumento salarial de 10% sobre os valores da tabela para todas as funções. Foi divulgado que a nova média salarial da empresa passou a ser de R$ 1.952,50. Qual é o novo salário de diretor? a) R$ 2.500,00 b) R$ 4.500,00 c) R$ 10.000,00 d) R$ 11.000,00 e) R$ 25.500,00

05. (PUC RJ) Em uma cela, há uma passagem secreta que

conduz a um porão de onde partem três túneis. O primeiro túnel dá acesso à liberdade em 1 hora; o segundo, em 3 horas; o terceiro leva ao ponto de partida em 6 horas. Em média, os prisioneiros que descobrem os túneis conseguem escapar da prisão em:

a)3h 20 min b)3h 40min c)4h d)4h 30min e)5h

06. (UFPel) Na busca de solução para o problema da

gravidez na adolescência, uma equipe de orientadores educacionais de uma instituição de ensino pesquisou um grupo de adolescentes de uma comunidade próxima a essa escola e obteve os seguintes dados:

Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto afirmar, em relação às idades das adolescentes grávidas, que

a) a média é 15 anos. b) a mediana é 15,3 anos. c) a mediana 16,1 anos. d) a moda é 16 anos. e) a média é 15,3 anos.

07. (UFMS MS) A média aritmética das notas dos alunos de

uma classe de 40 alunos é 7,2 . Se a média aritmética das notas das meninas é 7,6 e a dos meninos é 6,6 , então o número de meninas na classe é

a)20. b)18. c)22. d)24. e)25.



AULA 10 E 11

4

08.(PUC RJ) Um aluno faz 3 provas com pesos 2, 2 e 3. Se

ele tirou 2 e 7 nas duas primeiras, quanto precisa tirar na terceira prova para ficar com média maior ou igual a 6?

a) Pelo menos 4. b) Pelo menos 5. c) Pelo menos 6. d) Pelo menos 7. e) Pelo menos 8.

09. (UFRN RN) Uma prova foi apl icada em duas

turmas dist intas. Na primei ra, com 30 alunos, a média aritmética das notas foi 6,40. Na segunda, com 50 alunos, foi 5,20. A média aritmética das notas dos 80 alunos foi:

a)5,65 b)5,70 c)5,75 d)5,80

10. (ESPP-MPP-PR) Num escritório de engenharia há 20

engenheiros ganhando cada um R$ 2000 de salário, e 10 engenheiros ganhando cada um R$ 5000 de salário. O salário médio dos 30 engenheiros é igual a: a) R$ 2500 b) R$ 2750 c) R$ 3500 d) R$ 3250 e) R$ 3000

11. (NC-UFPR) A média aritmética das temperaturas

máximas, em graus centígrados, em Curitiba nos últimos sete dias foi 28. Em dois dias as temperaturas máximas foram iguais e, retirando esses números do cálculo, a média dos outros cinco dias também foi 28. Qual foi a temperatura daqueles dois dias?

a)25. b)26. c)27. d)28. e)29.

12. (Enem 2010) O quadro seguinte mostra o desempenho

de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

Gols Marcados Quantidade de partidas

0 5

1 3

2 4

3 3

4 2

5 2

7 1

Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então a) X = Y < Z. b) Z < X = Y. c) Y < Z < X.

d) Z < X < Y.

e) z < y < x

13. (UFPR-2010) Em 2010, uma loja de carros vendeu 270

carros a mais que em 2009. Ao lado temos um gráfico ilustrando as vendas nesses dois anos. Nessas condições, pode-se concluir que a média aritmética simples das vendas efetuadas por essa loja durante os dois anos foi de:

a) 540 carros. b) 530 carros. c) 405 carros. d) 270 carros. e) 135 carros.

14. (IBFC-2008) Nove números são escritos em ordem crescente. O número do meio é a média aritmética dos nove números. A média aritmética dos 5 maiores é de 68 e a média aritmética dos 5 menores é de 44. A soma de todos os números é: a) 504 b) 500 c) 112 d) 56

GABARITO: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 E D C D C E D E A

1 D D A A

APROVA CONCURSOS – SEE - MG


AULA 12

1

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS

𝐴 = 𝐷 𝐵 = 𝐸 𝐶 = 𝐹

- Para que dois triângulos sejam semelhantes todos os ângulos devem ser congruentes. - Para achar os lados correspondentes, pega-se o lado oposto ao ângulo pedido.

𝐴 = 𝐷 𝐵 = 𝐸 𝐶 = 𝐹

𝐵𝐶

𝐸𝐹=

𝐴𝐶

𝐷𝐹=

𝐴𝐵

𝐷𝐸

Exemplo: Calcule o valor de x?

Resolução:

Como todos os ângulos são iguais, os dois triângulos são semelhantes. Assim:

𝟓

𝟐=

𝟖

𝒙

𝒙 =𝟏𝟔

𝟓

Resposta: x vale 16/5

TEOREMA DE PITÁGORAS

“O quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos.”

a2 = b

2 + c

2

TESTES: 01.(Integrado) Numa cidade do interior, à noite, surgiu um

objeto voador não identificado, em forma e disco, que estacionou a 50m do solo, aproximadamente. Um helicóptero do exército, situado a aproximadamente 30m acima do objeto, iluminou-o com um holofote, conforme mostra a figura abaixo. Sendo assim, pode-se afirmar que o raio do disco-voador mede, em m, aproximadamente:

a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 02. (Unesp) A sombra de um prédio, num terreno plano,

numa determinada hora do dia, mede 15m. Nesse mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de altura 5m mede 3m.

A altura do prédio, em metros, é a) 25. b) 29. c) 30. d) 45. e) 75. 03. (PM-2005) Na figura abaixo, fora de escala, M

representa o ponto a 12 metros do solo, na janela de um apartamento, de onde uma senhora pode observar o seu filho embarcar no ônibus escolar no ponto P, a 100 metros do prédio em que moram. Um muro está sendo construído, à distância de 35 metros da fachada do mesmo prédio. Das alternativas abaixo, qual corresponde à altura mínima, em metros, do muro para que a senhora perca a visibilidade do ponto P? a) 7,9 b) 8,3 c) 6,8 d) 6 e) 5,6



AULA 12

2

04. (UEPB) A projeção da sombra de um poste vertical

sobre um chão plano mede 14 m. Neste mesmo instante, a sobra projetada de uma criança de 1 m de altura mede 0,7 m. Qual o comprimento do poste?

a)24 m b)20 m c)18 m d)15 m e)16 m

05.(ENEM-2006) Na figura abaixo, que representa o projeto

de uma escada com 5 degraus de mesma altura, o comprimento total do corrimão é igual a:

a) 1,5m b) 1,9m c) 2,0m d) 2,1m e) 2,2m 06. (BOMB-UFPR) Na figura abaixo, ABCD é um trapézio

com base maior medindo 40 cm, base menor medindo 25 cm e altura 30 cm. Prolongando os lados AD e BC, obtém-se o ponto E, vértice do triângulo ABE. Qual é a altura desse triângulo? a) 50 cm b) 60 cm c) 70 cm d) 80 cm e) 90 cm

07. (UFSE) Na figura ao lado, são dados AC = 8 cm e CD = 4 cm. A medida de BD é, em cm:

a) 9 b) 10 c) 12 d) 15 e) 16

08. (FUVEST-SP) O triângulo ABC tem altura h e base b (ver

figura). Nele, está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o dobro da altura. Nessas condições, a altura do retângulo, em função de h e b, é dada pela fórmula

09. (UFPR) Em uma rua, um ônibus com 12 m de

comprimento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância da base de um semáforo, o qual está a 5 m do chão. Atrás do ônibus para um carro, cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte frontal do carro, conforme indica a figura abaixo. Determine a menor distância (d) que o carro pode ficar do ônibus de modo que o motorista possa enxergar o semáforo inteiro.

a) 13,5 m b) 14,0 m c) 14,5 m d) 15,0 m e) 15,5 m 10. (UFRN) Uma escada de 13,0 m de comprimento

encontra-se com a extremidade superior apoiada na parede vertical de um edifício e a parte inferior apoiada no piso horizontal desse mesmo edifício, a uma distância de 5,0 m da parede. Se o topo da escada deslizar 1,0 m para baixo, o valor que mais se aproxima de quanto a parte

inferior escorregará é:

a) 1,0m b) 1,5m c) 2,0m d) 2,6m



AULA 12

3

11. (Cefet) Considere a figura, formada por dois triângulos retângulos justapostos. O valor de y é:

x

12 9

17y

.

.

a) 8 b) 12 c) 13 d) 15 e) 18 12. (UFPA) Um triângulo retângulo, um cateto é o dobro do

outro, e a hipotenusa mede 10 m. A soma dos catetos mede:

a)4 5 cm

b)8 5cm

c)12 5 cm

d)6 5 cm 13. (CESGRANRIO-RJ) No quadrado ABCD da figura, tem-

se AB = 4, AH = CI = 1 e AG = 2. Então HI mede:

a) 5

b) 5 c) 16/3

d) 3 3

e) 2 5

14. (CESGRANRIO-RJ) Uma folha quadrada de papel

ABCD é dobrada de modo que o vértice C coincide com o ponto M médio de AB. Se o lado de ABCD é 1, comprimento BP é:

a) 0,300 b) 0,325 c) 0,375 d) 0,450

15. (IBFC-2012) Os círculos de centros O e O são tangentes entre si no ponto T, e à Reta R, nos pontos Q e R, respectivamente, conforme a figura.

Se = QR = 17 cm e QT = 15cm, então: a) RT = 20cm b) RT = 12 cm c) RT = 8cm d) RT = 10cm GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 A A A B D D C D D

1 C D D B E C



AULA 13, 14 E 15

1

ÁREAS DE FIGURAS PLANAS TRIÂNGULOS

𝑨 =𝒃. 𝒉

𝟐

Alguns casos o exercício pode fornecer os 3 lados do triângulo e não fornecer dados suficientes para encontrar o valor da altura. Nesses casos utilizaremos a relação de Heron.

𝑨 = 𝒑 𝒑 − 𝒂 𝒑 − 𝒃 (𝒑 − 𝒄)

Sendo que p é o semi-perímetro do triângulo.

𝒑 =𝒂 + 𝒃 + 𝒄

𝟐

Para calcular a área do triângulo equilátero podemos simplificar o uso da fórmula geral

(𝑨 =𝒃.𝒉

𝟐) e usar a relação direta.

𝑨 =𝒍𝟐 𝟑

𝟒

OUTROS POLÍGONOS:

-Retângulo

𝑨 = 𝒂. 𝒃

- Quadrado

𝑨 = 𝒍𝟐

- Losango

𝑨 =𝑫. 𝒅

𝟐

- Paralelogramo

𝑨 = 𝒂. 𝒉



AULA 13, 14 E 15

2

- Trapézio

𝑨 = 𝑩 + 𝒃 . 𝒉

𝟐

- Hexágono regular

𝑨 =𝟔𝒍𝟐 𝟑

𝟒, onde 𝒍 é o lado do hexágono.

- Círculo e circunferência

𝑨 = 𝝅. 𝒓𝟐

𝑪 = 𝟐𝝅𝒓

TESTES:

01.(Fuvest) O retângulo ABCD representa um terreno

retangular cuja largura é 3/5 do comprimento. A parte hachurada representa um jardim retangular cuja largura é também 3/5 do comprimento. Qual a razão entre a área do jardim e a área total do terreno?

02. (UEPB) Se em um painel retangular foi afixado um

cartaz de formato triangular, como mostra a figura, a área S ocupada pelo cartaz é igual a:

a) 2m3

2

5

b) 10m2

c) 5m2

d) 2m310

e) 2m35

03. (UDESC SC) A área, em m

2, do quadrado ABCD, da

figura a seguir, é:

a) 100. b) 144. c) 169. d) 128. e) 112. 04.(Gama Filho) As diagonais de um losango medem 8 e 6.

O lado desse losango mede: a)4 b)5 c)7 d)9 e)10

a) 30 %. b) 36 %. c) 40 %. d) 45 %. e) 50 %.



AULA 13, 14 E 15

3

05. (UFRN RN) Duas regiões, uma com a forma de um

quadrado e a outra com a forma de um hexágono regular, têm os lados construídos utilizando-se dois pedaços de arame de comprimentos iguais. Veja as figuras abaixo:

A razão entre a área da região hexagonal e a área da região quadrada é:

a) 33

2

b) 32

3

c) 3

d)3

3

06. (PUC PR) Para se obter o valor venal de um dado

terreno, necessitou-se calcular sua área. Se este terreno é o indicado no croquis seguinte:

então sua área vale, aproximadamente: a)546 m

2

b)373 m2

c)258 m2

d)315 m2

e)431 m2

07.(Unificado) O polígono abaixo, em forma de estrela, tem

todos os lados iguais a 1 cm e todos os ângulos iguais a 60° ou 240°.

Sua área é, em cm

2:

a)3

b) 33 c)6

d) 36 e)9

08. (Unifap AP) Mário construiu um muro medindo 10m de

comprimento por 2,85m de altura. Desejando revestir de azulejo a parte interna desse muro achou melhor comprar 8% a mais para que não faltassem azulejos. Quantos metros quadrados de azulejo ele comprou? a) 29,92 b) 30,05 c) 30,78 d) 31,15 e) 31,26

09. (Unifesp) Um comício deverá ocorrer num ginásio de

esportes, cuja área é delimitada por um retângulo, mostrado na figura.

12m 18m

30m

6m

Por segurança, a coordenação do evento limitou a concentração, no local, a 5 pessoas para cada 2 m

2 de área

disponível. Excluindo-se a área ocupada pelo palanque, com a forma de um trapézio (veja as dimensões da partem preto na figura), quantas pessoas, no máximo, poderão participar do evento? a) 2700. b) 1620. c)1350. d)1125.

10. (Uniube/MG) A área do trapézio retângulo, representado

na figura, é igual a

Obs: utilize 7,13

6 cm

5 cm

60º

a) 19,50 cm2

b) 25,50 cm2

c) 33,15 cm2

d) 39,00 cm2

e) 40,80 cm2

11. (Mackenzie) Na figura, o raio OA da circunferência

mede 6cm. Adotando-se 3 , a área da região sombreada,

em cm2, é igual a

a) )34(9

b) 39

c) 34

d) 39

e) )39(4



AULA 13, 14 E 15

4

12. (PUC MG) Uma pizza circular com 12cm de raio e 2cm

de espessura é fatiada em seis pedaços iguais. Considerando-se que o valor calórico dessa pizza é de

kcal5

por centímetro cúbico, pode-se estimar que o valor

calórico de cada uma dessas fatias, em quilocalorias, é igual a:

a) 240 b) 280 c) 320 d) 360

13. A área da região hachurada vale:

a) 12π - 2 b) 16 - 2 π c) 9 - π d) 8 - 2π e) 4 - π

14. (UFPR) Um cavalo está preso por uma corda do lado de

fora de um galpão retangular fechado de 6 metros de comprimento por 4 metros de largura. A corda tem 10 metros de comprimento e está fixada num dos vértices do galpão, conforme ilustra a figura abaixo. Determine a área total, em m

2, da região em que o animal pode se deslocar.

a) 88π b) 75π+24 c) 20 π d) 100 π – 24 e) 176 π 15. (MACK) A área do trapézio da figura é 12. A área da

parte sombreada é:

a) π b) 2 π c) 3 π d) 4 π e) 5 π

16.(MACK) Se a soma das áreas dos três círculos de

mesmo raio é 3π, a área do triângulo eqüilátero ABC é:

a) 7 3+12

b) 7+4 3

c)19 3

d)11 3 17. (UECE) A figura ao lado representa três círculos

concêntricos de raios 3m, 4m e 5m, respectivamente. Que porcentagem da área do círculo maior representa a área cinza?

a) 25 b) 28 c) 30 d) 32 18.(FUVEST) Na figura abaixo, ABC é um triângulo

equilátero de lado igual a 2. MN,NP e PM são arcos de circunferência com centro nos vértices A, B e C, respectivamente e raios todos iguais a 1. A área da região sombreada é:

a) 3 - 3π/4

b) 3 - π/2

c) 2 3 - π/2

d) 4 3 – 2π

e) 8 3 - 3π

GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 B E B B A A B C D

1 C A A D A A A B B



AULA 16, 17 E 18

1

PRISMAS CUBO

Volume e Área total

𝑽 = 𝒂𝟑 𝑨 = 𝟔𝒂𝟐

Diagonais da base e do cubo

𝒅𝒃 = 𝒂 𝟐 𝒅𝒄 = 𝒂 𝟑 _________________________________

PARALELEPÍPEDO VOLUME

𝑽 = 𝒂.𝒃. 𝒄 ÁREA TOTAL

𝑨𝒕 = 𝟐(𝒂𝒃+ 𝒂𝒄+ 𝒃𝒄)

CILINDROS ÁREA LATERAL

𝑨𝒍 = 𝟐𝝅𝒓𝒉 𝑨𝒃 = 𝟐𝝅𝒓𝟐

𝑨𝒕 = 𝑨𝒍 + 𝑨𝒃 _____________________________________________

VOLUME:

𝑽 = 𝝅𝒓𝟐𝒉

CILINDRO EQUILÁTERO: Todo cilindro cuja secção

meridiana é um quadrado ( altura igual ao diâmetro da base) é chamado cilindro eqüilátero.



AULA 16, 17 E 18

2

PIRÂMIDES

ÁREA TOTAL: A área total de uma pirâmide é determinada pela soma da área lateral com a área da base. Observe que o formato da base tem influência direta na quantidade de faces laterais e consequentemente em sua área lateral.

𝑨𝒕 = 𝑨𝒍 + 𝑨𝒃

VOLUME:

𝑽 =𝟏

𝟑𝑨𝒃𝒉

CONES ÁREA:

𝑨𝒍 = 𝝅𝑹𝒈 𝑨𝒃 = 𝝅𝑹𝟐

𝑨𝒕 = 𝑨𝒍 + 𝑨𝒃 _____________________________________________

VOLUME:

𝑽 =𝟏

𝟑𝝅𝒓𝟐𝒉

TESTES: 01. (PUC RJ) A base de um prisma reto é um triângulo de

lados iguais a 5m, 5m e 8m e a altura tem 3m. O seu volume será:

a)12m

3

b)24m3

c)36m3

d)42m3

e)60m3

02. (Mackenzie SP) Uma piscina com 5 m de comprimento,

3 m de largura e 2 m de profundidade tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Se o nível de água está 20 cm abaixo da borda, o volume de água existente na piscina é igual a:

a)27 000 cm³ b)27 000 m³ c)27 000 litros d)3 000 litros e)30 m³ 03. (UFU/MG) Considere uma cruz formada por 6 cubos

idênticos e justapostos, como na figura abaixo. Sabendo-se que a área total da cruz é de 416cm

2, pode-se afirmar que o

volume de cada cubo é igual a

a)16cm

3

b)64cm3

c)69cm3

d)26cm

3

04. (UFJF MG) Uma caixa de forma cúbica contém água.

Após a retirada de 18 litros de água verifica-se que houve uma variação de 20 cm no nível do líquido. A capacidade total da caixa é, em litros:

a)27

b)30 c)20 d)18 e)36

05.(PM-2005) Uma caixa d’água está vazia e será

abastecida por uma torneira de vazão constante de 8 litros por minuto. Sabendo que o formato interno dessa caixa é o de um paralelepípedo reto com base retangular de medidas 110 cm por 250 cm, calcule o tempo necessário para que a caixa contenha água até a altura de 80 cm. a) 4 horas e 35 minutos. b) 4 horas e 07 minutos. c) 4 horas e 25 minutos. d) 4 horas e 42 minutos. e) 4 horas e 58 minutos.



AULA 16, 17 E 18

3

06.(UFAM AM) Um aquário em forma de paralelepípedo

reto, de altura 40 cm e base retangular horizontal com lados medindo 70 cm e 50 cm, contém água até um certo nível. Após a imersão de um objeto decorativo nesse aquário, o nível da água subiu 0,4 cm sem que a água entornasse. Então o volume do objeto imerso é:

a)1400 cm

3

b)1120 cm3

c)1800 cm3

d)5600 cm3

e)1600 cm3

07.(Mackenzie SP) Uma lata tem forma cilíndrica com

diâmetro da base e altura iguais a 10cm. Do volume total,

4/5 é ocupado por leite em pó. Adotando-se 3 , o volume

de leite em pó, em cm3, contido na lata é

a) 650 b) 385 c) 600 d) 570 e) 290

08.(Unifor/CE) Um cilindro circular reto de volume 108 cm3

tem altura igual ao quádruplo do raio da base. Esse raio, em centímetros, mede:

a) 1

b) 3 3

c) 3

d) 23

e) 5 09.(UFJF MG) Aumentando-se o raio de um cilindro em 4cm

e mantendo-se a sua altura, a área lateral do novo cilindro é igual à área total do cilindro original. Sabendo-se que a altura do cilindro original mede 1cm, então o seu raio mede, em cm:

a) 1

b) 2 c) 4 d) 6 10. (UFMA/MA) Um recipiente sob a forma de um cilindro

reto está repleto de vinho. Esse vinho deve ser distribuído em copos cilíndricos, possuindo, cada um, altura igual a 1/8 da altura do recipiente e diâmetro da base igual a 1/5 do diâmetro da base do recipiente. A quantidade de copos necessária para distribuir todo o vinho é: a)300 b)100 c)400 d)150 e)200

11. (Cefet PR) Em uma caixa de papelão são colocados 12

copos, como mostra a figura a seguir. Entre um copo e outro, existe uma divisória de papelão com 1cm de espessura. Cada copo tem o formato de um cilindro circular

reto, com altura de 14cm e volume de 126 cm3. Com base

nesses dados, pode-se dizer que o comprimento interno da

caixa de papelão, em cm, será igual a: (use =3,14).

a) 36 b) 41 c) 12 d) 17 e) 48 12.(Unesp SP) O prefeito de uma cidade pretende colocar

em frente à prefeitura um mastro com uma bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide de base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide terá 3m e que a altura da pirâmide será de 4m, o volume de concreto (em m3) necessário para a construção da pirâmide será

a) 36. b) 27. c) 18. d) 12. e) 4.

13.(UFRR) Uma barraca de acampamento tem a forma de

uma pirâmide com 1 m de altura, cuja base é um quadrado com 2 m de lado. A quantidade de lona usada nas faces laterais da barraca é, em metros quadrados: a) 8 b) 12

c) 2

d) 24

e) 44 14.(UEG GO) Uma barraca de lona, em forma de pirâmide

de base quadrada, tem as seguintes medidas: base com 3 metros de lado e laterais triângulos com 2,5 m de altura. A lona utilizada na construção da barraca, nas laterais e na base, perfaz um total de

a)9 m

2.

b)15 m2.

c)20,5 m2.

d)24 m2.

e)39 m2.

15.(Cefet PR) Uma pirâmide quadrangular regular de 13 cm

de altura tem aresta lateral medindo 15 cm. A área da base dessa pirâmide, em cm

2, é:

a)86 b)98 c)104 d)106 e)112.



AULA 16, 17 E 18

4

16.(Unifor CE) Uma pirâmide regular de altura 12 cm tem

como base um quadrado de lado 10 cm. Sua área lateral, em centímetros quadrados, é: a) 360 b) 260 c) 180 d) 100 e) 65 17. (Fuvest SP) Um telhado tem a forma da superfície

lateral de uma pirâmide regular, de base quadrada. O lado da base mede 8m e a altura da pirâmide 3m. As telhas para cobrir esse telhado são vendidas em lotes que cobrem 1m

2.

Supondo que possa haver 10 lotes de telhas desperdiçadas (quebras e emendas), o número mínimo de lotes de telhas a ser comprado é:

a)90 b)100 c)110 d)120 e)130

18.(PUC RS) Um cilindro circular reto e um cone circular reto

têm o mesmo raio da base, medindo 3m, e a mesma altura, medindo 4m. A razão entre as áreas laterais do cilindro e do cone é a) 3/4 b) 8/5 c) 9/25 d) 8π/5 e) 9π/25 19. (UFAM AM) Um tanque cônico tem 4m de profundidade

e seu topo circular tem 6m de diâmetro. Então, o volume máximo, em litros, que esse tanque pode conter de líquido é: (use π = 3,14) a) 24.000 b) 12.000 c) 37.860 d) 14.000 e) 37.680 . 20.(UFAM AM) A geratriz de um cone circular reto mede 10

cm e sua área total é 75 π cm2. Então o raio da base é igual

a: a) 15 cm b) 5 cm c) 10 cm d) 6 cm e) 8 cm 21.(UFSCar SP) Em uma lanchonete, um casal de

namorados resolve dividir uma taça de milk shake com as dimensões mostradas no desenho.

a) Sabendo-se que a taça estava totalmente cheia e que

eles beberam todo o milk shake, calcule qual foi o volume, em mL, ingerido pelo casal. Adote π = 3. b) Se um deles beber sozinho até a metade da altura do

copo, quanto do volume total, em porcentagem, terá bebido?

22. (PUC) Um cone circular reto, cujo raio da base é 3 cm,

está inscrito em uma esfera de raio 5 cm, conforme mostra a figura a seguir. O volume do cone corresponde a que porcentagem do volume da esfera.

.

.

a) 26,4% b) 21,4% c) 19,5% d) 18,6% e) 16,2%

23. (Mackenzie) Bolas de tênis, normalmente, são vendidas

em embalagens cilíndricas contendo três unidades que tangenciam as paredes internas da embalagem. Numa dessas embalagens, se o volume não ocupado pelas bolas é

2, o volume da embalagem é:

a) 6

b) 8

c) 10

d) 12

e) 4

24. (IBFC-2012) Um cone reto é seccionado por dois planos paralelos a sua base e que dividem sua altura em três partes iguais. Os três sólidos obtidos são: um cone de volume V1, um tronco de cone de volume V2 e um tronco de cone de volume V3 , com V1 < V2 < V3 . Se V1 = K, podemos concluir que: a) V2 = 3K e V3 = 9K b) V2 = 8K e V3 = 27K c) V2 = 6K e V3 = 27K d) V2 = 7K e V3 = 19K



AULA 16, 17 E 18

5

25. (IBFC-2008) Um bloco sólido de alumínio no formato de um paralelepípedo reto de arestas 16 cm; 4 cm e 19 cm é levado a um processo de fusão. Com o alumínio líquido obtido, são moldados dois blocos sólidos: um cubo de aresta igual a x cm e outro paralelepípedo reto de dimensões iguais a 50 cm; 2 cm e 10 cm. Nestas condições, o valor de x é: a) 5 cm b) 6 cm c) 10 cm d) 8 cm GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 C C B A A A C C B

1 E B D D D E B A B E

2 B * E A D B

21. a) 500 ml b) 87,5%



AULA 19 E 20

1

EQUAÇÕES DO 1º GRAU Equação é uma expressão que apresenta uma igualdade com o zero (ou um número qualquer), ou com uma outra expressão. Uma equação do 1º grau apresenta apenas variáveis (x) com expoente 1, e a igualdade só é verificada para determinados valores, denominados raízes, para o caso de uma equação do 1º grau com uma variável teremos uma única raiz. Solução de uma equação do 1º grau com uma variável.

Para determinar a solução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, basta isolar os valores acompanhados pelas variáveis no primeiro membro da igualdade e, no segundo membro agrupamos os valores numéricos. Para estas operações devemos, quando alterar um valor de membro, aplicar as operações inversas que são:

Adição Inversa Subtração

Multiplicação Inversa Divisão

Potenciação Inversa Radiciação Exemplo: Encontrar as raízes das equações abaixo a)

5

20

205

x

x

b)

2

2

22

5342

3452

x

x

xx

xx

FIXAÇÃO 01. A solução da equação 5(x+3) – 2(x -1) = 20 é:

a) 0 b) 1 c) 3 d) 9

02. A solução da equação 6

7

8

3

2

11 x é:

a) 0 b) 1

c) 24

1

d) 48

1

03. A raiz da equação 4

1

7

3

xx é

a)5

3

b)3

5

c) 5

3

d) 3

5

TESTES:

01. O conjunto solução da equação 0,5x = 0,3 – 0,5x é:

a) S = 0,3 b) S = 0,5 c) S = 0,8 d) S = 1,3

02. O valor de x tal que 3

12

2

14

xx é:

a) 0

b) 16

5

c) 3

d) 5

16

03. Um funcionário teve seu salário reajustado em 6/10 e

passou a ganhar R$ 860,00. Qual o seu salário antes do aumento? a) R$ 537,50 b) R$ 357,05 c) R$ 735,00 d) R$ 550,37 e) R$ 800,00 04. (FAE-COPEL-2009) Três amigos receberam um prêmio

de loteria e dividiram o valor total da seguinte maneira: o primeiro recebeu 2/5 desse valor, o segundo recebeu 3/10 e o terceiro recebeu R$ 400.000,00 mais 1/4. É correto afirmar que a) o primeiro recebeu a menor quantia. b) o segundo recebeu a maior quantia. c) o terceiro recebeu a maior quantia. d) o primeiro e o segundo receberam a mesma quantia. e) o segundo e o terceiro receberam a mesma quantia. 05. (UFPR) A soma de três números inteiros consecutivos é

4x

1x



AULA 19 E 20

2

84. Qual é o soma dos dois maiores?

a) 54 b) 55 c) 56 d) 57 06. (UPNET) Gasto 2/5 do meu salário com aluguel de casa,

e 1/2 dele, com outras despesas, permanecendo ainda com R$ 200,00. Qual é o meu salário?

A) R$ 2.000,00 B) R$ 1.800,00 C) R$ 2.010,00 D) R$ 400,00 E) R$ 2.500,00 07. (FCC) Um trabalhador gasta 1/3 do seu salário com

aluguel da casa e 1/5 com transporte. Quanto resta para outras despesas, se seu salário é de R$ 780,00? a) R$ 343,00 b) R$ 364,00 c) R$ 416,00 d) R$ 468,00 e) R$ 585,00 08. (FCC) João gasta 1/3 do seu salário com aluguel do

apartamento onde mora e 2/5 do que lhe sobra em alimentação, ficando com R$ 450,00 para as demais despesas. Portanto, o salário de João é igual a: a) R$ 1.200,00 b) R$ 1.500,00 c) R$ 1.800,00 d) R$ 2.100,00 e) R$ 1.125,00 09. (MACK-SP) José possui dinheiro suficiente para

comprar uma televisão de R$ 900,00 e ainda lhe sobra 2/5 da quantia inicial. O valor que sobra para José é: a) R$ 450,00 b) R$ 800,00 c) R$ 600,00 d) R$ 550,00 e) R$ 650,00 10. (ESAF) Em uma prova de natação, um dos participantes

desiste de competir ao completar apenas 1/5 do percurso total da prova. No entanto, se tivesse percorrido mais 300 metros, teria percorrido 4/5 do percurso total da prova. Com essas informações, o percurso total da prova, em quilômetros, era igual a: a) 0,75 b) 0,25 c) 0,15 d) 0,5 e) 1

(IBFC-2013) Marcia recebeu seu salário e gastou 3/8 no mercado e um quinto do restante com vestuário, e ainda lhe sobrou do salário R$ 1400,00. O salário que Marcia recebeu é igual a: a) Um valor menor que R$ 2.500,00 b) R$ 2.800,00 c) Um valor entre R$ 2.500,00 e R$ 2.750,00 d) Um valor maior que R$ 2.800,00

GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 A B A E D A B E C

1 D

SISTEMAS LINEARES Uma equação do primeiro grau com duas variáveis admite infinitas soluções, então para que se tenha solução é necessário uma outra equação. Logo para cada variável apresentada na equação devemos possuir uma equação, isto é, se a expressão possui duas variáveis, precisamos de duas equações.

a) x + y = 6 Infinitas Soluções

b)

1

5

yx

yx Solução no conjunto dos reais

Solução de um sistema de duas equações e duas variáveis.

Apresentaremos a seguir dois métodos diferentes. 1 Adição Este método consiste em eliminar uma das incógnitas, somando membro a membro as duas equações. Neste método é necessário que os coeficientes de uma das incógnitas sejam opostos. Ex:

1

5

yx

yx +

______________

3

2

6

62

x

x

x

Substitui o valor de x em uma das equações do sistema e encontra o valor de y. x + y = 5 3 + y = 5 y = 5 – 3 = 2 Extensão do método da adição

Se os coeficientes de uma das variáveis não são simétricos, podemos multiplicar as equações pelos coeficientes permutados, lembrando que, se existir a necessidade troque o sinal de um dos valores a ser multiplicado para que os novos coeficientes sejam opostos. Solução: Exemplo:



AULA 19 E 20

3

754

1332

yx

yx

754

1332.2

yx

yx

754

2664

yx

yx+

________________

3

11

33

3311

y

y

y

Substitui-se o valor de y em qualquer equação:

3,2

22

4

9132

133.32

1332

S

x

x

x

yx

2 Substituição

Este método consiste em isolar uma das variáveis de uma das equações, e substituir o valor encontrado na outra equação:

Ex:

2242

7

yx

yx

Solução: Isolando y na primeira equação:

xy 7

Substitui-se o valor de y na segunda equação

32

6

62

28222

224282

22)7(42

2242

x

x

x

xx

xx

yx

4

37

7

y

y

xy

FIXAÇÃO:

01. Resolva o sistema:

104

72

yx

yx

a) x = 5 e y = 7 b) x = -3 e y = -2 c) x = -3 e y = 2 d) x = 3 e y = 2 e) x = 3 e y = -2

02. Resolva o sistema:

423

952

yx

yx

a) x = 4 e y = 3 b) x = 3 e y = 2 c) x = 2 e y = 1 d) x = 1 e y = 0 e) x = 0 e y = 1

03. A solução do sistema

3

32

yx

yx

a) (1,1) b) (2,1) c) (1,2) d) (1,0) 04. Numa sala há tamboretes de 3 pernas e cadeiras de 4

pernas. Sendo 43 o número total de pernas e 12 o número total de cadeiras e tamboretes, determine o número de cadeiras a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 TESTES:

01. Se (x,y) é solução de

24

52

yx

yx , então o valor de x

+ y é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

02. Se

62

82

yx

yx então o valor de

yx é:

a) 1 b) 4 c) 9 d) 16 03. Pagou-se uma compra no valor de R$ 950,00 com notas

de R$ 10 e R$ 50, num total de 47 notas. Quantas notas de cada espécie foram usadas no pagamento? a) 12 notas de R$ 10 e 35 notas de R$ 50 b) 35 notas de R$ 10 e 12 notas de R$ 50 c) 25 notas de R$ 10 e 22 notas de R$ 50 d) 15 notas de R$ 10 e 32 notas de R$ 50 e) 17 notas de R$ 10 e 30 notas de R$ 50



AULA 19 E 20

4

04. Uma pessoa participa de um jogo onde uma moeda

honesta é lançada 100 vezes. Cada vez que ocorre cara ela ganha 10 reais, e cada vez que ocorre coroa perde 5 reais. Se após os 100 lançamentos a pessoa teve um ganho líquido de 25 reais, quantas vezes deve ter ocorrido cara na moeda? a) 5 caras b) 15 caras c) 25 caras d) 35 caras e) 45 caras 05. Num pátio existem automóveis e bicicletas. O número

total de rodas é 130 e o número de bicicletas é o triplo do numero de automóveis. Então, o número total de veículos que se encontra no pátio é: a) 42 b) 50 c) 52 d) 54 e) n.d.a. 06. Numa carpintaria, empilha-se 50 tábuas, umas de 2cm e

outras de 5cm de espessura. A altura da pilha é de 154 cm. A diferença entre o número de tábuas de cada espessura é: a) 14 b) 16 c) 18 d) 25 e) n.d.a. 07. Roberto tem no momento 200 reais em cédulas de R$

10 e de R$ 5. A quantidade de cédulas de R$ 10 equivale a 3/4 da quantidade de cédulas de R$ 5. A quantidade de cédulas de R$ 10 que Roberto possui é: a) 10 b) 12 c) 16 d) 18 e) n.d.a. 08. Um copo cheio de água pesa 325 g. Se jogarmos

metade da água fora seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é: a) 25g b) 40g c) 35g d) 45g e) n.d.a. 09. (PUC-COPEL-2008) Zeferino e Estanislau trabalham

juntos fabricando e vendendo dois modelos de bolsas: a mais barata é revestida de tecido, e a mais cara de couro sintético. Zeferino vendeu 3 bolsas de couro sintético e 4 de tecido, recebendo R$ 480,00. Estanislau recebeu R$520,00 ao vender 2 bolsas de tecido e 5 de couro sintético. A diferença de preço entre a bolsa mais cara e a mais barata é igual a: a) R$ 10,00 b) R$ 20,00 c) R$ 40,00 d) R$ 60,00 e) R$ 80,00

10. (UPNET) Um clube promoveu um show de música

Popular Brasileira ao qual compareceram 200 pessoas, entre sócios e não-sócios. No total, o valor arrecadado foi R$ 1.400,00, e todas as pessoas pagaram ingresso. Sabendo-se que o preço do ingresso foi R$ 10,00 e que cada sócio pagou a metade desse valor, o número de sócios presentes ao show é de a)100 B) 80 C) 140 D) 160 E) 120 11. (VUNESP) Dois casais de namorados foram à feira e

pararam em frente a uma banca que vendia pastéis e caldo de cana. O primeiro casal pagou R$ 5,40 por um pastel especial e dois copos de caldo de cana. O segundo casal pagou R$ 9,60 por três copos de caldo de cana e dois pastéis especiais. A diferença entre o preço de um pastel especial e o preço de um copo de caldo de cana foi de a) R$ 2,00. b) R$ 1,80. c) R$ 1,50. d) R$ 1,20. e) R$ 1,00. 12. (VUNESP) Um determinado presídio abriga um total de

376 detentos em 72 celas. Sabe-se que uma parte dessas celas abriga 4 detentos por cela, e que a outra parte abriga 6 detentos por cela. O número de celas com 4 detentos é igual a a) 46. b) 42. c) 30. d) 28. e) 24. 13. (FCC) Um estádio de futebol vende ingressos para a

arquibancada a R$ 15,00 e para as cadeiras a R$ 25,00. Um cambista compra 80 ingressos, pagando um total de R$ 1.700,00. Sabe-se que ele comprou ingressos dos dois valores. Logo, pode-se concluir que o cambista comprou: a) 30 ingressos de R$ 25,00 b) 50 ingressos de R$ 15,00 c) 50 ingressos de R$ 25,00 d) 60 ingressos de R$ 15,00 e) 60 ingressos de R$ 25,00 14. (UFPR) O Cine São José cobra R$ 12,00 a entrada e

oferece 50% de desconto aos estudantes que possuem carteirinha. Na última sessão de domingo, o cinema estava lotado (todos os 180 ingressos disponíveis foram vendidos) e arrecadou um total de R$ 1.728,00. Quantos estudantes havia no cinema?

a) 96. b) 48. c) 84. d) 60. e) 72.



AULA 19 E 20

5

15. (IBFC-2013) Dois candidatos A e B disputaram um cargo

numa empresa. Os funcionários da empresa poderiam votar nos dois ou em apenas um deles ou em nenhum deles. O resultado foi o seguinte: 55% dos funcionários escolheram o candidato A, 75% escolheram o candidato B, 10% dos votos foram em branco. Pode-se afirmar então que o total de funcionários que escolheram somente um dentre os dois candidatos foi de:

a) 50% b) 40% c) 90% d) 120%

GABARITO:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

0 C D B D C A B C B

1 E B D C E A

sgc_see_mg_2014_matematica_01_a_20.pdf

Documents