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Programa:

Introdução;

Sequenciamento numa única máquina;

Sequenciamento em máquinas paralelas;

Problemas de shop scheduling;

Extensões;

Sequenciamento de Tarefas

Mestrado em Matemática Aplicada à Economia e Gestão - Logística e Gestão de Operações 1º Ano 2º Semestre

Módulo de Gestão de Operaçõers Docente : Maria da Conceição da Fonseca 1

Introdução

Problemas de sequenciamento/escalonamento de tarefas

Afectação óptima de recursos

escassos a actividades ou tarefas

ao longo do tempo.

São processos de decisão em que se pretende

optimizar um ou mais objectivos.



‘Recursos’

Máquinas num processo de fabrico;

Pistas de um aeroporto;

Equipas de trabalho numa obra de construção civil;

Unidades de processamento num sistema de

computadores;

Etc…



Actividades ou tarefas

Operações de um processo de fabrico;

Levantamento e aterragem de aviões;

Fases de uma obra de construção civil;

Execução de programas de computador;

Etc…



Objectivos

Minimização do instante de conclusão da última

actividade/tarefa;

Minimização do número de tarefas finalizadas depois

de determinada data previamente estabelecida;

Etc…



Áreas de aplicação

Sistemas de produção;

Indústrias de transformação;

Indústria automóvel;

Computação (sistemas operativos, escalonamento em

computador);

Serviços (hospitais, escolas, universidades);

Empresas de aviação;

Empresas de transporte;

…



Sequenciamento dos trabalhos (fotografias, recolha de

informação, etc) a efectuar por um satélite,

Escalonamento da produção numa fábrica de

automóveis;

Escalonamento da carga / descarga de barcos da

marinha mercante num porto;

Escalonamento das revisões de rotina dos aviões;

Sequenciamento do correio a ser distribuído pelos

carteiros.



Extensões

Problemas de horários escolares;

Problemas de turnos em hospitais;

Sistemas de produção flexíveis;

Sistemas de produção Just-in-Time (JIT);



n tarefas J={J1, J2, ..., Jn}

m processadores/máquinas M={M1, M2, ..., Mm}

As tarefas terão de ser processadas pelas máquinas durante um

certo tempo, e respeitando um certo conjunto de restrições.

Determinar, para cada processador, a ordem ou sequência na qual

se deve processar as tarefas que o devem usar, de forma a respeitar

as restrições optimizando um certo critério de optimalidade

(medida de performance.)

Objectivo

Introdução – formalização e suposições



Restrições

Precedência entre as tarefas;

Não interrupção do processamento;

Etc...

Medidas de performance

Instante de conclusão do processamento de todos os trabalhos;

Tempo médio de permanência no sistema;

Atraso máximo;

Número de tarefas atrasadas;

Etc...



Suposições

Cada processador/máquina não pode processar mais de uma tarefa

ao mesmo tempo ou seja, as máquinas têm capacidade limitada;

Cada tarefa, quanto muito, pode estar a ser processada num único

processador, ou seja, diferentes processadores não podem processar

a mesma tarefa ao mesmo tempo.

Etc…

Todos os dados são conhecidos à partida;

Todos os dados são determinísticos;

Problemas determinísticos de sequenciamento/ escalonamento

(‘Deterministic Machine Scheduling’)



Existem problemas onde se relaxam estas suposiões

(Extensões)

Planeamento de projectos;

Problemas estocásticos;

Problemas multi-critério;

Etc...



Exemplo: 3 máquinas / 4 tarefas

Cada tarefa 3 operações

2 3 3

2 4 2

4 3 3

3 5 3

Tarefa 2:

Tarefa 3:

Tarefa 4:

Tarefa 1:

Tempos de processamento

M1 M2 M3

M3

M2

M1

momento de conclusão

Uma solução admissível...



Técnicas de resolução

Métodos exactos

Métodos heurísticos

Algoritmos específicos (essencialmente para problemas polinomiais);

Métodos de branch-and-bound;

Programação Dinâmica;

Programação por restrições (constraint programming).

Heurísticas construtivas (especificamente desenvolvidas para cada problema);

Heurísticas de Melhoramento (Pesquisa Local, Simulated Annealing, Pesquisa Tabu, Algoritmos Genéticos, etc).



Um problema pode ser caracterizado pelo tipo de processamento

ou pelo tipo de disciplina utilizada no processamento.

• Máquinas paralelas

Todas as máquinas realizam o mesmo tipo de funções.

Tipo de máquinas:

- Idênticas

Todas as máquinas têm iguais velocidades de processamento.

- Uniformes

Cada máquina tem uma certa velocidade de processamento, que é constante.

- Não relacionadas

O tempo de processamento depende da máquina e da tarefa.

• Uma única máquina

Tipo de processamento



Máquinas dedicadas (Shop scheduling)

Cada máquina tem uma função especializada.

Cada tarefa é processada por todas as máquinas seguindo uma certa ordem, designada por disciplina.

Disciplina:

Open-shop

A ordem não é fixa, ou seja é indiferente a ordem pela qual as tarefas são processadas nas máquinas.

Flow-shop

A ordem é fixa e igual para todas as tarefas.

Job-shop

A ordem é fixa e não necessariamente igual.

Tipo de disciplina



O processamento de uma tarefa não pode ser cancelado nem repetido. Poderá ser interrompido ou não;

A uma tarefa é permitido esperar para que a máquina/processador

requerido a seguir fique disponível. Não há limite para o número de tarefas que aguardam processamento;

Cada operação Oij terá de ser processada numa máquina específica, mij, por

um determinado tempo, pij;

Duas operações consecutivas de uma mesma tarefa são processadas em

máquinas diferentes, ou seja mijmi+1,j;

Uma tarefa Jj é composta por um conjunto de operações Oij, i=1,...,mj;

Problema de escalonamento:

Cada tarefa encontra-se disponível para processamento a partir de um dado instante e não se consideram atrasos;



Introdução – algumas definições e notação

rj: data de disponibilidade da tarefa Jj;

dj: prazo para a conclusão da tarefa Jj;

Podem existir penalizações no caso de este prazo não ser cumprido;

Em alguns problemas os prazos de conclusão estão associados a “tempos de entrega”.

wj: peso da importância da tarefa Jj;

Usualmente, associado a critérios de optimalidade.

Cj : data de conclusão do processamento da tarefa Jj;



Introdução – algumas definições e notação

Lj : atraso da tarefa Jj;

Lj = Cj - dj

Tj : ‘tardeza’ da tarefa Jj;

Tj = max {Lj,0}

Uj : penalização tarefa Jj;

Fj : tempo de permanência da tarefa Jj no sistema;

Fj = Cj - rj

contrário casoj

dj

C se

1

0U

j

nT : Número de tarefas com ‘tardeza’ positiva;



Introdução – esquema de classificação

Os problemas de sequenciamento / escalonamento

serão classificados de acordo com os três parâmetros:

a / b / g

a: Caracteriza os processadores;

b: Caracteriza as tarefas;

g: Especifica critério de optimalidade.

a1 a2 b1 b2 b3 b4 b5



Parâmetro a (processadores)

a1

processadores paralelos idênticos. P

Ou seja, o tempo de processamento de uma tarefa depende da tarefa e da velocidade do processador si (pij=pj /si no processador Mi).

(não está presente) ø Uma única máquina

Todos os processadores têm a mesma velocidade de operação ou seja, o tempo de processamento de uma tarefa apenas depende da tarefa ou seja (pij=pj para todos os Mi).

Q processadores paralelos uniformes. Cada processador tem um velocidade diferente e constante .

processadores paralelos não relacionados. Cada processador tem um velocidade diferente e dependente da tarefa.

R

Ou seja, o tempo de processamento de uma tarefa depende da tarefa e da velocidade do processador sij, que depende da tarefa a processar (pij=pj /sij no processador Mi).



A ordem de processamento das operações de uma tarefa não é fixa, ou seja é indiferente a ordem pela qual as operações são processadas nas máquinas.

O processadores dedicados, open-shop.

A ordem de processamento das operações de uma tarefa é fixa e idêntica para todas as tarefas.

F processadores dedicados, flow-shop.

Por exemplo, as primeiras operações de todas as tarefas são processadas pela máquina M1, as segundas pela a M2, e assim sucessivamente.

A ordem de processamento das operações de uma tarefa é fixa mas não necessariamente idêntica para todas as tarefas

J processadores dedicados, job-shop.

a2 m Número de processadores.



ø Não é permitido interromper o processamento de uma tarefa ou operação.

b1 interrupção

b2 relações de precedência Uma relação de precedência entre tarefas pode ser representada por um grafo acíclico em que cada vértice está associado a uma tarefa. Se existir um caminho entre Ji e Jk, i.e. Ji < Jk, então Jk só pode ser processado quando o processamento da tarefa Ji estiver terminado.

O grafo que representa as relações de precedência é uma árvore orientada.

tree

ø Não existem.

É permitido interromper o processamento de uma tarefa ou operação, que pode recomeçar mais tarde.

pmtn (preemption)

Parâmetro b (tarefas)

O grafo que representa as relações de precedência é uma cadeia de tarefas.

chains

O grafo é geral. prec Mestrado em Matemática Aplicada à Economia e Gestão - Logística e Gestão de Operações 1º Ano 2º Semestre


b3 datas de disponibilidade

As datas de disponibilidade são iguais para todas as tarefas. ø

As datas de disponibilidade diferem de tarefa para tarefa. rj

b4 tempos de processamento

Valores arbitrários. ø

Os tempos de processamento são unitários. pij=1

b5 prazos de conclusão

Os prazos de conclusão são iguais para todas as tarefas. ø

Os prazos de conclusão diferem de tarefa para tarefa. dj



... outros sub-campos podem ser incluídos

Não pode haver tarefas à espera de uma máquina. no-wait

Por exemplo,



Parâmetro g (critério de optimalidade)

fj tarefa j Medida: Cj, Fj, Tj, ...

(Maior atraso, maior data de conclusão,...)

n

j 1

jfn

1f

j

,...,njff

1max max

,fw1

jj

n

j

n

j 1

j 1w

(Por exemplo, instante médio de conclusão das tarefas)

(Por exemplo, média ponderada do tempo de permanência no sistema)



Esquema de classificação: exemplos

Problema de escalonamento numa única máquina em que se pretende minimizar o maior dos atrasos. Há precedências entre as tarefas

1/prec,dj/Lmax

Problema de escalonamento em 4 máquinas dedicadas com disciplina job-shop (job-shop scheduling). O objectivo é determinar o escalonamento que minimiza a maior data de conclusão.

J4/pij=1/Cmax



Problema de sequenciamento numa única máquina com diferentes datas de disponibilidade para as tarefas. Pretende-se minimizar a maior das datas de conclusão.

1/rj/Cmax

Problema de escalonamento de tarefas em máquinas paralelas não relacionadas, onde se permite a interrupção do processamento das tarefas e se pretende minimizar o instante médio de conclusão.

R/pmtn/

n

j

jCn 1

1





Introdução – medidas de performance regulares

Medida de performance regular

Medida não decrescente nos tempos de conclusão das tarefas

'

11 CC

'

22 CC

'

nn CC

),,,(),,,( ''

2

'

121 nn CCCfCCCf

Exemplos: maxC C maxL L maxT T etc...



Introdução – medidas de performance equivalentes

Medidas de performance equivalentes

Qualquer solução óptima relativamente a uma das medidas (critério de optimalidade) também é óptima relativamente à outra.

Exemplos:

n

j

jC1

n

j

jF1

n

j

jL1



Introdução – soluções

Solução de um problema de escalonamento

Afectação das tarefas ou operações às máquinas (no caso de haver processamento paralelo);

Sequenciamento das tarefas ou operações processadas pela mesma máquina;

Determinação das datas de início ou datas de conclusão de cada tarefa ou operação na máquina em que é processada;

Indicação da possibilidade (ou não) de interrupção do processamento de cada tarefa;

Determinação do valor da função objectivo;



4 9 14 16 19 22

Um problema de sequencia-mento numa única máquina

Representação de uma solução Diagrama

de Gantt

Introdução – soluções

M3

M2

M1 Um problema de job-shop

0 2 10



Problemas ‘fáceis’ com uma máquina

Escalonamento óptimo Regra SPT (Smith, W.E. [1956])

(Shortest Processing Time)

As tarefas são sequenciadas por ordem não decrescente dos tempos de processamento

Tarefa (j) 1 2 3 4 5 6 7

pj 6 4 8 3 2 7 1

Solução óptima: 7 5 4 2 1 6 3

0 1 3 6 10 16 23 31

Exemplo

_ 1 90

16 10 31 6 3 23 17 7

F

1//F




Escalonamento óptimo Regra SPT (Smith, W.E. [1956])

(Shortest Processing Time) Demonstração:

Seja S um escalonamento que não verifica a regra SPT.

Por S não obedecer à regra SPT existe pelo menos um k tal que pj(k) > pj(k+1).

Designe j(l) a l-ésima tarefa da sequência.

j(1) j(2) j(n) ... S j(k) j(k+1) ...

Considere-se o seguinte escalonamento S’:

j(1) j(2) j(n) ... S’ j(k+1) j(k) ...

1

1

)(

k

l

ljpa Tempo que a tarefa j(k) espera em S Tempo que a tarefa j(k+1) espera em S’

Os tempos se permanência no sistema só se alteram para as tarefas j(k) e j(k+1)

1//F




)()( kjkj paF Tempo de permanência no sistema da tarefa j(k) de acordo com a sequência S

)1()()1( kjkjkj ppaFTempo de permanência no sistema da tarefa j(k+1) de acordo com a sequência S

)()1()('

kjkjkj ppaF Tempo de permanência no sistema da tarefa j(k) de acordo com a sequência S’

)1()1('

kjkj paF Tempo de permanência no sistema da tarefa j(k+1) de acordo com a sequência S’

F Tempo médio de permanência no sistema associado à sequência S 'F Tempo médio de permanência no sistema associado à sequência S’

)1()()()1()(

11kjkjkjkjkj ppapa

nFF

n

'

)1(

'

)()1()()1(

11 kjkjkjkjkj FF

nppapa

nContribuição de j(k) e j(k+1) para F

Contribuição de j(k) e j(k+1) para 'F

Donde 'FF

Assim S não pode ser o escalonamento óptimo!




1//S wjCj

Escalonamento óptimo Generalização da regra SPT

(Smith, W. E. [1956])

As tarefas são sequenciadas por ordem não decrescente dos quocientes pj/wj

Exemplo

1 2 4 1 1 3 3 202 x 31 x 7 x 15 x 25 x 3 x 22 x 1

15 15 15 15 15 15 15 15j j

j

C

Tarefa (j) 1 2 3 4 5 6 7

pj 6 4 8 3 2 7 1

wj 1/15 2/15 4/15 1/15 1/15 3/15 3/15

pj/wj 90 30 30 45 30 35 5

Solução óptima: 7 5 4 2 1 6 3

0 1 3 7 15 22 25 31




1//Lmax

As tarefas são sequenciadas por ordem não decrescente dos prazos de conclusão

Exemplo

Escalonamento óptimo Regra EDD (Jackson, J. R. [1955])

(Earliest due date)

Tarefa (j) 1 2 3 4 5 6

pj 1 1 2 4 1 3

dj 7 3 8 12 9 3

Solução óptima: 2 6 3

0 1 4 5 7 12

1 5 4

8

Lmax=1 Tmax=1



1/rj,pj=1/Lmax

Em cada instante é escalonada a tarefa disponível com menor prazo de conclusão

Tarefa (j) 1 2 3 4 5 6

rj 0 0 3 3 5 5

dj 3 1 4 4 7 6

Exemplo

Escalonamento óptimo Extensão da Regra EDD (Horn [1974])

Solução óptima: Lmax=1

2 6 3

0 1 4 5 7

1 5 4

2 3 6





1/pmtn,rj/Lmax

Em cada instante é escalonada a tarefa disponível com menor prazo de conclusão

Tarefa (j) 1 2 3 4 5 6

pj 5 4 2 1 2 3

rj 0 1 3 3 6 5

dj 10 6 5 4 9 12

Exemplo

Escalonamento óptimo Extensão da Regra EDD (Horn [1974])

Solução óptima: Lmax=5 1 3

0 1 4 5 7

2 4

2 3 6

2

8 9 10

5

12 14

1

16 18

6




1/rj/Cmax

As tarefas são sequenciadas por ordem não decrescente das datas de disponibilidade

Tarefa (j) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

pj 1 2 1 4 3 1 1 3 1 2

rj 14 13 0 3 5 5 15 14 0 13

Exemplo

Escalonamento óptimo Regra ERD (Earliest release date)

Solução óptima: 3 9 4 6

0 1 2 7 15 22

5

10 11 13

2

16

10 8

18 21

7 Cmax=22 1

3




1/pj=1/Sfj

fj(k): custo de escalonar a tarefa j na k-ésima posição

Independente do escalonamento das restantes tarefas

O problema reduz-se à determinação da permutação p, do

conjunto {1,2,...,n}, que minimiza Sj fj(p(j))

Problema de afectação - (Algoritmo Húngaro O(n3))

contrário caso0

realizadaser a ésima-k a é j tarefaa se1jkx




1/prec/fmax • Relações de precedência arbitrárias;

• fmax = max{f1,…,fn} - Medida de performance regular;

fj(Cj): ‘Custo’ de processamento da tarefa j se esta terminar no instante Cj (não decrescente em Cj)

Algoritmo de Lawler [1973]

N = {J1,...,Jn} // tarefas

k n // número de tarefas por escalonar

t pj

L tarefas de N que não precedem qualquer outra

Enquanto (k>0)

Escalonar Jl na posição k

N N\{Jl};

t t - pl

k k-1

Actualizar L

Jl tarefa tal que fl(t) = min {fi(t), iL}



Tarefa (j) 1 2 3 4 5 6

pj 2 3 4 3 2 1

dj 3 6 9 7 11 7

Exemplo (1/prec/Lmax)

Precedências: 1 2 3 4

5

6 Aplicação do algoritmo de Lawler

Determinação da 6ª tarefa a ser executada:

L={J3,J5,J6} // tarefas que não precedem outras

min{(15-9),(15-11),(15-7)}=15-11 // Atraso mínimo em L

t = 2+3+4+3+2+1 = 15 // Instante de conclusão das 6 tarefas

l = 5 // A tarefa J5 vai ser a 6ª a ser processada

15

5

13




L={J3,J6} // tarefas que não precedem outras

min{(13-9),(13-7)}=13-9 // Atraso mínimo em L

t = 15 - 2 = 13 // Instante de conclusão das 5 primeiras tarefas

l = 3 // A tarefa J3 vai ser a 5ª tarefa a ser processada

15

5

13 9

3






15

5

13 9

3 6

8








15

5

13 9

3 6

8

4

5


L={J2} // tarefas que não precedem outras

min{(5-6)}=-1 // Atraso mínimo em L



15

5

13 9

3 6

8

4

5

2

2




L={J1} // tarefas que não precedem outras


15

5

13 9

3 6

8

4

5

2

2 0

1

J2 E E E E -1 * 5

J4 E E 1 E 2 * 8

J6 2 E * E 3 * 9

J3 6 E * 4 * * 13

J5 8 4 * 6 * * 15

J1 E E E E E -1 2

Tarefas escalonadas J6 J5 J4 J3 J2 J1 t

Síntese:



1/rj/L’max NP-hard

Algoritmos exactos Heurísticas

Schrage [1971] Carlier [1982]

Problemas ‘difíceis’ com uma máquina 1/rj /

'

maxL

qj: tempo de entrega da tarefa j

'

maxL = max {L’1,…,L’

n}

L’j = Cj+qj



Ideia: escalonar em primeiro lugar a tarefa com maior tempo de entrega de entre as que estão disponíveis

t minj=1,...,n rj

T {J1,...,Jn} // Tarefas por escalonar

T’ {Jj : rj t Jj T} // Tarefas disponíveis mas não escalonadas

Jk tarefa tal que Jk T’ e qk = maxj:Jj T’ qj

Em caso de empate escolher a tarefa com maior tempo de processamento

Fixar o início do processamento da tarefa Jk no instante t

Remover a tarefa Jk de T

t max {t+pk , minJj T rj}

Heurística de Schrage

Enquanto T // Há tarefas por escalonar



Tarefa (j) 1 2 3 4 5 6 7

pj 5 6 7 4 3 6 2

rj 10 13 11 20 30 0 30

qj 7 26 24 21 8 17 0

Exemplo (Heurística de Schrage)

t min {10,13,11,20,30,0,30} = 0

T {J1,J2,J3,J4,J5,J6,J7}

T’ {J6}

Jk J6

J6 iniciar-se-á no instante 0

T {J1,J2,J3,J4,J5,J7}

t max {0+6, 10} = 10 6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55



T’ {J1}

Jk J1


T {J2,J3,J4,J5,J7}

t max {10+5, 11} = 15 6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

1

T’ {J2,J3}

Jk J2


T {J3,J4,J5,J7}

t max {15+6, 11} = 21 6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

1

2

Tarefa (j) 1 2 3 4 5 6 7

pj 5 6 7 4 3 6 2

rj 10 13 11 20 30 0 30

qj 7 26 24 21 8 17 0





T’ {J3,J4}

Jk J3


T {J4,J5,J7}

t max {21+7, 20} = 28

T’ {J4}

Jk J4


T {J5,J7}

t max {28+4, 30} = 32

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

1

2

3

6

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

1

2

3

4

17

0

6

6

2 3 4 7 6 5 pj

30 30 20 11 13 10 rj

0 8 21 24 26 7 qj

7 5 4 3 2 1 Tarefa (j)




Solução da heurística

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

6

1

2

3

4

5

7

L’max = 53

Solução óptima

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55

6

1

2

4

5

7

3

L’max

* = 50



1/prec,rj / '

maxL

Ji < Jk Jk só pode ser processada quando estiver terminado o processamento de Ji

As relações de precedência podem ser representadas através de um grafo acíclico

A cada tarefa está associado um vértice

Existe o arco (i,k) se Ji < Jk

Bi = {k: Jk < Ji} Tarefas que têm que ser processadas antes da tarefa Ji

Ai = {k: Ji < Jk} Tarefas que têm que ser processadas depois da tarefa Ji



A heurística de Schrage permite obter uma solução admissível para este problema

Basta modificar de forma conveniente as datas de disponibilidade e os tempos de entrega de uma forma sistemática.

As ‘novas’ datas de disponibilidade e os novos tempos de entrega não só respeitam as reais datas de disponibilidade e tempos de entrega como ainda garantem que as precedências são respeitadas.

O problema é transformado num problema 1/rj/L’max



Modificação dos parâmetros rj

Começando pelas tarefas que não têm precedentes e respeitando a ordem das precedências modificar todos os rj de acordo com:

}} :max{,max{ jkkjj Bkprrr

Modificação dos parâmetros qj

Começando pelas tarefas que não têm sucessores e respeitando a ordem inversa das precedências modificar todos os qj de acordo com:

}} :max{,max{ jkkjj Akqpqq



Ideia subjacente às modificações anteriores:

Ji < Jk

rk ri + pi ( ri)

qi pk + qk ( qk)

Ao escalonar as tarefas de acordo com a heurística de Schrage as precedências vão ser respeitadas e nenhuma tarefa será escalonada antes de estar disponível.

Solução admissível!



Tarefa (j) 1 2 3 4 5

pj 2 1 2 2 2

rj 0 1 3 0 7

qj 5 2 6 1 2

Exemplo

Precedências: 4 2

1

0 5 10 15

Solução obtida pela heurística de Schrage ignorando as precedências:

2

3

4

5



Tarefa (j) 1 2 3 4 5

pj 2 1 2 2 2

rj 0 2* 3 0 7

qj 5 2 6 3+ 2

Exemplo

Precedências: 4 2

Parâmetros modificados:

* max{r2, r4+p4}

+ max{q4, p2+q2}

1

0 5 10 15

Solução obtida pela heurística de Schrage modificada:

3

2

5

4

Tarefa (j) 1 2 3 4 5

pj 2 1 2 2 2

rj 0 1 3 0 7

qj 5 2 6 1 2

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