Aprovada a publicação por decisão da Comissão Editorial de 8 de Março de 2010.

SEMELHANÇA DE FIGURAS

O objectivo desta unidade consiste na exploração do conceito de

semelhança recorrendo a um módulo computacional interactivo que

permite a visualização gráfica do efeito da aplicação a figuras planas de

diferentes razões de semelhança. Através da manipulação do

comprimento dos lados de rectângulos semelhantes e do factor de

escala, este módulo ajuda a compreender de que forma os

comprimentos dos lados, os perímetros e as áreas de dois rectângulos

semelhantes estão relacionados entre si. Serão sugeridas actividades

que tirem partido dos itens estudados. Apresentam-se ainda no ponto 4

uma breve descrição sobre polígonos e em 5 far-se-á um estudo mais

rigoroso do Teorema de Thales.

1. Figuras semelhantes

1.1 Ampliação e redução de figuras

1.2 Polígonos semelhantes

1.3 Perímetro e área de polígonos semelhantes

2. Aplicações

2.1 Como medir a altura de uma bandeira

2.2 Demonstração do Teorema de Pitágoras usando semelhança de

triângulos

3. Construção do módulo interactivo razao-semelhança.xls

4. Polígonos

5. Teorema de Thales

2

1. Figuras semelhantes

1.1 Ampliação e redução de figuras

O conceito de semelhança de figuras está associado à sua forma e

dimensão:

Figuras semelhantes são aquelas que têm a mesma forma mas não

necessariamente o mesmo tamanho.

Este conceito não é exclusivo das figuras planas. Aplica-se também a

objectos sólidos.

Em qualquer par de figuras semelhantes com tamanhos diferentes,

cada uma constitui uma cópia da outra com outra escala.

Mais precisamente, se uma figura F’ é semelhante a uma figura F,

então F’ é uma ampliação de F, ou F’ é uma redução de F. O factor

de ampliação ou redução constitui a razão de semelhança (ver

figuras 1 e 2).

Se k é a razão de semelhança de F’ para F então 1/k é a razão de

semelhança de F para F’. Duas figuras com a mesma forma e o

mesmo tamanho, isto é, com razão de semelhança igual a 1, dizem-se

congruentes

Figura 1 – Figuras semelhantes - Ampliação (razao-semelhança.xls).

F’ é uma redução de F, sendo 1/3

a razão de semelhança de F para

F'.

F é uma ampliação de F’, sendo 3

a razão de semelhança de F' para

F.

Como F’’ é uma cópia de F, F e

F’’ dizem-se congruentes

Figura 2 – Figuras semelhantes - Redução (razao-semelhança.xls)

3

1.2 Polígonos semelhantes

Facilmente se reconhece que todos os polígonos regulares com o

mesmo número de lados são semelhantes (sendo a razão de

semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos

lados). Todos os círculos são semelhantes (sendo a razão de

semelhança obtida através da razão entre os comprimentos dos raios).

Todos os cubos são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida

através da razão entre os comprimentos das arestas) e todas as esferas

são semelhantes (sendo a razão de semelhança obtida através da

razão entre os comprimentos dos raios).

Com auxílio das aplicações tri_equilátero_v1.xls e poli_reg_v2.xls

poderá experimentar a propriedade acima referida para vários

polígonos regulares (figuras 3 e 4).

Figura 3 – Triângulos equiláteros são semelhantes. (tri_equilátero_v1.xls).

Figura 4 – Pentágonos regulares são semelhantes. (poli_reg_v2.xls).

L kL

4

Com os polígonos irregulares que tenham o mesmo número de lados,

a propriedade acima referida não se verifica, nem com os prismas ou

pirâmides com o mesmo número de faces, nem com os cilindros ou

cones. Abra as aplicações computacionais rectangulos-LE_v3.xls e

quadri_v3.xls e confirme a afirmação anterior para polígonos

irregulares com o mesmo número de lados.

Figura 5 – Polígonos irregulares apenas com os ângulos correspondentes

geometricamente iguais podem não ser semelhantes. (rectangulos-LE_v3.xls).

Figura 6 – Polígonos irregulares apenas com os lados correspondentes

proporcionais podem não ser semelhantes. (quadri_v3.xls).

Com auxílio das aplicações apresentadas nas figuras 5 e 6 podemos

concluir que:

Polígonos apenas com os ângulos correspondentes geometricamente

iguais podem não ser semelhantes.

Polígonos apenas com os lados correspondentes proporcionais podem

não ser semelhantes.

5

Com efeito, podemos então concluir que

Dois polígonos são semelhantes quando se verificam

simultaneamente as duas condições seguintes:

Os ângulos correspondentes são geometricamente iguais e

Os lados correspondentes são proporcionais

No caso tridimensional, facilmente se reconhece que os dois prismas

quadrangulares regulares A e B representados não são semelhantes.

Com efeito, a medida da aresta da base é a mesma mas a altura

duplicou, pelo que as faces laterais não são semelhantes. Já o prisma

C resulta de A por duplicação da aresta da base e da altura. O prisma

C é pois uma ampliação do prisma A: são sólidos semelhantes, sendo

a razão de semelhança, de C para A, igual a 2.

Triângulos semelhantes

É interessante notar que, quando queremos saber se dois triângulos

são semelhantes, não é necessário verificar as duas condições acima

apresentadas.

Figura 7 – Triângulos semelhantes.

Observando os triângulos da figura 7 podemos constatar que, como têm a

mesma forma, os ângulos são necessariamente iguais dois a dois.

Neste caso, A = A’ , B = B , C = C’ .

Pode-se demonstrar que a razão entre as medidas dos lados

correspondentes, isto é, a razão entre os lados que se opõem a ângulos

Qual a razão de semelhança do

triângulo A''B''C'' para o triângulo

A'B'C'?

E do triângulo ABC para o

triângulo A''B''C''?

A B C

6

iguais (razão de semelhança), é constante.

Neste caso AB BC AC

2A'B' B'C' A 'C'

, pelo que o triângulo A’B’C’ é

a ampliação do triângulo ABC pelo factor 2 (isto é, a razão de

semelhança do triângulo ABC para o triângulo A’B’C’ é igual a 2) e

o triângulo ABC é a redução de A’B’C’ pelo factor 1

2.

Assim:

I – Dois triângulos com os dois ângulos respectivamente iguais são semelhantes.

No que respeita à semelhança de triângulos temos ainda os seguintes

resultados:

II – Dois triângulos que têm os três lados proporcionais são semelhantes. (*)

III – Dois triângulos que têm dois lados proporcionais e os ângulos por eles formados iguais são semelhantes

Estes três resultados são usualmente denominados critérios de

semelhança de triângulos.

(*) Note-se que a

proporcionalidade entre os lados

garante também a semelhança

entre pares de rectângulos.

Mais precisamente, dois

rectângulos são semelhantes se as

razões entre os lados maiores e

menores forem iguais. Esta

observação é óbvia já que nos

rectângulos todos os ângulos são

iguais.

1.3 Perímetros e áreas de figuras planas semelhantes

Analisemos o comportamento dos perímetros e áreas de figuras

planas semelhantes.

Com auxílio da aplicação computacional área+perimetro_v1.xls

(figura 8) é possível introduzir os valores das dimensões a e b de um

rectângulo (neste caso rectângulo A) e alterando o factor de escala

pode-se visualizar o rectângulo B que resulta da ampliação do

rectângulo A.

Figura 8 – Perímetro e área de rectângulos semelhantes. área+perimetro_v1.xls

Alterar os valores de a e de b do

rectângulo A, e actuando sobre a

barra de deslocamento associada

ao factor de escala, observar o que

acontece ao perímetro e à área do

rectângulo B.

7

A partir da figura 8 podemos verificar que o perímetro do rectângulo

B é três vezes o perímetro do rectângulo A, mas a área não é três

vezes a área do rectângulo A mas sim nove vezes.

Os rectângulos A e B são semelhantes logo a razão entre os

comprimentos dos lados do rectângulo B (por exemplo) e os

comprimentos dos lados do rectângulo A corresponde à razão de

semelhança.

A razão dos perímetros dos dois rectângulos é igual à razão

de semelhança.

A razão das áreas dos dois rectângulos é igual ao quadrado da

razão de semelhança.

Com auxílio da aplicação apresentada na figura 9, é possível variar as

dimensões do rectângulo A. Em seguida variando a razão de

semelhança observa-se o rectângulo B, ampliado, reduzido ou

congruente relativamente a A. No lado direito é possível visualizar a

razão entre os perímetros e as áreas dos rectângulos.

Figura 9 – Perímetro e área de rectângulos semelhantes (area-perimetro.xls).

8

Veremos em seguida que estas relações também são válidas para

triângulos semelhantes.

Sendo o perímetro de um triângulo a soma do comprimento dos seus

lados, se cada lado de um triângulo é multiplicado por uma constante

k então o perímetro do triângulo também é multiplicado por k.

Mais geralmente, se tivermos uma figura plana F com fronteiras

curvas, ela pode ser aproximada interiormente e exteriormente por

polígonos.

Se os polígonos aproximantes tiverem um número crescente de lados,

os seus perímetros podem tornar-se arbitrariamente próximos entre si

e, consequentemente, arbitrariamente próximos do perímetro de F.

Assim, se F sofre uma ampliação ou redução através de uma

constante k, transformando-se numa figura semelhante F’, os

polígonos aproximantes sofrem a mesma ampliação ou contracção e

os seus perímetros são multiplicadas pela constante k. Como os

perímetros dos polígonos interiores e exteriores se podem aproximar

arbitrariamente do perímetro P de F, os polígonos transformados têm

perímetros arbitrariamente próximos de kP, pelo que o perímetro de

F’ é igual a kP.

Quanto às áreas:

Se um triângulo T’ é o transformado de T mediante uma razão de

semelhança k, então

sendo b h

2 a área de T, a área de T’ será

kb kh

2

pelo que a razão entre as áreas de T’ e T

kb kh

2b h

2

é igual a k2.

Se cada lado de um polígono é

multiplicado por uma

constante k então o perímetro

do polígono também é

multiplicado por k.

9

Figura 10 – Área de triângulos semelhantes. Tri_área.xls

Como todo o polígono (regular ou não) é decomponível num número

finito de triângulos conforme ilustrado na figura ao lado, resulta

facilmente que se um polígono P’ é o transformada de um polígono

P mediante uma razão de semelhança k, ele pode ser decomposto à

custa dos transformados dos triângulos em que P foi decomposto.

Então a área A de P pode ser expressa como soma das áreas Ai dos

triângulos.

No caso da figura

A = A1 + A2 + A3 + A4 + A5+ A6

e a área de P’ é dada por

k2A1 + k

2A2 + k

2A3 + k

2A4 + k

2A5 + k

2A6,

isto é, a área de P’ é k2A.

O comportamento do volume de sólidos semelhantes é uma

consequência do anteriormente estudado para as áreas de figuras

semelhantes:

Se um sólido S é transformado num sólido S’ semelhante e se a razão

de semelhança de S’ para S é k, então o volume V’ de S’ é igual ao

produto do volume V de S por k3.

Exemplifiquemos esta situação no caso dos dois cilindros

semelhantes C e C’ representados na figura ao lado, com volumes V

e V’ respectivamente.

Tem-se que

V = r2 h e V’ = k

2r

2 kh = k

3r

2 h e assim

V’= k

3V.

kr

h

kh

r

10

2. Aplicações

2.1 Como medir a altura de uma bandeira

A propriedade de saber se dois triângulos são semelhantes

verificando apenas se eles têm de um para o outro dois ângulos

iguais, foi descoberta vários séculos antes de Cristo e é de grande

utilidade prática.

Conta-se que cerca do ano 600 A.C., o sábio Thales de Mileto já a

usava para medir a altura das pirâmides do Egipto ou de outros

objectos de grande altura.

Com auxílio da aplicação computacional pode verificar que para

medir a altura de uma bandeira basta utilizar a semelhança de

triângulos. Coloca-se uma estaca no chão da qual se conheça a altura.

Os raios do Sol incidem sobre a bandeira provocando sombra. Os

raios do Sol, a bandeira vertical e a sua sombra formam um triângulo

rectângulo que é semelhante ao triângulo formado pelos raios do Sol,

a estaca e a sua sombra. Então uma vez que os triângulos são semelhantes:

Altura da estaca Altura da bandeira

Comprimento da sombra da estaca Comprimento da sombra da bandeira

Figura 11 – Os raios solares incidem paralelamente sobre a estaca e a bandeira.

Sombra_v1_protegido.xls

Usando a aplicação Sombra_v1_protegido.xls (figura 11) e os

conhecimentos sobre triângulos semelhantes determine a altura do

pau da bandeira.

Haverá algum momento em que, o problema se resolve sem

nenhum cálculo auxiliar? Justifique.

11

2.2 Demonstração do Teorema de Pitágoras usando semelhança de triângulos

Teorema de Pitágoras “Num triângulo rectângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”

Este teorema é um dos muitos resultados cuja descoberta é atribuída a

Pitágoras, embora ele já fosse conhecido num caso particular: um

texto chinês, escrito cerca de 1100 a. C., contém uma demonstração

para o caso em que as dimensões dos lados do triângulo rectângulo

são 3, 4 e 5, demonstração essa que é válida para qualquer triângulo

rectângulo.

Como demonstrar o Teorema de Pitágoras?

Geometricamente este teorema pode traduzir-se na forma seguinte:

A soma das áreas dos quadrados A e B construídos sobre os catetos

de um triângulo rectângulo é igual à área do quadrado C construído

sobre a hipotenusa.

(a)

(b)

Figura 12 – Pitagoras.xls

Utilizando a aplicação

Pitagoras.xls (figura 11) é possível

fazer variar os comprimentos dos

catetos de um triângulo rectângulo,

e em seguida clicando no botão

"Decomposição" cobrir

exactamente o quadrado construido

sobre a hipotenusa, com as cinco

partes.

12

O Teorema de Pitágoras pode ser demonstrado analiticamente utilizando a semelhança de triângulos:

Consideremos um triângulo rectângulo ABC representado na figura 12 e designemos por a e b as medidas dos catetos CB e CA respectivamente e por c o comprimento da hipotenusa AB. Tracemos a altura CP relativa à hipotenusa e designemos por x e y os comprimentos dos segmentos em que a hipotenusa é dividida.

Figura 13 – Triângulo ABC é semelhante aos triângulos BCP e ACP

Como os triângulos ABC e CBP são semelhantes (Porquê?), temos

que

x/a = a/c, pelo que cxa 2.

Como os triângulos ABC e CAP são semelhantes(Porquê?), temos

que

y/b = b/c, pelo que cyb2 .

Então, yxccycxba 22 e, como cyx , resulta que

a2 + b

2 = c

2 .

Proposta de trabalho:

De acordo com o teorema de Pitágoras, a soma das áreas dos quadrados

construídos sobre os catetos de um triângulo rectângulo é igual à área do

quadrado construído sobre a hipotenusa.

E se em vez de quadrados tivermos triângulos equiláteros?

Será que esta propriedade se mantém, isto é, será que a área do triângulo

equilátero C á a soma das áreas dos triângulos equiláteros A e B? (fig. 14).

Figura 14 – T.PIT-TRI.xls

E se os triângulos não forem equiláteros?

E se forem rectângulos?

Justifica as respostas

13

3. Construção da aplicação Razao-semelhança.xls

Embora estejam actualmente disponíveis nos circuitos comerciais

módulos animados cuja utilização para a compreensão da matemática

pode ser vantajosa, defende-se que as vantagens serão acrescidas se

esses módulos computacionais forem construídos pelo próprio

utilizador como resultado do domínio que vai adquirindo dos

conceitos matemáticos, o que sugere em particular a possibilidade de

adopção de metodologias de ensino que se apoiem em técnicas básicas

de programação, técnicas essas que serão exemplificadas em seguida.

O exemplo escolhido consiste no desenvolvimento de uma aplicação

em Excel que permita desenhar uma figura qualquer, e variando a

razão de semelhança, observar a ampliação, redução ou congruência

obtida, a partir da figura inicial.

Será então objecto de estudo a aplicação razao-de-semelhança

apresentada no ponto 1.

Em Excel, para se construir o desenho da estrela, é necessário

começar por construir uma tabela com as coordenadas dos vértices da

figura.

Para construir um referencial cartesiano que permita desenhar a

figura através das suas coordenadas deverá escolher-se o botão

Assistente de gráficos da barra de ferramentas-padrão, seleccionando

em seguida o tipo de gráfico e o subtipo. Neste caso deverá escolher-

se o gráfico XY-Dispersão.

Figura 15 – Tabela com as coordenadas dos vértices da estrela e respectivo gráfico.

Em seguida na célula D3 escreve-se um valor correspondente à

razão de semelhança e inclui-se uma barra de deslocamento para fazer

variar este valor.

Para incluir na aplicação um botão do tipo “Scrollbar” que controle

Com as duas colunas da tabela

preenchidas o gráfico é construído

facilmente seleccionando todos os

dados das células e clicando no botão

do Assistente de Gráficos

escolher o tipo de gráfico XY e o

subtipo indicado a preto

14

o valor da razão de semelhança (que está na célula D3), teremos de

começar por inserir a barra de “Control Toolbox”, a partir do menu

Tools – Customize.

Escolhendo o botão View Code ter-se-á acesso ao código que estará

associado ao Scrollbar1.

Figura 16 – Barra de deslocamento correspondente à razão de semelhança.

Finalmente basta construir uma nova tabela que corresponde à

multiplicação dos primeiros valores pela razão de semelhança e

contruir novo gráfico (Figura 17).

Figura 17 – Figura ampliada, reduzida ou congruente.

Código para a barra de deslocamento:

Private Sub ScrollBar1_scroll()

ScrollBar1.Min = 0

ScrollBar1.Max = 30

Cells(3, 4) = ScrollBar1.Value / 10

End Sub

Botão Design Mode. Quando activado

permite programar o botão Scrollbar. Para

activar o Scrollbar é necessário desactivar o

botão de Design Mode

15

4. Polígonos

Chama-se polígono a qualquer figura plana limitada por uma linha fechada constituída por segmentos de recta consecutivos, isto é, por uma linha poligonal fechada. Esses segmentos são os lados do polígono e os vértices são os pontos comuns a dois lados consecutivos.

Chamam-se ângulos internos do polígono ou, mais simplesmente,

ângulos do polígono, aos ângulos formados por cada par de lados consecutivos.

Chamam-se ângulos externos do polígono aos ângulos formados

por cada lado com o prolongamento do lado contíguo. Um polígono diz-se convexo se o segmento de recta que une

qualquer dois dos seus pontos está totalmente contido no polígono. Um polígono diz-se côncavo se não é convexo. Na figura o polígono A é convexo e o polígono B é côncavo.

Um polígono diz-se regular se tem todos os lados e todos os

ângulos iguais. Assim:

de entre todos os triângulos, só o triângulo equilátero é um

polígono regular;

o losango não é um polígono regular (porque os ângulos

não são todos iguais);

um rectângulo não é um polígono regular (porque não tem

todos os lados iguais).

Em qualquer polígono convexo, a soma dos seus ângulos é igual a

tantas vezes dois ângulos rectos quanto o número dos seus lados

menos dois.

Figura 18 – Soma dos ângulos internos de alguns polígonos.

ângulo interno

ângulo externo

PolígonoA: convexo

Polígono B: côncavo

16

Assim, no caso dos polígonos regulares com n lados, a medida de

cada um dos seus ângulos é igual a2n

n e a medida de cada

ângulo externo é igual a π2

n.

17

Teorema de Thales

Um feixe de rectas paralelas determina em duas rectas transversais segmentos correspondentes directamente proporcionais.

AB BC AC

DE EF DF

Figura 19 – Feixe de rectas paralelas determina em duas rectas segmentos

correspondentes proporcionais.

É habitualmente sob esta forma que surge o denominado Teorema

de Thales, um dos teoremas centrais no estudo da geometria plana

(Fig. 19). Este teorema, que teve como origem a resolução de

problemas envolvendo paralelismo e proporcionalidade, tem um

papel fundamental na teoria da semelhança e, consequentemente, na

trigonometria plana: é o teorema de Thales que permite definir as

funções trigonométricas como razões entre medidas de lados de

triângulos rectângulos.

Como demonstrar este teorema?

É frequentemente apresentada uma demonstração do Teorema de

Thales baseada na decomposição de AB e BC num número inteiro de

segmentos com o mesmo comprimento.

Esta decomposição pressupõe que os segmentos AB e BC são

comensuráveis, isto é, que existe um segmento AX e dois inteiros

positivos m e n tais que AB = mAX e BC = nAX.

18

Na figura 20 ilustra-se uma decomposição com m = 7 e n = 3. Conduzindo rectas paralelas a AD pelos pontos da subdivisão, determinamos um ponto Y no segmento DE tal que DE = m DY e EF = n DY.

Então n

m

AXn

AXm

BC

AB e

n

m

AYn

AYm

EF

DE

logo EF

DE

BC

AB ou, de forma equivalente,

EF

BC

DE

AB.

Figura 20 – Os segmentos AB e BC são comensuráveis Tendo em conta que AC = (m+n) AX e DF = (m+n) AY, resulta que

nm

m

AXnm

AXm

AC

AB e

nm

m

AYnm

AYm

DF

DE.

Então DF

DE

AC

AB, isto é,

DF

AC

DE

AB e, finalmente,

DF

AC

EF

BC

DE

AB

Vamos seguidamente libertar-nos desta limitação, demonstrando o

teorema de Thales através de áreas de triângulos. Trata-se de uma

demonstração engenhosa mas elementar, já que envolve apenas a

determinação de áreas de triângulos.

Demonstração: Retomando a figura inicial, tracemos a partir de A uma paralela a DF (Fig. 21). Como AB’ = DE e B’C’ = EF, o teorema fica demonstrado se

provarmos que

19

'C'B

BC

'AB

AB

A partir de B tracemos uma perpendicular a AB’ e seja G o pé dessa perpendicular. Analogamente, a partir de B’ tracemos uma perpendicular a AB e seja H o pé dessa perpendicular.

Figura 21 – Paralela a DF, a partir de A. A área do triângulo ABB’ pode ser expressa por

2

H'B.AB ou por

2

BG'.AB.

Então AB. B’H= AB’.BG e, consequentemente,

H'B

BG

'AB

AB (1)

Unindo B com C’ e B’ com C obtemos os triângulos BB’C e BB’C’.

A área do triângulo BB’C pode ser dada por 2

H'B.BC

e a do triângulo BB’C’ por 2

BG'.C'B.

Os triângulos BB'C e BB'C' têm a mesma área porque a altura

relativa à base BB' é igual nos dois triângulos.

Então BC .B’H = B’C’. BG e, consequentemente

H'B

BG

'C'B

BC (2)

20

De (1) e (2) resulta que 'C'B

BC

'AB

AB como pretendíamos.

Resulta desta igualdade que 'AC

AC

'AB

AB.

Com efeito, AC = AB +BC e AC’ = AB’ + B’C’.

Então AB

BC1

AB

AC e

'AB

'C'B1

'AB

'AC.

De 'C'B

BC

'AB

AB decorre que

'AB

C'B

AB

BC, pelo que

'AB

'AC

AB

AC ou, de

forma equivalente, 'AC

AC

'AB

AB como pretendiamos.

De acordo com o Teorema de Thales, três rectas paralelas

determinam sobre duas secantes segmentos correspondentes

proporcionais. O resultado que demonstramos em seguida refere-se

às posições relativas das rectas que originam segmentos

proporcionais. (i) Se três rectas determinam em duas transversais segmentos

correspondentes proporcionais e duas daquelas rectas são

paralelas a outra também o é.

Observemos a figura 22 em que AD, BE e CF são três rectas

que determinam em duas transversais segmentos proporcionais,

isto é, DF

AC

EF

BC

DE

AB.

Suponhamos que AD é paralela a BE.

Justifiquemos que CF também é paralela a AD e a BE.

Figura 22 – A partir de C, tira-se uma paralela a BE.

21

Suponhamos que CF não é paralela às outras duas rectas. Nessas

condições, a partir de C poderíamos tirar uma paralela CM a BE.

Tendo em conta a hipótese, as rectas BE, CF e CM determinam

segmentos proporcionais, isto é, EM

BC

EF

BC. Então EF = EM, sendo

F e M coincidentes, pelo que a recta CF é paralela a AD e a BE.

Em particular:

(ii) Se uma recta AD divide dois lados de um triângulo em

segmentos proporcionais entre si, ela é paralela ao terceiro lado

do triângulo.

Com efeito, se pelo vértice O, oposto a este terceiro lado, traçarmos

uma recta paralela a AD, como se assinala na figura 23, teremos três

rectas, sendo duas delas paralelas, que determinam sobre duas

transversais segmentos proporcionais. Por (i), AD também é paralela

ao terceiro lado, BC, do triângulo.

Figura 23 – Pelo vértice O traça-se uma recta paralela a AD.

Demonstremos as seguintes consequências do Teorema de Thales, usualmente denominadas critérios de semelhanças de triângulos:

I – Dois triângulos com dois ângulos respectivamente iguais são semelhantes.(*) Demonstração: Consideremos dois triângulos ABC e A’B’C’ em que A = A’,

B = B’, C = C’ (Figura 24).

(*) É consequência de I que:

Cortando um triângulo por meio

de uma recta paralela a um dos

seus lados, os dois triângulos

obtidos são semelhantes

Este resultado foi descoberto por

Thales e é habitualmente

enunciado na forma:

Se duas paralelas intersectam

duas secantes os triângulos

obtidos são semelhantes.

22

Figura 24 – Triângulos com os ângulos correspondentes iguais.

e verifiquemos que também se tem CB

'B'C

AC

'C'A

AB

'B'A.

Nestas condições, os dois triângulos serão semelhantes. Sobre o lado AC marquemos um ponto D tal que CD = A´C´ e, a partir de D, tracemos uma paralela a AB. Seja E o ponto de intersecção dessa recta com CB (Figura 25).

Figura 25 – Recta paralela a AB. Então temos que

CB

CA

CE

CD (3)

ou, de forma equivalente, CB

CE

CA

CD.

Uma vez que C’A’ = CD e C’B’=CE, temos que CB

'B'C

CA

'A'C.

A partir de D tracemos uma paralela a CB e seja F o seu ponto de intersecção com AB (Figura 26).

Figura 26 – Recta paralela a CB.

23

Obtemos assim duas paralelas, DF e BC, e duas transversais AC e

AB, pelo que DC

FB

AD

AF ou, tendo em conta que DE = FB,

AC

AB

DC

DE

AD

AF e, por (3),

CB

CE

AC

DC

AB

DE.

Resta agora ter em conta que DE = A’B’, DC = A’C’ e CE = C’B’: a

dupla igualdade anterior toma a forma CB

'B'C

AC

'C'A

AB

'B'A.

Concluímos assim que os dois triângulos, além de terem os ângulos

iguais, têm os lados correspondentes proporcionais, pelo que são

semelhantes.

II – Dois triângulos que têm os três lados proporcionais são semelhantes Demonstração:

Sejam ABC e DEF dois triângulos tais que EF

BC

DF

AC

DE

AB (Figura

27).

Figura 27 – Triângulos ABC e DEF.

Marquemos E’ em AB tal que AE’ = DE e F’ em AC tal que

AF’ =DF (Figura 28).

Figura 28 – AF' = DF e AE' = DE

24

Uma vez que EF

BC

DF

AC

DE

AB, temos que

'AF

AC

'AE

AB e, por (ii),

E’F’ é paralela a BC.

Então os triângulos ABC e AE’F’ são semelhantes. pelo que

'F'E

BC

'AE

AB.

Sendo AE’=DE, esta igualdade toma a forma 'F'E

BC

DE

AB.

Tendo mais uma vez em conta que EF

BC

DF

AC

DE

AB, resulta que

'F'E

BC

EF

BC e, consequentemente, EF = E’F’.

Então os triângulos AE’F’ e DEF são iguais e, sendo o triângulo

AE’F’ semelhante ao triângulo ABC, podemos concluir que os

triângulos ABC e DEF são semelhantes.

III – Dois triângulos que têm dois lados proporcionais e os

ângulos por eles formados iguais são semelhantes

Demonstração:

Consideremos dois triângulos ABC e A’B’C’ em que C = C’ e

CB

'B'C

AC

'C'A(Figura 29).

Figura 29 – Triângulos com dois lados proporcionais e os ângulos por eles

formados iguais. Sobre o lado AC marquemos um ponto D tal que CD = A´C´ e um ponto E tal que CE =B’C’ e tracemos o segmento DE. Os triângulos DEC e A’B’C’ são iguais (Figura 30).

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Figura 30 – Os triângulos DEC e A'B'C' são semelhantes.

Como CB

'B'C

AC

'C'A temos que

CB

CE

AC

DC e, por (ii), DE é paralela a

AB. Então, os triângulos ABC e DEC são semelhantes, uma vez que

têm todos os ângulos iguais (critério I). Como os triângulos DEC e

A’B’C’ são iguais, os triângulos ABC e A’B’C’ são semelhantes.