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SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO DO PARANÁ - BRASIL
PDE - PLANO DE DESENVOLVIMENTO DA EDUCAÇÃO
ROSITA APARECIDA BUENO
O USO DOS CONCEITOS DE PERÍMETRO, ÁREA, VOLUME E ÂNGULO NA
CONSTRUÇÃO DE UMA EDIFICAÇÃO DE ALVENARIA
UNIDADE DIDÁTICA
Produção Didática Pedagógica a ser aplicado no Colégio Estadual Irênio Moreira Nascimento – Município de Tibagi – PR como cumprimento das atividades previstas no Plano Integrado de Formação Continuada - 2012, do Programa de Desenvolvimento Educacional - PDE. Orientador: Prof. Dr. Airton Kist
PONTA GROSSA – PR
2012
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IDENTIFICAÇÃO
Título: O USO DOS CONCEITOS DE PERÍMETRO, ÁREA, VOLUME E ÂNGULO NA
CONSTRUÇÃO DE UMA EDIFICAÇÃO DE ALVENARIA
Autora ROSITA APARECIDA BUENO
Disciplina/Área (ingresso no PDE) MATEMÁTICA
Escola de Implementação do
Projeto e sua localização
COLÉGIO ESTADUAL IRÊNIO MOREIRA
NASCIMENTO
Município da escola TIBAGI
Núcleo Regional de Educação PONTA GROSSA
Professor Orientador AIRTON KIST
Instituição de Ensino Superior UNIVERSIDADE ESTADUAL DE PONTA GROSSA
Relação Interdisciplinar Geografia: Por meio da interpretação e uso de
escalas.
Resumo
Esta unidade didática apresenta, dentro da proposta
de resolução de problemas, uma forma de trabalhar a
construção do conhecimento em que o aluno é
instigado a fazer um levantamento de hipóteses para
encontrar uma solução de uma situação do cotidiano.
Através de atividades práticas e visita em canteiro de
obra, os alunos poderão vivenciar e investigar como
os conceitos de perímetro, área, volume, capacidade,
ângulos e proporções são utilizados na pratica diária
dos construtores na execução de uma edificação de
alvenaria.
Palavras-chave Resolução de problemas; construção do
conhecimento; edificação de alvenaria.
Formato do Material Didático Unidade Didática
Público Alvo Alunos do 9º ano do Ensino Fundamental
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SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO................................................................................................. 5
2. OBJETIVOS.......................................................................................................6
2.1. Objetivo geral................................................................................................ 6
2.2. Objetivos específicos.....................................................................................6
3. AS CONSTRUÇÕES E O PROJETO ARQUITETÔNICO....................................6
3.1. Atividade 01....................................................................................................8
4. MEDINDO COMPRIMENTOS..............................................................................8
4.1. Sistema Métrico Decimal............................................................................... 9
4.2. Metro..............................................................................................................9
4.3. Múltiplos e Submúltiplos do Metro.................................................................9
4.4. Atividade 02....................................................................................................13
5. ESCALA................................................................................................................14
5.1. Exemplo para Interpretação...........................................................................15
5.2. Escalas recomendadas..................................................................................15
5.3. Tipos de escala..............................................................................................16
5.3.1. Escala Numérica...............................................................................16
5.3.2. Escala Gráfica..................................................................................16
5.4. Escalímetro....................................................................................................17
5.5. Atividade 03....................................................................................................17
5.6. Atividade 04....................................................................................................18
6. O CONCEITO DE ÁREA E PERÍMETRO.............................................................18
6.1. Atividade 05 .................................................................................................. 19
7. ÁREA DE ALVENARIA DE UMA CONSTRUÇÃO...............................................21
7.1. Tipos de Tijolos..............................................................................................22
7.2. Bloco de concreto...........................................................................................24
7.3. Atividade 06....................................................................................................24
7.4. Atividade 07....................................................................................................26
7.5. Atividade 08....................................................................................................27
8. MEDIDAS DE VOLUME.......................................................................................28
8.1. Metro cúbico...................................................................................................29
8.2. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico.......................................................29
8.3. O metro cúbico na obra..................................................................................30
8.4. Atividade 09....................................................................................................31
4
9. ÂNGULOS...............................................................................................................33
9.1. O Teorema de Pitágoras................................................................................34
9.2. O Teorema de Pitágoras e o Ângulo Reto na obra........................................35
9.3. Atividade 10....................................................................................................38
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................39
ANEXO I .............................................................................................................41
ANEXO II ............................................................................................................42
ANEXO III ...........................................................................................................43
ANEXO IV ........................................................................................................ 44
ANEXO V ............................................................................................................45
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1. INTRODUÇÃO
Ao longo do desenvolvimento das civilizações sempre estiveram presentes
relatos históricos que comprovam a necessidade do homem de medir, bem como a
necessidade de contar.
O ensino da matemática, em sua evolução, sempre buscou proporcionar ao
indivíduo uma aplicação prática no cotidiano. Os professores são surpreendidos
pelos questionamentos dos alunos quanto à utilização na vida real daquilo que se
aprende em sala de aula. Esta indagação constante pode ser respondida com a
utilização da estratégia da resolução de problemas, uma vez que esta proposta
sugere ao aluno um levantamento de hipóteses para encontrar uma solução de uma
situação problema a partir de uma atividade do cotidiano. Esta estratégia conduzirá
o aluno à construção do conhecimento a partir de suas próprias deduções.
A construção civil está presente no nosso cotidiano, na nossa casa, na
nossa escola, nas igrejas, nas ruas, nas praças e lojas. Na construção de uma
edificação de alvenaria, desde a concepção do projeto até a execução da obra
propriamente dita, muitos são os conteúdos matemáticos que podem ser
vivenciados na prática. Nesta produção didática, os conceitos apontados são o
estudo de proporções o cálculo de perímetro, de área, de volume, de capacidade e o
estudo de ângulos. Prevê-se a realização de visitas em obras e atividades que
despertem a curiosidade dos alunos, para que assim estes passem a perceber a
relação da matemática estudada na sala de aula com a matemática aplicada em
obras da construção civil.
Os conceitos matemáticos apresentados nesta produção além de serem
usados em sala de aula, poderão ser utilizados por pessoas que desejam ingressar
no mercado de trabalho no ramo da construção civil ou mesmo por quem for
adquirir, construir ou reformar uma edificação residencial ou comercial.
O encaminhamento metodológico desta unidade didática está dividido em
dez atividades práticas, que são propostas logo após a descrição de cada conceito.
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2. OBJETIVOS
2.1. Objetivo geral
Contribuir para uma mudança de perspectiva frente à utilização da
matemática acadêmica em relação à matemática da vida. Mudança esta, que visa
uma atitude dos alunos diante de uma situação problema que exija a manipulação
de dados, o uso de ferramentas matemáticas e a combinação de conhecimentos
prévios para propor uma solução.
2.2. Objetivos específicos
Espera-se que com esta intervenção os alunos sejam capazes de:
• Compreender escala como uma proporção e saber utilizá-la;
• Identificar o metro como unidade-padrão de medida de comprimento;
• Calcular o perímetro usando unidades de medida padronizadas;
• Calcular áreas de superfícies (poligonais e circulares) usando unidades
de medida de superfície padronizadas;
• Compreender e utilizar o metro cúbico como padrão de medida de
volume;
• Entender o teorema da Pitágoras e relacioná-lo na construção de um
ângulo reto;
3. AS CONSTRUÇÕES E O PROJETO ARQUITETÔNICO
Edificar é usar apropriadamente o trabalho e os materiais escolhidos com o
fim de por a disposição dos homens, sobre fundamentos estáveis, uma porção de
espaço bem disposta e acondicionada de acordo com sua conveniência e com
elevado grau de segurança.
O edifício deve estar distribuído em função da natureza e das necessidades
do homem, e dotado de boas condições de higiene, aeração, de luz, de temperatura
e de silêncio, quaisquer que sejam o clima e o ambiente geral em que se erga a
construção. Deste modo são criados o ambiente e a segurança em que o homem
pode viver, onde possa abrigar a sua vida de família, seus negócios ou trabalho e
7
onde pode ser beneficiário de serviços como escolas, hospitais, casas de comercio e
locais de lazer.
Harmonizar os elementos das construções com os da natureza em função do
homem é a função de um construtor, qualquer que seja seu posto na ordem dos
trabalhos. Por isso os construtores devem possuir conhecimentos cada vez mais
diversificados e aperfeiçoados.
A palavra projeto significa, genericamente, intento, desígnio,
empreendimento, um conjunto de ações caracterizadas e quantificadas, necessárias
à concretização de um objetivo. Embora este sentido se aplique a diversos campos
de atividade, em cada um deles o projeto se materializa de forma específica.
Portanto, um projeto é por definição uma idéia ou algo que se tem a intenção de
fazer; um plano de realizar qualquer coisa. Na área da construção civil, um projeto é
um estudo com desenhos e descrições de uma construção a ser realizada. Este
contém, na linguagem de desenho, informações técnicas relativas a uma obra
arquitetônica. Esse desenho segue normas de linguagem que definem a
representatividade das retas, curvas, círculos e retângulos, assim como dos diversos
outros elementos que nele aparecem. Assim poderão ser perfeitamente lidos pelos
outros profissionais envolvidos na construção. Esses desenhos podem ser
realizados sobre uma superfície de papel, dentro de pranchas na maioria das vezes
sulfite, ou na tela de um micro computador, para posterior reprodução e devem
respeitar normas Técnicas da ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas.
Os projetos arquitetônicos devem conter informações necessárias para que
possam ser completamente entendidos e executados. São compostos por
informações gráficas, representadas pelos desenhos técnicos através de plantas,
cortes, elevações e perspectivas – e por informações escritas – memorial descritivo
e especificações técnicas de materiais e sistemas construtivos.
O objetivo principal do Projeto de Arquitetônico de uma Edificação é a
Execução da Obra idealizada por um Engenheiro ou Arquiteto. Assim, o projeto
arquitetônico é composto por diversos documentos, entre eles as plantas baixas, os
cortes, as elevações ou fachadas, a planta de cobertura, a planta de localização e a
planta de situação. A obra deve se adequar aos contextos naturais e culturais em
que se insere e responder às necessidades do cliente e futuros usuários.
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3.1. Atividade 01
O ideal para o desenvolvimento desta atividade é utilizar um projeto
arquitetônico impresso em formato normatizado segundo a NBR 6492, no qual
devem constar os elementos exigidos pela ABNT, para a representação de projetos
de arquitetura. Para isso o professor da turma pode solicitar à direção da escola,
caso a escola possua, uma cópia do projeto arquitetônico da mesma.
Opcionalmente, no anexo I deste material está inserido um projeto arquitetônico em
tamanho reduzido.
Tendo em mãos um projeto arquitetônico, formar grupos de 4 alunos e
identificar no projeto Arquitetônico os seguintes elementos:
• Planta baixa;
• Seções ou cortes;
• Elevações ou fachadas;
• Planta da cobertura;
• Planta de situação;
• Perfis do terreno;
• Estatística;
• Identificação.
4. MEDINDO COMPRIMENTOS
No livro Gênesis do Antigo Testamento da Bíblia Sagrada, encontra-se um
dos mais antigos registros da história da humanidade, onde se pode observar a
importância das medidas precisas e padronizadas para o desenvolvimento das
atividades do homem. O Criador ordena a Noé que construa uma arca, pois está
para derramar sobre a terra um dilúvio.
Faze uma arca de tábuas de cipreste; nela farás compartimentos e a calafetarás com betume por dentro e por fora. Deste modo a farás: de trezentos côvados será o comprimento; de cinqüenta, a largura; e a altura, de trinta. Farás ao seu redor uma abertura de um côvado de altura; a porta da arca colocarás lateralmente; farás pavimentos na arca: um em baixo, um segundo e um terceiro. Porque eis que eu trago um dilúvio de águas sobre a terra,[...] (Gn 6.14 – 17)
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O côvado era uma medida padrão da região da Mesopotâmia, onde vivia
Noé. A medida de um côvado era de três palmos, o equivalente a 66 cm se
comparada com a medida de um palmo atualmente, que é de 22 cm.
4.1. Sistema Métrico Decimal
Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida.
Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do
comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações
com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de
medida único para cada grandeza.
Foi assim que, em 1791, na época da Revolução Francesa, um grupo de
representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema
único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.
4.2. Metro
A palavra metro vem do grego métron e significa "o que mede". Foi
estabelecido que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância
do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi
adotado oficialmente em 1928.
4.3. Múltiplos e Submúltiplos do Metro
Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os
seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos:
quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. No quadro a seguir estão os múltiplos e
submúltiplos do metro:
Múltiplos Unidade
Fundamental Submúltiplos
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro
Km Hm dam M dm Cm mm
1.000 m 100 m 10 m 1 m 0,1 m 0,01 m 0,001 m
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Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes comprimentos, enquanto os submúltiplos, para pequenos comprimentos. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utiliza-se o mícron e o angströn:
Para distâncias astronômicas é utilizado o Ano-luz, que corresponde a
distância percorrida pela luz, no vácuo, no período de um ano. Considerando que a
velocidade da luz é de 300.000 km/s, um ano luz equivale a 9,463 x 1012 km. Em
metros esta distância é de 9.460.536.207.068.016, ou em valor aproximado:
O pé, a polegada, a milha, a braça e a jarda são unidades não pertencentes
ao sistema métrico decimal. Estas são utilizadas em países de língua inglesa. As
suas medidas no sistema métrico decimal são:
Pé 30,48 cm
Polegada 2,54 cm
Jarda 91,44 cm
Milha terrestre 1.609 m
Milha marítima 1.852 m
Braça 2,20 m
Palmo 22,00 cm
Além disso tem-se também que:
1 pé = 12 polegadas
1 jarda = 3 pés
As unidades de medidas, como a polegada, o palmo, o pé, a jarda, a braça e
o passo, eram associadas com partes do corpo humano, o que facilitava se chegar a
mícron (µ) = 10E-6 m angströn (Å) = 10E-10 m
Ano-luz = 9,5x1012 km
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uma medida que podia ser verificada por qualquer pessoa. As figuras a seguir,
demonstram a maneira convencional de se fazer associações, das unidades de
medidas, com as respectivas partes do corpo.
Na figura 01 está representada a unidade braça, que corresponde à
distância entre os dedos médios das mãos com os braços abertos, equivale a 10
palmos.
Figura 01: Representação da medida de Braça
Fonte:http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=677&evento=4
Na figura 02 esta representada a unidade palmo, que corresponde à
distância entre a ponta do polegar e a ponta do dedo mínimo, com a mão bem
aberta.
Figura 02: Representação da medida de Palmo
Fonte:http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=675&evento=4
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Na figura 03 esta representada a unidade Pé, que corresponde à distância entre a ponta do dedão até o calcanhar, corresponde a 12 polegadas.
Figura 03: Representação da medida de Pé
Fonte:http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/detalhe.php?foto=673&evento=4
Na figura 04 esta representada a unidade polegada, que corresponde à distância entre a articulação e a ponta do polegar.
Figura 04: Representação da medida de Polegada
Fonte:http://www.oocities.org/br/jcc5002/polegada.html
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4.4. Atividade 02
Formar grupos de 4 alunos e, primeiramente com utilização de partes do
corpo, sem utilizar nenhum instrumento de medida, orientá-los para fazer medições
de objetos, usando unidades relacionadas com partes do corpo, dentro e fora da
sala e anotar na tabela 1. Em seguida, com a utilização de régua e trena fazer
medições dos mesmos objetos e anotar na tabela 1 utilizando a unidade mais
conveniente, cm ou m.
Tabela 1: Resultados das medidas com partes do corpo e com instrumentos
Unidade Objeto medido
Resultado da
medida
utilizando as
partes
do corpo
Resultado da
medida
utilizando
instrumento
Em cm ou m
Polegada Comprimento do seu
caderno
Palmo Comprimento da sua
carteira
Palmo Comprimento da mesa
do professor
Braça Comprimento da sala
de aula
Braça Largura da sala de
aula
Braça Perímetro da sala
Pé Comprimento da
quadra de vôlei
Pé Largura da quadra de
vôlei
Pé Perímetro da quadra
de vôlei
Fonte: Rosita
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A seguir, os alunos deverão comparar os resultados obtidos com unidades
baseadas em partes do corpo, com os resultados obtidos pelos colegas e responder
as questões.
1º) Os resultados obtidos utilizando partes do corpo por você é o mesmo obtido por
seus colegas? Justifique:_______________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2º) Se os resultados obtidos foram diferentes qual pode ser considerado correto.
Justifique: ___________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3º) Os resultados obtidos com a utilização dos instrumentos de medida (régua ou
trena), foram iguais ou diferentes dos resultados obtidos pelos seus colegas?
Justifique: ___________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5. ESCALA
Escala é a relação entre a medida de um objeto ou lugar representado no
desenho e sua medida real, ou seja, é a relação que indica a proporção entre cada
medida do desenho e a dimensão real no objeto.
As edificações com grandes extensões, como desenhos de ruas ou praças,
em geral são representadas nas escalas de 1:500 ou 1:1000. As construções,
menores podem ser representadas na escala de 1:100 ou 1:50.
A utilização da escala é necessária para representar um objeto ou um
determinado espaço de maneira ampliada ou reduzida. Para isso deve ser adotada a
escala adequada para cada situação:
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• ESCALA 1:1, para escala natural, quando se deseja representar do
mesmo tamanho do objeto;
• ESCALA X:1, para escala de ampliação, quando se deseja representar
maior que o objeto, onde X deve ser um número maior que 1 (X > 1);
• ESCALA 1:X, para escala de redução, quando se deseja representar
menor que o objeto, onde X deve ser um número maior que 1 (X > 1).
Observação: Quando for necessário o uso de mais de uma escala numa mesma
representação de desenho, estas devem estar indicadas junto à identificação do que
se referem.
5.1. Exemplo para Interpretação
Uma escala de 1:500 informa que, o comprimento de um segmento ou curva
representado em uma planta, equivale a quinhentas vezes este comprimento no
tamanho real do objeto. Nessa escala:
• 1 m em planta representa uma linha de 500 m no terreno.
mmDD
mEscala 5005001
500
11=×=→==
• 10 cm em um planta representa uma linha de 5.000 cm (= 50 m) no
terreno.
mcmcmDD
cmEscala 50000.550010
500
110==×=→==
5.2. Escalas recomendadas
A seguir são apresentadas as escalas mais recomendadas para cada
situação, como é possível observar na apostila de desenho técnico do curso superior
em automação e controle do Centro Federal de tecnologia de Mato Grosso:
• Escala 1:1, 1:2, 1:5 e 1:10 - Detalhamentos em geral;
• Escala 1:20 e 1:25 - Ampliações de banheiros, cozinhas ou outros
compartimentos;
• Escala 1:50 - É a escala mais indicada e usada para desenhos de
plantas, cortes e fachadas de projetos arquitetônicos;
• Escala 1:75 - Juntamente com a de 1:25, é utilizada apenas em desenhos
de apresentação que não necessitem ir para a obra;
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• Escala 1:100 - Opção para plantas, cortes e fachadas quando é inviável o
uso de 1:50. Plantas de situação e paisagismo. Também para desenhos de
estudos que não necessitem de muitos detalhes;
• Escala 1:175 - Para estudos ou desenhos que não vão para a obra;
• Escala 1:200 e 1:250 - Para plantas, cortes e fachadas de grandes
projetos, plantas de situação, localização, topografia, paisagismo e desenho
urbano;
• Escala 1:500 e 1:1000 - Planta de localização, paisagismo, urbanismo e
topografia;
• Escala 1:2000 e 1:5000 - Levantamentos aerofotogramétricos, projetos de
urbanismo e zoneamento.
5.3. Tipos de escala
As escalas podem ser classificadas em dois tipos: Numérica e Gráfica.
5.3.1. Escala Numérica
A escala numérica pode ser de redução ou de ampliação. É chamada de
ampliação quando a representação gráfica é maior do que o tamanho real do objeto.
Por exemplo: 3:1, 5:1, 10:1. A escala de redução é a que representa o objeto em
tamanho menor que o real. Por exemplo: 1:25, 1:50, 1:100.
5.3.2. Escala Gráfica
A escala gráfica é a representação através de um gráfico proporcional à
escala utilizada. Aplica-se quando há necessidade de reduzir ou ampliar o desenho
por processo fotográfico. Assim, se o desenho for reduzido ou ampliado, a escala o
acompanhará em proporção. Para obter a dimensão real do desenho basta copiar a
escala gráfica numa tira de papel e aplicá-la sobre a figura. Por exemplo: escala
gráfica correspondente a 1:50 é representada por segmentos iguais de 2cm, pois 1
metro/50= 0,02 = 2cm.
-1 0 1 32
metros
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5.4. Escalímetro
O escalímetro é um instrumento destinado à determinação e marcação de
medidas, na escala do desenho. A versão mais utilizada e recomendada em
arquitetura é a que marca as escalas de 1:20, 1:25, 1:50, 1:75, 1:100 e 1:125. Não
deve ser utilizado para o traçado de linhas.
Figura 05: Fotos de um escalímetro de 30cm. Fonte: Rosita
5.5. Atividade 03
Para ilustrar e motivar esta atividade, pode-se utilizar um projetor multimídia
para apresentar aos alunos, de forma on-line, as opções de mapas disponíveis na
internet e ver como são representadas as escalas. Um site sugerido é o Google
maps que pode ser acessado em http://maps.google.com.br/.
Após essa ilustração pode-se formar grupos de 4 alunos, distribuir mapas
rodoviários, mapa mundi, mapa do Paraná e mapa do Município onde se localiza o
colégio, se houver, para que sejam feitas observações a respeito de escala.
Sugerir aos alunos que façam o cálculo da distância entre duas cidades, e
respondam as seguintes questões:
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1º) Qual tipo de escala é utilizada nos mapas rodoviários?
___________________________________________________________________
2º) Escolher duas cidades e calcular a distância entre elas utilizando a escala
apresentada no mapa.
Cidade 1: ___________________________________________________________
Cidade 2: ___________________________________________________________
Distância: ___________________________________________________________
5.6. Atividade 04:
Medir e anotar na planta baixa (ANEXO II), o valor das dimensões dos
cômodos.
6. O CONCEITO DE ÁREA E PERÍMETRO
No decorrer da história, são encontrados relatos que explicam a como as
terras que ficavam as margens dos rios (Rio Nilo no Egito Antigo) eram divididas
para serem cultivadas, e assim fosse possível o desenvolvimento da agricultura
nessa região. Este exemplo é uma aplicação do uso da geometria para resolver um
problema do cotidiano do povo egípcio daquela época.
Era necessária a demarcação das dimensões dos terrenos com a
delimitação das áreas para que pudesse ser calculado o tributo a ser pago ao faraó
e também para que os pais pudessem subdividir suas terras entre os seus herdeiros.
Assim, a geometria despontava como uma ferramenta primordial para solucionar
alguns problemas daquele povo. O conhecimento matemático veio atender uma
necessidade de resolver tais problemas como: dividir os terrenos em áreas iguais,
mas com formatos diferentes.
Segundo Boyer, no Papiro de Ahmes se encontram situações problemas que
utilizam o cálculo da medida de área através do uso de composição e decomposição
de figuras, que comumente fazemos ao nos depararmos com figuras irregulares.
Alguns autores ao definir perímetro expressam apenas como "soma da
medida dos lados", esta definição restringe o perímetro apenas aos polígonos, então
como expressar o perímetro de uma circunferência ou de uma superfície curva?
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Retificando afirma-se que perímetro é a medida do contorno de uma determinada
figura e pode-se utilizar diferentes estratégias e aplicá-las em circunstâncias
variadas, para que os alunos compreendam de fato essa definição. Situação
semelhante ocorre com o conceito de área num retângulo, por exemplo, é dito que
se deve "multiplicar a medida dos lados"; ou seja, a medida da base pela altura.
Apenas quando os alunos já sabem utilizar essa fórmula, o estudo de área se
estende para outros polígonos. E como seria resolvido se fosse necessário o cálculo
de uma área circular?
Muitos livros didáticos do ensino fundamental ainda trazem um número
reduzido de atividades relacionadas ao estudo do conceito de área de figuras
planas, isso não favorece aos professores e alunos a apropriação dos conceitos e
das habilidades geométricas para o aprendizado desses conteúdos. Por isso a
proposta deste trabalho é construir o conceito de área, partindo de uma medida
padrão, o metro quadrado, para obtenção do cálculo da área de locais como a sala
de aula, quadra, saguão, corredores e outros ambientes aos quais os alunos tem
acesso, para que se familiarizem com as dimensões.
Faz-se necessário ainda, comparar os diferentes formatos das figuras as
quais estamos sujeitos a encontrar nos ambientes. Estas noções sobre área podem
ser identificadas por meio da verificação da medida de área e respectiva
comparação, deve-se observar a possibilidade da construção de superfícies com
área mínima para um contorno fixo e da verificação das deformações que
conservam área, ou seja, para um mesmo perímetro podem ser obtidas figuras de
áreas diferentes.
6.1. Atividade 05
Formar grupos de 4 alunos para montar com utilização de palitos de sorvete
e fita crepe o contorno de um quadrado de 1m de lado, formando 1m². Com esse
“m²” fazer medições de áreas como da sala de aula ou corredor, por exemplo. Na
sequência, responder as questões propostas.
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Figura 06: Quadrado com 1 m de lado Fonte: Rosita
1º) Quais foram as dificuldades ou facilidades de se obter a área da(o)
_________________________________________________nesta atividade?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2º) Com a utilização de trena fazer medição das dimensões da sala de aula, da
quadra, do saguão, corredores e de algum elemento circular, registrar as medidas e
proceder o cálculo dos respectivos perímetros e áreas, para se familiarizar com os
instrumentos.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________.
3º) Voltando na planta baixa em estudo, calcular os perímetros e as áreas dos
cômodos, fazendo observações quanto ao formato que os cômodos da casa têm e
de como foram compostas ou decompostas as figuras para se determinar o valor da
área de cada ambiente.
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Tabela 2: Medidas de perímetro e área dos cômodos da casa
Cômodo Perímetro (m) Área (m²)
Quarto 1
Cozinha
BWC 1
BWC 2
Circulação
Sala
Quarto 2
Área Total Fonte: Rosita
7. ÁREA DE ALVENARIA DE UMA CONSTRUÇÃO
A alvenaria é em geral formada por blocos cerâmicos que são conhecidos
por tijolos, mas também pode ser feita com outros elementos como blocos de
concreto, blocos de vidro, tijolos maciços, etc. A alvenaria tem a função de separar
as áreas dos cômodos de uma construção, bem como separar a área externa
quando usada nos muros. É construída em camadas de blocos cerâmicos também
chamadas de fiadas todas com o mesmo alinhamento. Estas fiadas são assentadas
em uma única direção vertical e devem ter a mesma altura do início ao fim de cada
fiada para que a alvenaria, seja de paredes ou de muros, fique perpendicular em
relação ao solo e nivelada.
Os blocos são assentados lado a lado com elementos de ligação que são
chamados de juntas e são feitas de argamassa. A espessura dessas juntas varia
entre 1,5 a 2,0cm.
22
Figura 07: Fotos de alvenaria de tijolo a espelho Fonte: Rosita
Figura 08: Fotos de alvenaria de tijolo deitado Fonte: Rosita
Para determinar a área de alvenaria é necessário observar no projeto
arquitetônico os desenhos dos cortes, onde deverão conter a altura do pé-direito,
que é a medida vertical desde o chão até o teto. Deve-se também determinar as
áreas das aberturas, como portas, janelas e vãos para que seja calculada somente a
área de paredes de alvenaria.
7.1. Tipos de Tijolos
O tijolo, por ter menor custo em relação a outros tipos de blocos, é o material
mais utilizado para construções de alvenaria na região de Tibagi. São encontrados
com medidas padronizadas, mas apresentam pequenas variações.
Os mais usados são:
• Tijolo maciço - Muito usado em paredes estreitas de armários, em caixas
d'água, caixas de esgoto ou em paredes comuns;
23
Dimensões: 5 x 9 x 19 cm, etc.
Figura 09: Tijolo maciço Fonte: Rosita
• Tijolo furado - Mais leve que o tijolo maciço, é barato e não sobrecarrega
a estrutura da obra. Dimensões: 9 x 14 x 19cm, 10 x 15 x 20 cm, etc.
Figura 10: Tijolo furado Fonte: Rosita
• Tijolos vazados - Mais leve que o tijolo furado. Usado particularmente nas
paredes divisórias sobre estrutura de concreto armado. É o tijolo mais leve e tem
furos quadrados. Dimensões: 9 x 14 x 19 cm, 9 x 17 x 25 cm, etc.
Figura11: Tijolo vazado Fonte: Rosita
24
7.2. Bloco de concreto
Alguns profissionais ligados ao setor da construção denominam o bloco de
concreto como “tijolo de concreto”, esses blocos, tem maior resistência do que o de
cerâmica e pode ser utilizado sem revestimento. Suas dimensões geralmente são: 9
x 19 x 39 cm ou 14 x 19 x 39 cm.
Figura 12: Bloco de concreto Fonte: Rosita
7.3. Atividade 06
Formar grupos de 4 alunos e utilizando as figuras dos anexos III e IV,
calcular as áreas das paredes que serão construídas de tijolos.
Após calculada a área de alvenaria, ou seja, das paredes, é necessário
determinar a quantidade de tijolos a serem utilizados para a construção das
mesmas. Para se obter esse total, primeiramente cada grupo deve estipular a forma
de assentamento dos tijolos, que será adotada para o cálculo, que pode ser com o
tijolo “deitado” ou “a espelho”. A escolha da posição do tijolo vai determinar sua
quantidade por metro quadrado de alvenaria. Além disso, devem ser conferidas as
dimensões dos mesmos. O tijolo mais comumente utilizado é o de Cerâmica que
mede 9 x 14 x 19 cm.
As figuras 13 e 14 apresentam o mesmo tijolo posicionado de duas formas
diferentes.
25
Figura 13: Tijolo furado na posição “a espelho” Fonte: Rosita
Figura 14: Tijolo furado na posição “deitado” Fonte: Rosita
Na figura 15, foi marcado com giz o perímetro de um quadrado com 1 m de
lado e os tijolos de 9x14x19 cm foram assentados deitados.
26
Figura 15: Alvenaria com tijolos assentados na posição “deitado” Fonte: Rosita
7.4. Atividade 07
Visita a uma obra de construção civil em fase de levantamento das paredes.
Esta atividade envolve a participação de um profissional, construtor ou mestre de
obras, que deve ser contatado anteriormente a fim de receber os alunos. Este
profissional deve ser orientado a demonstrar a aplicação do conhecimento
matemático na prática.
É conveniente realizar a visita com grupos de alunos, pois dependendo do
número de alunos da turma deverá ser agendada mais de uma visita para que todos
tenham oportunidade.
È necessário tomar alguns cuidados em relação à segurança. Equipar os
alunos com capacete, que pode ser emprestado na obra e orientá-los quanto ao uso
de calçados fechados.
Os Pais ou Responsáveis pelos alunos menores de 18 anos, devem ser
informados antecipadamente da realização da visita e preencher uma autorização
por escrito conforme modelo constante no anexo V desta produção.
Formar grupos de no máximo 10 alunos para cada visita e sugerir a eles o
levantamento das seguintes questões:
27
1º) Qual o tipo de tijolo que está sendo utilizado na obra? Quais suas dimensões?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
2º) Como são assentados os tijolos?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3º) Quanto de argamassa é colocado entre os tijolos? E qual, aproximadamente, é a
espessura dessa camada de argamassa?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4º) A quantidade de argamassa vai interferir na quantidade de tijolos por m²?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Deixar em aberto para que os alunos façam outros questionamentos
pertinentes ao tema.
Após a visita, reunir os grupos para a apresentação de um relato sobre a
mesma.
7.5. Atividade 08
Nesta proposta de atividade os alunos deverão fazer a determinação de
quantos tijolos serão necessários por metro quadrado de alvenaria nas duas opções
de assentamento, lembrando que além da face do tijolo, deve ser considerada a
espessura da argamassa.
Propor que os mesmos grupos de alunos da visita realizem esta atividade
em conjunto.
1º) Qual a área em m² da face de cada tijolo se for assentado “deitado”?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
28
2º) Quantos tijolos serão necessários por metro quadrado nesse caso?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
3º) Qual a área em m² da face de cada tijolo se for assentado “a espelho”?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
4º) Quantos tijolos serão necessários por metro quadrado nesse caso?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
5º) Além do tipo e tamanho dos tijolos, há outro item que foi considerado no cálculo
da quantidade de tijolos por metro quadrado? Justifique sua resposta:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
6º) Cada grupo deve calcular a quantidade total de tijolos para a construção da
residência da atividade 04.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
Ao final da atividade fazer com que os alunos apresentem as dificuldades
e/ou facilidades encontradas.
É pertinente explicar que o cálculo matemático apresentará o valor exato do
número de tijolos, entretanto numa obra é necessário comprar em torno de 5% a
mais, pois pode haver alguma perda por quebra no transporte ou mesmo durante o
armazenamento e manuseio na obra.
8. MEDIDAS DE VOLUME
As medidas de volume possuem grande importância nas situações
envolvendo capacidade de sólidos. Volume pode ser definido como o espaço
29
ocupado por um corpo ou pela capacidade que um corpo tem de comportar alguma
substância.
Assim como as medidas de comprimento linear e as medidas de área, o
volume também tem uma unidade padrão, que é o metro cúbico,
8.1. Metro cúbico
A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico . O metro cúbico
é representado por “m3” e corresponde ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de
aresta.
Figura 16: Cubo com arestas de 1m Fonte: Rosita
O expoente “3” do “m3” representa nesta unidade de medida, a
tridimensionalidade. Para o cálculo do volume precisa-se considerar os corpos em
três dimensões, assim não é uma unidade de medida unidimensional (linear) nem
bidimensional (área).
8.2. Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico
Além da unidade fundamental de volume, o metro cúbico, existem ainda os
seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos:
quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. No quadro a seguir estão os múltiplos e
submúltiplos do metro cúbico:
30
Múltiplos Unidade
Fundamental Submúltiplos
quilômetro
cúbico
hectômetro
cúbico
Decâmetro
cúbico
Metro
cúbico
Decímetro
cúbico
Centímetro
cúbico
Milímetro
cúbico
km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3
1.000.000.000m3 1.000.000m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001m3
Como unidades de capacidade também são unidades de volume, podemos
estabelecer relações como:
1 dm³ = 1 l
1 m³ = 1.000 l
1 cm³ = 1 ml
Isso demonstra que é possível fazer transformações de unidade de medida de
volume em unidade de medida de capacidade e vice-versa.
Exemplo:
Em uma residência onde moram 03 pessoas a companhia de abastecimento
de água verificou que em 30 dias foi consumido 12 m³ de água. Isso significa que
essa família gastou 12.000 l de água nesses 30 dias.
8.3. O metro cúbico na obra
Numa obra de construção civil em diversas situações é possível observar a
aplicação do cálculo de volume, como é o caso, por exemplo, do concreto que vai
preencher as fundações, vigas e pilares que fazem parte da estrutura. Esses
elementos são em geral o principal fator de segurança de uma edificação. Por isso o
cálculo do volume de concreto é importante para garantir que a estrutura tenha
resistência suficiente para a utilização a que se destina a construção.
Outra importante aplicação de volume na construção de uma edificação de
alvenaria é o cálculo do volume de concreto necessário para preencher o contrapiso.
Entende-se por contrapiso, a camada de concreto com espessura que pode variar
31
de 5 a 15 cm dependendo da utilização da edificação. Essa camada de concreto
deve ser executada sobre uma camada de pedra em toda a área interna da
edificação para posteriormente ser assentado o revestimento final do piso. Em
terrenos onde há muita umidade, é recomendado utilizar uma lona de plástico,
normalmente uma lona preta, embaixo da camada de pedra para impermeabilizar, e
assim impedir a ascensão da umidade do solo para o piso.
Numa obra residencial é normalmente utilizado um contrapiso de 8,00 cm de
espessura. Portanto, a partir da área total dos cômodos e a espessura do contrapiso
pode ser determinado o volume de concreto necessário para a execução do mesmo.
Figura 17: Execução de contrapiso de concreto Fonte: Rosita
8.4. Atividade 09
Formar grupos de 4 alunos para montar com utilização de palitos de sorvete
um cubo com arestas de 1 m, isso vai dar a idéia do espaço de 1m³ , com esse “m³”
fazer medições de volume, da sala de aula ou de outro espaço dentro do colégio.
Durante essa observação devem ser anotadas as dificuldades e/ou facilidades
encontradas para determinar o volume de um espaço como a sala de aula por
exemplo.
32
Figura 18: Cubo com arestas de 1m feito com palitos de sorvete Fonte: Rosita
Observações:
1º) Quais foram as dificuldades ou facilidades de se obter o volume da(o)
_____________________________________, nesta atividade?
___________________________________________________________________.
___________________________________________________________________.
___________________________________________________________________.
2º) Justifique:
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________.
___________________________________________________________________.
___________________________________________________________________.
3º) Calcular volume de concreto necessário para preencher o piso de todos os
cômodos na construção da residência da planta baixa estudada na atividade 04.
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________.
___________________________________________________________________.
___________________________________________________________________.
33
9. ÂNGULOS
Para que uma edificação seja executada em conformidade com o projeto, é
necessário que os construtores sejam capazes de interpretar e executar no canteiro
de obras as marcações do projeto com precisão.
Com relação aos ângulos existe uma grande preocupação em garantir que
as suas medidas estejam corretas. Para isso os profissionais fazem uso de algumas
ferramentas como transferidor e esquadro, que tanto podem servir para marcar,
como para conferir as medidas dos ângulos.
O transferidor que os profissionais utilizam em obras pode ser do mesmo
tipo que é utilizado por professores no quadro de giz, como apresentado na figura
19.
Figura 19: Transferidor Fonte: Rosita
O esquadro de madeira (figura 20) além dos professores em sala de aula
pode também ser utilizado pelos profissionais da construção civil.
Figura 20: Esquadro de madeira Fonte: Rosita
34
9.1. O Teorema de Pitágoras
Devido às inundações anuais do rio Nilo, os antigos egípcios precisavam
constantemente marcar e remarcar seus terrenos, que geralmente eram
retangulares. Para isso se utilizava uma corda com 13 nós feitos equidistantes (12
espaços iguais). Esse espaço entre cada nó era então, tomado como a unidade de
medida.
Figura 21: Corda com 13 nós Fonte: CAMBIRIBA
Com essa corda, fixando estacas no 1º e 13º nós, no 5º nó e no 8º nó, forma
um triângulo retângulo, com a seguinte configuração:
Figura 22: Triângulo formado pela corda com 13 nós e as estacas Fonte: CAMBIRIBA
O matemático e filósofo grego Pitágoras, que viveu em Samos entre 571
a.C. a 496 a.C., juntamente com seus alunos, demonstrou e formalizou a relação
existente entre as medidas dos lados de qualquer triangulo retângulo. Essa relação
é: “em todo e qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos”. Essa
propriedade ficou conhecida como o “Teorema de Pitágoras”.
Pode-se observar na corda com os 12 espaços, primeiramente lados que
formam o ângulo reto, chamados de catetos, são de 3 espaços e 4 espaços, e o
terceiro lado o qual fica oposto ao ângulo reto, chamado hipotenusa, é formado por 5
35
espaços. Portanto ao aplicar relação do “Teorema de Pitágoras” a essas medidas
observa-se:
Figura 23: Triângulo Retângulo e o Teorema de Pitágoras Fonte: Rosita
Comprovando que o triângulo formado pelos 12 espaços entre os nós da corda
estão de acordo com o “Teorema de Pitágoras”. Logo, este é um triângulo retângulo.
9.2. O Teorema de Pitágoras e o Ângulo Reto na obra
Durante toda a obra, desde sua locação, quando o profissional precisa fazer
as primeiras medições para “marcar a obra” dentro do terreno, até o acabamento,
com a colocação de pisos, portas, janelas, etc. é percebida a utilização do ângulo de
90º (noventa graus), ou seja, o ângulo reto. O profissional da construção civil faz uso
de um recurso muito parecido com aquele utilizado pelos egípcios, para garantir que
os ângulos formados entre as paredes, quando é o caso, seja um ângulo reto.
O primeiro passo na locação da obra é a montagem de um “gabarito”, como
é chamado na linguagem dos construtores. O “gabarito” é feito utilizando estacas de
madeira, pregos e linha de nylon. Para iniciar a marcação estica uma linha paralela a
frente do terreno, em seguida estica uma nova linha perpendicular a primeira,
provisoriamente. Então crava uma estaca a 3 m na primeira linha e outra a 4 m
dessa, sobre a linha provisória. Medindo a distância entre as duas estacas o valor
correto deverá ser de 5 m. Se a medida for maior ou menor que 5 m, a segunda
estaca terá que ser mudada até que se consiga essa medida.
Da mesma forma demonstrada no item 9.1, o triângulo formado pelas
estacas respeita a relação do “Teorema de Pitágoras”:
36
3² + 4² = 5², portanto:
9 + 16 = 25.
Outras medidas de lados de triângulo retângulo podem ser utilizadas, desde
que respeitem a relação do “Teorema de Pitágoras”. Os mais utilizados 30 cm, 40
cm e 50 cm, ou 60 cm, 80 cm e 100 cm(1m).
Na figura 24, tem-se um exemplo da sequência da marcação do ângulo reto
utilizando o triângulo de 60 cm, 80 cm e 100 cm.
Marcando 60cm
Marcando 60cm
Marcando 80cm
Marcando 80cm
Conferindo=100 cm (1 m)
Conferindo=100 cm (1 m)
Figura 24: Sequência da marcação de um ângulo reto Fonte: Rosita
37
Esse procedimento de marcar o ângulo reto na linguagem utilizada pelos
profissionais diz-se “colocar no esquadro” ou “esquadrejar”. Nesse processo o
construtor, pode também fazer uso de uma ferramenta chamada esquadro, que além
de auxiliar na construção do ângulo reto, serve para conferir, em outras etapas da
construção, como é o caso em assentamentos de pisos, azulejos, janelas etc., se os
ângulos “estão no esquadro”, ou seja, se são retos.
Figura 25: Esquadro de uso em obra Fonte: Rosita
Em obras de ruas e praças ou grandes construções comerciais e industriais,
a marcação é feita por aparelhos chamados “teodolitos” ou através de GPS.
A figura 26 mostra mais um exemplo da aplicação do “Teorema de
Pitágoras”, na marcação da obra. Esta encontra-se na Cartilha para Pedreiro,
elaborada pela Universidade do Estado da Bahia.
Figura 26: Exemplo de aplicação do Teorema de Pitágoras Fonte: Cartilha do Pedreiro
38
9.3. Atividade 10
Formar grupos de 4 alunos e com o uso de réguas e trenas, fazer algumas
conferencias de “esquadro” . Pode ser feito entre paredes da sala de aula, entre o
piso e a parede, nos móveis, etc. A seguir registrar pelo menos duas observações
por grupo.
1º) Foi verificada a presença do ângulo reto? Onde?
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________
___________________________________________________________________.
___________________________________________________________________.
39
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOYER, C. B. História da matemática . Tradução: Elza F Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. BURIASCO, R. L. C. de. Sobre a Resolução de Problemas. Nosso fazer. Ano 1, nº 5. Secretaria Municipal de Educação, Londrina, 1995. GERVASI, Lucia. ¿cuál es el papel del professor de matemática frete a los problemas de La educación matemática? . União matemática Argentina, março, 1995. Disponível em: http://www.soarem.org.ar/revistapremisa.htm. Acessado em 26/06/2012. MARASINI, Sandra Mara. Contribuições da didática da matemática para a educação matemática . In: RAYS, Oswaldo Alonso. Educação e ensino: Constatações, inquietações e proposições. Santa Maria: Pallotti, 2000, p. 126-130. ONUCHIC, Lourdes de La Rosa; ALLEVATO, Norma Sueli Gomes, Novas reflexões sobre o ensino aprendizagem de matemática. In: BICUDO, Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho. Educação Matemática: Pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004.320p. PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. Departamento de Ensino de Primeiro Grau. Currículo Básico para a Escola Pública do Estado do Paraná . 2.ª ed. Curitiba, 1992.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica. Ensino Fundamental: Matemática . Versão Preliminar. Curitiba, 2004. PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação Básica: Matemática . Curitiba, 2008. PCN, Parâmetros curriculares nacionais: Matemática . Secretaria de Educação Fundamental. Ensino de quinta a oitava série. Brasília: MEC /SEF, 1998. PONTE, João Pedro da; BROCARDO, Joana; OLIVEIRA, Hélia. Investigações Matemáticas na sala de aula . Belo Horizonte: Autêntica, 2003. PÁDUA, Fabiano de; Apostila de desenho técnico. Centro Federal de Educação Tecnológica de Mato Grosso. NEUFERT, Ernest; A arte de projetar em arquitetura. Tradução da 21 ed. alemã. 5 ed. São Paulo, Gustavo Gili do Brasil, 1976. MAZZEU, Francisco José Carvalho; DEMARCO, Diogo Joel, KALIL, Luna. Caderno metodológico para o professor. São Paulo: Secretaria de educação continuada, alfabetização e diversidade, 2007.
40
ARRUDA FILHO, Adilson Brito de, SILVA, Sandro Luiz da, SOUSA, Warley Pitanga. Cartilha do pedreiro. Bahia, Universidade do Estado da Bahia, 2001. CAMBIRIBA, Sérgio da Silva. Explorando os conteúdos matemáticos envolvidos na construção de uma casa . In: PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Superintendência de Educação. O professor PDE e os desafios da escola pública paranaense: produção didático-pedagógica, 2007. Curitiba: SEED/PR., 2011. V.2. (Cadernos PDE). Disponível em: http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2007_uem_mat_md_sergio_da_silva_cambiriba.pdf. Acesso em: 17/06/12. ISBN 978-85-8015-038-4. ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas. NBR 6492. Representação de projetos de arquitetura. Rio de Janeiro. 1994 http://www.oocities.org/br/jcc5002/polegada.html - Grandezas, Unidades, Cientistas.
http://www.matematica.seed.pr.gov.br/modules/galeria/fotos.php?evento=4 – Galeria
de imagens. Grandezas e medidas.
http://maps.google.com.br/
41
ANEXO I PROJETO ARQUITETÔNICO
42
QUARTO 2SALA
COZINHA
QUARTO 1
BWC1
CIRCULAÇÃO
BWC 2
PLANTA BAIXA
ANEXO II
ANEXO II PLANTA BAIXA
43
0,70
2,170,6
1,101,000,60
2,70
0,602,11
0,60 2,10
0,60 2,10
0,60 0,60 1,52
SE
ÇÃ
O A
A'
ANEXO III SEÇÃO AA’
44
0,60 1,20 0,90
0,60 0,60 1,50
0,600,60 1,50
0,60 1,20 0,90
0,70
0,70
2,702,17
SE
ÇÃ
O B
B'
ANEXO IV SEÇÃO BB’
45
ANEXO V
AUTORIZAÇÃO DOS PAIS PARA VISITA EM OBRA DE CONSTRU ÇÃO CIVIL
Eu, ________________________________________________________________,
portador do RG: __________________________________ responsável pela (o)
aluna (o)____________________________________________________________
matriculada (o) no 9º ano ______ do Colégio Irênio Moreira Nascimento, autorizo a
(o) mesma (o) a participar de “Visita em obra de construção Civil”, no centro da
cidade de Tibagi, acompanhado pela Professora Rosita Aparecida Bueno, que será
realizada no dia _______ de ____________________ de 2013.
A saída do Colégio será às ____h____min e o retorno às ____h_____min.
OBSERVAÇÕES:
1. Será fornecido capacete de segurança para o aluno usar durante a visita;
2. O aluno deverá estar identificado com a camiseta de uniforme do colégio;
3. Usar calçados fechados;
4. Devolver esta autorização assinada para a professora Rosita até o dia
______/______/2013.
Tibagi, ______ de ______________________ de 2013.
__________________________________________________
Assinatura do Pai ou responsável