seção 11 - modelos em rede

2013/1 Seo 11 1

Mtodos Quantitativos

Prof. Gerson Lachtermacher Prof. Paulo Srgio Coelho

Melhorado pelo Prof Roberto Pinho

2012/2 Seo 11 2

Modelos de Rede

Regra do Fluxo Balanceado

Modelos de Transporte Caso LCL Motocicletas S.A.

Modelos de Escala de Produo Caso LCL Frmula Turismo Ltda.

Caso LCL Foges Ltda.

Modelos de Rede de Distribuio Caso Automveis Brasil

Modelos de Menor Caminho

Modelos de Fluxo Mximo

Contedos do Captulo Contedos do Captulo

2012/2 Seo 11 3

Modelos de rede podem ser utilizados em diversas reas tais como transportes, energia e comunicaes para modelagem de diversos tipos de problemas.

Uma rede um conjunto de vrtices ou ns ligados entre si por um conjunto de arcos.

Modelos em Rede Modelos em Rede

Ns

arcos

[-oferta] [+demanda]

Grafo

Fluxo

Capacidade

Rede: grafo cujos arcos e/ou ns esto associados varivel numrica fluxo e/ou capacidade.

2012/2 Seo 11 4

Problemas de rede no mundo real Problemas de rede no mundo real

Transporte

Escala de produo

Rede de distribuio

Menor Caminho

Fluxo mximo

Caminho crtico

2012/2 Seo 11 5

Num modelo de rede cada n ter uma denominao ou numerao especifica.

As variveis de deciso estaro ligadas aos arcos existentes entre os ns.

X12 pode indicar o n de veculos que passa na estrada que liga a cidade 1 cidade 2.

X34 pode indicar o n de geladeiras que entregue pela fbrica 3 no revendedor 4.


2012/2 Seo 11 6

A funo-objetivo do problema de rede de distribuio dada por:

Onde

cij o custo unitrio de transporte de uma unidade do produto de i para j

xij o nmero de produto transportados na rota de i para j


ij ijMin Z c X

2012/2 Seo 11 7

Condies para operacionalizar as restries Condies para operacionalizar as restries

As fbricas no podem produzir mais do que suas capacidades instaladas

Os centros consumidores no desejam receber volumes acima de suas

demandas

Fbrica Centro Consumidor

Capacidade Recife Salvador Fortaleza

Cuiab 25 18 30 2300

Santo Andr 32 24 25 2100

Florianpolis 23 16 23 2500

Demanda 2000 3000 1000 6000\6800

Caso I - Oferta maior que a Demanda

Caso II - Demanda maior que a Oferta


Capacidade Recife Salvador Fortaleza

Cuiab 25 18 30 2000

Santo Andr 32 24 25 2000


Demanda 2800 3100 1000 6900\5500

2012/2 Seo 11 8

Modelagem matemtica do problema de transporte Modelagem matemtica do problema de transporte

Aes e interpretaes para as variveis dummy

Capacidade > Demanda Demanda > Capacidade

Ao: busca de novos centros consumidores

Ao: Criao de nova fbrica

Interpretao: capacidade ociosa das fbricas

Interpretao: demanda no atendida

2012/2 Seo 11 9


ij ijMin Z c X =

=1

=

=1

=

=1

=1

Oferta

Demanda


Capacidade D1 D2 D3

O1 C11/ x11 C12/ x12 C13/ x13 Soma D1 a D3

O2 C21/ x21 C22/ x22 C23/ x23 Soma D1 a D3

O3 C31/ x31 C32/ x32 C33/ x33 Soma D1 a D3

Demanda Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma D\Soma O

2012/2 Seo 11 10


ij ijMin Z c X =

=1

=

=1

=1

Oferta Demanda =<

=1

Fbrica

Centro Consumidor

Capacidade D1 D2 D3 D4(Dummy)

O1 C11/ x11 C12/ x12 C13/ x13 C14/ x14 Soma D1 a D4



Demanda Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma D\Soma O

Oferta >Demanda

2012/2 Seo 11 11


ij ijMin Z c X =

=1

=

=1

=1

Oferta Demanda =<

=1


Capacidade D1 D2 D3

O1 C11/ x21 C12/ x12 C13/ x13 Soma D1 a D3

O2 C21/ x21 C22/ x22 C23/ x23 Soma D1 a D3

O3 C31/ x31 C32/ x32 C33/ x33 Soma D1 a D3

O4(Dummy) C41/ x41 C42/ x42 C43/ x43 Soma D1 a D3

Demanda Soma O1 a D4 Soma O1 a D4 Soma O1 a D4 Soma D\Soma O

Demanda > Oferta

2012/2 Seo 11 12

Uma maneira de modelar as restries de um problema de rede

seguir a Regra Fluxo Balanceado para cada n.

Nesta regra para cada n da rede devemos estabelecer a

diferena entre as variveis que esto chegando (entradas) ao

n menos as variveis que esto deixando o n (sadas).

xij uma entrada para o n j e uma sada do n i

O sinal da restrio varia com ofertas e demandas totais

O lado direito das restries sero as ofertas ou demandas de

cada n

Regra de Fluxo Balanceado Regra de Fluxo Balanceado

2012/2 Seo 11 13

Caso de Oferta Total = Demanda Total

Caso a Oferta Total > Demanda Total

Caso a Oferta Total < Demanda Total

Regra de Fluxo Balanceado Regra de Fluxo Balanceado

total de entradas total de sadas Oferta/Demanda - =

no n no n do n

total de entradas total de sadas Oferta/Demanda -

no n no n do n

total de entradas total de sadas Oferta/Demanda -

no n no n do n

Regra do fluxo balanceado(Ragsdale, 2001)

2012/2 Seo 11 14

Caso LCL Motocicletas S.A. Caso LCL Motocicletas S.A.

A LCL Motocicletas S.A. possui 3 fbricas localizadas em Cuiab, Santo

Andr e Florianpolis. A produo deve ser entregue em Recife, Salvador

e Fortaleza. Considerando os custos de transporte unitrios, as

capacidades de produo das fbricas e as demandas dos centros

consumidores que esto especificados na tabela a seguir, determine

quanto deve ser produzido e entregue por cada fbrica em cada centro

consumidor de forma a minimizar os custos de transporte.

Centro Consumidor

Fbrica Recife Salvador Fortaleza Capacidade

Cuiab 25 18 30 2000

Santo Andr 32 24 25 2000


Demanda 2000 3000 1000

2012/2 Seo 11 15

Caso LCL Motocicletas S.A. Variveis de Deciso Caso LCL Motocicletas S.A. Variveis de Deciso

Existem 9 variveis para expressar a quantidade transportada em cada uma das possveis vias.

xij= Quantidade transportada da fbrica i para o centro consumidor j.

Centro Consumidor

Fbrica

Recife

(4)

Salvador

(5)

Fortaleza

(6)

Cuiab (1) x14 x15 x16

Santo Andr (2) x24 x25 x26

Florianpolis (3) x34 x35 x36

-

-

-

Florianpolis 3

Santo Andr 2

Cuiab 1

i

-

-

-

Fortaleza 6

Salvador 5

Recife 4

j

2012/2 Seo 11 16

Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo Grfico Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo Grfico

25 Cuiab

1

Sto.Andr

2

Florianpolis

3

Recife

4

Salvador

5

Fortaleza

6

18

30

32

24 25

23 16 23

[-2000]

[-2000]

[-1500]

[+2000]

[+3000]

[+1000]

2012/2 Seo 11 17

Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo

2012/2 Seo 11 18

Como a demanda total maior que a oferta total

devemos utilizar a seguinte restrio em todos os ns:

total de entradas total de sadas Oferta/Demanda

- no n no n do n

Caso LCL Motocicletas S.A. Caso LCL Motocicletas S.A.

2012/2 Seo 11 19

Caso LCL Motocicletas S.A. Parmetros Caso LCL Motocicletas S.A. Parmetros

2012/2 Seo 11 20

Caso LCL Motocicletas S.A. Soluo Caso LCL Motocicletas S.A. Soluo

2012/2 Seo 11 21

O problema de rede no aplicado apenas a problemas de

distribuio de mercadorias das fbricas para centros

distribuidores;

O mesmo tipo de formulao pode ser aplicado a outros tipos

de problema, tais como:

Problemas de Escalas de Produo;

Problemas de Lay-out de fbricas;

Problema de Rede Aplicaes Problema de Rede Aplicaes

2012/2 Seo 11 22

A GLP Frmula Turismo Ltda. fornece motores para equipes de frmula turismo. A

companhia detm contratos de entregas futuras programadas para o prximo ano.

As entregas devero ocorrer a cada quadrimestre. A tabela resume as entregas

programadas, a capacidade mxima de produo e o custo de produo por

quadrimestre incluindo o custo de armazenamento. Formule o problema para

achar o nmero de motores que devem ser fabricados em cada quadrimestre de

maneira a atender os pedidos contratados.

Caso LCL Frmula Turismo Ltda. Caso LCL Frmula Turismo Ltda.

Quadrimestre

Produo

Quadrimestre de Entrega milhes de Reais

1 (n 4) 2 (n 5) 3 (n 6) Capacidade

1 (n 1) 1,08 1,09 1,10 45

2 (n 2) 1,08 1,09 35

3 (n 3) 1,07 25

Demanda 30 40 30

2012/2 Seo 11 23

Caso LCL Frmula Turismo Ltda. Representao Grfica do Modelo Caso LCL Frmula Turismo Ltda. Representao Grfica do Modelo

1,08

Prod. Q1

1

Prod. Q2

2

Prod. Q3

3

Ent.Q1

4

Ent.Q2

5

Ent.Q3

6

1,09

1,10

[-45]

[-35]

[-25]

[+30]

[+40]

[+30]

1,08

1,09

1,07

2012/2 Seo 11 24

Como a oferta total maior que a demanda total

devemos utilizar a seguinte restrio em todos os ns:

n n nentradas - saidas oferta/demanda


2012/2 Seo 11 25


2012/2 Seo 11 26


2012/2 Seo 11 27

Caso LCL Frmula Turismo Ltda. Soluo Caso LCL Frmula Turismo Ltda. Soluo

2012/2 Seo 11 28

A LCL Foges Ltda. deseja realizar o escalonamento de sua

produo para os prximos 3 meses. Sua fbrica pode produzir

mensalmente, em horrio normal, 250 foges a um custo de

R$35,00, e em horrio extra, 50 unidades a um custo de

R$40,00. Considere que possvel armazenar durante um ms a

um custo unitrio de R$5,00 sem restries de espao. Suponha

que as demandas para os prximos quatro meses so de 140,

200 e 130. Qual o escala de produo a ser seguida?

Caso LCL Foges Ltda. Caso LCL Foges Ltda.

2012/2 Seo 11 29

Para resolver este problema, criaremos uma rede onde:

Cada n representar uma unidade produtora ou unidade receptora. So 6 unidades produtoras (2 por ms)

So 3 unidades receptoras (3 meses)

Cada arco est relacionado ao custo de produo e/ou armazenagem.


2012/2 Seo 11 30


[-250] 1

3

5

2

4

6

C

B [+200]

A 1

3

5

2 [-50]

4

6

9 [+130]

8

7 [ +140]

35

40

35

40

35

40

5

5

[-250]

[-50]

[-250]

[-50]

2012/2 Seo 11 31


2012/2 Seo 11 32

Como a oferta total maior que a demanda total devemos

utilizar a seguinte restrio em todos os ns:



2012/2 Seo 11 33


2012/2 Seo 11 34


2012/2 Seo 11 35

A Automveis Brasil ter duas fbricas no Brasil, uma em

Salvador (1) e outra em Santo.Andr (2), e est estudando a

forma de distribuio de seus carros para as diversas revendas

de Minas Gerais, nas cidades de Juiz de Fora (3), B.Horizonte (4),

Barbacena (5) e Tiradentes (6).

A seguir apresentada a rede de revendas da Automveis

Brasil, seus custos de transporte unitrios, demandas das

revenda e as capacidades das fbricas.

Determine a forma como a entrega de veiculas deve ser

realizada pelas fabricas s revendas.

Caso Automveis Brasil Caso Automveis Brasil

2012/2 Seo 11 36


1

2

3

4

5

6

[-800]

[-600]

[+200]

[+300]

[+350]

40

20

20 25

25

35

40

10

10

10

15

[+450]

2012/2 Seo 11 37

Variveis de Deciso xij Quantidade de carros remetidos de i para j

Exemplo: x14 Quantidade de carros remetidos de 1 para 4

Funo-Objetivo = Minimizar o Custo de Distribuio


13 14 15 23 24 25 36

45 46 56 65

20 10 40 10 20 40 25

35 25 15 10

Min x x x x x x x

x x x x

2012/2 Seo 11 38

Como a oferta total maior que a demanda total devemos

utilizar a seguinte restrio em todos os ns:



2012/2 Seo 11 39

Caso Automveis Brasil Modelo Caso Automveis Brasil Modelo

2012/2 Seo 11 40


2012/2 Seo 11 41


2012/2 Seo 11 42

Se considerarmos uma rede na qual o arco signifique a distncia

entre dois pontos (ns) e desejarmos achar a rota que une estes

pontos com distncia mnima, teremos um problema do tipo do

Menor caminho.

Este tipo de problema pode ser generalizado e aplicado a

distribuio de produtos, entre outros.

Problemas de Menor Caminho Problemas de Menor Caminho

2012/2 Seo 11 43

Problemas de Menor Caminho Problemas de Menor Caminho

2012/2 Seo 11 44

Considere a rede abaixo que representa a ligao rodoviria

entre duas cidades (A e B). O tamanho dos arcos representa a

distncia entre pontos da malha rodoviria entre as cidades.

Problemas de Menor Caminho Exemplo Problemas de Menor Caminho Exemplo

A B

4

3

2

1

40

30

30

30

20 20

20

2012/2 Seo 11 45

Este problema pode ser visto como um problema de rede de

distribuio com um ponto de oferta de um caminho (A=-1) e

ponto de demanda de um caminho (B=+1) e os demais pontos

da malha sem demanda ou oferta (=0)


[-1] [+1] A B

4

3

2

1

40

30

30

30

20 20

20

2012/2 Seo 11 46


2012/2 Seo 11 47


2012/2 Seo 11 48

Problemas de Menor Caminho Soluo Problemas de Menor Caminho Soluo

2012/2 Seo 11 49

Nesse tipo de problema temos uma rede de ns e arcos, e

desejamos que o maior fluxo de uma grandeza possa fluir de um

determinado n para outro.

Nesse tipo de problema mais de um caminho pode ser utilizado

simultaneamente.

Existem restries de capacidades de fluxo nos arcos

Aplicaes

Rede de distribuio de gua, luz, leo, gs, energia e

trfego na internet, fluxos de carros em uma malha

rodoviria.

Problema do Fluxo Mximo Problema do Fluxo Mximo

2012/2 Seo 11 50

Problema do Fluxo Mximo - Aplicaes Problema do Fluxo Mximo - Aplicaes

Gs

gua

Energia

Internet

2012/2 Seo 11 51

Como resolver o problema?

Adicionar um arco artificial/virtual ligando o ponto de sada

(A) ao ponto de chegada (B).

Maximizar o fluxo no arco artificial criado (fluxo grande).

Utilizar a regra de balanceamento de redes.

As grandezas associadas aos arcos so o fluxo mximo em

cada trecho da rede, portanto restries no modelo.

O Valor de Oferta/Demanda em cada n igual a zero.

Problemas de Rede Problema do Fluxo Mximo Problemas de Rede Problema do Fluxo Mximo

2012/2 Seo 11 52


A B

4

3

2

1

40

30

30

30

20 20

40

2012/2 Seo 11 53


2012/2 Seo 11 54


2012/2 Seo 11 55


2012/2 Seo 11 56

Livro Bsico 1

Exerccios 5.1, 1 10, pp. 134 136

Exerccios 5.2, 1 10, pp. 152 153

Livro Bsico 2

Problemas 5.1 5.31, pp. 263 - 269

Exerccios Propostos Exerccios Propostos

2013/1 Seo 11 57

Bibliografia

Lachtermacher, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decises. 4 ed. So Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.

seção 11 - modelos em rede

Documents