seção 11 - modelos em rede

2013/1 Seção 11 1

Métodos Quantitativos

Prof. Gerson Lachtermacher Prof. Paulo Sérgio Coelho

Melhorado pelo Prof Roberto Pinho

2012/2 Seção 11 2

Modelos de Rede

Regra do Fluxo Balanceado

Modelos de Transporte Caso LCL Motocicletas S.A.

Modelos de Escala de Produção Caso LCL Fórmula Turismo Ltda.

Caso LCL Fogões Ltda.

Modelos de Rede de Distribuição Caso Automóveis Brasil

Modelos de Menor Caminho

Modelos de Fluxo Máximo

Conteúdos do Capítulo Conteúdos do Capítulo

2012/2 Seção 11 3

Modelos de rede podem ser utilizados em diversas áreas tais como transportes, energia e comunicações para modelagem de diversos tipos de problemas.

Uma rede é um conjunto de vértices ou nós ligados entre si por um conjunto de arcos.

Modelos em Rede Modelos em Rede

Nós

arcos

[-oferta] [+demanda]

Grafo

Fluxo

Capacidade

Rede: grafo cujos arcos e/ou nós estão associados à variável numérica fluxo e/ou capacidade.

2012/2 Seção 11 4

Problemas de rede no mundo real Problemas de rede no mundo real

Transporte

Escala de produção

Rede de distribuição

Menor Caminho

Fluxo máximo

Caminho crítico

2012/2 Seção 11 5

Num modelo de rede cada nó terá uma denominação ou numeração especifica.

As variáveis de decisão estarão ligadas aos arcos existentes entre os nós.

X12 – pode indicar o nº de veículos que passa na estrada que liga a cidade 1 à cidade 2.

X34 – pode indicar o nº de geladeiras que é entregue pela fábrica 3 no revendedor 4.


2012/2 Seção 11 6

A função-objetivo do problema de rede de distribuição é dada por:

Onde

cij é o custo unitário de transporte de uma unidade do produto de i para j

xij é o número de produto transportados na rota de i para j


ij ijMin Z c X

2012/2 Seção 11 7

Condições para operacionalizar as restrições Condições para operacionalizar as restrições

As fábricas não podem produzir mais do que suas capacidades instaladas

Os centros consumidores não desejam receber volumes acima de suas

demandas

Fábrica Centro Consumidor

Capacidade Recife Salvador Fortaleza

Cuiabá 25 18 30 2300

Santo André 32 24 25 2100

Florianópolis 23 16 23 2500

Demanda 2000 3000 1000 6000\6800

Caso I - Oferta maior que a Demanda

Caso II - Demanda maior que a Oferta


Capacidade Recife Salvador Fortaleza

Cuiabá 25 18 30 2000



Demanda 2800 3100 1000 6900\5500

2012/2 Seção 11 8

Modelagem matemática do problema de transporte Modelagem matemática do problema de transporte

Ações e interpretações para as variáveis dummy

Capacidade > Demanda Demanda > Capacidade

Ação: busca de novos centros consumidores

Ação: Criação de nova fábrica

Interpretação: capacidade ociosa das fábricas

Interpretação: demanda não atendida

2012/2 Seção 11 9


ij ijMin Z c X 𝑥𝑖𝑗 = 𝑓𝑖

𝑛

𝑗=1

𝑥𝑖𝑗 = 𝑑𝑖

𝑛

𝑗=1

𝑓𝑖 = 𝑑𝑖

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑗=1

Oferta

Demanda


Capacidade D1 D2 D3

O1 C11/ x11 C12/ x12 C13/ x13 Soma D1 a D3

O2 C21/ x21 C22/ x22 C23/ x23 Soma D1 a D3

O3 C31/ x31 C32/ x32 C33/ x33 Soma D1 a D3

Demanda Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma D\Soma O

2012/2 Seção 11 10


ij ijMin Z c X 𝑥𝑖𝑗 = 𝑑𝑖

𝑛

𝑗=1

𝑓𝑖 = 𝑑𝑖

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑗=1

Oferta Demanda 𝑥𝑖𝑗 =< 𝑓𝑖

𝑛

𝑗=1

Fábrica

Centro Consumidor

Capacidade D1 D2 D3 D4(Dummy)

O1 C11/ x11 C12/ x12 C13/ x13 C14/ x14 Soma D1 a D4



Demanda Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma O1 a O3 Soma D\Soma O

Oferta >Demanda

2012/2 Seção 11 11


ij ijMin Z c X 𝑥𝑖𝑗 = 𝑓𝑖

𝑛

𝑗=1

𝑓𝑖 = 𝑑𝑖

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑗=1

Oferta Demanda 𝑥𝑖𝑗 =< 𝑑𝑖

𝑛

𝑗=1


Capacidade D1 D2 D3

O1 C11/ x21 C12/ x12 C13/ x13 Soma D1 a D3

O2 C21/ x21 C22/ x22 C23/ x23 Soma D1 a D3

O3 C31/ x31 C32/ x32 C33/ x33 Soma D1 a D3

O4(Dummy) C41/ x41 C42/ x42 C43/ x43 Soma D1 a D3

Demanda Soma O1 a D4 Soma O1 a D4 Soma O1 a D4 Soma D\Soma O

Demanda > Oferta

2012/2 Seção 11 12

Uma maneira de modelar as restrições de um problema de rede

é seguir a Regra Fluxo Balanceado para cada nó.

Nesta regra para cada nó da rede devemos estabelecer a

diferença entre as variáveis que estão chegando (entradas) ao

nó menos as variáveis que estão deixando o nó (saídas).

xij – é uma entrada para o nó j e é uma saída do nó i

O sinal da restrição varia com ofertas e demandas totais

O lado direito das restrições serão as ofertas ou demandas de

cada nó

Regra de Fluxo Balanceado Regra de Fluxo Balanceado

2012/2 Seção 11 13

Caso de Oferta Total = Demanda Total

Caso a Oferta Total > Demanda Total

Caso a Oferta Total < Demanda Total

Regra de Fluxo Balanceado Regra de Fluxo Balanceado

total de entradas total de saídas Oferta/Demanda - =

no nó no nó do nó

total de entradas total de saídas Oferta/Demanda -


total de entradas total de saídas Oferta/Demanda -


Regra do fluxo balanceado(Ragsdale, 2001)

2012/2 Seção 11 14

Caso LCL Motocicletas S.A. Caso LCL Motocicletas S.A.

A LCL Motocicletas S.A. possui 3 fábricas localizadas em Cuiabá, Santo

André e Florianópolis. A produção deve ser entregue em Recife, Salvador

e Fortaleza. Considerando os custos de transporte unitários, as

capacidades de produção das fábricas e as demandas dos centros

consumidores que estão especificados na tabela a seguir, determine

quanto deve ser produzido e entregue por cada fábrica em cada centro

consumidor de forma a minimizar os custos de transporte.

Centro Consumidor

Fábrica Recife Salvador Fortaleza Capacidade

Cuiabá 25 18 30 2000



Demanda 2000 3000 1000

2012/2 Seção 11 15

Caso LCL Motocicletas S.A. Variáveis de Decisão Caso LCL Motocicletas S.A. Variáveis de Decisão

Existem 9 variáveis para expressar a quantidade

transportada em cada uma das possíveis vias.

xij= Quantidade transportada da fábrica i para o centro

consumidor j.

Centro Consumidor

Fábrica

Recife

(4)

Salvador

(5)

Fortaleza

(6)

Cuiabá (1) x14 x15 x16

Santo André (2) x24 x25 x26

Florianópolis (3) x34 x35 x36

-

-

-

Florianópolis 3

Santo André 2

Cuiabá 1

i

-

-

-

Fortaleza 6

Salvador 5

Recife 4

j

2012/2 Seção 11 16

Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo Gráfico Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo Gráfico

25 Cuiabá

1

Sto.André

2

Florianópolis

3

Recife

4

Salvador

5

Fortaleza

6

18

30

32

24

25

23

16

23

[-2000]

[-2000]

[-1500]

[+2000]

[+3000]

[+1000]

2012/2 Seção 11 17

Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo Caso LCL Motocicletas S.A. Modelo

2012/2 Seção 11 18

Como a demanda total é maior que a oferta total

devemos utilizar a seguinte restrição em todos os nós:

total de entradas total de saídas Oferta/Demanda

- no nó no nó do nó

Caso LCL Motocicletas S.A. Caso LCL Motocicletas S.A.

2012/2 Seção 11 19

Caso LCL Motocicletas S.A. Parâmetros Caso LCL Motocicletas S.A. Parâmetros

2012/2 Seção 11 20

Caso LCL Motocicletas S.A. Solução Caso LCL Motocicletas S.A. Solução

2012/2 Seção 11 21

O problema de rede não é aplicado apenas a problemas de

distribuição de mercadorias das fábricas para centros

distribuidores;

O mesmo tipo de formulação pode ser aplicado a outros tipos

de problema, tais como:

Problemas de Escalas de Produção;

Problemas de Lay-out de fábricas;

Problema de Rede Aplicações Problema de Rede Aplicações

2012/2 Seção 11 22

A GLP Fórmula Turismo Ltda. fornece motores para equipes de fórmula turismo. A

companhia detém contratos de entregas futuras programadas para o próximo ano.

As entregas deverão ocorrer a cada quadrimestre. A tabela resume as entregas

programadas, a capacidade máxima de produção e o custo de produção por

quadrimestre incluindo o custo de armazenamento. Formule o problema para

achar o número de motores que devem ser fabricados em cada quadrimestre de

maneira a atender os pedidos contratados.

Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Caso LCL Fórmula Turismo Ltda.

Quadrimestre

Produção

Quadrimestre de Entrega milhões de Reais

1º (nó 4) 2º (nó 5) 3º (nó 6) Capacidade

1º (nó 1) 1,08 1,09 1,10 45

2º (nó 2) 1,08 1,09 35

3º (nó 3) 1,07 25

Demanda 30 40 30

2012/2 Seção 11 23

Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Representação Gráfica do Modelo Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Representação Gráfica do Modelo

1,08

Prod. Q1

1

Prod. Q2

2

Prod. Q3

3

Ent.Q1

4

Ent.Q2

5

Ent.Q3

6

1,09

1,10

[-45]

[-35]

[-25]

[+30]

[+40]

[+30]

1,08

1,09

1,07

2012/2 Seção 11 24

Como a oferta total é maior que a demanda total

devemos utilizar a seguinte restrição em todos os nós:

nó nó nóentradas - saidas oferta/demanda


2012/2 Seção 11 25


2012/2 Seção 11 26


2012/2 Seção 11 27

Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Solução Caso LCL Fórmula Turismo Ltda. Solução

2012/2 Seção 11 28

A LCL Fogões Ltda. deseja realizar o escalonamento de sua

produção para os próximos 3 meses. Sua fábrica pode produzir

mensalmente, em horário normal, 250 fogões a um custo de

R$35,00, e em horário extra, 50 unidades a um custo de

R$40,00. Considere que é possível armazenar durante um mês a

um custo unitário de R$5,00 sem restrições de espaço. Suponha

que as demandas para os próximos quatro meses são de 140,

200 e 130. Qual o escala de produção a ser seguida?

Caso LCL Fogões Ltda. Caso LCL Fogões Ltda.

2012/2 Seção 11 29

Para resolver este problema, criaremos uma rede onde:

Cada nó representará uma unidade produtora ou unidade receptora. São 6 unidades produtoras (2 por mês)

São 3 unidades receptoras (3 meses)

Cada arco está relacionado ao custo de produção e/ou armazenagem.


2012/2 Seção 11 30


[-250] 1

3

5

2

4

6

C

B [+200]

A 1

3

5

2 [-50]

4

6

9 [+130]

8

7 [ +140]

35

40

35

40

35

40

5

5

[-250]

[-50]

[-250]

[-50]

2012/2 Seção 11 31


2012/2 Seção 11 32

Como a oferta total é maior que a demanda total devemos

utilizar a seguinte restrição em todos os nós:



2012/2 Seção 11 33


2012/2 Seção 11 34


2012/2 Seção 11 35

A Automóveis Brasil terá duas fábricas no Brasil, uma em

Salvador (1) e outra em Santo.André (2), e está estudando a

forma de distribuição de seus carros para as diversas revendas

de Minas Gerais, nas cidades de Juiz de Fora (3), B.Horizonte (4),

Barbacena (5) e Tiradentes (6).

A seguir é apresentada a rede de revendas da Automóveis

Brasil, seus custos de transporte unitários, demandas das

revenda e as capacidades das fábricas.

Determine a forma como a entrega de veiculas deve ser

realizada pelas fabricas às revendas.

Caso Automóveis Brasil Caso Automóveis Brasil

2012/2 Seção 11 36


1

2

3

4

5

6

[-800]

[-600]

[+200]

[+300]

[+350]

40

20

20 25

25

35

40

10

10

10

15

[+450]

2012/2 Seção 11 37

Variáveis de Decisão xij – Quantidade de carros remetidos de i para j

Exemplo: x14 – Quantidade de carros remetidos de 1 para 4

Função-Objetivo = Minimizar o Custo de Distribuição


13 14 15 23 24 25 36

45 46 56 65

20 10 40 10 20 40 25

35 25 15 10

Min x x x x x x x

x x x x

2012/2 Seção 11 38

Como a oferta total é maior que a demanda total devemos

utilizar a seguinte restrição em todos os nós:



2012/2 Seção 11 39

Caso Automóveis Brasil Modelo Caso Automóveis Brasil Modelo

2012/2 Seção 11 40


2012/2 Seção 11 41


2012/2 Seção 11 42

Se considerarmos uma rede na qual o arco signifique a distância

entre dois pontos (nós) e desejarmos achar a rota que une estes

pontos com distância mínima, teremos um problema do tipo do

Menor caminho.

Este tipo de problema pode ser generalizado e aplicado a

distribuição de produtos, entre outros.

Problemas de Menor Caminho Problemas de Menor Caminho

2012/2 Seção 11 43

Problemas de Menor Caminho Problemas de Menor Caminho

2012/2 Seção 11 44

Considere a rede abaixo que representa a ligação rodoviária

entre duas cidades (A e B). O tamanho dos arcos representa a

distância entre pontos da malha rodoviária entre as cidades.

Problemas de Menor Caminho Exemplo Problemas de Menor Caminho Exemplo

A B

4

3

2

1

40

30

30

30

20 20

20

2012/2 Seção 11 45

Este problema pode ser visto como um problema de rede de

distribuição com um ponto de oferta de um caminhão (A=-1) e

ponto de demanda de um caminhão (B=+1) e os demais pontos

da malha sem demanda ou oferta (=0)


[-1] [+1] A B

4

3

2

1

40

30

30

30

20 20

20

2012/2 Seção 11 46


2012/2 Seção 11 47


2012/2 Seção 11 48

Problemas de Menor Caminho Solução Problemas de Menor Caminho Solução

2012/2 Seção 11 49

Nesse tipo de problema temos uma rede de nós e arcos, e

desejamos que o maior fluxo de uma grandeza possa fluir de um

determinado nó para outro.

Nesse tipo de problema mais de um caminho pode ser utilizado

simultaneamente.

Existem restrições de capacidades de fluxo nos arcos

Aplicações

Rede de distribuição de água, luz, óleo, gás, energia e

tráfego na internet, fluxos de carros em uma malha

rodoviária.

Problema do Fluxo Máximo Problema do Fluxo Máximo

2012/2 Seção 11 50

Problema do Fluxo Máximo - Aplicações Problema do Fluxo Máximo - Aplicações

Gás

Água

Energia

Internet

2012/2 Seção 11 51

Como resolver o problema?

Adicionar um arco artificial/virtual ligando o ponto de saída

(A) ao ponto de chegada (B).

Maximizar o fluxo no arco artificial criado (fluxo grande).

Utilizar a regra de balanceamento de redes.

As grandezas associadas aos arcos são o fluxo máximo em

cada trecho da rede, portanto restrições no modelo.

O Valor de Oferta/Demanda em cada nó é igual a zero.

Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo Problemas de Rede Problema do Fluxo Máximo

2012/2 Seção 11 52


A B

4

3

2

1

40

30

30

30

20 20

40

2012/2 Seção 11 53


2012/2 Seção 11 54


2012/2 Seção 11 55


2012/2 Seção 11 56

Livro Básico 1

Exercícios 5.1, 1 – 10, pp. 134 – 136

Exercícios 5.2, 1 – 10, pp. 152 – 153

Livro Básico 2

Problemas 5.1 – 5.31, pp. 263 - 269

Exercícios Propostos Exercícios Propostos

2013/1 Seção 11 57

Bibliografia

Lachtermacher, Gerson. Pesquisa Operacional na Tomada de Decisões. 4ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.

seção 11 - modelos em rede

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