UNIVERSIDADE ESTADUAL DO RIO DE JANEIRO

FACULDADE DE EDUCAÇÃO DA BAIXADA FLUMINENSE

CAMPO CONCEITUAL DE VERGNAUD:

UM ESTUDO SOBRE O CAMPO CONCEITUAL

MULTIPLICATIVO

NO 6° ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

SEBASTIÃO LIBERATO DUARTE DA SILVA

DUQUE DE CAXIAS

FEVEREIRO, 2009

SEBASTIÃO LIBERATO DUARTE DA SILVA

CAMPO CONCEITUAL DE VERGNAUD:

UM ESTUDO SOBRE O CAMPO CONCEITUAL

MULTIPLICATIVO

NO ENSINO FUNDAMENTAL

Dissertação apresentada como exigência

parcial para obtenção do grau de licenciado em

Matemática à Faculdade de Educação da

Baixada Fluminense, da Universidade do

Estado do Rio de Janeiro.

Orientadora: Maria Aparecida Ribeiro da Silva

Duque de Caxias

2009

AGRADECIMENTOS

RESUMO

O objetivo especifico desta monografia é uma pesquisa teórica abrangendo

a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud em relação ao campo multiplicativo,

estudando suas bases e características através de uma pesquisa empírica em

turmas de 6° Ano do Ensino Fundamental, onde o assunto referente a multiplicação e

divisão é bastante abordado através da introdução do conceito de conjuntos

numéricos e das operações numéricas. Será utilizado um questionário de perguntas

envolvendo assuntos sobre proporcionalidade, combinatória e organização

retangular da multiplicação para avaliar o nível dos alunos e para servir de referencial

para procedimentos posteriores.

SUMÁRIO

1 – INTRODUÇÃO ................................................................................................... 00

1.1 Tema ....................................................................................................... 00

1.2 Justificativas ............................................................................................ 00

1.3 Questões de Pesquisas .......................................................................... 00

1.4 Objetivos ................................................................................................. 00

1.5 Hipótese .................................................................................................. 00

1.6 Quadro Teórico ....................................................................................... 00

1.7 Metodologia ............................................................................................ 00

1.8 Cronograma ............................................................................................ 00

1.9 Bibliografia .............................................................................................. 00

CAPITULO 1: INTRODUÇÃO

1.1 Tema

A partir de pesquisa feita no 6° ano do Ensino Fundamental, observa-se a

dificuldade dos alunos na compreensão das resoluções de problemas ligados à

Multiplicação e à Divisão.

Com base na Teoria dos Campos Conceituais do psicólogo francês

Gerard Vergnaud, onde se tem um conjunto de situações cujo domínio progressivo

demanda numa variedade de esquemas e também num conjunto de conceitos que

contribuem com o domínio dessas situações, será analisado o campo conceitual

multiplicativo nestas séries e como seu ensino está sendo segregado dos demais

conteúdos da Matemática.

1.2 Justificativas

Visto que através da educação tradicional os alunos são estimulados a

resolver os problemas através de um cálculo isolado do seu contexto, fazendo com

que o aprendizado fique centrado apenas na operação necessária para aquela

resolução. Este trabalho propõe uma resolução baseada em justificativas que levem

o aluno a compreender e interpretar a situação proposta.

1.3 Objetivos

Visa investigar os meio de ensino e de aprendizagem do campo

multiplicativo e propor o desenvolvimento do ensino baseado nas estruturas

multiplicativas de modo a fazer com que o aluno compreenda a situação que lhe for

proposta.

1.4 Hipóteses

Demonstrar que a partir do estudo do campo multiplicativo, o aluno no

desenvolvimento de suas competências conseguirá resolver um problema usando os

esquemas adquiridos ou modificados, e por meio destes poderá relacionar com

outras situações do seu cotidiano.

CAPITULO 2: TEORIA DOS CAMPOS CONCEITUAIS

A Teoria dos Campos Conceituais é uma teoria desenvolvida pelo

psicólogo francês Gérard Vergnaud, discípulo de Piaget e diretor de pesquisa do

Centro Nacional de Pesquisa Científica (CNRS). As bases da Teoria dos Campos

Conceituais estão em Piaget, nos conceitos de adaptação, desequilibração, mas

principalmente no conceito de esquema, que Vergnaud considera a pedra angular

de sua teoria.

Para Piaget deve-se falar em interação sujeito-objeto, já para Vergnaud

deve-se falar em esquema-situação, pois para Vergnaud os esquemas se referem às

situações. Piaget Foi uns dos psicólogos que mais contribuiu para que a Lógica e a

Matemática pudessem ser tratadas como formas de organização da atividade

intelectual humana.

Contudo, apesar da Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud possuir

sua base em Piaget, ela se ocupa mais com o estudo do desenvolvimento do sujeito

em situação do que com concebe o desenvolvimento intelectual em um contínuo

processo de construção e reconstrução de esquemas. Vergnaud toma como

problema central da cognição a conceitualização, que para ele é o âmago do

desenvolvimento cognitivo, e a partir dessa premissa desenvolve uma teoria

psicológica onde se postula que o conhecimento encontra-se organizado em

campos conceituais, cujo domínio requer o manejo simultâneo de conceitos,

procedimentos e representações de natureza distinta.

A definição de conceito envolve três conjuntos que podem ser

representados por um tripleto de conjunto C = {S; I; R} onde S é o conjunto de

situações que lhes dão significado e é o referente do conceito; I é o conjunto de

invariantes que podem ser vistos como as propriedades distintivas do conceito e é o

significado de um conceito; e R é o conjunto de símbolos utilizados na

representação do conceito, que é o significante de um conceito. O conjunto de

situações S corresponde à realidade, os conjuntos de invariantes I e representações

R são considerados os aspectos do pensamento de um conceito, o significado e seu

significante.

Um conceito torna-se significativo através de uma variedade de situações.

São as situações que dão sentido ao conceito, não que sejam as situações a causa

do sentido, mas são as relações existentes entre o sujeito e as situações fazem com

que haja sentido.

Vergnaud considera duas idéias principais: a idéia de Variedade, onde

existe uma grande variedade de situações em um campo conceitual dado, para as

quais as variáveis de situações constituem um meio para gerar de modo sistemático

o conjunto de classes de situações. E a idéia de História, onde os conhecimentos

dos alunos são elaborados pelas situações que eles enfrentaram e dominaram

progressivamente, sobretudo pelas primeiras situações em que esses

conhecimentos foram constituídos.

O desenvolvimento cognitivo ocorre, quando o estudante é submetido a

distintas situações e as domina progressivamente. Assim, as situações propostas

são fundamentais no processo de aprendizagem. Existem duas classes de situação:

aquelas em que o sujeito já dispõe de esquemas necessários para resolvê-las; e

aquelas em que o sujeito não dispõe de todos os esquemas necessários para

resolvê-las, sendo necessário o teste de vários esquemas até encontrar, ou não, o

esquema apropriado para resolver aquela situação.

Piaget define esquema como estruturas mentais ou cognitivistas pelas

quais os indivíduos intelectualmente se adaptam e organizam o meio, ou seja, a

forma de organização tanto das habilidades sensório-motoras como das habilidades

intelectuais.

Para Vergnaud esquema é a forma estrutural da atividade, é a

organização invariante do sujeito ou do comportamento sobre uma classe de

situações dadas. Estas situações contêm conhecimentos em ação ou invariantes

operatórios – elementos cognitivos que fazem com que a ação do sujeito venha ser

operatória - que são implícitos e se designam por teoremas em ação e conceitos em

ação.

Teoremas em ação e conceitos em ação são, respectivamente,

proposições tidas como verdadeiras sobre o real e categorias de pensamentos tidas

como pertinentes. Entende-se que conceito em ação não é um verdadeiro conceito

científico e nem teorema em ação é um verdadeiro teorema cientifico, mas os dois

podem, ainda que de forma progressiva, se tornarem verdadeiros conceitos e

teoremas científicos.

Talvez a mudança conceitual leve algum tempo, pois entre os invariantes

que os sujeitos constroem ao interagir com o meio e os invariantes que constituem o

conhecimento cientifico há uma brecha. Podemos entender os invariantes como as

propriedades que definem o conceito e as situações como as propriedades que

amplificam o conceito.

Para entender melhor as definições de conceito, situação e invariante

operatório podemos imaginar um exemplo simples mencionado no texto abaixo:

Podemos ter um conceito de estações do ano definido

como as variações climáticas típicas de uma região em certas

épocas do ano. Esse conceito gera no Sul do Brasil, a divisão do ano

em quatro estações: primavera, verão, outono, inverno. No verão faz

calor; no inverno faz frio. Se mudarmos para o Nordeste, não

precisamos reformular nossa definição de estações do ano; as

estações do ano continuam sendo variações climáticas típicas de

certas épocas do ano em certas regiões. No entanto, no Nordeste, no

verão faz calor e no inverno também. A variação climática que

distingue o verão do inverno é a presença de chuva. Os invariantes

de nossa definição de estações do ano permanecem os mesmos; o

conceito de inverno muda, porque agora conhecemos novas

situações que dão significado à idéia de inverno... Em síntese,

embora os invariantes possam ser universais, os conceitos definidos

pelos mesmos invariantes não são idênticos, porque as diferenças

culturais que operam na criação de situações que dão significado aos

conceitos e na eleição de formas de representação resultam em

diferentes organizações conceituais. (SCHLIEMANN, Analúcia Dias.

Na Vida Dez, Na Escola Zero. 10 ed. São Paulo: Cortez, 1995).

Quando um indivíduo se depara com certa situação ele faz uso dos seus

esquemas, e consecutivamente de seus invariantes operatórios. Se o esquema

acessado se torna ineficaz diante da situação a experiência o leva mudar de um

esquema ineficaz para outro esquema eficaz, ou o leva a modificar o esquema

usado. Por isso Vergnaud toma o esquema como pedra fundamental de sua teoria,

pois o desenvolvimento cognitivo, do qual a conceitualização é o núcleo, consiste no

desenvolvimento de um vasto repertório de esquemas.

Vergnaud também toma como referencia Vygotsky, considerando também

o professor como mediador no processo do domínio de um campo conceitual por um

aluno. Para Vergnaud o papel do professor é levar o aluno a desenvolver seus

esquemas e suas representações, fazendo uso de símbolos para que o processo de

acomodação venha acontecer de melhor maneira, e principalmente prover situações

aos alunos para melhor significação de um conceito.

Tais situações devem sempre ser selecionadas dentro da zona de

desenvolvimento proximal do aluno, considerando também a importância da

interação social, da linguagem e da simbolização no progressivo domínio do campo

conceitual. O aluno que desenvolve seu repertório de esquemas e representações,

automaticamente também consegue enfrentar situações cada vez mais complexas.

Sendo assim, para que haja a construção de um conceito, primeiro tem

que haver a resolução de problemas, onde se entende que problema é uma situação

onde ocorre um desequilíbrio, ou seja, que exige uma solução não imediata, mas

para a qual dispomos de meios intelectuais de resolução. Em resumo tem-se que é

através das situações e diante de uma resolução de problema, que o aluno

desenvolve os conceitos necessários para alcançar o êxito em mais uma etapa.

Vergnaud chama de ―ilusão pedagógica‖ a atitude dos professores que

acreditam que o ensino está baseado somente na apresentação organizada da

matéria. A escola valoriza o conhecimento explicito e subestima o conhecimento

implícito, não levando em conta que a maior parte de nossa atividade mental e física

é construída de esquemas, que possuem os invariantes operatórios como

componentes essenciais e que são de caráter muitas vezes implícitos.

A escola precisa entender que não é porque o aluno é capaz de resolver

certa tarefa, que ele também será capaz de explicá-la. Os alunos muitas vezes

resolvem problemas usando conhecimentos em ação que até podem conduzi-los a

uma boa resposta diante de certa situação, mas que não funcionam para outras

situações que venham a ser diferentes daquelas que o aluno resolveu inicialmente.

É normal que o aluno continue usando conhecimentos implícitos ao mesmo tempo

em que vai se apropriando dos conhecimentos explícitos. Enquanto o campo

conceitual é dominado pelo aluno, o conhecimento implícito vai evoluindo para o

explicito, ao invés de ser substituído por ele.

Temos então que um campo conceitual é um conjunto de situações que

implica no domínio de vários conceitos, procedimentos e representações de

naturezas distintas. Um campo conceitual é um conjunto informal e heterogêneo de

problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de

pensamentos, conectados uns aos outros, e provavelmente entrelaçados durante o

processo de aquisição.

CAPITULO 3: CAMPO CONCEITUAL MULTIPLICATIVO E O PCN

Na Teoria dos Campos Conceituais Vergnaud diferencia campo aditivo de

campo multiplicativo. Em resumo temos no campo aditivo, a abordagem da adição e

da subtração e no campo multiplicativo, a abordagem da multiplicação e da divisão.

A teoria dos campos conceituais se coloca em contraposição ao ensino

convencional e esta teoria vem romper com o ensino tradicional. Um dos maiores

erros da escola é segregar a adição da subtração e a multiplicação da divisão e

também o campo aditivo do campo multiplicativo. O ensino do campo aditivo e do

campo multiplicativo pode se dar de forma paralela e não linear e as relações

existentes entre adição e multiplicação devem ser explicitadas. Como exemplos têm

que a composição e a decomposição de números servem de base para progressão

do aluno no campo multiplicativo, como vemos abaixo:

6 X 2 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 6 + 6 = 12

6 : 2 = 6 – 2 – 2 – 2 = 6 – 3 X 2 = 3

E também servem de base para a progressão do valor posicional e real

dos algarismos, como no exemplo de problema dado por Carvalho abaixo, onde de

uma situação inicial se derivam outras três situações possíveis no campo aditivo que

apresentam dificuldades diferentes:

1) Eu tinha cinco bolinhas de gude, ganhei quatro. Quantas bolinhas eu tenho

agora?

2) Pedro tinha cinco bolinhas de gude, ganhou quatro. Quantas bolinhas têm

agora?

3) João ganhou quatro bolinhas de gude, tem agora nove bolinhas. Quantas

bolinhas ele tinha antes de jogar?

4) Antônio tinha cinco bolinhas de gude, agora tem nove. Quantas bolinhas

Antônio ganhou no jogo?

Da mesma forma se dá no campo multiplicativo, desta vez usando um

exemplo tirado da revista Nova Escola:

1) 8 crianças levaram 16 refrigerantes o aniversário de Carolina. Se todas as

crianças levaram a mesma quantidade de bebida, quantas garrafas levaram

cada uma?

2) Numa festa foram levados 16 refrigerantes pelas crianças e cada uma delas

levou 2 garrafas. Quantas crianças havia?

3) 4 crianças levaram 8 refrigerantes à festa. Supondo que todas levaram o

mesmo úmero de garrafas, quantos refrigerantes haveria se 8 crianças

fossem a festa?

Vergnaud propõe em Matemática, o estudo de dois campos conceituais,

os de estrutura aditiva e os de estrutura multiplicativa.

Esta pesquisa se atém ao campo conceitual multiplicativo. Tendo em vista

que muitas escolas e professores não fazem uso das estruturas multiplicativas, tem

se como objetivo destacar os pontos principais desse campo conceitual com o

objetivo de melhorar o ensino de Matemática principalmente no conteúdo do 6º ano

do Ensino Fundamental.

Na definição do campo conceitual multiplicativo, Vergnaud o define como

o campo conceitual das estruturas multiplicativas em que se consistem todas as

situações que podem ser analisadas como problemas de proporções simples e

múltiplas para os quais geralmente é necessária uma multiplicação, uma divisão ou

uma combinação dessas operações. Entre tais conceitos estão o de função linear,

função não-linear, espaço vetorial, análise bidimensional, fração, razão, taxa,

número racional, multiplicação e divisão.

O domínio de um campo conceitual não ocorre em alguns meses e nem

mesmo anos, pois novos problemas e novas propriedades surgem no decorrer do

tempo e não podem ser contornados, mas sim superados na medida em que são

encontrados. Talvez seja pela complexidade do campo conceitual, que é decorrente

da necessidade de abarcar em uma única perspectiva teórica todo o

desenvolvimento de situações progressivamente dominadas, que muitos optam por

não usá-lo e outros até o desconhecem ele. Em relação ao uso das estruturas

multiplicativas na sala de aula, percebe-se que muitos professores não

compreendem realmente o que se busca com o uso do campo conceitual

multiplicativo. Por causa disso há a segregação da multiplicação e da divisão em

muitas escolas e por muitos professores, sendo estes assuntos tratados de formas

diferentes, enquanto ambos possuem características comuns.

Vergnaud propõe quatro classes que podem ser trabalhadas nas

estruturas multiplicativas: a comparação multiplicativa, a proporcionalidade simples,

a proporcionalidade simples composta e a proporcionalidade dupla (ou múltipla).

Comparação multiplicativa

Nesta categoria se encontram os problemas que utilizam uma única

grandeza. Exemplos:

João possui 30 bolinhas de gude e Pedro possui o dobro de João. Quantas

bolinhas de gude Pedro possui?

Uma camisa na loja A custa R$ 15,00 e na loja B custa R$ 37,50. Quantas

vezes mais a camisa custa na loja B do que na loja A?

Proporcionalidade simples

Nesta categoria encontram-se geralmente problemas que buscam a

quarta proporcional. São situações que podem ser representadas por uma tabela

numérica e estão associadas a uma função linear que conduz a multiplicação.

Exemplo:

Maria pagou R$ 20,00 por quatro blusas. Quanto custa cada blusa?

José comprou cinco pipas pagando R$ 0,50 por cada pipa. Quanto José

pagou pelas cinco pipas?

Proporcionalidade simples composta

Nesta categoria se definem duas relações de proporcionalidade simples e

a situação que leva a compor essas duas relações de proporcionalidade. Exemplo:

Um carro de fórmula 1 corre em uma pista de 15 Km. A média de velocidade a

cada volta é de 300 Km/h. Quantas voltas o piloto terá dado com seu carro

depois de 2 horas de corrida?

Um mercado comprou R$ 864,00 de leite integral saindo a R$ 1,20 cada

embalagem de leite. As embalagens vêm em fardos e em cada fardo vêm 12

embalagens de leite. Quantos fardos o mercado receberá?

Proporcionalidade dupla (ou múltipla)

São problemas que intervêm dois domínios de grandeza ou mais, que são

independentes tais que uma relação associa um par de medidas para cada

grandeza:

Uma churrascaria oferece três tipos de carne e cinco tipos de bebida. De quantas

formas se pode alimentar nesta churrascaria escolhendo um tipo de carne e um

tipo de bebida?

Um tabuleiro de bolo possui 15 cm de largura e 10 cm de comprimento. Qual é a

área desse tabuleiro?

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCN) também apontam a

resolução de problemas como uma forma de ensino-aprendizagem de Matemática.

Não para utilizar os problemas como forma de aplicação de conhecimentos

adquiridos anteriormente pelos alunos como muitas escolas e professores o tem

usado, mas sim como um conjunto de conceitos inter-relacionados que venha

permitir ao aluno resolver um conjunto de problemas. Este método de ensino-

aprendizagem é bem similar à proposta de ensino-aprendizagem de Vergnaud

através dos campos conceituais, que é um conjunto de situações cujo domínio

requer o domínio de vários conceitos, procedimentos e representações de naturezas

distintas. Isso fica bem claro nas definições e justificativas dadas pelo próprio PCN:

A resolução de problemas, na perspectiva indicada

pelos educadores matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar

conhecimentos e desenvolver a capacidade para gerenciar as

informações que estão a seu alcance. Assim, os alunos terão

oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos

e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que

têm dos problemas, da Matemática, do mundo em geral e

desenvolver sua autoconfiança.

A própria História da Matemática mostra que ela foi

construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes

origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática

(divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a

outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas

relacionados a investigações internas à própria Matemática.

A resolução de problemas, como eixo organizador do

processo de ensino e aprendizagem de Matemática, pode ser

resumida nos seguintes princípios:

A situação-problema é o ponto de partida da

atividade Matemática e não a definição. No processo de

ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos

matemáticos devem ser abordados mediante a

exploração de problemas, ou seja, de situações em que

os alunos precisem desenvolver algum tipo de

estratégia para resolvê-las;

O problema certamente não é um exercício em que

o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula

ou um processo operatório. Só há problema se o aluno

for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe

é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada;

Aproximações sucessivas de um conceito são

construídas para resolver certo tipo de problema; num

outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para

resolver outros, o que exige transferências, retificações,

rupturas, segundo um processo análogo ao que se

pode observar na História da Matemática;

Um conceito matemático se constrói articulado com

outros conceitos, por meio de uma série de retificações

e generalizações. Assim, pode-se afirmar que o aluno

constrói um campo de conceitos que toma sentido num

campo de problemas, e não um conceito isolado em

resposta a um problema particular;

A resolução de problemas não é uma atividade para ser

desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas

uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto

em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes

matemáticas. (PCN)

Com isto o PCN tem o propósito de que o aluno elabore procedimentos

para que aquele problema seja solucionado e confirme se realmente o procedimento

elaborado por ele seja valido para todo tipo de situação proposta por aquele

problema. Com este método a importância do método de resolução ocupa o lugar da

importância da resposta correta, pois agora o objetivo é que o aluno desenvolva

habilidades referentes àquela situação-problema.

Para o PCN a aprendizagem matemática está ligada à atribuição e

apreensão matemática, o aluno deve ser capaz de estabelecer conexões entre o

significado matemático e as demais áreas e temas que a Matemática aborda. O

ensino matemático baseado no PCN para o 3º ciclo deve destacar que as situações

de aprendizagem precisam estar centradas na construção de significados, na

elaboração de estratégias e na resolução de problemas.

No 3º ciclo o PCN indica que o ensino de Matemática deve visar o

desenvolvimento:

Do pensamento numérico, por meio da exploração de situações

de aprendizagem que levem o aluno a:

o Ampliar e construir novos significados para os

números – naturais, inteiros e racionais - a partir de sua

utilização no contexto social e da análise de alguns

problemas históricos que motivaram sua construção;

o Resolver situações-problema envolvendo números

naturais, inteiros, racionais e a partir delas ampliar e

construir novos significados da adição, subtração,

multiplicação, divisão, potenciação e radiciação;

o Identificar, interpretar e utilizar diferentes

representações dos números naturais, racionais e

inteiros, indicadas por diferentes notações, vinculando-

as aos contextos matemáticos e não-matemáticos;

o Selecionar e utilizar procedimentos de cálculo (exato

ou aproximado, mental ou escrito) em função da

situação-problema proposta.

Do pensamento algébrico, por meio da exploração de situações

de aprendizagem que levem o aluno a:

o Reconhecer que representações algébricas permitem

expressar generalizações sobre propriedades das

operações aritméticas, traduzir situações-problema e

favorecer as possíveis soluções;

o Traduzir informações contidas em tabelas e gráficos

em linguagem algébrica e vice-versa, generalizando

regularidades e identificar os significados das letras;

o Utilizar os conhecimentos sobre as operações

numéricas e suas propriedades para construir

estratégias de cálculo algébrico.

o Do pensamento geométrico, por meio da exploração

de situações de aprendizagem que levem o aluno a:

o Resolver situações-problema de localização e

deslocamento de pontos no espaço, reconhecendo nas

noções de direção 65 e sentido, de ângulo, de

paralelismo e de perpendicularismo elementos

fundamentais para a constituição de sistemas de

coordenadas cartesianas;

o Estabelecer relações entre figuras espaciais e suas

representações planas, envolvendo a observação das

figuras sob diferentes pontos de vista, construindo e

interpretando suas representações;

o Resolver situações-problema que envolva figuras

geométricas planas, utilizando procedimentos de

decomposição e composição, transformação,

ampliação e redução.

Da competência métrica, por meio da exploração de situações

de aprendizagem que levem o aluno a:

o Ampliar e construir noções de medida, pelo estudo

de diferentes grandezas, a partir de sua utilização no

contexto social e da análise de alguns dos problemas

históricos que motivaram sua construção;

o Resolver problemas que envolvam diferentes

grandezas, selecionando unidades de medida e

instrumentos adequados à precisão requerida.

Do raciocínio que envolva a proporcionalidade, por meio da

exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a:

o Observar a variação entre grandezas, estabelecendo

relação entre elas e construir estratégias de solução

para resolver situações que envolvam a

proporcionalidade.

Do raciocínio combinatório, estatístico e probabilístico, por meio

da exploração de situações de aprendizagem que levem o aluno a:

o Coletar, organizar e analisar informações, construir e

interpretar tabelas e gráficos, formular argumentos

convincentes, tendo por base a análise de dados

organizados em representações matemáticas diversas;

o Resolver situações-problema que envolva o raciocínio

combinatório e a determinação da probabilidade de

sucesso de um determinado evento por meio de uma

razão. (PCN)

Esta pesquisa tem por fim a análise da aplicação do campo multiplicativo

no 6º ano do Ensino Fundamental, que faz parte do 3º ciclo. E observando a

proposta do PCN para o ensino de Matemática para o 6º ano se percebe que o PCN

também indica o uso dos campos conceituais:

Conceitos como os de múltiplo e divisor de um número

natural ou o conceito de número primo podem ser abordados neste

ciclo como uma ampliação do campo multiplicativo, que já vinha

sendo construído nos ciclos anteriores, e não como assunto novo,

desvinculado dos demais. Além disso, é importante que tal

trabalho não se resuma à apresentação de diferentes técnicas ou

de dispositivos práticos que permitem ao aluno encontrar,

mecanicamente, o mínimo múltiplo comum e máximo divisor

comum sem compreender as situações-problema que esses

conceitos permitem resolver.

Os números inteiros podem surgir como uma ampliação

do campo aditivo, pela análise de diferentes situações em que esses

números estejam presentes. (PCN)

O PCN ainda indica a necessidade de trabalhar paralelamente a

multiplicação e a divisão para que se desenvolva uma compreensão mais ampla da

multiplicação, envolvendo os significados dessas operações ocorrem em situações

que ocorrem em situações dos tipos a seguir:

Associadas à comparação entre razões e que, portanto, envolvem

a idéia de proporcionalidade. Exemplo:

Se 8 metros de tela custam R$ 5, 80, quanto pagarei

por 16 metros de tela? (situação em que o aluno deve perceber

que comprará o dobro de tela e que deverá pagar — se não

houver desconto — o dobro de R$ 5, 80, não sendo necessário

achar o preço de 1 metro para depois calcular o de 16).

A partir das situações de proporcionalidade, é possível formular

outras que vão conferir significados à divisão, associadas às ações

repartir (igualmente) e ―determinar quanto cabe‖. Exemplos

associados ao primeiro problema:

Paguei R$ 11,60 por 4 metros de tela. Quanto custa

0,50 m dessa mesma tela? (Como 0,5 cabe 8 vezes em quatro, a

quantia em dinheiro será repartida igualmente em 8 partes e o que

se procura é o valor de uma parte, ou calcular quanto custa cada

metro e achar a metade).

Paguei R$ 11,60 por um rolo de tela cujo metro custa

R$ 2,90. Quantos metros de tela há no rolo? (Procura-se verificar

quantas vezes R$ 2,90 cabe em R$ 11,60 identifica-se a

quantidade de partes.)

Associadas ao produto de medidas. Exemplos:

Qual é a área em centímetros quadrados de um

retângulo cujos lados medem 6 cm e 9 cm?

Qual é o volume em centímetros cúbicos de uma caixa

em forma de paralelepípedo retângulo de 5 cm² de área da base e

8 cm de altura?

Associadas à idéia de combinatória. Exemplo:

Lancei dois dados: um vermelho e um azul. Quantos

resultados diferentes são possíveis encontrar?

A combinatória também está presente em situações relacionadas

com a divisão:

No decorrer de uma festa, foi possível formar 12 casais

diferentes para dançar. Se havia 3 moças e todas elas dançaram

com todos os rapazes, quantos eram os rapazes? (PCN)

Nota-se a familiaridade das definições do PCN com os conceitos do

campo multiplicativo, e com todos esses pontos abordados podemos então melhor

definir os conteúdos que devem ser abordados no 6º ano visando o ensino do

campo multiplicativo, classificando três conceitos do campo multiplicativo: a

proporcionalidade, a organização retangular (análise dimensional) e a

combinatória.

Proporcionalidade: O objetivo do aprendizado da proporcionalidade é

com que o aluno venha a perceber alguma regularidade entre elementos

de uma mesma tabela.

Organização retangular (análise dimensional): A partir de áreas e

medidas envolvendo situações geométricas o aluno não somente

aprende o conceito multiplicativo como também progride em geometria e

na percepção do espaço.

Combinatória: Muitas vezes esse conteúdo é restringido somente ao

Ensino Médio, mas seu ensino pode ser iniciado desde o 1º ou 2º ciclo.