schubert pfeil ronaldo carvalho battista rio de janeiro...

EDIFICAÇÕES FLEXÍVEIS SOB AÇÃO DINÂMICA DE VENTO TURBULENTO

Sander David Cardoso Júnior

Dissertação de Mestrado apresentada ao

Programa de Pós-graduação em Engenharia

Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio

de Janeiro, como parte dos requisitos necessários

à obtenção do título de Mestre em Engenharia

Civil.

Orientadores: Michèle Schubert Pfeil

Ronaldo Carvalho Battista

Rio de Janeiro

Junho de 2011



DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO

LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA

(COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE

DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE

EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL.

Examinada por:

RIO DE JANEIRO, RJ - BRASIL

JUNHO DE 2011

iii

Cardoso Júnior, Sander David

Edificações flexíveis sob ação dinâmica de vento

turbulento / Sander David Cardoso Júnior. – Rio de Janeiro:

UFRJ / COPPE, 2011.

XVI, 101 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Michele Schubert Pfeil


Dissertação (mestrado) – UFRJ/ COPPE/ Programa de

Engenharia Civil, 2011.

Referências Bibliográficas: p. 99-101.

1. Engenharia do vento. 2. Turbulência. 3. Estruturas

flexíveis. I. Pfeil, Michèle Schubert. et al. II. Universidade

Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de

Engenharia Civil. III. Título.

iv

Ao meu filho João Pedro

v

AGRADECIMENTOS

Ao meu filho João Pedro, por existir na minha vida e a quem dedico não só este

trabalho, mas todas as conquistas de minha vida.

Aos meus pais, pelo amor incondicional, carinho, dedicação e pela formação do

meu caráter.

Aos meus irmãos Bruno, Mishely e, em especial, Alicia, e a minha afilhada

Júlia, pelo companheirismo e amizade que só existem em uma família.

À minha professora, orientadora e amiga Michèle Pfeil, pelo apoio, incentivo e

compreensão durante todo o mestrado. Sou grato por toda ajuda e ensinamentos,

fundamentais para concretização deste trabalho.

Aos professores Ronaldo Battista e Eliane Carvalho, pelo convívio e

ensinamentos passados nas disciplinas cursadas na pós-graduação.

Aos meus eternos professores Paulo Miana e Miguel Pimenta, pelos anos de

convívio, aprendizagem e verdadeira amizade durante minha graduação e trabalho na

Universidade Federal de Juiz de Fora.

Ao CNPQ pelo apoio financeiro recebido durante o período de março de 2009 a

março de 2011.

vi

Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos

necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.)



junho/2010

Orientadores: Michele Schubert Pfeil


Programa: Engenharia Civil

Estruturas flexíveis e pouco amortecidas são, geralmente, susceptíveis aos

efeitos dinâmicos causados pela turbulência do vento originado de ciclones

extratropicais. Esses efeitos podem resultar em respostas muito maiores do que aquelas

decorrentes de uma análise estática da estrutura sob ação de forças extremas. Para

considerar a resposta dinâmica de estruturas, as normas de projetos adotam modelos

para o cálculo manual. Esses modelos são baseados no método de Davenport e

formulados a partir da solução modal no domínio da frequência. Os objetivos principais

desta dissertação são: (i) realizar um estudo comparativo entre alguns desses métodos,

além de desenvolver soluções nos domínios do tempo e da frequência; (ii) Elaborar um

programa computacional e propor sua utilização no método discreto adotado pela norma

brasileira NBR 6123/1988 (“Forças devido ao vento em edificações”). Apresentam-se

soluções, em termos de deslocamento na direção principal do vento, para três exemplos

de estruturas flexíveis considerando o modo fundamental de vibração. Em geral os

resultados obtidos pelos diversos métodos mostraram boa correlação.

vii

Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the

requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.)

ALONG-WIND RESPONSE OF FLEXIBLE TALL STRUCTURES


June/2010

Advisors: Michele Schubert Pfeil


Department: Civil Engineering

Flexible and low-damped structures are particularly affected by the dynamic

effects originated from the wind turbulence caused by EPS storms. These effects may

result in much larger responses than those obtained from static analysis of the structure

under extreme loads. To consider the dynamic analysis of the structures, some design

codes present simple models allowing manual evaluation. These models are based on

Davenport’s method which is formulated on the basis of a frequency domain modal

solution. The main goals of this work are: (i) the comparison of some of these

procedures, as well as the development of time and frequency domain solutions; (ii) the

implementation of a computer code and its application to the discrete model adopted by

the Brazilian Code NBR6123/1988 (“Wind forces on buildings”). Three flexible

structures are discussed here and the along-wind displacement responses are presented

considering the fundamental vibration mode. The obtained results using the different

methods showed good agreement.

viii

SUMÁRIO

Capítulo 1 Introdução ................................................................................................. 1

1.1 Cenário do tema ................................................................................................. 1

1.2 Objetivos e Metodologia .................................................................................... 7

1.3 Apresentação da dissertação .............................................................................. 8

Capítulo 2 Caracterização de ventos fortes............................................................... 9

2.1 Tipos de fenômenos ........................................................................................... 9

2.1.1 Fenômenos de macroescala ........................................................................ 9

2.1.2 Fenômenos de microescala e mesoescala ................................................. 11

2.2 Descrição física e modelagem matemática de ciclones extratropicais ............ 11

2.2.1 Características gerais ................................................................................ 12

2.2.2 Descrição matemática do vento turbulento .............................................. 13

2.2.3 Perfil vertical de velocidade média U ..................................................... 14

2.2.4 Intensidade de turbulência ........................................................................ 16

2.2.5 Espectro de turbulência ............................................................................ 17

2.2.6 Espectro cruzado de turbulência ............................................................... 20

2.2.7 Geração numérica de histórias de turbulência .......................................... 23

Capítulo 3 Análise dinâmica de estruturas submetidas ao vento turbulento ...... 25

3.1 Formulação do problema dinâmico ................................................................. 25

3.2 Forças devidas à ação dinâmica do vento ........................................................ 28

3.2.1 Força resultante em estruturas de pequenas dimensões............................ 28

3.2.2 Estruturas alargadas e/ ou alteadas ........................................................... 30

3.3 Solução do sistema de equações diferenciais de equilíbrio ............................. 32

3.3.1 Solução modal no domínio do tempo ....................................................... 33

3.3.2 Modelo de Davenport – Fator de rajada ................................................... 35

3.3.3 Solução modal no domínio da frequência ................................................ 40

3.3.4 Processo: Eurocode procedimento 1 ........................................................ 43

3.3.5 Processo: Dyrbye e Hansen ...................................................................... 44

3.3.6 Modelo discreto – NBR 6123 ................................................................... 46

Capítulo 4 Exemplos numéricos ............................................................................... 52

4.1 Torre de reservatório de água .......................................................................... 52

4.1.1 Análise estática da torre de reservatório (item 4 da NBR 6123) .............. 53

4.1.2 Análise dinâmica da torre de reservatório ................................................ 54

4.1.3 Resultados da torre de reservatório .......................................................... 61

4.2 Chaminé ........................................................................................................... 62

4.2.1 Análise estática da chaminé (item 4 da NBR 6123) ................................. 64

4.2.2 Análise dinâmica da chaminé ................................................................... 66

4.2.3 Resultados da chaminé ............................................................................. 75

4.3 Edifício de concreto armado ............................................................................ 78

4.3.1 Componente média de velocidade ( )U .................................................... 81

ix

4.3.2 Componente flutuante de velocidade ( )u : Domínio da frequência ......... 82

4.3.3 Componente flutuante de velocidade ( )u : Eurocode – Procedimento 1 . 84

4.3.4 Componente flutuante de velocidade ( )u : Dyrbye e Hansen .................. 85

4.3.5 Componente flutuante de velocidade ( )u : Modelo discreto .................... 87

4.3.6 Resultados do edifício .............................................................................. 88

Capítulo 5 Programa computacional F-TURB ....................................................... 90

5.1 Apresentação e utilização do programa F-Turb ............................................... 91

5.2 Resultados numéricos obtidos com o programa F-Turb .................................. 93

5.2.1 Exemplo do reservatório de água utilizando o programa F-Turb ............. 93

5.2.2 Exemplo da chaminé utilizando o programa F-Turb ................................ 94

5.2.3 Exemplo do edifício utilizando o programa F-Turb ................................. 95

Capítulo 6 Considerações finais ............................................................................... 97

Referências bibliográficas ............................................................................................ 99

x

Lista de Figuras

Figura 1.1: (a) Força devido ao vento; Resposta típica de estruturas com altas frequências naturais no domínio do tempo (b) e no domínio da frequência (c). .............. 2

Figura 1.2: (a) Força devido ao vento; Resposta típica de estruturas com baixas frequências naturais no domínio do tempo (b) e no domínio da frequência (c). .............. 3

Figura 1.3: Ilustração do método de Davenport (adaptado de Davenport, 1967). ........... 5

Figura 1.4: Função densidade espectral de resposta e área para cálculo da variância da resposta (adaptado de Davenport, 1967). ......................................................................... 5

Figura 2.1: Registro de um anemógrafo durante a passagem de um ciclone extra-tropical (Holmes, 2007)......................................................................................... 10

Figura 2.2: Geração da turbulência. em ventos de camada limite atmosférica. ............. 12

Figura 2.3: Registros de velocidade em três alturas diferentes (Dyrbye & Hansen, 1997). ............................................................................................. 13

Figura 2.4: Perfis verticais de velocidade média para terreno com

categoria de rugosidade III. O comprimento de rugosidade 0 0,2z m=

na equação 3.3 e o expoente na equação 3.1. ............................................... 15

Figura 2.5: intensidade de turbulência para diferentes categorias de terreno. ................ 17

Figura 2.6: Espectros de Von Kármán, Kaimal, ESDU e Harris em escala semi-

logarítmica para um terreno de categoria III, 0 0,2 z m= , e ( )10 30U m s= .

........................................................................................................................................ 20

Figura 2.7: Espectros Von Karman em escala semi-logarítmica para um terreno com

categoria de rugosidade III, 0 0,2z m= , velocidade ( )10 30U m s= . ........................... 20

Figura 2.8: Co-espectro normalizado considerando 2yC π= e 240 L m= . .................. 23

Figura 3.1: Admitância aerodinâmica (Blessmann,1998). ............................................. 31

Figura 3.2: Resposta da estrutura em função do tempo. ................................................. 33

Figura 3.3: (a) estrutura discretizada em n nós; (b) forma modal j. ............................... 34

Figura 3.4: Sistema massa-mola-amortecedor. .............................................................. 35

Figura 3.5: Densidade espectral da resposta típica de uma estrutura, destacando as parcelas ressonante R e não ressonante B da variância da resposta................................ 38

Figura 3.6: Altura de referência. ..................................................................................... 44

Figura 3.7: Coeficiente de amplificação dinâmica, ξ , para terreno de categoria I (

1800 L m= ; h em metros). 49

Figura 3.8: Coeficiente de amplificação dinâmica, ξ , para terreno de categoria II (

1800 L m= ; h em metros). 49

Figura 3.9: Coeficiente de amplificação dinâmica, ξ , para terreno de categoria III (

1800 L m= ; h em metros). 50

Figura 3.10: Coeficiente de amplificação dinâmica, ξ , para terreno de categoria IV (

1800 L m= ; h em metros). 50

Figura 3.11: Coeficiente de amplificação dinâmica, ξ , para terreno de categoria V (

1800 L m= ; h em metros). 51

0,185p =

100 z m=

xi

Figura 4.1: Perspectiva e planta da torre de reservatório de água. ................................. 52

Figura 4.2: História da velocidade de turbulência ( )30,5 z m= . ................................... 55

Figura 4.3: Densidade espectral do sinal de flutuação da figura 4.2 e função densidade espectral de flutuação de Harris...................................................................................... 56

Figura 4.4: História da força dinâmica a 30,5 metros de altura (somente parcela flutuante). ........................................................................................... 56

Figura 4.5: Deslocamento na torre ( )30,5 z m= . ........................................................... 57

Figura 4.6: Densidade espectral do deslocamento na torre ( )30,5 z m= . ...................... 57

Figura 4.7: Densidade espectral da ação dinâmica em escala logarítmica. .................... 58

Figura 4.8: Função de admitância mecânica da estrutura em escala logarítmica. .......... 59

Figura 4.9: Densidade espectral da resposta em escala logarítmica. .............................. 59

Figura 4.10: Densidade espectral da resposta para solução no domínio do tempo e da frequência. ........................................................................... 60

Figura 4.11: (a) Elevação da chaminé; (b) Modelo da chaminé. .................................... 63

Figura 4.12: Espectros Harris em escala logarítmica. .................................................... 68

Figura 4.13: Função de admitância mecânica da estrutura em escala logarítmica. ........ 68

Figura 4.14: Espectro de reposta da estrutura em escala logarítmica. ............................ 68

Figura 4.15: determinação gráfica de ξ . ........................................................................ 74

Figura 4.16: Planta de forma do pavimento tipo do edifício. ......................................... 79

Figura 4.17: Perspectiva do edifício. .............................................................................. 79

Figura 4.18: Vista frontal e pórtico plano para o edifício. ............................................. 80

Figura 4.19: Densidade espectral da resposta para solução no domínio do tempo e da frequência. ........................................................................... 83

Figura 5.1: Janela principal do programa F-Turb e seu conteúdo. ................................. 91

Figura 5.2: Esquema para o modelo discreto. ................................................................ 91

xii

Lista de Tabelas

Tabela 2.1: Parâmetros de rugosidade para as categorias de I a V da NBR6123 (Blessmann, 1995). ......................................................................................................... 16

Tabela 3.1: Parâmetros G para diferentes formas modais. ........................................... 45

Tabela 4.1: Resultados do deslocamento máximo provável para a torre de reservatório. ........................................................................................................................................ 62

Tabela 4.2: Características geométricas da chaminé. ..................................................... 63

Tabela 4.3: Dados associados aos nós do modelo adotado. 1φ é o autovalor associado ao

primeiro modo de flexão; im é a massa concentrada no nó i; i

A e iCa são,

respectivamente a área exposta e o coeficiente de arrasto correspondente ao nó i. ....... 64

Tabela 4.4: forças estáticas devido ao vento. ................................................................. 65

Tabela 4.5: Resultados para a componente média de velocidade de projeto. ................ 67

Tabela 4.6: Resultados para forças equivalentes dinâmicas atuantes na chaminé. ........ 75

Tabela 4.7: Resultados da análise dinâmica da chaminé: com Categoria III ( 0,185p =

para lei potencial e 0 0,2 z m= para lei logarítmica), 0 40U m s= . ............................ 76

Tabela 4.8: Resultados para solução no domínio da frequência com espectro ESDU (com L(z) dado pela equação 2.14) e com diferentes funções para o co-espectro normalizado de velocidade de vento e para o processo de Dyrbye & Hansen. .............. 78



A e iCa são,

respectivamente a área de exposição e o coeficiente de arrasto correspondente ao nó i. 80

Tabela 4.10: Resultados para a componente média de velocidade de projeto. .............. 81

Tabela 4.11: Resultados para forças equivalentes dinâmicas atuantes no edifício. ....... 88

Tabela 4.12: Resultados da análise dinâmica do edifício: 0 0,2 z m= e 25U m s= . . 89

Tabela 5.1: Forças equivalentes dinâmicas obtidas com o programa F-Turb para o exemplo da chaminé (item 4.2). ..................................................................................... 94

Tabela 5.2: Forças equivalentes dinâmicas obtidas com o programa F-Turb para o exemplo do edifício (item 4.3). ...................................................................................... 95

xiii

Lista de Símbolos

Letras romanas maiúsculas:

eA - área frontal efetiva;

( )A t - vetor de amplitude dos autovetores;

B - fator de resposta não ressonante (background);

C - matriz de amortecimento da estrutura;

C - matriz que aplica a correlação espacial;

Ca - coeficiente de arrasto;

rC - coeficiente de decaimento das pressões;

yC e

zC - coeficientes de decaimento;

( )F t - ação devido à velocidade de vento;

( )F z - ação média ou estática devido à velocidade de vento;

( )ˆ , , ,F x y z t - ação dinâmica correspondente a velocidade de vento;

G - fator de rajada para resposta;

( )

2H f - função de admitância mecânica;

uI , vI e

wI - intensidade de turbulência respectivamente nas direções x, y, z;

K - matriz de rigidez da estrutura;

( )1L z e ( )L z - comprimento de escala de turbulência;

L - constantes do espectro de Harris;

M - matriz de massa da estrutura;

( )jN t - é um processo aleatório de média igual a zero e variância unitária;

R - fator de resposta ressonante;

hR e b

R - fatores de admitância aerodinâmica;

uS - densidade espectral das componentes flutuantes de velocidade de vento u;

FS - densidade espectral da força flutuante;

( )xS f - densidade espectral do deslocamento;

,ui ujS - densidade espectral cruzada de turbulência;

U - velocidade do vento;

U - velocidade média do vento;

xiv

( )U z - velocidade média correspondente a uma altura z sobre o terreno;

refU - velocidade média tomada em uma altura de referência, 10refz m= ;

0U - velocidade básica, que corresponde à velocidade de uma rajada 3 segundos,

excedida na média uma vez em 50 anos, a 10 metros acima do terreno, em

campo aberto e plano (categoria II) da NBR613.

( )10min, 1 3 0 1 310 0,69p IIU U S S U S S= = - velocidade de projeto, é a velocidade

média em 10 minutos, a 10 metros de altura referido à categoria II da NBR613.

( )ɺɺX t , ( )ɺX t e ( )X t , respectivamente os vetores de aceleração, velocidade e

deslocamento;

relU - velocidade do vento em relação à estrutura;

1X , 1Y - frequências admensionais.

Letras romanas minúsculas:

( )ja t - amplitude do modo j de frequência associada jω ;

b - parâmetro meteorológico para mudança de categoria de rugosidade

(NBR6123);

b - largura da edificação ou estrutura;

asc - coeficiente de arrasto superficial;

Lf - frequências admensionais;

rf - frequência natural correspondente ao modo r de vibração;

g - fator de pico;

h - altura da edificação ou estrutura;

refh - altura de referência;

g - fator de pico;

k - constante de Von Kármán;

jk - rigidez modal;

jm - massa modal;

0n - frequência representativa para a rajada em estruturas rígidas,

p - expoente da lei potencial do perfil de velocidade média do vento;

p - ordem da autoregressão;

jp - é a força modal;

xv

( )ur h t∆ - coeficiente de autocovariância;

*u - velocidade cisalhante;

, comprimento de rugosidade;

maxx e maxy , deslocamento máximo esperado;

maxx e maxy , deslocamento máximo flutuante;

x e y , deslocamento estático ou médio;

x e y , deslocamento dinâmico.

Letras romanas gregas:

α - coeficiente de proporcionalidade entre o amortecimento e a massa;

δ - altura da camada limite, denominada altura gradiente;

rδ - decremento logarítmico de amortecimento;

aerζ - razão de amortecimento aerodinâmico;

estζ - razão de amortecimento estrutural;

rζ - razão de amortecimento crítico;

kφ e Nuσ - parâmetros adotados na autoregressão;

ρ , massa específica do ar;

xσ e yσ - desvio padrão do deslocamento flutuante;

2xσ e 2

yσ - variância do deslocamento flutuante;

uσ , vσ e

wσ - desvio padrão das flutuações de velocidade de vento

respectivamente nas direções x, y, z;

2,uj ui

σ - variância da densidade espectral cruzada de turbulência;

deslocamento nodais;

ΦΦΦΦ , matriz dos autovetores;

jφ - autovetor do modo de vibração j ;

v - frequência efetiva da resposta;

0τ - tensão cisalhante;

uψ - função de co-espectro normalizado;

pψ - co-espectro normalizado das pressões;

0z

1

Capítulo 1

Introdução

1.1 Cenário do tema

Uma das causas da resposta dinâmica de estruturas à ação do vento é a natureza

flutuante da velocidade do vento originado de diferentes tipos de tormentas. Nos

ciclones extratropicais os ventos (também chamados de ventos de camada limite

atmosférica) são “bem comportados”, mantendo sua direção e propriedades estatísticas

relativamente constantes por até várias horas. Estes são os ventos tradicionalmente

considerados nas normas de projetos de estruturas.

As estruturas podem, ainda, apresentar resposta dinâmica devido à ressonância

com o desprendimento cadenciado de vórtices e devido à instabilidade aerodinâmica.

Ambos os fenômenos ocorrendo principalmente sob a ação de vento suave i.e., com

baixa turbulência (Blessmann, 1998).

O presente trabalho focaliza a resposta dinâmica de estruturas originada da

turbulência dos ventos em ciclones extratropicais.

Podem-se distinguir dois tipos de respostas estruturais decorrentes da ação do

vento e sua natureza flutuante caracterizada por maiores amplitudes em baixas

frequências:

a) As estruturas caracterizadas por altas frequências naturais, associadas aos modos

fundamentais de vibração e por altas taxas de amortecimento apresentam

comportamento quase-estático diante da ação de vento, i.e., as respostas apenas

dependem dos valores instantâneos da ação. Este tipo de resposta está ilustrado

nos domínios do tempo e da frequência na Figura 1.1;

b) Nas estruturas com frequência fundamental baixa e cujas correspondentes taxas

de amortecimento são também baixas a resposta é dinâmica já que há

ressonância entre as frequências da excitação e da estrutura, conforme ilustrado

na Figura 1.2.

2

Observa-se nas Figuras. 1.1 e 1.2 que a resposta da estrutura tipo (a) é quase-

estática enquanto que a resposta da estrutura tipo (b) apresenta as parcelas ressonante e

sub- ressonante. Em geral, considera-se que as estruturas que apresentem frequências

fundamentais acima de 1 Hz não ficam sujeitas à ação dinâmica do vento, contudo isto

também depende das taxas de amortecimento estrutural (originadas dos materiais

constituintes da estrutura e do atrito nas ligações) e aerodinâmico (ver item 3.3.1).

Tradicionalmente, as normas de projeto de estruturas consideram a ação

dinâmica do vento turbulento através do método de fator de rajada proposto por

Davenport (1961). De acordo com este método, a resposta estática da estrutura à ação

do vento com velocidade constante é multiplicada pelo fator de rajada para considerar

as flutuações devidas à turbulência. Davenport aplicou conceitos estatísticos de um

processo aleatório estacionário à velocidade de vento para determinar seu valor de pico,

admitindo distribuição de probabilidades de Gauss. As flutuações da velocidade de

vento, em torno do valor médio, são descritas pela função de densidade espectral ou

simplesmente espectro de velocidade. A partir dessa descrição chega-se às forças

atuantes na estrutura e finalmente à resposta em termos de deslocamento.

(a)

(c)

(b)

Figura 1.1: (a) Força devido ao vento; Resposta típica de estruturas com altas

frequências naturais no domínio do tempo (b) e no domínio da frequência (c).

forç

a de

ven

to

tempo

dens

idad

e es

pectra

l da

resp

osta

frequência

resp

osta

tempo

3

(a)

(c)

(b)

Figura 1.2: (a) Força devido ao vento; Resposta típica de estruturas com baixas

frequências naturais no domínio do tempo (b) e no domínio da frequência (c).

A Figura 1.3 (Davenport, 1967) resume os principais conceitos do método. Na

primeira linha da figura, os principais elementos do método (velocidade de vento, forças

de vento e resposta da estrutura) são mostrados no domínio do tempo. Na segunda linha,

estes elementos estão descritos no domínio da frequência, e, na terceira linha têm-se as

respectivas distribuições de probabilidade. No domínio da frequência a determinação

do espectro da força, a partir do espectro de velocidade de vento, envolve a chamada

função de admitância aerodinâmica, que considera as características espaciais da

turbulência e sua organização em torno da estrutura (correlação espacial). Esta função

foi determinada por ajuste a resultados experimentais (Vickery, 1965). O espectro da

resposta em deslocamento é obtido por meio da função de admitância mecânica ou

função de resposta em frequência. O desvio padrão do deslocamento flutuante yσ é

obtido a partir do espectro de deslocamentos e multiplicado pelo fator de pico g. Assim,

chega-se à estimativa do valor máximo de deslocamento flutuante que somado ao

estático y fornece o máximo deslocamento total.

ygyy σ+=max (1.1)

forç

a de

ven

to

tempo

dens

idad

e es

pectra

l da

resp

osta

frequência resp

osta

tempo

4

O fator de rajada para resposta G é definido como a razão entre a resposta

máxima esperada (em termos de deslocamentos ou esforços) em certo intervalo de

tempo (em geral igual a 10 minutos) e a resposta média neste mesmo intervalo.

yg

y

yG

yσ+== 1max (1.2)

O desvio padrão da resposta flutuante yσ é a raiz quadrada da variância 2yσ , que

é igual à área sob o gráfico da função de densidade espectral de resposta (último gráfico

da segunda linha da Figura 1.3). Esta área é convenientemente calculada em duas

parcelas conforme ilustra a Figura 1.4: parcelas sub-ressonante e ressonante

correspondentes às áreas A2 e A1, respectivamente. Como a resposta na região sub-

ressonante é quase-estática, a área A2 é calculada a partir da integral do espectro da

própria força de vento. Enquanto que a área A1 é calculada a partir da magnitude do

espectro de resposta na frequência fr de ressonância. Dessa forma, o fator de rajada para

resposta pode ser escrito na forma:

RBU

gG u ++=σ

21 (1.3)

onde uσ é o desvio padrão das flutuações de velocidade de vento, U é a velocidade

média e B e R correspondem, respectivamente, às parcelas sub-ressonante (background)

e ressonante da resposta.

O método foi inicialmente formulado (Davenport, 1961) para uma estrutura

representada por um modelo discreto de um grau de liberdade (sistema massa – mola –

amortecedor). Por exemplo, uma estrutura formada por uma massa concentrada no topo

de uma coluna ou torre leve, tal como uma torre para reservatório de água.

Posteriormente, o método foi estendido para incluir a influência da forma modal

associada ao modo fundamental de vibração da estrutura (Davenport, 1967).

5

Figura 1.3: Ilustração do método de Davenport (adaptado de Davenport, 1967).

Figura 1.4: Função densidade espectral de resposta e área para cálculo da variância da

resposta (adaptado de Davenport, 1967).

velocidade força resposta

espectro de flutuações de velocidade

admitância aerodinâmica

espectro da força de vento

admitância mecânica

espectro de resposta

tempo

frequência (escala log.)

densidade de probabilidade

espectro de resposta

espectro da força

área = A1

frequência (escala log)

área = A2

densidade espectral

fr

6

A equação de G apresentada na forma da equação 1.3, ou em outros formatos

alternativos, é adotada nas normas de projeto para estimativas através de cálculos

manuais da resposta de estruturas flexíveis devida ao vento turbulento. O procedimento

usual é calcular G com base nas características do modo fundamental de vibração,

admitindo-se a forma modal aproximada por funções das coordenadas z vertical e y

lateral. Para se obter todos os tipos de respostas (diagramas de momentos fletores,

deslocamento, etc), aplica-se G à distribuição de forças de vento calculada para o valor

médio U da velocidade.

Apesar de o fator G ter sido definido como a razão entre uma resposta extrema

esperada e a correspondente resposta média, ele foi de fato formulado e calculado com

base na amplitude do modo fundamental de vibração. A sua utilização para

determinação de outros tipos de respostas é, portanto, um procedimento aproximado.

Diversos autores (Holmes, 1994; Vickery, 1995 apud Holmes, 2007; Zhou et al., 1999

apud Kareem & Zhou, 2003) observaram que, apesar de fornecer resultados com boa

aproximação para algumas estruturas e respostas como, por exemplo, o momento fletor

na base de edifícios altos, este procedimento fornece resultados menos aproximados

para outras respostas ou tipos estruturais.

Para superar esta limitação, o método foi revisado por diversos autores (Loredo-

Souza, 1996 apud Loredo-Souza et al., 2005; Dyrbye & Hansen, 1997; Holmes, 2007)

utilizando o conceito de linhas de influência, usualmente adotado em projetos de

estruturas sujeitas a cargas móveis, como por exemplo em pontes. A resposta total deve

ser calculada adicionando a contribuição dos modos de vibração em que há resposta

ressonante.

A norma brasileira, NBR 6123 (1988), apresenta em seu item 9 dois

procedimentos para determinação dos efeitos dinâmicos devidos à turbulência

atmosférica, denominados modelo contínuo simplificado e modelo discreto. O primeiro

aplica-se a edificações de seção constante e distribuição de massa aproximadamente

constante, nos quais podem ser atribuídas funções para definir a forma modal do

primeiro modo de vibração. No modelo discreto, a edificação é representada por um

modelo numérico para o qual se obtém as formas modais discretizadas e as

correspondentes frequências naturais de vibração. O método basicamente consiste em

determinar um vetor de forças a ser aplicado estaticamente à estrutura, de modo que

7

resulte nas solicitações e deslocamentos máximos esperados. Este vetor tem duas

parcelas, sendo a primeira resultante da ação do vento com velocidade média e a outra

correspondente às ações dinâmicas. O valor de pico do deslocamento é obtido com o

fator g como na equação 1.1.

Diferentemente do método de Davenport, o cálculo da área sob o espectro de

resposta modal não é obtido conforme ilustra a Figura 1.4 e sim por integração

numérica admitindo uma forma modal linear ao longo da altura (Galindez, 1979). O

método é aplicado com auxílio de gráficos para diferentes categorias de rugosidade de

terreno.

1.2 Objetivos e Metodologia

Os objetivos deste trabalho são os seguintes:

• Realizar um estudo comparativo entre diferentes métodos para determinação da

resposta máxima em termos de deslocamentos de estruturas alteadas sob ação de

vento originado de ciclones extra-tropicais;

• Propor a utilização do modelo discreto da NBR 6123 (1988) através de um

programa computacional, baseado na solução modal exata no domínio da

frequência, que forneça diretamente o vetor de forças a ser aplicado

estaticamente na estrutura, de modo a reproduzir o máximo deslocamento

esperado; elaborar o programa.

Para alcançar estes objetivos, três exemplos de estruturas foram analisados sob

ação de vento nos domínios do tempo e da frequência, através de rotinas

computacionais desenvolvidos especialmente para estas análises. Estes mesmos

exemplos foram também resolvidos por métodos apresentados na literatura e

desenvolvidos para cálculos manuais. Todas as soluções são elaboradas em termos de

deslocamento, considerando-se apenas o modo fundamental de vibração.

O programa citado no segundo objetivo desta dissertação foi desenvolvido e,

para sua ampla utilização, poderia ficar disponível na internet depois de ser

suficientemente testado, fazendo parte do procedimento da NBR 6123.

8

1.3 Apresentação da dissertação

Procura-se nesta dissertação descrever as características dos ventos fortes

originados de ciclones extratropicais e apresentar os principais métodos de análise

dinâmica de estruturas submetidas a estes ventos. Assim, os próximos capítulos são

apresentados na seguinte sequência.

O capítulo 2 faz uma breve abordagem sobre os diferentes tipos de ventos fortes,

com foco nos ventos originados por ciclones extratropicais, apresentando sua descrição

física e modelagem matemática.

O capítulo 3 apresenta conceitos fundamentais de análise dinâmica em estruturas

e uma abordagem da consideração da ação atuante na estrutura devida ao vento. Na

sequência é apresentada a solução do problema dinâmico nos domínios do tempo e da

frequência. Apresentam-se ainda, quatro métodos baseados na solução no domínio da

frequência: método fator rajada proposto por Davenport (1961); processo adotado no

Eurocode 1 - Wind action (2005); processo de Dyrbye e Hansen (1997); e modelo

discreto proposto na NBR 6123 (1988).

No capítulo 4 são resolvidas diferentes estruturas através dos métodos descritos

no capítulo 3. Primeiro é resolvida uma torre de reservatório de água, estrutura que pode

ser representada por um sistema discreto de um grau de liberdade. O segundo problema

exemplo trata-se de uma chaminé de 180 metros de altura retirada do anexo I da NBR

6123 (1988). Por último, é resolvido um edifício de concreto armado que,

diferentemente dos dois primeiros exemplos (estruturas alteadas), tem uma maior

influência da sua dimensão horizontal na ação do vento.

No capítulo 5 apresenta-se um programa computacional cujo intuito é auxiliar a

aplicação do modelo discreto da NBR 6123 (1988). Este programa baseia-se na

formulação no domínio da frequência e fornece como resultado um vetor de forças que,

ao ser aplicado estaticamente na estrutura, reproduz os resultados extremos de uma

análise dinâmica.

Finalmente, as conclusões e sugestões para trabalhos futuros são apresentadas no

capítulo 6.

9

Capítulo 2

Caracterização de ventos fortes

A principal causa dos ventos naturais é a diferença na pressão atmosférica

decorrente das variações de temperatura do ar aquecido pela energia solar. Os sistemas

meteorológicos que dão origem a ventos de alta velocidade, são tratados como

tormentas independentemente de seu mecanismo de formação. Os tipos mais comuns de

ventos de alta velocidade são ciclones e anticiclones, tormentas elétricas e tornados.

2.1 Tipos de fenômenos

Os ventos de alta velocidade podem ser classificados, segundo suas dimensões,

em fenômenos de macroescala, mesoescala e microescala.

2.1.1 Fenômenos de macroescala

Fenômenos de macroescala ou escala sinóptica, possuem dimensões espaciais

superiores a 500 km e dimensões temporais maiores ou iguais a dois dias. São

constituídos basicamente por ciclones e anticiclones.

Os diâmetros dos ciclones são da ordem de 1000 km e os dos anticiclones

podem ser ainda maiores. Ao contrário dos anticiclones, os ciclones podem gerar ventos

de alta velocidade e podem ser classificados em tropicais e extratropicais, dependendo

de sua origem.

- Ciclones extratropicais (EPS)

Os ciclones extratropicais são os fenômenos mais freqüentes que ocasionam

ventos fortes em latitudes temperadas, ao se formarem ao longo de frentes frias polares

(Blessmann, 1995). Em seu estágio “maduro” são denominados de sistemas de pressão

plenamente desenvolvidos ou tormentas EPS (“Extratropical Pressure Systems”).

Os ciclones extratropicais geram os ventos em equilíbrio dinâmico com a

rugosidade da superfície da Terra. Sendo estes ventos os mais bem estudados, e aos

quais se aplicam os modelos de campo de velocidades para o cálculo de forças em

estruturas, adotados pelas normas de projeto. Estes ventos podem manter velocidade e

direção relativamente constantes por até algumas dezenas de horas como mostra, na

Figura 2.1, o registro de um anemógrafo.

Figura 2.1: Registro de um anemógrafo durante a passagem de um ciclone

- Ciclones tropicais

A formação dos ciclones tropicais o

onde temperatura da água é superior a 27,2

liberação do calor latente com a condensação do

úmido.

Quando a velocidade do vento próximo à superfície atinge cerca de 7

ciclone é chamado de tormenta tropical; para velocidades superiores a 120km/h, o

ciclone é chamado furacão ou tufão.

Os ciclones tropicais aparecem, em geral, entre as latitudes de 5° e 30°. Nos

oceanos Índico e Pacífico, onde recebem o nome de t

ambos os hemisférios. No oceano Atlântico, onde são denominados de furacão,

formam-se apenas no hemisfério Norte, já que no sul a temperatura da água é inferior a

26°C, pelo menos por enquanto. Em função do aquecimento globa

estufa, já é prevista a formação destes fenômenos no Atlântico Sul

10


, o registro de um anemógrafo.

Registro de um anemógrafo durante a passagem de um ciclone

extra-tropical (Holmes, 2007).

A formação dos ciclones tropicais ocorre sobre os oceanos em regiões t

peratura da água é superior a 27,2°C. A energia dos ciclones tropicais surge da

liberação do calor latente com a condensação do vapor d’água contido no ar quente e

Quando a velocidade do vento próximo à superfície atinge cerca de 7


ciclone é chamado furacão ou tufão.


oceanos Índico e Pacífico, onde recebem o nome de tufão ou “typhoon”, formam


se apenas no hemisfério Norte, já que no sul a temperatura da água é inferior a

26°C, pelo menos por enquanto. Em função do aquecimento global, decorrente do efeito

estufa, já é prevista a formação destes fenômenos no Atlântico Sul (Blessmann, 1995


Registro de um anemógrafo durante a passagem de um ciclone

corre sobre os oceanos em regiões tropicais

°C. A energia dos ciclones tropicais surge da

contido no ar quente e

Quando a velocidade do vento próximo à superfície atinge cerca de 70 km/h o



ufão ou “typhoon”, formam-se em


se apenas no hemisfério Norte, já que no sul a temperatura da água é inferior a

l, decorrente do efeito

(Blessmann, 1995).

11

2.1.2 Fenômenos de microescala e mesoescala

Os fenômenos de microescala possuem dimensões espaciais na ordem de 20 km

e dimensões temporais menores do que uma hora. Os fenômenos de mesoescala

possuem dimensões intermediárias entre os de micro e macroescala. Eles são

constituídos basicamente por tormentas elétricas e tornados.

- Tormentas elétricas (TS)

As tormentas elétricas ou TS (“Thunder Storms”) podem ocorrer de forma

isolada ou associada ao avanço de uma frente fria. A condição necessária para esta

ocorrência é a formação de nuvens de grande altura, às vezes acima de 22km,

produzidas pela ascensão de ar quente e úmido. Estas tormentas geram os ventos

violentos como os tornados e aqueles conhecidos por “downburst” (Blessmann, 1995).

No estágio maduro, as tormentas elétricas se caracterizam por correntes descendentes

que atingem o solo bruscamente, provocando rajadas violentas e chuvas intensas. Ao

tocarem a superfície da Terra, as correntes descendentes geram um escoamento

horizontal com velocidades de vento que podem atingir 67m/s (Holmes, 2007).

- Tornados

Os tornados são movimentos ciclônicos em forma de funil vertical gerados em

grandes nuvens convectivas de tormentas elétricas. Ele é o vento com maior poder de

destruição. Seu núcleo, com pressões extremamente baixas, pode fazer explodir (por

diferença de pressão) uma edificação que esteja com suas aberturas fechadas. Além

disso, seu núcleo funciona como uma chaminé, sugando do solo restos das edificações

por ele destruídas, objetos grandes e pequenos, pedaços de árvores etc.

Os tornados têm diâmetro médio de 300m e transladam-se a uma velocidade que

pode chegar a 100km/h e por extensões de até 30 km. A velocidade tangencial do vento

pode chegar a 350km/h.

2.2 Descrição física e modelagem matemática de ciclones extratropicais

Os ventos de camada limite atmosférica, originados pelos ciclones extratropicais

(tormenta EPS), são os mais bem estudados. Suas características serão descritas nos

próximos subitens em termos dos seguintes aspectos:

• Descrição matemática da velocidade de vento;

• Perfil da velocidade média ao longo da altura;

• Intensidade de turbulência;

• Espectros de turbulência;

• Correlação espacial de turbulência.

Ao final deste subitem encontra

trabalho, para a geração numérica de histórias de velocidade flutuante de vento com

correlação espacial.

2.2.1 Características gerais

A velocidade do vento apres

denominada de turbulência, sendo esta produzida por turbilhões e vórtices no

escoamento. A origem da turbulência pode estar associada

causada pela rugosidade da superfície

por gradientes térmicos.

Nos casos dos ciclones extratropicais e em certa medida dos ciclones tropicais, a

turbulência é gerada principalmente pela interação (atrito) do vento com a superfície

rugosa da Terra (ver a Figura

denominada camada limite atmosférica. A contribuição de origem térmica para a

turbulência, nos casos de ciclones extratropicais, pode ser desprezada já que a

estabilidade da atmosfera pode ser considerada neutra.

Figura 2.2: Geração da turbulência. em ventos de camada limite atmosférica

A Figura 2.3 (Dyrbye & Hansen, 1997), mostra os

vento em três alturas acima do terreno

extratropical. Este tipo de tormenta apresenta

do vento, exibindo um valor médio constante por um longo período

algumas horas. Em torno deste valor médio ocorrem as flutuações de velocidade, que

12

Perfil da velocidade média ao longo da altura;

Intensidade de turbulência;

Espectros de turbulência;

cial de turbulência.

item encontra-se uma descrição do método utilizado neste

para a geração numérica de histórias de velocidade flutuante de vento com

Características gerais

A velocidade do vento apresenta flutuações ao longo do tempo, característica

turbulência, sendo esta produzida por turbilhões e vórtices no

escoamento. A origem da turbulência pode estar associada a agitação do escoamento

causada pela rugosidade da superfície da Terra ou a processos de convecção causados



Figura 2.2), em uma camada de altura entre 500 e 1000m,



mosfera pode ser considerada neutra.

Geração da turbulência. em ventos de camada limite atmosférica

(Dyrbye & Hansen, 1997), mostra os registros de velocidade do

vento em três alturas acima do terreno (14,7 25,5 e 43,1m) durante um ciclone

Este tipo de tormenta apresenta características de “bom comportamento”

exibindo um valor médio constante por um longo período de tempo, por vezes


se uma descrição do método utilizado neste

para a geração numérica de histórias de velocidade flutuante de vento com

flutuações ao longo do tempo, característica

turbulência, sendo esta produzida por turbilhões e vórtices no

gitação do escoamento

rocessos de convecção causados



), em uma camada de altura entre 500 e 1000m,



Geração da turbulência. em ventos de camada limite atmosférica.

registros de velocidade do

durante um ciclone

características de “bom comportamento”

de tempo, por vezes


13

caracterizam a turbulência. Nota-se também o aumento da velocidade média com a

altura acima do terreno.

Figura 2.3: Registros de velocidade em três alturas diferentes

(Dyrbye & Hansen, 1997).

As seguintes hipóteses são aplicáveis ao vento turbulento, que se desenvolve na

camada limite atmosférica em um terreno de rugosidade uniforme, durante um ciclone

extratropical (tormenta EPS):

• A altura da camada limite, denominada altura gradiente , é constante;

• O vento é horizontal e sua variação de direção é desprezível ao longo da altura

(despreza-se a influência da rotação da Terra - força de Coriolis – no movimento

do ar);

• A velocidade de vento é um processo aleatório estacionário e, de acordo com a

prática meteorológica internacional, o intervalo de tempo de 10 minutos é

tomado para determinação da velocidade média.

2.2.2 Descrição matemática do vento turbulento

Os registros de velocidade de vento indicam as variações na magnitude da

velocidade na direção do vento. O campo de velocidade de vento é descrito com base

em um sistema cartesiano: à direção predominante do vento, atribui-se a coordenada x;

a direção horizontal ortogonal a esta é a direção y e a direção z é vertical, positiva para

cima.

O vetor velocidade em certo instante de tempo pode ser escrito em termos de

três componentes:

δ

14

na direção longitudinal x:

na direção lateral y:

na direção vertical z:

onde é a velocidade média que depende somente da altura z acima do terreno, e u,

v e w são as componentes flutuantes, ou componentes de turbulência, que são tratadas

como processo aleatório estacionário de média nula.

2.2.3 Perfil vertical de velocidade média U

Historicamente, a variação da velocidade média com a altura z foi descrita por

uma expressão empírica, denominada lei potencial proposta em 1916:

(2.1)

A equação 2.1 relaciona as velocidades médias em duas alturas diferentes, e

, sendo p o expoente que depende da rugosidade do terreno e é tomado constante em

toda a altura. Muitas normas de projeto utilizam a lei potencial para determinar a

velocidade em função da velocidade , conhecida à de altura

( ).

A lei logarítmica é outra expressão usada para descrever a variação de ao

longo de . Esta lei foi deduzida matematicamente para uma camada limite turbulenta

do escoamento sobre uma superfície plana. Considera-se que o gradiente de velocidade

é função da altura z, da tensão cisalhante entre a superfície da placa e o

escoamento e a massa específica do ar ρ. Formando um único número adimensional

envolvido no problema, tem-se na equação 2.2:

(2.2)

sendo uma constante, denominada constante de Von Kármán, obtida

experimentalmente, igual a . Integrando-se a equação 2.2 chega-se à lei logarítmica:

( ) ( )tzyxuzU ,,,+

( )tzyxv ,,,

( )tzyxw ,,,

( )zU

U

( )p

ref

ref

zU z U

z

=

z

refz

( )zU refU 10 m

10 refz m=

U

z

dzUd 0τ

kz

dz

Ud 1

0

=τρ

k

0, 4

15

(2.3)

onde é a constante de integração com dimensões de comprimento e conhecida como

comprimento de rugosidade, e é igual a com valores típicos entre e .

Este último parâmetro é conhecido por velocidade cisalhante e pode ser obtido

substituindo-se na equação 2.3 o valor conhecido de .

A Figura 2.4 compara os perfis de velocidade ao longo da altura dados pelas leis,

potencial e logarítmica, para um terreno plano com edificações baixas e esparsas que,

segundo a NBR 6123 (1988), é classificado quanto à rugosidade na categoria III.

Verifica-se que as duas expressões, equações, (2.1) e (2.3) se correlacionam muito bem.

Figura 2.4: Perfis verticais de velocidade média para terreno com

categoria de rugosidade III. O comprimento de rugosidade 0 0,2z m=

na equação 3.3 e o expoente na equação 3.1.

Nas leis potencial e logarítmica, a rugosidade do terreno é considerada

respectivamente através dos parâmetros p e 0z . Outro parâmetro de rugosidade

encontrado na literatura é o coeficiente de arrasto superficial, asc . Estes parâmetros são

fornecidos por diversas fontes para diferentes tipos de terreno. A tabela 2.1 apresenta os

resultados destes parâmetros obtidos para as categorias de rugosidades da NBR 6123

(1988), sendo o expoente p correspondente a um intervalo de tempo de dez minutos

(indicado por esta norma para ações dinâmicas).

( )*

0

lnu z

U zk z

=

0z

*u ρτ 0 1 2 m s

( 10)U z =

0

25

50

75

100

125

150

175

200

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Lei portencial

Lei logarítmica

0,185p =

( ) / (10)U z U

[ ]z m

16

Tabela 2.1: Parâmetros de rugosidade para as categorias de I a V da NBR6123

(Blessmann, 1995).

Altura (m) Parâmetros

p (10min) 0z (mm) as

c

I

II

III

IV

V

0,095

0,15

0,185

0,23

0,31

5

70

200

700

1750

0,0028

0,0065

0,0105

0,0226

0,0527

2.2.4 Intensidade de turbulência

Uma medida do grau de turbulência é o desvio padrão, neste caso igual ao valor

da média quadrática, uσ , v

σ , wσ , das componentes flutuantes u, v e w. As relações

entre o desvio padrão de cada componente flutuante e a velocidade média, definem as

intensidades de turbulência,

na direção longitudinal x: (2.4a)

na direção lateral y: (2.4b)

na direção vertical z: (2.4c)

De acordo com medições experimentais, o desvio padrão pode ser suposto

como aproximadamente . Sendo assim, pode-se escrever a intensidade de

turbulência em função da altura substituindo-se , na equação 2.4a, pela equação

2.3. Chega-se a:

(2.5)

nota-se na equação acima que uI diminui ao longo da altura z. A Figura 2.5 mostra a

variação da intensidade de turbulência com a altura para as cinco categorias de

rugosidade de terreno da NBR 6123 (1988).

/u uI Uσ=

/v vI Uσ=

/w wI Uσ=

uσ

*2,5.u

z U

0

1

lnuI

z

z

=

17

Figura 2.5: intensidade de turbulência para diferentes categorias de terreno.

A partir de estudos de Davenport, Harris (1970) chegou a uma expressão mais

representativa uσ coeficiente de arrasto superficial, as

c :

( ) ( )1

22,58 10u asc Uσ = (2.6)

2.2.5 Espectro de turbulência

A função densidade espectral uS , ou simplesmente espectro, das componentes

flutuantes de velocidade de vento, descreve o conteúdo em freqüência do processo. A

contribuição para a variância do processo nas faixas de freqüência entre f e f+df, é dada

por S(f).df. Dessa forma, a área sob o espectro, também chamado de densidade

espectral, é igual à variância:

( )2

0 u uS f dfσ

∞= ∫ (2.7)

A densidade espectral da velocidade de vento tem por unidades

[(velocidade)2/Hz]. Existem diversas expressões propostas para as funções , e .

Em geral, estas expressões são baseadas em medições experimentais e são escritas na

forma adimensional. Um dos espectros mais usados é o espectro de Von Kármán

(Blesssmann, 1995), dado a seguir:

(2.8)

uS vS wS

( )( )

15 62 2

1

4

1 70,8

u

u

f S f X

Xσ

⋅ ⋅=

+ ⋅

[ ]z m

uI

18

onde da equação 2.8 é a freqüência adimensional:

(2.9)

sendo ( )1L z o comprimento da escala de turbulência, que varia com a altura z e a

rugosidade do terreno. Expressões como a da equação 2.10 descrevem esta

dependência:

(2.10)

Outra função para a densidade espectral da componente flutuante u, é o espectro

de Kaimal (Blesssmann, 1995), dado a seguir:

(2.11)

onde da equação 2.11 é a freqüência adimensional:

(2.12)

A Engineering Sciences Data Unit, (ESDU, 1974) propõe uma adaptação do

espectro de Kaimal, por considerar que, para alturas superiores a 50m, 1Y não varia

linearmente com z. Este espectro é adotado pelo Eurocode (2005) e dado por:

( )

( )52

3

6,8

1 10,2

u L

uL

f S f f

fσ

=+

(2.13)

onde ( )( )L

f L z

U zf = é a frequência adimensional e ( )L z é o comprimento da escala de

turbulência, também dado pelo Eurocode (2005):

( )( )00,67 0,05ln

300200

zz

L z

+ =

(2.14)

1X

( )1

( )f L zX

U z

⋅=

0,35 0,0631 0( ) 25L z z z

−= ⋅ ⋅

( )( )

15 32

1

(100 / 3)

1 50

u

u

f S f Y

Yσ

⋅ ⋅=

+ ⋅

1Y

( )1

f zY

U z

⋅=

19

Já Dyrbye e Hansen (1997) adotam a equação 2.14a para o comprimento de

escala de turbulência, ( )L z .

( )0,3

10010

zL z

=

; para 10 200 m z m≤ ≤ (2.14a)

A NBR 6123 (1988) adota o espectro de Harris. Este, ao contrário dos espectros

de Von Kármán e Kaimal, não considera a variação da turbulência com a altura. Na

equação abaixo é dada a expressão para o espectro de Harris.

(2.15)

onde da equação 2.15 é a freqüência adimensional

(2.16)

sendo L , da equação 2.16, independe da altura e é tomado igual a 1800m em função de

ajustes a dados experimentais.

A Figura 2.6 apresenta os espectros de Von Kármán, Kaimal e Harris para um

terreno de categoria de rugosidade III, altura e velocidade ( )10 30,0U m s= .

A comparação entre os diferentes espectros é feita por meio de um gráfico semi-

logarítmico, onde a ordenada é o espectro adimensionalizado e a abscissa igual a

. Observa-se uma boa correlação entre os espectros de Von Karman e Harris.

Como dito anteriormente, os espectros de Kaimal e Von Karman apresentam

variação com a altura. Na Figura 2.7 estão representados espectros de Von Kárman para

as alturas de 10, 50 e 150 metros, juntamente com o espectro de Harris. Estes espectros

são apresentados a partir da freqüência igual a 0,01Hz, região de interesse na engenharia

estrutural.

( )( )

15 62 2

1

0,6

2

u

u

f S f X

Xσ

⋅ ⋅=

+

1X

( )1 10

f LX

U

⋅=

100 z m=

( )log f

20

Figura 2.6: Espectros de Von Kármán, Kaimal, ESDU e Harris em escala semi-

logarítmica para um terreno de categoria III, 0 0,2 z m= , e ( )10 30U m s= .

Figura 2.7: Espectros Von Karman em escala semi-logarítmica para um terreno com

categoria de rugosidade III, 0 0,2z m= , velocidade ( )10 30U m s= .

2.2.6 Espectro cruzado de turbulência

Em um determinado instante de tempo, a flutuação da velocidade do vento não

apresenta uma correlação perfeita para diferentes pontos no espaço. Esta variação da

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01

Kárman: L=139m; z=100m; Categ.III; z0=0,2m

Kaimal: L=z=100m

Eurocode 1: L=199m; z=100m; Categ.III; z0=0,2m

Harris: L=1800m (independente de z)

100 z m=

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01

Kárman: z=10m

Kárman: z=50m

Kárman: z=150m

Harris

( ) [ ]log f Hz

2u

u

f S

σ⋅

( ) [ ]log f Hz

2u

u

f S

σ⋅

21

flutuação entre os pontos i e j, pode ser considerada por meio da função densidade

espectral cruzada de turbulência, cuja parte real é denominada co-espectro e é dada por:

( ) ( ) ( ), , , ,ui uj u i u j uS S f S f r fψ= ∆ (2.17)

sendo ( ),u

r fψ ∆ a função de co-espectro normalizado:

( )( ) ( )2 22 2

, expy j i z j i

u

m

f C y y C z zr f

Uψ

− + − ∆ = −

(2.18)

onde,

( ),i iy z e ( ),j jy z , são respectivamente as coordenadas dos pontos i e j ;

e coeficientes de decaimento, obtidos experimentalmente. Na falta de

ensaios experimentais, são adotados valores conservadores para e

respectivamente iguais a 16 e 10 (Simiu e Scanlan, 1996);

( ) ( )( )12m i jU U z U z= + , é a velocidade média do vento entre os pontos i e j .

Na verdade, os coeficientes de decaimento não são constantes, variando em

função do tipo de tormenta, categoria de rugosidade da superfície e altura sobre o

terreno. Para tormentas extratropicais, Sfintesko e Wyatt (1977) sugerem a seguinte

expressão para incluir a influência da altura sobre o terreno:

0,09

* my y

ref

zC C

z

−

=

e

0,09

* mz z

ref

zC C

z

−

=

(2.19)

Sendo mz a altura média entre os pontos i e j . Considerando os coeficientes yC e z

C

corrigidos e a média das velocidades, mU , utilizando a lei potencial, equação 2.1, pode-

se reescrever a função co-espectro normalizado, equação 2.18, da seguinte forma:

( )( ) ( )2 2 0,092 2

, exp

p

y j i z j im

u

ref ref

f C y y C z z zr f

U zψ

− − − + − ∆ = −

(2.20)

yC zC

yC zC

22

Porém, os coeficientes yC e zC aumentam juntamente com a rugosidade

superficial, o que tende por conseqüência compensar o efeito da altura acima do terreno

sobre estes coeficientes. Podendo assim, propor a seguinte expressão:

( )( ) ( )2 22 2

, expy j i z j i

mu

ref ref

f C y y C z z zr f

U z

β

ψ− − + − ∆ =

(2.21)

Para a equação 2.21 ser aplicada a qualquer tipo de terreno e altura sobre o

mesmo, Riera e Blessmann (1979) sugerem 0,3β = .

Segundo Dyrbye e Hansen (1997), baseados em resultados experimentais, a

função para o co-espectro normalizado, dada nas funções 2.18 ou 2.21, apresentam uma

inconsistência. Estas equações apresentam correlação total para frequências próximas de

zero, mesmo para pontos distantes. Fato este que não corresponde à realidade.

Para corrigir este problema, baseados no espectro de Von Kármán, os mesmos

autores apresentam a seguinte expressão:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 22 2 2 21, 1 exp

2x x

u y j i z j i y j i z j i

m m

f fr f C y y C z z C y y C z z

U Uψ ∆ = − − + − − − + −

(2.22)

onde a frequência modificada xf é

2

2m

x

Uf f

Lπ

= +

(2.23)

sendo L , o comprimento da escala de turbulência para o espectro de Von

Kármán, dado na equação 2.08. Os gráficos da Figura 2.8 apresentam o co-espectro

normalizado para espaçamentos na direção y de respectivamente 15, 30 e 50 metros.

Pode-se observar que, ao contrário da função dada pela equação 2.22, a função uψ da

equação 2.18 fornece valor unitário para frequência nula com qualquer distância r∆ .

23

Figura 2.8: Co-espectro normalizado considerando 2yC π= e 240 L m= .

2.2.7 Geração numérica de histórias de turbulência

Existem vários métodos para simulação de um sinal aleatório, estacionário e

com média nula, gerado a partir de um espectro de turbulência. O método da

autoregressão, apresentado por Buchholdt em (1985), faz a simulação de um sinal

genérico, ( )w t , como uma combinação linear de p valores prévios, somados a um

impulso aleatório de média igual a zero e variância igual a 2Nuσ . Assim, ( )w t pode ser

dado por:

( ) ( ) ( )1

p

k j Nu

k

w t u t k t N tφ σ=

= − ∆ +∑ (2.24)

onde kφ e Nu

σ são parâmetros adotados na autoregressão, ( )jN t , é um processo

aleatório de média igual a zero e variância unitária, geralmente adotada como uma

distribuição Gaussiana, e p é a ordem da autoregressão.

O parâmetro 2Nuσ é dado pela seguinte equação:

( )2 2

1

1p

Nu u k u

k

r k tσ σ φ=

= − ∆

∑ (2.25)

Os parâmetros kφ podem ser obtidos resolvendo o seguinte sistema linear:

( ) ( )( )1

1,...,p

u k u

k

r h t r h k t h pφ=

∆ = − ∆ =∑ (2.26)

24

O coeficiente de autocovariância ( )ur h t∆ para um intervalo de tempo h tτ = ∆ é

obtido a partir do espectro ( )uS f através das integrais de Wiener-Khinchin

( ) ( ) ( ) ( ) ( )sup

inf2 2

1cos 2

fu

u u uf

u u

R h tr h t r h t S f f h t dfπ

σ σ

∆∆ = − ∆ = − = − ∆∫ (2.27)

O método acima gera um único sinal de velocidade flutuante ( )w t . Encontram-

se na literatura muitos métodos para a geração de um conjunto de histórias de

turbulência correlacionadas. Solari e Spinelli (1984) sugerem o seguinte procedimento

para gerar um campo de velocidade flutuante do vento:

( ) ( ), , y z t t=Cu w (2.28)

onde: ( )u t é um vetor em que para cada instante de tempo t seus componentes de

velocidade flutuante apresentam uma correlação espacial; ( )w t é um vetor com valores

de flutuação de velocidade aleatórios e independentes; e C é uma matriz que aplica a

correlação espacial, dada na equação 2.29.

11

21 22

1 2

1 2

0 0

0 0

0 0j j jj

n n nn

c

c c

Cc c c

c c c

=

⋯ ⋯ ⋯

⋯ ⋯

⋮ ⋮

⋯

⋮ ⋮

⋯ ⋯ ⋯

(2.29)

Com os elementos da diagonal:

12

1

1j

jj jk

k

c c−

=

= −∑ (2.30)

Para os elementos fora da diagonal, com i j< :

1

2, 12

i

jk ikuj ui k

ji

w ii

c c

Cc

σ

σ

−

== −∑

(2.31)

onde 2,uj ui

σ é a variância da densidade espectral cruzada de turbulência dada por:

( ) ( ) ( )sup

inf

2, , , ,

f

uj ui u j u i uf

S f S f r f dfσ ψ= ∆∫ (2.32)

25

Capítulo 3

Análise dinâmica de estruturas

submetidas ao vento turbulento

O objetivo de uma análise estrutural dinâmica é estudar o comportamento de

uma estrutura submetida a ações, ou excitações, dinâmicas externas. Este estudo é

baseado, por exemplo, na resposta da estrutura em termos de deslocamentos,

velocidades, acelerações e esforços internos.

As ações dinâmicas costumam ser idealizadas como determinísticas (definidas

em função do tempo) ou aleatórias (variam arbitrariamente no tempo). O vento é um

exemplo de ação aleatória, já que não é possível prever um valor de velocidade exato

em certo instante de tempo. Dessa forma, este fenômeno deve ser tratado através de

médias estatísticas para descrever tanto as ações como os efeitos nas estruturas.

Neste capítulo apresentam-se, sucintamente, a formulação das equações

diferenciais de movimento e alguns métodos para sua solução. Encontra-se em Clough

& Penzien (1995), uma abordagem mais detalhada sobre dinâmica estrutural.

Foram adotadas as seguintes hipóteses para formulação das equações deste

capítulo:

i. a estrutura tem comportamento linear elástico;

ii. o amortecimento estrutural é viscoso;

iii. as forças devidas ao vento são calculadas com base no campo de velocidades

de vento, não sendo perturbadas pelo movimento da estrutura. Está hipótese

será justificada mais adiante.

3.1 Formulação do problema dinâmico

O comportamento dinâmico de uma estrutura, discretizada em N graus de

liberdade, obedece ao sistema de equações de movimento. Este sistema é formado por

26

equações diferenciais de segunda ordem na variável tempo e pode ser escrito na forma

matricial como:

( ) ( ) ( ) ( ) + + =M C Kɺɺ ɺX t X t X t F t (3.1)

onde: M, C e K representam respectivamente matrizes de massa, amortecimento e

rigidez da estrutura; ( )ɺɺX t , ( )ɺX t e ( )X t são respectivamente os vetores de aceleração,

velocidade e deslocamento nodais; ( )F t é o vetor das ações nodais externas.

Dada a dificuldade de determinar a matriz de amortecimento da estrutura,

arbitra-se esta de maneira a simplificar a solução das equações de equilíbrio. Assim,

costuma-se adotar C como sendo uma matriz proporcional a matriz de massa, ou seja,

α= ⋅C M . Substituindo esta simplificação da matriz de amortecimento na equação 3.1,

tem-se,

( ) ( ) ( ) ( ) t t t tα+ + =MX M X K X Fɺɺ ɺ (3.2)

sendo α o coeficiente de proporcionalidade entre o amortecimento e a massa.

Existem vários métodos para solução do sistema de equações 3.2, sendo que o

método de superposição modal é um dos mais utilizados, por conduzir a um sistema de

equações desacopladas (no caso de amortecimento proporcional). Nele as equações

mais relevantes são, em geral, as associadas aos primeiros modos de vibração.

O método da superposição modal consiste em fazer uma transformação de

coordenadas físicas, escrevendo os deslocamentos na base formada pelos modos

naturais de vibração. Ou seja,

( ) ( )t t= ⋅X AΦΦΦΦ (3.3)

onde ΦΦΦΦ e ( )tA , são respectivamente a matriz dos autovetores e o vetor de amplitude

das coordenadas modais, correspondentes aos modos naturais de vibração da estrutura.

Assim, com a substituição dessa transformação no sistema de equações de

movimento e multiplicando o resultado por TΦΦΦΦ , obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( ) T T T Tt t t tα+ + =M A M A K A Fɺɺ ɺΦ Φ Φ Φ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ Φ Φ ΦΦ Φ Φ Φ Φ Φ Φ (3.4)

27

Em função das propriedades de ortogonalidade dos autovetores em relação à

matriz de massa, chega-se a um sistema de equações, com a equação correspondente ao

modo j de vibração dada por:

( ) ( ) ( ) ( ) j j j j j j

m a t m a t k a t p tα+ + =ɺɺ ɺ (3.5)

onde:

( )ja t , é a amplitude do modo j de frequência associada jω ;

T

j j jm = Mφ φφ φφ φφ φ , denominada massa modal;

T

j j jk = Kφ φφ φφ φφ φ , denominada rigidez modal;

T

j jp = Fφφφφ , é a força modal.

Do problema de auto valor, têm-se:

2 j j j

ω=K Mφ φφ φφ φφ φ (3.6)

pré-multiplicando-se ambos os lados da equação 3.6 por T

jφφφφ

chega-se à relação entre

rigidez modal e massa modal, 2

j j jk mω= .

O sistema 3.4 fica desacoplado de tal maneira que, cada equação corresponde a

um modo de vibração e a resposta dinâmica da estrutura é a superposição das respostas

modais, em termos de deslocamentos.

As equações mais relevantes são as associadas aos primeiros modos de vibração.

Isso porque as frequências naturais destes modos se aproximam das frequências das

ações que comumente atuam nas estruturas.

Portanto, para encontrar a resposta dinâmica da estrutura, basta resolver as

equações diferenciais correspondentes aos modos de vibração mais relevantes. Estas

equações podem ser resolvidas no domínio do tempo, por meio de uma integração

numérica ou no domínio da frequência, representando as excitações através de integral

de Fourier.

Os itens 3.2 e 3.3 tratam respectivamente da determinação da ação do vento e de

métodos para solução do sistema de equações diferenciais.

28

3.2 Forças devidas à ação dinâmica do vento

3.2.1 Força resultante em estruturas de pequenas dimensões

Admitindo a estrutura em repouso, com pequenas dimensões em relação aos

turbilhões incidentes, a força resultante devida ao vento na direção da velocidade média

(direção longitudinal) pode ser escrita pela seguinte expressão:

( )2 , , ,

2 a e

U x y z tF C A

ρ= (3.7)

sendo:

ρ , é a massa especifica do ar;

( ), , ,U x y z t , é a velocidade do vento;

aC , é o coeficiente de arrasto;

eA , é área frontal efetiva.

Na equação 3.7, admite-se que Ca foi obtido para ação de vento turbulento. No

caso de Ca referir-se à condição de vento suave pode-se utilizar um coeficiente χ

proposto por Davenport (1961) para levar em conta a variação do coeficiente de arrasto

com a turbulência.

Como visto no capítulo 2, a velocidade ( ), , ,U x y z t pode ser representada como

a soma de duas parcelas: uma velocidade média, ( )U z , e uma velocidade flutuante,

( ), , ,u x y z t . Ou seja,

( ) ( ) ( ), , , , , ,U x y z t U z u x y z t= + (3.8)

Substituindo a equação 3.8 na 3.7, tem-se:

( ) ( ) ( ) ( )2 , , , 2 , , ,

2F x y z t U z U z u x y z t Ca A

ρ = + (3.9)

onde foi desprezado o termo ( )2 , , ,u x y z t , pois em geral para ventos fortes tem-se

( ) ( ), , ,u x y z t U z≪ .

29

Pode-se, então, escrever a ação ( ), , ,F x y z t como a soma de duas parcelas: uma

ação média ou estática, ( )F z , e uma dinâmica, ( )ˆ , , ,F x y z t .

( ) ( ) ( )ˆ, , , , , ,F x y z t F z F x y z t= + (3.10)

com,

( ) ( )2

2

U zF z Ca A

ρ= (3.11)

( ) ( ) ( ) ˆ , , , 2 , , , 2

F x y z t U z u x y z t Ca Aρ

= (3.12)

A ação estática do vento, ( )F z , é função da velocidade média, U , que é

correspondente a uma média tomada sobre um tempo geralmente igual a dez minutos.

Esta velocidade varia com a altura e pode ser representada pela lei potencial, equação

2.1. Assim, a equação 3.11 pode ser reescrita da seguinte maneira:

( )22

2

p

ref

ref

U zF z Ca A

z

ρ =

(3.13)

Como ( )F z não varia em relação ao tempo, pode-se tratar o problema de

maneira estática, ficando o sistema de equações 3.1 reduzido a ( ) z=K X F .

A ação dinâmica do vento, ( )ˆ , , ,F x y z t , é função da flutuação da velocidade do

vento, ( ), , ,u x y z t . Para tratar o problema no domínio do tempo, utilizam-se histórias

de velocidades de vento. E, no domínio da frequência utiliza-se diretamente um

espectro de turbulência.

Para a estrutura em movimento, a força devido ao vento é função da

velocidade do vento em relação à estrutura ( relU ), que substitui U na equação 3.7.

Sendo xɺ a velocidade da estrutura na direção do vento e desprezando-se as outras

componentes de velocidade ( yɺ e zɺ ) tem-se:

( ) ( ) ( )relU t U t x t= − ɺ (3.14)

30

Neste caso a equação 3.9 é reescrita como

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2

F t U z U z u t U z x t Ca Aρ

= + − ɺ (3.15)

onde foram desprezados os termos em u xɺ e 2xɺ . As grandezas F , u , xɺ , Ca e A têm

valores associados a cada ponto nodal ( , ,x y z ) da estrutura. O termo em xɺ na equação

de F dará origem ao termo denominado de amortecimento aerodinâmico já que pode

ser combinado ao amortecimento estrutural somando-o aos dois lados da equação de

movimento, ver equação 3.23.

3.2.2 Estruturas alargadas e/ ou alteadas

Para estruturas cuja dimensão característica não é pequena em relação às

dimensões dos turbilhões, deve-se levar em conta a correlação espacial das pressões

devidas ao vento no cálculo da força resultante. A dimensão característica l de uma

estrutura pode ser expressa, por exemplo, pela raiz quadrada da sua área exposta ou pela

dimensão da diagonal desta área. Já a dimensão característica dos turbilhões é dada por

U f , sendo f a frequência. A razão entre as dimensões características da estrutura e

dos turbilhões é expressa por f l U .

Vickery (1965) e Davenport (1963) introduziram a função de admitância

aerodinâmica ( )2 a

f l Uχ para relacionar as funções densidades espectrais da força

flutuante resultante, F

S , e da flutuação da velocidade do vento, uS , levando em conta a

correlação espacial das pressões devidas ao vento. Trata-se de um ajuste do espectro da

força de arrasto em relação ao caso ideal de uma estrutura envolvida pela turbulência

com correlação perfeita. A relação entre F

S e uS é dada por:

22

ˆ 24 a uF

FS S

Uχ= (3.16)

Os autores acima citados, baseados em estudos experimentais em placas e

prismas, e em estudos teóricos, sugerem uma fórmula empírica para 2aχ ,

31

24

3

1

2 1

a

f l

U

χ = +

(3.17)

A fórmula acima possui suas limitações, pois é baseada em ensaios

experimentais em tuneis de vento feitos em discos e placas planas. Porém, Vickery

(1966) informa que em ensaios realizados em protótipos com relação de dimensões

altura/largura menor que 4, aχ , é praticamente independente da forma da superfície

frontal da placa.

Para certa estrutura de dimensão característica l sob ação de vento de velocidade

média U , verifica-se a redução da admitância aerodinâmica com o aumento da

frequência associada aos turbilhões. Isto porque os turbilhões de menores dimensões

(que não envolvem a estrutura como um todo, causando perda de correlação de

pressões) têm menores comprimentos de onda e, portanto, maiores frequências. A

Figura 3.1 apresenta a admitância aerodinâmica em função da frequência.

Figura 3.1: Admitância aerodinâmica (Blessmann,1998).

Ainda, Dyrbye e Hansen (1997) propõem uma formulação teórica para o cálculo

de 2aχ para estruturas alteadas (como torres e chaminés), a partir do co-espectro

normalizado das pressões, pψ . Sendo 2aχ definido por:

2

0

12 1

l

a p

rdr

l lχ ψ = −

∫ (3.18)

onde pψ é, da mesma forma que o co-espectro das flutuações de velocidade uψ (equação

2.18), dado por uma função exponencial:

32

( ) , , expp r

f rr f U C

Uψ

∆ ∆ = − (3.19)

onde r∆ é a distância entre os dois pontos considerados e rC é o coeficiente de

decaimento das pressões obtido experimentalmente.

Dyrbye e Hansen (1997) relatam medições de pressões em estruturas cujos

resultados indicam que as pressões na face de barlavento são melhores correlacionadas

espacialmente que as flutuações de velocidade do vento não perturbado pela presença da

estrutura. Também Simiu e Scanlan (1996) relatam estudos teóricos sobre a distorção do

escoamento incidente devido à presença de um corpo, sugerindo que a coerência entre

as flutuações de pressões em altas frequências é maior do que entre as flutuações de

velocidade do vento.

Por outro lado, as flutuações das pressões a sotavento são menos intensas do que

na face de barlavento (Simiu e Scanlan, 1996). Além disso, resultados de ensaios em

túnel de vento relatados em Dyrbye e Hansen (1997) demonstram que as flutuações das

pressões na face de sotavento são praticamente não correlacionadas com as flutuações

de pressões a barlavento, o que conduz a uma redução das forças dinâmicas.

Os dois fatores mencionados anteriormente - o da maior correlação espacial das

flutuações das pressões a barlavento em relação à das flutuações de velocidade do vento

incidente e a falta de correlação entre as flutuações da pressão a barlavento e a

sotavento- tem efeitos contrários sobre as forças dinâmicas de vento. O cálculo destas

forças de acordo com a hipótese (iii), apresentada no início do capítulo, i.e., com base

nas propriedades do escoamento não perturbado, não levará em conta aqueles dois

fatores opostos. Assim, na determinação das forças devidas ao vento com correlação

espacial será utilizada a função do co-espectro normalizado das flutuações de

velocidade de vento, equação 2.18.

3.3 Solução do sistema de equações diferenciais de equilíbrio

Este item apresenta métodos para solução do sistema de equações diferenciais de

equilíbrio. Neste trabalho optou-se por resolver estas equações considerando somente a

componente de força dinâmica, ( )F t . Portanto, estes métodos estão desenvolvidos para

esta componente de força.

33

Os resultados podem ser expressos em termos de deslocamentos máximos

prováveis, por se tratar de uma solicitação aleatória. A Figura 3.2 ilustra o aspecto de

uma resposta aleatória em função do tempo, destacando-se os valores médio x ,

flutuante máximo maxx e o máximo total maxx .

Figura 3.2: Resposta da estrutura em função do tempo.

O subitem 3.3.1 mostra a solução no domínio do tempo e os subitens 3.3.2 ao

3.3.6 tratam alguns métodos para solução no domínio da frequência.

3.3.1 Solução modal no domínio do tempo

A solução do sistema de equações pode ser feita no domínio do tempo

integrando-se as equações com métodos de integração numérica. Neste trabalho foi

utilizado o método Runge-Kutta de quarta ordem para integrar o sistema de equações.

Considerando a equação 3.6, pode-se reescrever a equação de movimento

independente para cada modo j (equação 3.5) da seguinte forma:

( ) ( ) ( )( )2

,j

j est j j j j

j

p ta t a t a t

mα ω+ + =ɺɺ ɺ (3.20)

onde ,est jα , é o coeficiente de proporcionalidade entre o amortecimento estrutural e a

massa, dado por ,2 estj est j jα ζ ω= , sendo ,est jζ o amortecimento estrutural referente ao

modo j.

Considera-se uma estrutura discretizada em n nós, como ilustra a figura 3.3. Em

cada nó k atua uma força kF devido ao vento, calculada como indica a equação 3.15,

sendo kF a parcela flutuante composta dos termos funções de u e xɺ . Neste caso A é a

34

área de exposição no trecho de influência do nó k, kU e ku correspondem à velocidade

média e à flutuação de velocidade do vento na cota z do nó k. Para calcular a força

modal pré-multiplica-se o vetor F de forças nodais pelo vetor j

ΤΤΤΤφφφφ e chega-se a:

( ) ( ) ( ),1

2 2 2

n

j k k j k k k k k

k

p t Ca A U u t U x tρ

φ=

= − ∑ ɺ (3.21)

onde ,j kφ expressa a componente x do autovetor j no nó k.

Figura 3.3: (a) estrutura discretizada em n nós; (b) forma modal j.

Com a expressão 3.21 da força modal e lembrando que ( ) ( ), k j k jx t a tφ=ɺ ɺ , pode-

se reescrever a equação 3.20 da seguinte maneira:

( ) ( ) ( ) ( )21

,

2

,

,1

n

k k k

k

j est j j j j

j j

j k n

k k j k k k

k

Ca A U

a t a t a tm m

Ca A U u t

ρ φρ

α ω φ=

=

+ + + =

∑∑ɺɺ ɺ (3.22)

ou,

( ) ( ) ( )( )2 j

j j j j j

j

p ta t a t a t

mα ω+ + =ɺɺ ɺ (3.23)

sendo jα um coeficiente de proporcionalidade entre o amortecimento e a massa,

composto pela soma de um coeficiente de amortecimento estrutural, ,est jα , com um

coeficiente de amortecimento aerodinâmico, ,aer jα . Ou seja,

35

( ), , j , ,2 j est j aer j est j aer jα α α ω ζ ζ= + = + (3.24)

com,

2,

1,

2

n

j k k k k

kaer j

j j

Ca A U

m

ρ φζ

ω==∑

.

Com a solução da equação correspondente ao modo de vibração j tem-se a

amplitude deste modo de vibração, ( )ja t . A partir da equação 3.3, o deslocamento

( )kx t do nó genérico k é calculado com

( ) ,k j k j

j

x t aφ=∑ (3.25)

sendo ,j kφ o componente do autovetor j na direção do deslocamento x no nó k.

3.3.2 Modelo de Davenport – Fator de rajada

O método de fator de rajada foi proposto por Davenport (1961), adaptando à

engenharia estrutural conceitos em uso na engenharia mecânica e na de comunicações.

Sendo este método conseqüência do processo estatístico para definir a turbulência, e do

desenvolvimento de processos similares na resposta de filtros eletrônicos a ruído

aleatório no campo de comunicações. Um resumo esquemático do método é apresentado

pela figura 1.1 do capítulo1.

Para uma estrutura representada por um sistema de um grau de liberdade

composto por massa, mola, amortecedor (Figura 3.4), a equação de movimento é dada

por:

( ) ( ) ( ) ( ) m x t c x t k x t F t+ + =ɺɺ ɺ (3.26)

Figura 3.4: Sistema massa-mola-amortecedor.

2 r r

kf

mω π= =

36

Aplicando a transformada de Fourier a ambos os membros do sistema de

equações 3.26:

( ) ( ) ( ) ( ) m x t c x t k x t F t + + = ɺɺ ɺF F (3.27)

obtém-se:

( ) ( ) ( ) ( )2 m x i c x k x Fω ω ω ω ω ω− + + = (3.28)

A equação 3.28 é uma função complexa, definida no domínio da frequência, cuja

solução pode ser escrita a seguir, em termos de funções de densidade espectral.

( ) ( ) ( )2

2

1 x FS f H f S f

k= ou ( )

( )( ) ( )

2

42

1

2 x F

r

S f H f S fm fπ

= (3.29)

onde, ( )xS f é a função da densidade espectral de ( )x t , sendo esta calculada a partir da

função de admitância mecânica, ( )2

H f , dada por:

2

22 2

2

1( )

1 4 r

r r

H f

f f

f fζ

=

− +

(3.30)

em que r est aerζ ζ ζ= + , é a razão de amortecimento crítico, dada no item anterior.

A força devido à pressão dinâmica causada pelo vento é dada pela equação 3.10.

Para estruturas do tipo pontual, em relação às dimensões dos turbilhões, esta equação

pode ser escrita da seguinte forma:

( ) ( )2

2

UF t Ca A Ca A U u t

ρρ= + (3.31)

Fazendo 212 F U Ca Aρ= , pode-se reescrever a equação acima da seguinte

maneira:

( ) ( )2 F u tF t F

U= + (3.32)

Designando a componente de força devida à flutuação por F , ou seja,

37

( ) ( )2 ˆ F u tF t

U= (3.33)

pode-se escrever a densidade espectral da força atuante, ( )F

S f , como:

( ) ( )2

ˆ 4 uF

FS f S f

U

=

(3.34)

A equação acima é válida para estruturas pequenas em relação às dimensões dos

turbilhões incidentes, nas quais incide o vento com velocidade igual a ( )U u t+ em toda

superfície frontal da estrutura. A correlação espacial de pressões de vento incidindo em

estruturas de grandes dimensões é considerada por meio da função de admitância

aerodinâmica, equação 3.17. Tem-se, então:

( ) ( )2

2ˆ 4 a uF

FS f S f

Uχ

=

(3.35)

sendo U é a velocidade em um ponto de referência da estrutura.

Definida a densidade espectral da força atuante, ( )F

S f , pode-se reescrever a

equação 3.29 obtendo a seguinte expressão:

( ) ( ) ( )2

2 22

4 x a u

FS f H f S f

k Uχ

=

(3.36)

A variância da resposta é obtida integrando na frequência a densidade espectral

da resposta, ou seja:

( ) ( ) ( )2

22 220 0

1 4 x x a u

FS f df H f S f df

U kσ χ

∞ ∞ = =

∫ ∫ (3.37)

Fazendo x F k= e ( ) ( )2 'u u uS f S fσ= na equação 3.37, Davenport subdivide a

variância em duas parcelas, as respostas ressonante e não ressonante (“background”):

( )22

24x u B R

x U

σ σ = +

(3.38)

38

com,

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

2

0

22

0

22

'

R '

R

4

a u

a r u r

u r rra r

r u

B S f df

f S f H f df

S f ff

χ

χ

πχ

ζ σ

∞

∞

≈

≈

≈

∫

∫

onde B é o fator de resposta não ressonante e R é o fator de resposta ressonante.

A resposta não ressonante, B , é calculada admitindo uma ação quase-estática do

vento flutuante, ( )2

0 1H f = = . Já para calcular a resposta ressonante, R , assume-se

que na largura do pico ressonante ( )2a

fχ e ( )'uS f têm valores constantes iguais a

( )2a r

fχ e ( )'u rS f respectivamente.

Uma forma típica da resposta de uma estrutura submetida à ação do vento é

ilustrada na Figura 3.5, onde a soma das áreas hachuradas corresponde à variância 2xσ .

Figura 3.5: Densidade espectral da resposta típica de uma estrutura, destacando as

parcelas ressonante R e não ressonante B da variância da resposta.

Por se tratar de um problema probabilístico, deve ser calculada a resposta

dinâmica de pico, obtida com estimativa de máximos do processo aleatório a partir do

valor RMS, dada por:

maxˆ x

x g σ= (3.39)

( )log f

( )xS f

39

onde g é o fator de pico que depende do intervalo de tempo para o qual se calcula a

resposta máxima e a faixa de freqüências. Davenport (1961) deduziu a seguinte

expressão para o fator de pico, aplicável a respostas com distribuição de probabilidade

gaussiana. Este é o caso para estruturas submetidas à ação de vento turbulento:

( )( )

0,5772ln

2lng T

Tν

ν= + (3.40)

onde ν é frequência efetiva de resposta e T é o intervalo de tempo da estimativa, assim,

o produto Tν é o número de ciclos da resposta. Para uma análise no domínio da

frequência, geralmente ν é tomada igual a frequência do modo de vibração

considerado.

Substituindo a equação 3.38 na 3.39, resulta:

maxˆ 2 ux g I B R x = + (3.41)

onde u uI Uσ= , é a intensidade de turbulência, equação 2.4.

Definindo G como a razão entre o deslocamento máximo maxx e o

deslocamento médio x , denominada “fator de rajada para deslocamento” tem-se:

maxˆ 1+2 u

x xG g I B R

x

+= = + (3.42)

Alternativamente a equação 3.42 pode ser escrita em termos de fatores de pico

associados separadamente às respostas ressonantes e não ressonantes:

2 2 1+2 u u RG I g B g R= + (3.43)

onde ug e R

g são fatores de pico da velocidade de vento calculados com a equação

3.40.

O método de Davenport, originalmente desenvolvido para um sistema de um

grau de liberdade discreto, foi posteriormente revisado para incluir a forma modal da

estrutura (Davenport, 1967).

40

3.3.3 Solução modal no domínio da frequência

O sistema de equações 3.23 é formado por equações de movimento

desacopladas, em que cada equação corresponde a um modo de vibração. Assim, a

equação de movimento correspondente ao modo de vibração j:

( ) ( ) ( ) ( )2 j j j j j

j

p ta t a t a t

mα ω+ + =ɺɺ ɺ (3.44)

Da mesma maneira que no item anterior, aplicando a transformada de Fourier a

ambos os membros da equação acima, chega-se a equação no domínio da frequência,

cuja solução pode ser escrita em termos de funções de densidade espectral.

( )( )

( ) ( )2

, ,42

1

2 a j p j

j r

S f H f S fm fπ

= (3.45)

onde,

( ),a jS f

, é a função da densidade espectral da amplitude do ja do modo j ;

( )2

H f , é a função de admitância mecânica definida na equação 3.30;

( ),p jS f , é a densidade espectral da força modal.

Para a estrutura discretizada em n nós, ilustrada na figura 3.3, admite-se

inicialmente a atuação de apenas uma força kF aplicada no nó k, cuja função densidade

espectral é dada por ( )ˆ ,F kS f . Sendo assim, ( ),p j

S f pode ser escrita como:

( ) ( )2ˆ, , ,

p j j k F kS f S fφ= (3.46)

onde ,j kφ , é o componente do autovetor do modo j na direção da força de vento do nó

k .

Sendo kF a força flutuante de vento descrita pela equação 3.12, pode-se escrever

a densidade espectral da força, ( )ˆ ,F kS f , como:

( ) ( ) ( )2

ˆ , k uF k

S f U Ca A S fρ= (3.47)

41

Admite-se agora a atuação de forças aplicadas em vários nós, da estrutura

discretizada em n nós, tem-se

( ) ( ), , , ,1 1

n n

p j j k j l Fk Fl

k l

S f S fφ φ= =

=∑∑ (3.48)

onde ( ),k lF FS f é o espectro cruzado das forças aplicadas nos nós k e l, dado por:

( ) ( )( ) ( )2

, , 2 2 4Fk Fl k l k l k l uk ulS f U U Ca Ca A A S fρ

= (3.49)

O co-espectro de velocidade flutuante ( ),uk ulS f considera a correlação espacial

da velocidade u entre dois pontos k e l , conforme exposto no item 2.2.6:

( ) ( ) ( ) ( ), ,uk ul uk ul uS f S f S f r fψ= ∆ (3.50)

onde:

e , são respectivamente os espectros de turbulência dos nós k e l;

( ),u

r fψ ∆ é o co-espectro normalizado, dado na equação 2.15.

Substituindo as expressões 3.49 e 3.50 na equação 3.48 chega-se ao espectro da

força modal:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2

, , ,1 1

2 2 ,4

n n

p j k l k l k l j k j l uk ul u

k l

S f U U Ca Ca A A S f S f r fρ

φ φ ψ= =

= ∆∑∑ (3.51)

Escrevendo ( ),p jS f em termos dos parâmetros associados a uma altura de

referência, refh , e aplicando-se a equação 3.45 chega-se a uma expressão com o mesmo

aspecto da equação 3.36:

( ) ( ) ( ) ( )2

n n2 2

, , ,2k=1 l=1

4 ,

ref

ref

a j j z k l u u ref

j ref

FS f H f g g r f S f

k Uφ ψ

= ∆

∑∑ (3.52)

( )ukS f ( )ulS f

42

Sendo,

21

2ref ref ref refF U Ca Aρ= ;

,

,

u kk k kk

ref ref ref u ref

SU Ag

U A S

φφ

= .

Se as formas modais forem descritas por funções contínuas ao longo da altura z

o somatório duplo será substituído por uma integral dupla na equação 3.52. Diversos

processos de cálculo manual encontrados na literatura utilizam funções de diversos tipos

para a função kg , assumindo formas modais dos seguintes tipos:

z

h;

2z

h

; 3

z

h

; 4

z

h

; z

senh

π

.

Definida a densidade espectral da amplitude ja do modo j , sua variância 2,a j

σ ,

como no item anterior, é obtida pela integração de ( ),a jS f , equação 3.45, em relação à

frequência:

( )2, ,0a j a jS f dfσ

∞= ∫ (3.53)

e a variância de um deslocamento x qualquer considerando um único modo é obtida

com:

2 2 2, ,x j j a j

σ φ σ= (3.54)

Para m modos têm-se:

2, ,

1 1

m m

x i j a i a j

i j

σ φ φ σ σ= =

=∑∑ (3.55)

Segundo Clough & Penzien (1995), os termos cruzados na equação 3.55 podem

ser desprezados nos casos de estruturas de baixo amortecimento e com modos de

vibração com frequências afastadas, resultando em:

(3.56) 2 2 2

jx j a

j

σ φ σ= ∑

43

Os processos simplificados desenvolvidos a partir da solução modal no domínio

da frequência admitem funções contínuas para as formas modais e separam a variância

da resposta nas parcelas ressonante e não ressonante, como proposto por Davenport.

Apresenta-se a seguir, nos itens 3.3.4 e 3.3.5, dois destes métodos.

3.3.4 Processo: Eurocode procedimento 1

O Eurocode, Part 1.4 – Wind action (2005), traz dois procedimentos para

considerar os efeitos dinâmicos devido à turbulência do vento. Estes procedimentos,

assim como o processo de Davenport, consideram os efeitos dinâmicos através do fator

de rajada, equação 3.43.

O procedimento 1, fornecido pelo anexo B desta norma, propõe a seguinte

expressão para representar o fator de resposta não ressonante desta equação:

( )

0,63

1

1 0,9

B

b h

L z

= +

+

(3.57)

onde, b e h são a largura e a altura da estrutura e ( )L z é o comprimento de escala de

turbulência, dado na equação 2.14.

E o fator de resposta ressonante é representado por:

( )2

* , 2 u ref r h b

r

R S h f R Rπδ

= (3.58)

onde:

( ) ( )* 2, u ref r u u

S h f f S σ= , o valor da densidade espectral de turbulência na

forma adimensional (equação 2.13), na frequência fundamental da estrutura rf

e em uma altura de referência refh dada na Figura 3.6;

hR e b

R são fatores de admitância aerodinâmica, equação 3.59, associados às

dimensões vertical e lateral da estrutura;

rδ é o decremento logarítmico de amortecimento, dado por 2

r rδ π ζ= .

44

( )

( )

22

22

1 11 ; 1 para 0

2

1 11 ; 1 para 0

2

h

b

h h h

h h

b b b

b b

R e R

R e R

η

η

ηη η

ηη η

−

−

= − − = =

= − − = =

(3.59)

com, ( ) ( )4,6

,h L ref r

hf h f

L zη = e

( ) ( )4,6 ,h L ref r

bf h f

L zη = , lembrando que L

f é a

frequência adimensional dada na equação 2.13.

Figura 3.6: Altura de referência.

Observa-se que a expressão utilizada pelo Eurocode (2005) para o fator de

resposta ressonante é a expressão desenvolvida por Davenport, na equação 3.38, com a

admitância aerodinâmica, ( )2a r

fχ , dividida em dois coeficientes, hR e b

R .

Uma descrição mais completa do processo de cálculo usado no Eurocode pode

ser encontrada em duas publicações de Solari (1993).

3.3.5 Processo: Dyrbye e Hansen

Segundo Dyrbye e Hansen (1997) o procedimento 1, descrito no Eurocode

(2005), subestima o fator de resposta não ressonante para estruturas com dimensões

abaixo de 50 m e superestima para estruturas grandes. Ainda, consideram que este

procedimento também subestima o fator de resposta não ressonante.

O processo proposto por eles e indicado como procedimento 2 do Eurocode

(2005) adota o espectro ESDU (equação 2.13), a lei logarítmica para o perfil vertical de

velocidades (equação 2.3), a intensidade de turbulência dada pela equação 2.5 e a

função do co-espectro normalizado descrito na equação 2.18. A função do comprimento

de escala de turbulência utilizada é a equação 2.14.

45

Assim, Dyrbye e Hansen (1997) propõem a seguinte expressão para o fator de

resposta não ressonante B:

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

1

3 31

2

B

b h b h

L z L z L z L zπ

=

+ + +

(3.60)

E o fator de resposta ressonante, R, é representado por:

( )2

* , 2 u ref r sR S h f Rπδ

= (3.61)

onde, s aδ δ δ= + , sendo s

δ referente o amortecimento estrutural e aδ ao

amortecimento aerodinâmico; sR é um parâmetro de redução da função em função da

admitância aerodinâmica, aproximado pela seguinte expressão:

( ) ( )2

2 2

1

21

s

y y z z y y z z

R

G G G Gφ φ φ φπ

= + + +

(3.62)

Com:

( ) y r

y

ref

C b f

U hφ = e

( )

z rz

ref

C h f

U hφ = ;

yG e zG são parâmetros que dependem da forma modal da estrutura. A Tabela

3.1 apresenta estes parâmetros para algumas formas modais definidas (Dyrbye e

Hansen, 1997).

Tabela 3.1: Parâmetros G para diferentes formas modais.

Forma modal G (eq. 3.62)

1

z/h

(z/h)²

(z/h)³

(z/h)4

sin(πz/h)

1/2

3/8

5/18

7/32

9/50

4/π²

46

Estas expressões foram incorporadas no Eurocode (2005) em sua ultima revisão,

fazendo parte do procedimento 2, referente ao anexo C desta norma.

Neste método o fator de pico g também é calculado por meio da equação 3.40.

Porém, a frequência efetiva da resposta é tomada pela seguinte expressão:

2 20 en B n R

vB R

+=

+ (3.63)

sendo, en tomado com a frequência do modo de vibração considerado e 0n é uma

frequência representativa para a rajada em estruturas rígidas, aproximadamente igual a:

( )( )0

0,3

refU z h bn

L zh b=

(3.64)

3.3.6 Modelo discreto – NBR 6123

Adotado pela norma brasileira NBR 6123 (1988), o processo do modelo discreto

apresenta uma formulação modal no domínio da frequência para determinar uma ação

estática equivalente do vento, que represente os efeitos dinâmicos em termos de

deslocamentos máximos da estrutura.

Para descrever matematicamente o campo de velocidade de vento, o método

utiliza a lei potencial (equação 2.1) para representar o perfil de velocidade média ao

longo da altura, o espectro de Harris dado pela equação 2.15, e o espectro cruzado é

representado pelo co-espectro normalizado dado pela equação 2.21. Conforme

Blessman (1998), os fundamentos deste método são apresentados a seguir.

A variância da amplitude do primeiro modo de vibração, em função da

admitância mecânica e da densidade espectral de força, pode ser obtida substituindo a

equação 3.45 na 3.53, resultando:

( )( ) ( )

22, ,40 2

1

2 a j p j

j j

H f S f dfm f

σπ

∞= ∫ (3.65)

Como visto anteriormente, item 3.3.2, o valor máximo provável de ja é dado

multiplicando o desvio padrão, ,a jσ , por um fator de pico, ou seja,

, j a ja g σ= (3.66)

47

A relação acima está escrita no referencial modal. Por meio da equação 3.3,

pode-se escrever a resposta de pico em coordenadas nodais referente ao modo j de

vibração, como,

, a j jg σ=X φφφφ (3.67)

Com o vetor de deslocamentos definido, a partir do método da rigidez, pode-se

escrever o seguinte sistema de equações:

, a j jg σ=F K φφφφ (3.68)

onde F é um vetor de forças nodais, que ao ser aplicado estaticamente na estrutura

resulta deslocamentos extremos devido à ação dinâmica do vento considerando apenas o

modo j de vibração.

Do problema de autovalor tem-se 2 j jω=K Mφ φφ φφ φφ φ , pode-se reescrever a equação

acima como:

2,

j a j j jg σ ω=F M φφφφ (3.69)

Cada componente do vetor F representa a força equivalente dinâmica em cada

nó k da estrutura. Sendo M uma matriz de massa diagonal, para cada nó k , pode se

escrever:

2, , , j k a j j k j k

F g mσ ω φ= (3.70)

A partir da equação 3.65 pode-se escrever:

( )

( ) ( )

1

222

, , ,40 2

1

2 j k j k j k p j

j j

F g m H f S f dfm f

ω φπ

∞ = ∫

(3.71)

Substituindo a densidade espectral da força dinâmica modal, pS , equação 3.51,

na equação acima, tem-se:

, , j k H k j kF F m φ= (3.72)

Com:

( )( ) ( )( ) ( ) ( )

1

2 2

22

, ,40 21 14

1= 2 2

2

n n

H j k l k l k l j k j l uk ul u

k ljj

F g H f U U Ca Ca A A S f S f dfm f

ρω φ φ ψ

π

∞

= =

∑∑∫

(3.73)

48

Utilizando o espectro de Harris, equação 2.15, e lembrando que este não varia

com a altura, ou seja, ( ) ( )uk ulS f S f= . Ainda, retirando os termos que são constantes

em relação à frequência, tem-se:

( ) ( ) ( )

1

2,22 1

0médio

4 ,

2

n

k k k j k

kH j u u

j

Ca U A

F g H f S f r f dfm

φρ

ω ψ∞

=

= ∆

∑∫ ��

(3.74)

Substituindo kU da equação anterior pela lei potencial, equação 2.1, e fazendo

2,

1

n

j k j k

k

m m φ=

=∑ , tem-se:

( ) ( ) ( )

1, 2

21

02

médio,1

4 , 2

pn

kk k j k

k refref

H j uk un

k j k

k

zCa A

zUF g H f S f r f df

m

φρ

ω ψφ

∞=

=

= ∆

∑∫

∑��

(3.75)

A integral na equação 3.75 tem dimensão ( )2m s , dividindo-se por 2ref

U , para

admensionalizá-la, resulta:

( ) ( ) ( )

1médio 2

2,12

202,

1

,

4 2

pn

kk k j k

k ref uk u

H j ref n

refk j k

k

zCa A

z H f S f r fF g U df

Um

φψρ

ωφ

∞=

=

∆ =

∑∫

∑

��

(3.76)

Ou, reescrevendo da seguinte forma:

,21

2,

1

2

pn

kk k j k

k refref

H n

k j k

k

zCa A

zUF

m

φρ

ξφ

=

=

=

∑

∑ (3.77)

Com:

jgξ ω γ= (3.78)

( ) ( ) ( )médio

2

220

, 4

uk u

ref

H f S f r fdf

U

ψγ

∞ ∆= ∫

��

(3.79)

O parâmetro ξ é denominado fator de amplificação dinâmica

Galindez (1979), admitindo um fator de pico

NBR 6123 (1988) apresenta gráficos para obtenção de

rugosidade desta norma. Estes gráficos são reproduzidos nas f

Figura 3.7: Coeficiente de amplificação dinâmica,


49

é denominado fator de amplificação dinâmica e foi calculado por

, admitindo um fator de pico 4g = e uma forma modal

apresenta gráficos para obtenção de ξ para a cinco categorias de

rugosidade desta norma. Estes gráficos são reproduzidos nas figuras 3.7 a 3.11

eficiente de amplificação dinâmica, ξ , para terreno de categoria I

( 1800 L m= ; h em metros).

Coeficiente de amplificação dinâmica, ξ , para terreno de categoria II


e foi calculado por

e uma forma modal ( )z z hφ = . A

para a cinco categorias de

iguras 3.7 a 3.11.

, para terreno de categoria I

, para terreno de categoria II



50

Coeficiente de amplificação dinâmica, ξ , para terreno de categoria III


Coeficiente de amplificação dinâmica, ξ , para terreno de categoria IV


, para terreno de categoria III

, para terreno de categoria IV


51

Coeficiente de amplificação dinâmica, ξ , para terreno de categoria V


, para terreno de categoria V

52

Capítulo 4

Exemplos numéricos

São dados três exemplos numéricos: uma torre de reservatório de água, uma

chaminé e um edifício. Esses exemplos são dados respectivamente nos itens 4.1 ao 4.3.

4.1 Torre de reservatório de água

Será determinado o comportamento de uma torre com 30,5 metros de altura

submetida ao efeito do vento na direção de sua velocidade média. Um esquema desta

torre é apresentado na Figura 4.1. Admite-se a ação do vento atuando somente sobre as

faces do reservatório.

Figura 4.1: Perspectiva e planta da torre de reservatório de água.

A estrutura do reservatório possui as seguintes características: massa do

reservatório cheio de água é igual a 325 toneladas; frequência fundamental de vibração

0,8rf Hz= ; rigidez da estrutura para o deslocamento horizontal a uma altura de 30,50

metros igual a 8212 kN m ; coeficiente de arrasto 1Ca = ; e foi adotada uma razão de

amortecimento estrutural 1,0%est

ζ = .

A velocidade básica do vento, 0 45,0 U m s= ; o fator topográfico, 1 1S = ; o

fator probabilístico, 3 1S = ; Terreno com categoria de rugosidade IV.

Nos próximos itens, 4.1.1 e 4.1.2, são feitas respectivamente uma análise

puramente estática, respeitando as prescrições da NBR 6123 (1988) quanto à

53

determinação das forças estáticas devidas ao vento, e uma análise dinâmica, resolvendo

a torre de reservatório por diferentes métodos, descritos no capítulo 3.

4.1.1 Análise estática da torre de reservatório (item 4 da NBR 6123)

Admitindo que a estrutura terá uma resposta quase-estática à ação do vento, é

feita uma análise estática considerando que a estrutura está submetida a uma velocidade

média de vento calculada em um certo intervalo de tempo, que depende das dimensões

da estrutura.

A norma brasileira NBR6123 (1988) fornece a velocidade básica do vento, 0U ,

que corresponde à velocidade de uma rajada 3 segundos, excedida na média uma vez

em 50 anos, a 10 metros acima do terreno, em campo aberto e plano (categoria II). Esta

velocidade é informada por regiões territoriais, através de gráficos de isopletas.

A velocidade é corrigida de acordo com a rugosidade do terreno, dimensões da

estrutura, condições topográficas e grau de segurança requerido. Assim, utiliza-se a

velocidade característica, kU , que é a velocidade básica corrigida quanto a estes fatores.

Dada através da equação 4.1.

( ) 0 1 2 3 kU z U S S S= v (4.1)

com:

0 45,0 U m s= , velocidade básica do vento;

1 3 1S S= = , fatores de correção da velocidade;

( )2 10 p

S b z= ⋅ , onde, para uma análise estática, os parâmetros 0,86b = e

0,12p = , são fornecidos pela tabela 1 da NBR 6123 (1988), para a estrutura

pertencente à classe A desta norma (edificação com maior dimensão igual a 6

metros).

Resultando uma velocidade característica, a uma altura de 30,50 m, igual a

44,3kU m s= . A partir desta velocidade determina-se a força estática atuante na

estrutura por meio da equação 3.11:

( ) ( ) ( )2

2 3 0,613 44,3 1,0 36 43, 2 10

2

U zF z Ca A N

ρ= = × × × = × (3.11a)

54

Aplicando esta força estática na estrutura resulta um deslocamento

-35,26 10 x m= × .

4.1.2 Análise dinâmica da torre de reservatório

A análise dinâmica foi separada em duas partes, escrevendo a velocidade do

vento na direção principal, U , como a soma de uma componente média, U , com uma

componente flutuante, u . Fica-se então, o problema dividido em uma análise estática e

outra dinâmica. A análise dinâmica será efetuada no domínio do tempo, da frequência e

pelo método de fator de rajada.

4.1.2.1 Componente média de velocidade ( )U

Em uma análise dinâmica, a velocidade média, U , corresponde a uma

velocidade média tomada em 10 minutos. A norma brasileira corrige a velocidade

característica, multiplicando esta, por um fator de redução. Obtém-se assim, o perfil de

velocidade média para uma análise dinâmica, dado por:

( ) 0 1 2 30,69 U z U S S S= (4.2)

com,



2 10

pz

S b = ⋅

, onde, para uma análise dinâmica, os parâmetros 0,71b = e

0, 23p = , são fornecidos pela tabela 20 da NBR 6123 (1988).

Resultando uma velocidade de projeto, a uma altura de 30,50 m, igual a

28,5U m s= . Novamente, a partir da equação 3.11 determina-se a força

correspondente a esta velocidade.

( ) ( ) ( )2

2 3 0,613 28,5 1,0 36 17,9 10

2

U zF z Ca A N

ρ= = × × × = × (3.11b)

Aplicando esta força na estrutura resulta um deslocamento -32,18 10 x m= × .

55

4.1.2.2 Componente flutuante de velocidade ( )u : Domínio do tempo

A razão de amortecimento crítico é igual a est aerζ ζ ζ= + , com parcela de


ζ = e a parcela referente ao aerodinâmico é dada pela

equação 3.24 e calculada a seguir:

( ) 1 36 28,5

0,613 0,00038 0,038%2 2 0,80 325000aer

Ca A U

m

ρζ

ω π× ×

= = = =× ×

(3.24a)

Resultando uma razão de amortecimento 1,038%est aer

ζ ζ ζ= + = .

Como visto no capítulo 2, uma amostra da componente flutuante de velocidade

pode ser obtida a partir de um espectro de turbulência. Através do algoritmo TURB

(Pfeil, 1993) foi gerada uma história a partir dos seguintes dados:

• Espectro de Harris (equação 2.15);

• Intervalo de tempo da análise: 10 min;

• Categoria de rugosidade IV (NBR 6123, 1988);

• Velocidade de referência: ( ) 0 1 310 0,69 b 22,0 ref

U U S S m s= = ;

• Intervalo de tempo da geração: 0,1t s∆ = ;

• Coeficiente de arrasto superficial: 0,0226asc = (Tabela 2.1).

As figuras Figura 4.2 e Figura 4.3 mostram respectivamente a história da

flutuação da velocidade do vento gerada e sua correspondente densidade espectral,

comparada ao espectro teórico de Harris. Verifica-se uma boa correlação entre os dois

espectros mencionados.

Figura 4.2: História da velocidade de turbulência ( )30,5 z m= .

-30

-20

-10

0

10

20

30

0 100 200 300 400 500 600

mus

[ ]t s

56

Figura 4.3: Densidade espectral do sinal de flutuação da figura 4.2 e função densidade

espectral de flutuação de Harris.

A densidade espectral do sinal gerado u, assim como as outras densidades

espectrais obtidas numericamente neste trabalho, foi obtida através da rotina pburg do

programa comercial MatLab.

Definida a flutuação u , calcula-se a ação dinâmica por meio da equação 3.12. A

Figura 4.4 mostra a variação desta ação em função do tempo.

Figura 4.4: História da força dinâmica a 30,5 metros de altura

(somente parcela flutuante).

Com ação dinâmica definida no tempo, para resolver o problema, basta integrar

o sistema de equações diferenciais de equilíbrio dinâmico, sistema 3.23. Neste caso,

trata-se de uma equação dada por:

( )325 33,9 8212x x x F t+ + =ɺɺ ɺ (3.23a)

0

50

100

150

200

250

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

Espectro de Su

Espectro de Harris

-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

0 100 200 300 400 500 600

( )2m s

u HzS

[ ] f Hz

[ ]F kN

[ ] t s

57

A solução da equação diferencial pode ser feita através de uma integração

numérica utilizando o método Runge-Kutta de quarta ordem. Para esta integração foi

utilizada a rotina ode43 do software MATLAB, usando suas configurações padrões.

O resultado obtido para o deslocamento, na direção da velocidade média do

vento, é apresentado no domínio do tempo no gráfico da Figura 4.5 e sua densidade

espectral no gráfico da Figura 4.6.

Figura 4.5: Deslocamento na torre ( )30,5 z m= .

Figura 4.6: Densidade espectral do deslocamento na torre ( )30,5 z m= .

A variância da resposta é obtida pela integral da sua densidade espectral,

equação 3.37. Esta integral, assim como as outras contidas nesta dissertação, foram

resolvidas numericamente através da regra dos trapézios com um intervalo de

integração de 0,001 Hz. Resultando uma variância da resposta do deslocamento na

torre:

( )2 6 2

0 5,64 10 x xS f df mσ

∞ −= = ×∫ (3.37a)

-0,015

-0,010

-0,005

0,000

0,005

0,010

0,015

0 100 200 300 400 500 600

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

[ ]t s

[ ]x m

[ ]f Hz

[ ]xS m

310−×

58

com um desvio padrão 32,375 10x mσ −= × .

Conforme descrito no item 3.3.2, o deslocamento dinâmico máximo provável,

maxx , é obtido multiplicando seu desvio padrão, xσ , por um fator de pico, g . O fator de

pico é dado pela equação 3.40.

( )( )

( )( )

0,577 0,5772ln 2ln 419

2ln 2ln 419

3,64

g TT

g

νν

= + = +

=

(3.40a)

sendo Tν , para uma análise no domínio do tempo, tomado como o número de

cruzamentos de zeros ascendentes da resposta.

Assim, tem-se um deslocamento máximo provável igual a:

3max

3max

ˆ 3,64 2,375 10

ˆ 8,64 10

xx g

x m

σ −

−

= = × ×

= ×

4.1.2.3 Componente flutuante de velocidade ( )u : Domínio da frequência

Este método, descrito no item 3.3.3 envolve a densidade espectral de potência da

excitação, que é função do espectro das componentes flutuantes de velocidade do vento.

Para este exemplo foi utilizado o espectro de Harris, mantendo os mesmos dados

referente ao item 4.1.2.2.

Nas figuras 4.7 a 4.9 encontram-se respectivamente: a densidade espectral da

ação dinâmica, equação 3.51; a função de admitância mecânica, equação 3.30; e o

espectro de reposta da estrutura, equação 3.52.

Figura 4.7: Densidade espectral da ação dinâmica em escala logarítmica.

0,0

1,0

2,0

3,0

4,0

1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00

910×

( )2

p Hz

NS

( ) [ ]log f Hz

59

Figura 4.8: Função de admitância mecânica da estrutura em escala logarítmica.

Figura 4.9: Densidade espectral da resposta em escala logarítmica.

Resultando uma variância da resposta, equação 3.37:

( )2 6 2

0 6,60 10x xS f df mσ

∞ −= = ×∫ (3.37b)

com um desvio padrão 32,569 10x mσ −= × .

Para uma análise no domínio da frequência, o fator de pico também é dado pela

equação 3.40. Porém, o termo ν e T desta equação são respectivamente a frequência

do modo vibração da estrutura e o intervalo de tempo da análise. Resultando um fator de

pico:

( )( )

( )( )

0,577 0,5772ln 2ln 0,8 600

2ln 2ln 0,8 600

3,68

g TT

g

νν

= + = × +×

=

(3.40b)

0,0

1,0

2,0

3,0

1,00E-03 1,00E-02 1,00E-01 1,00E+00

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

1,E-03 1,E-02 1,E-01 1,E+00

( ) [ ]log f Hz

( ) [ ]log f Hz

2

xmS

Hz

310×

310−×

( )2

H f

60

Como no subitem anterior, o deslocamento máximo provável, maxx , é obtido

multiplicando seu desvio padrão, xσ , pelo fator de pico, g :

3max

3max

ˆ 3,68 2,569 10

ˆ 9,45 10

xx g

x m

σ −

−

= = × ×

= ×

Ainda, o gráfico da Figura 4.10 apresenta um gráfico com as densidades

espectrais da resposta para solução no domínio do tempo e da frequência.

Figura 4.10: Densidade espectral da resposta para solução

no domínio do tempo e da frequência.

4.1.2.4 Componente flutuante de velocidade ( )u : Fator de rajada

Como visto no item 3.3.2, o método de Davenport determina um deslocamento

máximo provável devido à flutuação, maxx , em função do deslocamento máximo devido

à componente média de velocidade do vento, x . Esta relação é dada na equação 3.41 e

reproduzida a seguir:

maxˆ 2 ux g I B R x = + (3.41a)

O fator de resposta não ressonante, B , é dada pela integral da expressão 3.38 e

reescrita a seguir:

( )2

0 ' =0,959a uB S f dfχ

∞≈ ∫ (3.38a)

0,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Domínio do tempo

Domínio da frequência

310−×

2

xmS

Hz

[ ] f Hz

61

2aχ é a função de admitância aerodinâmica (equação 3.17) e ( ) ( ) 2' .

u u uS f S f σ=

Sendo que, para efeito de comparação com os itens anteriores o espectro utilizado foi o

espectro de Harris.

O fator de resposta ressonante, R , é dado pela expressão 3.38 e reescrita a

seguir:

( ) ( )2 R ' 2,351

4 r

a r u r

ff S f

πχ

ζ≈ =

(3.38a)

com,

frequência fundamental de vibração da estrutura: 0,80 rf Hz= ;

admitância mecânica para frequência rf : ( )2 0,810

a rfχ = ;

espectro 'uS para frequência r

f : ( )' 0,0462u rS f = ;

razão de amortecimento crítico da estrutura: 0, 01ζ = .

Com os fatores de resposta de resposta B e R definidos, tem-se para o

deslocamento dinâmico máximo provável:

max

3max

ˆ 2

ˆ 7,74 10

ux g I B R x

x −

= +

= ×

Com,

- fator de pico: 3, 68g = (idem ao item anterior);

- A intensidade de turbulência 0,265u uI Uσ= = (equação 2.5);

- Deslocamento devido à velocidade média do vento: 32,18 10 x m−= × (item

4.1.2.1).

4.1.3 Resultados da torre de reservatório

A Tabela 4.1 apresenta uma síntese dos resultados para a torre de reservatório,

em termos de deslocamento máximo provável, encontrados nos itens 4.1. Verifica-se

que os resultados encontrados na solução através dos domínios do tempo e da

frequência se aproximaram, como pode ser observado no gráfico das densidades

espectrais para ambas as soluções (Figura 4.10).

62

Ainda, a solução pelo processo proposto por Davenport apresentou um bom

resultado, quando comparado as soluções anteriores. Em seu formato original o método

é aplicável a um modelo de um sistema de um grau de liberdade discreto.

Também é importante ressaltar, para esta estrutura, a significativa diferença

entre as análises estática e dinâmica, resultando um deslocamento máximo na análise

dinâmica da ordem de duas vezes o da análise estática.

Tabela 4.1: Resultados do deslocamento máximo provável para a torre de reservatório.

Modelo 3 10x m− 3

maxˆ 10x m− 3

max 10x m−

Análise estática - - 5,26

Análise dinâmica: Domínio do tempo

2,18

8,64 10,82

Análise dinâmica: Domínio da frequência

9,45 11,63

Análise dinâmica: Processo de Davenport

7,74 9,92

4.2 Chaminé

Como segundo exemplo, tem-se a chaminé de concreto armado, ilustrada na

Figura 4.11 (a), de 180 metros de altura e cujo modelo com elementos de pórtico plano

está mostrado na Figura 4.11 (b). As características geométricas dos elementos estão

indicadas na Tabela 4.2, enquanto que os dados associados aos nós do modelo adotado

na análise dinâmica estão apresentados na Tabela 4.3. Este exemplo foi retirado do

anexo I da NBR 6123 (1988), sendo parte dos dados da Tabela 4.2 obtidos por

interpolação linear dos valores fornecidos no referido anexo. O módulo de elasticidade

do material foi adotado a 628,5 10 ²E kN m= × .

Foi calculada a frequência fundamental de vibração da chaminé, obtendo-se

1 0,26 f Hz= . A forma do modo fundamental de vibração está dada também na tabela

4.3, adotando-se uma razão de amortecimento estrutural 0,01est

ζ = . O coeficiente de

63

arrasto é 0, 6Ca = , tendo em vista o número de Reynolds e a rugosidade da superfície

da chaminé.

Para os cálculos de velocidade de vento foram utilizados os seguintes dados:

velocidade básica do vento, 0 40,0 U m s= , fator topográfico 1 1S = e o fator

probabilístico, 3 1S = ; Terreno com categoria de rugosidade III da NBR6123 (1988).

(a) (b)

Figura 4.11: (a) Elevação da chaminé; (b) Modelo da chaminé.

Tabela 4.2: Características geométricas da chaminé.

Elemento z

( )m

Diâmetro externo

( )m

Espessura da parede

( )m

Momento de inércia

( )4m

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

165 - 180

150 - 165

135 - 150

120 - 135

105 - 120

90 - 105

75 - 90

60 - 75

40 - 60

20 - 40

0 - 20

4,92

5,27

5,61

5,98

6,43

6,89

7,34

7,81

8,35

8,97

9,56

0,17

0,17

0,17

0,17

0,20

0,22

0,25

0,35

0,48

0,60

0,60

7,18

8,85

10,77

13,36

18,86

25,85

34,59

56,77

92,87

138,80

170,41

64



A e iCa são,

respectivamente a área exposta e o coeficiente de arrasto correspondente ao nó i.

nó iz

( )m

1φ i

m

( )kg

iA

( )2m iCa

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

180

165

150

135

120

105

90

75

60

40

20

1,00

0,84

0,69

0,54

0,41

0,30

0,21

0,14

0,08

0,04

0,01

70900

146200

153700

163100

174400

195000

232500

292500

463800

750000

1254000

36,3

76,4

81,6

86,9

93,0

99,9

107,2

114,0

141,4

173,2

282,5

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

Assim como no exemplo da torre de reservatório, item 4.1, a chaminé é

resolvida nos próximos subitens de maneira estática e dinâmica. Para o cálculo estático

dos deslocamentos provocados por forças devidas à velocidade do vento foi utilizado o

software SAP2000.

4.2.1 Análise estática da chaminé (item 4 da NBR 6123)

Como no exemplo anterior, a análise estática é feita considerando uma

velocidade de vento característica, kU , dada através da equação 4.1 e reescrita a seguir:

( ) 0 1 2 3 kU z U S S S= (4.1)

com:



210

pz

S b = ⋅

, sendo os parâmetros b e p, fornecido pela tabela 1 da NBR6123

65

(1988). Porém, para estruturas cuja maior dimensão excede 80 m, este parâmetro

pode ser calculado para um intervalo de tempo, t, de acordo com o anexo A

desta norma:

( )17,5

t

Lt

U h= (4.3)

onde: 1L , é o maior valor entre a largura e a altura da superfície frontal da edificação;

( ) ( )1 2 0 t

U h S S h U= , é a velocidade média sobre t segundos, no topo da edificação.

O cálculo do intervalo de tempo t é feito de forma iterativa, por aproximações

sucessivas de t e tU . Resultando um intervalo de tempo de aproximadamente 25

segundos para a dimensão de 180 metros. Por interpolação linear da tabela 21 da NBR

6123 (1988) têm-se 0,915b = e 0,135p = .

A Tabela 4.4 apresenta o perfil de velocidade característica do vento e as forças

estáticas referentes a esta velocidade (equação 3.11).

Tabela 4.4: forças estáticas devido ao vento.

nó z

( )m

kU ( )m

q ( )2kN m

a

C e

A ( )2m

aF

( )kN

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

180

165

150

135

120

105

90

75

60

40

20

54,07

53,44

52,75

52,01

51,19

50,27

49,24

48,04

46,62

44,13

40,19

1,79

1,75

1,71

1,66

1,61

1,55

1,49

1,41

1,33

1,19

0,99

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

36,3

76,4

81,6

86,9

93

99,9

107,2

114

141,4

173,2

282,5

39,03

80,24

83,52

86,45

89,63

92,87

95,59

96,77

113,01

124,07

167,83

Aplicando a força de arrasto, aF , na estrutura, resulta em um deslocamento

máximo no topo da chaminé, 0,325 x m= .

66

4.2.2 Análise dinâmica da chaminé

Novamente, como no exemplo anterior, a análise dinâmica foi separada em duas

partes, escrevendo a velocidade do vento na direção principal, U , como a soma de uma

componente média, U , com uma componente flutuante, u . A análise dinâmica é

resolvida por quatro métodos diferentes: resolução no domínio da frequência; processo

Dyrbye e Hansen, processo adotado pelo Eurocode e modelo discreto da NBR 6123

(1988).

Estes métodos estão descritos no capítulo 3 e podem ser resolvidos utilizando o

método da superposição modal. Assim, para efeito de comparação entre os métodos, a

chaminé foi resolvida utilizando somente o primeiro modo natural de vibração da

estrutura.

4.2.2.1 Componente média de velocidade ( )U

A velocidade média, U , corresponde a uma velocidade média tomada em 10

minutos, o perfil de velocidade média para uma análise dinâmica é dada, pela

NBR6123, através da equação 4.2 e reescrita a seguir:

( ) 0 1 2 30,69 U z U S S S= (4.2a)

com,



2 10

pz

S b = ⋅

, onde, para uma análise dinâmica, os parâmetros 0,86b = e

0,185p = , são fornecidos pela tabela 20 da NBR6123 (1988).

A Tabela 4.5 apresenta o perfil de velocidade do vento de projeto e as forças

estáticas referentes a esta velocidade (equação 3.11).

67

Tabela 4.5: Resultados para a componente média de velocidade de projeto.

nó z

( )m

pU

( )m s

q ( )2kN m

Ca

eA

( )2m

aF ( )kN

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

180

165

150

135

120

105

90

75

60

40

20

40,52

39,87

39,17

38,42

37,59

36,67

35,64

34,46

33,06

30,68

26,98

1,01

0,97

0,94

0,90

0,87

0,82

0,78

0,73

0,67

0,58

0,45

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

0,6

36,3

76,4

81,6

86,9

93

99,9

107,2

114

141,4

173,2

282,5

21,92

44,67

46,05

47,17

48,33

49,41

50,08

49,79

56,86

59,94

75,65


máximo no topo da chaminé, 177 x 0, m= .

4.2.2.2 Componente flutuante de velocidade ( )u : Domínio da frequência





2,

1,

0,0046 0,46%

2

n

j k k k k

kaer j

j j

Ca A U

m

ρ φζ

ω== = =∑

(3.24b)


ζ ζ ζ= + = .

Este método, descrito no item 3.3.3 envolve a densidade espectral de potência da

excitação, que é função do espectro das componentes flutuantes de velocidade de vento.

Para este exemplo foi utilizado o espectro de Harris, mantendo os mesmos dados

referente ao item 4.1.2.2.

68

Nas figuras 4.15 a 4.17 encontram-se respectivamente: o espectro de Harris; a

função de admitância mecânica, equação 3.30; o espectro de resposta da estrutura,

equação 3.52.

Figura 4.12: Espectros Harris em escala logarítmica.

Figura 4.13: Função de admitância mecânica da estrutura em escala logarítmica.

Figura 4.14: Espectro de reposta da estrutura em escala logarítmica.


( )2 2

0 0,00765x xS f df mσ

∞= =∫ (3.37d)

com um desvio padrão 0,0875 x

mσ = .

0

250

500

750

1000

0,01 0,10 1,00

0

250

500

750

1000

1250

1500

0,01 0,10 1,00

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,01 0,10 1,00( ) [ ]log f Hz

( ) [ ]log f Hz

( ) [ ]log f Hz

( )2m s

u HzS

2

,1amS

Hz

( )2

H f

69




pico:

( )( )

( )( )

0,577 0,5772ln 2ln 0,26 600

2ln 2ln 0,26 600

3,36

g TT

g

νν

= + = × +×

=

(3.40d)

Como no subitem anterior, o deslocamento máximo provável, maxx , é obtido


max

max

ˆ 3,36 0,0875

ˆ 0,294 xx g

x m

σ= = ×

=

Este método foi também utilizado, para determinação de ˆmáxx , em mais duas

análises: para uma razão de amortecimento crítico 1%est

ζ ζ= = ; e para a ação do vento

considerando-se a turbulência dada pelo espectro ESDU (equação 2.13) e perfil de

velocidade dado pela lei logarítmica. Para categoria III da NBR 6123 (1988) o

comprimento de rugosidade é 0z igual a 0,2 metros (Tabela 2.1); ver a figura 2.11. O

resumo dos resultados encontra-se mais adiante na tabela 4.7

4.2.2.3 Componente flutuante de velocidade ( )u : Eurocode – Procedimento 1

A resposta flutuante pelo procedimento 1 do processo descrito pelo Eurocode é

dada por uma expressão da forma da equação 3.41 e reescrita a seguir:

maxˆ 2 ux g I B R x = + (3.41)

com,

- 0,177 x m= , item 4.2.2.1;

- 3,36g = , fator de pico (idem ao item anterior);

70

- A intensidade de turbulência é calculada por meio da equação 2.5 para a uma

altura de referencia, 0,6refz h= , conforme figura 3.6:

( ) ( )0

1 10,159

ln ln 108 0,2uIz z

= = = ;

Os fatores de resposta não ressonante, B , e ressonante, R , são dados

respectivamente pelas equações 3.57 e 3.58. Sendo estes, calculados a seguir.

- Fator de resposta não ressonante:

( )

0,63

1

1 0,9

0,544b h

L z

B+

+

= =

(3.57a)

com,

7,17b m= , largura média da estrutura;

180 h m= , altura da estrutura;

( )( )00,67 0,05ln

300200

209 ref

z

ref

zL z m

+ = =

, comprimento de escala de turbulência,

equação 2.14, para 108 refz m= e 0 0,2 z m= .

- Fator de resposta ressonante:

(3.58a)

com,

1 12 2 (0,01 0,0046) 0,092δ π ζ π= = × × + = , decremento logarítmico de

amortecimento;

( ) ( )108 38,17 refU z U m s= = , lei logarítmica (equação 2.3);

( )( )

*1 5

3

6,8, 0,100

1 10, 2

Lu ref

L

fS h f

f

= =+

, para ( )

( )1 0, 26 209

38,171,424

L

ref

ref

f L z

U zf

×= = = ,

valor da densidade espectral de turbulência na forma adimensional, equação

2.13;

( )2

*1

1

, 0,7522 u ref h bR S h f R Rπδ

= =

71

( )22

1 11 0,162

2 h

h

h h

R eη

η η−= − − = , para

( ) ( )4,6 , 5,641h L ref r

hf z f

L zη = = , fator de

admitância aerodinâmica associado à dimensão vertical, equação 3.59;

( )22

1 11 0,865

2 b

b

b b

R eη

η η−= − − = , para

( ) ( )4,6 b, 0,225b L ref rf z f

L zη = = , fator de

admitância aerodinâmica associado à dimensão horizontal, equação 3.59;

Definidos todos os parâmetros da equação 3.41, resulta um deslocamento

flutuante máximo de:

max

max

max

ˆ 2

ˆ 2 3,36 0,159 0,544 0,752 0,177

ˆ 0, 215 ; 0,064

u

x

x g I B R x

x

x m mσ

= +

= × × + = =

(3.41b)

4.2.2.4 Componente flutuante de velocidade ( )u : Dyrbye e Hansen

Assim, como o processo do Eurocode, a resposta flutuante pelo processo do

Dyrbye e Hansen também é dada por uma expressão da forma da equação 3.41, porém

os fatores de respostas não ressonante, B , e ressonante, R , são dados respectivamente

pelas equações 3.60 e 3.61. Sendo estes, calculados a seguir:


( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

10, 432

3 31

2

B

b h b h

L z L z L z L zπ

= =

+ + +

(3.60a)

para 7,17b m= , 180 h m= e ( ) 209 refL z m= (idem ao item anterior).


( )2

* , 1, 2022 u ref r sR S h f Rπδ

= = (3.61a)

para 1 0,092δ = e ( )*1, 0,100u refS h f = (idem ao item anterior), e s

R dado na equação

3.62 e reescrita a seguir:

72

( ) ( )2

2 2

1 0,224

21

s

y y z z y y z z

R


= = + + +

(3.62a)

Com:

( ) 10 7,17 0,26

0,48838,17

y r

y

ref

C b f

U hφ

× ×= = = ;

( ) 10 180 0,26

12,2638,17

z rz

ref

C h f

U hφ

× ×= = = ;

1 2yG = e 5/18

zG = (Tabela 3.1).

O fator de pico é definido, como nos itens anteriores (4.2.2.3 e 4.2.2.4), é

definido através da equação 3.40. Porém, a frequência efetiva da resposta é dada pela


2 2 2 20 0,132 0, 432 0, 26 1,169

0, 2330, 432 1,169

en B n Rv Hz

B R

+ × + ×= = =

+ + (3.63a)

com 0,26 en Hz= e

( )( )0

38,17 180 7,170,3 0,3 0,132

209 180 7,17

refU z h bn

L zh b

×= = =

×

Resultando um fator de pico igual a:

( )( )

( )( )

0,577 0,5772ln 2ln 0,233 600

2ln 2ln 0,233 600

3,33

g TT

g

νν

= + = × +×

=

(3.40e)



max

max

max

ˆ 2

ˆ 2 3,33 0,159 0, 432 1, 202 0,177

ˆ 0, 240 ; 0,0721

u

x

x g I B R x

x

x m mσ

= +

= × × + = =

(3.41c)

73

4.2.2.5 Componente flutuante de velocidade ( )u : Modelo discreto

Como visto no capítulo 3, item 3.3.6, o modelo discreto determina uma força

estática equivalente para estimar o deslocamento máximo dinâmico da estrutura. Esta

força em cada nó k é dada pela equação 3.72, repetida abaixo:

, ,ˆ j k H k j kF F m φ= (3.72a)

km é a massa referente ao nó k e ,j kφ é o autovalor correspondente ao nó k referente ao

modo de vibração j. HF é dado pela equação 3.48 e repetida abaixo:

2 ,1

2,

1

10

2

pnk

k k j kref k

H n

k j k

k

zCa A

UF

m

φρξ

φ

=

=

=

∑

∑ (3.48a)

com,

31, 226 kg mρ = , massa específica do ar;

( )10min

10 23,74 ref

U U m s= = , velocidade de referência;

kCa , k

z , kA , ,j kφ e k

m , são respectivamente o coeficiente de arrasto, a altura, a

área efetiva, o auto valor do modo de vibração j e a massa correspondente ao

elemento k, todos estes valores se encontram na tabela 4.3;

ξ , é o coeficiente de amplificação dinâmica.

O coeficiente de amplificação dinâmica é obtido através do gráfico da figura 3.9,

retirado da NBR6123, a figura 4.18 mostra a determinação gráfica de ξ . Este gráfico é

definido dos seguintes parâmetros:

Taxa de amortecimento, 0, 01ζ = ;

Velocidade de projeto, ( )110min, 0 310 0,69 27,6 P IIU U U S S m s= = = ;

Frequência natural do modo de vibração j; 0, 26 jf Hz= ;

Parâmetro de ajuste experimental; 1800L = .

A Figura 3.9 apresenta dois gráficos, um para estruturas alteadas, com relação

largura/altura igual a 0, e outro para estrutura com relação largura/altura maior ou igual

74

a 2. Para casos intermediários, pode-se efetuar uma interpolação entre os gráficos.

Porém, por a chaminé se tratar de uma estrutura alteada e por ter sido discretizada

linearmente, foi adotado o gráfico para relação largura/altura igual a 0, com a

interpolação efetuada apresentada no gráfico da figura Figura 4.15.

Figura 4.15: determinação gráfica de ξ .

No gráfico com 1 0I h = , obteve-se para 100 h m= , 1,91ξ = , e para

300 h m= , 1,15ξ = . Com uma interpolação linear para estes dois valores, chega-se a

1, 61ξ = .

A tabela 4.6 mostra os resultados obtidos para as forças equivalentes dinâmicas,

,ˆj kF , atuantes na chaminé. Com os seguintes resultados parciais:

2,

1

2 5,

1

318,12 10

3,62 10

0,462

pnk

k k j k

k

n

k j k

k

H

zCa A m

m kg

NFkg

φ

φ

=

=

=

= ×

=

∑

∑

75

Tabela 4.6: Resultados para forças equivalentes dinâmicas atuantes na chaminé.

z

( )m

,ˆj kF

( )kN

180

165

150

135

120

105

90

75

60

40

20

34,66

60,04

51,85

43,06

34,95

28,60

23,87

20,02

18,14

14,67

6,13

Aplicando a forças equivalentes dinâmicas, ,ˆj kF , na estrutura, resulta em um

deslocamento máximo no topo da chaminé, ˆ 184 x 0, m= , que corresponde a um desvio

padrão xσ de 0,046 metros já que g é tomado igual a 4.

4.2.3 Resultados da chaminé

Os resultados são apresentados em termos do deslocamento máximo da chaminé

( 180z m= ). A Tabela 4.7 apresenta os resultados da análise dinâmica para os

diferentes métodos usados no item 4.2.2. Nas análises alguns parâmetros foram variados

para permitir comparações com os processos normativos. Por exemplo, para efeito de

comparação com o método da NBR6123, a solução da frequência foi efetuada

admitindo-se o espectro de Harris e desprezando-se o amortecimento aerodinâmico.

Para comparação com o processo do Eurocode e de Dyrbye & Hansen, considerou-se o

espectro do ESDU e a existência do amortecimento aerodinâmico. As soluções

numéricas com o espectro de Harris (equação 2.15) utilizam a lei potencial (equação

2.1) para o perfil vertical de velocidades e a equação 2.21 para o co-espectro

normalizado uψ , conforme adotado pela NBR 6123. Já as soluções com o espectro

76

ESDU (equação 2.13) utilizam a lei logarítmica (equação 2.3) e a função uψ dada pela

equação 2.18, além de ( )L z descrito pela equação 2.14.

As comparações entre as soluções numéricas no domínio da frequência e os

métodos de cálculo manuais são feitas separadamente em termos do desvio padrão das

respostas e do fator de pico (g).

Tabela 4.7: Resultados da análise dinâmica da chaminé: com Categoria III ( 0,185p =

para lei potencial e 0 0,2 z m= para lei logarítmica), 0 40U m s= .

Método de análise

dinâmica

Espectro

uS

x

[ ]m

xσ

[ ]m

ζ

[ ]%

g x

x gσ+

[ ]m

Análise Estática - 0,325 - - - 0,325

Domínio da frequência Harris

0,177

0,088 1,46 3,36 0,471

Domínio da frequência Harris 0,100 1,00 3,36 0,513

Modelo discreto

NBR6123

Harris 0,046 1,00 4,00 0,361

Domínio da frequência ESDU 0,083 1,46 3,36 0,456

Eurocode

procedimento 1 ESDU 0,064 1,46 3,36 0,392

Dyrbye e Hansen

(processo 2- Eurocode) ESDU 0,072 1,46 3,33 0,419

Como primeira análise pode-se notar a influência da consideração da razão de

amortecimento aerodinâmico. Para a solução no domínio da frequência, sua

consideração apresentou uma redução 8 % na resposta.

A resposta obtida pelo modelo discreto da NBR 6123 apresentou um resultado

abaixo dos obtidos por outros métodos. Porém, este método inclui algumas

simplificações para utilização de gráficos na determinação do coeficiente de

amplificação dinâmica, ficando difícil uma comparação direta dos resultados. Em

77

termos de desvio padrão da resposta, observa-se que a solução numérica no domínio da

frequência com espectro de Harris e 1%ζ = forneceu um valor maior que o dobro

daquele obtido pelo modelo discreto. Esta diferença é, em parte, compensada no

resultado final em termos de deslocamento máximo pelo maior valor de g (igual a 4,0)

adotado no modelo discreto.

Agora, comparando os resultados para solução no domínio da frequência,

processo adotado pelo Eurocode e o de Dyrbye e Hansen, que consideram a lei

logarítmica e o espectro ESDU, observa-se, em geral, uma melhor correlação dos

resultados.

A tabela 4.8 apresenta os resultados destes processos separados em termos da

variância das respostas não ressonante e ressonante. A solução numérica no domínio da

frequência foi aplicada com espectro ESDU e três expressões diferentes para a função

do co-espectro uψ . Esta função dada pela equação 2.18 é também adotada pelo processo

de Dyrbye e Hansen. Apesar de utilizar os mesmos parâmetros para descrever a

turbulência para fins de resposta ressonante, verifica-se que a solução numérica (com a

equação 2.18) e o processo de Dyrbye e Hansen apresentam significativa diferença na

variância desta parcela (0,00475 m² para o primeiro e 0,00381 m² para o segundo

método). A representação da força modal no método de Dyrbye e Hansen é feita através

da função de distribuição de carga kg (ver equação 3.52) com (z/h)², que neste caso

representa bem os dados do exemplo. Resta ainda esclarecer a origem da diferença

encontrada. Em termos da resposta não ressonante a diferença é ainda maior, mas neste

caso a abordagem do método de Dyrbye e Hansen é distinta da solução numérica deste

trabalho. Ainda, na Tabela 4.8 pode-se apreciar a influência do formato da função uψ .

Verifica-se que o formato exponencial modificado da equação 2.22 realmente reduz a

correlação em baixas frequências (ver figura 2.8).

78

Tabela 4.8: Resultados para solução no domínio da frequência com espectro ESDU

(com L(z) dado pela equação 2.14) e com diferentes funções para o co-espectro

normalizado de velocidade de vento e para o processo de Dyrbye & Hansen.

Método de análise

dinâmica

Função co-espectro

normalizado

2xσ não-ressonante

2m

2xσ ressonante

2m x

σ [ ]m

Domínio da frequência

Eq. 2.18 0,00220 0,00475 0,0834

Eq. 2.21 0,00231 0,00571 0,0896

Eq. 2.22 0,000685 0,00285 0,0595

Dyrbye e Hansen

Eq. 2.18 para parcela

ressonante 0,00137 0,00383 0,0721

Por fim, observa-se novamente a importância da análise dinâmica em estrutura

de baixa frequência fundamental de vibração. Sendo que uma análise puramente estática

segundo os critérios da NBR6123 apresentou uma resposta máxima de 0,325 x m= ,

enquanto a análise dinâmica no domínio da frequência da ordem de 0,5 x m= .

Os resultados mostrados na Tabela 4.7 referem-se à análise de um mesmo

modelo estrutural sob ação de vento turbulento caracterizado por uma mesma

velocidade média V0 = 40m/s. As diversas análises são originadas de dois modelos para

a caracterização da turbulência, dois valores de taxa de amortecimento e também de

procedimentos diferentes para a estimativa da resposta máxima. Estudos comparativos

desta natureza são importantes para avaliar a incerteza de modelagem (Kaminski et al.,

2008). No presente caso, mesmo sem realizar uma avaliação quantitativa da incerteza de

modelagem pode-se observar pequenos desvios nos resultados obtidos.

4.3 Edifício de concreto armado

Como terceiro exemplo, é dado um edifício de concreto armado com 50 metros

de altura, 50 metros de largura e 10 metros profundidade. A planta de forma do

pavimento tipo e uma perspectiva do edifício são apresentadas respectivamente nas

Figura 4.16.

Figura 4.16:

Figura

A frequência fundamental de vibração do edifício é

modo fundamental de vibração está dada também na tabela 5.2, adotando

de amortecimento estrutural

vista o número de Reynolds e a rugosidade da superfície

A velocidade média do vento a dez metros de altura é

correspondente a uma velocidade média

média para este exemplo é dado pela lei logarítmica, equação 2.3, com comprimento de

rugosidade 0 0,2z m= .

Como simplificação,

diafragma rígido. Assim, pode

estrutura do edifício divi

discretização adotada para a estrutura

79

Planta de forma do pavimento tipo do edifício

Figura 4.17: Perspectiva do edifício.

A frequência fundamental de vibração do edifício é 1 0,28 f Hz=

modo fundamental de vibração está dada também na tabela 5.2, adotando

de amortecimento estrutural 0,01est

ξ = . O coeficiente de arrasto é aC

vista o número de Reynolds e a rugosidade da superfície do edifício.

A velocidade média do vento a dez metros de altura é refU U m s= =

a uma velocidade média tomada em 10 minutos, e o perfil de velocidade


Como simplificação, assume-se que as lajes do edifício funcionam como um

ígido. Assim, pode-se adotar um modelo plano para sua análise, ficando a

estrutura do edifício dividida em seis pórticos planos. A Figura

discretização adotada para a estrutura e a Tabela 4.9 as correspondentes propriedades

Planta de forma do pavimento tipo do edifício.

0,28 f Hz . A forma do

modo fundamental de vibração está dada também na tabela 5.2, adotando-se uma razão

1,4aC = , tendo em

( )10 25 U U m s= = ,

tomada em 10 minutos, e o perfil de velocidade


que as lajes do edifício funcionam como um

se adotar um modelo plano para sua análise, ficando a

Figura 4.18 mostra a

as correspondentes propriedades.

Figura 4.18

Tabela 4.9: Dados associados

primeiro modo de flexão;

respectivamente a área de expo

nó iz

( )m

1 e 41

2 e 42

3 e 43

4 e 44

5 e 45

6 e 46

7 e 47

8 e 48

9, 17, 25 e 33

10, 18, 26 e 34

11, 19, 27 e 35

12, 20, 28 e 36

13, 21, 29 e 37

14, 22, 30 e 38

15, 23, 31 e 39

16, 24, 32 e 40

6,25

12,50

18,75

25,00

31,25

37,50

43,75

50,00

6,25

12,50

18,75

25,00

31,25

37,50

43,75

50,00

A razão de amortecimento crítico é igual a

amortecimento estrutural ζ


80

18: Vista frontal e pórtico plano para o edifício

Dados associados aos nós do modelo adotado. 1φ é o autovalor associado


A e

a de exposição e o coeficiente de arrasto correspondente ao nó

iz

m

1φ i

m

( )kg

iA

( )2m

6,25

12,50

18,75

25,00

31,25

37,50

43,75

50,00

6,25

12,50

18,75

25,00

31,25

37,50

43,75

50,00

0,13

0,30

0,47

0,63

0,77

0,88

0,95

1,00

0,13

0,30

0,47

0,63

0,77

0,88

0,95

1,00

100000

100000

100000

100000

100000

100000

100000

59000

100000

100000

100000

100000

100000

100000

100000

59000

46,875

31,25

31,25

31,25

31,25

31,25

31,25

15,625

93,75

62,50

62,50

62,50

62,50

62,50

62,50

31,25


1,0%est



Vista frontal e pórtico plano para o edifício.

é o autovalor associado ao

e iCa são,

correspondente ao nó i.

iCa

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

, com parcela de

e a parcela referente ao aerodinâmico é dada pela

81

2,

1,

0,0065 0,65%

2

n

j k k k k

kaer j

j j

Ca A U

m

ρ φζ

ω== = =∑

(3.24c)


ζ ζ ζ= + = .

Nos próximos itens é feita a análise dinâmica do edifício através de quatro

métodos: resolução no domínio da frequência; processo Dyrbye e Hansen; processo

adotado pelo Eurocode; e o modelo discreto da NBR 6123. Lembrando que novamente

a velocidade do vento na direção principal, U , é considerada como a soma de uma

componente média, U , com uma componente flutuante, u .

4.3.1 Componente média de velocidade ( )U

A partir da hipótese adotada que as lajes funcionam como um diafragma rígido,

cada um dos pórticos resiste 1/6 da ação devido à componente média U . Assim, para

cada nível, a área efetiva, eA , é a área média referente a este nível, eA .

Os métodos Dyrbye e Hansen, e Eurocode adotam a lei logarítmica para o perfil

vertical de velocidade média (equação 2.3). A

Tabela 4.10 apresenta este perfil de velocidade do vento e as forças estáticas referentes

a esta velocidade para cada pórtico (equação 3.11).

Tabela 4.10: Resultados para a componente média de velocidade de projeto.

nó z

( )m

U ( )m s

q

( )2kN m

Ca eA

( )2m

aF

( )kN

1, 9, 17, 25, 33 e 41

2, 10, 18, 26,34 e 42

3, 11, 19, 27, 35 e 43

4, 12, 20, 28, 36 e 44

5, 13, 21, 29, 37 e 45

6, 14, 22, 30, 38 e 46

7, 15, 23, 31, 39 e 47

8, 16, 24, 32, 40 e 48

6,25

12,50

18,75

25,00

31,25

37,50

43,75

50,00

21,99

26,42

29,01

30,85

32,28

33,44

34,43

35,28

0,30

0,43

0,52

0,58

0,64

0,69

0,73

0,76

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

78,13

52,08

52,08

52,08

52,08

52,08

52,08

26,04

32,43

31,21

37,63

42,55

46,57

49,99

52,98

27,82

82


máximo no topo do edifício, 188 x 0, m= .

4.3.2 Componente flutuante de velocidade ( )u : Domínio da frequência

Para solução no domínio da frequência foi utilizado o espectro ESDU, dado na

equação 2.13:

( )

( )523

6,8

1 10,2

u L

uL

f S f f

fσ

=+

(2.13a)

onde,

( )( )L

f L z

U zf = , é a frequência adimensionalizada;

( )( )00,67 0,05ln

300200

zz

L z

+ =

, é a escala longitudinal de turbulência.

U , velocidade média dada na tabela 4.10;

0 0,2z m= , comprimento de rugosidade;

2uσ , variância da flutuação.

Nos exemplos anteriores 2uσ

estava sendo calculada por meio da expressão

desenvolvida por Harris (equação 2.6). Porém, os próximos métodos são desenvolvidos

em função da intensidade de turbulência em uma altura de referência, dado na equação

2.5. Assim, para efeito de comparação entre os três métodos utilizados neste exemplo, a

variância da flutuação será determinada através da equação 2.4, desenvolvida a seguir:

( ) ( )u uI z U zσ = (2.4a)

O mesmo procedimento descrito acima foi utilizado para determinar a variância

da flutuação na solução da chaminé (item 4.2), quando empregado o espectro ESDU.

O espectro de resposta da estrutura é dado pela equação 3.52. Seguindo os

mesmos passos do item 4.2.2.3, este espectro é apresentado diretamente no gráfico da

figura 4.24.

83

Figura 4.19: Densidade espectral da resposta para solução

no domínio do tempo e da frequência.


( )2 2

0 0,0109x xS f df mσ

∞= =∫ (3.37e)

com um desvio padrão 0,104 x

mσ = .




pico:

( )( )

( )( )

0,577 0,5772 ln 2 ln 0, 28 600 3,38

2 ln 2 ln 0, 28 600g T

Tν

ν= + = × + =

× (3.40f)

Como nos subitens anteriores, o deslocamento máximo provável, maxx , é obtido


max

max

ˆ 3,38 0,104

ˆ 0,351 xx g

x m

σ= = ×

=

Ainda, para efeito de comparação com a solução do modelo discreto da

NBR6123, a estrutura foi resolvida no domínio da frequência considerando o espectro

de Harris para categoria de rugosidade de terreno III (correspondente a 0 0,2z m= ),

perfil vertical de velocidade do vento obedecendo à lei potencial e razão de

amortecimento crítico igual a 1,0%ζ = . Resultando uma variância de 2 20,0298 .x mσ =

0

0,2

0,4

0,6

0,00 0,25 0,50 0,75 1,00

2

xmS

Hz

[ ] f Hz

84

4.3.3 Componente flutuante de velocidade ( )u : Eurocode – Procedimento 1

A resposta flutuante pelo processo do Eurocode é dada por uma expressão da

forma da equação 3.41 e reescrita a seguir:

maxˆ 2 ux g I B R x = + (3.41)

com,

- 0,188 x m= , item 4.3.1;

- 3,38g = , fator de pico (idem ao item anterior);

- ( ) 0,200u refI z = (idem ao item anterior);

Os fatores de resposta não ressonante, B , e ressonante, R , são dados

respectivamente pelas equações 3.57 e 3.58. Sendo estes, calculados a seguir.


( )

0,63

1

1 0,9

0,523b h

L z

B+

+

= =

(3.57b)

com,

50, 0b m= , largura média da estrutura;

50,0 h m= , altura da estrutura;

( )( )00,67 0,05ln

300200

98 ref

z

ref

zL z m

+ = =

, comprimento de escala de turbulência,

equação 2.14, para 30 refz m= e 0 0,2 z m= .


( )2

*1

1

, 0,8792 u ref h bR S h f R Rπδ

= = (3.58b)

com,

1 12 2 (0,01 0,0065) 0,104δ π ζ π= = × × + = , decremento logarítmico de

amortecimento;

85

( ) ( )30 32,02 refU z U m s= = , lei logarítmica (equação 2.3);

( )( )

*1 5

3

6,8, 0,131

1 10, 2

Lu ref

L

fS h f

f

= =+

, para ( )

( )1 0, 28 98

32, 020,857

L

ref

ref

f L z

U zf

×= = = ,

valor da densidade espectral de turbulência na forma adimensional, equação

2.13;

( )22

1 11 0,376

2 h

h

h h

R eη

η η−= − − = , para

( ) ( )4,6 , 2,011h L ref r

ref

hf z f

L zη = =

, fator de admitância aerodinâmica associado à dimensão vertical, equação 3.59;

( )22

1 11 0,376

2 b

b

b b

R eη

η η−= − − = , para

( ) ( )4,6 b, 2,011b L ref r

ref

f z fL z

η = = , fator

de admitância aerodinâmica associado à dimensão horizontal, equação 3.59;



max

max

max

ˆ 2

ˆ 2 3,38 0,200 0,523 0,879 0,188

ˆ 0,301 ; 0,0890

u

x

x g I B R x

x

x m mσ

= +

= × × + = =

(3,41d)

4.3.4 Componente flutuante de velocidade ( )u : Dyrbye e Hansen

Assim, como o processo do Eurocode, a resposta flutuante pelo processo do

Dyrbye e Hansen também é dada por uma expressão da forma da equação 3.41. Porém,

os fatores de respostas não ressonante, B , e ressonante, R , são dados respectivamente

pelas equações 3.60 e 3.61. Sendo estes, calculados a seguir:


( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2

10, 466

3 31

2

B

b h b h

L z L z L z L zπ

= =

+ + +

(3.60b)

para 50, 0b m= , 50,0 h m= e ( ) 98 refL z m= (idem ao item anterior).

86


( )2

* , 1,5102 u ref r sR S h f Rπδ

= = (3.61b)

para 1 0,104δ = e ( )*1, 0,131u refS h f = (idem ao item anterior), e s

R dado na equação

3.62 e reescrita a seguir:

( ) ( )2

2 2

1 0,243

21

s

y y z z y y z z

R


= = + + +

(3.62b)

com,

( ) 10 50 0,28

4,3732,02

y r

y

ref

C b f

U hφ

× ×= = = e

( ) 10 50 0,28

4,3732,02

z rz

ref

C h f

U hφ

× ×= = = ;

1 2yG = e 3/8

zG = (Tabela 3.1).

O fator de pico é definido, como nos itens anteriores (4.3.2 e 4.3.3), é definido

através da equação 3.40. Porém, a frequência efetiva da resposta é dada pela equação

3.63 e calculada a seguir:

2 2 2 20 0, 098 0, 466 0, 26 1,510

0, 2320, 466 1,510

en B n Rv Hz

B R

+ × + ×= = =

+ + (3.63b)

com 0,28 en Hz= e

( )( )0

32,02 50 500,3 0,3 0,098

98 50 50

refU z h bn

L zh b

×= = =

×

Resultando um fator de pico igual a:

( )( )

( )( )

0,577 0,5772ln 2ln 0,232 600

2ln 2ln 0,233 600

3,33

g TT

g

νν

= + = × +×

=

(3.41e)



max

max

max

ˆ 2

ˆ 2 3,33 0,200 0,466 1,510 0,188

ˆ 0,352 ; 0,106

u

x

x g I B R x

x

x m mσ

= +

= × × + = =

(3.41e)

87

4.3.5 Componente flutuante de velocidade ( )u : Modelo discreto

O problema do edifício foi resolvido através do modelo discreto da NBR 6123

seguindo os mesmos passos do item 4.2.2.5 para os seguintes dados:

31, 226 kg mρ = , massa específica do ar;

( )10min

10 25,0 ref

U U m s= = , velocidade de referência;

kCa , k

z , kA , ,j kφ e k

m , são os mesmos valores encontrados na tabela 4.9;

O coeficiente de amplificação dinâmica é igual a 1,89ξ = . Sendo este, obtido

através de uma interpolação linear do gráfico da figura 3.9, considerando os seguintes

parâmetros:

Taxa de amortecimento, 0, 01ζ = ;

A velocidade de projeto corresponde a uma velocidade média em 10 minutos, a

10 metros de altura referido à categoria II da NBR613. Assim, a velocidade de

projeto pode ser obtida dividindo a velocidade de referência por b para passar

esta da categoria III para II. Resultando, 29,07 p refU U b m s= = (com b=0,86

correspondente a categoria III);

Frequência natural do modo de vibração j; 0, 28 jf Hz= ;

Parâmetro de ajuste experimental; 1800L = .

A tabela 4.11 mostra os resultados obtidos para as forças equivalentes

dinâmicas, ,ˆj kF , atuantes na chaminé. Com os seguintes resultados parciais:

2,

1

2 6,

1

2521 10

2,15 10

0,849

pnk

k k j k

k

n

k j k

k

H

zCa A m

m kg

NFkg

φ

φ

=

=

=

= ×

=

∑

∑

88

Tabela 4.11: Resultados para forças equivalentes dinâmicas atuantes no edifício.

z

( )m

1φ i

m

( )kg

iA

( )2m

,ˆj kF

( )kN

50,00

43,75

37,50

31,25

25,00

18,75

12,50

6,25

1,000

0,950

0,880

0,770

0,630

0,470

0,300

0,130

354000

600000

600000

600000

600000

600000

600000

600000

156,25

312,5

312,5

312,5

312,5

312,5

312,5

468,75

300,45

483,77

448,12

392,11

320,82

239,34

152,77

66,20

A partir da hipótese adotada que as lajes funcionam como um diafragma rígido,

cada um dos pórticos resiste 1/6 da força equivalente dinâmica ,ˆj kF . Aplicando 1/6

desta força em um pórtico da estrutura, resulta em um deslocamento máximo no topo do

edifício, ˆ x 0,271 m= , que corresponde a um desvio padrão xσ de 0,0678 metros já que

g é tomado igual a 4.

4.3.6 Resultados do edifício

Os resultados são apresentados em termos do deslocamento máximo do edifício

( 50z m= ). A Tabela 4.12 apresenta os resultados da análise dinâmica para os

diferentes métodos usados no item 4.2.2.

Analisando os resultados do edifício, nota-se que o deslocamento máximo

esperado obtido pelo modelo discreto da NBR 6123 apresentou valor inferior ao obtido

pela solução no domínio da frequência considerando o mesmo espectro, amortecimento,

perfil de velocidade vertical e fator de pico. Já para os resultados dos processos de

cálculo manuais, procedimento 1 do eurocode e processo de Dyrbye e Hansen,

apresentaram uma ótima correlação quando comparados com a solução numérica.

89

Tabela 4.12: Resultados da análise dinâmica do edifício: 0 0,2 z m= e 25ref

U m s= .

Método de

análise dinâmica

Perfil de

velocidade

Espectro

uS

x

[ ]m

xσ

[ ]m

ζ

[ ]%

g x

x gσ+

[ ]m

Modelo discreto

NBR6123

Lei

potencial Harris

0,173

0,068 1,0 4,0 0,445

Domínio da

frequência

Lei

potencial Harris 0,173 1,0 4,0 0,865

Domínio da

frequência

Lei

logarítmica ESDU

0,188

0,104 1,65 3,38 0,540

Eurocode

Procedimento 1

Lei

logarítmica ESDU 0,089 1,65 3,38 0,489

Dyrbye e Hansen Lei

logarítmica ESDU 0,106 1,65 3,33 0,541

90

Capítulo 5

Programa computacional F-TURB O modelo discreto proposto pela NBR3123 (1988), descrito no capítulo 3,

determina um vetor de forças que, ao ser aplicado estaticamente na estrutura reproduz

os efeitos extremos correspondente a uma análise dinâmica. Este vetor de forças é

composto por uma parcela correspondente à ação do vento com velocidade média em 10

minutos e outra correspondente à ação da turbulência do vento. A parcela da ação

dinâmica associada ao modo j de vibração é dada na equação 3.72 e reescrita a seguir

para o nó k do modelo discreto:

, , j k H k j kF F m φ=

com

,21

2,

1

2

pn

kk k j k

k refref

H n

k j k

k

zCa A

zUF

m

φρ

ξφ

=

=

=

∑

∑ (equação 3.77).

HF é função de um coeficiente de amplificação dinâmica, ξ , sendo este obtido

através de interpolação em curvas apresentadas em função da categoria de rugosidade

do terreno, dimensões e razão de amortecimento (Figuras 3.7 a 3.11). Tendo em vista as

simplificações adotadas na confecção destas curvas e dos limites de sua aplicação,

propõe-se a determinação do vetor de forças dinâmicas (equação 3.69) através de um

programa computacional denominado F-Turb. Sendo os cálculos efetuados por este,

diretamente por integração da equação 3.71 ao invés da equação 3.72 e interpolação de

gráficos.

O programa F-Turb foi implementado em Java, que é uma linguagem de

programação orientada objeto desenvolvida na década de 90 pela empresa Sun

Microsystems. Tem como vantagem o fato do programa ser utilizado em qualquer

sistema operacional e possuir recursos de fácil implementação de interface gráfica para

entrada e saída de dados.

91

5.1 Apresentação e utilização do programa F-Turb

O programa possui uma janela principal para entrada de todas as variáveis do

problema e apresentação dos resultados. Esta janela é apresentada na Figura 5.1

juntamente com seu conteúdo.

Figura 5.1: Janela principal do programa F-Turb e seu conteúdo.

A entrada de dados é basicamente dividida em três grupos: dados gerais da

estrutura; dados referentes aos nós do modelo discreto; e dados referentes ao vento.

Estas entradas correspondem a um modelo discreto da estrutura, cujo esquema é

apresentado na Figura 5.2, e suas respectivas variáveis são dadas a seguir.

Figura 5.2: Esquema para o modelo discreto.

92

• Dados gerais da estrutura:

- número de nós em que a estrutura foi discretizada (exceto nós fixos);

- número de modos de vibração considerados na análise, com a opção de 1,2 e

3 modos;

- Frequência natural de vibração e razão de amortecimento crítico

referentes aos modos selecionados na análise.

• Dados referentes aos nós do modelo discreto:

- y e z são as coordenadas em metros referentes a cada nó i no plano

perpendicular à orientação do vetor velocidade média;

- Ae é a área de influência em metros quadrados correspondente a cada nó i;

- M é a massa discreta em quilogramas correspondente a cada nó i;

φφφφ1, φφφφ2 e φφφφ3 são respectivamente as amplitudes das formas modais 1, 2 e 3.

• Dados referentes ao vento:

- Velocidade básica é a velocidade do vento em metros por segundo

corresponde à velocidade de uma rajada 3 segundos, excedida na média uma vez

em 50 anos, a 10 metros acima do terreno, em campo aberto e plano (categoria

II);

- Categoria de rugosidade indica a categoria de terreno, com a opção das cinco

categorias definidas pela NBR 6123 (1988);

- S1 e S3 são respectivamente os fatores topográfico e probabilístico da

NBR6123 (1988);

- Perfil de velocidade é a lei que define a variação da velocidade média do

vento com a altura, com a opção entre a lei potencial e logarítmica;

- Espectro de turbulência indica a função densidade espectral da componente

flutuante da velocidade, com a opção do espectro de Harris, Von Kármán e

ESDU (utilizado pelo Eurocode, 2005).

Os resultados obtidos são apresentados na tabela “resultados” e possuem as

seguintes variáveis:

- z é a altura em metros da coordenada i sobre o nível do terreno;

- V é a velocidade média do vento (tomada em 10 minutos) correspondente

93

categoria de rugosidade do terreno e altura i;

- F é o vetor de forças em kN referente a velocidade média de vento

correspondente;

-f1, f2 e f3 são os vetores de forças estáticas equivalentes em kN referentes a

componente de velocidade flutuante u para os modos de vibração 1, 2 e 3,

respectivamente.

Para a utilização do programa deve-se seguir os seguintes passos:

1º Passo – a entrada de dados começa pelo preenchimento dos dados gerais da

estrutura. Definida estas variáveis pressiona-se o botão “criar tabela” que gera

uma tabela para uma segunda fase de entrada de dados;

2º Passo – com a tabela criada, preenche-se esta com as propriedades do

elemento correspondente a cada nó i.

3º Passo - com todas as propriedades referente à estrutura informadas, deve-se

definir as variáveis referente ao vento.

4º Passo – depois de todos os dados preenchidos, aperta-se o botão “calcular”

para calcular os vetores de ações devido à velocidade média, F, e equivalentes à

velocidade flutuante f1, f2 e f3.

Estes vetores devem, então, ser somados e aplicados estaticamente ao modelo

numérico da estrutura para a obtenção das respostas máximas estimadas.

5.2 Resultados numéricos obtidos com o programa F-Turb

Os exemplos numéricos resolvidos no domínio da frequência no capítulo 4 são

recalculados utilizando o programa F-Turb, com o intuito de validar inicialmente o

programa. Os resultados encontrados são apresentados nos próximos subitens.

5.2.1 Exemplo do reservatório de água utilizando o programa F-Turb

O exemplo do reservatório de água foi resolvido no item 4.1. Para os mesmos

dados referente a este item o programa resultou uma força correspondente a componente

média de velocidade idêntica, F 17,91 kN= . Já para ação equivalente correspondente a

componente flutuante foi f1 76, 68 kN= , que quando aplicada na estrutura resulta um

94

deslocamento de 3max,ˆ 9,34 10

F Turbx m−

− = × . Deslocamento este, muito próximo do

obtido anteriormente, 3max,ˆ 9,45 10

freqx m−= × .

5.2.2 Exemplo da chaminé utilizando o programa F-Turb

O exemplo da chaminé foi resolvido no item 4.2 variando para a solução no

domínio da frequência o perfil de velocidade, o espectro de turbulência e a taxa de

amortecimento. Utilizando o programa F-Turb foram encontradas as forças equivalentes

dinâmicas. Essas forças, juntamente com o deslocamento maxx produzido por elas, são

apresentados na tabela 5.1.

Tabela 5.1: Forças equivalentes dinâmicas obtidas com o programa F-Turb para o

exemplo da chaminé (item 4.2).

Perfil de velocidade

Lei potencial Lei potencial Lei logarítmica

Espectro Harris Harris ESDU

ζ 1% 1,46% 1,46%

Nó f1 (kN) f1 (kN) f1 (kN)

11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

63,37 109,77 94,79 78,72 64,07 52,29 43,85 36,60 36,48 26,81 11,21

55,56 96,24 83,11 69,02 56,17 45,85 38,45 32,09 31,99 23,51 9,83

53,48 92,64 80,00 66,44 54,07 44,13 37,01 30,89 30,79 22,63 9,46

F-Turb

maxˆ (m)x 0,337 0,295 0,284

Dom. frequência

maxˆ (m)x (item 4.2)

0,336 0,296 0,280

95

Como pode ser visto na tabela 5.1, os deslocamentos obtidos através da solução

no domínio da frequência e pelo programa ficaram muito próximos.

5.2.3 Exemplo do edifício utilizando o programa F-Turb

No item 4.3 foi resolvido um edifício utilizando um perfil de velocidade de

vento respeitando a lei logarítmica e o espectro ESDU. Para os mesmos dados

fornecidos neste item, o programa resultou forças estáticas e equivalentes dinâmicas

apresentadas na tabela 5.2.

Tabela 5.2: Forças equivalentes dinâmicas obtidas com o programa F-Turb para o

exemplo do edifício (item 4.3).

Nó F (kN) f1 (kN)

1 e 41

2 e 42

3 e 43

4 e 44

5 e 45

6 e 46

7 e 47

8 e 48

9, 17, 25 e 33

10, 18, 26 e 34

11, 19, 27 e 35

12, 20, 28 e 36

13, 21, 29 e 37

14, 22, 30 e 38

15, 23, 31 e 39

16, 24, 32 e 40

19,46

18,73

22,58

25,53

27,95

30,00

31,79

16,70

38,93

37,46

45,16

51,07

55,90

60,00

63,59

33,39

14,27

32,94

51,61

69,18

84,55

96,63

104,32

64,79

14,27

32,94

51,61

69,18

84,55

96,63

104,32

64,79

Aplicando a componente de força equivalente dinâmica f1 na estrutura, resulta

um deslocamento igual à max,ˆ 0,350 F Turbx m− = sendo que o deslocamento obtido pela

solução no domínio da frequência foi max,ˆ 0,351 freqx m= .

96

Como esperado, para os três exemplos, os resultados obtidos pela solução modal

no domínio da frequência se igualam aos resultados obtidos através do programa

desenvolvido. Apesar dos primeiros resultados serem satisfatórios, a validação do

programa desenvolvido só se dará com mais testes, pois neste trabalho foram

considerados somente três exemplos numéricos.

97

Capítulo 6

Considerações finais

Como primeiro objetivo, este trabalho se propôs a fazer uma análise comparativa

entre alguns métodos de solução de equações de movimento em termos de coordenadas

generalizadas de edificações sob ação de vento turbulento. Foram desenvolvidas

soluções numéricas nos domínios do tempo e da frequência e aplicados métodos para o

cálculo manual apresentados pelas normas Eurocode (2005) e NBR6123 (1988). De

uma forma geral, os resultados obtidos por estes métodos apresentam uma boa

correlação para os três exemplos testados: uma torre de reservatório de água; uma

chaminé de 180 metros de altura; e um edifício de 50 metros de altura.

A comparação entre as soluções nos domínios do tempo e da frequência para o

exemplo da torre do reservatório foi muito boa. A solução numérica no domínio da

frequência apresentou boa correlação com os resultados dos processos 1 e 2 indicados

no eurocode (2005), o segundo sendo o processo proposto por Dyrbye e Hansen. Já o

deslocamento máximo obtido através do modelo discreto da NBR6123 foi inferior ao

dos outros dois processos de cálculo manual e também ao da solução numérica aplicada

com as mesmas hipóteses adotadas pelo modelo discreto.

Depois desta análise comparativa, foi desenvolvido como proposto, um

programa denominado F-Turb que auxilia a aplicação do modelo discreto da NBR 6123.

Os resultados obtidos através deste programa, para os três exemplos propostos nesta

dissertação, se igualam ao obtido pela solução modal no domínio da frequência.

Apesar de inicialmente o programa apresentar bons resultados, este deve ser

demasiadamente testado para só assim, ser considerado como válido. Posteriormente,

ele poderá ser disponibilizado pela internet para aplicação do modelo discreto descrito

pela NBR 6123 em alternativa à utilização de gráficos impressos. Ainda, fica em aberto

o desenvolvimento de novas versões do programa, com sugestão dos seguintes itens:

melhorias na apresentação de resultados, mostrando os gráficos dos espectros

envolvidos no processo (semelhante à figura clássica do método de Davenport, Figura

1.3); consideração automática da parcela de amortecimento aerodinâmico (equação

98

3.24); mudanças na entrada de dados do programa para não ser preciso discretizar as

estruturas horizontalmente; etc.

Vale lembrar que todas as análises foram feitas em termos de deslocamento

máximo provável, considerando apenas o primeiro modo de vibração. Não foram

abordados resultados em termos de esforços e acelerações, sendo estes fundamentais

para uma análise em estado limite último e de serviço, respectivamente.

Com relação aos esforços, os métodos envolvendo o fator rajada (Eurocode e

Dyrbye e Hansen) tem por base a razão entre uma resposta extrema esperada e a

correspondente resposta média. Diversos autores, como mencionado no capítulo de

introdução, observaram que este procedimento fornece resultados menos aproximados

para alguns casos. Assim, outros trabalhos poderão ser desenvolvidos em cima de uma

análise comparativa de esforços em estruturas submetidas à ação do vento turbulento.

Ainda, para o caso de edificações, as oscilações decorrentes da ação dinâmica do vento

podem provocar desconforto aos seus usuários. Tradicionalmente, níveis aceitáveis de

conforto são classificados em termos de acelerações. Ficando também, esta abordagem

em relação ao estado limite de serviço, como sugestão para trabalhos futuros. Vale

salientar que esta análise envolve velocidades de vento com maior probabilidade de

ocorrência do que os ventos tratados em projeto estrutural, diferentes dos ventos

tratados neste trabalho.

99

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