sc3a9rie-de-fourier.doc
TRANSCRIPT
Convergência das Séries de Fourier e Séries
Duplas de Fourier
Laura Brasil de Almeida
Engenharia de Telecomunicações
João Flávio Carneiro
Engenharia de Telecomunicações
Niterói - RJ
2010/2
Sumário
Resumo...................................................................................................................3
Introdução.............................................................................................................3
1- Convergência em média...........................................................................3
2- Desigualdade de Bessel..........................................................................5
2.1- Igualdade de Parseval.............................................................6
3- Derivação e Integração das Séries de Fourier....................................7
4- Fenômeno de Gibbs...............................................................................9
5- Convergência uniforme – Teorema de Weierstrass...........................9
6- Série Dupla de Fourier........................................................................10
Conclusão.............................................................................................................11
Agradecimentos...................................................................................................11
Referências..........................................................................................................12
2
Resumo
Neste artigo foi estudado alguns teoremas e propriedades relativos as séries de Fourier. Os temas abordados foram convergências em média e uniforme, integração e diferenciação das séries de Fourier, foi visto também desigualdade de Bessel e igualdade de Parseval que são propriedades importantes para a compreensão desses temas.
Palavras-chave. Séries de Fourier. Convergência.
Introdução
Uma série de Fourier é uma expansão de uma função periódica em termos de uma soma infinita de senos e cossenos . A série de Fourier faz uso da ortogonalidade relações do seno e cosseno funções. O cálculo e estudo de série de Fourier são conhecidos como análise harmônica e é extremamente útil como forma de acabar com uma função periódica arbitrária em um conjunto de termos simples.
1- Convergência em média
Em um espaço de funções com produto interno expresso por ima integral a afirmação segundo a qual:
Não é o mesmo que dizer que a seqüência { } converge para função f em todo ponto de [a,b] (convergência pontual). Em Análise Matemática, essa convergência via produto interno e conhecida como convergência em média, para enfatizar que ela é calculada por integração, que em certo sentido é um processo de média generalizado.
Ex.: A seqüência de funções {x, x², x³, ...} converge em média para zero em cp[-1,1] (espaço das funções contínuas no intervalo fechado [-1,1]).De fato,
Entretanto, {x, x², x³, ...} não converge para zero em cada ponto.O exemplo dado mostra que a convergência em média é diferente da pontual.
DEFINIÇÃO: Diz-se que uma série infinita de vetores de um espaço
euclidiano converge para o vetor û a seqüência associada das somas parciais converge para û no sentido que:
3
Se este é o caso, escrevemos:
E dizemos que û foi desenvolvida em série infinita.
Mais detalhadamente, converge para û para cada número real ε > 0
existe um inteiro K tal que:
Toda vez que N>K. O real ε pode ser entendido como o “erro”. Na verdade,
é a “distância” da soma ao vetor û.É sabido que todo espaço euclidiano de dimensão finita tem uma base
ortonormal û1, û2, û3,..., ûn e que todo vetor deste espaço pode ser escrito de modo único sob a forma:
É possível generalizar este resultado para espaços euclidianos de dimensão infinita. Assim
Entretanto sem informações mais detalhadas não existe, evidentemente nenhuma garantia que esta série convirja para û. É claro que se converge (e isto ocorre em inúmeras situações), justifica-se escrever
e dizemos que a série converge em média para û.Os produtos internos (û.û ) se denominam de coordenadas ou coeficientes de
Fourier (generalizados) deu em relação a base (ou conjunto ortonormal) û1, û2, ...É comum escrever
4
Onde o símbolo ~ é para ressaltar que a série em questão pode não convergir para û. Caso convirja justifica-se usar o símbolo de igualdade.
TEOREMA: Seja qualquer série infinita que converge em média para
û, isto é, .
Então = u. para cada k.É claro que se a série converge em média para û vale escrever
Se o espaço euclidiano em tela for cp[a,b] deve-se entender û como f(x), com An e Bn e Nk como sen(Nx) e cos(Nx) (a = -π, b = π) se f for periódica de período 2 π.
2- Desigualdade de Bessel: Igualdade de Parseval
TEOREMA: Seja û1, û2, ... um conjunto ortonormal de vetores e um espaço euclidiano de dimensão infinita, e seja û um vetor arbitrário deste espaço. Então,
Esta expressão é chamada de desigualdade de Bessel. Além disso, û1, û2, ... é uma base
do espaço em questão , que é a igualdade de Parseval.No caso das séries de Fourier a igualdade de Parseval é dada por
TEOREMA: Seja f uma função continuamente diferenciável por partes em cp[-π, π] (f tem uma derivada primeira contínua por partes em [-π, π]). Então, o desenvolvimento
em série de Fourier d f converge pontualmente em [-π, π] e tem o valor
em cada ponto do interior do intervalo e em ± π.
Note que as escrevermos a série de Fourier de f como
significa que a série em questão converge em média para f.
5
Ou seja,
(média)
Ressaltamos que a convergência em média não significa que a série converge pontualmente no sentido que
Para todo em [-π, π].Contudo, o teorema apresentado explicita sob que condições a convergência
pontual ocorre, ou seja, o desenvolvimento em série de Fourier de uma função f cp[-π, π], continuamente diferenciável por partes converge, de fato, para quando
é um ponto de continuidade de f (ou seja, converge na reta inteira).TEOREMA: Seja f uma função contínua em (-∞,∞), com período 2π, e considere que f tenha derivada primeira contínua por partes. Então, a série de Fourier de f converge uniforme e absolutamente para f em todo intervalo fechado de x.
Se f for continuamente diferenciável por partes em (-∞,∞) com período 2π. Então, a série de Fourier de f converge uniformemente para f e qualquer intervalo fechado do eixo x que não contenha ponto de descontinuidade de f.
2.1- Igualdade de Parseval
Se f é uma função qualquer de cp[-π,π] então,
Onde Ak e Bk são coeficientes de Fourier.De fato:
Multiplicando (no sentido do produto interno) a equação (1) por f, obtém-se:
6
Tendo em vista que:
Conclue-se que:
Assim,
(c.q.d.)
OBS.: Em geral,
(desigualdade de Bessel),
Onde ê1, ê2,... é um conjunto ortogonal de vetores de um espaço de dimensão infinita (espaço euclidiano) . Aqui é um vetor arbitrário de V. Além disso, ê1, ê2,... é uma base de V se, e somente se,
(igualdade de Parseval).
3- Derivação e Integração das Séries de Fourier
TEOREMA: Seja f uma função contínua em (-∞,∞), com período 2π, e considere que f
tenha derivada primeira contínua por partes. Então, a série de Fourier de pode se
7
obtida derivando a série de f termo a termo, e a série derivada converge pontualmente para se existe.Ou seja, se
TEOREMA: Seja f uma função contínua por partes em (-∞,∞) com período 2π, e seja a série de Fourier de f
Então,
Em outras palavras, a integral definida de f, de a a b, pode ser calculada integrando-se a série de Fourier de f termo a termo.
No caso de integral indefinida fica (teorema da integração): Seja função arbitrária de cp[-π,π] com série de Fourier
8
Então, a função
Tem uma série de Fourier que converge pontualmente com relação a todo x do intervalo (-π,π), e
Pode-se entender que
e,
4- Fenômeno de Gibbs
As somas parciais das séries de Fourier tendem a ir além dos valores da função a um ponto de descontinuidade.
Assim, os valores de f(x) entre duas descontinuidades quaisquer estão no intervalo (-π/2, π/2), enquanto que os de Sn(x) a n-ésima soma parcial percorrem um intervalo um pouco maior [-αn, αn]. O valor limite de αn quando n→ ∞ determina aquele que é conhecido como o intervalo de Gibbs de f.
5- Convergência uniforme – Teorema de Weierstrass
Se é uma série convergente de números reais positivos e se
é uma série de funções tais que │ (x)│≤ para todo k e todo x no intervalo a≤x≤b,
então é uniforme e absolutamente convergente em a≤x≤b.
OBS¹.: Se ∑│ ( (x)│converge, diz-se que a série converge absolutamente.OBS².: Diz-se que uma seqüência { (x)} converge uniforme para a função f(x) no intervalo a≤x≤b, se qualquer que seja ε>0 existe um inteiro positivo , dependendo de ε, mas não de x, tal que │ (x) – f(x)│< ε quando k≥ e x está no intervalo dado.
Note que se { (x)} for a seqüência das somas parciais { (x)} a série correspondente converge uniformemente.
9
│ (x) – f(x)│< ε quando k≥ → │ (x) – f(x)│→ 0, x.
Quando k→ ∞,
“coincide” exatamente com f(x) [a,b]. A convergência uniforme é “global”.OBS.: A seqüência { (x)} é construída a partir da seqüência { (x)} para o caso da série de Fourier
Ou seja,
(série de Fourier).
6- Série Dupla de Fourier
Diz-se que uma função é contínua por patês num retângulo R do plano, se:
10
X
y
a b
(i) f é contínua no interior e no bordo de R, com a possível exceção de um número finito de pontos, ou ao longo de um número finito de arcos diferenciáveis simples, ou em membros, e
(ii) existe quando é um ponto de descontinuidade de
f e (x,y) tende a pelo interior de qualquer uma das regiões em que R é dividida pelos arcos de descontinuidade.
Extensão:
TEOREMA: Sejam { } e { } bases ortogonais dos espaços euclidianos cp[a,b] e cp[c,d], respectivamente. Então, o conjunto de todos os produtos { .}, i = 1,2,... e j = 1,2,... é uma base de cp(R), onde R é o retângulo
De um modo mais geral, o conjunto de funções
É uma base do espaço euclidiano das funções contínuas por partes no retângulo
TEOREMA: Seja r o retângulo , e suponhamos que F seja
contínua em R, e que existam e sejam limitadas em R. Então, a série
dupla de Fourier de F converge pontualmente para F em R.
Conclusão
Neste artigo, apresentamos a dedução da fórmula de Fourier e a definição das somas parciais da série de Fourier. Uma compreensão mais precisa do significado da convergência da série de Fourier, o fenômeno de Gibb e a série dupla de Fourier. Outras aplicações das séries de Fourier, relacionadas com a resolução de problemas de valores de contorno e o Teorema de Parseval, que pode ser usado na determinação da soma de séries numéricas convergentes também foram ser exploradas.
AgradecimentosAo Prof. Altair Souza de Assis pelas aulase a minha família e amigos pelo suporte
Referências
11
Introdução a Análise Linear, R. Kreider, D. R. Osteberg, R. C. Kuller e F. W. Perkins, Editora Unb e livro técnico, RJ, 1972
Notas de aula, séries de Fourier, A. S. de Assis, 2010
Apostila séries de Fourier, R. O. Sacramento, 1980
12