salvador-ba formando pessoas para transformar o mundo. 3ª ... · o número de habitantes p de uma...
TRANSCRIPT
SALVADOR-BAFormando pessoas para transformar o mundo.
Tarefa:RESOLUÇÃO DA 1ª AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA
ALUNO(A): ______________________________________________3ª série
do ensino médio
Turma: ___Nº: ______
Elaboração: Prof. Octamar Marques Resolução: Profa. Maria Antônia Gouveia Unidade: III
QUESTÃO 01.Numa sala estão reunidos 64 jovens.Sabe-se que:
I) O número de rapazes que falam Inglês é 10.II) O número de moças que não falam Inglês excede em 6, o número de rapazes que, também não
falam Inglês.III) O número de moças que falam Inglês é dois terços do número de rapazes que, também não
falam Inglês.Qual a probabilidade de, escolhendo-se ao acaso um desses jovens ocorra uma moça
01) 52,46% 02) 48,04% 03) 56,25% 04) 58,20% 05) 45,20%
RESOLUÇÃO:
18x1448x
483
2x2x643
2x6xx10
=⇒=
⇒=+⇒=++++
Existem, então 36 moças.
A probabilidade pedida ë 0,56256436 = .
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 02.
A soma das raízes da equação 3
144x8x
2
3
−=−+ é igual a
01) 38− 02) 3 03) 0 04)
21
05) 2
RESOLUÇÃO:
38S
0168x3x2)14(x4)2x3(x3
142)2)(x(x
4)2x2)(x(x3
144x8x 22
2
2
3
−=⇒
=−+⇒−−=+−⇒−=−+
+−+⇐−=−+
RESPOSTA: Alternativa 01.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado
QUESTÃO 03.
Na figura, AB representa um poste de altura 6m, sustentado pelos cabos CB e BD de comprimentos iguais a 10m. Sabendo que o ângulo DB̂C formado por esses cabos é igual a 60o, calcule o cosseno do ângulo CÂD
01) 114
02) 327
03) 125
04) 169
05) 94
RESOLUÇÃO:
O triângulo BCD é eqüilátero. O segmento AB é perpendicular ao plano determinado pelos pontos A, C e D. Então: x2 = 100 – 36 ⇒ x = 8.
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ACD, temos: 100 = 64 + 64 – 2 × 8 × 8 × cosα ⇒
128 cosα = 28 ⇒ cosα = 327
RESPOSTA: Alternativa 02.
QUESTÃO 04.
O pagamento de uma dívida deve ser feito em 30 prestações mensais sucessivas.No primeiro mês o pagamento foi de R$ 52,00, no segundo mês R$ 60,00, no terceiro mês R$ 68,00 e assim, sucessivamente.Calcule a soma das 30 prestações.
01) R$ 4.200,00 02) R$ 4.840,00 03) R$ 4.960,0004) R$ 5.040,00 05) R$ 5.160,00
RESOLUÇÃO:
A seqüência 52, 60, 68, 76, P30 constitui uma P.A. com 1o termo 52 e razão 8. Assim P30
= 52 + (30 – 1)×8 = 52 + 232 = 284.
Então a soma das 30 prestações é: ( ) 5040
23028452 =×+
reais.
RESPOSTA: Alternativa 04.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado 2
QUESTÃO 05.
Uma dívida deve ser paga em 10 prestações, sendo que cada prestação é igual a anterior acrescida de 20%.A terceira prestação foi de R$ 144,00.Calcule a soma das 10 prestações, considerando 5,161,29 = .
01) R$ 1.890,00 02) R$ 1.964,00 03) R$ 2.026,0004) R$ 2.426,00 05) R$ 2.596,00
RESOLUÇÃO:
P1 = x; P2 = 1,2x; P3 = 1,22x = 144; ; P10 = 1,29x. Esta seqüência é uma P.G. de razão 1,2 e primeiro termo P1 = x.
De 1,22x = 144, temos que x = 10044,1
144 = .
A soma dos termos de uma P.G. pode ser calculada pela fórmula: Sn = ( )
1q1qa n
1
−−
.
Assim S10 = ( ) ( ) ( ) 2596116,52,1500
2,012,12,1001
12,112,1001 910
=−×=−×=−
−reais.
RESPOSTA: Alternativa 05.
QUESTÃO 06.
A soma dos n primeiros termos de uma P.A. é igual a 2n6n − ; n ∈ N*.Qual o valor do décimo termo dessa seqüência?
01) –13 02) –11 03) –9 04) –7 05) –5
RESOLUÇÃO:
Se a soma dos n primeiros termos de uma P.A. é igual a 2n6n − ; n ∈ N*, fazendo n = 1, nessa relação, temos o valor de a1 = 6 – 1 = 5.Para n = 2, temos: a1 + a2 = 12 – 4 = 8 ⇒ aa = 3.A seqüência é, então: 5, 3, 1, ......... que é uma P.A. de razão – 2, logo a10 = 5 + 9× (–2) = –13.
RESPOSTA: Alternativa 01.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado 3
QUESTÃO 07.
Numa P.G. de termos positivos o quinto termo é igual a m e o nono igual a n..Determine o valor do décimo primeiro termo.
01) mnm 02)
mnn 03)
nmn 04)
nmm 05) m
nm
RESOLUÇÃO:
Numa P.G. temos a9 = a5 × q9 – 5 = a5 × q4 ⇒ n = m × q4 ⇒ q = 4mn .
Assim a11 = a9 × q11 – 9 = a9 × q2 = n × 2
4mn
= n
mn
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 08.
Sendo 1x
2)x(+
=f , determine p de modo que )p)(( ffο = 1.
01) 31
02) 31− 03)
21− 04) 1 05)
21
RESOLUÇÃO:
)p)(( ffο = 1 ⇒ 1))p((( =ff ⇒ 11p
2 =
+
f ⇒ 1
11p
22 =
++
⇒ 211p
2 =++ ⇒
11p
2 =+ ⇒ p + 1 = 2 ⇒ p = 1.
RESPOSTA: Alternativa 04.
QUESTÃO 09.
Considere a função
≤<−≤≤−−
=4x2 se ,3x2x2 se x,
(x)f
Qual o número de soluções da equação 1 x(x) −=f ?
01) 5 02) 4 03) 3 04) 2 05) 1
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado 4
RESOLUÇÃO:
Analiticamente temos:
( )
≤<−±=−≤≤−=
⇒
≤<−=−≤≤−−=−
⇒
≤<−≤≤−−
=− 4x2 se ,1 3x
2x2 se ,124x2 se ,3x1
2x2 se x,14x2 se ,3x2x2 se x,
1x x
xxx
⇒ 21x
4x2 se ,213x
2x2 se,21
=⇒
≤<=⇒+−=−
≤≤−=
xx
x
Graficamente temos
RESPOSTA:Nos dois tipos de resolução vemos que existe apenas uma única solução:
Alternativa 05.
QUESTÃO 10.
O comprimento de uma barra metálica é função do 1o grau de sua temperatura, medida em graus centígrados.
Sabe-se que, quando T = 50o o comprimento da barra é = 200cm e quando T1 = 110o,
1 = 200,40cm.Qual o comprimento dessa barra, em centímetros, quando a temperatura for igual a 180o.
01) 200,67 02) 200,77 03) 200,87 04) 200,95 05) 201,01
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado 5
RESOLUÇÃO:
(T) = aT + b.
Pelos dados do problema temos: ⇒
=
=+
==
=⇒
=+=+
3599b
200b150
150 e
1501
60,00,4a
0,4060a
200,40b110a200b50a
3599T
1501(T) += ⇒ (T) = 87,200
153013
3599
56
3599801
1501 ==+=+×
RESPOSTA: Alternativa 03.
QUESTÃO 11.
O número de habitantes P de uma cidade a cada ano, é determinada pela função P = bta(1,5) .Em 1980, quando t = 0, o número de habitantes era igual a 200.000. Em 1982 passou a ser 300.000.Quantos mil habitantes essa cidade tinha em 1986?
01) 525 02) 550 03) 575 04) 600 05) 675
RESOLUÇÃO:
200.000a200.000a(1,5)0 =⇒= ⇒ P = bt5)200.000(1, .
Fazendo t = 2, 000.3005)200.000(1, 2b = ⇒ ( ) 5,1(1,5)5,1(1,5) b2b =⇒=
Assim P = ( ) t1,5200.000 .
Na igualdade P = ( ) t1,5200.000 substituindo t por 6 temos a população da cidade em 1986: P =
( ) ( ) 000.6755,1000.200\1,5200.000 36=×=
RESPOSTA: Alternativa 05
QUESTÃO 12.
Determine a área do triângulo ABC, onde C é o centro da circunferência x2 + y2 – 10x – 10y + 24 = 0 e os pontos A e B são os pontos de interseção dessa circunferência com o eixo dos x.
01) 5u.a 02) 4,5u.a 03) 5,5u.a 04) 6u.a 05) 6,5u.a
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado 6
RESOLUÇÃO:
x2 + y2 – 10x – 10y + 24 = 0 ⇒ (x2– 10x + 25)+ (y2 – 10y +25) + (24 – 25 – 25) = 0 ⇒(x – 5)2 + (y – 5)2 = 26 que é a equação de uma circunferência de centro C=(5,5) e raio 26 .
Pela figura temos: 26 = 25 + x2 ⇒ x = 1 ⇒ AB = 2.
Logo a área do triângulo ABC é 52
52 =×
RESPOSTA: Alternativa 01.
QUESTÃO 13.
Determine a equação da reta r, mediatriz do segmento de extremidades A = (–2, 4) e B = (8, 2).
01) x +y – 6 = 0 02) 2x – y – 3 = 0 03) 3x – 2y – 3 = 004) 3x + 2y – 4 = 0 05) 5x – y – 12 = 0
RESOLUÇÃO:
A reta r, mediatriz do segmento AB é perpendicular à reta suporte deste segmento e passa pelo seu ponto médio M = ( 3,3).
O coeficiente angular da reta AB é a = 51
8224 −=
−−−
⇒ que o coeficiente angular da reta r é igual a 5.
Logo a equação de r é y = 5x + b. Como ela passa pelo ponto M = ( 3,3), 3 = 15 + b ⇒ b = – 12 ⇒ y = 5x – 12 ⇒ 5x – y – 12 = 0.
RESPOSTA: Alternativa 05.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado 7
QUESTÃO 14.
Seja α um plano perpendicular ao plano β.É verdade que:
1) Toda reta de β é perpendicular a α.2) Toda reta de β é paralela a α.3) Se A ∈ α e B ∈ β, a reta AB é reversa à reta s = α ∩ β, de interseção de
α e β.4) Se a reta t, não contida em α nem em β, é paralela à reta s = α ∩ β, então t // α e
t //β.5) Se uma reta é perpendicular a α e outra é perpendicular a β, então essas são ortogonais.
RESOLUÇÃO:
1) FALSO.Na figura vemos as retas s e u que pertencem a β e não são perpendiculares a α.
2) FALSO.
Na figura temos a reta r que pertence a β e não é paralela a α.
3) FALSO.Na figura A ∈ α e B ∈ β, mas a reta AB coincide com a reta s = α ∩ β, de interseção de α e β.
4) VERDADEIRO.Na figura vemos que a reta t, não contida em α nem em β, é paralela à reta s = α ∩ β, então t // α e t //β.
5) FALSO.Na figura a reta r é perpendicular a α e a reta v é perpendicular a β, e elas são perpendiculares e não ortogonais.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado 8
QUESTÃO 15.
Um obelisco é formado por um cubo encimado por uma pirâmide quadrangular regular.A aresta do cubo é igual ao triplo da altura da pirâmide. Determine a área lateral da pirâmide, em metros quadrados, sabendo que o volume é 240,00m3.01) 1312 02) 158 03) 194
04) 212 05) 78
RESOLUÇÃO:
Pelos dados do problema podemos considerar, AB = 3x, VO = x, OC = 2
3x e VC = a.
Como o volume de o obelisco é 240,00m3, ( ) ( ) 240x3x313x 23 =××+ ⇒
2 x 8 x 2403x27x 333 =⇒=⇒=+ ⇒ AB = 6, VO = 2 e OC = 3.No triângulo retângulo VOC, VC2 = VO2 + OC2 ⇒ a2 = 4 + 9 ⇒ a = 13A área lateral da pirâmide é igual ao produto do semiperímetro da sua base pela medida do segmento VC .S = 2 × 6 × 13 = 12 13 .
RESPOSTA: Alternativa 01.
QUESTÃO 16.
A figura representa o gráfico do polinômio p(x) do terceiro grau.Calcule p(4)01) –18 02) –20 03) –24
04) –28 05) –30
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado 9
RESOLUÇÃO:
Um polinômio p(x) pode ser escrito em função de suas raízes: p(x) = a(x – x’)(x – x’’)(x – x”’)(x – x’’’’).........No caso em questão o polinômio é do terceiro grau cujas raízes são – 2, –1 e 3, podemos escrever: p(x) = a(x +1)(x +2)(x – 3).O gráfico do polinômio passa no ponto (0,6) ⇒ p(0) = a(1)(2)(– 3) = 6 ⇒ a = –1.Logo p(x) = – (x +1)(x +2)(x – 3) ⇒ p(4) = – 5 × 6 × 1 = –30.
RESPOSTA: Alternativa 05.
QUESTÃO DISCURSIVA
Se B é a inversa da matriz A =
211112101
. Calcule o elemento b12 de B.
RESOLUÇÃO:
Se B é a inversa da matriz A =
211112101
, então B é uma matriz de ordem 3, tal que:
211112101
× B =
100010001
. Considerando B =
ihgfedcba
, onde b = b12, temos:
211112101
×
ihgfedcba
=
100010001
. Como o elemento b12 de B é um elemento da primeira linha e da
segunda coluna, para a solução da questão basta multiplicar as linhas daprimeira matriz pela segunda coluna da segunda matriz e igualar os resultados aos elementos da segunda coluna da matriz produto.
−=
=
=
⇒
=+−=+
⇒
=−+=−+
−=⇒
=++=++
=+
21h
21e
21b
0eb1eb
02beb1be2b
hb
02heb1he2b
0hb
RESPOSTA: O elemento b12 = 21
.
RESOLU_AVALIAÇÃO 01 3EM_U III.doc_01/03/07_ado 10