s3.amazonaws.com · l699u lima, melina silva de uma proposta de aplicação da teoria dos campos...
TRANSCRIPT
Universidade Bandeirante de São Paulo UNIBAN
MELINA SILVA DE LIMA
UMA PROPOSTA DE APLICAÇÃO DA TEORIA DOS CAMPOS
CONCEITUAIS PARA O ENSINO DE CÁLCULO EM CURSOS
SUPERIORES
São Paulo - 2012
Melina Silva de Lima
UMA PROPOSTA DE APLICAÇÃO DA TEORIA DOS CAMPOS
CONCEITUAIS PARA O ENSINO DE CÁLCULO EM CURSOS
SUPERIORES
Dissertação apresentada pela aluna Melina Silva de Lima à Coordenação do Mestrado em Educação Matemática, como exigência parcial para obtenção do título de Mestre sob orientação da Professora Tânia Maria Mendonça Campos.
São Paulo - 2012
L699u Lima, Melina Silva de
Uma proposta de aplicação da teoria dos campos conceituais para o ensino de cálculo em cursos superiores. ./ Melina Silva de Lima. - São Paulo, 2012. 193 f.: il.; 30 cm.
Dissertação (Mestrado - Área de concentração: Ensino e
Aprendizagem de Matemática e suas Inovações) – Anhanguera Educacional /
Universidade Bandeirante de São Paulo. Programa de Pós-Graduação em
Educação Matemática.
“Orientação: Professora Drª. Tânia Maria Mendonça Campos”
“Co-Orientação: Verônica Yumi Kataoka”
1. Campos conceituais. 2. Processos cognitivos. 3. Ensino de cálculo. I. Título.
CDD: 515
Agradecimentos Meus sinceros agradecimentos: À CAPES, a qual sou extremamente grata pela concessão de bolsa de estudos de número 99/2011, do Observatório da Educação (de 6/2011 a 12/2011), no Programa de Pós-Graduação (stricto sensu) em Educação Matemática, coordenado pela Professora Doutora Tânia Maria Mendonça Campos; Ao Professor José Vicente Cardoso Santos pela colaboração e as incansáveis sugestões; Ao Professor Olival Freire Junior, pela oportunidade, total colaboração, fomento e confiança; À Prof.(a) Syane Rovella, pela correção e sugestões; À Professora Tânia Maria Mendonça Campos pela confiança, orientação e total apoio, sem os quais eu não poderia concluir este trabalho; À Professora Verônica Yumi Kataoka pela co-orientação, sugestões, incentivos em todas as ordens e enorme colaboração. Também agradeço aos meus alunos que, com as suas inquietações e dúvidas, colaboraram sobremaneira na confecção da pesquisa.
Universidade Bandeirante de São Paulo UNIBAN
MELINA SILVA DE LIMA
UMA PROPOSTA DE APLICAÇÃO DA TEORIA DOS CAMPOS
CONCEITUAIS PARA O ENSINO DE CÁLCULO EM CURSOS
SUPERIORES
Banca Avaliadora
__________________________________________________ Prof. Dr. Olival Freire Junior
Licenciado e Bacharel em Física pela UFBA, Mestre em Ensino de Física e Doutor em História Social pela Universidade de São Paulo, Professor Associado III da Universidade Federal da Bahia e Pesquisador 1-C do CNPq na área de História da Ciência. Em fevereiro de 2011 assumiu a função de Coordenador da Secretaria do Conselho Nacional de Ciência e Tecnologia no Ministério da Ciência e Tecnologia.
__________________________________________________
Prof.(a) Dr.(a)Tânia Maria Mendonça Campos Licenciada e Bacharel em Matemática (PUC/SP), Doutora em Matemática (Universidade de Ciências de Languedoc - FR), Pós-doutora em Matemática (Universidade de Londres) e em Educação Matemática (Universidade de Oxford). Professora e Coordenadora do Programa de Pós-Graduação em Educação Matemática (UNIBAN/Anhanguera)
__________________________________________________
Prof. (a) Dr.(a) Verônica Yumi Kataoka Graduada em Agronomia pela Universidade do Estado da Bahia (1991), Licenciatura Plena em Matemática (Esquema I - 2000) pela Universidade Federal do Ceará, Mestrado em Agronomia/Estatística e Experimentação Agropecuária pela Universidade Federal de Lavras (2005) e Doutorado em Estatística e Experimentação Agropecuária nesta mesma Universidade (2009).
Local: _______________, Data: _____/_______/__________
RESUMO
O objetivo geral do trabalho é de apresentar uma proposta para o ensino de conceitos do Cálculo Diferencial dirigidos a cursos superiores não voltados à formação de matemáticos, tendo como principal referencial teórico a teoria dos campos conceituais, de Gerard Vergnaud. Enquanto que os objetivos específicos são: Analisar alguns fenômenos do processo de ensino e aprendizagem relacionados na interação professor/aluno e aluno/aluno quando os mesmos estão na zona de desenvolvimento proximal; Coletar dados utilizando uma pesquisa em grupos de estudo em salas de aula de cursos de graduação não voltados à formação de matemáticos; coletar dados utilizando uma pesquisa em grupos de estudo em salas de aula de cursos de graduação não voltados à formação de matemáticos; Propor uma nova prática pedagógica que seja adequada aos novos paradigmas educacionais vigentes para que o docente, por meio desta, possa consolidar este processo de forma coerente com as atuais demandas. Para consolidar estes objetivos utilizou-se uma metodologia híbrida, com a revisão de literatura, com caráter descritivo e experimental, utilizando uma pesquisa de campo. No que tange o tratamento dos dados, a taxonomia solo foi empregada na correção dos testes aplicados. A partir da mensuração in loco e da análise do mensurado, é sugerida uma lista de ações e procedimentos a serem adotados de forma preliminar pelo docente para que os discentes possam absorver de maneira mais eficaz e eficiente os conteúdos específicos da disciplina em questão. Por fim, a autora lista recomendações e procedimentos que podem ser adotados previamente às ações do docente em sala de aula através da proposta de fortalecimento do sistema educacional das faculdades, dos centros universitário e universidades, através da formação continuada, nas áreas de conhecimento específico, epistemologia e desenvolvimento humano, didática, tecnologias, legislação, planejamento, projetos e custos educacionais. Os resultados nos mostraram que a detecção de alguns invariantes, bem como sua utilização como objeto de aprendizagem, teve uma grande contribuição para a aprendizagem dos alunos. Nas onde houve a aplicação da proposta, notou-se, por meio da análise da categorização das respostas dos alunos, que houve um crescimento considerável das médias, mesmo entre aqueles alunos que apresentaram notas baixas em ambos os testes. A análise feita em termos de dimensões cognitivas também mostrou que, mesmo nos testes que foram classificados nas dimensões mais complexas, houve um crescimento importante no desempenho dos estudantes. Além disso, os resultados obtidos no referido estudo também garantiram a validade da proposta, de acordo com a avaliação positiva feita pelos professores envolvidos na experiência. Percebemos a importância de ampliarmos tal proposta, reelaborando-a e testando-a com os estudantes. Para tanto, o professor deve observar os alunos e avaliar todo o processo. É extremamente importante que o professor aceite a solução do aluno conduzindo-o à discussão para que justifique e avalie os resultados obtidos. Esse processo, leva à formalização de novos conceitos e novos conteúdos construídos. Palavras-Chave: Ensino de cálculo diferencial, teorias construtivistas, curso de
administração.
ABSTRACT
The overall goal of this work is to present a proposal for teaching concepts of differential calculus targeted at higher education not geared to the training of mathematicians with the main theoretical theory of conceptual fields, Gerard Vergnaud. While the specific objectives are: to analyze some phenomena of teaching and learning related interaction in teacher / student and student / student when they are in the zone of proximal development; Collect data using a research study groups in classrooms undergraduate courses not focused on training of mathematicians; collect data using a research study groups in classrooms of undergraduate courses not focused on training of mathematicians; propose a new pedagogical practice that is suitable for new educational paradigms that the current faculty, through this, to consolidate this process in a manner consistent with current demands. To consolidate these objectives, we used a hybrid methodology with a literature review with a descriptive and experimental, using a field research. Regarding the handling of data, soil taxonomy was used to correct the tests. From the in situ measurement and analysis of measured, is a list of suggested actions and procedures to be adopted on a preliminary basis by the teacher so that students can absorb more effectively and efficiently the specific contents of the discipline in question. Finally, the author lists recommendations and procedures that can be adopted prior to the actions of the teacher in the classroom through the proposed strengthening of the educational system of colleges, universities and university centers, through continuing education, areas of expertise, epistemology and human development, teaching, technology, legislation, planning, projects and educational costs. The results showed that the detection of some invariants, as well as its use as a learning object, made a large contribution to student learning. In which there was the implementation of the proposal, it was noted, by analyzing the categorization of students' responses, there was considerable growth averages, even among those students who had low scores on both tests. The analysis in terms of cognitive dimensions also showed that even in tests that were classified into the more complex dimensions, there was significant growth in student performance. The results obtained in this study ensured validity of the proposal, according to the positive assessment by teachers involved in the experience. Also realize the importance of expanding such a proposal, reworking it and testing it with students. Therefore, the teacher should observe the students and evaluate the whole process. It is extremely important that the teacher accepted the outcome of the student leading the discussion to justify and evaluate the results. This process leads to the formalization of new concepts and new content built. Keywords: Teaching calculus, constructivist theories, course administration.
Lista de Siglas
CC - Campo conceitual;
i.e. - Isto é;
IES - Instituição de ensino superior;
LDB - Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional - Lei 9.394 de 20 de
dezembro de 1996;
SOLO - Structure of the Observed Learning Outcome;
STBI - Denominado de Structured Task-Based Interviews;
ZDP - Zona de desenvolvimento proximal;
Lista de Fotos
FOTO 1 PRELEÇÃO (NA PRIMEIRA VISITA) COM O ENVOLVIMENTO DO PROFESSOR E DAS
TURMAS 1 E 2 ..................................................................................176
FOTO 2 APLICAÇÃO DO QUESTIONÁRIO (PRIMEIRA VISITA)..............................................176
FOTO 3 APLICAÇÃO DO TESTE 1 E EXPLICAÇÃO DA SUA IMPORTÂNCIA ............................177
FOTO 4 TURMA 2 RESPONDENDO AS QUESTÕES DO TESTE 1 EM GRUPOS DE 3 (TRÊS) ALUNOS ...........................................................................................177
FOTO 5 APLICAÇÃO DO TESTE 1 NA TURMA 1...............................................................178
FOTO 6 TURMA 1 RESPONDENDO O TESTE 1 ................................................................178
FOTO 7 ALUNOS DA TURMA 2 AVALIANDO O DOCENTE ...................................................179
FOTO 8 ALUNOS DA TURMA 2 RESPONDENO AS QUESTÕES DO TESTE 2 .........................179
FOTO 9 ALUNOS DA TURMA 1 RESPONDENTO AS QUESTÕES DOS TESTES 2....................180
FOTO 10 ALUNOS DA TURMA 2 EM RESPOTA AO TESTE 2...............................................180
FOTO 11 MOMENTO DE AVALIAÇÃO DO DOCENTE .........................................................181
FOTO 12 MOMENTO DE AVALIAÇÃO DO DOCENTE .........................................................181
FOTO 13 MOMENTO DE AVALIAÇÃO DO DOCENTE .........................................................182
FOTO 14 MOMENTO DE AVALIAÇÃO DO DOCENTE .........................................................182
Lista de Gráficos
GRÁFICO 1 GRÁFICO DA FUNÇÃO EXEMPLO ..................................................................105
GRÁFICO 2 ANÁLISE GRÁFICA DO EXERCÍCIO DE LIMITES................................................109
GRÁFICO 3 ESQUEMA GRÁFICO APRESENTADO AOS ALUNOS DOS GRUPOS 1 E 4 .............116
Lista de Ilustrações
ILUSTRAÇÃO 1 QUESTIONAMENTOS FUNDAMENTAIS DA PESQUISA ....................................26
ILUSTRAÇÃO 2 OBJETIVOS ............................................................................................30
ILUSTRAÇÃO 3 ESQUEMA DE ASSIMILAÇÃO.....................................................................42
ILUSTRAÇÃO 4 COMPARATIVO DAS TEORIAS...................................................................60
ILUSTRAÇÃO 5: CAMPO CONCEITUAL PARA O CÁLCULO DIFERENCIAL ................................62
ILUSTRAÇÃO 6 DESENHO DA PESQUISA .........................................................................94
ILUSTRAÇÃO 7 FUNCIONOGRAMA DA PESQUISA DE CAMPO..............................................95
ILUSTRAÇÃO 8 ENCONTROS COM OS ALUNOS .................................................................96
ILUSTRAÇÃO 9 ETAPAS DA EXECUÇÃO DA PESQUISA .....................................................101
ILUSTRAÇÃO 10 ALGORÍTIMO SUGERIDO PARA A CONSTRUÇÃO DE UM CAMPO CONCEITUAL
FUNDAMENTADO NA TEORIA DE VERGNAUD .........................................148
Lista de Quadros
QUADRO 1 FOCO DE ESTUDO DAS APRENDIZAGENS .......................................................32
QUADRO 2 RELAÇÃO DOS ESTÁGIOS E DO PROCESSO DE APRENDIZAGEM (PIAGET) .........38
QUADRO 3 DISTRIBUIÇÃO DO UNIVERSO AMOSTRAL .......................................................93
QUADRO 4 DESCRIÇÃO DOS OBJETIVOS ESPERADAS NAS QUESTÕES..............................124
QUADRO 5 ESTRATÉGIAS DE APLICAÇÃO DO TESTE 1....................................................127
QUADRO 6 ESTRATÉGIAS DE APLICAÇÃO DO TESTE 2....................................................129
QUADRO 7 CATEGORIZAÇÃO DAS RESPOSTAS DOS TESTES 1 E 2 DE ACORDO COM A
TAXONOMIA SOLO...........................................................................132
Lista de Tabelas
TABELA 1 FUNÇÃO EXEMPLO.......................................................................................104
TABELA 2 PROPOSTA DE APROXIMAÇÃO PELA ESQUERDA DE X=1 ..................................108
TABELA 3 PROPOSTA DE APROXIMAÇÃO PELA DIREITA DE X=1 .......................................108
TABELA 4 CÁLCULOS DA APROXIMAÇÃO PELA ESQUERDA DE X=1...................................109
TABELA 5 CÁLCULOS DA APROXIMAÇÃO PELA DIREITA DE X=1........................................109
TABELA 6 COMPORTAMENTOS FUNCIONAIS SOLICITADOS PELA PESQUISADORA ...............111
14
Sumário
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................18 1.1 Cenário Fenomenológico de Análise ................................................................18 1.2 Características, limitações e incompletudes da pesquisa.................................21
2 PROBLEMA E OBJETIVOS DA PESQUISA ........................................................24 2.1 Cenário acadêmico...........................................................................................24 2.2 Questões Fundamentais do Trabalho...............................................................24 2.3 Os Novos Paradigmas do Conhecimento e o Trabalho - A Nova Sociedade ...26 2.4 As Novas IES x Novas Estratégias de Trabalho...............................................28 2.5 Objetivos...........................................................................................................29
2.5.1 Objetivo geral ..............................................................................................29 2.5 2 Objetivos específicos ..................................................................................30
3 REFERENCIAIS TEÓRICOS.................................................................................31 3.1 As Teorias Cognitivas e a Aprendizagem.........................................................31 3.2 As Teorias Piagetianas e os Seus Conceitos Fundamentais............................32
3.2.1 Principais conceitos da teoria piagetiana ....................................................33 3.2.1.1 Inteligência.............................................................................................33 3.2.1.2 Comportamento .....................................................................................33 3.2.1.3 Estrutura de maturação: assimilação e acomodação ............................33
3.2.2 Os períodos de desenvolvimento: construtivismo seqüencial .....................34 3.2.2.1 Período sensório-motor .........................................................................34 3.2.2.2 Período pré-operacional ........................................................................35
3.2.2.2.1 Período simbólico.............................................................................35 3.2.2.2.2 Período intuitivo................................................................................36
3.2.2.3 Período operatório concreto ..................................................................36 3.2.2.4 Período sensório-motor .........................................................................37 3.2.2.4 A divisão cronológica dos períodos .......................................................37
3.2.3 Processos de passagem de estágios..........................................................39 3.2.3.1 Características dos processos...............................................................39 3.2.3.2 A representação e os seus sentidos......................................................40 3.2.3.3 O lugar dos processos semióticos .........................................................40 3.2.3.4 Acomodação, assimilação e equilibração..............................................41 3.2.3.5 Esquema................................................................................................42
3.3 A Teoria de Vygotsky........................................................................................44 3.3.1 A “nova psicologia” e as postulações ..........................................................44
3.3.1.1 A primeira postulação ............................................................................45 3.3.1.2 A segunda postulação ...........................................................................45 3.3.1.3 A terceira postulação .............................................................................45
3.3.2 Mediação.....................................................................................................46 3.3.3 Contribuições da teoria de Vygotsky ...........................................................47 3.3.4 Atividade mediada.......................................................................................48 3.3.5 A ZDP e a teoria de Vygotsky .....................................................................49
3.4 A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud ..............................................49 3.4.1 Classes de situações ..................................................................................50 3.4.2 Ponto de ruptura..........................................................................................53
3.4.2.1 As competências do aprendiz................................................................53
15
3.4.2.2 A teoria de Vergnaud e o Cálculo ..........................................................54 3.4.3 Campo conceitual e o conjunto de situações ..............................................55 3.4.4 Campo conceitual e a proposta para o cálculo............................................56
3.5 Os Ingredientes de um esquema e o papel do Professor .................................58 3.6 Um campo conceitual para o cálculo diferencial...............................................61
3.6.1 Campos conceituais para entendimento do cálculo diferencial ...................61 3.6.1 Análise das tarefas, a conduta e os campos conceituais híbridos ..............63 3.6.2 Conceitos ocultos ........................................................................................64
4 O ENSINO DO CÁLCULO E A PSICOLOGIA COGNITIVA..................................66 4.1 Percepções sobre as práticas tradicionais........................................................66
4.1.1 A triangulação clássica................................................................................67 4.1.2 A construção de um novo paradigma..........................................................68
4.2 Novos Esquemas e os Invariantes Operatórios................................................69 4.3 A utilização das teorias e a proposta do trabalho .............................................70 4.4 Uma proposta do uso de um campo conceitual para o cálculo.........................73
4.4.1 A Propositura Tradicional de Vergnaud (Prática Exemplificada) .................74 4.4.2 A proposta de ação .....................................................................................75 4.4.3 Uso do ferramental teórico associado .........................................................75 4.4.4 A prática pedagógica proposta....................................................................76
4.4.4.1 A ferramenta cultural..............................................................................81 4.4.4.2 A zona de desenvolvimento proximal ....................................................81 4.4.4.3 Formação de conceitos..........................................................................83
5 METODOLOGIA ....................................................................................................86 5.1 Considerações Metodológicas..........................................................................86
5.1.1 A escolha da população ..............................................................................86 5.1.2 Taxonomia SOLO........................................................................................87
5.2 Procedimentos Adotados na Pesquisa .............................................................89 5.3 A Quem se Aplicou (População/Amostra).........................................................92 5.4 Desenho da Pesquisa.......................................................................................93 5.5 Encontros Presenciais e Seus Objetivos ..........................................................95
5.5.1 Primeiro encontro formal .............................................................................96 5.5.1.1 A preleção..............................................................................................96
5.5.2 O segundo encontro formal.........................................................................97 5.5.3 O terceiro encontro formal...........................................................................97 5.5.4 O quarto encontro formal ............................................................................98 5.5.5 O quinto encontro formal.............................................................................98
5.5.6 O sexto encontro formal............................................................................98 5.5.7 O sétimo encontro formal..........................................................................99 5.5.8 O oitavo encontro formal...........................................................................99 5.5.9 Observações sobre a aplicação dos testes ..............................................99
5.6 Execução da Pesquisa e Coleta de Dados.....................................................100 5.7 Estratégias Metodológicas/Procedimentos Didáticos .....................................102
5.7.1 Procedimentos didático-metodológicos do Docente no ensino de funções103 5.7.1.1 Análise do grupo 1...............................................................................105 5.7.1.2 Análise do grupo 2...............................................................................105 5.7.1.3 Análise do grupo 3...............................................................................106 5.7.1.4 Análise do grupo 4...............................................................................106 5.7.1.5 Estratégias utilizadas após observações realizadas nos grupos 3 e 4 106
5.7.2 Procedimentos didático-metodológicos do docente no ensino de limites..107
16
5.7.2.1 Análise do grupo 1...............................................................................109 5.7.2.2 Análise do grupo 2...............................................................................110 5.7.2.3 Análise do grupo 3...............................................................................110 5.7.2.4 Análise do grupo 4...............................................................................110 5.7.2.5 Estratégias utilizadas após observações realizadas nos grupos 1 e 4 111
5.7.3 Procedimentos didático-metodológicos do docente no ensino de derivadas112 5.7.3.1 Análise do grupo 1...............................................................................113 5.7.3.2 Análise do grupo 2...............................................................................114 5.7.3.3 Análise do grupo 3...............................................................................114 5.7.3.4 Análise do grupo 4...............................................................................114 5.7.3.5 Estratégias utilizadas após observações realizadas nos grupos 1 e 4 116
5.8 Análises dos grupos após Teste 2..................................................................118 5.8.1 Análise do grupo 1 ....................................................................................118 5.8.2 Análise do grupo 2 ....................................................................................119 5.8.3 Análise do Grupo 3....................................................................................119 5.8.4 Análise do Grupo 4....................................................................................119
5.9 A Avaliação Docente.......................................................................................120 5.9.1 Entrevistas com os Discentes ...................................................................121 5.9.2 Execução da Coleta de Dados com as Listas de Exercícios.....................121 5.9.3 Proposta Básica dos Questionários de Aplicação.....................................123
5.9.3.1 Primeiro modelo de questionário .........................................................123 5.9.3.2 Segundo modelo de questionário ........................................................123
5.9.4 Descrição dos objetivos e estratégias esperadas nas questões ...............123 5.9.4.1 Descrição dos objetivos .......................................................................124 5.9.4.2 Descrição das estratégias....................................................................125
5.9.4.2.1 Teste 1 ...........................................................................................125 5.9.4.2.2 Teste 2 ...........................................................................................128
6 ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS....................................................130 6.1 Os instrumentos e suas elaborações..............................................................130
6.1.1 Exercícios prévios e os testes 1 e 2 ..........................................................130 6.1.2 Questionário ..............................................................................................131
6.2 Análise dos instrumentos e classificação da pesquisa ...................................131 6.3 Cruzamento de Variáveis................................................................................132 6.4 Análise das questões por grupo - A questão dos invariantes operatórios ......133
6.4.1 Funções ....................................................................................................133 6.4.1.1 Grupo 1................................................................................................133 6.4.1.2 Grupo 2................................................................................................133 6.4.1.3 Grupo 3................................................................................................134 6.4.1.4 Grupo 4................................................................................................134
6.4.2 Limites.......................................................................................................134 6.4.2.1 Grupo 1................................................................................................134 6.4.2.2 Grupo 2................................................................................................134 6.4.2.3 Grupo 3................................................................................................134 6.4.2.4 Grupo 4................................................................................................135
6.4.3 Derivadas ..................................................................................................135 6.4.3.1 Grupo 1................................................................................................135 6.4.3.2 Grupo 2................................................................................................135 6.4.3.3 Grupo 3................................................................................................135 6.4.3.4 Grupo 4................................................................................................135
17
6.5 Cruzamento de variáveis ................................................................................136 6.6 Procedimentos Teóricos e Práticos ................................................................136 6.7 Considerações e Ponderações.......................................................................137 6.8 A estratégia de trabalho: a ida à ZDP.............................................................137
6.8.1 A ZDP........................................................................................................137 6.8.2 Aspéctos históricos como instrumento de retirada da ZDP.......................138 6.8.3 A saída da ZDP.........................................................................................139 6.8.4 A formação de conceitos e o enfoque da teoria construtivista ..................140
6.9 Algumas considerações, limitações e incompletudes sobre a proposta .........141 6.10 Condições mínimas para a aprendizagem significativa ................................142
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS .................................................................................144 7.1 Registro de Roteiro de Trabalho.....................................................................144 7.2 Indicações e Propostas: a criação de um campo conceitual ..........................146
REFERÊNCIAS.......................................................................................................149
APÊNDICES ...........................................................................................................153 APÊNDICE A - Teste 1 .........................................................................................153 APÊNDICE B - Teste 1 - Respostas comentadas ................................................155 APÊNDICE C - Teste 2.........................................................................................158 APÊNDICE D - Teste 2 - Respostas comentadas ................................................161 APÊNDICE F - Auto-avaliação do docente...........................................................168 APÊNDICE G - Entrevista com o docente ............................................................171 APÊNDICE H - Entrevista com os discentes ........................................................174 APÊNDICE I - Fotos digitais da coleta de dados ..................................................176 APÊNDICE J - Fotos digitais da avaliação docente e discente ............................181 APÊNDICE L - Exercícios aplicados previamente em sala de aula......................184 APÊNDICE M - Níveis de abrangência das questões (taxonomia SOLO)............185
18
1 INTRODUÇÃO Esta pesquisa contempla a análise de um estudo de aplicação, em sala de
aula, de estratégias e técnicas de facilitação1 na formação de conceitos e valores
para o desenvolvimento de métodos próprios do processo cognitivo do sujeito2 e de
como o mesmo consolida o aprendizado, em particular o do Cálculo Diferencial, em
cursos de graduação não voltados à formação de matemáticos.
1.1 Cenário Fenomenológico de Análise
A matemática faz parte dos currículos desde os primeiros anos de
escolaridade, como disciplina básica, pelo vasto campo de utilização nas diversas
ciências. Além disso, seu entendimento é necessário à sobrevivência em uma
sociedade complexa e industrializada.
A julgar pela importância dada à matemática, questiona-se como conviver
com a alta taxa de fracassos acadêmicos relativa ao desempenho nesta disciplina,
ou em disciplinas afins.
De fato, no caso do Cálculo, durante a minha carreira acadêmica, observei
que a maior parte dos estudantes não teve ou não assimilou, durante o universo
escolar, a base matemática em que se apóiam os conteúdos desta disciplina.
Verifiquei também que são comuns reclamações dos professores sobre a
incapacidade da maioria dos discentes de operar logicamente com os conteúdos
deste campo conceitual. Sabe-se que na construção dos conhecimentos
matemáticos, a apreensão de conceitos básicos é indispensável para o
encadeamento dos assuntos em uma sequência quase sempre lógica na estrutura
cognitiva, pois qualquer lacuna que exista pode representar um elemento que
dificulte o processo de ensino/aprendizagem, como se percebe no cotidiano da sala
de aula.
Enfim, a falta de elo entre os conteúdos abordados nos níveis de ensino,
principalmente entre o nível secundário e o universitário, tem trazido grandes
dificuldades na relação ensino-aprendizagem dos alunos que fazem as disciplinas
1 Estas estratégias e técnicas serão explicadas e respectivamente abordadas no transcorrer do próprio trabalho. 2 Denominamos de “sujeito” o aluno, discente e/ou aprendiz nos cursos de graduação.
19
do Cálculo Diferencial, bem como em outros conteúdos de área matemática
constantes nos currículos acadêmicos de graduação.
Outro fator que se supõe interferir no rendimento dos alunos é a maneira
como o Professor apresenta os conteúdo. A forma tradicional, que ainda persiste,
trata o conteúdo como pronto e acabado. O aluno é treinado a utilizar fórmulas,
regras aceitando e reproduzindo passivamente o que o professor transmite, não
sendo estimulado a raciocinar, a refletir, questionar, o que impede que o processo
seja até mesmo mais democrático. Valoriza-se, com isso, o aprendizado de técnicas
desligado da compreensão da maneira de como esse tipo de conhecimento é
construído. Entretanto, esta apresentação calcada em uma sequência de cortes
epistemológicos do conhecimento facilita a absorção das técnicas, ao tempo em que
dificulta o entendimento do todo em detrimento da boa apresentação das partes
constitutivas ao tema. Em especial, quando se trata de conteúdos que envolvam
conceitos (que é o caso do Cálculo) este tipo de estratégia, por fracionar demais o
seu entendimento, não possibilita um aprendizado contínuo e eficaz BARBOSA &
NETO, 2010).
Com essa problemática apresentada, é que buscamos alicerçar o ensino do
Cálculo Diferencial na Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, focando no
aprendizado dos conceitos desta disciplina de forma gradual. Os tópicos
considerados mais relevantes pela pesquisadora e os quais foram ensinados em
sala de aula, foram:
• Limites, análise de tendência de crescimento e decrescimento funcional;
• Infinitésimos, numeralidade do infitésimo, análise de crescimentos e
decrescimento funcional;
• Derivação, taxas de crescimento e decrescimento, pontos de máximo e
mínimo de funções; Diferenciação;
• Conectividade entre os conceitos de limites e derivadas;
• Multireferencialidade entre estes conceitos e as possíveis aplicabilidades
associadas à vida profissional do aluno.
20
Escolhemos como quadro teórico a teoria dos Campos Conceituais3 pelo fato
de a mesma nos permite localizar e estudar continuidades e rupturas (MOREIRA,
2002) entre conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo conceitual, já que,
para Vergnaud, “não se analisa uma situação graças a um conceito único, mas
graças a um conjunto deles; e os mesmos aspectos do mesmo conceito não são
adequados para tratar diferentes situações ou para diferentes procedimentos de
tratamento” (VERGNAUD, 2001, p. 9).
Segundo Moreira (2002), “... na matemática há campos conceituais já
desenvolvidos, como o das estruturas aditivas e o das estruturas multiplicativas -
além dos que existem enquanto campo de conhecimento, com possibilidades de
uma estruturação dos seus respectivos campos conceituais” (MOREIRA, 2002),
como é o caso do Cálculo, da Álgebra, da Geometria e que estão por desenvolve-se
e que não podem ser ensinados, de imediato, nem como sistemas de conceitos nem
como conceitos isolados.
Assim, fez-se necessária, em nossa opinião, uma perspectiva
desenvolvimentista4 à aprendizagem desses campos conceituais de forma a torná-
los mais acessíveis ao novo perfil de discentes que surgiu como desdobramento
objetivo da instauração da Lei de Diretrizes e Bases da Educação (Lei 9.394 de 20
de dezembro de 1996), em que, os novos currículos dos cursos de graduação
implementados pela mesma, têm algumas características singulares a citar: alto grau
de pragmatismo, pouca base nas teorias básicas da álgebra e do cálculo
propriamente dito, e, um alto teor de tecnicismo, herança do cenário polític desta
época.
Com este cenário que foi implementado pela LDB, passamos a ter uma
necessidade de reorganização ou até mesmo adaptação da forma de ensino do
3 Segundo Vergnaud (2001), o Campo conceitual é um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações,
conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e, provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição/aprendizagem.
4 Consideramos a perspectiva desenvolvimentista de Vygotysky. Para ele, construir conhecimentos implica em
uma ação partilhada, já que é por meio das relações entre sujeito e objeto que conhecimentos são estabelecidos na sala de aula. Redimensionados os valores das interações sociais (alunos x alunos e alunos/professor) no contexto escolar, essas passam a ser entendidas como condição necessária para a produção de conhecimentos por parte dos alunos, em particular aquelas que permitem o diálogo, a cooperação e a troca de informações mútuas, no confronto de pontos de vista divergentes e que implica na divisão de tarefas onde cada um tem a responsabilidade que, somadas, resultarão no alcance de um objetivo comum. O professor não somente permite que elas ocorram, como também promove-as no cotidiano das salas de aula. (REGO, 1995, p.110)
21
Cálculo. Esta fenomenologia levou à elaboração deste trabalho em consonância ao
estudo concomitante da teoria cognitivista de Vergnaud.
1.2 Características, limitações e incompletudes da pesquisa
A proposta desta pesquisa, por meio do viés da organização do conhecimento
segundo Vergnaud (1990), aplica-se ao ensino do Cálculo de forma a consolidar o
conhecimento utilizando recursos que conduzam, de forma propositada, o aluno à
zona de desenvolvimento proximal (ZDP), descrita por Vigotsky (1984, p. 97). E
depois, utilizando outros recursos, retirá-lo da ZDP em questão, aproveitando o
conhecimento que foi construído durante toda a vida escolar desse aprendiz,
fazendo-o construir uma aprendizagem mais sólida com a criação e/ou consolidação
de conceitos novos de forma legítima e verdadeira frente aos discentes, extirpando,
assim, o estigma do aprendizado mecânico para as disciplinas de Cálculo Diferencial
para cursos superiores não voltados à formação de matemáticos.
Trata-se, portanto, de um trabalho interativo5 e iterativo6 com o uso de teorias
cognitivas piagetianas (teoria construtivista do desenvolvimento cognitivo humano) e
pós-piagetianas, com foco na teoria dos campos conceituais, sendo os resultados
mensurados pelas análises das respostas dos alunos aos questionários e
entrevistas.
1.3 Justificativa da Proposta do Trabalho e suas Implicações
Considera-se a temática abordada importante devido ao fato de que os cursos
superiores não voltados à formação de matemáticos vêm se expandindo no país de
forma rápida nos últimos anos sem a qualidade necessária para inserção dos seus
discentes no mercado de trabalho e preparo prévio destes, haja visto a falta de base
do nosso ensino fundamental e médio ao tempo em que a alta proliferação das
Faculdades/Universidades (públicas e privadas) no país tem permitido uma grande
oferta de vagas para a docência em todas as áreas. Isso faz com que pensemos em
fomentar pesquisas que tratem do ensino e da aprendizagem de disciplinas
5 Com ações entre os seus entes participantes. 6 Pois foi executado passo a passo de acordo com a metodologia proposta no trabalho.
22
matemáticas, já que costumam ser aquelas em que os estudantes têm maior
dificuldade em aprender.
Em consonância a isto os docentes de formação matemática estão tendo a
necessidade crescente de adotarem e/ou modificarem as suas técnicas de atuação
em sala de aula e fora dela (e-mails, palestras, seminários, ambientes virtuais de
aprendizagem etc). Neste cenário, considera-se também que o ensino do Cálculo,
voltado para os cursos de formação universitária não voltada à formação de
matemáticos, tais como Administração, Economia, Sistemas de Informação,
Ciências Contábeis, Logística, torna-se um desafio à medida que os estudantes não
trazem uma bagagem teórica mínima necessária para compreender os tópicos
abordados nessa disciplina..
1.4 Estrutura da Pesquisa
Esta dissertação está construída da seguinte maneira:
No Capítulo 1 é feita uma breve apresentação ao tema, seus objetivos e
justificativas, bem como o foco de atuação da proposta.
No Capítulo 2 são apresentados, de forma mais detalhada, os problemas e
objetivos da pesquisa, bem como os diversos argumentos e provocações que
elegem o tema como sendo o principal para o trabalho de dissertação, ao tempo em
que evidenciamos as questões fundamentais e consideradas periféricas para o
mesmo. Considerando-se também o fato de que a Teoria de Vergnaud7 herdou de
Vigotsky8 e de Piaget9 (VERGNAUD, 2001) elementos fundamentais, foi feita uma
revisão geral destas abordagens teóricas.
O Capítulo 3 traz uma breve revisão das teorias de Piaget, Vigotsky e
Vergnaud, concentrando-se na teoria dos campos conceituais, a qual é utilizada
7 Gérard Vergnaud toma como premissa que o conhecimento está organizado em campos conceituais cujo
domínio, por parte do aprendiz, ocorre ao longo de um largo período de tempo, através de experiência, maturidade e aprendizagem. Para ele, a Teoria dos Campos Conceituais é um quadro teórico que torna possível a visualização da a relação entre os processos a curto prazo, de aprendizado em situação, e os processos a longo prazo, do desenvolvimento cognitivo (VERGNAUD, 2001, p. 75).
8 Lev Semenovich Vygotsky afirma que o sujeito necessita da presença de outros sujeitos para avançar no processo de aprendizagem, cuja preponderância se encontra nas funções da linguagem e do adulto na transmissão dos conhecimentos e do desenvolvimento cognitivo (VERGNAUD, 2001, p. 69).
9 Jean Piaget, psicólogo suíço, é o mais importante teórico da linha de pensamento construtivista. Criador da Teoria Psicogenética, esta sendo a mais conhecida concepção construtivista da formação da inteligência, que se contrapõe à concepção empirista. A idéia é que o homem não nasce inteligente, mas também não é passivo sob influência do meio, ao contrário: responde a estímulos externos, agindo sobre eles para construir e organizar o seu próprio conhecimento, de forma cada vez mais elaborada.
23
para proposta do desenvolvimento da pesquisa. São apresentados, portanto, os
conceitos-chave da teoria dos Campos Conceituais e os elementos mais importantes
para fundamentação prático-pedagógica e metodológica da mesma.
O Capítulo 4 trata do conceito de esquema criado por Piaget, que é de
fundamental importância na teoria dos campos conceituais, e que tem outro legado
importante: a importância atribuída à interação social, à linguagem e a simbolização
no desenvolvimento de campos conceituais na aprendizagem, herança de Vygotsky.
Tratamos do estudo do processo de aprendizagem do Cálculo à luz das teorias
cognitivas de Vigotsky, Piaget e Vergnaud, considerando uma abordagem
construtivista dos conteúdos associados e utilizando como viés, em alguns
momentos, a abordagem histórica e fenomenológica.
No Capítulo 5 relatamos a metodologia, análise e interpretação dos resultados
experimentais coletados in loco. Também são apresentadas algumas sugestões à
propositura de ações e algumas medidas necessárias à consolidação do método.
Nele são respondidas, à luz do exposto, as principais questões iniciais do trabalho e
registradas a nossa colaboração a título de sugestões e de ações a serem
consolidadas em sala de aula.
Por fim, no Capítulo 6 são apresentadas algumas sugestões finais. Nos
apêndices são expostos os complementos de cada tópico relatado nos capítulos
supracitados, com considerações secundárias, porém relevantes de cada parte
deste trabalho.
24
2 PROBLEMA E OBJETIVOS DA PESQUISA
2.1 Cenário acadêmico
Para o Professor, uma das tarefas mais difíceis é a de possibilitar
oportunidades aos alunos para que os mesmos desenvolvam seus esquemas na
ZDP (MOREIRA, 1996).
Para Vergnaud (1982), a organização do conhecimento está estruturada em
campos conceituais, e o domínio desse conhecimento se dá a longo prazo, por meio
de experiência(s) e maturidade(s) adquirida(s) e aprendizagem construída nesse
processo. Para que progressivamente os sujeitos da aprendizagem dominem um
campo conceitual, novos problemas e novas propriedades devem ser estudados ao
longo de vários anos. As dificuldades conceituais são superadas na medida em que
são encontradas e enfrentadas, mas isso não ocorre de uma só vez (MOREIRA,
1996). Vergnaud afirma que um campo conceitual é um conjunto heterogêneo e
informal, constituído de conceitos, estruturas, relações, conteúdos, bem como
operações de pensamentos, problemas e situações, interligados entre si e,
provavelmente, entrelaçados durante o processo de aquisição (VERGNAUD, 1994;
2001).
Considerando esta visão do problema de organização do processo cognitivo e
as teorias associadas vigentes podemos tecer as questões pétrias que balizam a
proposta desse trabalho.
2.2 Questões Fundamentais do Trabalho
O problema central resume-se no seguinte questionamento:
É pertinente o uso de uma proposta de ensino do Cálculo Diferencial, tendo
como principal referencial teórico a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud?
Ao tentar responder a esta questão foi necessária uma revisão bibliográfica
das chamadas teorias cognitivas para, com isto, sugerir com as ferramentas
pedagógicas das mesmas, um método híbrido para consolidar de forma significativa
o aprendizado do Cálculo Diferencial nos cursos já mencionados.
Outras questões fazem-se necessárias à completude do trabalho:
25
• Como aplicar a Teoria dos Campos Conceituais no ensino do Cálculo
Diferencial, utilizando-se a apresentação e solução de problemas, para
encaminhar, de forma gradual, e depois retirar o aluno da zona de
desenvolvimento proximal?
• A aplicação de uma nova estratégia de ensino/aprendizagem pode retirar o
aprendiz da zona de desenvolvimento proximal?
Segundo Pretto (1996), instaura-se na sociedade (e/ou no sujeito) um “novo
logos”, uma mudança no modo de ser e compreender, que vem possibilitando o
surgimento de uma nova cultura e/ou novo processo cognitivo10. Isto, à princípio,
vale para qualquer processo cognitivo em qualquer área do conhecimento.
Esse “novo logos” propõe uma nova ordem, um novo paradigma de
construção, isto é, o deslocamento de uma abordagem hipotético-dedutivo, racional
e linear, para uma abordagem mais intuitiva, menos cartesiana e que elimina a
dicotomia razão-emoção, enfatizando a subjetividade do sujeito e possibilitando que
o mesmo possa fazer novas associações e daí, então, consolidar e/ou transformar
uma informação em um conhecimento, como afirma o próprio Pretto (1996):
Incorporar a imaginação, a afetividade, uma nova razão, não mais operativa e sim baseada na integridade e na globalidade, encontra inúmeras resistências (PRETTO, 1996, p. 107).
Nesse processo, o “novo logos”, além de propor uma nova ordem, também
fomenta a criação de novas estratégias de ensino/aprendizagem. Pois se assim não
for, o professor/facilitador estará de todo defasado nas estratégias, haja visto que o
sujeito (discente) estará construindo uma nova conexão com uma nova informação e
para tal pressupõe a necessidade também de novas estratégias para expor ao
mesmo a aplicabilidade do novo conhecimento.
Os questionamentos fundamentais à pesquisa podem ser observados na
Ilustração 1.
10 Restringindo-se, com isto, a sua zona de desenvolvimento proximal.
26
Ilustração 1 Questionamentos fundamentais da pesquisa Fonte: Elaboração da própria autora.
2.3 Os Novos Paradigmas do Conhecimento e o Trabalho - A Nova Sociedade
No documento “Educação e Conhecimento: Eixo de Transformação
Produtiva com Eqüidade”11 é relatada que a centralidade da educação e da
produção do conhecimento, ainda que não expressa dessa maneira, por meio de
fomentos (financeiro, entre outros), nos traz a proposição de um novo paradigma de
conhecimento.
A importância da análise de tais documentos reflete-se no fato de que devido
à situação financeira e ao contexto internacional, o Brasil tem se submetido aos
ditames do capital internacional que chega aos nossos investimentos básicos de
educação, saúde, telecomunicações, energia etc, por meio desses organismos.
Sendo assim, as diretrizes destes organismos são fatores determinantes para que se
possa conhecer o destino, as tendências e mega-tendências dos investimentos
11 (CEPAL - Comissão Econômica para América Latina e Caribe da UNESCO / OREALC - Oficina Regional de
Educação para a América Latina e Caribe da UNESCO, 1992) - Também chamado de “Educacion y conocimiento: eje de la transformacion productiva con equidad”, de 1992 tem como seu objetivo principal esboçar linhas de ação para políticas e instituições que pudessem favorecer as relações sistêmicas entre educação, conhecimento e desenvolvimento, na perspectiva da noção de complementaridade entre transformação produtiva e eqüidade. A estratégia proposta se articula em torno de objetivos (cidadania e competitividade), de critérios norteadores (eqüidade e desempenho) e delineamento de reforma institucional (integração nacional e descentralização).
27
governamentais. No caso específico da educação podemos refletir sobre estes
órgãos financiadores considerando os chamados documentos básicos dos quais
inclusive somos signatários.
Ainda de acordo com os documentos descritos, para que os países se tornem
competitivos no mercado internacional, hoje em dia, é necessário que disponham de
talento(s) para “difundir o progresso técnico e incorporá-lo ao sistema produtivo de
bens e serviços”.
Como dispor de talento se ainda não se absorveu os novos paradigmas?
Acreditamos que estas novas demandas de métodos de ensino e aprendizado
são na verdade uma necessidade dos novos processos tecnológicos e da alta
densidade de absorção do conhecimento por parte da nossa atual sociedade. No
caso específico das disciplinas de base matemática com o foco em Cálculo
Diferencial, pode-se notar claramente a incompletude das aplicações tradicionais
dos métodos mecânicos de ensino e aprendizagem da matéria devido ao fato de as
novas tecnologias e demandas associadas à mesma estarem sempre impondo aos
profissionais, da área matemática ou não, um conhecimento cada vez mais denso e
conceitual e não apenas os processos mecânicos tradicionais.
A acumulação de conhecimentos técnico/tecnológico implica uma
complementação entre criação de conhecimento, inovação e difusão, o que
implicaria em novas modalidades de aprendizagem, que fogem ao escopo desta
pesquisa, não obstante, a centralidade do conhecimento (da informação, da
produção do conhecimento e de sua difusão) e a implícita mudança da concepção
de conhecimento parece ser uma idéia para a qual convergem todos os discursos,
todas as propostas, todos os chamados atores sociais, em especial as novas
matrizes curriculares dos cursos de graduação e os modelos pedagógicos
associados às consolidações das mesmas.
Afinal, quem poderia/poderá negar que o impacto da globalização associado à
revolução tecnológica impõe um novo padrão de conhecimento, um “novo logos”?
Trata-se de mudanças inerentes aos processos políticos e sociais que a história vem
registrando.
Os novos processos da relação conhecimento e trabalho são tão notórios,
devido à tecnologia agregada aos mesmos e as mudanças instauradas na relação
28
trabalho e educação, que se podem descrever as características destes novos
paradigmas como sendo: menos discursivos; mais operativos; menos
particularizados e mais generalistas; mais interativo12 e iterativos13; mais
comunicativos; menos intelectivos; mais pragmáticos; menos setorizados; mais
globalizados; não apenas fortemente cognitivos, mas também valorativos,
atitudinais. (PRETTO, 1996)
Consideram-se estas características como sendo subliminares aos novos
processos operativos devido ao fato de as mesmas não estarem expostas de forma
direta nos novos processos, mas sim facilmente notadas pelos seus atores,
principalmente quando os mesmos ainda não conhecem as novas regras e os novos
processos associados. Entretanto, estas condições estão impondo um novo
comportamento pedagógico14, andragógico15 e profissional na relação docente/
discente (professor/aluno).
Esta proposta de trabalho está inserida, à medida que a necessidade da
implementação de um novo comportamento discente e/ou docente com novas
técnicas e/ou modelos operativos e/ou hermenêuticos se fazem necessários para
que haja uma resposta positiva do sistema de ensino da matemática (em particular
do Cálculo Diferencial) do nível superior ou correlatos.
2.4 As Novas IES x Novas Estratégias de Trabalho
Frente a tais mudanças na concepção do processo de ensino/aprendizagem,
as IES que desejam se adequar às novas condições na relação de
conhecimento/trabalho/formação e perfil profissional, implementadas no Brasil
através da LDB, não podem, acredita-se, ficar de fora destas transformações, ou
possibilidades de transformações, pois correm o risco de deixar de existir, ou até de
não poderem ser inicializadas, ou perderem a cada momento, a sua função precípua
de formação profissional e social, já que não atenderão à demanda da (nova)
sociedade que está se instaurando.
12 Interar significa trocar informações entre os seus entes constiuintes. 13 Iterar significa “fazer passo a passo...”. 14 No seu sentido primitivo, a arte de conduzir crianças (Antunes, 2001; p. 162). A pedagogia é a relação
adulto/criança e faz-se necessária quando o comportamento acadêmico do discente, mesmo com uma alta faixa etária, é análogo à de uma criança.
15 Trata-se da educação para adultos (Antunes, 2001; p. 81). A andragogia é a relação adulto/adulto (Brunner & Zeltner, 1994; p. 17) e trata-se do comportamento esperado no nível superior no paradigma anterior apesar de fenomenologicamente não ser condizente com a realidade que nos cerca.
29
Esta nova sociedade a que nos referimos é a Sociedade da Informação,
onde, os processos tradicionais de transmissão de conhecimento e de cognição
estão se modificando, devido, principalmente, à alta densidade de informação por
unidade de tempo a que os seus indivíduos estão continuamente submetidos e que
faz com que os mesmos não tenham mais a dispor do tempo linear para consolidar
os seus possessos cognitivos, além do fato de estarem todas as ferramentas
tecnológicas a compor fileiras para permitir as mudanças na relação educação e
trabalho.
Se compararmos os currículos dos cursos de graduação nos últimos dez
anos, vemos que os mesmos passaram por diversas adequações. Do modelo de
“grade” para o de “diretrizes curriculares”, passando pelas ambientação aos novos
modelos de avaliação nacional, e com isso modificando estrategicamente as
avaliações in loco, tanto nas IES e no que se refere a elas em âmbito geral, quanto
de maneira mais pontual nas respectivas disciplinas dos cursos referidos.
Essas mudanças afetam toda a forma de organizar o ensino e numa
velocidade como nunca antes vista. Muda-se efetivamente e rapidamente a forma de
lidar com a avaliação, com o ensino e, consequentemente, com o aprendizado e a
forma de “detecção” e acopanhamento do mesmo. Há, com isso, uma modificação
na relação discente/docente, que entremeada na atual conjuntura social, se encontra
na atemporalidade destas relações, com tecnologia agregada aos mesmos (vide os
processos tecnológicos agregados às redes de transmissão de que a relação aluno-
professor seja cada vez mais densa, construtiva e interconectada.
Sendo assim, por que não utilizar-se destas possibilidades / ferramentas para
agregar-se nesta (nova) relação um viés positivo de estratégia cognitiva?
2.5 Objetivos
2.5.1 Objetivo geral
O objetivo geral do trabalho é apresentar uma proposta para o ensino de
conceitos do Cálculo Diferencial dirigidos a cursos superiores não voltados à
formação de matemáticos, tendo como principal referencial teórico a teoria dos
campos conceituais, de Gerard Vergnaud.
30
2.5 2 Objetivos específicos
Consideramos os objetivos específicos ou secundários os seguintes pontos a
citar:
• Analisar alguns fenômenos relacionados ao processo de ensino e
aprendizagem relacionados na interação professor/aluno e aluno/aluno
quando os mesmos estão na zona de desenvolvimento proximal.
• Analisar e propor os caminhos e estratégias para os desenvolvimentos
cognitivo, instrumental e conceitual do Cálculo Diferencial em cursos
superiores não voltados à formação de matemáticos.
A interação entre estes objetivos pode ser verificada na ilustração 2.
Ilustração 2 Objetivos Fonte: Elaboração da própria autora.
Assim, no intuito de consolidar os objetivos e a questão da pesquisa será
feita, no capítulo seguinte, a revisão de literatura ao tema.
31
3 REFERENCIAIS TEÓRICOS
No que diz respeito à fundamentação teórica do trabalho, as teorias de
Vergnaud, Vygotsky e Piaget foram de grande contribuição e embasaram o estudo
teórico e a aplicação da pesquisa. Apesar da tentativa de resumir estas teorias neste
capítulo, de forma alguma pretende-se esgotar quaisquer dos pressupostos teóricos
aqui tratados. Pretende-se, sim, resenhar as mesmas no que diz respeito à
propositura da pesquisa, ao tempo em que são colocadas na rota do estudo,
utilizando a grande contribuição desses autores para o entendimento da aquisição
de conceitos.
3.1 As Teorias Cognitivas e a Aprendizagem
Uma teoria é uma forma de sistematizar uma determinada área do
conhecimento, dessa forma, uma teoria de aprendizagem visa a interpretação
sistemática da aprendizagem/hermenêutica de um (uns) autor (es) a respeito do
tema aprendizagem (MOREIRA, 1999, p. 12).
Não é necessário que uma teoria que trate de aprendizagem seja uma teoria
de aprendizagem. Um exemplo é a teoria de Piaget, como veremos a seguir. Se já é
difícil tentar conceituar aprendizagem, torna-se ainda mais complexo a
conceitualização de um “tipo” de aprendizagem, como a cognitiva. De acordo com
Moreira (1999) a conceituação desse tipo de aprendizagem está associada
a:.”condicionamento; aquisição de conceitos; aquisição de informação (aumento do
conhecimento) e construção de novos significados, de novas estruturas cognitivas,
revisão de modelos mentais” (p. 13).
Como já dito, as definições acima se referem à aprendizagem cognitiva, que é
aquela que resulta no armazenamento organizado de informações e de
conhecimentos na memória do aprendiz. Tal complexo organizado é conhecido
como estrutura cognitiva. Ainda existem mais dois tipos de aprendizagem: a afetiva e
a psicomotora. Em lihas gerias, o foco dessas três tipos de aprendizagem pode ser
observado no quadro 1.
32
Foco de Estudo das Aprendizagens Uma interfere na aquisição da outra, por isso não utilizamos o termo “definição”, mas
“foco”
Aprendizagem Cognitiva Aprendizagem Afetiva Aprendizagem Psicomotora
Focaliza a cognição, o ato de conhecer.
Trata das experiências, tais como dor, satisfação, descontentamento, alegria, ansiedade.
A exemplo das respostas musculares adquiridas por meio de treino e prática.
Quadro 1 Foco de Estudo das Aprendizagens Fonte: Elaboração da Própria autora.
3.2 As Teorias Piagetianas e os Seus Conceitos Fundamentais
Jean Piaget construiu uma teoria sólida e muito bem fundamentada. A teoria
de Piaget tenta nos explicar como se desenvolve a inteligência nos seres humanos.
Daí o nome dado a sua ciência de Epistemologia Genética, que é entendida como o
estudo dos mecanismos do aumento dos conhecimentos (PIAGET, 2002).
Vale ressaltar que as teorias de Piaget têm comprovação em bases
científicas, já que ele não somente descreveu o processo de desenvolvimento da
inteligência, mas, experimentalmente, comprovou suas teses. Por esse motivo,
qualquer tentativa de simplificação ou resumo tende a deixar de abordar questões
fundamentais ou fazer exposição incompleta ou mesmo indevida (MOREIRA, 1999).
O que pretendemos com esta abordagem é apenas nos utilizar de um
“direcionamento” para a apresentação da teoria dos campos conceituais de Gerard
Vergnaud, apresentando os elementos herdados da teoria de Piaget, com uma
abordagem superficial. Embora sua teoria seja invariavelmente difundida como
Construtivismo, i.e., considerada por muitos como sendo “a” teoria construtivista,
isso não é verdade. Piaget construiu durante anos, “uma” das diversas teorias
construtivistas (MOREIRA, 1999) e a mais famosa, mas não a primeira, muito menos
única.
Embora muitos de seus importantes trabalhos datem da década de 20, foi nos
anos de 70 que sua teoria foi, digamos, “redescoberta”, iniciando uma verdadeira
ascensão do cognitivismo e declínio do behaviorismo, no que diz respeito à
influência no ensino/aprendizagem, bem como nas pesquisas desta área
(BRUNNER ; ZELTNER, 1994).
A partir do momento em que surgiu o interesse e até sua morte, Piaget
trabalhou incessantemente. Ele morreu aos oitenta e quatro anos, em 1980,
33
deixando legado de setenta livros e mais de quatrocentos artigos, aproximadamente.
(BRUNNER; ZELTNER, 1994).
3.2.1 Principais conceitos da teoria piagetiana
Descreveremos os principais conceitos da teoria piagetiana e as suas
abrangências na nossa propositura de trabalho.
3.2.1.1 Inteligência
A inteligência, para Piaget, é o mecanismo de adaptação do organismo a uma
situação nova e, como tal, implica a construção contínua de novas estruturas. Esta
adaptação refere-se ao mundo exterior, como toda adaptação biológica (FURTH,
1997; p. 40). Desta forma, o indivíduo se desenvolve intelectualmente a partir de
exercícios e estímulos oferecidos pelo meio que o cerca.
3.2.1.2 Comportamento
Para Piaget o comportamento dos seres vivos não é inato, tampouco
resultado de condicionamentos. Para ele o comportamento é construído numa
interação entre o meio e o indivíduo (PIAGET, 2002). Esta teoria epistemológica16 é
caracterizada como interacionista (MOREIRA, 1999). A inteligência do indivíduo,
como adaptação a situações novas, portanto, está relacionada com a complexidade
desta interação do indivíduo com o meio. Em outras palavras, quanto mais complexa
for esta interação, mais “inteligente” será o indivíduo. As teorias de Piaget fornecem
oportunidade de estudo e pesquisa em diversos campos, não se restringindo,
portanto, apenas à psicologia do desenvolvimento, mas também à sociologia,
antropologia, entre outras. Além disso, permite que os pedagogos tracem uma
metodologia baseada em suas descobertas.
3.2.1.3 Estrutura de maturação: assimilação e acomodação
A estrutura de maturação do sujeito sofre um processo genético e a gênese
depende de uma estrutura de maturação. Piaget mostra, assim, que o sujeito só
recebe um determinado conhecimento se estiver preparado para recebê-lo. Isto é, se
puder agir sobre o objeto de conhecimento para inseri-lo num sistema de relações.
34
Não existirá um novo conhecimento se o organismo não tiver em sua estrutura
cognitiva um conhecimento anterior para poder assimilá-lo e transformá-lo. O que
implica os dois pólos da atividade inteligente: assimilação e acomodação. É
assimilação na medida em que incorpora a seus quadros todo o dado da experiência
ou estruturação por incorporação da realidade exterior a formas devidas à atividade
do sujeito. É acomodação na medida em que a estrutura se modifica em função do
meio, de suas variações. A adaptação intelectual constitui-se então em um
"equilíbrio progressivo entre um mecanismo assimilador e uma acomodação
complementar" (PIAGET, 1982). Piaget situa o problema epistemológico, o do
conhecimento, ao nível de uma interação entre o sujeito e o objeto. Para ele, "essa
dialética resolve todos os conflitos nascidos das teorias, associacionistas, empiristas,
genéticas sem estrutura, estruturalistas sem gênese etc... e permite seguir fases
sucessivas da construção progressiva do conhecimento" (PIAGET, 1982).
3.2.2 Os períodos de desenvolvimento: construtivismo seqüencial
Piaget afirma que o desenvolvimento do sujeito inicia-se no período intra-
uterino e vai até os 15 ou 16 anos. Diz, ainda, que a embriologia humana evolui
também após o nascimento, criando estruturas cada vez mais complexas. A
construção da inteligência dá-se, portanto, em etapas sucessivas, com
complexidades crescentes, encadeadas umas às outras. A isto Piaget chamou de
“construtivismo sequencial” (PIAGET, 2001).
Em sua teoria Piaget, distingue quatro períodos que são chamados de
Períodos de Desenvolvimento Mental e que ele os designa por “períodos gerais de
desenvolvimento cognitivo” (BRUNNER; ZELTNER, 1994).
São eles:
3.2.2.1 Período sensório-motor
Este é o primeiro período descrito por Piaget, e vai do nascimento aos
dois anos, aproximadamente. Nele, a principal característica é ausência da
função semiótica17. A inteligência da criança trabalha por meio das percepções
(simbólico) e das ações (motor) através dos deslocamentos do próprio corpo. É
uma inteligência eminentemente prática. A linguagem da criança vai da ecolalia
16 epistemo = conhecimento; e logia = estudo.
35
(repetição de sílabas) à palavra-frase ("água" para dizer que quer beber água)
já que não representa mentalmente o objeto e as ações. A conduta social do
indivíduo é de isolamento e indiferenciação (o mundo é ele) (FURTH, 1997).
No que se refere ao período supracitado, segundo Piaget (2001, p. 21):
[...] uma figura percebida corresponde a “qualquer coisa” que continua a existir, mesmo quando não a percebemos mais... [a criança] reconhece certos quadros sensoriais familiares, mas o fato de reconhecê-los quando presentes não equivale, de forma nenhuma, a situá-los em qualquer parte quando estão fora do campo perceptivo... Só por volta do fim do primeiro ano é que os objetos são procurados depois que saem do campo da percepção, e é sob este critério que se pode reconhecer um começo de exteriorização do mundo material (PIAGET, 2001, p. 21).
3.2.2.2 Período pré-operacional
Este é o período, que dura dos 2 anos aos 7 anos, aproximadamente.
Algumas vezes é dividido em outros dois períodos:
3.2.2.2.1 Período simbólico
A função semiótica surge nesse período, o que permite o surgimento da
linguagem, da dramatização, do desenho, da imitação, entre outros. Nesse
período, o indivíduo (a criança) já pode criar imagens mentais na ausência do
objeto ou da ação. É a fase da fantasia, do faz de conta, do jogo simbólico.
Capacitado a formar imagens mentais, o aprendiz pode transformar o objeto
numa satisfação de seu prazer (uma caixa de fósforos em carrinho, telefone, ou
outro objeto de seu interesse, por exemplo). É também o período em que o
indivíduo “dá alma” (animismo) aos objetos ("o carro do papai foi 'dormir' na
garagem"). A comunicação utilizando a linguagem dá-se em um nível solitário,
embora em grupo, i.e., de um monólogo coletivo, onde todos falam ao mesmo
tempo sem que respondam as argumentações dos outros. Crianças
“conversando” nessa fase dizem frases que não têm relação com a frase que o
outro está dizendo. Sua socialização é vivida de forma isolada, mas dentro do
coletivo. Não há liderança e os pares são a todo o momento trocados (PIAGET,
2001, p. 26).
Existem outras características do pensamento simbólico que não estão
sendo mencionadas aqui, uma vez que a proposta é de sintetizar as idéias de
17 A semiótica é a ciência que estudo os signops. Quando nos referimos à uma função semiótica estamos
36
Jean Piaget, como, por exemplo, o nominalismo (dar nomes às coisas das
quais não sabe o nome ainda), superdeterminação (“teimosia”), egocentrismo
(tudo é “meu”) etc.
3.2.2.2.2 Período intuitivo
Dos 4 anos aos 7 anos, aproximadamente. Aqui a criança sente
necessidade de obter explicação para os fenômenos. É conhecido como “idade
dos porquês”, pois a criança pergunta o tempo todo e já distingue a fantasia do
real, podendo dramatizar a fantasia sem que acredite nela.
Seu pensamento continua centrado no seu próprio ponto de vista. Já é
capaz de organizar coleções e conjuntos sem, no entanto, incluir conjuntos
menores em conjuntos maiores (rosas no conjunto de flores, por exemplo). No
que se refere à linguagem, embora não mantenha uma conversação longa, já é
capaz de adaptar sua resposta às palavras daquele que interage com ela
(PIAGET, 2001, p. 29-36).
Esse período marca a incapacidade que a criança tem de pensar em
termos de conceitos lógicos e é dominada pelas características perceptuais do
mundo que as envolve (ANTUNES, 2001).
Sobre o período Pré-operacional, Piaget (2001, p. 24) afirma, entre outras:
Com o aparecimento da linguagem, as condutas são profundamente modificadas... a criança torna-se, graças à linguagem, capaz de reconstituir suas ações passadas sob forma de narrativas, e de antecipar suas ações futuras pela representação verbal. Daí resulta três conseqüências essenciais para o desenvolvimento mental: uma possível troca entre os indivíduos, ou seja, o início da socialização da ação; uma interiorização da palavra, isto é, a aparição do pensamento propriamente dito, que tem como base a linguagem interior e os sistemas de signos, e, finalmente, uma interiorização da ação como tal, que, puramente perceptiva e motora que era até então, pode daí em diante se reconstituir no plano intuitivo das imagens e das “experiências mentais” (PIAGET, 2001, p. 40).
E ainda: “... interesses, autovalorizações, valores interindividuais
espontâneos e valores intuitivos parecem ser as principais cristalizações da
vida afetiva própria a este nível de desenvolvimento” (PIAGET, 2001, p. 40).
3.2.2.3 Período operatório concreto
considerando a capacidade do reconhecimento dos símbolos e dos signos associados.
37
Essa fase perdura dos 7 anos aos 11 anos, aproximadamente. O aprendiz
consolida as conservações de número, peso, substância, volume. Torna-se
capaz de ordenar elementos por seu tamanho (grandeza), incluindo conjuntos,
tornando-o capaz de organizar o mundo de forma lógica ou operatória. Sua
idéia de organização social é a de bando, podendo participar de grupos
maiores, chefiando ou sendo chefiado. Já pode compreender regras, sendo fiel
a ela, e estabelecer compromissos. A conversação torna-se possível (já é uma
linguagem socializada), sem que, no entanto, possam discutir diferentes pontos
de vista para que cheguem a uma conclusão comum.
3.2.2.4 Período sensório-motor
Dos 11 anos em diante. É o ápice do desenvolvimento da inteligência e
corresponde ao nível de pensamento hipotético-dedutivo ou lógico-matemático.
O aprendiz torna-se, então, apto aos cálculos de probabilidade, libertando-se
do concreto em proveito de interesses orientados para o futuro. É, finalmente, a
“abertura para todos os possíveis”. A partir desta estrutura de pensamento é
possível a dialética, que permite que a linguagem se dê em um nível de
discussão que leve-o a uma conclusão. (PIAGET, 2001). Sendo assim, a partir
desse ponto, o que o indivíduo aprende não está diretamente relacionado a um
período de características próprias, mas à sua conjuntura social, física,
econômica e emocional.
Sua organização grupal pode estabelecer relações de cooperação e
reciprocidade.
3.2.2.4 A divisão cronológica dos períodos
Os períodos aqui descritos podem ainda ser subdivididos, pelas idades, por
exemplo, como o fez Piaget. O quadro 2 mostra como ele os define e os enquadra
nos diversos estágios e idades do aprendiz.
Período
Fase
Características
(como o aprendiz reage)
Relação com os demais períodos
Sensório-motor Nascimento até cerca de dois anos
• Não diferencia o seu eu do meio que o rodeia; • Ações não coordenadas; • Egocentrismo quase total, sendo o centro e tudo existe em função dele.
No fim desta fase, já iniciando a pré-operacional, a criança começa a descentralizar as ações em relação ao próprio corpo e os objetos passam a existir independente do eu
Pré-operacional Dois anos aos seis ou sete anos
• Seu pensamento começa a se organizar, não sendo ainda “reversível”18; • Sua atenção está voltada para os aspectos mais atraentes da realidade
e, por conseguinte, suas conclusões são também as mais atraentes, perceptualmente;
• Não tem compreensão de transitividade; • Não tem noção da conservação do todo19;
Ausência de reversibilidade
Simbólico • Declínio progressivo do egocentrismo de até então; • Pensamento mais organizado; • Visualização de perspectivas; Operacional-concreto Dos sete/oito anos até
onze/doze anos Intuitivo
• Adquire noções de reversibilidade por inversão e negação20 e também por reciprocidade21;
• Para antecipar o ausente, deve partir do concreto;
Adquire noção de reversibilidade O real não é percebido como um caso particular do possível O possível é subordinado ao real
Operacional-Abstrato (Formal)
Onze/doze anos até a vida adulta
• Capacidade de raciocinar com hipóteses verbais e não somente com objetos concretos;
• Pensamento proposicional; • Formula os resultados das operações concretas sob a forma de
proposições e continua a operar mentalmente com eles; • Capacidade de fazer raciocínios hipotético-dedutivos; • Capacidade de manipular construtos mentais e reconhecer relações
entre eles;
O real é percebido como um caso particular do possível Como raciocina sobre hipóteses, a realidade torna-se secundária em relação à possibilidade O real é subordinado ao possível Este período prolonga-se até a fase adulta, mas na adolescência o aprendiz ainda mantém um tipo de egocentrismo, onde o jovem considera a si mesmo como correto sempre, não aceitando a opinião dos demais
Quadro 2 Relação dos Estágios e do Processo de Aprendizagem (Piaget) Fonte: Elaboração da Própria autora.
18 I.e., seu pensamento não é capaz de percorrer um caminho cognitivo e, depois percorrê-lo mentalmente em sentido inverso, de forma a reencontrar o ponto de partida de
forma não modificada. Não estrutura solidamente as idéias. 19 Mudando-se a forma, muda-se também a quantidade, o peso, etc. 20 +X - X =0 21 Se X está à direita de Y é porque Y está à esquerda de X
39
3.2.3 Processos de passagem de estágios
3.2.3.1 Características dos processos
Devemos salientar que, obviamente, a passagem de um estágio para outro
não acontece abruptamente. Da mesma forma que algumas características de fases
anteriores podem permanecer durante parte do estágio seguinte. Podem também
ser observadas diferenças nas idade em que as crianças atingem cada período, mas
a ordem dos períodos é invariável. O que não costuma ocorrer é a permanência de
características de uma fase posterior, i.e., embora não seja impossível o aprendiz
apresentar características da fase seguinte, isso é muito difícil de ocorrer
(MOREIRA, 1999, p. 98).
A importância de se definir os períodos de desenvolvimento da inteligência
reside no fato de que, em cada um, o indivíduo adquire novos conhecimentos ou
estratégias de sobrevivência, de compreensão e interpretação da realidade. A
compreensão deste processo é fundamental para que os facilitadores (Professores)
possam também compreender com quem estão trabalhando.
A obra de Jean Piaget não oferece aos educadores uma didática específica
sobre como desenvolver a inteligência do aluno ou da criança. Piaget nos mostra
que cada fase de desenvolvimento apresenta características e possibilidades de
crescimento da maturação ou de aquisições (LIMA, 1984).
O conhecimento destas possibilidades faz com que os professores possam
oferecer estímulos adequados a um maior desenvolvimento do indivíduo.
O lema “o professor não ensina, ajuda o aluno a aprender”, do Método
Psicogenético, tem suas bases nestas teorias epistemológicas de Jean Piaget
(LIMA, 1984).
Sendo assim, acredita-se que a filiação das teorias da alfabetização (em
qualquer nível) ao campo da Psicologia é bastante evidente. A noção de
representação ocupa lugar importante no corpo teórico das diversas teorias nesse
campo, onde, sendo considerada como inerente a toda e qualquer atividade
psíquica, está intrinsecamente ligada à compreensão, também psicológica, da
aquisição de conhecimento, vejamos:
• o sujeito epistêmico está na origem da construção de suas representações
sobre as coisas do mundo. Portanto, o papel do outro (do docente), nesse
processo, é descartado ou relativizado;
40
• as representações são fonte de verdade. Parte-se da possibilidade de sua
adequação à coisa representada;
• os processos cognitivos têm existência prévia e determinante das possíveis
interferências da linguagem na constituição de representações;
• a linguagem oral e escrita, como as outras coisas do mundo, podem ser
objetivadas e representadas.
3.2.3.2 A representação e os seus sentidos
Um dos elementos da teoria de Vergnaud, que faz parte do tripleto que
embasa seu trabalho (e que está detalhado logo mais), é a representação simbólica
(lingüística ou não). Em verdade, Vergnaud as nomina de conjunto de
representações simbólicas, como veremos em seguida.
Piaget também trata da questão das representações. Para ele, o termo
representação aparece com dois sentidos. No primeiro, pode ser compreendido
como pensamento ou esquema operatório, estando relacionado aos processos
cognitivos necessários à construção conceitual da escrita. No segundo, tem o
estatuto de imagem, aparecendo atribui-se à escrita o papel de figuração da
linguagem oral. Nas poucas páginas que Vygotsky escreveu sobre a alfabetização, a
presença do termo também é constante. Para ele há uma evolução na natureza da
escrita ao longo de sua aquisição: inicialmente seria representação da fala, mas, em
seguida, dela se libertaria para representar o mundo.
Nos trabalhos de Piaget, a noção de representação é objeto de muitas
referências. Em cada estágio do desenvolvimento intelectual, segundo afirma, esse
processo ganha em complexidade e abstração, sendo que a base para a sua
construção está nos esquemas de ação, ou esquemas em ato, aos quais Vergnaud
denomina de invariantes operatórios (ou operacionais). A lógica e a matemática da
ação, da ação que produz conhecimento, dependem da representação para a
interpretação de sua dinâmica (MOTA, 2002).
3.2.3.3 O lugar dos processos semióticos
O estatuto das representações na teoria de Piaget diz respeito a uma questão
que discutiu em quase todos os seus trabalhos: o lugar dos processos semióticos na
construção do conhecimento.
41
Na teoria psicogenética, o processo de conhecimento ocorre na interação
entre o sujeito do conhecimento e o objeto. É justamente esta relação, esse sistema
de trocas, que é objeto de estudos do pesquisador quando pretende compreender a
gênese de um conhecimento. Assim, no caso da escrita, matemática ou não, o leitor
não cria, no sentido material, os textos. Eles têm suas propriedades a que ele tem
que se ajustar. Propriedades estruturais, que podem ser descritas no nível de seus
aspectos gráficos, fonético-fonológicos, morfológicos, sintáticos e semânticos. Cada
nível tem seu funcionamento. Mas, nos discursos concretos em que se
presentificam, ocorrem relações e transformações gerais que os envolvem em um
funcionamento comum no plano do sistema da língua. Neste sentido, a nosso ver, o
texto pode ser considerado como uma estrutura no sentido piagetiano (MOTA,
2002).
A teoria psicogenética oferece recursos, a nosso ver, para que se pense a
linguagem - oral ou escrita - como um real, exterior ao discente, que se ofereceria à
sua ação como um sistema englobante das estruturas gráficas, fonético-fonológicas,
morfológicas, sintáticas e semânticas, e que poderia ser re-construído como
qualquer outro objeto cultural, socialmente compartilhável.
Embora os períodos de desenvolvimento cognitivo descritos por Piaget, sejam
de grande importância e atualidade, outros conceitos por ele pontuados também se
tornaram pedras angulares nas suas teorias, além de terem sido termos utilizados
e/ou estudados por Vergnaud. São, por essa razão, também citados.
3.2.3.4 Acomodação, assimilação e equilibração
Conforme Piaget, acomodação, assimilação e equilibração representam
características do pensamento, ou melhor, fazem parte do processo de
desenvolvimento do pensamento e da inteligência. Ele afirma que pensar é um
prosseguimento do processo biológico da adaptação e representa um processo ativo
de aproximação do indivíduo aos problemas que pode encontrar no meio ambiente.
Esse processo de aproximação, também designado por ele de adaptação
(equilibração), é controlado pelos processos de assimilação e acomodação. É por
eles que são modificados os esquemas nos aprendizes.
A acomodação é o processo que ocorre quando o aprendiz se defronta com
um novo problema e tenta, através da modificação de seu comportamento, resolvê-
lo. Os esquemas existentes na estrutura cognitiva são, desta forma, modificados
42
pela adaptação aos novos aspectos do problema emergente. Acomodação e
assimilação complemantam-se mutuamente e são elementos do processo de
abordagem ativa do ser humano a um problema, (BRUNNER; ZELTNER, 1994, p.
9), pois, enquanto que através da acomodação os esquemas são alterados, através
de assimilação eles sofrem uma estabilização.
A equilibração, por sua vez, para Piaget, é um processo fundamental no
desenvolvimento do pensamento e origina-se na necessidade que tem o indivíduo
de equilíbrio ou ausência de contradições. É, na verdade, o processo de estabelecer
o equilíbrio.
Uma proposta de esquema de assimilação pode ser observada na ilustração 3.
Mente não se modifica
Mente se modifica
Equilíbrio entre assimilação e acomodação
Ilustração 3 Esquema de Assimilação Fonte: Elaboração da Própria autora
No processo de assimilação o conhecimento que se tem da realidade não se
modifica. Muitas vezes os esquemas de ação do aprendiz não conseguem assimilar
determinada situação. Quando isso ocorre, a mente desiste ou se modifica. Nos
casos em que há modificação, ocorre o que Piaget denominou por “acomodação”. A
acomodação permite a construção de novos esquemas de assimilação. Através da
acomodação é que se dá o desenvolvimento cognitivo. A acomodação só existe,
portanto, se houver assimilação, já que a acomodação é a reestruturação da
assimilação. A adaptação é, por sua vez, o equilíbrio entre assimilação e
acomodação.
3.2.3.5 Esquema
Outro conceito bastante difundido e que ocupa grande parte da teoria do
desenvolvimento cognitivo de Piaget é o “esquema”, um modelo hipotético de como
a informação é armazenada no cérebro (MOREIRA, 1999)
ASSIMILAÇÃO
ACOMODAÇÃO
ADAPTAÇÃO
43
A palavra “construtivismo” não foi cunhada por Piaget. O construtivismo é
uma corrente educacional que se apóia no princípio de que o conhecimento não é
ensinado, mas estimulado a partir de experiências que desenvolvem as diferentes
inteligências (BRUNNER; ZELTNER, 1994).
A proposta do construtivismo é que o aprendiz participe de seu próprio
aprendizado, mediante a experimentação, estímulo à dúvida, pesquisa em grupo,
dentre outros. Enfatiza a importância do erro, utilizando-o como um “trampolim” no
desenvolvimento da aprendizagem, condenando a rigidez do discurso do professor,
bem como a utilização de material didático estranho ao universo pessoal do aluno
(MOREIRA, 1999)
Essa teoria nos permite focalizar a interação sujeito-objeto como uma
estrutura bipolar, cujos componentes são indispensáveis. Sendo assim, para os
defensores dessa corrente, não há sujeito sem objeto e não há objeto sem sujeito.
O construtivismo em Piaget é a palavra que sinaliza seus ensinamentos
cognitivos, indicando que o indivíduo aprende de maneira significativa quando toma
parte de forma direta na “construção pessoal” do conhecimento que adquire. Como
não poderia deixar de ser, Piaget também destacava a importância do erro não
como um tropeço passível de advertência, mas antes para alavancar o processo de
aprendizagem.
Essa proposta de trabalho se utiliza das ideias de Piaget referentes ao erro,
como trampolim na rota da aprendizagem em matemática nos cursos superiores não
voltados à formação de matemáticos, tais como Administração, Ciências Contábeis,
Sistemas de Informação, Logística, os diversos cursos de graduação tecnológica,
entre outros. No que tange à correção dos testes aplicados aos alunos, escolhemos
um modelo de avaliação, a Taxonomia SOLO, para interpretações que considerem
os diversos níveis em que se encontram nossos aprendizes, descartando a correção
baseada no certo-errado, que desconsidera as possibilidades de compreensão do
sujeito nos seus possíveis estágios. Muitas vezes a resposta final está errada, mas
existe uma lógica no seu desenvolvimento, que é passível de uma interpretação
mais razoável e que pode, em nível de sala de aula, gerar um diálogo de
“negociação” mais coerente e justo, no que tange a notas dos alunos.
Apenas com a finalidade de se perceber o caráter científico das reflexões de
Piaget sobre instinto e inteligência e o caráter didático de seu estilo, é reproduzido a
seguir um trecho de “Epistemologia Genética”.
44
“A questão consiste, pois, em compreender a passagem do instinto à inteligência ou, dito de outro modo, o processo de interrupção dos instintos. A esse respeito, o lamarckismo quis ver nos instintos uma inteligência que teria se estabilizado hereditariamente (por herança do adquirido), ao passo que outros autores, seguidos pela maior parte dos neodarwinistas, insistiram nas oposições ditas naturais entre o caráter rígido e cego, mas falível, do instinto e as propriedades de intencionalidade consciente, de flexibilidade, mas também de falibilidade da inteligência. Na realidade, tais argumentos basearam-se num modelo excessivamente esquematizado do instinto, cumprindo-nos distinguir com cuidado três planos hierarquizados em toda a conduta instintiva: 1) temos, em primeiro lugar, o que se poderia chamar as coordenações gerais que intervêm em cada uma delas (PIAGET, 2002, p. 64).
3.3 A Teoria de Vygotsky
Vygotsky trabalhou principalmente a idéia da “emergência de novas formas na
psyché humana sob orientação social” (OLIVEIRA, 1999). Deixou sua obra
incompleta, já que morreu aos 38 anos, vítima da tuberculose. Esta é uma das
diferenças importantes entre as obras de Piaget e Vygotsky, pois, enquanto o
primeiro, em sua vida quase cinqüenta anos mais longa, construiu uma teoria muito
bem articulada, nos deixando informações precisas sobre seus trabalhos, o segundo
não chegou a construir um sistema explicativo completo, do qual pudéssemos
construir uma “teoria vygotskiana” bem estruturada.22
Segundo Oliveira (1999), as idéias de Vygotsky multiplicaram-se e
desenvolveram-se nas obras de seus discípulos e colaboradores. Os mais
conhecidos são Alexander Romanovich Luria e Alexei Nikolaievich Leontiev. Os três
(Vygotsky, Luria e Leontiev) faziam parte de um grupo de jovens intelectuais da
Rússia pós-Revolução.
3.3.1 A “nova psicologia” e as postulações
Tomados pelo clima de idealismo da época, eles buscavam a criação de uma
“nova psicologia”, que fosse uma síntese das duas fortes tendências da psicologia
do início século XX: a psicologia como ciência natural e a psicologia como ciência
mental. Enquanto a primeira (experimental) deixava de abordar as funções
psicológicas mais complexas do ser humano, a mentalista não chegava a produzir
com clareza as descrições desses processos complexos em termos que fossem
aceitáveis à ciência. Na tentativa de estabelecer uma psicologia mais completa, que
22 Ver introdução escrita por Jerome Bruner em “VYGOTISKY, L.S. Pensamento e Linguagem. São Paulo:
Martins Fontes, 1993”.
45
superasse essa crise, que Vygotsky e seus colaboradores buscaram uma síntese
entre as duas psicologias mais aceitas e difundidas na época (REGO, 1995, p. 28).
O conceito de síntese para eles deve ser aqui explicado, para que não corra o
risco de parecer algo simplista, sem criação. Para Vygotsky, a síntese entre dois
elementos não é a simples justaposição ou soma de tais elementos, mais antes, a
emergência do novo, de algo que antes não existisse. Por isso, a nova abordagem
busca a síntese que integre corpo e mente no homem, que o veja como ser biológico
e social, homem enquanto corpo e mente, participante de um processo histórico.
3.3.1.1 A primeira postulação
Diante do supra citado, temos os pilares dessa nova abordagem à psicologia:
A primeira postulação descrita por Vygotsky, é a de que “o cérebro, enquanto órgão
material, é a base biológica do funcionamento psicológico, e o homem, como
espécie biológica, possui uma existência material que determina limites e
possibilidades para seu desenvolvimento. Isso não quer dizer, no entanto, que o
cérebro seja algo imutável, é, ao contrário, um sistema aberto, de grande
plasticidade, cuja estrutura e modos de funcionamento são moldados ao longo da
história da espécie e do desenvolvimento individual (o cérebro pode servir a novas
funções, criadas na história do homem, sem que hajam necessárias transformações
no órgão físico)”. (OLIVEIRA, 1997).
3.3.1.2 A segunda postulação
A segunda postulação diz que “o homem transforma-se de biológico em
sócio-histórico, num processo em que a cultura é parte essencial da constituição da
natureza humana” (VYGOTSKY, 1993, p. 44). Não se pode pensar o
desenvolvimento psicológico como um processo descontextualizado, i.e., o
funcionamento psicológico está baseado fortemente nos modos culturalmente
construídos de ordenar o real.
3.3.1.3 A terceira postulação
O terceiro pressuposto de Vygotsky nos remete a um conceito bastante
difundido em sua teoria: o conceito de “mediação”. Segundo ele, “a relação do
homem com o mundo é uma relação mediada”, ou seja, não é uma relação direta
46
(OLIVEIRA, 1997, p. 27). Utilizam-se os sistemas simbólicos como elementos
intermediários entre o sujeito e o mundo.
Ao contrário de Piaget, que tem na equilibração a pedra angular do
desenvolvimento cognitivo, Vygotsky supõe que tal desenvolvimento cognitivo não
ocorre independente do contexto social, histórico e cultural a que está inserido o
aprendiz (VYGOTSKY, 1993, p. 44).
3.3.2 Mediação
Um dos conceitos mais significativos no pensamento de Vygotsky (1993) é o
de mediação, que pode ser definido como sendo a ação que o indivíduo, por meio
de instrumentos, modifica a natureza e, ao fazê-lo, acaba por modificar a si mesmo.
Ele acreditava, portanto, que o aprendiz, ao fazer uso do signo-linguagem, algébrico,
mapa, esquema etc., modifica suas próprias funções psíquicas superiores.
Vygotsky (1993) dedicou-se especialmente ao estudo do que denominamos
por funções psicológicas superiores, ou seja, processos mais sofisticados,
complexos, que envolvem o controle consciente do comportamento.
Vygotsky considera o papel da instrução um fator positivo, no qual a criança
aprende conceitos socialmente adquiridos de experiências passadas e passarão a
trabalhar com essas situações de forma consciente. Se uma transformação social
pode alterar o funcionamento cognitivo e pode reduzir o preconceito e conflitos
sociais, então esses processos psicológicos são de natureza social. Devem ser
analisados e trabalhados através de fatores sociais.
A redução de reações biológicas é uma condição prévia para o aparecimento
de fenômenos psicológicos.
Um conceito só é caracterizado quando as características resumidas são
sintetizadas de forma que a resultante se torne um instrumento de pensamento. O
sujeito progride na formação de conceitos após dominar o abstrato e combinar com
pensamentos mais complexos e avançados. Na continuação da educação os
conceitos tornam-se concretos, aplicam-se as habilidades aprendidas, por
instruções, e as adquiridas em experiências da convivência social.
Vygotsky (1984) introduziu a uma ideia diferente da criança, afirmando que
mecanismos naturais que governam esses pequenos indivíduos. No entanto, antes
dos dois anos de idade, a criança participa das relações sociais. Mecanismos
biológicos operam durante curto espaço de tempo, mas são substituídos
47
rapidamente por meio de influências sociais. Quando acaba a infância o indivíduo
passa a participar de relações sociais. Relações sociais formam o contexto
desenvolvente de crianças e constituem a natureza das mesmas. Vygotsky
considerou a criança como um indivíduo social, enquanto que Piaget a considerou
como anti-social. Para Vygotsky as relações sociais constituem a psicologia da
criança desde o começo. Para Piaget, tais relações sociais são secundárias à
natureza biológica da criança.
Vygotsky afirma que os fenômenos psicológicos são sociais e que dependem
de uma experiência social de tratamento, além de absorverem os artefatos culturais.
Segundo ele, a experiência social inclui a maneira na qual as pessoas estimulam e
dirigem a atenção das outras pessoas, comportamento padrão, (encorajar,
desencorajar), controlar movimentos, e organizar as relações de espaço entre
sujeitos. Em artefatos culturais encontram-se sinais, símbolos, condições
lingüísticas, industrialização de objetos e instrumentos. Tratamento social e produtos
socialmente produzidos geram e caracterizam fenômenos psicológicos.
3.3.3 Contribuições da teoria de Vygotsky
A principal contribuição da teoria de Vygotsky foi referente a exploração da
mente com relação à interação social no desenvolvimento cognitivo, "as conexões
entre o social e o indivíduo para o desenvolvimento cultural". Para ele as funções
cognitivas se originam das relações sociais, e que, reciprocamente, a quantidade e
qualidade de interações sociais afetam diretamente o desenvolvimento cognitivo.
Para Vygotsky, o esquema do pensamento, o raciocínio em si, pode ser entendido
como uma interiorização do diálogo social (VYGOTSKY, 1984).
O objetivo de Vygotsky foi a elaboração de uma psicologia de caráter
dialético, coerente com o paradigma marxista, e que partisse da unidade dos
processos psíquicos e fisiológicos, sem, entretanto, identificar uns com os outros. Os
processos psíquicos em seu entender, longe de estarem dissociados da natureza,
fazem parte dela e surgiram a partir de um longo processo de evolução, envolvendo
a ocorrência de um salto qualitativo no aperfeiçoamento dos processos cerebrais
(VYGOTSKY, 1999)
Assim, “a psicologia dialética não confunde os processos psíquicos com os
fisiológicos e vice-versa, mas os integra em um processo mais amplo, de natureza
48
psicofisiológica, que Vygotsky denominou de psicológico” (VYGOTSKY, 1999, p.
416).
Dessa forma, o estudo dos processos psicológicos (essencialmente humanos)
nos leva a uma investigação que tem como intuito compreender como os processos
naturais entrelaçam-se aos culturais, saindo, para tanto, do organismo em busca das
fontes suficientemente humanas da atividade psicológica, ou seja, a sociedade e a
cultura contextualizadas historicamente. E é exatamente em função destas
peculiaridades que a teoria vygotskiana tem caráter histórico-cultural ou
sociocultural, porque envolve e contextualiza a supremacia do componente
sociocultural sobre o biológico-natural (fisiológico), já que as fontes do
desenvolvimento psicológico não se encontram no indivíduo, mas principalmente no
sistema de comunicação e de relações sociais que ele estabelece com outras
pessoas. Isto nos indica que este desenvolvimento é determinado pela evolução
cultural da sociedade ao longo da história humana, integrando dialeticamente à
história do indivíduo e à história da humanidade.
3.3.4 Atividade mediada
Desta forma, no sistema vygotskiano, a noção de funções psicológicas
superiores está intimamente ligada à de atividade mediada, considerada por ele
como aquela que é específica do ser-numano, por envolver a possibilidade de
mediação através de instrumentos dados culturalmente e é vista mais como conjunto
de ações culturalmente significativas do que em termos de reações biológicas.
Apesar de a teoria vygotskiana trabalhar, em termos de mediação, com os
instrumentos materiais (ferramentas), são os instrumentos psicológicos (signos e
símbolos), os que mais enfatizam na busca de uma explicação semiótica do
comportamento humano.
Neste sentido, para Vygotsky, os signos representam um vínculo
intermediário, artificialmente construído no intercâmbio cultural entre a realidade e a
atividade do indivíduo frente àquela. Dessa forma, eles não só alteram a maneira de
o indivíduo conceber a realidade, mas também a natureza da atividade que executa.
A integração entre estes dois tipos de atividades é que irá proporcionar ao ser
humano ajustar-se ao já existente e criar novas situações envolvendo a criação
artística, científica e técnica. Logo, na perspectiva de Vygotsky, todo ser humano
pode criar em maior ou menor grau, sendo tal criação acompanhamento normal e
49
permanente de desenvolvimento. A esta atividade criadora Vygotsky denomina de
imaginação, entendendo-a como a base de toda a produção cultural da humanidade
(OLIVEIRA, 1999).
No intuito de uma melhor compreensão da constituição desta atividade
criadora Vygotsky coloca-a na dinâmica interdependência de dois mecanismos
básicos. O primeiro consistindo na possibilidade de extrair traços isolados de um
conjunto complexo de impressões, envolve a dissociação. O segundo,
compreendendo a união de traços isolados em um novo conjunto, implica
associação. Ambos os mecanismos estão em permanente integração, sendo esta
que permite a produção de conhecimentos.
3.3.5 A ZDP e a teoria de Vygotsky
A concepção supra apresentada só poderá ser entendida na íntegra se
levarmos em conta a noção de zona de desenvolvimento proximal23, elaborada por
Vygotsky. Esta compreende a integração da dimensão atual e o potencial do
desenvolvimento humano, implicando que a marcha do mesmo envolva não só as
possibilidades presentes já conquistadas, mas fundamentalmente aquelas que estão
em andamento e que, pela mediação contextualizada nas relações interpessoais
venham a se concretizar (OLIVEIRA, 1997).
A compreensão do dinamismo da zona de desenvolvimento proximal centra-
se na idéia vygotskiana de incorporar (apropriação) a produção cultural por meio da
mediação de instrumentos, principalmente semióticos, em um processo de
interiorização que vai do social ao individual.
3.4 A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud
Gerard Vergnaud, em sua Teoria dos Campos Conceituais, nos traz
contribuições no contexto da reflexão sobre aprendizagem e desenvolvimento, com
conexões evidentes com as ideias de Piaget e Vygotsky, que são acrescentadas
com contribuição específica e original, o que este autor denomina “Teoria da
Referência”. O que a Teoria da Referência propõe é a conexão necessária dos
23 A zona de desenvolvimento proximal é um conceito que esclarece como as diferentes formas de compreenção
da experiência de mundo interferem na relação entre duas ou mais pessoas. Dois adultos, por exemplo, caem na zona de desenvolvimento proximal quando se percebem incapazes de reconhecer os sentidos que cada um atribui a um objeto qualquer, seja uma palavra, seja um objeto da realidade concreta.
50
conceitos a um domínio epistemológico específico, no caso da proposta do nosso
trabalho, o matemático (TORRES, apud VERGNAUD, 2010).
Apesar de suas notáveis diferenças, Piaget e Vygotsky têm em comum a
abordagem do desenvolvimento conceitual. As principais contribuições advindas da
teoria de Piaget são os conceitos de esquema e invariantes operatórios. Estes
organizariam a atividade, a representação e percepção e, também, o
desenvolvimento das competências e concepções acerca de um objeto no curso da
experiência. O conceito de esquema se presta, portanto, à análise da estrutura da
atividade (TORRES, apud VERGNAUD, 2010).
Apesar das semelhanças com a Teoria de Vygotsky, considerado o “teórico
da atividade” (OLIVEIRA, 1997), Vergnaud afirma que “em Vygotsky, não se
encontra o equivalente aos conceitos de esquema e invariante operatório com a
precisão com que foram estabelecidos por Piaget” (Vergnaud, 2001). De Vygotsky, a
teoria toma emprestado o conceito de mediação, em dois sentidos, por intermédio
dos sistemas simbólicos, dentro dos quais está incluída a linguagem, e a mediação
do professor, derivada do conceito de Zona de Desenvolvimento Proximal
(Vergnaud, 1990), ambas também utilizadas no processo de desenvolvimento desse
trabalho.
A Teoria dos Campos Conceituais tenta explicar o desenvolvimento dos
processos de conceitualização, partindo do princípio que a maior parte dos nossos
conhecimentos são formados por competências (informações e habilidades) que
estão disponíveis sob a forma de esquemas (Vergnaud, 1990).
3.4.1 Classes de situações
Para Verganud (1990), existem dois tipos de situações (ou problemas) que,
quando assumem algum significado para o aprendiz, podem gerar dois tipos de
processos diferentes para a sua resolução:
• primeira classe de situações: o sujeito já possui em seu repertório de
competências, os procedimentos adequados ao tratamento da situação.
Trata-se mais de uma relação de filiação aos conhecimento pré-existentes.
• segunda classe de situações: o sujeito não dispõe de todas as
competências requeridas para o tratamento da situação. Há uma ruptura do
conhecimento e um momento de descoberta e, em alguns casos, de invenção
51
do novo. Para a resolução da nova situação ou problema (considerada como
nova pelo aprendiz) são necessárias reflexão e exploração, que podem
conduzir ao sucesso ou ao fracasso.
No caso 1, os esquemas já disponíveis, isto é, “a organização invariante do
comportamento para uma classe de situações dada” (VERGANUD, 1990; p. 136)
seriam aplicados quase que automaticamente. Já no caso 2, o que ocorre é a
utilização sucessiva de vários esquemas cuja aplicação pareça pertinente à situação
encontrada, por analogia ou semelhança; que seriam acomodados, descombinados
e recombinados (VERGNAUD, 1990). Em muitos domínios, a emergência de novos
conceitos e a mudança de seu status cognitivo consiste na explicitação dos
conceitos subjacentes à ação (eficaz), ou seja, fundamenta-se na mudança de ponto
de vista sobre os objetos, sobre as propriedades, as relações entre os objetos
(VERGNAUD, 1990). Se as competências-em-ação são uma resposta aos desafios
colocados pelas situações (problemas) que enfrentamos, quanto maior for a
variedade de situações encontradas e/ou propostas, maiores serão as chances de
desenvolvimento de conceitos mais gerais e cada vez mais complexos, constituindo-
se em sistemas conceituais. O conceito, assim concebido na sua relação com os
demais conceitos, amplifica os limites de sua validade e a generalização dos
teoremas implícitos na ação a várias outras situações possíveis. Por outro lado,
situações novas, impossíveis de serem resolvidas com o repertório de esquemas já
existente, conduzem à criação de novos modelos ou maneiras de interpretar a
experiência. O desenvolvimento ou amplificação das competências já existentes
envolvem a construção de novos objetos, a proposição de novas relações e a
construção de novas categorias (TORRES, apud VERGNAUD, 2010).
A mudança conceitual seria decorrente, portanto, da explicitação das
competências, de seus invariantes operatórios, por intermédio de sua expressão,
discussão e integração em sistemas explicativos coerentes. Esta explicitação se dá
através da linguagem, seja ela oral, pictórica, gráfica ou corporal. Entretanto, os
saberes práticos, mesmo quando explicitados, muitas vezes não revelam todos os
conceitos e sistemas conceituais envolvidos, são, como sugere Vergnaud (1990),
apenas a “ponta visível do iceberg” da conceitualização.
As dificuldades relativas à explicitação das competências-em-ação são de
diversas ordens. Caberia ao pesquisador e/ou ao professor a análise da atividade e
52
de sua estrutura, incluindo uma grande diversidade de esquemas. Os teoremas-em-
ação se tornariam, assim, explícitos, a partir da perspectiva de um “outro”, das
inferências de um observador externo. Por outro lado, esta análise implica em
considerar que significado ou significados, os esquemas e as situações adquirem
para os sujeitos. O(s) significado(s) do que os sujeitos fazem e dizem, refletem não
apenas seus pensamentos, mas, também, suas intenções e valores (TORRES,
2010).
Vergnaud sugere não haver, necessariamente, uma hierarquia de
competências. Compreendemos, assim, que em diversas situações que dão sentido
a um determinado conceito (um dos elementos essenciais do tripleto que embasa
sua teoria), um conceito de ordem mais simples ou concreto poderia ser aplicado de
modo mais eficaz na solução de determinado problema do que um conceito mais
complexo e abstrato, dependendo do tipo de situação encontrada. Consideramos,
portanto, que é mais importante ter um repertório de soluções que uma única forma
de resolver problemas, por mais refinada que seja. Isto requer da parte do indivíduo,
não somente a posse de um conjunto de competências, mas a capacidade de utilizá-
las adequadamente.
As competências, no entanto, não podem se reduzir aos invariantes
operatórios. Elas dependem da aprendizagem, ou seja, são adquiridas e
transmitidas, e do desenvolvimento, porque permitem a ampliação das capacidades
de ação e compreensão, isto é, “... entre estes dois processos as relações são
dialéticas: as representações precedem e permitem a formação dos conceitos, mas,
por outro lado, os conceitos, uma vez formados, permitem uma generalização e uma
estabilização das representações” (PASTRÉ, 1994, p. 39). Além disso, é importante
se ter em conta que, ao longo do processo de conceitualização, um mesmo conceito
pode manifestar diferentes propriedades, como resultado de conquistas conceituais
que se devem tanto à aprendizagem quanto ao desenvolvimento.
Uma reflexão que se faz necessária refere-se a questão de estabelecer até
que ponto um maior nível de compreensão se traduz imediatamente em ações
coerentes. Consideramos que esta evolução não seja simultânea ou linear. O
processo de conceitualização nos parece muito mais marcado por avanços e recuos,
e a abstração e generalização não parecem se conduzir de maneira uniforme para
qualquer classe de situações consideradas similares, ou mesmo dentro de uma
mesma classe de situações (MOREIRA, 1996).
53
Os esquemas apóiam-se sobre uma conceitualização cujo grau de
explicitação é variável, entretanto, contêm uma parte de automatismo e outra de
controle (VERGNAUD, 1990). Encontramos paralelo nesta teoria, entre os conceitos
espontâneos de Vygotsky e os teoremas-em-ação, que são competências implícitas;
e os conceitos científicos do mesmo autor, que são os conhecimentos explícitos.
Estes conhecimentos contidos os esquemas são designados invariantes
operacionais.
3.4.2 Ponto de ruptura
Aqui, encontra-se um ponto de ruptura com a teoria de Vygotsky, pois, para
Vergnaud (1990), os teoremas-em-ação e os conceitos-em-ação se constróem em
estreita interação e há sempre uma certa conceitualização envolvida na ação. Não
se trata, portanto, de dois caminhos distintos que se intercruzam em um dado
momento. Vergnaud (1990), diferentemente de Vygotsky, considera que mesmo os
teoremas-em-ação podem formar sistemas conceituais, ainda que os mesmos sejam
implícitos. Não há teoremas sem conceitos ou conceitos sem teoremas
(VERGNAUD, 1997). Além disso, Vergnaud (2000) considera que todos os
conhecimentos são locais, ou seja, não só os conceitos cotidianos, mas também os
científicos se desenvolvem sempre sob condições restritivas.
Na Teoria dos Campos Conceituais a linguagem assume as importantes
funções de comunicação, de representação, e de auxílio ao pensamento e de
organização da ação. É justamente quando as ações ainda não foram
automatizadas e, assim, interiorizadas, que a linguagem como acompanhamento da
ação favorece o cumprimento da tarefa e a resolução do problema. Ela parece
facilitar a descoberta das relações pertinentes, a organização temporal da ação e o
seu controle. Mais que isso, a linguagem também permite que os conceitos que são
instrumentos do pensamento, sejam transformados em conceitos objeto do
pensamento (VERGNAUD, 1990). Isto se dá por meio do uso repetido dos conceitos
instrumento, da familiaridade com os mesmos e da consciência de seu papel no
raciocínio. Em suma, “a substancialização e a simbolização desempenham um
importante papel na transformação dos conceitos ferramenta em conceitos objeto”
(VERGNAUD, 1997, p. 27).
3.4.2.1 As competências do aprendiz
54
Para Vergnaud, a competência do aprendiz pode, portanto, ser definida a
partir dos seguintes critérios:
• o que ele é capaz de fazer face a uma classe ou conjunto de classes de
situações;
• sua capacidade de obter desempenhos melhores, a partir da utilização de
procedimentos mais eficazes, mais rápidos e mais econômicos.
• se ele possui um leque de opções no que se refere a procedimentos ou
métodos alternativos que lhe permitem uma adaptação mais refinada frente
às diversas situações que enfrenta, em função da avaliação das diferentes
variáveis das situações (TORRES, apud VERGNAUD).
Resumindo, a Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud supõe que o
centro do desenvolvimento cognitivo é a conceitualização. Sendo assim, ao
consolidar de forma eficaz os conceitos estamos consolidando também de forma
eficaz o conhecimento referente ao mesmo. Esta teoria é uma teoria psicológica do
processo de conceitualização do real que permite localizar e estudar continuidades
e/ou rupturas entre conhecimentos do ponto de vista de seu conteúdo conceitual
(GRECA; MOREIRA, 2003).
3.4.2.2 A teoria de Vergnaud e o Cálculo
Baseando-nos no exposto acima, é possível citar o caso específico do
trabalho com o Cálculo Diferencial, que particularmente interessa a construção
desse trabalho, principalmente em cursos de graduação não voltados à formação de
matemáticos (tais como: Administração e suas habilitações/ênfases, Contabilidade,
Economia, Sistemas de Informação etc), onde o conjunto formal de problemas
elucidados com estes conceitos necessitam de legitimidade para serem efetivamente
consolidados.
A Teoria dos Campos Conceituais, que é uma teoria “cognitivista
neopiagetiana” e que tem uma forte contribuição dos trabalhos de Vygotsky24, além
de pretender oferecer um referencial mais frutífero do que o piagetiano ao estudo do
desenvolvimento cognitivo e da aprendizagem de competências complexas,
24 Lev Semenovich Vygotsky afirma que o sujeito necessita da presença de outros sujeitos para avançar no
processo de aprendizagem.
55
particularmente aquelas implicadas nas ciências e na técnica, levando em conta os
próprios conteúdos do conhecimento e a análise conceitual de seu domínio (Moreira,
1996), pode vir a ser utilizada como modelo e/ou estratégia de trabalho no ensino da
matemática, em particular da administração dos conteúdos supracitados, devido à
grande possibilidade do seu uso em sala de aula de forma interativa diretamente
com os sujeitos (discentes - alunos).
A contrução dos invariantes operatórios associados ao Cálculo, dependem,
como em todo campo conceitual, do conjunto de situações estabelecidas e
incorporadas às aulas, mas que dão sentido aos conceitos estudados (tais como
funções, as derivadas e os limites). E enquanto as representações sejam “aliadas”
neste processo, quando se trata de matemática, a própria notação é, por vezes,
também a vilã dos processos cognitivos. A linguagem matemática depende de uma
hermenêutica textual, mas também pictórica e de “neologismos simbólicos” que
costumam causar impactos nos alunos.
Ao mudar o enfoque na explicação, o professor deverá ter percebido quais
pontos de rupturas entre o processo de aprendizagem e os de “inércia cognitiva”
estão envolvidos no processo. A solução na mudança do enfoque pode ser dada
pela utilização de um software, ao contar a história que permeia os conceitos
estudados etc, mas, muitas vezes, uma nova maneira de explicar o mesmo assunto
pode solucionar a aquestão da “inércia”. Tratamos com mais detalhe posteriomente.
Isto se justifica pelo fato de que, para Vergnaud, um conceito torna-se significativo
para o aprendiz, por meio de uma variedade de situações e os diversos aspectos
desse mesmo conceito que estão envolvidos nas diferentes situações. Além disso,
como veremos adiante, uma situação não pode ser analisada sob a ótica de um só
conceito, vários deles tornam-se necessários.
3.4.3 Campo conceitual e o conjunto de situações
Vergnaud atribui grande importância aos conceitos, no entanto, considera-os
como uma segunda entrada de um campo conceitual, sendo a primeira formada
pelas situações ou experiências anteriores e a compreensão das mesmas nas
chamadas situações que podem ou não levar-se aos conceitos (VERGNAUD, 1993)
Outra concepção de campo conceitual atribuída por Verganud, citado por
Moreira (1996) é a de um conjunto de situações:
56
• Campo conceitual é um conjunto de problemas e situações cujo tratamento
necessita conceitos, procedimentos e representações de tipos distintos,
porém estreitamente interconectados;
• Campo conceitual é um conjunto de situações cuja abordagem requer o
domínio de vários conceitos de naturezas diferentes.
• Campo conceitual pode ser considerado em primeiro lugar como um conjunto
de situações (MOREIRA, 1996).
Vergnaud esclarece que o significado de situação em sua teoria está limitado
ao sentido que esse conceito tem habitualmente em psicologia, ou seja, os
processos cognitivos e respostas do sujeito são função das situações com as quais
se defronta.
Para ele, são as situações que dão sentido aos conceitos, mas o sentido não
está nas situações em si e sim no isomorfismo estabelecido entre as situações e os
próprios conceitos.
Um conceito torna-se significativo para o sujeito por meio de uma variedade
de situações e diferentes aspectos de um mesmo conceito estão envolvidos em
distintas situações. Ao mesmo tempo, uma situação não pode ser analisada sob a
ótica de um só conceito, vários deles são necessários.
E esta é a razão pela qual se deve estudar campos conceituais, não situações
isoladas ou conceitos isolados.
Assim como o sentido dos conceitos não está nas situações em si, ele
também não está nas palavras ou outras representações simbólicas. No entanto,
diz-se que uma palavra, um símbolo matemático, um enunciado tem ou não tem
sentido para um indivíduo, ou que tem vários sentidos.
Diz-se também que uma situação tem ou não tem sentido. Acredita-se que
cabe ao facilitador (docente), quando detectar e/ou provocar o aparecimento da
zona de desenvolvimento proximal, estabeler as situações corretas e os sentidos
corretos para que sejam solidificados os conceitos corretamente.
3.4.4 Campo conceitual e a proposta para o cálculo
Para estabeler uma relação mais estreita entre o que foi posto e o que
devemos fazer, precisamos responder ao questionamento: afinal, o que é, então, o
57
sentido para Vergnaud? Sentido é uma relação do sujeito (discente) com as
situações e com os significantes. Mais precisamente, são os esquemas25 evocados
no sujeito por uma situação ou por um significante que constituem o sentido dessa
situação ou desse significante para esse sujeito. Por exemplo, o sentido de
diferenciação para um determinado sujeito (discente) é o conjunto de esquemas que
ele pode utilizar para lidar com situações com as quais se depara e que implicam a
ideia de diferenciação. É também o conjunto de esquemas que ele pode usar para
operar com símbolos numéricos, algébricos, gráficos e lingüísticos que representam
a diferenciação. Mas o professor deve estar atento aos invariantes específicos da
teoria em si.
Acredita-se também que se isto for posto mecanicamente, o sujeito (discente)
não irá estabelecer esquemas corretos durante a sua vida profissional e desta forma,
absorvendo o conhecimento de maneira mecânica, estará fadado a não utilizá-lo
quando vier a se deparar com outras situações que exigiriam o mesmo
raciocínio/comportamento, passando, assim, a limitar-se com relação a todos os
conhecimentos/informações associados à este esquema. Por exemplo, em um curso
de Engenharia, o aluno deverá estabelecer conexões pertinentes entre conteúdos
que abranjam o conceito de diferenciação em diversos momentos de sua vida
acadêmica. Ele estudará os conceitos iniciais e sua definição em Cálculo I (ou outra
disciplina com ementa correspondente), mas usará em disciplinas mais avançadas
de Cálculo, ao estudar as derivas parciais, as derivadas direcionais (gradiente,
divergente e rotacional), em Mecânica e muitas outras. Se ele não construiu um
esquema coerente com o que se espera de uma construção consolidada dos
domínios desse campo conceitual, poderá estar fadado a permenecer com as
rupturas conceituais pelo resto de sua vida.
Contudo, uma dada situação ou um simbolismo particular não evocam no
indivíduo todos os esquemas disponíveis. É necessário novas técnicas para
implantar tal situação. O sentido de uma situação particular de diferenciação, como
exemplificado anteriormente, não é, portanto, o sentido de diferenciação (a coisa em
si), da mesma forma que não o é um símbolo particular (y’, dy/dx, ou Dy etc)
quando este está desprovido de significado para este sujeito (discente).
25 Vergnaud define esquema como sendo uma organização invariante da conduta para uma determinada classe
de situações. Não é o comportamento que é invariante, mas sim a organização do comportamento. Portanto, um esquema é um universal eficiente para todo um espectro de situações e pode gerar diferentes seqüências
58
Por esta razão, cabe ao docente o papel de direcionar e acompanhar o
desenvolvimento estrutural da construção do conceito pelo aluno. Ao verificar que os
invariantes operatórios, por meio de situações e representações que dêem sentido
ao conceito, portanto, dêem sentido à construção cognitiva do I.O., foram contruídos
eficazmente, ele pode continuar direcionando o aluno no mesmo caminho e, em
caso contrário, direcioná-lo para que o mesmo supere esta ruptura ou saia da ZDP
para aquisição de um novo esquema que condiz coerentemente com o esperado.
Se o aluno construiu um campo conceitual particular referente aos limites, as
derivadas e as funções, de forma que seus invariantes permeiem os sentidos exatos
(aproximação, taxa de variação e correspondência, respectivamente), então a
estrutura de direcionamento das aulas pode permanecer. Caso contrário, o professor
deve intervir para linearizar as rupturas existentes na formação dos conceitos.
3.5 Os Ingredientes de um esquema e o papel do Professor
Para solidificar este conceito, estão descritos abaixo os ingredientes de um
esquema.
São eles:
• objetivos e antecipações (proatividade associada);
• regras de ação do tipo "se... então" que permitem gerar a seqüência de ações
do sujeito; são regras de busca e controle da informação;
• invariantes operatórios ("teoremas-em-ato26" e "conceitos-em-ato") que
dirigem o reconhecimento, de parte do sujeito, dos elementos pertinentes à
situação e a categoria da informação sobre tal situação;
• possibilidades de inferência (ou raciocínios inferências) que permitem
"calcular" as regras e antecipações a partir das informações e invariantes
operatórios de que dispõe o sujeito (discente).
Destes ingredientes, os invariantes operatórios, cujas categorias principais
são “teoremas-em-ato” e “conceitos-em-ato”, constituem a base conceitual implícita,
de ações, procedimentos de coleta e controle de informações, dependendo das características de cada situação em particular.
26 O ato contém os objetos da intencionalidade. O ato da consciência coloca o indivíduo diante do objeto em busca de sua identidade ou identificação. Assim um “teorema-em-ato” é uma proposição considerada como verdadeira sobre o real; um “conceito-em-ato” é uma categoria de pensamento considerada como pertinente. Por outro lado, “conceitos-em-ato “teoremas-em-ato” podem, progressivamente, tornarem-se verdadeiros conceitos e teoremas científicos.
59
ou explícita, que permite obter a informação pertinente e, a partir dela e dos
objetivos a alcançar, inferir as regras de ação mais pertinentes.
Embora a teoria de Vergnaud não seja uma teoria didática, ela seguramente
tem implicações didáticas fortes. A principal delas é o papel
mediador/facilitador/apresentador/fomentador etc do docente. Sua parte consiste
principalmente em ajudar os alunos a desenvolver seus repertórios de esquemas.
Neste trabalho pretende-se criar/estabeler um roteiro de ajuda condizente
com a eficiência e eficácia do ensino do Cálculo Diferencial, incluindo um roteiro em
forma de fluxograma que tenta recriar os passos na construção de um campo
conceitual, ou, pelo menos, de detecção sobre o processo de esquematização do
mesmo.
Acreditamos que desenvolvendo seus esquemas, os sujeitos
(discentes/estudantes) tornam-se mais hábeis para enfrentar situações cada vez
mais complexas (geralmente tarefas e problemas).
60
Ilustração 4 Comparativo das Teorias Fonte: Elaboração da própria autora
61
3.6 Um campo conceitual para o cálculo diferencial
Com o exposto, baseando-se nas obras citadas sobre a Teoria dos Campos
Conceituais e considerando-se que no cotidiano, os estudantes conseguem resolver
situações utilizando estratégias na maioria das vezes diferentes das exigidas pelos
professores na escola, chegando, quase sempre na resposta esperada. Verifica-se
que estas situações, geralmente são envolvidas por diferentes conceitos. No caso do
cálculo diferencial percebe-se que nem sempre os problemas são absorvidos, ou
resolvidos, de forma independente pelos estudantes, pois, neste caso, nem sempre
existe o conjunto de situações cujo domínio seja entendido por completo por estes
estudantes.
3.6.1 Campos conceituais para entendimento do cálculo diferencial
Considerando-se que um campo conceitual é o conjunto de situações, cuja
compreensão necessita do domínio de vários conceitos de naturezas diferentes,
bem como de seus invariantes e por um conjunto de representações simbólicas
destes, verifica-se que o desenvolvimento de um campo conceitual requer que o
pesquisador verifique que um conceito como sendo formado por uma terna de três
conjuntos (S, I, R), onde S é um conjunto de situações que tornam o conceito
significativo; I é um conjunto de invariantes (objeto, propriedades e relações) que
podem ser reconhecidas e usadas pelo sujeito para analisar e dominar essas
situações e R é um conjunto de representações simbólicas que pode ser usado para
pontuar e representar as situações e os procedimentos para lidar com eles.
Por exemplo, no campo conceitual das estruturas para entendimento do
cálculo diferencial, incluindo situações que podem ser analisadas como problemas
de proporções simples e múltiplas ou até de taxas de variações de uma determinada
grandeza sobre outra, é, muitas vezes, necessário uma multiplicação, uma divisão
ou uma combinação dessas operações de forma coerente com a variação da taxa
em questão, e, nem sempre o aluno tem o real entendimento deste processo. Isto
pode ser elucidado de acordo com a ilustração 5:
62
Ilustração 5: Campo conceitual para o cálculo diferencial Fonte: Elaboração da própria autora
Nos conceitos abordados na teoria dos campos conceituais identifica-se,
segundo Vergnaud apud Moreira (1996), o que chama-se de tripleto de três
conjuntos, C = (S, I, R) onde: S é um conjunto de situações que dão sentido ao
conceito; I é um conjunto de invariantes (objetos, propriedades e relações) sobre os
quais repousa a operacionalidade do conceito, ou o conjunto de invariantes
operatórios associados ao conceito, ou o conjunto de invariantes que podem ser
reconhecidos e usados pelos sujeitos para analisar e dominar as situações do
primeiro conjunto e R é um conjunto de representações simbólicas (linguagem
natural, gráficos e diagramas, sentenças formais etc) que podem ser usadas para
indicar e representar esses invariantes e, consequentemente, representar as
situações e os procedimentos para lidar com elas.
No caso do cálculo diferencial, o conjunto S, que é o conjunto de situações
que dão sentido aos conceitos, não são, necessariamente, não tem todas as
situações vivenciadas pelos alunos dos cursos superiores em estudo, e nesta
63
proposta em análise, sugere-se que os docentes encaminhem estas situações aos
alunos através de experimentos/exercícios que proporcionem vivenciá-las.
Neste cenário, explicita-se o uso de um conjunto de invariantes, I, que no
caso do Cálculo, pode ser elucidado como um conjunto de propriedades e relações
expostas em sala de aula pelo docente de forma expositiva aos discentes no sentido
de propiciar, nos mesmos, as informações associadas aos objetos às propiedades e
relações inerentes ao estudo desta disciplina, conforme elucidado no experimento
que fornece lastro às hipóteses deste trabalho.
Neste cenário também explicita-se o uso de representações, R, que
conduzam a estes conceitos, como veremos a seguir, com o experimento proposto
ao final do trabalho, onde situações, com representações diferenciadas, conduzem o
discente a situações que demandam do conhecimento dos conceitos do cálculo
diferencial e com algumas representações sobre os mesmos.
3.6.1 Análise das tarefas, a conduta e os campos conceituais híbridos
De acordo com a Teoria dos Campos Conceituais, é a análise das tarefas
matemáticas e o estudo da conduta do aluno, quando confrontado com essas
tarefas, que nos permitem analisar a sua competência. No caso do Cálculo
Diferencial, a conduta do aluno pode ser analisada segundo três aspectos, a citar:
• análise de acerto e erro, que pelo viés da taxonomia SOLO, considera
competente não somente aquele que acerta, pois o acerto é subjetivo, como
é, também, o entendimento e a forma de explressá-lo;
• análise do tipo de estratégia utilizada, podendo alguém ser mais competente
que outro não somente porque acertou a questão, mas porque sua resolução
foi mais rápida ou mais refinada;
• análise da capacidade de escolher o melhor método para resolver um
problema dentro de uma situação particular.
Vergnaud (1982) destaca a existência de dois grandes campos conceituais os
quais o conhecimento matemático encontra-se organizado: o das estruturas aditivas
e o das estruturas multiplicativas. Segundo ele, as estruturas aditivas são/formam o
conjunto de situações que implicam em uma ou diversas adições e/ou subtrações e
o conjunto dos conceitos e teoremas que permitem analisar tais situações como
64
tarefas matemáticas, enquanto que o campo conceitual das estruturas multiplicativas
abrange os conceitos de multiplicação e divisão, além do conjunto de conceitos e
teoremas que permitem estudar essas situações, tais como: função, quociente e
produto de dimensões, proporção, relação, combinação linear, fração, número
racional, múltiplo, divisor, entre outros.
No caso do Cálculo Diferencial (CD) verifica-se o uso dos dois tipos de
estruturas, ou seja, trata-se de um campo conceitual híbrido que envolve as
estruturas aditivas e multiplicativas de forma concomitante, além de outras
intrínsecas ao próprio campo conceitual do CD. Isso significa que os campos
conceituais não são separados uns dos outros, corroborando o que já afirma
Vergnaud. Eles contêm interseções, rupturas e linearidades entre si, entre seus
conceitos e nas suas organizações e dimensões, embora, cada um, com suas
respectivas situações que dêem a eles sentido, suas representações e seus
invariantes, alguns específicos e outros compartilhados.
As estruturas aditivas têm sua formação já na infância. No que tange as
estruturas multiplicativas (mesmo sendo de natureza mais complexa), a divisão está
presente desde cedo em inúmeras atividades do cotidiano infantil, tais como dividir
objetos com os colegas, a divisão entre quantidades (sejam elas discretas ou
contínuas) em partes iguais, bem como o fato de colocar uma mesma quantidade de
objetos em recipientes diferentes. De meneira geral, mesmo antes de entrar na
escola, os pequenos demonstram um conhecimento (mesmo que informal) sobre
vários conceitos matemáticos, que, no futuro, dará origem ao conceito de fração e
operações análogas à mesma (VERGNAUD, 1993).
Segundo Vergnaud (1982), a divisão envolve regras operatórias complexas,
tais como a multiplicação, a subtração, utilização de sucessivas divisões, a procura
por um quociente envolvendo resto, podendo ter como resultado um número
fracionário, requerendo que se estabeleçam diversas relações, tais quais: considerar
o todo, o número de partes, o tamanho dessas partes (que deve ser o mesmo); a
relação direta entre o total de elementos e o tamanho das partes; a relação inversa
entre o tamanho das partes e o número de partes, entre outros.
3.6.2 Conceitos ocultos
65
Deve-se considerar também que no caso do Cálculo, muitos conceitos
distintos estão ocultos, e precisam, no momento da resolução, ser identificados para
um melhor entendimento, em especial, o conceito de taxa de variação de uma
grandeza em função de outra e o comportamento desta taxa de forma numérica e
gráfica.
Assim, de uma forma geral, este trabalho também é uma proposta de campo
conceitual para o ensino do Cálculo Diferencial nos cursos superiores não voltados à
formação de matemáticos.
66
4 O ENSINO DO CÁLCULO E A PSICOLOGIA COGNITIVA
No capítulo anterior foi apresentada a fundamentação teórica do trabalho.
Este capítulo apresenta uma análise das atuais práticas docentes no universo de
atuação da pesquisa, e tenta estabelecer, dentro das mesmas, elementos de
contribuição para a criação de novos esquemas, sob a visão da pesquisadora.
4.1 Percepções sobre as práticas tradicionais
A experiência no magistério do 3º Grau e o convívio com alunos e professores
propiciam referenciais significativos para uma análise reflexiva de como os docentes
vêm atuando em sua prática pedagógica em sala de aula, em particular no que
concerne às disciplinas de matemática em cursos superiores não voltados à
formação de matemáticos.
A primeira impressão que se tem ao percorrer os corredores das
faculdades/universidades, salvaguardando as exceções, é de que o paradigma
tradicional de ensino nunca abandonou a sala de aula. Observa-se o professor
expondo o conteúdo e os alunos em silêncio copiando as receitas e os modelos
propostos, sem nenhum tipo de questionamento e/ou construção associados. Em
alguns casos, com alguma habilidade, os alunos conseguem fazer questionamentos
sobre os conteúdos, mas nem sempre encontram respostas que estabeleçam um
resultado significativo para sua formação, ou até mesmo que permitam a construção
encadeada de conhecimento sobre aquilo que de fato perguntaram.
Em disciplinas de caráter matemático, percebe-se o medo incorporado em
alunos e alguns professores. Os alunos, pela reprovação em si e tudo o que ela
carrega, inclusive os estigmas. Os professores, por sua vez, temem uma
interpelação de suas ações por parte de órgãos/setores ou pessoas cuja atribuição
lhes permita esta atitude.
Cada vez mais temos currículos com mais conteúdos em menor tempo, isto é,
as disciplinas têm suas cargas horárias reduzidas, mas o programa ampliado, o que
incorre em perda de qualidade no ensino e, portanto, na aprendizagem.
67
Embora, dentro deste cenário, haja perda na qualidade do ensino e da
aprendizagem, também são crescentes as investigações sobre temas como a
psicologia cognitiva, o processo de cognição, teorias de aprendizagem e suas
aplicações, entre outros. Em Educação Matemática o cenário não é diferente.
Cresce o número de IES com especializações, mestrados e doutorados na área e
linhas de pesquisa voltadas para temas sobre a aprendizagem e as diversas formas
de ensinar e aprender.
No que se refere à psicologia cognitiva e a educação matemática, as ideias
de Piaget e Vygotsky são amplamente respeitadas até hoje. Segundo Fávero (1993),
referindo-se às relações entre ensino de matemática e a psicologia cognitiva:
“De um modo geral, podemos dizer que o que tem caracterizado esta relação, nos últimos 20 anos, é o esforço comum na análise experimental e teórica dos problemas relativos à relação entre o conteúdo específico da Matemática e a cognição humana. Resultado disto é o fato de hoje nos referirmos a uma "Psicologia do desenvolvimento do pensamento matemático " ou a uma "Psicologia da Matemática "”.
O termo construtivismo é, ainda hoje, amplamente utilizado, mesmo por
aqueles que não são construtivistas. Isso decorre da influência que as ideias de
Piaget exercem até hoje:
“As investigações centradas na relação entre o conteúdo especificoda Matemática e a cognição humana têm sido fortemente influenciadas pelos trabalhos de Piaget e, portanto, têm se desenvolvido a partir de concepções consensuais sobre o tipo de conhecimento que está envolvido no desenvolvimento do conceito de número. (...) A concepção predominante, portanto, das pesquisas de base piagetianaé a existência de uma progressão inevitável em direção à compreensão dos conceitos aritméticos e matemáticos (...), assumido, portanto, que a Matemática é um produto natural” (FÁVERO, 1993).
4.1.1 A triangulação clássica
As impressões da pesquisadora têm base no que costumamos chamar por
triangulação copie, decore e repita. Esta tem sido marca predominante no meio
acadêmico. Ao serem desafiados por novas metodologias, os alunos reagem, pois
tornam-se inseguros, e o enfrentamento da inovação demanda postura diferenciada
das que sistematicamente vêm acompanhando seu papel dentro do espaço
68
universitário. As reações caracterizam-se por uma mistura de desestabilização da
proposta sedimentada e uma falta de motivação para experimentar o novo.
Se o ambiente acadêmico vem aceitando pacificamente as aulas repetitivas
que têm como objetivo a memorização de dados, definições, acontecimentos,
conceitos, enfim, conteúdos ministrados como acabados e absolutos, torna-se um
grande desafio para o docente articular novas propostas de metodologia de trabalho
dentro da sala de aula.
Convém, neste momento, clarificar que uma aula expositiva dialogada não
precisa caracterizar um ato pedagógico tradicional e restrito à memorização. Pode,
ao contrário, ser utilizada para contemplar os momentos iniciais, as amarras do
desenvolvimento do conhecimento e pode, se bem conduzida, produzir
coletivamente (alunos/discentes e professor/docentes) à construção ou reconstrução
do conhecimento. Portanto, o professor que está utilizando a aula expositiva pode
não estar assentando seu trabalho num monólogo restrito ao seu conteúdo, suas
deduções, suas leituras, e não estar encarando os alunos como meros expectadores
passivos do processo educativo.
Sendo assim, sabe-se também que os novos paradigmas educacionais (como
é natural que aconteça) se apresentam de tempos em tempos, renovam-se,
interpenetram-se, negam-se e se entrelaçam, mas, nenhum profissional consegue
se despir de um paradigma e passar para um novo sem carregar consigo o seu
referencial de vida profissional, e em alguns casos, o estigma do paradigma anterior.
Por isso, o paradigma vai se construindo e se adapta às circunstâncias que se
apresentam na realidade que este professor está vivendo.
Os professores que incorporaram a abordagem tecnicista assentada na
racionalidade científica tinham um referencial crítico para optarem por esta
metodologia de trabalho. O docente sabia o que fazer e como fazer, mas não sabia
por que estava fazendo e para quem estava fazendo. Uma análise crítica e criteriosa
precisa acompanhar o docente quando for optar por uma modalidade nova de
trabalho educativo.
4.1.2 A construção de um novo paradigma
Os paradigmas pedagógicos se constroem paralelamente ao crescimento e
desenvolvimento da sociedade. Num processo dialético, ao mesmo tempo em que
69
são influenciados pela sociedade, esses paradigmas exercem influência direta sobre
ela. Ao analisar os pressupostos das abordagens que já caracterizaram em
determinada época a prática educativa, encontram-se fatores que afetam
diretamente estas concepções, sejam eles sociais, econômicos ou políticos.
Observa-se que os paradigmas são construídos num contexto muito maior que o
sistema educacional, mas estão ligados diretamente ao tipo de profissional desejado
na sociedade naquele momento histórico.
Cabe, neste momento, indagar sobre os motivos pelos quais um grande
número de professores não se preocupa em articular novas propostas de trabalho
acadêmico. Uns responderiam prontamente que a inovação está condicionada à
motivação e que a “paralisação de/do paradigma” está diretamente relacionada à
desvalorização do professor no meio social e, especialmente, no que tange à baixa
remuneração salarial. Outros responderiam que o professor tem medo de
desestruturar sua metodologia e perder o comando em sala de aula. Alguns se
lançariam a buscar a inovação, se tivessem um suporte pedagógico para discutirem
os enfrentamentos que ocorrem no processo. Se tivessem espaços para discutir com
seus pares os êxitos e as dificuldades que fossem se apresentando no decorrer do
processo, e que encontrassem soluções coletivas assentadas em teorias que
sedimentassem uma ação consciente, crítica e competente em sua atuação.
Essas inferências são inesgotáveis, a fenomenologia que podemos citar
também é, entretanto os professores são criativos para responderem a um novo
enfrentamento metodológico, mas o fato concreto que vem ocorrendo é que o
docente não pode mais optar por um ensino que vise à memorização, repetição e
cópia. Enfim, algo precisa mudar não só devido à demanda da nova sociedade que
se instaura como também devido à incompletude do método tradicional
4.2 Novos Esquemas e os Invariantes Operatórios
É sabido que novos esquemas não podem ser desenvolvidos sem novos
invariantes operatórios (conceitos-em-ato e teoremas-em-ato) adequados.
Paralelamente a isto, sabemos que a linguagem e os símbolos são importantes, sem
dúvida, como indicam os estudos em semiologia e semiótica. Entretanto, os
facilitadores/docentes/professores usam palavras, sentenças, pictogramas, para
70
explicar, formular questões, permitindo aos alunos a construção de novos
esquemas.
No entanto, sua função mediadora mais importante é a de prover situações
frutíferas (chamamos de situações frutíferas aquelas que são concomitantemente:
eficazes, eficientes, sinergéticas, multireferencializadas e proativas e que, por tais
razões, produzem resultados) (MOREIRA, 1996). Assim, em que pese o fato de que
as situações referidas na teoria dos campos conceituais não sejam situações
didáticas, a principal ação mediadora do professor é a de prover situações frutíferas
para aumentar o repertório de esquemas dos alunos, isto é, para ajudar em seu
desenvolvimento cognitivo.
O próprio conceito de campo conceitual como conjunto informal e
heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e
operações de conteúdo - rejeitando visões reducionistas que concentram-se apenas
em operações lógicas gerais, ou em operações puramente lingüísticas, ou na
reprodução social, ou na emergência de estruturas inatas, ou no modelo de
processamento de informação (MOREIRA, 1996) - sinaliza para a necessidade de o
professor ver a aprendizagem do aluno desde a perspectiva da complexidade, da
diversidade, da evolução, muitas vezes lenta, do repertório de esquemas do
aprendiz.
Essa perspectiva implica novas abordagens ao ensino, ao currículo e à
avaliação. Na verdade, como já afirmamos anteriormente, trata-se de uma mudança
efetivamente paradigmática.
4.3 A utilização das teorias e a proposta do trabalho
Isto posto, as Teorias (Piaget, Vigotsky e de Vergnaud), a fenomenologia
citada, as necessidades dos paradigmas antigos e dos novos, as práticas
pedagógicas tradicionais, as incompletudes dos discentes e dos docentes e tendo
considerado as premissas básicas destas teorias supracitadas, verificamos que,
para o professor, a tarefa mais difícil é a de prover oportunidades aos alunos para
que os mesmos desenvolvam seus esquemas e/ou conexões para as suas
respectivas construções na chamada ZDP.
Isto ocorre, particularmente, pelo fato dos mesmos terem, nestes cursos
superiores não voltados à formação de matemáticos, uma forte resistência/bloqueio
71
ao trato com a mesma, e também pelo fato de que, quase sempre, os sujeitos
(discentes) não conseguem, principalmente ainda de quando do início dos seus
cursos (devido a pouca maturidade acadêmica27), perceber/aceitar a necessidade do
uso da matemática nas suas respectivas profissões futuras. Se eles não percebem a
importância e as possíveis aplicações dos estudos matemáticos nas suas
respectivas áreas de atuação, cabe ao professor, como um facilitador e orientador,
se dispor a consolidar estratégias e práticas pedagógicas que promovam, nos seus
aprendizes, a cognição dos respectivos conteúdos. Tais estratégias devem estar
baseadas em modelos de ações e comportamentos do sujeito e do facilitador. Pode-
se, inclusive, utilizar-se de uma metodologia de trabalho híbrida28. Optamos por esta
abordagem ao tomar como pano de fundo teórico a teoria de Vergnaud, que por si
só já se utiliza de ferramentais estruturais herdados de Piaget e Vygotsky.
Vigotsky aponta a existência dos níveis de desenvolvimento potencial e real,
além da zona de desenvolvimento proximal, e que devem ser considerados na
prática pedagógica, quiçá utilizado como ferramenta/situação de providencialidade
do processo cognitivo, pois é factível de potencializar-se desde que a ação do
discente e do docente conspire em consonância para tal.
Quando alguém (sujeito - discente) não consegue realizar sozinho
determinada tarefa (ou compreendê-la por completo), mas o faz com a ajuda de
outros parceiros (outro discente e/ou o próprio professor), mais experientes ou não,
está nos revelando o seu nível de desenvolvimento proximal, que já contém
aspectos e partes mais ou menos desenvolvidas de instituições, noções e/ou
conceitos, mas não os tem por completo, e por tal razão, necessita de outro(s)
sujeito(s) (discentes) e/ou facilitador (docente).
Para tornar-se efetivamente factível, o conhecimento do processo que os
aprendizes realizam mentalmente para consolidar a sua aprendizagem, torna-se
fundamental. Acreditarmos que sem conhecer este processo, o professor estará
cada vez mais distante do aprendiz e das suas necessidades de cognição, limitando-
se, visto que com o desempenho correto dos mesmos, o docente nem sempre
27 Não se deve confundir a maturidade acadêmica com a maturidade para com a vida. A primeira não está
relacionada com a faixa etária equanto que a segundo além de ser diretamente proporcional à faixa etária do sujeito (discente) possibilita um aceite muito maior da primeira.
28 Estamos considerando uma metodologia híbrida aquela que é composta de uma miscelânea de estratégias e modelos que quando combinados utilizam as vantagens e/ou diferenciais mais significativos de cada modelo
72
poderá correlacionar o sucesso aparente do seu trabalho com uma operação mental
bem realizada pelo aluno, ou realizada com o conceito verdadeiro ou de forma
legítima. Assim, o professor nunca saberá qual dos caminhos foi de fato percorrido e
nem mesmo saberá sobre a legitimidade do(s) mesmo(s).
Na matemática, um exemplo seria o uso de “regras” ou “macetes”, que são,
principalmente nos cursos superiores não voltados à formação de matemáticos,
elementos que levam o discente (sujeito) a proceder corretamente, sem, entretanto,
realizar uma operação mental verdadeira e/ou legítima29.
Desta forma, o acerto pode significar, apenas, uma resposta mecânica e
automática, desconectada da “coisa em si” ou do “conceito real” do objeto
transmitido. No caso específico, os conceitos de diferenciação e integração, por
exemplo, quando consolidados apenas de forma mecânica, não levam o sujeito a
utilizar por completo todas as vantagens interpretativas (numérica, gráfica e
conceitual) destes conceitos, o que implica, de imediato, em limitações nas
multireferencialidades de conteúdos de disciplinas e/ou conteúdos específicos que
necessitassem dos mesmos como pré-requisitos.
Sendo assim, sem a implantação da legitimidade destes conceitos, torna-se
impraticável a multireferencialidade dos conteúdos de disciplinas que os tem como
pré-requisitos para a formação de novos conceitos associados e, desta forma, não
se consolida uma operação cognitiva sólida e verdadeira, tornando o processo
incompleto em toda a base matemática de formação profissional do sujeito.
Daí a importância do professor/facilitador conhecer o processo que os alunos
utilizam para chegar às respostas, ou seja, conhecer o processo pelo qual o sujeito
aprende, e com isto propiciar ao mesmo o aprender a aprender.
Do mesmo modo, conhecendo e/ou investigando esse processo, e intervindo,
provocando, estimulando ou apoiando quando o sujeito demonstra dificuldade num
determinado ponto, torna-se possível trabalhar funções que ainda não estão de todo
pedagógico adotado e que seja ao mesmo tempo eficaz e eficiente no processo de facilitação do docente no trabalho com o conteúdo a ser absorvido pelo discente.
29 Um exemplo imediato é o uso de tabelas para consolidar-se as operações de derivação e/ou integração sem o completo conhecimento demonstrativo das mesmas. Consideramos que um aoperação é legítima quando, inserida na noção de campo conceitual proposta por Vergnaud, utiliza-se dos invariantes operatórios essenciais do campo conceitual em questão, seja a partir de situações que dêem sentido ao conceito, seja pelas representações que estas trazem, ou, mais geralmente, por meio da utilização de ambos, formando o tripleto (S,I,R) de maneira mais bem consolidada.
73
consolidadas e/ou despertadas no próprio sujeito, consolidando-se assim, a
facilitação do seu processo de cognição, mesmo sem dominá-lo por completo.
4.4 Uma proposta do uso de um campo conceitual para o cálculo
A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud é descrita como um possível
referencial para o ensino de matemática e para a pesquisa na área de ensino da
mesma.
Sabemos que o objetivo dessa teoria é o de fornecer um referencial que
permita compreender as continuidades e rupturas entre conhecimentos, nos
aprendizes, entendendo-se como conhecimentos tanto o saber fazer como o saber
expresso.
Em outras palavras, a teoria dos campos conceituais de Vergnaud visa a
construção de princípios que permitem uma articulação entre competências e
concepções constituídas em situação, e os problemas práticos e teóricos em que
essas competências e concepções se constituem..." (FRANCHI, 1999).
Segundo Moreira, em 1982, Vergnaud se referia a campo conceitual como:
[...] um conjunto informal e heterogêneo de problemas, situações, conceitos, relações, estruturas, conteúdos e operações de pensamento, conectados uns aos outros e provavelmente entrelaçados no processo de aquisição. Por exemplo, os conceitos de multiplicação, divisão, fração, razão, proporção, função linear, número racional, similaridade, espaço vetorial e análise dimensional pertencem todos a um grande campo conceitual que é o das estruturas multiplicativas (MOREIRA, 1996, pg 7).
Vergnaud considera que um conceito é um tripé de três conjuntos:
S: conjunto de situações que dão sentido ao conceito (o referente); I: conjunto de invariantes operatórios associados ao conceito (o
significado); R: conjunto de representações linguísticas e não linguísticas que
permitem representar simbolicamente o conceito, suas propriedades, as situações as quais ele se aplica e os procedimentos que dele se nutrem (o significante).
Dessas definições decorrem três argumentos principais que levaram
Vergnaud ao conceito de campo conceitual:
74
• um conceito não se forma dentro de um único tipo de situação e sim de um
conjunto delas. Para formar um conceito é necessário o isomorfismo e a
indução, além de hermenêuticas de forma e/ou conteúdo entre situações;
• uma situação não se analisa com um único conceito e sim com um conjunto
híbrido de conceitos;
• a construção e apropriação de todas as propriedades de um conceito ou de
todos os aspectos de uma situação é um processo de muito fôlego que se
desenrola ao longo dos anos, às vezes uma dezena de anos, com analogias e
mal-entendidos entre situações, entre concepções, entre procedimentos,
entre significantes. Até que o conceito é por fim estabelecido (MOREIRA,
1996).
4.4.1 A Propositura Tradicional de Vergnaud (Prática Exemplificada)
Quando, por exemplo, um docente explicita o conceito de diferencial
(signicado: I) ao aprendiz, o faz ao menos com a tradicional dedução utilizando o
conceito prévio de limites (significante: R) e também explicitando um exemplo de
aplicabilidade prática (referente: S).
Espera-se, assim, que o discente possa ser capaz de exercer um isomorfismo
entre as diversas situações (reais ou não) apresentadas e, com isto, a indução para
a consolidação do novo conceito. Em geral, uma quantidade excedente de exemplos
para a análise isomorfa permite um melhor entendimento, pois explora, com uma
maior faixa, a interpretação do(s) próprio(s) discente(s), i.e., as possíveis
interpretações conceituais do objeto de estudo. De forma mais clara: com mais
exemplos consegue-se atingir uma faixa maior de discentes no processo de
aprendizagem, pois a “repetição diferenciada” permite uma chance maior de
construção de esquemas por parte do aluno. Ele tem mais chances de construir um
conceito de maneira coerente, à medida que tem acesso a uma variabilidade de
situações e representações. Os significados podem ser construídos à medida que
existe uma relação direta e repetitiva dos significantes e referentes.
O aprendiz tem mais possibilidades de criar um campo conceitual bem
estruturado sobre derivada (taxa de variação) – significado -, quando tem a
75
oportunidade de investigar situações que lhe dêem sentido – referente –
consubstanciados pelas representações – significante.
4.4.2 A proposta de ação
De uma forma geral os docentes exercem este procedimento quando têm um
tempo maior para dedicar-se ao processo e quando isto não ocorre utilizam as
práticas criticadas anteriormente, ou seja, optam pelos processos mecânicos.
A proposta inicial desse trabalho sugere que os docentes utilizem este
processo em demasia e com no mínimo a abordagem da historicidade dos
conteúdos para, com isto, minimamente informar aos discentes as origens históricas
do que os mesmos estão por absorver e também aumentar o grau de intimidade
entre os conteúdos e o próprios discentes, fazendo com que os mesmos possam
desmistificar não só as teorias estudadas como também as suas possíveis
aplicabilidades práticas, podendo absorver e construir mais rapidamente os novos
conceitos apresentados.
Foram, para tanto, utlizados estes conceitos e procedimentos, com o
propósito de estabeler pontos de contato entre o que o sujeito (discente) aprende e
como ele aprende para estabelecer a nossa proposta de estratégia de
comportamento/ação do facilitador (docente), objetivando retirar o aluno da zona de
desenvolvimento proximal.
4.4.3 Uso do ferramental teórico associado
Por meio de experiências ou práticas de aprendizagem compartilhadas (com
diversos sujeitos - discentes), está se propondo uma atuação interativa e iterativa
quando o aprendiz estiver na zona de desenvolvimento proximal, de modo que as
funções que ainda não estejam consolidadas venham a florecer e/ou amadurecer
com mais eficácia e eficiência de acordo com o fomento propiciado para tal. Em
especial, o que denominamos de matriz de fomento30 será gerida pelo docente e
poderá, inicialmente, ser construída com as bases históricas do objeto de estudo
(ensino) em questão, com a repetição da explicação por meio de um novo viés, com
a utilização de um software matemático ou até mesmo com a utilização de listas de
76
exercícios contruídas com esse intuito. Não obstante, o próprio docente deverá estar
apto a propor, de acordo com os subsunçores detectados previamente dos
discentes, outras matrizes de fomento para os respectivos discentes.
Assim, essa propositura estará disponível ao docente sempre que o mesmo
puder utilizar qualquer um dos elementos supra relacionados, para possibilitar a
criação de organizadores prévios nos discentes, de forma que os mesmos possam
construir novos conceitos utilizando o isomorfismo e a indução associada ao mesmo.
Por outro lado, deve-se verificar o quanto a aprendizagem interativa permite
que o desenvolvimento cognitivo do sujeito (discente) avance ou até mesmo se
consolide, haja visto que a potencialidade instaurada no sujeito e a incompletude do
mesmo, por estar na sua zona de desenvolvimento proximal, de completar por si só
o ciclo de cognição é um fator limitante quando o mesmo está só, mas torna-se um
fator fundamental quando o mesmo pode vir a ser auxiliado pelos seus pares e/ou
por um outro facilitador.
4.4.4 A prática pedagógica proposta
A análise da prática pedagógica foi feita a partir de três dimensões: análise
das aulas da disciplina, análise do material didático e os instrumentos de avaliação
usados pelo Professor e elaborados nesta pesquisa.
Foram utlizados como instrumento de coleta de dados, observações que
foram gravadas e registradas a partir de um guia de observação (Lista de Exercício e
Questionários de Pesquisa, conforme os apêndices), elaborados a partir das
categorias definidas por Vergnaud para descrever o processo de conceitualização
do conhecimento, a saber:
• as situações utilizadas para dar sentido ao conceito;
• as representações simbólicas ou verbais utilizadas na proposição ou
resolução das situações;
• os invariantes operatórios.
30 Estamos denominando “matriz de fomento” o conjunto de estratégias e seus conteúdos que o docente deverá
dispor para, por meio de novas explicações, isomorfismos e indução associada, possibilitar ao aluno construir novos organizadores e, com isto, auxilar o mesmo na sua saída da ZDP.
77
Nas análises das listas de exercícios, além do papel tradicional da análise de
erros no sentido de identificar e classificar os erros cometidos pelos alunos e propor
estratégias para eliminá-los, apontamos outras possibilidades: usar os erros como
instrumentos para explorar o funcionamento da mente (Piaget, Vergnaud); aproveitá-
los como elementos fundamentais para o desenvolvimento de uma disciplina;
avançar, partindo dos próprios erros etc.
Desta forma, com relação ao conceito do estudo do próprio erro tem-se as
seguintes considerações a tecer:
• Se o foco de interesse é o conteúdo técnico-matemático do erro e queremos
eliminá-lo, procuramos diagnosticar suas causas, pois ele representa uma
falha no processo;
• Se pretendemos explorá-lo, o erro será considerado um estágio necessário no
processo de aprendizagem, pois pode levar a novas descobertas
matemáticas e/ou à consolidação de novos conceitos.
• Se focalizamos a natureza da Matemática em si, no caso do estudo do
cálculo, a eliminação do erro está ligada ao entendimento da incompreensão
do aluno sobre o conceito apresentado e à retomada do assunto sob novos
enfoques;
• Se pretendemos explorar o erro, esse pode nos levar à reflexão sobre os
limites e características da própria Matemática.
• Se estamos interessados no processo de aprendizagem da Matemática, o
erro pode ser visto como instrumento de identificação dos problemas do
currículo e da metodologia, e, ao resolvê-los, os erros serão eliminados;
• Se, no entanto, queremos explorar o erro, esse pode constituir-se em
instrumento para a compreensão dos processos cognitivos dos alunos.
Enfim, a depender da estratégia a ser adotada, o processo de
ensino/aprendizagem poderá ser consolidado de uma forma mais objetiva ou vir a
ser construído pelo próprio discente com o auxílio/orientação do docente
responsável. Vale ressaltar que estas considerações acerca do erro não descartam
as possíveis abordagens históricas na construção da nossa matriz de fomento. Na
verdade, com esta análise do erro, acrescenta-se mais esta possibilidade mínima
para a construção dos organizadores prévios.
78
Para nós, uma análise de erros e acertos pautada nos elementos constituintes
acima, não pode estar relacionada com uma prática de considerar o “tudo ou nada”.
Não podemos utilizar uma prática de correção que apenas leve em consideração a
resposta final do aluno. Deve haver expansão de possibilidades de correção na
prática avaliativa. Para tanto, foi que escolhemos a taxonomia SOLO como proposta
de elemento de avaliação. A mesma será descrita em momento posterior e mais
oportuno.
Nesta escolha, nos possibilitamos uma análise dos entraves epistemológicos
do processo de construção desses campos conceituais, procurando verificar se os
mesmos fornecem parâmetros para compreendermos e interpretarmos as
dificuldades cognitivas que apresentam nossos alunos no aprendizado. Ao analisar
subjetivamente as respostas dos nossos aprendizes, numa prática que costuma ser
um tanto quanto objetiva e que, por isso mesmo, perde na qualidade de analisar os
pontos de ruptura e linearidade propostas por Vergnaud, invertemos o processo
cartesiano de correção, ampliando as visões sobre onde se encontra o aluno no
processo de aprendizagem.
Embora nem sempre seja viável estabelecer, na prática, em que nível o
aprendiz se encontra (se no nível potencial, real ou na ZDP), subliminarmente é isso
que fazemos ao categorizar os momentos de aprendizagem nas estratégias de
resolução dos alunos.
A Psicologia Cognitiva tem como principal objetivo a realização de pesquisas
que visem compreender a aquisição de conhecimento, bem como o processo de
formação de conceitos na estrutura cognitiva do aprendiz.
O eixo principal de nosso trabalho é dado pela teoria de Gerard Vergnaud, no
entanto, ele próprio herda de Piaget e Vygotsky alguns conceitos que norteiam seus
trabalhos.
Descrevemos o que de mais importante para nossa aplicação foi utilizado
referente a cada uma das teorias supra-citadas. Utilizamos especialmente duas
ideias de Piaget: a primeira baseia-se no fato de que o aprendiz constrói o
conhecimento a partir de sua ação sobre o objeto. Com isto, ocorrem sucessivas
aproximações entre as partes, e quanto mais interações, maior será expansão do
conhecimento, que assume dois aspectos: o figurativo e o operativo. No primeiro o
indivíduo descreve o objeto por meio do uso da percepção e da memória e no
79
segundo, o aprendiz já é capaz de utilizar-se do pensamento lógico, agindo
diretamente sobre o objeto.
A segunda ideia é da equilibração, que como já foi descrito, é um dos eixos
norteadores da teoria de Piaget, que é processo composto pela assimilação e a
acomodação, sendo a assimilação um processo externo, em que o sujeito incorpora
uma nova estrutura à já existente e, a acomodação, um processo interno, em que
muda-se as estruturas já existentes, no sentido de acrescentar novas características
ao objeto. Tais processos complementam-se, buscando a adaptação intelectual no
aprendiz.
Esse estudo buscou não somente a verificação da aplicação das teorias
psicológicas propostas, bem como nos preocupamos em apresentar uma sequência
de construção de campos conceituais (em forma de fluxograma) para ser utilizada
como um possível elemento norteador em outras disciplinas de área matemática.
Nos baseamos nesse mesmo conjunto de possibilidades para esboçar um campo
conceitual para o Cálculo Diferencial.
Consideramos que, embora Vergnaud tenha criado, mostrado e explicado tão
bem os campos conceituais das estruturas aditivas e multiplicativas, os demais
campos conceituais existem. Cabe estabelecer, utilizando-se dos elementos
associados na teoria dos campos conceituais, para cada área e sub-área
matemática, os invariantes operatórios e um conjunto de situações que dêem
sentido a eles, por meio das representações possíveis que eles trazem intrínsecos
em si.
Se os campos conceituais existem e ou se são criados não nos cabe discutir,
já que, para nós, eles já existem. Uma justificativa é que, sendo um campo
conceitual um conjunto de estruturas relacionadas entre si e, sendo que tais
estruturas não fazem parte de um só campo conceitual (os vetores, por exemplo,
são estruturas matemáticas estudadas na geometria, na geometria analítica, na
álgebra e no cálculo, por exemplo), eles também podem fazer parte dos campos
conceituais de estruturas aditivas e multiplicativas, mas permeiam, obviamente,
diversos conceitos a eles associados nestas áreas/sub-áreas. Nem estamos
considerando aqui o entrelaçamento existente entre estes conteúdos, assim como
não pretendemos hierarquizá-los. Apenas tentamos responder a possíveis
80
questionamentos sobre nossa escolha e nosso entendimento sobre os campos
concetuais.
O diagnóstico referente aos invariantes operatórios serve de base para a
construção do campo conceitual, enquanto que a prática pedagógica estabelece a a
detecção sobre o nível em que se encontra o aluno para retirá-lo da ZDP quando
assim for, a partir da estruturação cognitiva do aprendiz e promovida pelas práticas
estabelecidas pelo professor. Portanto, consideramos que a construção didática
depende do nível de interação e do tipo de relação docente/discente.
Não pretendemos construir uma didática, mas fornecer subsídios para que os
professores (tanto o das turmas onde foi aplicada a pesquisa quanto os demais),
possam introduzir os assuntos como fator essencial para entendimento de conceitos
referentes às suas áreas, considerando também todos os aspectos já citados e que
são essenciais à metodologia proposta para, na resolução de problemas, tirar o
alunos da zona de desenvolvimento proximal, fazendo-o incorporar asserções de
valor ao conteúdo da disciplina.
De acordo com o programa de estudo, verifica-se que o Cálculo é
apresentado como uma necessidade de estudo. Isto faz com que o aprendiz
incorpore uma necessidade de buscar uma “adaptação” intelectual, através de várias
etapas de assimilação e acomodação. No decorrer da disciplina foram propostos
diversos exercícios e inúmeras atividades com a finalidade de garantir que os
aprendizes estabelecessem contato com os novos conceitos, internalizando-os e
expandindo-os.
Assim como Piaget, Vygotsky considerava que a aquisição de conhecimento
depende das fases de desenvolvimento mental, concordando também com a
necessidade de ação do aprendiz para a construção do conhecimento. No entanto,
enquanto o construtivismo vygotskyano pode ser considerado como sócio-
construtivismo, já que considera essencial a cooperação dos pares na construção de
conceitos, Piaget não leva em consideração o fator social, limitando o ensino no
processo de desenvolvimento e na aquisição de conceitos à maturação, que para
ele é o fator essencial neste processo (MOREIRA, 1999). Para Vygotsky, o
conhecimento sofre influências da herança cultural do aprendiz no contexto social do
qual o mesmo é participante, visto que a aprendizagem constitui-se um fator
impulsionador do desenvolvimento (VYGOTSKY, 1999).
81
De Vygotsky aproveitamos essencialmente três conceitos: Ferramenta
cultural; Zona de desenvolvimento proximal e Teoria sobre formação de conceitos;
4.4.4.1 A ferramenta cultural
A ferramenta cultural como mediadora da situação pode ser justificada pela
presença de elementos, tais como calculadoras, computador, livros de história da
matemática (específicos dos assuntos tratados), entre outros. Tudo isso visando
promover o interesse, a participação a auxiliar no processo de conceitualização. Tais
elementos não são, obviamente, objetos da natureza, tendo sido criados pelo
homem a partir das necessidades impostas pelo desenvolvimento comercial,
cultural, enfim, pelo desenvolvimento da civilização. Enquadram-se, pois, na
conceitualização proposta por Vygotsky para o termo ferramenta.
4.4.4.2 A zona de desenvolvimento proximal
A zona de desenvolvimento proximal também é outro ponto fundamental para
nós, pois, como já definido, é a diferença entre o nível de desenvolvimento real31 e o
nível de desenvolvimento potencial32, i.e., a diferença entre (ou distância) entre
aquilo que o aprendiz já incorporou à estrutura cognitiva e, portanto, já sabe, e
aquilo que é capaz de aprender com a ajuda de pares. Isso foi utilizado naturalmente
na sala de aula, nas resoluções de exercícios e atividades desempenhadas, bem
como a própria atuação do professor foi fundamental para o processo de
conceitualização dos aprendizes.
No que se refere a sua teoria sobre formação de conceitos, Vygotsky
pressupõe que um conceito é mais do que a simples soma de conexões associativas
formadas pela memória, não entra na qualidade de “hábitos mentais”, portanto, não
pode ser ensinado ou aprendido por “treinamento”.
Ele divide o processo da formação de conceitos em três fases: a primeira é a
agregação vaga e desordenada de objetos isolados, desconectados, que se
embaralham formando uma imagem instável na mente do sujeito que aprende. A
segunda, e mais importante, é a fase em que o aprendiz já estabelece relações
entre os objetos, o que torna o pensamento coerente e objetivo, mas ainda não é o
31 O desenvolvimento real é aquele que já foi considerado pelo indivíduo, resolve situações de forma autônoma.
82
pensamento abstrato ou lógico. Esta segunda fase é denominada “pensamento por
complexos”. A terceira e última fase é a denominada “fase dos conceitos potenciais”
e já permite a capacidade de abstração mesmo que primitiva, servindo como
precursora na construção do conceito propriamente dito (OLIVEIRA, 1997).
Segundo Vygostky, um conceito só aparece quando os traços abstraídos são
sintetizados novamente, e a síntese abstrata daí resultante torna-se o principal
instrumento do pensamento (VYGOTSKY, 1997).
Com a experiência adquirida em sala de aula, temos que concordar com
Vygotsky quando o mesmo afirma que existe uma discrepância entre a capacidade
de formar conceitos e a capacidade de definí-los. De fato, isto só ocorre quando o
aprendiz faz as asserções de valor. Isso evidencia o fato de que a aplicação de
conceitos precede a análise dos próprios conceitos em diversas situações, como por
exemplo, na resolução de problemas de Cálculo. Tomamos o cuidado de verificar se
tal situação ocorre com os aprendizes que fizeram parte de nosso estudo. Isso pôde
ser feito na prática de correção por meio de categorizações utilizadas na taxonomia
SOLO e resultou na proposta de estabelicimento de um paralelo entre os níveis de
desenvolvimento cognitivos dos aprendizes (Vygotsky) e o nível de categorização
(taxonomia SOLO).
Outro ponto forte na análise da aquisição de conceitos refere-se à aplicação
do conceito estudado em uma dada situação, tendo que ser interpretado em outra
situação que tem configuração diferente da original. A isso ele denominou
“capacidade de transferência”.
De posse disso, pode-se considerar que os alunos terão adquirido os
conceitos expostos na disciplina referida, se:
• relacionam os conceitos de limite ao de derivada;
• definem as etapas de construção de forma coerente, seja na forma escrita
ou falada;
• efetuam transferências em situações fora do contexto;
• efetuam transferências em situações novas (concretas ou abstratas).
32 O desenvolvimento potencial é determinado pela habilidades que o indivíduo já construiu, porém encontra-se
em processo.
83
Para verificar se os alunos assimilaram os conteúdos, foram aplicados
questionários com questões que ao nosso entender serviram para que
investigássemos se tais conteúdos foram compreendidos pelos aprendizes.
A avaliação, no entanto, embora não possa ser descrita inteiramente, também
se utilizou do processo de construção e de crescimento dos alunos em sala de aula.
Obviamente que os testes aplicados são os elementos fundamentais de análise da
pesquisa, mas não podemos, em hipótese alguma, descartar todo o processo
interativo associado ao trabalho executado pelo professor e mesmo pela
pesquisadora que, em alguns momentos, deu aula para as turmas em que se
aplicou a pesquisa.
4.4.4.3 Formação de conceitos
Vygotsky classifica ainda os conceitos em espontâneos ou não espontâneos.
O conceito é espontâneo quando não há consciência do processo por parte do
aprendiz e é não espontâneo (científico) quando desde o início e de forma
consciente são utilizados outros conceitos mediadores na relação do indivíduo com o
objeto. O conceito que procuramos desenvolver nos aprendizes em sala de aula é o
científico. Em uma disciplina, qualquer que seja ela, sempre procuramos, enquanto
professores, trabalhar com definições de forma que um determinado conhecimento
adquirido possa servir para “x” situações. O grande entrave da nossa perspectiva é
exatamente o fato de que nossos alunos demonstram saber teoricamente o assunto,
não conseguindo, no entanto, explorá-lo de forma prática. Isso ocorre muito em
Cálculo e nos faz crer que devemos explorar a relação entre os dois conceitos
(VYGOTSKY, 1993).
O conhecimento espontâneo parte do particular para o geral, enquanto que o
científico percorre o caminho contrário. Isto decorre do fato de que cada um tem uma
origem, i.e., o espontâneo nasce da experiência, por exemplo, uma criança que
aprende a andar de bicicleta está preocupada em pedalar corretamente e manter-se
na bicicleta, mas não se preocupa com o entendimento de noções físicas de
equilíbrio, por exemplo.
Considera-se que, apesar de percorrerem caminhos diferentes, os dois tipos
de conceito apresentados por Vygotsky relacionam-se fortemente, no sentido da
necessidade existente no aprendiz, de alcançar um determinado nível de um
84
conceito espontâneo para ter a capacidade de aprender um conceito correlato.
Dessa forma é que, quando um conceito espontâneo dirigi-se de forma ascendente,
ele está fomentando o desenvolvimento de um conceito científico. Na proposta do
nosso trabalho, elaboramos questões que envolvessem situações-problema que
possibilitassem ao aluno o estabelecimento da relação entre os dois tipos de
conceito apresentados.
Vergnaud, que teve influência de Piaget e Vygotsky, dirigiu seus estudos para
a educação matemática. Ele defende a ideia de se trabalhar as situações-problema
para que o conhecimento matemático torne-se significativo. A resolução de
problemas tem uma forte relação com a interação sujeito-objeto, além de explorar
em sala de aula (ambiente onde se desenvolve o conhecimento científico) situações
espontâneas, as quais poderiam ser entendidas no cotidiano. Esta foi a construção
da sequência didática que propusemos e que foi aplicada pelo professor durante o
semestre.
Como já dito anteriormente, a construção de um conceito não é algo rápido,
muito ao contrário. E, segundo o próprio Vergnaud, é um processo lento que exige a
exploração contínua dos conteúdos em questão, através de situações que explorem
diferentes domínios do conceito a ser aprendido.
A teoria dos campos conceituais explora a elaboração pragmática dos
conhecimentos, pregando a ideia de que não se pode prender o estudo da
matemática aos simbolismos ou situações, devendo se considerar o sentido desses
aspectos. Para Vergnaud, um conceito não assume sua significação em uma única
classe de situações. Por mais simples que seja o conceito, ele necessita de um
conjunto de situações que, juntas, farão com que o aprendiz as assimile.
Com isso, basicamente, um campo conceitual representa um conjunto de
situações cujo domínio requer uma variedade de conceitos, procedimentos e o
domínio da representação simbólica envolvida. No ensino dos conteúdos da
disciplina em questão, foram trabalhados vários conceitos, além de se trabalhar
primeiramente a noção intuitiva dos conceitos, a questão histórica, entre outros.
Embora Piaget tenha explorado a ideia de invariantes, Vergnaud foi quem
percebeu a importância da percepção dos mesmos na formação de conceitos. É
nesse sentido que se estabelece a noção de esquemas, que ele denominou de
teorema em ação, evoluindo para a competência até que finalmente chegue ao
85
conceito. Para construir o conhecimento operacional, primeiro o indivíduo deve
captar o conjunto de invariantes (o que caracteriza cada conjunto).
Os obstáculos didáticos são os que nascem da escolha de determinadas
estratégias de ensino. Quando isso ocorre, geram-se conhecimentos incompletos ou
mesmo errados o que culminará em um entrave na formação futura de um conceito.
Já os obstáculos epistemológicos, “são os que desempenharam um importante
papel na história de determinado conhecimento e cuja rejeição precisou ser
integrada explicitamente no saber transmitido” (Almouloud, 1994). Podemos
identificar estes últimos nas dificuldades encontradas por matemáticos para superá-
los na história.
Os obstáculos, sejam de que tipo for, existem e são encontrados no dia a dia
da sala de aula, cabendo aos professores identificá-los e tomarem as atitudes mais
coerentes para saná-los.
86
5 METODOLOGIA
Neste capítulo é apresentado o tipo de pesquisa e a forma como foi
conduzido o estudo, bem como a análise e a interpretação dos dados coletados.
Faz-se a descrição do desenho metodológico e das questões que deram origem ao
trabalho e o plano da pesquisa no qual a metodologia foi baseada, ao tempo em que
são apresentados os resultados experimentais coletados.
Nossa pesquisa é qualitativa, o que permite observações e interpretações de
comportamentos relacionados com a aprendizagem matemática utilizando-se a
taxonomia SOLO na análise e correção das questões.
Nesta pesquisa utilizamos questionários e testes33 (Teste 1 e Teste 2), com a
finalidade de investigar hipóteses, por meio da análise qualitativa dos dados obtidos.
Por intermédio da análise do comportamento verbal ou não-verbal, fez-se inferências
sobre o pensamento matemático e sobre a aprendizagem. Das inferências, pôde-se
compreender melhor os diversos aspectos de conceitos envolvidos no campo
conceitual do cálculo diferencial.
5.1 Considerações Metodológicas
5.1.1 A escolha da população
A escolha da população deveu-se ao fato de serem alunos do curso de SI
(Sistemas de Informação) de uma IES. O curso é de formação não-matemática, mas
os discentes tinham, além da disciplina Cálculo I, outras disciplinas de conteúdo
matemático, tais como Matemática I (que equivale a uma disciplina introdutória de
Álgebra Linear), além de Cálculo Diferencial e Integral II, Lógica Matemática e
Matemática Discreta. Consideramos que neste cenário é possível fomentar no
aprendiz uma vontade de apreender o conteúdo, visto que o mesmo sabia que
existiriam outras chances de verificação e aplicabilidade dos mesmos.
33 Denominado de Structured Task-Based Interviews - STBI (GOLDIN, 1999).
87
A escolha das variáveis, das tarefas e do tempo para concluir as tarefas é
feita cuidadosamente com o objetivo de concluir com êxito a observação de
determinados comportamentos matemáticos (comportamento apropriado para uma
exploração e resolução de problemas em matemática).
5.1.2 Taxonomia SOLO
Segundo Biggs e Collis apud Amantes e Borges (2005), admite-se que
existem estágios no desenvolvimento cognitivo. Tais estágios não podem ser
definidos em termos de mudanças estruturais na lógica operatória. Isso quer dizer
que quando há uma mudança de estágio, também muda-se a forma de representar
o conhecimento aprendido, mas não a estrutura da totalidade de tarefas com as
quais se lida em cada estágio.
Segundo Amantes e Borges (2005):
Os estágios de Biggs e Collis obedecem à regras de desenvolvimento, surgindo em idades mais ou menos definidas. Ao surgir um novo estágio, o sujeito ainda é capaz e efetivamente funciona no modo como funcionava no estágio anterior. O que caracteriza um estágio não é a complexidade estrutural, mas o nível de abstração do modo como os conteúdos da experiência são representados. Para esses autores, o surgimento de um estágio não impede o funcionar dos outros. Vários estágios podem coexistir e serem utilizados simultaneamente em diferentes conteúdos (AMANTES; BORGES, 2005, pg 4).
Os estágios a que se referem Biggs e Collis não podem ser definidos em
termos de desenvolvimento ou estruturas de pensamento do aprendiz segundo as
definições piagetianas desses termos, pois, um adulto, cujas estruturas formais
supostamente já foram formadas pode apresentar um pensamento no sensório
motor para determinada área do conhecimento.
Ainda segundo Amantes e Borges (2005):
(...) um adulto ou adolescente que esteja submetido à uma aprendizagem no modo sensório motor tem sua atuação diferente da de uma criança, pois além de seus cérebros e sistema nervoso serem mais desenvolvidos, eles já elaboraram modos mais complexos de pensamento ao longo da vida. Por isso, os atos do indivíduo mais maduro são apoiados em níveis de modos de ordem mais elevada, mesmo quando se referem a modos de baixa ordem de aprendizagem; são, portanto, distintos dos atos de um iniciante e
88
se remetem a mais de um modo de pensamento (AMANTES; BORGES, 2005).
Estes modos de representar a aprendizagem, segundo estes autores,
ocorrem em uma sequência estrutural hierárquica de subestágios ou níveis, onde
essa aprendizagem é expressa; se referem tanto à qualidade quanto à quantidade
de informações processadas.
Esse sistema hierárquico é denominado Taxonomia SOLO (Structure of the
Observed Learning Outcome), e pode ser usado para avaliar a qualidade de
aprendizagem ou para objetivos curriculares (BIGGS e COLLIS, 1982). Quanto aos
níveis de resposta, Biggs e Collis (1991) definiram cinco estágios:
• Pré-estrutural (P): forma de pensar em que as respostas explicitadas são inadequadas. O indivíduo opera em modo aquém do que o solicitado em uma questão a ele colocada, sendo distraído ou confundido por aspectos irrelevantes pertencentes a um estágio ou modo prévio.
• Uni-estrutural (U): o foco é correto, mas o aprendiz obtém poucas informações dos dados e as respostas podem ficar inconsistentes.
• Multi-estrutural (M): o aprendiz se vale de características mais relevantes e corretas, mas elas não se integram totalmente; algumas inconsistências podem aparecer em suas respostas.
• Relacional (R): as informações são acessadas, os dados são avaliados e as relações são estabelecidas. O todo se torna uma estrutura coerente; não há inconsistências.
•Abstrato estendido (A): O aprendiz agora generaliza a estrutura para um novo quadro com características mais abstratas, representando um novo e elevado modo de operação. Normalmente esse nível torna-se o nível uni-estrutural do modo seguinte da hierarquia de categorias de funcionamento.
Esses níveis de complexidade em relação às respostas se estabelecem em
cada estágio, formando ciclos de aprendizagem crescente, que podem se constituir
em um ou mais ciclos dentro de um mesmo modo. Desta forma os testes foram
avaliados e puderam ser mensurados.
O número de ciclos depende da natureza do conhecimento apreendido: se for
muito complexo (demanda muitos conteúdos, muitas relações e um grau maior de
abstração) certamente haverá mais de um ciclo de aprendizagem.
89
Assim, foram aplicados testes, onde não se definem os resultados como
modelo de resposta correta ou incorreta, pois tentou-se observar, gravar e interpretar
modelos de comportamento, incluindo as manifestações dos alunos, tais como: a
fala, a escrita, o desenho (gráficos etc) e as ações.
Por intermédio dessa análise pudemos fazer inferências, usando o que se
pôde observar para ser inferido do que não se pode inferir. Este tipo de pesquisa
justifica seu uso em Educação Matemática, pois freqüentemente pesquisadores
interagem com o sujeito. Em relação às estruturas matemáticas, permite que
pesquisadores desenhem tarefas que facilitarão interações particulares entre
estruturas internas do sujeito e as estruturas matemáticas (CUNHA, 2002).
Por fim, existiu o interesse em estudar o Cálculo Diferencial, mobilizados no
ensino dentro de diferentes contextos e seus sistemas de representações, bem
como a aplicabilidade do sistema, mais especificamente, em nosso caso de registro
verbal para o registro sob a forma da escrita nas listas e/ou questionários.
A metodologia e procedimentos utilizados estão associados a um modelo de
comportamento pedagógico que foi construído a partir da aplicação da Teoria dos
Campos Conceituais e de uma mensuração do processo de ensino/aprendizagem
durante a sua aplicação em sala de aula. Nesta linha, este trabalho utilizou um
levantamento das pesquisas empíricas coletadas em sala de aula como base na
observação em questionários e Testes (Teste 1 e Teste 2) utilizados pelo docente
(Professor) e pelos discentes (alunos) (Vide os Apêndices A, B, C e D, onde são
apresentados os Testes 1 e 2 aplicados, bem como uma proposta de solução
comentada dos mesmos).
5.2 Procedimentos Adotados na Pesquisa
A competência de um indivíduo pode ser definida, segundo Vergnaud, a partir
de três critérios:
(a) o que ele é capaz de fazer face a uma classe ou conjunto de classes de situações;
(b) se ele dispõe de um procedimento ou método mais
rápido, mais econômico, mais eficaz, que lhe permita ter um desempenho superior;
90
(c) se ele possui um repertório de procedimentos ou métodos alternativos que lhe permitam adaptar-se de uma maneira mais refinada às diversas situações que enfrenta, em função da avaliação das diferentes variáveis das situações.
Com isso, buscamos identificar e interpretar se o aluno utiliza e de que forma
os campos conceituais que fazem parte de sua estrutura cognitiva para a resolução
de problemas, uma vez que, este não conseguiu estabelecer uma relação entre as
questões aplicadas e a teoria e sua aplicabilidade na solução dos problemas.
Após a resolução de alguns exercícios, em escala gradual de interpretação e
dificuldade (sondada com um grupo de alunos nas mesmas condições de
aprendizagem e recursos em turma escolhida de forma aleatória), os discentes
(alunos) esbarraram em questões com as quais não conseguiam prosseguir.
O docente (professor), detectando que estes alunos encontravam-se na zona de
desenvolvimento proximal, reexplicou o assunto antes abordado, com interpretações
que forçassem o aprendiz a relacionar os elementos de um determinado campo
conceitual, utilizando-se, por exemplo: histórias; estórias; correlações da vida prática
que abordassem o respectivo assunto em voga e sugestões advindas e provocadas
pelos próprios discente e extraídas das experiências cotidianas de cada um deles;
Por fim, ao término da explanação e da resolução de problemas similares aos
apresentados, os alunos respondiam aos testes (alguns grupos não tiveram essa
fase de reexplicação dos assuntos e/ou observação - ver desenho da pesquisa na
ilustração 7).
Como mencionado anteriormente, em muitos domínios, a iminente aquisição
de novos conceitos e a mudança de seu status cognitivo consistem na explicitação
dos conceitos subjacentes à ação, isto é, baseia-se na mudança de ponto de vista
sobre os objetos, suas propriedades, bem como as relações entre os objetos
(VERGNAUD, 1990). Se as competências-em-ação forem uma resposta aos
desafios colocados pelas situações (problemas) que enfrentamos, quanto maior for a
variedade de situações encontradas e/ou propostas, maiores serão as chances de
desenvolvimento de conceitos mais gerais e cada vez mais complexos, constituindo-
se em sistemas conceituais. O conceito, assim concebido na sua relação com os
91
demais conceitos, amplifica os limites de sua validade e a generalização dos
teoremas implícitos na ação a várias outras situações possíveis. Por outro lado,
situações novas, impossíveis de serem resolvidas com o repertório de esquemas já
existente, conduzem à criação de novos modelos ou maneiras de interpretar a
experiência. O desenvolvimento ou amplificação das competências já existentes
envolvem a construção de novos objetos, a proposição de novas relações e a
construção de novas categorias (TORRES, apud VERGNAUD, 1992).
Sendo assim, o primeiro passo para um ensino de qualidade na proposta da
pesquisa aqui inserida é detectar os invariatens operatórios (teoremas-em-ato). Feito
isso, o professor, por meio da interação com o grupo e as avaliações aplicadas,
pode verificar se os invariantes operatórios construídos pelos aprendizes
correspondem aos da teoria. Para tanto, após a explicação de um determinado
assunto e em seguida à feitura de exercícios, o docente pode avaliar o nível de
apreensão do conceito estudado.
Quando ocorre o aprendizado, há o processo de acomodação. Um novo
esquema foi construído pelo aluno, por meio de uma nova abordagem na retórica do
professor, o uso de um software, de calculadora, a história do Cálculo contada sob
um aperspectiva interessante, ou qualquer outro meio de tentar fazer com que o
estudante assimile o conteúdo.
Se houve ou não a construção coerente do novo esquema, o professor
poderá detectar por meio de testes como os que foram aplicados por nós para os
alunos. A análise e correção utilizando a taxonomia SOLO podem contribuir para
uma tentativa de relacionar níveis de compreensão de escopos pontuais referentes à
disciplina de Cálculo.
Ao passar exercícios para os alunos, é bem provável que alguns estudantes
cheguem a um ponto de não avançar na resolução. Nesse momento, quando o
aprendiz se defronta com um novo problema e tenta, através da modificação de seu
comportamento, resolvê-lo,os esquemas existentes na estrutura cognitiva são
modificados pela adaptação aos novos aspectos do problema emergente. Sendo
assim, neste processo de acomodação e assimilação referentes ao conteúdo de
funções, limites e derivadas, os conceitos complemantam-se mutuamente até que os
invariantes sejam compreendidos e incorporados à estrutura cognitiva, pois,
enquanto que através da acomodação os esquemas são alterados, através de
92
assimilação eles sofrem uma estabilização. Ao sofrer estabilização, os mesmos
podem ser novamente relacionados aos demais conceitos, formando o campo
conceitual do aprendiz.
Quando os esquemas de ação do aprendiz não conseguem assimilar
determinada situação, a mente desiste ou se modifica. Nos casos em que há
modificação, ocorre a “acomodação”. Essa modificação ocorrerá a partir da
intervenção do professor ao explicar um assunto novamente ou utilizar qualquer uma
das estratégias anteriormente listadas, ou mesmo um conjunto delas.
Ao verificar que o aluno não consegue avançar sozinho, percebeu-se que o
mesmo encontrava-se na ZDP, utilizou-se a estratégia escolhida, verificou-se por
meio de novo exercício e, assim, viu-se que o aluno saiu (ou não) da ZDP, passando
ao nível de desenvolvimento real, segundo Vygotsky. Há, assim, a acomodação,
permitindo a construção de novos esquemas de assimilação. Através da
acomodação é que se deu o desenvolvimento cognitivo no campo conceitual do
Cálculo Diferencial. A acomodação só existiu porque houve assimilação, já que a
acomodação é a reestruturação da assimilação. Houve, também, uma adaptação, já
que a mesma é o equilíbrio entre assimilação e acomodação.
5.3 A Quem se Aplicou (População/Amostra)
Os sujeitos do estudo foram 97 alunos - jovens e adultos, 59 do sexo
masculino e 38 do sexo feminino, na faixa etária de 18 a 52 anos, em sua maioria
trabalhadores, todos de uma Universidade particular da cidade de Salvador, no
estado da Bahia, conforme o quadro a seguir:
Sexo Turma
Número de
Discentes Masculino Feminino
Faixa
Etária Observações
Turma 01 (Curso de SI)
45 29 16 18 - 44 Foi dividida em dois grupos (Grupo 1 e 2).
Turma 02 (Curso de SI)
52 27 24 19 - 52 Foi dividida em dois grupos (Grupo 3 e 4).
93
Sexo Turma
Número de
Discentes Masculino Feminino
Faixa
Etária Observações
Totais:
97 56 41
Distribuição Gaussiana de Idades
por Tuma e por grupo
Totalizamos 4 grupos em duas turmas.
Quadro 3 Distribuição do Universo Amostral Fonte: Elaboração da Própria autora
Embora o curso tivesse, naquele momento, 4 (quatro) turmas, a pesquisa não
trabalhou com a população. Optamos por trabalhar com metade das turmas
existentes. Além disso, houve a necessidade de observar alguns alunos antes do
teste 1, antes do teste 2, após o teste 1 ou após o teste 2, como consta na ilustração
7.
Apesar de termos 97 alunos nas duas turmas, foram considerados 96, pois
uma aluna não participou de todas as etapas principais, não tendo sido considerada
para efeitos de análise.
As listas de exercício (que não eram os testes formais) foram propostas a
uma parte do grupo para que estes colocassem as questões em uma ordem gradual
de dificuldade para que o encaminhamento à zona de desenvolvimento proximal
fosse feito de forma lenta e gradual. Isso ocorreu nos grupos onde foram feitas
observações.
O docente (professor) também ajudou na aplicabilidade da lista, visto que as
questões foram elaboradas juntamente com o mesmo para que não houvesse um
descompasso com os conteúdos e as formas de abordagens do mesmo em sala de
aula. Em vista do cartesianismo dos ementários e das exigências dos cumprimentos
dos mesmos por parte das Instituições de Ensino Superior, deve-se considerar que
cada docente tem a sua heurística de aplicabilidade dos conteúdos e, desta forma,
para que não houvesse descontinuidade entre o abordado e o mensurado,
considerou-se providencial a participação do professor na confecção dos
questionários e listas de exercícios, bem como nos comentários quando da correção
das mesmas.
5.4 Desenho da Pesquisa
94
O trabalho de campo envolveu a assessoria ao professor que ministra a
disciplina nas duas turmas em que foi aplicado o trabalho, painéis para entrevistas
em grupo e a elaboração de atividades (listas de exercícios) a serem desenvolvidas
em sala de aula. As atividades foram registradas com fotografias e através de
anotações. Todos os registros produzidos pelos alunos foram objetos de análise e
interpretação.
A pesquisa foi aplicada em duas turmas do curso de Sistemas de Informação.
Foram formados, através de sorteio, quatro grupos de alunos, perfazendo um total
de 96 (noventa e seis) membros participantes, estando assim distribuídos:
Ilustração 6 Desenho da Pesquisa
_________________________ Turma 1
• Grupo 1: 21 alunos • Grupo 2: 24 alunos
_________________________
Turma 2 • Grupo 3: 27 alunos • Grupo 4: 24 alunos
_________________________ Total: ____ 96 alunos
Nos quatro grupos foram aplicados questionários de avaliação do docente,
entrevista em grupo (painel) e a aplicação das listas de exercício, bem como os
Testes 1 e 2. O grupo 4 teve como opção de trabalho em grupo, proposto pelo
professor, a aplicação de uma peça (de teatro) como proposta avaliativa. Eles
fizeram basenado-se no livro “Newton e sua maçã”, proposto pela pesquisadora.
Estes outros momentos (a seguir descritos) foram chamados de encontros formais
e serão estão assim tratados para diferenciar de outros momentos, não menos
importantes, mas que para fins metodológicos ficam assim descritos.
A ordem dos encontros formais foi a seguinte:
1) Palestra apresentando e fundamentando o trabalho (foram feitas fotos digitais - Vide Apêndices I e J ;
95
2) Questionário de avaliação do docente;
3) Observação dos grupos 3 e 4 (Turma 2);
4) Aplicação do Teste 1
5) Apresentação da peça pelo grupo 4
6) Observação dos grupos 1 e 4
7) Aplicação do Teste 2
8) Painel
O desenho do trabalho da pesquisa pode ser observada na ilustração 7.
Turmas
G1 (Turma 1) -------------------X ---------------- O1 ---------------- AT
G2 (Turma 1) -------------------X------------------- ---- -------------- AT
R
G3 (Turma 2) - O2 ----------- X ---------------- ---- ----------------- AT
G4 (Turma 2) - O3 -------------X----------------- O4 ----------------- AT
Ilustração 7 Funcionograma da Pesquisa de Campo Fonte: Elaboração da Própria autora.
Nesse desenho da pesquisa: G1 significa Grupo 1 (Turma 1); G2
designa Grupo 2 (Turma 1); G3 designa Grupo 3 (Turma 2); G4 é nomeação de
Grupo 4 (Turma 2); Oi; i=1, 2, 3, 4 designa as observações realizadas nos grupos; X a
aplicação de Teste 1 e AT a aplicação do Teste 2;
As observações referem-se a aplicações de exercícios muito análogos aos
testes (designados como Teste 1 e Teste 2) aplicados em sala. Os testes
encontram-se no Apêndice L.
5.5 Encontros Presenciais e Seus Objetivos
Neste item descreve-se os momentos de contato (formal) entre a
pesquisadora e os discentes. Note-se que denomina-se de “contato formal” o
96
encontro específico para aplicação dos testes, questionários e entrevistas
específicos à pesquisa em questão.
Estes encontros podem ser melhor delineados na ilutração 8:
Ilustração 8 Encontros com os alunos Fonte: Elaboração da Própria autora.
Os demais encontros, explicação dos assuntos, revisão e metodologia
empregada em sala de aula e outros encontros não foram considerados “formais”,
por esta razão não constam do conteúdo metodológico.
5.5.1 Primeiro encontro formal
Inicialmente, no primeiro encontro formal, a pesquisadora esteve nas duas
turmas de alunos, ministrando uma palestra apresentando e fundamentando o
trabalho e iniciando o processo de sondagem, entrevistas (breves) e informais.
5.5.1.1 A preleção
Neste primeiro momento foi feita uma preleção do trabalho onde explicamos
que o mesmo seria:
1) Um trabalho de pesquisa para a melhoria do ensino do Cálculo
97
2) Um trabalho de interesse da instituição e do próprio docente.
3) Um trabalho que necessitava da colaboração de todos,
justificado pelo próprio conteúdo e pela importância da pesquisa,
afirmada pelos próprios alunos, que consideraram importante a
tentativa de um estudo sobre a aplicação de estratégias focadas
na melhoria do ensino-apredizagem do Cálculo Diferencial.
Para que houvesse uma confiabilidade, a pesquisadora foi apresentada ao
grupo como palestrante e docente auxiliar, que trabalharia em consonância às aulas
do Professor, ministrando, inclusive, algumas aulas (quando considerávamos ser o
melhor para o bom andamento do trabalho).
Foi proferida uma palestra sobre a história do Cálculo, com fins da preleção
anteriormente descrita, que recebeu elogios dos alunos.
5.5.2 O segundo encontro formal
Em um segundo encontro formal, a pesquisadora aplicou o questinário de
avaliação do docente, bem como os questionários de auto-avaliação dispostos nos
apêndices. Aproveitou o ensejo para tirar algumas dúvidas dos alunos, explicando
os objetivos da pesquisa (novamente), afirmando não se tratar de uma “aplicação de
prova e/ou teste” de caráter formal da Instituição. Para isso explicamos que não
seria aferida uma nota, e, mesmo tratando-se de uma participação voluntária; obteve
o consentimento coletivo dos alunos para a realização do estudo. Nesse momento o
professor informou ter atribuído nota qualitativa para fomentar a participação dos
alunos em todos os testes. Para tanto, só receberia a nota quem participasse de
todos os estágios da pesquisa. Tal atitude contribuiu para que quase 100% dos
alunos envolvidos estivessem em todas as etapas, facilitando a prática metodológica
e a aferição dos dados.
5.5.3 O terceiro encontro formal
No terceiro encontro formal, enquanto o professor deu aula, houve a
observação dos grupos 3 e 4, tanto pela pesquisadora quanto pelo próprio professor.
Após os encontros foram estabelecidas as ações futuras e as estratégias foram
discutidas entre ambos, após as aulas.
98
5.5.4 O quarto encontro formal
No quarto encontro formal foi aplicado o teste 1 em grupos de três alunos
(uma equipe ficou com quatro discentes em vista da quantidade de alunos
presentes, mas a participante excedente não compareceu aos demais encontros,
tendo, por isso, sido desconsiderada para efeitos de avaliação), envolvendo
questões com o conteúdo de funções.
A aplicação das questões durou em média uma hora e quarenta minutos
(duas horas-aula, pois na instituição em questão 1 h/a equivale a 50 minutos).
Solicitou-se aos alunos que não usassem borracha e que nos casos em que fosse
utilizada caneta, que os erros fossem riscados, mas não apagados. No entanto,
pudemos observar que alguns grupos passaram a limpo o trabalho, entregando-o já
dessa forma.
5.5.5 O quinto encontro formal
No quinto encontro formal foi feita a apresentação da peça adaptada do livro
“Isaac Newton e sua maçã”, onde os alunos do grupo 4, de forma lúdica e muito
engraçada, contaram, a partir da leitura e interpretação do livro, bem como
pesquisas associadas, apresentaram uma adaptação do livro. Entre os
personagens, eles incluíram Leibnitz (o livro não o citou), mostrando uma relação
entre os mesmos e, apenas com o intuito de descontrair os colegas e professores,
inseriram falas do matemático como se o mesmo tivesse inveja de Newton por ele
ter ficado mais famoso.
O que nos chamou atenção foi que, embora eles tenham reclamado no início
do trabalho, no dia da apresentação mostraram-se bastante gratificados e
demonstraram asserções de valor ao conteúdo da disciplina.
5.5.6 O sexto encontro formal
Neste encontro foram observados os grupos 1 e 4, após explicações em aulas
anteriores dos assuntos do teste 2 (limites e derivadas). Neste encontro foram
passados exercícios para os alunos, com intervenção. As intervenções foram feitas
apenas nestes grupos citados, assim como novas explicações sobre o mesmo
assunto, também.
99
5.5.7 O sétimo encontro formal
No sétimo encontro formal foi aplicado o teste 2 em grupos de três alunos,
envolvendo elementos com o conteúdo de limites e derivadas.
A aplicação das questões durou duas horas e trinta minutos (três horas-aula).
Aqui novamente foi solicitado aos aprendizes que não usassem borracha e que nos
casos em que fosse utilizada caneta, que os erros fossem riscados, mas não
apagados. Novamente pudemos observar que alguns grupos passaram a limpo o
trabalho, entregando-o já dessa forma.
5.5.8 O oitavo encontro formal
No painel, a pesquisadora apontou contradições entre as respostas dadas
pelos alunos ou propôs contra-sugestões. Procurou, também, conduzir os
aprendizes à explicitação e, indiretamente, à reflexão sobre as justificativas
apresentadas. Este momento funcionou mais como um “bate-papo” informal do que
uma entrevista propriamente dita.
5.5.9 Observações sobre a aplicação dos testes
Quanto aos testes 1 e 2, interessou-nos menos a quantidade de acertos dos
sujeitos e mais os processos de pensamento que levaram a uma determinada
resposta, fosse ela considerada certa ou errada. Ou seja, a resposta dada foi
tomada como um dos indícios para a compreensão do processo que a gerou, uma
vez que se partiu do pressuposto segundo o qual, o erro pode revelar um processo
mais sofisticado de raciocínio que uma resposta correta. Além disso, e como já
mencionado, o uso da categorização das respostas nos permitiu estabelecer um
paralelo entre o nível de aprendizagem (nível potencial, real ou ZDP) e a categoria
propriamente dita, pelo viés da taxonomia SOLO.
Nas justificativas dadas pelo sujeito e nas verbalizações formuladas enquanto
este resolve o problema, buscamos, também, compreender as relações que ele
estabelece entre os elementos do problema, bem como conduzi-lo a refletir sobre o
problema e a forma adotada para sua resolução.
Entretanto, ainda que buscássemos basear-nos em pistas verbais, gráficas e
gestuais, fornecidas pelos alunos, na tentativa de acompanhar e reconstruir seu
100
raciocínio, não deixamos de considerar que os mesmos, possivelmente, tivessem
dificuldade em explicitar escrita ou verbalmente, com maior ou menor grau de
clareza, a estratégia de resolução, mesmo que fossem capazes de resolver o
problema corretamente. Os teoremas-em-ação foram onsiderados, então, como
objeto de análise e inferência por parte da pesquisadora.
5.6 Execução da Pesquisa e Coleta de Dados
A execução da pesquisa ocorreu em todos os encontros com discentes e a
mesma foi direcionada a observações qualitativas e quantitativas. As observações
qualitativas foram bastante subjetivas e ocorreram literalmente em todos os
encontros e com a interação com o docente antes, durante e depois da interação
com os discentes. A pesquisa quantitativa ocorreu apenas com a avaliação dos
Teste 1 e Teste 2 onde, após a aplicação dos mesmos, utiliza-se a taxonomia SOLO
para as suas análises.
101
As etapas de execução da pesquisa podem ser observadas na ilustração 9:
Ilustração 9 Etapas da execução da pesquisa
Fonte: Elaboração da Própria autora.
102
5.7 Estratégias Metodológicas/Procedimentos Didáticos
Os chamados “encontros formais”, como já descrito anteriormente, foram os
momentos em que os elementos avaliativos, tais como testes observações e
questionários foram aplicados e/ou efetivados. No entanto, para detectar se o
aprendiz encontrava-se na ZDP e, principalmente, para retirá-lo dela e conduzi-lo à
aprendizagem real (nível de desenvolvimento real) fez-se necessário utilizar práticas
pedagógicas e procedimentos didáticos.
Foi mencionado (pg 51) que, para Vergnaud, existem dois tipos de situações
que, se tiverem algum significado para o aprendiz, podem gerar dois tipos de
processos diferentes para a sua resolução, que ele denomina de primeira e segunda
classe de situações. Na primeira, o sujeito já possui em seu repertório de
competências, os procedimentos adequados ao tratamento da situação. Trata-se
mais de uma relação de filiação aos conhecimento pré-existentes, enquanto que na
segunda, o sujeito não dispõe de todas as competências requeridas para o
tratamento da situação. Há uma ruptura do conhecimento e um momento de
descoberta e, em alguns casos, de invenção do novo. Para a resolução da nova
situação (problema) (considerada como nova pelo aprendiz) são necessárias
reflexão e exploração, que podem conduzir ao sucesso ou ao fracasso.
Na segunda classe de situações, quando o aluno encontra-se na ZDP, cabe
ao professor criar situações, utilizando-se de novas estratégias para sua abordagem,
que induzam o aluno, por meio de representações, a uma reorganização de sua
estrutura cognitiva ao formar os novos esquemas a partir daí. Se houve sucesso ou
não, o professor poderá supor por meio de algum tipo de avaliação. No nosso caso,
além dos exercícios em sala de aula, que também contribuíram para a detecção do
sucesso (ou não) da proposta, os testes foram fundamentais, visto que eles foram
aplicados especificamente com o intuito de avaliar todo o processo proposto aos
grupos em que foram utilizadas novas abordagens explicativas.
Os invariantes operatórios tiveram um papel muito importante nesta fase da
pesquisa. Para isso, em primeiro lugar foram detectados, para cada tópico abordado,
os invariantes operatórios da teoria. Depois, nas intervenções do professor, foram
detectados e analisados os invariantes dos aprendizes (por grupo), mas foi na
correção dos testes, pelo viés da taxonomia SOLO que pudemos observar se os
103
invariantes operatórios (teoremas em ato) construídos pelos alunos condiziam com
os da teoria abordada na prática da sala de aula.
Para cada assunto abordado foram feitos exercícios que pretendiam colaborar
com o aprendizado dos alunos, já que os mesmos tratavam de conhecimentos que
deveriam ter sido adquiridos nas explanações em sala de aula.
Algumas estratégias metodológicas e procedimentos didáticos serão descritos
a seguir. Embora saibamos que nenhum deles esgota as possibilidades de fomento
à aprendizagem, estes foram utilizados por terem sido pensados e repensados pela
pesquisadora e o professor da disciplina. Além disso, a preocupação com a
aplicação da teoria proposta foi o fator que mais corroborou as estratégias infra-
citadas.
Depois de reuniões entre a pesquisadora e o docente, os exercícios foram
planejados conjuntamente. A autora teve o cuidado de explicar o trabalho, suas
hipóteses, os conceitos principais da teoria de Vergnaud e todas as informações
consideradas relevantes para o trabalho do docente em sala de aula.
Optamos por descrever algumas aulas mais relevantes. Por motivos óbvios
não descrevemos todas as aulas de Cálculo Diferencial ministradas no semestre. As
que estão descritas servem para exemplificar a metodologia empregada na
pesquisa, bem como responder a alguns objetivos específicos.
Apenas mencionar as palavras “limite” e derivada, por exemplo, para alunos
do ensino superior, especialmente os que fazem cursos não voltados à
aprendizagem matemática mais direta, faz com que os alunos se apavorem. Os altos
índices de reprovação corroboram a noção de dificuldade na apreensão dos
conceitos presentes nos alunos. Isso por si só já é um fator relevante de
impedimento da aprendizagem significativa dos tópicos abordados na disciplina.
Pensando nisso e buscando na teoria dos campos conceituais elementos que
pudessem servir de objeto identificador de dificuldades nos aprendizes, é que
construiu-se um esquema designando os invariantes operatórios, bem como os
elementos do tripleto (S,I,R) já mencionado, para cada área do Cálculo Diferencial e,
posteriormente, para cada questão aplicada nos testes.
5.7.1 Procedimentos didático-metodológicos do Docente no ensino de funções
104
Apesar do conceito de funções ser apresentado aos alunos formalmente no
nível médio, ou seja, apesar deles já terem, teoricamente, o conhecimento prévio
deste conteúdo, em geral, os alunos dos cursos de formação superior não voltados à
aprendizagem matemática têm grande dificuldade no trabalho com os conceitos
associados a funções.
O conceito clássico reporta-se a: “Dados os conjuntos X, Y, uma função f: X -
> Y é uma regra que diz como associar a cada elemento x pertencente a X um
elemento y = f(x) pertencente a Y. O conjunto X chama-se o domínio e Y o
contradomínio da função f. Para cada x pertencente a X, o elemento f(x) pertencente
a Y chama-se a imagem de x pela função f, ou o valor assumido pela função f no
ponto x pertencente a X”.
Com isto a apresentação do conceito inicial de funções foi a tradicional
“apresentação intuitiva” juntamente com a definição da notação associada à mesma,
ou seja, para tanto utilizou-se uma tabela com a representação funcional e com a
descrição dos valores da função nos pontos sugeridos. Após o calculo do valor da
função em cada ponto sugerido estabeceu-se a descrição de como representar
graficamente cada ponto com o uso dos eixos cartesianos e com a pontuação dos
mesmos em cada eixo correspondente.
Estudaremos o comportamento de uma função { }f : R 1 R− → definida por:
1)( 2 += xxf
Assim utilizou-se a seguinte função e tabela cartesiana:
Tabela 1 Função exemplo X F(x) -2 5 -1 2 0 1 1 2 1 5
Fonte: Elaboração da própria autora
Com a seguinte representação gráfica:
105
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
x
y
Gráfico 1 Gráfico da função exemplo Fonte: Elaboração da própria autora
A partir dessa exploração, percebemos que muitos alunos, embora,
teoricamente, devesse trazer os conceitos de relação e função bem estruturados e
arrumados em suas estruturas cognitivas, tinham dificuldade em compreender o
conceito a partir da abordagem inicial feita pelo professor.
5.7.1.1 Análise do grupo 1
Exercícios foram aplicados em sala de aula, mas não foram feitas
observações para fins da pesquisa. A interação professor-aluno deu-se de forma
natural, como de costume no cotidiano das aulas do docente.
5.7.1.2 Análise do grupo 2
Exercícios foram aplicados em sala de aula, mas não foram feitas
observações para fins da pesquisa. A interação professor-aluno se deu de forma
natural, como de costume no cotidiano das aulas do docente.
106
5.7.1.3 Análise do grupo 3
Houve observação. O professor interagiu com a turma, de modo a reexplicar o
assunto para, soemente depois aplicar o teste 1. Exercícios foram aplicados em sala
de aula, onde observamos as atuações dos discentes, a forma como participavam,
as perguntas que faziam, a interação entre os mesmos e outras variáveis.
A partir daí o docente diagnosticou lacunas no processo de aprendizagem de
conteúdos, resolveu problemas que servissem de referência para os testes que
seriam aplicados e verificou a atuação do grupo na resolução das questões.
Por meio da resolução dos exercícios, ele detectou alguns invariantes
operatórios presentes na estrutura cognitiva dos aprendizes e verificou que nem
sempre os mesmos estavam condizentes com os da teoria demandada na questão.
5.7.1.4 Análise do grupo 4
Exercícios foram aplicados em sala de aula, onde observamos as atuações
dos discentes, a forma como participavam, as perguntas que faziam, a interação
entre os mesmos e outras variáveis.
A partir daí o docente diagnosticou lacunas no processo de aprendizagem de
funções, resolveu problemas que servissem de referência para os testes que seriam
aplicados e verificou a atuaçãos do grupo na resolução das questões.
Por meio da resolução dos exercícios, ele detectou alguns invariantes
operatórios presentes na estrutura cognitiva dos aprendizes e verificou que estavam
mais próximos dos invariantes da teoria, embora não em 100% dos casos.
Os mesmos procedimentos adotados no Grupo 3 foram aplicados no Grupo 4.
5.7.1.5 Estratégias utilizadas após observações realizadas nos grupos 3 e 4
Nos grupos 3 e 4 os alunos foram solicitados a escolher e utilizar dois (ou
mais) livros que o professor disponibilizou na sala. Todos tinham o conteúdo de
funções. Ele então designou aos aprendizes a tarefa de pesquisar o conceito de
relação e o de função, trazendo algum exemplo de aplicação, sem especificar os
tipos de função.
107
Após a primeira aula para a pesquisa, o professor recolheu o material
bibliográfico e cobrou a tarefa dos alunos. Cada um entregou por escrito aquilo que
eles haviam entendido ser o conceito de relação e o de função. Em seguida ele
pediu que cada grupo sinalizasse cada diagrama ou tabela especificado (a) (como
nos modelos abaixo) com R (somente relação), F (somente função), F/R função e
relação ao mesmo tempo.
Os alunos tiveram um período de quinze minutos para responder a atividade.
Após isso, o professor visitou cada grupo para verificar se as respostas estavam
corretas e discutiu todas as respostas. Como toda função é uma relação, nos
exemplos não há “F”, apenas “R” ou “F/R”. Não existe “apenas função”, excluindo a
possibilidade de que seja também uma relação.
Para as tabelas, foi discutido o fato de que, embora em ambos os exemplos
tenhamos uma relação, apenas a primeira determina uma função, visto que ela é
uma relação associada a uma lei de formação.
x 2 3 4 5
y 4 5 6 7
Diagramas e tabelas: Atividade realizada em sala Fonte: Elaboração da própria autora
5.7.2 Procedimentos didático-metodológicos do docente no ensino de limites
x 0,234 - 10 11 6,333...
y 87 0,4 5
6− 7
108
A introdução ao conceito inicial de limite foi feita pela tradicional
“apresentação intuitiva”, muito utilizada na prática de ensino deste conceito em
cursos não diretamente relacionados à matemática pura, tais como Sistemas de
Informação, Adminstração, Radiologia, entre outros. A aula descrita a seguir foi
ministrada a todos os grupos.
Pediu-se que os alunos estudassem o comportamento da função
{ }: R 1 Rf − → , definida por ( )2 1
1
xf x
x
−=
−, nas proximidades do ponto (1,0).
O docente explicou que a análise do comportamento desta função nas
vizinhanças do ponto x=1 (que não pertence ao domínio de f) permite constatar que
( )f x se aproxima de forma rápida do valor L=2, quando os valores de x se
aproximam de x=1, seja à esquerda (x<1) ou à direita (x>1) de 1. Depois disso o
professor explicou que para x diferente de 1, ( )f x pode ser simplificada e reescrita
de maneira mais simples:
( ) 1f x x= + , pois ( )( ) ( )2 1 11
11 1
x xxf x x
x x
+ −−= = = +
− −.
Dito isto, foi pedido que os mesmos completassem as duas tabelas:
Tabela 2 Proposta de aproximação pela esquerda de x=1
Pela esquerda de x =1
X 0 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 1
f(x)
Fonte: Elaboração da própria autora.
De forma análoga:
Tabela 3 Proposta de aproximação pela direita de x=1
Pela direita de x =1
X 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 1
f(x)
Fonte: Elaboração da própria autora.
Após algum tempo o docente foi preenchendo as tabelas com a colaboração
dos discentes, obtendo os seguintes resultados:
109
Tabela 4 Cálculos da aproximação pela esquerda de x=1
Pela esquerda de x =1
X 0 0,5 0,8 0,9 0,99 0,999 1
f(x) 1 1,5 1,8 1,9 1,99 1,999 2
Fonte: Elaboração da própria autora.
De forma análoga:
Tabela 5 Cálculos da aproximação pela direita de x=1
Pela direita de x =1
x 2 1,5 1,2 1,1 1,01 1,001 1
f(x) 3 2,5 2,2 2,1 2,01 2,001 2
Fonte: Elaboração da própria autora.
O Professor Clevenson continuou: “neste caso, dizemos L=2 é o limite da
função f quando x se aproxima de 1, o que denotaremos por”: ( )1
lim 2x
f x→
=
Este resultado pode ser visto através da análise gráfica de f, cujo esboço
verifica-se no gráfico a seguir:
Gráfico 2 Análise gráfica do exercício de limites Fonte: Elaboração da própria autora.
5.7.2.1 Análise do grupo 1
110
Exercícios foram aplicados em sala de aula, onde observamos as atuações
dos discentes, a forma como participavam, as perguntas que faziam, a interação
entre os mesmos e outras variáveis.
A partir daí o docente diagnosticou lacunas no processo de aprendizagem de
conteúdos, resolveu problemas que servissem de referência para os testes que
seriam aplicados e verificou a atuação do grupo na resolução das questões.
Por meio da resolução dos exercícios, ele detectou alguns invariantes
operatórios presentes na estrutura cognitiva dos aprendizes e verificou que nem
sempre os mesmos estavam condizentes com os da teoria demandada na questão.
5.7.2.2 Análise do grupo 2
Exercícios foram aplicados em sala de aula, mas não foram feitas
observações para fins da pesquisa. A interação professor-aluno se deu de forma
natural, como de costume no cotidiano das aulas do docente.
5.7.2.3 Análise do grupo 3
Exercícios foram aplicados em sala de aula, mas não foram feitas
observações para fins da pesquisa. A interação professor-aluno deu-se de forma
natural, como de costume no cotidiano das aulas do docente.
5.7.2.4 Análise do grupo 4
Exercícios foram aplicados em sala de aula, onde observamos as atuações
dos discentes, a forma como participavam, as perguntas que faziam, a interação
entre os mesmos e outras variáveis.
A partir daí o docente diagnosticou lacunas no processo de aprendizagem de
conteúdos, resolveu problemas que servissem de referência para os testes que
seriam aplicados e verificou a atuaçãos do grupo na resolução das questões.
Por meio da resolução dos exercícios, ele detectou alguns invariantes
operatórios presentes na estrutura cognitiva dos aprendizes e verificou que estavam
mais próximos dos invariantes da teoria, embora não em 100% dos casos.
111
A partir da observação dos grupos, o professor verificou que ainda restavam
dificuldades de compreensão no conceito de limites. Especialmente após um
exercício simples do tipo:
“determine 2
2
4lim
2x
x
x→
−
−”,
onde os discentes não colocavam o “2
limx→
”.
Por essa razão, ele, o Professor, trabalhou o conceito de limites com uma
abordagem que fomentasse o conceito de “aproximação” e atrelasse este invariante
operatório à estrutura cognitiva dos aprendizes.
Mesmo nos grupos 3 e 4 onde a atuação e participação dos alunos foi mais
efetiva, alguns faziam o mesmo e outros, que escreviam as expressões de forma
correta, o faziam porque consideravam “obrigatório”, sem entender o conceito de
“limite” e em muitos casos a sua notação.
Foi então que, aproveitando um invariante operatório de limite (aproximação),
o docente utilizou outra estratégia de ensino, mas apenas para os grupos 1 e 4,
como veremos a seguir.
Primeiro ele passou uma lista de exercícios que serviria de base para os
testes que seriam aplicados. Nesse momento nem todos os conteúdos presentes
nos testes podiam ser explicitados, já que esta foi uma aula inicial do conceito de
limite (e que serve como exemplo da prática pedagógica implementada).
5.7.2.5 Estratégias utilizadas após observações realizadas nos grupos 1 e 4
A partir da abordagem aos grupos e depois de verificar que o invarante
operacional (aproximação) não estava bem construído na estrutura cognitiva de
alguns indivíduos, o conceito de limite foi abordado a partir da análise de gráficos de
funções já trabalhadas em sala de aula. Pediu-se (aqui houve a participação da
pesquisadora) aos alunos que eles desenhassem os gráficos das seguintes funções:
f1(x) = x; f2(x) = x2; f3(x) = 2-x e f4(x) = 1/x. Depois foi solicitado que os mesmos
completassem a tabela:
Tabela 6 Comportamentos funcionais solicitados pela pesquisadora X→+∞ x→-∞ f1(x) →
112
f2(x) → f3(x) → f4(x) →
Fonte: Elaboração da própria autora.
Neste ponto foi dito que eles deveriam “perceber” nos gráficos as “tendências”
de crescimento e decrescimento das funções, a partir da “tendência” de x para mais
ou menos infinito.
Junto com os alunos foi-se preenchendo cada célula da tabela.
A função f3(x) = 2-x gerou uma discussão e impasse nas respostas. A
pesquisadora intercedeu e repetiu a proposta da atividade. Foi então que eles
compreenderam que quando x tende a mais infinito, f(x) tende a zero.
Nesse momento o professor perguntou à turma: “quando “algo tende a”, esse
algo é “igual a””? Os aprendizes balançaram a cabeça sinalindo resposta negativa, e
então o professor complementou: “em matemática, quando algo “tende a”, nós
chamamos de “limite”. Então, de forma bem resumida, podemos escrever que
( ) 02 =−
+∞→
x
xLim . Apesar do “=”, essa é forma matemática de dizer que quando x tende a
mais infinito, a função tende a zero. Notem: Não é IGUAl a zero, mas “tende a”, até
porque, vocês sabem muito bem, que numa função exponencial, a curva nunca toca
o eixo dos x”.
Os alunos concordaram e alguns emitiram um “ahhhhhhhhhhhhhhhh”.
5.7.3 Procedimentos didático-metodológicos do docente no ensino de derivadas
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação,
sendo seu teorema em ato assim definido neste trabalho. É bastante comum,
portanto, a abordagem deste conceito por este viés, visto que, boa parte dos
professores, costumam repetir a abordagem a que foram condiconados em seu
aprendizado. Essa é uma opinião pautada nas observações e diálogos cotidianos de
experiência docente nestes 17 anos em que leciono.
O Professor, ao apresentar o conceito de derivação, utilizou o mesmo
caminho por ele percorrido. Uma vez que o mesmo aprendeu Cálculo Diferencial
dessa forma, “por que meus alunos também não irão aprender?”, foi a indagação do
mesmo à pesquisadora. Tendo cursado a graduação com ele, posso reiterar o que
113
ele disse. No entanto, outras estratégias não foram utilizadas de pronto, apenas e
especificamente nos grupos onde houve intervenção (grupos 1 e 4) após exercícios
realizados em sala de aula.
O docente iniciou a aula introdutória de derivadas fazendo a relação com a
taxa de variação instantânea de uma função, afirmando que esta é uma relação
presente no cotidiano das pessoas. Endossou exemplificando que a determinação
da taxa de crescimento de uma determinada população, a taxa de crescimento
econômico do país ou mesmo a taxa de redução da mortalidade infantil ou a
variação de temperaturas, velocidade de corpos ou objetos em movimento,
ilustravam algumas das inúmeras aplicações da derivada.
Continuou seu discurso afirmando que diversos exemplos poderiam ser dados
que apresentassem uma determinada função variando, sendo que a medida desta
variação se fazia necessária em um momento específico.
Após esta introdução, ele escreveu a definição matemática da derivada de
uma função em um ponto:
Seja ( )f x uma função definida num intervalo aberto I ( 0x ∈ I). A derivada da
função f é dada por: ( )( ) ( )0 0
00
limx
f x x f xf x
x∆ →
+ ∆ −′ =
∆, desde que o limite exista.
x∆ representa uma pequena variação em x, próximo de 0x , isto é, se tomarmos
0x x x= + ∆ , sendo 0x x x∆ = − , então teremos ( )( ) ( )
0
0 00
0
limx x
f x x f xf x
x x→
+ −′ =
−. Outras
formas de representar a derivada são 0( )df
xdx
, 0x x
df
dx =
, entre outras.
5.7.3.1 Análise do grupo 1
O professor resolveu exercícios em sala de aula e observou, junto com a
pesquisadora, a atuação dos discentes. A participação, os questionamentos, a
interação com o professor e com os colegas, mas, especialmente, os erros
cometidos.
A partir da detecção de lacunas no processo de aprendizagem de conteúdos,
o professor resolveu exercícios que pudessem ser utilizados como base para os
114
testes que seriam aplicados (Teste 2) e verificou a atuação do grupo na resolução
das questões.
Por meio da resolução dos exercícios e interação com a turma, o docente,
detectando que alguns invariantes operatórios presentes na estrutura cognitiva dos
aprendizes nem sempre estavam condizentes com os da teoria demandada na
questão. A partir de então estratégias foram montadas (teoricamente) para que essa
situação fosse amenizada.
Aqui as estratégias descritas para o grupo 1 também foram aplicadas.
5.7.3.2 Análise do grupo 2
Alguns exercícios foram resolvidos em sala sem compromisso específico com
a aplicação dos testes. A interação entre o docente e os alunos foi como de costume
no cotidiano das aulas do docente.
5.7.3.3 Análise do grupo 3
Exercícios foram resolvidos, embora não tivessem sido feitas observações
para fins da pesquisa. A interação professor-aluno se deu de forma natural, como de
costume no cotidiano das aulas do docente.
5.7.3.4 Análise do grupo 4
Alguns exercícios foram selecionados e resolvidos em sala. Observou-se a
atuação dos alunos, bem como a participação, dúvidas relacionadas e a interação
entre os mesmos e com o professor, além de outras variáveis.
O docente diagnosticou lacunas no processo de aprendizagem dos
conteúdos, resolvendo, a partir de então, problemas que servissem como base para
os testes que seriam aplicados e verificou a atuação do grupo na resolução das
questões, tirou dúvidas e fomentou a participação dos aprendizes na resolução.
115
Por meio da resolução dos exercícios, ele detectou alguns invariantes
operatórios presentes na estrutura cognitiva dos aprendizes e verificou que nem
sempre eles correspodiam com os esperados.
A partir da observação dos grupos, o professor verificou que ainda restavam
dificuldades de compreensão no conceito de derivadas. Especialmente após um
exercício simples do tipo:
“calcule a derivada de cada função a seguir:”,
Muitos discentes não colocavam a ‘ na função derivada, tal como “ ( )f x′ ”.
Com essas observações o Professor trabalhou o conceito de derivadas com
uma abordagem que fomentasse o conceito de “taxa de variação” e atrelasse este
invariante operatório à estrutura cognitiva dos aprendizes. Com a resolução de
exercícios que envolvessem derivadas como aplicação a problemas de taxa de
variação, ele pôde encaminhá-los à ZDP e retirá-los em seguida.
Mesmo nos grupos 1 e 4 onde a atuação e participação dos alunos foi mais
efetiva, alguns faziam o mesmo e outros, que escreviam as expressões de forma
correta, o faziam porque consideravam “obrigatório”, sem entender o conceito de
“derivada” e em muitos casos a sua notação. A derivada “pela definição” gerou
desconforto depois que eles descobriram as técnicas para os cálculos de derivadas.
Foi então que, aproveitando um invariante operatório de derivada (taxa de
variação), o docente utilizou outra estratégia de ensino, mas apenas para os grupos
1 e 4, como descreveremos a seguir.
Primeiro ele passou uma lista de exercícios que serviria de base para os
testes que seriam aplicados. Nesse momento nem todos os conteúdos presentes
nos testes podiam ser explicitados, já que esta foi uma aula inicial do conceito de
derivada (e que serve como exemplo da prática pedagógica implementada).
116
5.7.3.5 Estratégias utilizadas após observações realizadas nos grupos 1 e 4
Por meio de exercícios que abordassem a teoria, percebeu-se que os alunos
não compreenderam bem o conteúdo relativo à definição de derivada. A partir da
abordagem aos grupos e, depois de verificar que o invarante operacional (taxa de
variação) não estava bem construído na estrutura cognitiva de alguns indivíduos, o
conceito de derivação foi abordado a partir da interpretação física do conceito.
Antes disso, foi passado aos alunos uma lista de exercícios onde foram
abordados os limites, as funções e derivadas. Alguns exercícios foram resolvidos em
sala de aula, o que fez com que ele (o docente) trabalhasse o conteúdo em todos os
grupos sem exceção.
Nos grupo 1 e 4, onde houve uma intervenção do professor, foi desenhado no
quadro o seguinte esquema gráfico:
Gráfico 3 Esquema gráfico apresentado aos alunos dos grupos 1 e 4 Fonte: Elaboração da própria autora.
Narrativa das palavras do docente:
“Pessoal, esse é o gráfico da posição versus tempo do meu carrinho. Lindo
ele, não? Se eu quiser saber a velocidade média dele, o que eu faço?”. Nesse
momento um aluno gritou: “olha no velocímetro”. A turma riu, e ele retomou: “Ok,
mas eu quero que vocês relembrem os conceitos da Física aqui. Porque o
velocímetro não existe “do nada”. Ele foi criado a partir de conceitos do Cálculo.
Qual é a fórmula que está por trás desse conceito?”. Os alunos interagiram, tanto em
um grupo como no outro, respondendo que s
vt
∆=
∆ (em verdade trata-se da
117
velocidade média). O facilitador então continuou: “Certo, muito bem! O que é s∆ e
t∆ ? É a variação do espaço e do tempo, que vocês aprenderam em Física no
ensino médio. No nosso gráfico, a variação do tempo é t t t+ ∆ − , que é o tempo final
menos o tempo inicial. A variação da posição, qual é?”.
Neste ponto um aluno respondeu: “posição final menos inicial”. Ele exclamou
que estava correto, mas insistiu: “No nosso gráfico, do meu super potente carrinho,
qual é a posição final e qual é a inicial?”. Os alunos permaneceram calados. Ele
sinalizou, apontando para o quadro: “A posição final é ( )s t t+ ∆ e a inicial é ( )s t .
Reparem bem, aqui (se referindo a ( )s t t+ ∆ ) não é um produto (evidenciando um
desejo de aproximação com a notação funcional). Isso é a forma utilizada para
descrever a função posição em relação ao tempo. Da mesma forma que a gente
representa por ( )f x uma função qualquer de variável x, ok?”. Os alunos
responderam que sim com a cabeça, sinalizando que haviam entendido o que ele
queria dizer. Então ele contininuou com a explicação, escrevendo e narrando: “Se
( ) ( ) ( ) ( )s t t s t s t t s tsv
t t t t t
+ ∆ − + ∆ −∆= = =
∆ + ∆ − ∆, qual é a velocidade instantânea do meu
carrinho?”. Um aluno pediu para ele repetir. Ele mudou a estratégia: “Se minha
mulher, que gosta de me bater quando eu chego atrasado (os aluno riram), ligar
para mim quando eu estiver dirigindo meu super carro, e perguntar qual é a minha
velocidade naquele ponto exato em que estou passando, o que eu vou dizer? Eu
tenho que falar a verdade, porque ela é muito ciumenta e sabe muita física e
matemática (os alunos riram muito)”. Um dos aprendizes afirmou que bastava ele
olhar para o velocímetro e dizer a velocidade. O professor retrucou que o tal carro
não tem velocímetro e que para saber a velocidade instantânea, seria necessário
“abstrair” um pouco. Ele continuou: “Vejam bem, vocês concordam comigo que para
eu saber a velocidade instantânea, eu vou ter que, geometricamente, fazer essa
distância (referindo-se a distância entre t e t∆ ) se aproximar muito, mas muito
mesmo, até tender a zero? Porque vejam, eu tenho que saber a velocidade no ponto
e o ponto não tem dimensão, certo? Então essa distância é tão pequena que é
chamada de infinitesimal. Ela tende a zero. Assim, minha velocidade será:
( ) ( ) ( ) ( )0 0
lim limt t
s t t s t s t t s tv
t t t t∆ → ∆ →
+ ∆ − + ∆ −= =
+ ∆ − ∆. Ou seja, o que fizemos para calcular a
118
velocidade, foi calcular a derivada da posição, porque, pela definição, a derivada tem
essa fórmula. Mas em matemática, a gente não costuma escrever a definição
utilizando a posição e o tempo. Matemático gosta muito de um ( )f x , não é
verdade?”. Os aluno riram e concordaram. “A derivada, portanto, nada mais é do que
( )( ) ( )
0limx
f x x f xf x
x∆ →
+ ∆ −′ =
∆. Esse ( )f x′ é uma forma de representação ou, o que
costumamos chamar de notação para a derivada. Existem outras: , x
dfD
dxe muito
mais. Ok? Notem que velocidade, nada mais é do taxa de variação da posição em
função do tempo. A derivada não é só utilizada para calcular velocidades. Ela é
usada toda vez que temos um problema de cálculo que envolva a taxa de variação,
em qualquer área existente”. Os alunos balançaram a cabeça sinalizando e alguns
disseram que sim, haviam entendido.
Em seguida foram aplicados exercícios para fixação do conteúdo, em ordem
crescente de dificuldade.
5.8 Análises dos grupos após Teste 2
Após realização do Teste 2, obtivemos os resultados especificados abaixo. As
correções foram feitas utilizando a taxonomia SOLO, como já mencionado
anteriormente.
5.8.1 Análise do grupo 1
Os alunos deste grupo tiveram maior desempenho analisando-se as questões
pelo uso da taxonomia SOLO. Eles tiveram a intervenção do docente e também
leram o livro “Newton e sua maçã”, que trata de maneira bastante lúdica e simples
sobre a história de Newton, contada de uma maneira divertida, mas nem por isso
infantil. Os discentes elogiaram o livro e comentaram bastante durante as aulas. O
professor sempre se referia a ele, além de contar histórias e estórias que
119
retratassem a história do desenvolvimento do Cálculo Diferencial como incentivo e
fomento ao interesse dos alunos pela disciplina.
5.8.2 Análise do grupo 2
O desempenho dos alunos do grupo 2 não foram os mesmo do G1 ou do G4.
Nestes não houve a fixação do invariante operatório ou o uso de elementos extras
que o fixassem. O livro passado para os alunos conduzia-os a fixar em suas
estruturas cognitivas o conceito de taxa de variação associada à derivada. Os
exercícios realizados após a nova abordagem nos grupos 1 e 4 não foram feitos
pelos alunos do grupo 2. Essas diferenças, muito provavelmente, foram decisivas
para que o resultado não fosse positivo na mesma medida.
5.8.3 Análise do Grupo 3
Assim como no grupo 2, os alunos do G3 não tiveram uma nova abordagem,
nem a chance de discutir durante a aula as questões relativas à história da
disciplina, em vista de não terem lido o livro. Além disso, pode-se verificar, por meio
da correção, que os invariantes operatórios aqui adquiridos não correspondem na
sua totalidade ao esperado e existente na teoria.
5.8.4 Análise do Grupo 4
Neste grupo, assim como no G1, os alunos tiveram um melhor desempenho
no teste 2. Obviamente que uma interação maior, o incentivo à participação, a leitura
de textos auxiliares e a própria dinâmica de uma nova abordagem do assunto
colaboraram sobremaneira, fazendo-os fixar o invariante operatório “taxa de
variação”, o que corresponde ao da teoria. Pela análise das questões pelo uso da
T.S., pudemos observar que os mesmos otiveram uma compreensão maior do
campo conceitual referente à diferenciação de funções. Eles também leram o livro
120
“Newton e sua maçã”, tendo mostrado que a construção do teorema em ato deu-se
de forma satisfatória.
Além da leitura do livro, os mesmos também apresentaram a peça como uma
adaptação do livro. Este grupo teve um contato maior com a pesquisadora, mesmo
em momentos extra-classe, onde puderam tirar dúvidas sobre a apresentação e a
mesma pôde, informalmente, contar a história do Cálculo e algumas curiosidades
sobre a matemática. Este contato maior fomentou nos alunos a curiosidade. Tanto
que foram buscar referências sobre Leibniz e, por meio de pesquisas realizadas por
eles mesmos, constataram que o cálculo de Newton e de Leibniz diferia em alguns
aspectos.
Foram momentos oportunos e gratificantes, tanto para os alunos, quanto para
o professor e a pesquisadora. Os alunos resolveram incluir na peça o personagem
de Leibniz para dar um tom cômico à história. Após a apresentação, houve o
momento de confraternização e os mesmos responderam perguntas dos colegas.
5.9 A Avaliação Docente
A avaliação do docente ocorreu de forma participativa com o mesmo e
descritiva através da aplicabilidade de um questionário (Apêndice F), e com o
acompanhamento associado. No preenchimento deste questionário o docente foi
orientado a ser o mais fidedigno possível e a submeter-se às sugestões da
pesquisadora durante as visitas e a interação com os discentes de forma a promover
no mesmo o aceite do método proposto e a facilitar a mensuração que o impacto do
mesmo passaria a ter nos discentes, de forma individual e também com coletiva.
O docente então avaliou, junto com a pesquisadora, os questionários
aplicados e é orientado pela mesma a utilizar algumas estratégias de
comportamento a partir do momento de aplicação do primeiro questionário. Estas
estratégias e/ou comportamentos em sala de aula foram então pautados de acordo
com as propostas descritas no capítulo anterior.
A avaliação do professor foi aplicada com o intuito de verificar se a relação
professor/aluno era saudável ao ponto de não prejudicar a proposta da pesquisa. Os
resultados não foram divulgados pelo fato de o professor ser muito querido pela
121
turma, tendo sido quase unânime a admiração dos discentes pelo docente. Portanto,
a relação com o professor não só não atrapalhou a pesquisa, como colaborou para a
participação de todos (exceto um membro) e empenho dos mesmos.
5.9.1 Entrevistas com os Discentes
O painel ocorreu por grupo. O grupo 4 era o mais “animado”. Eles
colaboraram sobremaneira na execução de todas as tarefas, inclusive fomentando a
participação dos demais grupos. Isso foi relatado e o professor, bem como a
pesquisadora, agradeceram e os incentivaram a continuar.
Os alunos compreenderam a importância do trabalho, mostraram, por meio de
um “bate-papo informal” algumas asserções de valor em se tratando do conteúdo
abordado.
5.9.2 Execução da Coleta de Dados com as Listas de Exercícios
Para o desenvolvimento e compreensão das questões suscitadas no trabalho,
eleboramos e aplicamos os Testes 1 e 2 sob forma de lista de exercício com
questões em nível crescente de dificuldade, a fim de colocar o aluno na zona de
desenvolvimento proximal.
As listas tiveram os seguintes assuntos abordados:
- Funções (questões com resolução quase mecânica, em que o aluno
precisava apenas fazer contas, questões para construção de gráficos e reconhecimento de alguma teoria, problemas de interpretação, em que o aluno tinha que fazer uso da teoria e associá-la à prática.)
- Limites (questões de aplicação de cálculos, bastante objetivas e mecânicas, questões que necessitavam reconhecimento da teoria, como limites no infinito, resolução de limites, limites laterais etc e problemas de interpretação, em que o aluno tinha que fazer uso da teoria e associá-la à prática.)
- Derivadas (questões de resolução direta, com aplicação de fórmulas, que não necessariamente os alunos poderiam aprender, mas sim “decorar”, questões de resolução um pouco mais elaborada, em que o aluno teria que recorrer a conceitos explicitados na teoria e por fim, questões de aplicabilidade no
122
muno real, usando a derivada como conceito de taxa de variação aplicável aos diversos problemas propostos).
Com base nisto foi elaborado um Teste 1 envolvendo funções e um Teste 2
envolvendo conceitos de limites e derivadas.
Encontrou-se uma variedade de estratégias adotadas na resolução de
problemas, mescladas, tanto de conhecimentos matemáticos adquiridos na vida
cotidiana, quanto de fragmentos de conhecimentos escolares, resultantes de
passagens anteriores pela escola.
Os cursos atuais superiores não voltados à formação de matemáticos,
tradicionalmente, valorizam aspectos mecanizáveis ou de fácil memorização em
detrimento das aplicações de problemas relacionados à teoria, com isso,
frequentemente nega aos alunos a expressão de um conhecimento que possuem,
mas têm dificuldade de representar em tipos de questões como essas, de
representatividade dos diversos campos conceituais. Por essa razão, inclusive, é
que o Teste 1 e o Teste 2 não mesclaram os diversos conteúdos em uma mesma
questão, ao contrário, separamos por delimitações conceituais apresentadas
comumente em sala.
Os testes, no entanto, foram aplicados somente ao final da apresentação dos
assuntos abordados referentes aos conteúdos do ementário da diciplina. Nem todas
as aulas estão aqui descritas, como pôde-se verificar. Estão aqui apenas aquelas
referentes à inserção dos invariantes operatórios na teoria, além de terem sido
utilizadas para retirar o aluno da ZDP.
Ao explanar os conceitos nas primeiras vezes, por meio de exercícios em sala
de aula e da própria interação com os alunos, o professor pôde detectar onde havia
maior dificuldade na absorção dos conteúdos e na apreensão dos I.O. por parte dos
aprendizes. A partir daí, e após aplicação de novas estratégias ou mesmo de uma
explicação enviesada pelos I.O., o docente conseguiu, pelo que podemos verificar
ns testes, retirar o aluno da ZDP. A partir daí, o aluno encontra-se no nível de
desenvolvimento real, onde a apreensão do conteúdo tornou-se significativa. Cabe
lembrar que nos casos de disciplinas que sejam “pré-requisitos” para outras, o aluno
encontra-se, neste ponto, apto a cursar as próximas disciplinas do currículo que
123
tenham relação direta ou indireta com esta a que foi aplicada a proposta aqui
estabelecida.
5.9.3 Proposta Básica dos Questionários de Aplicação
Utilizamos dois tipos de questionário de aplicação.
5.9.3.1 Primeiro modelo de questionário
O primeiro é um questionário de pesquisa que teve como meta encaminhar os
discentes, em grupos de trabalho, para a zona de desenvolvimento proximal do
respectivo conteúdo abordado. Este instrumento foi elaborado sob o formato de uma
lista de exercícios e/ou trabalho de aplicação em sala de aula que denominamos de
Teste 1 nos modelos relatados no Apêndice A e B deste trabalho.
5.9.3.2 Segundo modelo de questionário
O segundo modelo de questionário, o Teste 2 (Apêndices C e D), versa sobre a
avaliação da aplicação do primeiro após a aplicação das técnicas sugeridas para a
retirada dos discentes da zona de desenvolvimento proximal para a qual os mesmos
foram encaminhados e denominares de teste. Estes questionários tveram como
objetivo principal a mensuração da eficácia e da eficiência do método proposto de
forma a fornecer um feedback sobre a aplicação.
5.9.4 Descrição dos objetivos e estratégias esperadas nas questões
Neste item descrevem-se os objetivos e estratégias adotadas em cada questão
em ambos os testes.
124
5.9.4.1 Descrição dos objetivos
Os objetivos ou sub-conceitos implícitos em cada questão são divididos em 3 grupos que refletem os assuntos listados
(funções, limites e derivadas) conforme o quadro a seguir:
Descrição dos objetivos esperadas nas questões
Teste 1 (Funções e Limites)
Teste 2 (Limites e Derivadas)
Observações
Conceitos Sub-conceitos Questão
1
Questão
2
Questão
3
Questão
4
Questão
5
Questão
6
Questão
7
Questão
1
Questão
2
Questão
3
Questão
4
Questão
5 Relações ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
Conceitos ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Notação ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
Propriedades ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Tipologia ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
Análise algébrica ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Análise gráfica ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
Funções
Contextualização à realidade ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Conceitos ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
Notação ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Propriedades ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
Análise algébrica ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Análise gráfica ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■
Limites
Contextualização à realidade ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ ■ Conceitos ■ ■ ■ ■ ■ ■
Notação ■ ■ ■ ■ ■ ■ Propriedades ■ ■ ■ ■ ■ ■
Análise algébrica ■ ■ ■ ■ ■ ■ Análise gráfica ■ ■ ■ ■ ■ ■
Derivadas
Contextualização à realidade ■ ■ ■ ■ ■ ■ Quadro 4 Descrição dos objetivos esperadas nas questões
Fonte: Elaboração da Própria autora.
125
Na análise das soluções propostas deve-se considerar estes conteúdos esperados para a classificação e pontuação das
mesmas na taxonomia SOLO.
5.9.4.2 Descrição das estratégias
As estratégias adotadas consubstanciam o que explicita o item 5.2, ou seja, a preleção a descrição dos elementos históricos
associados ao tema e as devidas correlações com problemas da vida real, nos seus aspectos pessoais e profissionais,
provocando-se sugestões de solução dos respectivos problemas elencados.
5.9.4.2.1 Teste 1
Neste cenário delineou-se a tabela a seguir:
S I R Teste 1
(Conjunto de situações que dão sentido ao conceito) (Conjunto de conhecimentos presentes na estrutura cognitiva que são mobilizados para a solução)
(Conjunto de representações linguísticas e não linguísticas que permitem representar
simbolicamente o conceito)
Conceitos
Questão 1
Associações entre grandezas e suas possíveis indexações. Comparação entre o encadeamento sequenciado das grandezas representativas aos gráficos em questão.
Conceito de funções e relações. Gráficos, Isomorfismos com a realidade, Notação Matemática
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades dos gráficos.
Questão 2
Comparação entre o encadeamento sequenciado das grandezas representativas ao gráfico em questão bem como o comportamento temporal, ou seja, a tendência do mesmo.
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética. Gráficos, Pictogramas
Conceitos; Análise algébrica e funcional; Notação; Propriedades.
126
S I R Teste 1
(Conjunto de situações que dão sentido ao conceito) (Conjunto de conhecimentos presentes na estrutura cognitiva que são mobilizados para a solução)
(Conjunto de representações linguísticas e não linguísticas que permitem representar
simbolicamente o conceito)
Conceitos
Questão 3 Análise de tendências de crescimento e decrescimento de funções bem como a sedimentação dos conceitos e singularidade.
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades dos gráficos bem como a análise comparativa do crescimento e decrescimento funcional.
Desenhos, Gráficos, Isomorfismos com a realidade,
Conceitos físicos e químicos da matéria; Análise algébrica e funcional; Contextualização à realidade (nexo causal e fenomenológico); Notação; Propriedades; Relações.
Questão 4
Análise de tendências de crescimento e decrescimento de funções e operações matemáticas com as mesmas bem como a sedimentação dos conceitos e singularidade.
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades dos gráficos bem como a análise comparativa do crescimento e decrescimento funcional.
Desenhos, Gráficos, Pictogramas, Fotos, Isomorfismos com a realidade
Conceitos físicos e químicos da matéria; Análise algébrica e funcional; Contextualização à realidade (nexo causal e fenomenológico); Notação; Propriedades; Relações.
Questão 5
Associação direta entre uma realidade física objetiva e a sua representação em função da dinâmica descrita no sistema bem como associação entre o comportamento matemático de conceitos e propriedades físicas da matéria.
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades dos gráficos, como a análise comparativa do crescimento e decrescimento funcional bem como associação direta entre o modelo e a realidade.
Desenhos, Gráficos, Pictogramas, Isomorfismos com a realidade,
Conceitos físicos e químicos da matéria; Análise algébrica e funcional; Contextualização à realidade (nexo causal e fenomenológico); Notação; Propriedades; Relações.
127
S I R Teste 1
(Conjunto de situações que dão sentido ao conceito) (Conjunto de conhecimentos presentes na estrutura cognitiva que são mobilizados para a solução)
(Conjunto de representações linguísticas e não linguísticas que permitem representar
simbolicamente o conceito)
Conceitos
Questão 6 Associação direta o conceito e aplicação do mesmo a funções bem como análise e domínio de propriedades de funções.
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades dos gráficos, como a análise comparativa do crescimento e decrescimento funcional bem como associação direta entre o modelo e a realidade.
Pictogramas
Conceitos físicos e químicos da matéria; Análise algébrica e funcional; Contextualização à realidade (nexo causal e fenomenológico); Notação; Propriedades; Relações.
Questão 7
Associação direta entre conceitos físicos e associação dos mesmos aos seus respectivos comportamentos funcionais bem como a análise de tendências funcionais e interpretação das mesmas ao comportamento fenomenológico associado.
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades dos gráficos, como a análise comparativa do crescimento e decrescimento funcional bem como associação direta entre o modelo e a realidade.
Desenhos, Gráficos, Pictogramas, Fotos, Isomorfismos com a realidade
Conceitos físicos e químicos da matéria; Análise algébrica e funcional; Contextualização à realidade (nexo causal e fenomenológico); Notação; Propriedades; Relações.
Quadro 5 Estratégias de aplicação do Teste 1 Fonte: Elaboração da Própria autora.
128
5.9.4.2.2 Teste 2
Neste cenário delineou-se a tabela a seguir:
S I R Teste 1
(Conjunto de situações que dão sentido ao conceito) (Conjunto de conhecimentos presentes na estrutura cognitiva que são mobilizados para a solução)
(Conjunto de representações linguísticas e não linguísticas que permitem representar
simbolicamente o conceito)
Observações
Questão 1
Associações entre grandezas e suas possíveis indexações. Comparação entre o encadeamento sequenciado das grandezas representativas ao gráfico em questão.
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades dos gráficos.
Gráficos, Isomorfismos com a realidade, Notação Matemática
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades dos gráficos.
Questão 2 Associação entre a representação cartesiana gráfica e a expressão matemática equivalente.
Conceitos; Análise algébrica e funcional; Notação; Propriedades. Gráficos, Pictogramas, Isomorfismos
Conceito de funções e relações; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades.
Questão 3
Associação direta entre uma realidade física objetiva e a representação da mesma de forma geométrica e algébrica concatenando-se diversos conceitos e formas geométricas associadas bem como a representação dos conceitos de área e volume e a dinâmica do fluxo do líquido no seu interior.
Conceitos; Análise algébrica e funcional; Notação; Propriedades.
Desenhos, Gráficos, Isomorfismos com a realidade,
Conceito de funções e relações; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades.
129
S I R Teste 1
(Conjunto de situações que dão sentido ao conceito) (Conjunto de conhecimentos presentes na estrutura cognitiva que são mobilizados para a solução)
(Conjunto de representações linguísticas e não linguísticas que permitem representar
simbolicamente o conceito)
Observações
Questão 4
Concatenação de eventuais situações e conhecimentos específicos de fenomenologia física e associação matemática da mesma. Neste caso tem-se a demanda dos conceitos de termodinâmica, leituras e associações gráficas e comportamento temporal do sistema. Verificação do nexo causal entre as gradeias associadas e as funções matemáticas que as descrevem.
Conceitos físicos e químicos da matéria; Análise algébrica e funcional; Contextualização à realidade (nexo causal e fenomenológico); Notação; Propriedades; Relações.
Desenhos, Gráficos, Pictogramas, Fotos, Isomorfismos com a realidade
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades dos gráficos.
Questão 5
Concatenação de conceitos físicos, visão especial e cálculo de áreas e volumes bem como associação direta entre sobreposição de áreas e volumes com custos financeiros associados.
Conceitos físicos e químicos da matéria; Análise algébrica e funcional; Contextualização à realidade (nexo causal e fenomenológico); Notação; Propriedades; Relações.
Desenhos, Gráficos, Pictogramas, Fotos, Isomorfismos com a realidade
Conceito de funções e relações; Análise algébrica e aritmética; Notação; Propriedades das funções; Gráficos e propriedades dos gráficos.
Quadro 6 Estratégias de aplicação do Teste 2 Fonte: Elaboração da Própria autora.
130
6 ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS
6.1 Os instrumentos e suas elaborações
Os instrumentos utilizados na pesquisa foram os testes, 1 e 2, o questionário
de avaliação docente, os questionários de entrevistas com os discentes e a
documentação fotográfica das etapas bem como os exercícios aplicados
previamente em sala de aula.
6.1.1 Exercícios prévios e os testes 1 e 2
Tantos os exercícios prévios aplicados em sala de aula como os testes 1 e 2,
foram lastreados nos conteúdos tradicionais da disciplina de cálculo e são baseados
em escolha feita pela pesquisadora e a devidamente avaliados e aprovados pelos
Docentes responsáveis pela disciplina, a citar: Prof. Clevenson Athanásio Santos
Mineiro, Prof. Gilson Amorim Carvalho e Prof. José Vicente Cardoso Santos.
As questões utilizadas foram copiadas e/ou adaptadas dos seguintes livros
texto da disciplina:
• STEWART, James. Cálculo vol. I. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2002.
• SWOKOWISKI, Earl Willian. Cálculo com Geometria Analítica. 2.ed. São Paulo: Makron Books, 1994.
Além destas considerações é importante o registro de que todas as questões
abordadas encontram-se no nível esperado e demonstrado pelos alunos da mesma.
A partir da observação dos grupos, o Professor verificou que ainda restavam
dificuldades de compreensão no conceito de limites. Especialmente após um
exercício simples do tipo “determine 2
2
4lim
2x
x
x→
−
−”, onde os discentes não colocavam o
“2
limx→
”. Este, aliás, é um erro muito comum nos estudantes de Cálculo. No entanto,
neste grupo isso ocorreu bem menos que nos grupos 1 e 2 onde eles não tiveram
uma nova explicação do assunto, e onde houve uma menor interação entre o
professor e os discentes.
131
6.1.2 Questionário
O questionário foi elaborado pela pesquisadora em consonância às
demandas opinativas dos discentes em formação na disciplina bem como com os
eventuais registros que poderiam provocar o eventual descarte do aluno ou do grupo
do aluno em questão.
6.2 Análise dos instrumentos e classificação da pesquisa
Considerando-se os instrumentos descritos anteriormente, a revisão de
literatura sobre o tema e as pesquisas complementares em artigos, material
eletrônico e documentos complementares, pode-se afirmar que se trata de uma
pesquisa de natureza exploratória34, descritiva35 ou causal, conforme Churchill
(1999).
Em geral, uma pesquisa exploratória e descritiva busca determinar a freqüência
com que algo ocorre ou a relação entre duas variáveis, sendo tipicamente guiado
por uma hipótese inicial. A natureza causal, por sua vez, objetiva o teste de uma
teoria e suas relações de causa e efeito.
34 No caso de uma pesquisa exploratória, trata-se de aprofundar conceitos preliminares buscando a geração de
idéias ou insights. Seu objetivo básico é desenvolver hipóteses e proposições que irão redundar em pesquisas complementares e/ou consolidar uma premissa básica da mesma..
35 Uma pesquisa descritiva tem como objetivo mapear a distribuição de um fenômeno na população estudada.
132
6.3 Cruzamento de Variáveis
O resultado da análise das questões encontra-se na tabela a seguir:
Taxonomia SOLO Escala de Níveis
Níveis e Sub-Níveis Nível 1
Complexidade Pré-Estrutural
Nível 1,5
Nível 2 Complexidade Uni - Estrutural
Nível 2,5
Nível 3 Complexidade Multi-Estrutural
Nível 3,5
Nível 4 Complexidade
Relacional Nível 4,5
Nível 5 Complexidade Abstrata
Descrição das
Características de
cada Nível
Respostas sem relação lógica / não responde e repete a
informação / responde de forma irrelevante / concluindo de
forma totalmente inconsistente
Respostas estão relacionadas logicamente / Com apenas uma informação correta / Concluindo rapidamente e sem consistência
Respostas relacionadas logicamente / várias
informações relevantes mas não relacionadas entre si / conclui-se rapidamente e
inconsistentemente
Respostas relacionadas logicamente / Várias
informações relevantes / Integradas num conceito ou argumento / Concluindo sem
pressa e de forma consistente
Respostas relacionadas logicamente com a questão e com outras questões hipotéticas / Várias informações relevantes / Com
abstração de um princípio generalizável / Concluindo sem
pressa e de forma aberta
Nível da Questão
Nível da Questão Nível
Máximo da Questão
5 5 5 5 4 5
A pontuação máxima da questão deve normalizar-se ao nível da mesma 5 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 3 3 5 5 5 5 5
A pontuação máxima da questão deve normalizar-se ao nível da mesma
Equipes Teste 1 / Questões
Teste 2 / Questões
1 1 3 4 5 10 Equipe no a b
2 3 4 5 Observações
a b 2
a b c a b c a b c 6 7 8 9
a b c D
Observações
01 4 2 5 4 - - 5 - 3 4 4 4 3 3 4 4 4 4 2 - 3 1,5 - - - - 02 2 2 4 - - - 5 4 4 5 5 5 - - - - - - - - 2 - - - - - 03 3 3 5 - - - 5 - 3,5 5 5 5 3 3 3 4,5 4,5 4,5 - - 3 2,5 - - - 04 4 4 5 4 2 1 5 - 4 4 4 4 4 4 4,5 5 5 5 1,5 2 3 4 3 4 - - 05 4 4 5 5 4 - 4 4 3 5 5 5 3 3 4 4,5 4,5 4,5 2 2 2 4 4 4 5 3 06 2 1 2 - - - 2,5 1 2 2 2 2 3 3 2,5 2 2 2 1,5 3,5 - - - - - -
Gru
po 1
07 2 2 5 - - - 4 - 4 4 4 5 3 3 4,5 3,5 3,5 3,5 2 - 3 4 - - - - 08 1 1 - 1 1 1 2 - 1 1 1 1 - - - 1 1 1 2 - - - - - - - 09 1 1 - 3 1 1 2 - 1 1,5 1,5 1,5 4 4 5 3 3 3 2 3 - - - - - - 10 4 4 - - - - 1 1 1 - - - - - - - - - 2 - - - - - - - 11 2 1 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 12 3 2 - - - - 2 - 1 - - - - - - - - - 2 - - - - - - - 13 2 2 1,5 - - - - - 2,5 - - - - - - - - - - - - 4 - - - - 14 3 1 - - 1 - 1 1 1 - - - - - - - - - 1 - - - - - - -
Gru
po 2
15 3 1 1 - - - 3 1 2 1 1 1 - - - - - - 1,5 - - - - - - - 16 4 3 5 5 - - 5 4 2 5 5 5 - - - - - - - - 2 - - - - - 17 4 2 3,5 3 1 - 5 1 3 5 5 5 - - - - - - - - 3 - - - - - 18 4 4 5 5 4 4 - - 4 2 2 2 - - - - - - - 4 2 - - - - - 19 1 1 1 1 - - 1 1 1 1 1 1 1 1 1 - - - 2 - - - - - - - 20 2 2 4,5 1 - 4 - - 3,5 4 4 4 2 2 4 1 2 1 2 4 - - - - - - 21 3 3 4,5 5 - - 2 - - - - - - - - - - - - - 2 1,5 - - - - 22 4 4 5 4 4 5 5 - 3,5 4 4 5 4 4 5 - - - - - 3 - - - - - 23 4 2 4 5 - - 2 - - - - - - - - - - - - - 2 1,5 - - - -
Gru
po 3
24 2 1 4 1 1 1 - - 3,5 - - - - - - - - - - - 3 1,5 - - - - 25 3 2 2 1,5 1 1,5 4 - 4 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 5 3 4 5 - 5 5 26 4 4 5 4 3,5 1 5 4 5 4 4 5 4 4 5 5 5 5 2 5 2,5 3 5 5 5 5 27 3 3 5 5 2 - 5 3 - 5 5 4 4 4 5 5 5 5 2 5 3 4 5 5 5 5 28 3 3 5 5 3,5 3 3 2 1,5 4 4 5 5 5 5 5 5 5 2 3,5 2,5 4 - - 1 1,5 29 3 4 5 5 2,5 4 4 4 3 5 5 5 3 3 3 3,5 3,5 3,5 2 3,5 3 4 5 2 3 5 30 4 4 5 5 - - 5 5 4 4 4 3 4 4 5 5 5 5 2 5 3 4 5 5 5 5 31 4 3 5 4,5 4 5 3,5 - 3,5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 2 5 3 4 5 - 4 4
Gru
po 4
32 3 3 4 5 3,5 - 3 2 3 5 5 5 4 4 5 4 5 5 2 2,5 2 3,5 5 3 4 - Adptação a partir de: Biggs, J. B. & Collis, K. F. (1982). Evaluating the quality of learming - The SOLO Taxonomy (structured of the observed learning outcome). S. Francisco: Plenum Press.
Quadro 7 Categorização das respostas dos testes 1 e 2 de acordo com a Taxonomia SOLO Fonte: Elaboração da própria autora.
133
6.4 Análise das questões por grupo - A questão dos invariantes operatórios
Para Vergnaud, a mudança conceitual seria decorrente da explicitação das
competências, de seus invariantes operatórios, por intermédio de sua expressão,
discussão e integração em sistemas explicativos coerentes.
Embora já tenhamos refletido e explicitado os caminhos didáticos percorridos
para uma tentativa vergnaudiana de explicação dos elementos básicos constituintes
do Cálculo Diferencial, queremos deixar claro que todo o processo de
conceitualização, de construções dentro do um campo conceitual (seja do CD ou de
outros, dentro ou fora da matemática), e especialmente na formação deste,
dependem do tripleto (S,I,R), mas tem como alicerce principal os conceitos em ato
(os invariantes) e a forma com que se trabalha sua localização. Sim, localização,
porque, por meio deles, é que os aprendizes constroem seus conceitos e o professor
pode analisar as rupturas e linearidades supostas de existir nas estruturas cognitivas
de seus alunos.
Com base neste viés e na avaliação por meio da taxonomia SOLO, fazemos
alguns comentários específicos referentes a cada grupo. Escolhemos fazer tais
comentários por tópico estudado.
6.4.1 Funções
6.4.1.1 Grupo 1
Na análise dos dados sobre funções verifica-se que os alunos têm
dificuldades na interpretação e na notação das funções, em especial as funções
mais complexas e as notações que envolvem exponenciação.
6.4.1.2 Grupo 2
Verifica-se um número grande de respostas em branco e demandas de
entendimento de conceitos e notação funcional. Mesmo com estas considerações
percebe-se as falhas no entendimento das questões para os alunos que
consolidaram as questões.
134
6.4.1.3 Grupo 3
Verifica-se um melhor resultado do que nos dois grupos anteriores, não
obstante, ainda residem os problemas de conceitos, comportamentos e notações
das funções em análise. Também verifica-se uma falta de conceito na geração das
funções, ou seja, o aluno não apercebe-se de que a geração de números para
geração de pontos nos eixos cartesianos para a geração do gráfico da respectiva
função pode ser aleatório.
6.4.1.4 Grupo 4
Verifica-se uma sensível melhora na avaliação deste grupo porém com os
mesmos problemas já registrados no grupo 3.
6.4.2 Limites
6.4.2.1 Grupo 1
No que se refere ao conceito de limite, os alunos aqui obtiveram um resultado
melhor do que os alunos dos grupos 1 e 2 (em que não houve interação específica
do docente para levar o aluno à ZDP e retirá-la dela). O teorema em ato construído
na estrutura cognitiva dos alunos estava mais próximo do da teoria de limites.
6.4.2.2 Grupo 2
Além de muitas respostas em branco, percebeu-se que os alunos não
apreenderam muito bem o conceito de limites. A aprendizagem foi mais mecânica do
que significativa, em vista da análise dos erros, tanto de grafia quanto conceituais,
verificamos que a ausência de interação e uma nova abordagem por parte do
professor, deixou uma lacuna na construção do invariante operacional nos mesmos.
6.4.2.3 Grupo 3
Neste grupo os alunos não construíram bem o conceito de limites. Embora
tenham se saído um pouco melhor que os alunos do grupo 2, muitas lacunas foram
observadas.
135
6.4.2.4 Grupo 4
A partir da observação dos grupos, o professor verificou que ainda restavam
dificuldades de compreensão no conceito de limites. Especialmente após um
exercício simples do tipo “determine 2
2
4lim
2x
x
x→
−
−”, onde os discentes não colocavam o
“2
limx→
”. Este, aliás, é um erro muito comum nos estudantes de Cálculo. No entanto,
neste grupo isso ocorreu bem menos que nos grupos 2 e 3 onde eles não tiveram
uma nova explicação do assunto, e onde houve uma menor interação entre o
professor e os discentes.
6.4.3 Derivadas
6.4.3.1 Grupo 1
Verificou-se também muitas questões em branco e as respondidas não
tiveram os conteúdos completamente compreendidos, mas os resultados foram
melhores do que os alunos dos grupos 2 e 3, não obstante, ainda teria-se que atuar
nos conteúdos e notação para um melhor aproveitamento deste grupo.
6.4.3.2 Grupo 2
Muitas respostas não foram respondidas demonstrando desconhecimento do
conteúdo e de contextualização das questões associadas aos mesmos.
6.4.3.3 Grupo 3
Verifica-se um número razoável de respostas em branco e dificulade
resgistrada nas questões com o trabalho e entendimento dos conceitos e notações
das derivadas. Percebe-se também que muitos dos exercícios têm uma solução
mais mecanizada e sem a propriedade demanda pelos assuntos abordados em cada
questão.
6.4.3.4 Grupo 4
Neste grupo verifica-se um melhor aproveitamento dos conceitos associados
ao cálculo diferencial e suas aplicações no sentido de que um número maior de
136
questões foram resolvidas, incompletas ou não, e com uma notação e aplicações
com maior objetividade.
6.5 Cruzamento de variáveis
Na análise dos dados os resultados de algumas variáveis foram cruzadas,
objetivando um aprofundamento no diagnóstico das situações e a possibilidade de
correlação entre variáveis associadas.
A pesquisa de natureza causal, por sua vez, vai além da descrição de
fenômenos ou do estabelecimento de relações entre conceitos, exigindo uma
estruturação anterior maior que as outras naturezas de pesquisa.
Mais especificamente sobre o instrumento de coleta (questionário), entende-se
que este instrumento deva ser elaborado por uma devida fase exploratória, seguido
de uma validação de conteúdo e de sua respectiva análise de confiabilidade.
A análise dos dados consistiu da categorização das estratégias utilizadas na
resolução dos problemas. A categorização teve por base os protocolos obtidos na
entrevista clínica e as representações teóricas e gráficas dos procedimentos
adotados (competências, representações, algoritmos e conceitos envolvidos) na
resolução das situações-problema utilizando-se a taxonomia SOLO para análise do
conteúdo coletado.
As categorias criadas foram validadas mediante o confronto com estudos
versando sobre o assunto; com a própria interpretação dos sujeitos da pesquisa; e,
através da apresentação dos dados a grupos de pesquisadores não diretamente
envolvidos na pesquisa, visando a ampliação das análises iniciais. Outras formas de
verificação e validação foram, também, a investigação de dados que não se
ajustavam aos padrões encontrados; e, a comparação entre o que foi dito e o que foi
observado.
6.6 Procedimentos Teóricos e Práticos
Nossa análise do desenvolvimento consecutivo deste modelo e do uso de
instrumentos associados divide-se em duas formas básicas.
Numa primeira instância, após a construção do modelo comportamental
pedagógico em sala de aula, os sujeitos (discentes) desenvolvem competências
137
para manipular os instrumentos (que podem ser lógicos e/ou físicos) que serão
sugeridos pelo discente em consonância com o ementário da disciplina.
No primeiro caso, tem-se o chamado processo de instrumentalização.
No segundo, tem-se a consolidação do processo de instrumentação como
conseqüência ao desenvolvimento instrumental, ou seja, em função do possível
isomorfismo do uso do mesmo e/ou da criação de um “novo logos”.
6.7 Considerações e Ponderações
Consideramos que nesta etapa os sujeitos podem evoluir conceitualmente e
de forma mensurável e para tal iremos construir instrumentos de avaliação que
possam detectar tais desenvolvimentos (prioritariamente se os desenvolvimentos
foram mecânicos ou se de fato estão a agregar valores aos mesmos).
Temos o objetivo a priori de analisar os desenvolvimentos conceituais
consecutivos à aprendizagem no uso de instrumentos particulares a partir do
conceito definido por Vergnaud, entretanto, como já afirmamos, estes podem vir a se
modificar de acordo com o desenrolar fenomenológico.
6.8 A estratégia de trabalho: a ida à ZDP
6.8.1 A ZDP
A metodologia adotada, da preleção, dos exercícios, e os testes 1 e 2,
remetem o aluno, e o seu grupo, ao uso continuado dos conceitos de cada uma das
questões até o ponto em que, o aluno e o respectivo grupo, não mais desenvolvem a
respectiva resposta. Isto ocorre devido ao grau crescente de dificuldade dos
conceitos explorados nas questões.
Este procedimento remete o aluno, e o seu grupo, à zona de desenvolvimento
proximal, e, neste momento, pode ocorrer, a depender do aluno e do grupo,
demandas sobre informações sobre os conceitos e conteúdos da questão em
análise.
Como já foi dito, embora a teoria vygotskiana trabalhe, em termos de
mediação, com os instrumentos materiais (ferramentas), são os instrumentos
138
psicológicos (signos e símbolos), os que mais são enfatizados na busca de uma
explicação semiótica do comportamento e da aprendizagem humana.
Como, para Vygotsky, os signos representam um vínculo intermediário,
artificialmente construído no intercâmbio cultural entre a realidade e a atividade do
indivíduo frente àquela, eles não só alteram a maneira de uma pessoa conceber a
realidade, mas também a natureza da atividade que executa.
A integração entre estes dois tipos de atividades é que irá proporcionar ao ser
humano ajustar-se ao já existente e criar novas situações envolvendo a criação
artística, científica e técnica (OLIVEIRA, 1999).
Ao fazer uma nova abordagem centrada nos pontos falíveis (onde se
percebeu a maior parte das dúvidas existentes no grupo de alunos), o professor
fomenta uma alteração da estrutura cognitiva do aprendiz, forçando-o a criar novas
situações. Ao criar novas situações, novos esquemas são formados e o ponto “de
parada”, isto é, o momento em que o aluno entra na ZDP, ou já não existe, ou é ele
que fará o aluno sair dela, entrando no nível de desenvolvimento real, onde
apreendeu o conceito e, a partir dele, constrói novos conceitos, formando seu campo
conceitual de estruturas específicas relativas, neste caso, ao Cálculo Diferencial.
6.8.2 Aspéctos históricos como instrumento de retirada da ZDP
O estudo histórico do surgimento de um determinado conceito fornece a ideia
das dificuldades encontradas pelos que ajudaram na construção do mesmo,
destacando o contexto da época. Isso se faz muito interessante no ensino de
matemática, não somente por ser mais um elemento de fomento ao aprendizado,
mas por consolidar alguns conhecimentos de forma prazerosa. A História da
Matemática é um campo de investigação científica que reflete a preocupação com a
socialização do conhecimento matemático. A busca do conhecimento-processo pode
revelar dados que, intencionalmente, tenham sido omitidos no conhecimento-
produto.
Trabalhar a abordagem histórica e epistemológica faz com que o sujeito deixe
de pensar que os conceitos matemáticos surgem “do nada”, como muitos dos alunos
pensam, ou fazem com que percebam os objetivos e finalidades do conhecimento, o
que lhes permite responder a pergunta que sempre fazem: “prara que serve isso?”.
139
Geralmente o que motivou o surgimento e a construção de um conceito
matemático não representa mais os objetivos dos seus estudos atuais, no entanto,
se nossos aprendizes têm esta noção de desenvolvimento histórico, eles percebem
que um conceito passa por diversas evoluções e ampliações ao longo do tempo.
Isso é muito aplicado ao Cálculo Diferencial ou mesmo às funções. Essa construção
histórica e epistemológica faz com que os aprendizes criem com mais facilidade
seus esquemas na zona de desenvolvimento proximal.
Tal construção também tem importante significado no estudo das funções,
limites, derivadas e integrais, por considerar que, como Vergnaud, “campos
conceituais não são independentes e uns podem ser importantes para a
compreensão de outros”, mas, ainda assim, Vergnaud acha útil falar em distintos
campos conceituais se eles podem ser descritos de maneira consistente. Segundo
Moreira (2002), para Vergnaud “é impossível estudar as coisas separadamente,
mas, por isso mesmo, é preciso fazer recortes e é nesse sentido que os campos
conceituais são unidades de estudo frutíferas para dar sentido aos problemas de
aquisição e às observações feitas em relação à conceitualização”.
6.8.3 A saída da ZDP
Assim, e com todo o exposto, propõe-se minimamente que o docente, ao
detectar a ocorrência do que elucida os itens 6.7.1 e 6.7.2, proceda a descrição
histórica da problemática inicial que motivou os pesquisadores iniciais daquele
respectivo conceito ou conteúdo, e, desta forma, apresente com uma nova ênfase
para o aluno, ou grupo, os itens questionados sob uma nova ótica.
No caso específico da seguinte estrutura e abordagem da historicidade do
Cálculo Diferencial, recomenda-se que, o docente deverá passar a expor a
problemática da definição da velocidade instantânea, proposta por Newton ao tempo
em que deverá também consolidar a sua dedução, com posterior definição dos
novos conceitos de velocidade e aceleração, tal como o próprio Newton o fez, e a
partir daí repetir algumas demonstrações factíveis de serem feitas na íntegra em
sala de aula e citar/calcular os seus respectivos exemplos numéricos e
interpretativos.
140
Recomenda-se a referência recursiva ao problema inicial de Newton como
padrão para a “retirada” de dúvidas e/ou correção de eventuais problemas em sala
de aula, quiçá fora dela. A repetição do problema fundamental unida à referência
histórica que a legitima é um dos pontos de enfoque da nossa proposta e é a
premissa fundamental para a construção do novo conceito então apresentado.
6.8.4 A formação de conceitos e o enfoque da teoria construtivista
Estuda-se a formação dos conceitos sob o enfoque da teoria construtivista,
segundo a qual o conhecimento é construído pelo sujeito com base em sua
interação com seu meio físico e social. Dentro desta proposta destacamos as teorias
de Piaget, Vygotsky e Vergnaud. Tanto para Piaget quanto para Vygostky, o
discente constrói sua própria versão da realidade pelas suas experiências.
Ambos consideram a importância da ação do sujeito na aprendizagem que se
dá a partir da ação do indivíduo com o meio e da internalização desta ação. A
diferença básica entre eles está no fato que Vygotsky dá ênfase ao meio
sociocultural como um fator determinante no processo da aprendizagem e Piaget
enfatiza o desenvolvimento biológico do indivíduo como fator determinante nesse
processo.
A organização estrutural faz parte do desenvolvimento da noção de objeto
que o sujeito constrói por meio de reflexos, esquemas, combinações mentais, e
outros. No processo da adaptação, Piaget considera a assimilação e a acomodação
como conceitos distintos e complementares.
Nessa proposta, a diferença entre os níveis real e o potencial (que é a zona
de desenvolvimento proximal), na qual as funções psicológicas ainda estão para
serem completadas pode ser acelerada, quiçá consolidada, via os procedimentos
sugeridos.
Ainda no estudo da formação de conceitos, é de interesse para esse estudo
destacar as idéias de Vergnaud, cujo foco está na relação entre psicologia cognitiva
e Epistemologia da matemática. Conforme um dos pressupostos básicos da teoria
dos campos conceituais, o conhecimento constitui-se e desenvolve-se no tempo em
interação adaptativa do indivíduo com suas experiências e é fruto de três fatores:
maturação, experiência e aprendizagem.
141
O ponto de partida de sua teoria é a premissa de que todo o conhecimento
emerge da resolução de problemas (teórico ou prático).
Uma situação-problema, por sua vez, por mais simples que seja, sempre
envolve mais que um conceito. Em contrapartida, para adquirirmos um conceito,
precisamos interagir com ele inúmeras vezes, o que é possível dentro de situações
aprazíveis.
Desta forma, não faz sentido para Vergnaud falar na formação de um
conceito, mas sim, na formação de um “Campo Conceitual”, que é definido um como
um conjunto de situações cuja apropriação requer o domínio de vários conceitos de
naturezas diferentes.
6.9 Algumas considerações, limitações e incompletudes sobre a proposta
Esta proposta de trabalho implica em algumas limitações a citar, devido à
necessidade de estabelecimento dos graus de testabilidade36:
• O docente deverá ter tempo para consolidar os comentários de suporte histórico e para aplicar a análise dos erros nos discentes.
• A análise será limitante à formação básica dos discentes.
• Quando houver aplicabilidade específica aos conteúdos
explicitados, o processo poderá ser imediato. Caso contrário este fator será limitante à aplicação do modelo.
Estabelece-se, com isto, um fator limitante da aplicabilidade do método
proposto. Este fator estará sempre em de acordo com o grau de comprometimento
do docente e com a proposta do mesmo em mensurar a formação básica dos
discentes, ou seja, à medida que exista um canal de informação eficiente e eficaz
entre o docente e os discente para que o mesmo possa controlar e gestar o uso das
práticas propostas o método será considerado eficaz.
36 O que chamamos de graus de testabilidade refere-se a quantas vezes é possível aplicar a pesquisa, obtendo os mesmos resultados e/ou resultados análogos (parafraseando Popper).
142
Fica a sugestão de ações que possibilitem a diminuição deste fator limitante o
uso de instrumentos de comunicação e estratégias associadas aos mesmos, tais
como:
• O uso da Internet como forma de virtualizar o docente e o discente estendendo a sala de aula na atemporalidade inerente a estas novas formas de comunicação.
• O uso de estratégias didáticas para aumentar o grau de
pragmatismo de alguns conteúdos (em particular do cálculo diferencial e integral).
6.10 Condições mínimas para a aprendizagem significativa
Uma das condições, portanto, para a ocorrência da aprendizagem significativa
é a disponibilidade, na estrutura cognitiva, de conceitos ou proposições relevantes
(idéias-âncora, subsunçores) que possibilitem essa interação. As outras duas são
que a nova informação seja potencialmente significativa, isto é, relacionável à
estrutura cognitiva, e que haja uma predisposição para aprender de parte de quem
aprende. Construiremos um viés para provocar esta predisposição através de
estratégias que chamem a atenção do sujeito (aluno).
Desta forma a metodologia envolve uma observação longitudinal (no tempo)
de várias seções de resolução de problemas com problemas restritos com relação
ao número de conceitos envolvidos (no nosso caso o Cálculo Diferencial).
Essa metodologia prevê uma nova série de observações num momento mais
avançado da pesquisa no qual os alunos já estejam mais familiarizados com os
novos modelos isomorfos propostos e praticados pelo facilitador (professor).
Para analisar a forma como os instrumentos/ferramentas promovem o
desenvolvimento cognitivo do(s) sujeito(s) e sua(s) contribuição(ões) à
aprendizagem de conceitos, partimos do princípio que a cognição humana adapta-se
às situações segundo um processo dialético no qual os sujeitos acomodam-se para
assimilar as novas ferramentas e assimila suas funcionalidades permitindo aos
sujeitos acomodar-se às novas situações propostas e/ou impostas pelo método
adotado de ensino do conteúdo em questão.
Assim:
143
• O elemento teórico central de nossa análise é o meio através do qual o sujeito age.
• Os artefatos, que são os instrumentos com os quais o sujeito,
o aluno, interage com o meio, podem ser materiais ou não (podem ser lógicos e/ou físicos, tais como os softwares e/ou hardware37, respectivamente).
Acreditamos, como já evidenciado, que o uso da Teoria dos Campos
Conceituais e as construções teóricas advindas da mesma possibilite o processo de
criação de um “novo logos”, ou seja de uma nova maneira de pensar e/ou aprender
a matemática.
Por tais razões acredita-se também que deve-se dar toda atenção aos
aspectos conceituais dos esquemas e à análise conceitual das situações para as
quais os estudantes desenvolvem seus próprios esquemas, nas IES ou que os
mesmos administrem instrumentos para utilizar estes processos fora da academia
de forma autodidática.
Desta maneira propõe-se uma análise das atividades estratégicas e táticas a
partir de um ponto de vista construtivista que permita descrever o processo de
desenvolvimento conceitual consecutivo ao uso de novas estratégias (e/ou
tecnologias) para o ensino da matemática, em particular no ensino do Cálculo
Diferencial (noções de limites, derivadas e integrais) utilizando instrumentos de
modelos teóricos isomorfos à realidade objetiva do que se deseja apresentar e desta
forma reduzindo a zona de desenvolvimento proximal do(s) sujeito(s) e possibilitando
a implantação de processos autodidáticos.
O elemento teórico central de nossa análise é o meio através do qual o sujeito
(aluno) age.
Os artefatos, que são os instrumentos com os quais o sujeito, o aluno,
interage com o meio, podem ser materiais ou não (podem ser lógicos e/ou físicos,
tais como os softwares e/ou hardware38, respectivamente).
37 Os hardwares são todos os equipamentos físicos utilizados pelas ciências da computação para o
processamento de dados. 38 Os hardwares são todos os equipamentos físicos utilizados pelas ciências da computação para o
processamento de dados.
144
7 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Investigar maneiras de suplantar problemas, buscar soluções, incentivar
novas propostas é obrigação dos que educam e direito do cidadão. Nossos alunos, e
a Educação no Braisl de uma maneira geral, merecem e demandam mais qualidade.
7.1 Registro de Roteiro de Trabalho
Para consolidar a nossa pesquisa analisou-se oTeste 1 e o Teste 2, aplicados
aos alunos, bem como um questionário de avaliação aplicado ao docente para
avaliação dos trabalhos do mesmo. Para cada pergunta de ambos os testes foram
feitas análises baseando-se na taxonomia SOLO, conforme o quadro 8, onde pode-
se observar os grupos e os resultados da correção das respostas, bem como sobre
as expectativas da pesquisadora sobre as respostas dos mesmos e com isto
procura-se responder às indagações sobre expectativas que a educação oferece
aos participantes do processo educacional.
A informação mais conclusiva foi que alunos e professores estão andando em
caminhos, na maioria das vezes, opostos. A tecnologia avançada e a globalização
do conhecimento já fazem parte das aspirações dos alunos, enquanto o professor
prefere seguir um plano bem conhecido e compreendido, ao invés de abraçar novas
conquistas, novos métodos, e, conflitantes paradigmas.
Aparentemente, pensa-se então que o professor não evoluiu, não estuda, não
aceita as mudanças e a modernidade. Mas, o que se constatou, até mesmo pelo
pensamento crítico demonstrado pelos alunos, é que o professor está mudando, sim.
Estão acompanhando, também, todas as evoluções técnicas e de pensamento, mas,
existe ainda em sua formação o grande medo da perda do poder, e do domínio de
classe. Para tanto, ele mantém-se fiel às tradições. Com isso, a educação de toda
uma comunidade balança entre um novo paradigma, revolucionário, crítico, mas
ainda temido, e a segurança do antigo, que vem dando resultados positivos.
Em síntese, por depoimentos e respostas aos questionários, os alunos
apresentam, neste momento, um amadurecimento maior em relação ao papel da
faculdade na sociedade em que vivem, em relação às expectativas futuras, e
145
principalmente, por aceitarem primeiro as mudanças, consideradas inevitáveis e
segundo a importância dos conteúdos das disciplinas, em especial as de cálculo,
nos seus cursos, mesmo quando os mesmos não são da área das ditas ciências
exatas.
Verificamos que, em se tratando especificamente da nossa pesquisa, no que
corresponde à análise dos procedimentos aplicados, a compreesão, primeiramente
por parte do docente sobre os invariantes operacionais relativos ao conteúdo
ministrado na disciplina, torna-se fundamental para que o mesmo crie e/ou aplique
estratégias didáticas de fomento do entendimento, por parte do discente, dos
mesmo invariantes operatórios referentes ao conteúdo.
Quando isso ocorre, nota-se, por meio dos elementos avaliativos aqui
aplicados e descritos, uma aprendizagem significativa por parte dos aprendizes,
fazendo-os assimilar os assuntos estudados, incorporando-os às suas estruturas
cognitivas.
A compreensão dos teoremas-em-ato torna-se então fundamental para que a
aprendizagem significativa no que tange a Teoria dos Campos Conceituais.
Consideramos que um estudo apurado dos invariantes operatórios das disciplinas
matemáticas deva ser realizado, com o intuito de corroborar a tese aqui proposta e
aplicada. A compreensão dos I.O. por parte dos discentes, torna-os capazes de criar
mecanismos pessoais de incorporação dos conteúdos a eles relacionados,
alicerçados nestes, mas em consonância com a teoria como um todo. Isso é
fundamental para que os conteúdos não se “percam” em uma aprendizagem
puramente mecânica e sem as devidas correlações com o campo conceitual a qual
faz parte.
A matemática como corpo de estudo de abrangência inquestionável, é, em si
mesma, um campo conceitual vasto que contém em suas diversas áreas (álgebra,
geometria, aritmética, lógica, entre outras) campos conceituais contidos neste
conjunto maior. Cada um deles contém também seus respectivos campos
conceituais ainda inexplorados do ponto de vista da teoria dos campos conceituais,
podendo neles, serem detectados e corporificados seus I.O., bem como os demais
elementos do tripleto (R,I,S) com vistas na proposta didática de implementar a teoria
nas diversas áreas da matemática.
146
7.2 Indicações e Propostas: a criação de um campo conceitual
Esta pesquisa deixa, ainda, como indicação para novos estudos, a
verificação, por meio dos I.O., da inclusão do estudo da história dos mesmos no
transcorrer da disciplina; mudança nos procedimentos de sala de aula no que tange
a apresentação dos conteúdos de cada tópico e de cada disciplina; adoção de ações
integradas em sala de aula que sinergizem o interesse dos discentes nos conteúdos
básicos das disciplinas.
Sugerimos como proposta de fortalecimento do sistema educacional das
faculdades centros universitário e universidades, a formação continuada, para todos
os profissionais da educação, nas áreas de conhecimento específico, epistemologia
e desenvolvimento humano, didática, tecnologias, legislação, planejamento, projetos
e custos educacionais, de sorte que todos os “novos docentes” passem a ter uma
visão holística dos conteúdos das suas respectivas disciplinas.
Reorganização das matrizes curriculares dos cursos superiores não voltados
à formação de matemáticos que envolvem as disciplinas de cálculo de forma a que
os mesmos possam contemplar no conteúdo específico de cada disciplina a
abordagem histórica da mesma, quiçá a adoção de uma disciplina especial que
venha a tratar das respectivas abordagens históricas em consonância com o método
da análise crítica dos conteúdos e bagagens históricas das mesmas.
Proporcionar encontros periódicos e multireferencializados, entre os docentes
da mesma disciplina e do curso como um todo garantindo assim unidade para o
sistema adotado e a diversidade que privilegia as diferenças.
Embora Vergnaud tenha construído o campo conceitual das estruturas
aditivas e multiplicativas sem mencionar os demais, estes existem e, tomando-se
como exemplo a construção do campo conceitual por ele construído, é possível a
construção dos demais, desde que sejam observadas as estruturas alicerçadas na
detecção dos teoremas-em-ato, herdado, com maestria, de Piaget; a sua
incorporação nos conteúdos específicos das disciplinas, embasados pelos suas
representações e o conjunto de situações que dão sentido aos seus respectivos
conceitos.
A primeira etapa na construção de um campo conceitual é a determinação
dos invariantes operatórios (I.O.) associados aos conceitos a serem estudados.
Após isto, deve-se verificar quais são as situações que dão sentido a estes
147
invariantes operatórios, o que Vergnaud chama mais amplamente de Conjunto das
Situações que dão sentido ao conceito.
No entanto, antes de determinar o conjunto de situações que dão sentido aos
conceitos gerais, deve-se, no caso de querer se criar um campo conceitual nos
moldes da teoria dos campos conceituais, determinar conjuntos de situações que
dêem sentido aos I.O. As representações estão atreladas horizontalmente, isto é,
num mesmo nível, e dependem das situações. Elas coexistem com estas últimas.
Sugerimos o fluxograma (bastante simplificado) a seguir como um meio de
representar etapas fundamentais na construção de um campo conceitual
fundamentado na teoria de Vergnaud:
148
Ilustração 10 Algorítimo sugerido para a construção de um campo conceitual fundamentado na teoria de Vergnaud
Fonte: Elaboração da própria autora.
149
REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, Ag. - Caderno de Educação Matemática - Volume III - Fundamentos da Didática da Matemática e Metodologia de Pesquisa. São Paulo: Vozes, 2001
ANTUNES, Celso. Glossário para Educadores. São Paulo: Vozes, 2001.
AMANTES, Amanda. O entendimento de estudantes do Ensino Médio sobre Movimento Relativo e Referencial Inercial. Dissertação de Mestrado, UFMG, 2005, 183p.
BARBOSA, Gerardo Oliveira & NETO, Hermínio Borges. Raciocínio Lógico Formal e Aprendizagem em Cálculo: o caso da Universidade Federal do Ceará. Disponível em http://www.multimeios.ufc.br/arquivos/pc/artigos/artigo-raciocinio-logico-formal-e-aprendizagem-em-calculo.pdf. Acesso em nov 2010.
BACHELARD, G. O Novo Espírito Científico. 2ª ed. Rio de Janeiro: Tempo Brasileiro, 1985.
BIGGS, J.; COLLIS, K. Evaluating the quality of learning: the SOLO taxonomy. New York: Academic Press, 1982.
BROUSSEAU, G. Theory of Didactical Situations in Mathematics: didactiques des mathématiquas, 1970-1990 / by Guy Brousseau; edited and translated by Nicolas Balacheff.. (et al.). Published by Kluwer academic Publishers, 1997.
______. La problématique et l‘enseignement des mathematiques. Meeting of the CIEAEM, lonvain da neuve, reproduced in les obstacles épistemologiques et les problèmes en mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, 4(2), 1976. p. 164-198.
BRUNNER, Reinhard; ZELTNER, Wolfgang. Dicionário de Psicopedagogia e Psicologia Educacional. Petrópolis, RJ: Vozes, 1994.
CEPAL/UNESCO. Educación y conocimiento: eje de la transformación productiva con equidad. Santiago de Chile, agosto de 1992.
CHURCHILL JR., G. A. Marketing Research: methodological foundation. Orlando, FL : The Dryden Press, 1999.
150
CUNHA, Micheline Rizcallhah Kanaan. A Quebra da Unidade e o Número Decimal: um estudo diagnóstico nas primeiras séries do ensino fundamental - dissertação de mestrado em Educação Matemática. PUC, 2002. Disponível em http://www.pucsp. br/pos/edmat/ma/dissertacao/micheline_kanaan.pdf
FÁVERO, Maria Helena. A relação entre a Psicologia Cognitiva e a educação matemática: alguns aspectos teóricos e metodológicos, ln: ENCONTRO NACIONAL DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 3. Anais. Natal: Universidade Federal do Rio Grande do Norte, 1993.
FRANCHI, A. Considerações sobre a teoria dos campos conceituais. In Alcântara Machado, S.D. et al (1999). Educação Matemática: uma introdução. São Paulo. EDUC. p. 155-195.
FREIRE, M. Observação, registro, reflexão - instrumentos metodológicos. Série Seminários. São Paulo: Espaço Pedagógico, 1992.
FURTH, Hans G. Piaget na Sala de Aula. 6. ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1997.
GRECA, Ileana; MOREIRA, Marco Antonio. Além da Detecção de Modelos Mentais dos Estudantes - uma Proposta representacional Integradora, Rio Grande do Sul. Disponível em: http://www.if.ufrgs.br/public/ensino/vol7/n1/v7_n1_a2.html. Acesso em 20.06.2003.
GOLDIN, Gerald, A. A Scientic Perspective on Sturctured, Task-BasedInterveiws In: Mathematics Education Research. HANDBOOK OF RESEARCH DESIGN IN MATHEMATICS AND SCIENCE EDUCATION /edited by Anthony E. Kelly and Richard A. Lesh. Lawrence Erlbaum Associates, Publishers. Mahwah, New Jersey, London, 1999.
KJARTAN, Poskit. Isaac Newton e sua Maçã. São Paulo: Cia das Letras, 2001.
LIMA, Lauro de Oliveira. A construção do homem segundo Piaget. 2. ed. São Paulo: Summus, 1984.
MOREIRA, Marco Antonio. Teorias de Aprendizagem. São Paulo: EPU, 1999.
_______. A Teoria dos Campos Conceituais de Vergnaud, o Ensino de Ciências e a Pesquisa nesta Área. Revista Investigações em Ensino de Ciências. Rio Grande do Sul, 1996. Disponível em http://www.if.ufrgs.br/ienci/artigos/Artigo_ID80/v7_n1_a2002.pdf
MOTA, Sônia Borges Vieira da. O que Gostaria de Saber sobre o Sujeito na Teoria psicogenética da Alfabetização... e não Tive coragem de Perguntar a E.
151
Ferreiro. Revista Brasileira de Educação, 2002. Disponível na internet via: http://www.educacaoonline.pro.br/o_que_gostaria.asp.
NASCIMENTO, R. A. Um Estudo Sobre Obstáculos em Adição e Subtração de Números Inteiros Relativos: Explorando a reta numérica dinâmica. Recife: Universidade Federal de Pernambuco, Tese de Mestrado apresentada ao Departamento de Educação, 2002.
OLIVEIRA, Marta Kohl. Jovens e adultos como sujeitos de conhecimento e aprendizagem. XXII Reunião Anual de ANPED. Caxambu, MG, 1999.
_______. Vygotsky - Aprendizado e Desenvolvimento: um processo sócio-histórico. São Paulo: Scipione, 1997.
PASTRÉ, P (1994). Variations sur le développement des adultes et leurs représentations. Education Permanente, 119, 33-63.
PIAGET, Jean. Seis Estudos de Psicologia. 24.ed. Rio de Janeiro: Forense Universitária, 2001.
_______. O nascimento da inteligência na criança. 4. ed. Rio de Janeiro: Zahar, 1982.
_______. Epistemologia Genética; tradução de Álvaro Cabral; 2.ed. São Paulo: Martins Fontes, 2002.
POPPER, Karl. A Lógica da Pesquisa Científica. Tradução de Leônidas Hegenberg e Octanny Silveira da Mota. 2. ed. São Paulo: Cultrix, 1972.
PRETTO, Nelson de Luca . Uma escola com/sem futuro. Educação e Multimídia. Campinas: Papirus,1996
REGO, Teresa Cristina. Vygotsky - uma perspectiva histórico-cultural da educação. 9.ed. Petrópolis, RJ: Vozes, 1995.
SCHUBRING, G. Desenvolvimento histórico do conceito e do processo de aprendizagem, a partir de recentes concepções matemático-didáticas (erro, obstáculos, transposição). Zetetiké. Revista do Círculo de Estudo, Memória e Pesquisa em Educação Matemática. vol. 6, nº 10. Campinas/SP, jul/dez, 1998.
TEIXEIRA, L. R. M. Aprendizagem Operatória de números inteiros: obstáculos e dificuldades. Revista Pró-Posições, vol. 4, nº 1[10], UNICAMP. Março, 1993.
152
TORRES, Lima Patrícia. Competências matemáticas de jovens e adultos em alfabetização. Brasilia: UNB. Disponível na Internet em http://www.anped.org.br/25/patricialimatorrest19.rtf. Acesso em dez 2010.
VERGNAUD, Gérard. A classification of cognitive tasks and operations of thought involved in addition and subtraction problems. In Carpenter, T., Moser, J. & Romberg, T (1982). Addition and subtraction. A cognitive perspective. Hillsdale, N.J.: Lawrence Erlbaum, 1982.
VERGNAUD, G. La Teorie des Champs Conceptuals RDM, V10, N23, 1990.
VERGNAUD, G.. Teoria dos campos conceituais. In Nasser, L (Ed.) Anais do 1º Seminário Internacional de Educação Matemática do Rio de Janeiro: 1993
VERGNAUD, G. Epistemology and Psychology of Mathematics Education, em NESHER & KILPATRICK Cognition and Practice, Cambridge Press, Cambridge, 1994.
VERGNAUD, G. A Comprehensive Theory of Representation for Mathematics Education. JMB, V17, N2, pp. 167-181, 1998
VERGNAUD, Gerard. As Ciências da Educação. São Paulo: Loyola, 2001.
VERGNAUD, Gerard (1998b). Palestra proferida em 22/04/1998 na Pós-graduação em Psicologia Cognitiva da Universidade Federal de Pernambuco. Recife, PE.
_______. The nature of mathematical concepts. In T. Nunes & P. Bryant (ed.), Learning and teaching mathematics: An international perspective. London: Psychology Press, 1997.
_______. Piaget-Vygotsky-Vergnaud. Palestra proferida em 22/02/2000 na Pós-graduação em Psicologia Cognitiva da Universidade Federal de Pernambuco. Recife, PE, 2000.
VYGOTSKY, L.S. Teoria e Método em Psicologia. 2.ed. São Paulo: Martins Fontes, 1999.
_______. Pensamento e Linguagem. São Paulo: Martins Fontes, 1993.
_______. A Formação Social da Mente. São Paulo: Martins Fontes, 1984.
153
APÊNDICES
APÊNDICE A - Teste 1
Faculdade: __________________________________________________________ Curso: ______________________________________________________________ Disciplina: __________________________________________________________ Professor/Facilitador: _________________________________________________ Data de Aplicação: ____/____/______
Aluno(a)s: _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
Teste 1 (Funções)
1) Esboce o gráfico de:
a) 2
2
1xy = b) 34 xy =
2) Determine a equação linear da reta que passa por A(1, 7) e B(-3, 2). 3) Deve-se construir um tanque de aço, para armazenagem de gás propano, na forma de
cilindro circular reto de 3m de altura, com um hemisfério em cada extremidade. O raio r deve ser ainda determinado. Expresse o volume V do tanque como função de r .
154
4) Ao abrir uma torneira de água quente, a temperatura T da água depende do tempo decorrido desde a abertura. Esboce um gráfico de T como uma função do tempo t decorrido desde a abertura.
5) Uma caixa aberta em cima tem um volume de 10m3. O comprimento da base é o dobro
da largura. O material da base custa $10 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa $ 6 por metro quadrado. Expresse o custo total do material em função do tamanho da base.
155
APÊNDICE B - Teste 1 - Respostas comentadas
Faculdade: __________________________________________________________ Curso: ______________________________________________________________ Disciplina: __________________________________________________________ Professor/Facilitador: _________________________________________________ Data de Aplicação: ____/____/______
Aluno(a)s: _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
Teste 1 (Funções)
1) a) Pelo teste de simetria, o gráfico de 2
2
1xy = é simétrico em relação ao eixo-y. damos
a seguir alguns pontos do gráfico: x 0 1 2 3 4 y 0 1/2 2 9/2 8
Fig. 1
A marcação de pontos, o traçado de uma curva suave pelos pontos e a utilização da simetria nos permitem fazer o esboço da Figura 1 . O gráfico é uma parábola com vértice (0, 0) e eixo ao longo do eixo-y.
156
b) Pelo teste de simetria, o gráfico de 34 xy = é simétrico em relação à origem. Alguns
pontos do gráfico são (0, 0),
4
1,1 , (2, 2). Marcando os pontos e usando a simetria obtemos
o gráfico da Fig 2.
Fig. 2
2) O coeficiente angular m da reta é ( ) 4
5
31
27=
−−
−=m .
Podemos usar as coordenadas de A ou de B para ( )11, yx na forma “ponto-coef.angular”. Usando A(1, 7) temos:
( )14
57 −=− xy , que é equivale a 55284 −=− xy , ou 2345 −=− yx
3) A figura 3 ilustra o tanque. O volume da parte cilíndrica é dado por ( ) 22 33 rr ππ = . Os dois
hemisférios das extremidades, considerados e conjunto têm como volume 3
3
4rπ . O volume
é então ( )
3
94
3
943
3
4 22323 +
=+
=+=rrrr
rrVπππ
ππ . Esta fórmula exprime V como função
de r .
Fig. 3
157
4) A temperatura da água no começo está próxima da temperatura ambiente, pois ela estava nos canos. Quando começa a sair a água quente da caixa-d’água, T aumenta rapidamente, e na próxima fase fica constante até a caixa se esvaziar. A partir daí T decresce até a temperatura em que a água é fornecida. Isso nos possibilita esboçar o gráfico de T como uma função de t na Fig. 4. Fig. 4 5) Fazemos um diagrama como o da Figura 5, com uma notação onde w e w2 são, respectivamente, o comprimento e a largura da base, e h é a altura. A área da base é ( ) 222 www = , assim, o custo, em dólares, é de ( )2210 w . Quanto aos lados, dois têm área wh e os outros dois, wh2 . Portanto o custo total dos lados é
( ) ( )[ ]whwh 2226 +⋅ e o custo total é
( ) ( ) ( )[ ] whwwhwhwC 36202226210 22 −=++= . Para expressar C como uma função somente de w , precisamos eliminar h , o que é feito
usando-se o fato de o volume ser 10 m3. Assim ( ) 102 =hww , o que fornece 22
5
2
10
wwh == .
Substituindo essa expressão na fórmula de C , temos:
w
ww
wwC180
205
3620 2
2
2 +=
+= .
Logo, a equação w
wwC180
20)( 2 += 0>w expressa C como uma função de w .
158
APÊNDICE C - Teste 2
Faculdade: ___________________________________________________________ Curso: _______________________________________________________________ Disciplina: ___________________________________________________________ Professor/Facilitador: _________________________________________________ Data de Aplicação: ____/____/______
Aluno(a)s: _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
Teste 2 (Limites e Derivadas)
1) Seja ( )3
9
−
−=
x
xxf
a) Ache ( )xfx 9lim
→
b) Esboce o gráfico de f e ilustre graficamente o limite do item a
2) Mostre que xx
1lim
0→ não existe.
3) Se ( )x
xxf = , esboce o gráfico de f e ache, se possível:
a) ( )xfx
−→0lim b) ( )xf
x+→0
lim c) ( )xfx 0lim
→
4) Um gás (tal como vapor d’água ou oxigênio) é mantido a temperatura constante no pistão da fig. 1. À medida que o gás é comprimido, o volume V decresce até que atinja uma certa pressão crítica. Além dessa pressão, o gás assume forma líquida. Use o gráfico da Fig. 1 para achar e interpretar:
a) VP
−→100lim b) V
P+→100
lim c) VP 100lim→
159
Figura 1
5) A próxima figura é um gráfico das forças- g experimentadas por um astronauta durante a decolagem de uma nave espacial com dois lançamentos de foguete (Uma força de 2g’s é duas vezes a força da gravidade, 3g’s de três vezes a força da gravidade etc.) Se ( )tF denota a força- g aos t minutos de vôo, determine e interprete
a) ( )tFt
+→0lim b) ( )tF
t−→ 5,3
lim e ( )tFt
+→ 5,3lim c) ( )tF
t−→5
lim e ( )tFt
+→5lim
Figura 2
6) Determine ( )635lim 23
2−+
−→xx
x
7) Seja a velocidade da luz (aproximadamente 3, 0 x 108 m/s, ou 300.000 km/s). Pela teoria
de Einstein (teoria da relatividade), a fórmula de contração de Lorentz 2
2
0 1c
vLL −=
especifica a relação entre (1) o comprimento L de um objeto que se move a uma velocidade v com respeito a um observador e (2) seu comprimento 0L em repouso (ver
figura 6). A fórmula implica que o comprimento de um objeto medido pelo observador é menor quando o objeto está em movimento do que quando está em repouso. Determine e interprete L
cv−→
lim , e explique porque é necessário um limite lateral esquerdo.
Figura 3
160
8) Se ( )( )3 21 2 8 5y x x x= + + − , determine a derivada da função y.
9) Se ( ) 2 3 2f x x x= + + , calcule, pela definição, a derivada de determine ( )f x .
10) A posição de uma partícula é dada pela equação ( ) 3 26 9s f t t t t= = − + , onde t é
medido em segundos e s em metros.
a) Encontre a velocidade no instante t . b) Qual é a velocidade depois de 2 s ? Depois de 4 s ? c) Quando a partícula está em repouso? d) Quando a partícula está se movendo para a frente (isto é, no sentido positivo)?
161
APÊNDICE D - Teste 2 - Respostas comentadas
Faculdade: __________________________________________________________ Curso: ______________________________________________________________ Disciplina: __________________________________________________________ Professor/Facilitador: _________________________________________________ Data de Aplicação: ____/____/______
Aluno(a)s: _________________________________________________________________ _________________________________________________________________ _________________________________________________________________
Teste 2 (Limites e Derivadas)
1) a) Note que o número 9 não está no domínio de f . Para achar o limite, modificaremos a
forma de ( )xf racionalizando o denominador como se segue:
( )( )( )
9
39lim
3
3
3
9lim
3
9limlim
9999 −
+−=
+
+⋅
−
−=
−
−=
→→→→ x
xx
x
x
x
x
x
xxf
xxxx
ao investigarmos o limite quando 9→x , supomos que 9≠x . Logo 09 ≠−x , e então
podemos dividir numerador e denominador por 9−x , i.e., podemos cancelar o fator 9−x , o
que dá
( ) ( ) 6393limlim09
=+=+=→→
xxfxx
b) Se racionalizarmos o denominador de ( )xf como em a), veremos que o gráfico
de f é o mesmo que o gráfico da equação 3+= xy , exceto para o ponto ( )6 ,9 , conforme
ilustrado na figura 1. Conforme x aproxima-se de 9, o ponto ( )( )xfx, no gráfico de
f aproxima-se do ponto ( )6 ,9 . Note que ( )xf nunca atinge efetivamente o valor 6; todavia,
( )xf pode tornar-se tão próximo de 6 quanto desejarmos, bastando tomar
x suficientemente próximo de 9.
162
Figura 1
2) A figura 2 esboça o gráfico de ( )x
xf1
= . Observe que podemos fazer ( )xf tão grande
quanto quisermos, bastando escolher x suficientemente próximo de 0 (mas ≠ 0). Por
exemplo, se quisermos ( ) 000.000.1−=xf , escolheremos 000001,0−=x . Para ( ) 910=xf ,
escolheremos 910−=x . Como ( )xf não tende para um número específico L quando se
aproxima de 0, o limite não existe.
Figura 2
163
3) A função f não é definida em 0=x . Se 0>x , então xx = e se ( ) 1==x
xxf . Logo,
para 0>x o gráfico coincide com a reta horizontal 1=y . Se 0<x , então xx −= e
( ) 1−=−=x
xxf . Isto nos dá a figura 3. Referindo-nos ao gráfico, vemos que
a) ( ) 1lim0
−=−→
xfx
b) ( ) 1lim0
=+→
xfx
c) Como os limites laterais à direita e à esquerda são diferentes, decorre que ( )xfx 0lim
→ não
existe.
Figura 3
4) a) Vemos pela fig. 4 que, quando a pressão P em (torrs) é baixa, a substância é um gás e
o volume V (litros) é grande ( A definição de torr, unidade de pressão, pode ser encontrada
em textos de física) Se P se aproxima de 100 por valores inferiores a 100, V decresce e se
aproxima de 0, 8; isto é, 8,0lim100
=−→
VP
.
O limite 0, 8 representa o volume no qual a substância começa a se transformar de gás em
líquido.
b) Se 100>P , a substância é um líquido. Se P se aproxima de 100 por valores
superiores a 100, o volume V aumenta muito lentamente (pois os líquidos são quase
incompressíveis), e 3,0lim100
=+→
VP
.
O limite 0, 3 representa o volume no qual a substância começa a se transformar de
líquido em gás.
164
d) 100
lim→P
não existe, pois os limites laterais à direita e à esquerda em a) e b) são diferentes
(Em 100=P , as formas gasosa e líquida coexistem em equilíbrio, e a substância não
pode ser classificada seja como gás ou como líquido.)
5) a) 2g’s, a força-g na decolagem. b) Limite à esquerda de 8-a força-g imediatamente antes
do lançamento do segundo foguete; limite à direita de 1-a força-g imediatamente após o
lançamento do segundo foguete. c) Limite à esquerda de 3-a força-g imediatamente antes
de os motores serem cortados; limite `direita de 0-a força g imediatamente após os motores
serem cortados.
6) Podemos proceder como segue (dê as razões):
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 3464325
6lim3lim5
6lim3lim5lim635lim
3
2
2
3
2
2
2
2
3
2
23
2
−=−+−=
=−+=
=−+=−+
−→−→
−→−→−→−→
xx
xxxx
xx
xxxx
7) com o auxílio de teoremas de limites laterais, temos: , Assim, se a velocidade de um
objeto pudesse aproximar-se da vellocidade da luz, seu comprimento, medido por um
observador em repouso, tenderia para zero. Este resultado é por vezes utilizado para
justificar a teoria de que a velocidade da luz é a última (ou absoluta) velocidade no universo;
ou seja, nenhum objeto pode adquirir uma velocidade que se iguale ou supere a da luz, c.
Faz-se necessário considerar o limite lateral esquerdo porque, se cv > , então 2
2
1c
v− não
é um número real.
Figura 4
165
8) [2] pg 142 - Se ( )( )3 21 2 8 5y x x x= + + − , determine a derivada da função y.
Solução: Utilizando a regra do produto, temos:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
3 2 3 2
3 2 2
4 3 4 3 2
4 3 2
1 . 2 8 5 1 . 2 8 5
= 1 . 4 8 3 . 2 8 5
= 4 8 4 8 6 24 15
=10 32 15 4 8
y x x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x
′ ′′ = + + − + + + − =
+ + + + − =
+ + + + + − =
+ − + +
9) [2] pg 142 - Se ( ) ( )1
23 3 2f x x x x= − + , determine:
a) ( )f x′
b) a coordenada-x dos pontos em que a tangente de f é horizontal ou vertical. Solução: a)
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 12 23 3
1 223 3
2 2
2 2
3 3
3 2 3 2
1 = 2 3 3 2
3
3 2 3 3 2 7 12 2 =
3 3
x xf x x D x x x x D x
x x x x x
x x x x x x
x x
−
′ = − + + − + =
− + − + =
− + − + − +=
b) A tangente ao gráfico de f é horizontal se seu coeficiente angular for zero. Fazendo
( ) 0f x′ = e aplicando a fórmula quadrática, obtemos:
12 144 56 12 886 22
2 2x
± − ±= = = ±
Vemos que o denominador 2
33x de ( )f x′ é zero em 0x = . Como f é contínua em 0 e
( )0
limx
f x→
′ = ∞ , segue-se que o gráfico de f tem uma tangente vertical em 0x = , isto é, no
ponto (0,0) (a origem). 10) A posição de uma partícula é dada pela equação ( ) 3 26 9s f t t t t= = − + , onde t é
medido em segundos e s em metros.
e) Encontre a velocidade no instante t .
166
f) Qual é a velocidade depois de 2 s ? Depois de 4 s ?
g) Quando a partícula está em repouso?
h) Quando a partícula está se movendo para a frente (isto é, no sentido positivo)?
Solução:
a) A função velocidade é a derivada da função posição.
( )
( )
3 2
2
6 9
3 12 9
s f t t t t
dsv t t t
dt
= = − +
= = − +
b) A velocidade depois de 2 s é a velocidade instantânea quando 2t = , isto é:
( ) ( ) ( )2
2
2 3 2 12 2 9 3 /t
dsv m s
dt =
= = − + = −
A velocidade depois de 4 s é ( ) ( ) ( )2
4 3 4 12 4 9 9 /v m s= − + =
c) A partícula está em repouso quando ( ) 0v t = , isto é:
( ) ( )( )2 23 12 9 3 4 3 3 1 3 0t t t t t t− + = − + = − − = e isso acontece quando 1t =
ou 3t = . Assim, a partícula está em repouso depois de 1s e depois de 3s. d) A partícula move-se no sentido positivo quando ( ) 0v t < , isto é:
( ) ( )( )2 23 12 9 3 4 3 3 1 3 0t t t t t t− + = − + = − − > .
Essa desigualdade é verdadeira quando ambos os fatores forem positivos ( )3t > ou
quando ambos os fatores forem negativos ( )1t < . Assim, a partícula move-se no sentido
positivo no intervalo de tempo 1 e 3t t< > . Move-se para trás (no sentido negativo) quando 1 3t< < .
167
APÊNDICE E - Questionário de avaliação do docente e disciplina
Curso: _______________ Professor: ____________________________ Semestre: ________ Carga Horária: ________ Turma: __________________ Disciplina: ___________________________
Grau de Importância Grau de Satisfação Dos Alunos da Turma
Pequeno Médio Grande Precisa melhorar Satisfaz Ótimo Não
observei
Interesse pela Disciplina Participação nas Aulas Cumprimento das Atividades Propostas
Desempenho Acadêmico Aprendizagem Autonomia Intelectual Relacionamento Entre os Alunos Relacionamento com o Professor Assiduidade Pontualidade Participação em Atividades Extra-Classe e/ou Exemplos Práticos do Conteúdo
Motivação Visualização Prática dos Conteúdos Teóricos
Grau de Abstração Matemática Interesse na Aplicabilidade do Conteúdo
Pragmatismo Dedicação Extra-classe Dedicação Intra-classe Autodidatismo Visualização Matemática do Contidiano
Cartezianismo Matemático Grau de Abstração Multireferencialidade aos Conteúdos
Realização das Leituras Recomendadas
Outros... Observações: _____________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
168
APÊNDICE F - Auto-avaliação do docente
Curso: ___________ Professor: _______________________ Semestre: ________ Carga Horária: ________ Turma: ________________ Disciplina: _______________________
Auto-Avaliação do Docente
01 - Os objetivos programados foram e/ou estão sendo atingidos?
Sim: ( ) Por quê? ___________________________________________________________________
Não: ( )
Em Parte: ( )
02 - A duração total do Curso, em relação aos objetivos, foi suficiente?
Sim: ( ) Por quê? ________________________________________________________________
Não: ( ) ______________________________________________________________________
Em Parte: ( ) ___________________________________________________________________________
03 - Na sua opinião, você mudou a sua forma de ministrar aulas para consolidar as metas deste conteúdo/disciplina?
Sim: ( ) Quais? __________________________________________________________________
Não: ( )
Em Parte: ( )
04 - As avaliações do aproveitamento dos cursistas foram adequadas para avaliar a aprendizagem?
Sim: ( ) Por quê?_______________________________________________________________
Não: ( )
Em Parte: ( )
169
Quais as sugestões para cursos futuros?
05 - O material didático fornecido foi suficiente?
Sim: ( ) Por quê? __________________________________________________________
Não: ( )
Em Parte:( )
06 - Sentiu dificuldades de ministrar as aulas?
Sim: ( )
Não: ( )
Em Parte: ( )
07 - Em relação aos assuntos que foram tratados, o Curso:
( ) ofereceu subsídios de grande valor; ( ) acrescentou alguma coisa ao que os alunos já sabiam; ( ) deixou os alunos praticamente no mesmo estado em que se encontrava antes de fazê-lo; ( ) outro (descreva)
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
08 - Acredita que, ingressando/retornando ao trabalho, os alunos:
( ) puderam aplicar, integralmente, os conhecimentos obtidos no Curso; ( ) puderam aplicar concretamente apenas alguns conhecimentos; ( ) não foi possível aplicar nenhum conhecimento; ( ) outro (descreva):
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________
Devido a: ( ) abordagem muito teórica do conteúdo; ( ) dificuldades em acompanhar o curso por falta de embasamento nos assuntos abordados por parte dos discentes; ( ) reação contra a(s) dinâmica(s) pedagógica(s) adotada(s) no Curso, em virtude de características pessoais próprias; ( ) desinteresse, em virtude de achar que os assuntos tratados não tinham ligação direta com a sua área de atividades; ( ) outro motivo (informe a seguir):
170
09 - Em relação às ideias e tópicos abordados, você acha que:
( ) foram apresentados com bastante clareza; ( ) esclarecidos, mas difíceis para compreensão;
( ) apenas citados, não esclarecidos; ( ) foram abordados sem aplicabilidade.
10 - Críticas e sugestões:
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________
171
APÊNDICE G - Entrevista com o docente
Curso: __________________ Professor: ____________________ Semestre: ________ Carga Horária: ________ Turma: _________________________ Disciplina: ___________________
Entrevista com o Docente
1) Você sempre se adequa à turma (considerando suas características específicas), adequando também sua forma de expor o conetúdo ou é constante ao fazê-lo?
Resposta:
2) Você acha que nesta turma existem alunos autodidatas?
Resposta:
3) Você trabalha aplicações para cada conteúdo da sua disciplina? Ensina isto aos alunos?
Resposta:
172
4) Após explicar ou re-explicar os conteúdos de forma mais pragmática e tendo os alunos na zona de desenvolvimento proximal, verifica-se um aprendizado significativo ou mecânico? Explique.
Resposta:
5) É possível a unanimidade de entendimento de alguns conteúdos quando todos de um grupo estão na zona de desenvolvimento proximal com apenas um único exemplo?
Resposta:
6) Quais as diferenças percebidas no apreveitamento e aprendizado entre os discentes que já tem organizadores prévios dos que não os tem? Explique as suas dificuldades em administrar esta situação.
Resposta:
7) Técnicas de atuação e resolução de problemas em grupo e em sala de aula são eficazes na consolidação dos conteúdos da sua disciplina? Quando? Em geral, de que forma?
Resposta:
173
8) É possível, de forma eficaz, o uso da história e de estórias no ensino do cálculo diferencial? De que forma?
Resposta:
9) Encaminhar o discente à zona de desenvolvimento proximal e fazê-lo sair da mesma já era uma tarefa frequente na sua prática de sala de aula? Se sim, desde quando?
Resposta:
10) Após a saída do discente da zona de desenvolvimento proximal verifica-se no mesmo a capacidade de auto-gestão cognitiva?
Resposta:
174
APÊNDICE H - Entrevista com os discentes
1) Você tem afinidade com o raciocínio matemático? A que atribui isto? Resposta:
2) Acha que o professor/facilitador é o único responsável pelo processo de aprendizado do aluno? Explique?
Resposta:
3) Como você acredita que ocorre o seu processo de aprendizagem de um novo assunto? Qual é a forma mais prazerosa para você?
Resposta:
4) Como você explica o fato de que alguns conteúdos serem mais facilmente entendidos quando explicados pelos seus colegas?
Resposta:
5) Você tem um método/receita para estudar matemática? Qual? Resposta:
175
6) Por quais razões você acha que é mais fácil o entendimento de conteúdos quando uma abordagem pragmática é feita ao mesmo? Explique ou exemplifique.
Resposta:
7) O seu professor, ao trocar o exemplo de uma explicação, facilita para você o entendimento da mesma? Explique.
Resposta:
8) Como você se sente ao saber um assunto (de forma mecânica) e de repente deparar-se com uma incompletude ao tentar resolver um problema com o mesmo e não consequir consolidar a resolução?
Resposta:
9) Se o trabalho não fosse em sala de aula e em grupo você conseguiria consolida-lo? Explique.
Resposta:
10) Como você acha possível aumentar a eficiência e a eficácia nas explicações sobre estes conteúdos? Elabore uma sugestão para tal.
Resposta:
176
APÊNDICE I - Fotos digitais da coleta de dados
Fez-se neste Apêndice uma descrição comentada do novo perfil do discente
na educação brasileira em função da nova LDB evidenciando apenas os tópicos da
nova legislação que implicariam em uma mudança do perfil do discente e docente.
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 1 Preleção (na primeira visita) com o envolvimento do Professor e das Turmas 1 e 2
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 2 Aplicação do questionário (primeira visita)
177
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 3 Aplicação do Teste 1 e explicação da sua importância
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 4 Turma 2 respondendo as questões do Teste 1 em grupos de 3 (três) alunos
178
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 5 Aplicação do Teste 1 na Turma 1
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 6 Turma 1 respondendo o Teste 1
179
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 7 Alunos da Turma 2 avaliando o docente
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 8 Alunos da Turma 2 respondeno as questões do Teste 2
180
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 9 Alunos da Turma 1 respondento as questões dos Testes 2
Fonte: Elaboração da Própria autora Foto 10 Alunos da turma 2 em respota ao Teste 2
181
APÊNDICE J - Fotos digitais da avaliação docente e discente
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 11 Momento de avaliação do Docente
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 12 Momento de avaliação do Docente
182
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 13 Momento de avaliação do Docente
Fonte: Elaboração da Própria autora
Foto 14 Momento de avaliação do Docente
183
184
APÊNDICE L - Exercícios aplicados previamente em sala de aula
Estácio FIB - Salvador Curso: Sistemas de Informação Disciplina: Matemática I Professor/Facilitador: Clevenson Data de Aplicação: ____/____/______
Aluno(a)s:
Exercícios de Sala de Aula
1) Esboce o gráfico de 32y x= 2) Determine o volume de um tanque cilíndrico com 3m de altura e com um raio r .Expresse o volume V do tanque como função de r . 3) Determine a equação linear da reta que passa por A (3, 7) e B (4, 9). 4) Uma caixa, toda fechada, tem um volume de 10m3. O comprimento da base é o triplo da largura. O material da base custa $5 por metro quadrado, ao passo que o material das laterais custa $2 por metro quadrado. Assim, expresse o custo total do material para a construção da caixa fechada.
5) Seja ( )2
4
−
−=
x
xxf , com base nisto determine ( )xf
x 4lim
→
6) Determine ( )222lim 23
3+−
−→xx
x
7) Seja a velocidade da luz (aproximadamente 3, 0 x 108 m/s, ou 300.000 km/s). Pela teoria
de Einstein (teoria da relatividade), a fórmula de equivalência de massas é de
2
2
0
1c
v
mm
−
=
especifica a relação entre a massa em repouso e a massa do mesmo corpo em uma
deteminda velocidade. A fórmula implica que a massa do objeto medida pelo observador é
maio quando o objeto está em movimento do que quando está em repouso. Determine e
interprete mcv
−→lim , e explique porque é necessário um limite lateral esquerdo.
185
APÊNDICE M - Níveis de abrangência das questões (taxonomia SOLO)
Níveis de abrangência para o Teste 1:
Taxonomia SOLO - Descrição dos Níveis de Abrangência das Questões
Escala de Níveis
Níveis e Sub-Níveis Nível 1
Complexidade Pré-Estrutural
Nível 1,5
Nível 2 Complexidade Uni-Estrutural
Nível 2,5
Nível 3 Complexidade Multi-Estrutural
Nível 3,5
Nível 4 Complexidade
Relacional Nível 4,5
Nível 5 Complexidade
Abstrata
Descrição das Características de Cada Nível
Respostas sem relação lógica / não responde e repete a
informação / responde de forma ireelevante / concluindo de forma
totalmente inconsistente
Respostas estão relacionadas logicamente / Com apenas uma informação correta / Concluindo rapidamente e sem consistência
Respostas relacionadas
logicamente / várias informações
relevantes mas não relacionadas entre si /
conclui-se rapidamente e
inconsistentemente
Respostas relacionadas logicamente / Várias informações relevantes / Integradas num conceito ou argumento / Concluindo sem
pressa e de forma consistente
Respostas relacionadas logicamente com a questão e
com outras questões hipotéticas / Várias informações relevantes / Com abstração de um princípio generalizável / Concluindo sem
pressa e de forma aberta
Teste 1
Nível
Taxonômico Questão Enunciado Conteúdos e Complexidades Exigidas
1 2 3 4 5
1 a
Espera-se resposta com relação direta e lógica com a função em questão e completa, do início ao fim, na transcrição gráfica da função apresentada. Espera-se também a abstração com extrapolação por indução de todo o universo gráfico da função.
X X X X X
1 b
Espera-se resposta com relação direta e lógica com a função em questão e completa, do início ao fim, na transcrição gráfica da função apresentada. Espera-se também a abstração com extrapolação por indução de todo o universo gráfico da função.
X X X X X
2
Espera-se resposta com diversos percursos metodológicos onde, em todos, espera-se a exposição da relação direta e lógica com o conjunto de pontos apresentados com a abstração do significado dos mesmos para a determinação da função em questão.
X X X X X
3
Deseja-se uma visão completa do cenário descrito verbalmente e elucidado na figura apensa. Assim necessita-se de uma relação lógica entre as partes constitutivas da questão bem como respostas interrelacionadas com várias formações possíveis de relação entre as mesmas.Espera-se o domínio dos conceitos de espaço, volume e formulas geratrizes entre área e volume. Em uma resposta completa espera-se não só apenas a apresentação da função desejada como também comentários à mesma.
X X X X X
4 Deseja-se uma visão gráfica entre a realidade descrita e o eventual comportamento funcional da grandeza em análise.
X X X X
186
Taxonomia SOLO - Descrição dos Níveis de Abrangência das
Questões
Escala de Níveis Níveis e Sub-
Níveis Nível 1 Complexidade Pré-
Estrutural Nível 1,5
Nível 2 Complexidade Uni-Estrutural
Nível 2,5
Nível 3 Complexidade Multi-Estrutural
Nível 3,5
Nível 4 Complexidade
Relacional Nível 4,5
Nível 5 Complexidade
Abstrata
Descrição das Características de Cada Nível
Respostas sem relação lógica / não responde e repete a
informação / responde de forma ireelevante / concluindo de forma
totalmente inconsistente
Respostas estão relacionadas logicamente / Com apenas uma informação correta / Concluindo rapidamente e sem consistência
Respostas relacionadas
logicamente / várias informações
relevantes mas não relacionadas entre si /
conclui-se rapidamente e
inconsistentemente
Respostas relacionadas logicamente / Várias informações relevantes / Integradas num conceito ou argumento / Concluindo sem
pressa e de forma consistente
Respostas relacionadas logicamente com a questão e
com outras questões hipotéticas / Várias informações relevantes / Com abstração de um princípio generalizável / Concluindo sem
pressa e de forma aberta
5
Espera-se uma visão/correlação entre o cenário físico descrito e a relação matemática associada ao mesmo, ou seja, uma visão completa da fenomenologia associada com a relação matemática equivalente com descrição das relação matemática entre as partes e composição funcional entre as mesmas com o objetivo de construção da função custo desejada.
X X X X X
Adptação a partir de: Biggs, J. B. & Collis, K. F. (1982). Evaluating the quality of learming - The SOLO Taxonomy (structured of the observed learning outcome). S. Francisco: Plenum Press.
Níveis de abrangência para o Teste 2:
Taxonomia SOLO - Descrição dos Níveis de Abrangência das
Questões
Escala de Níveis Níveis e Sub-
Níveis Nível 1 Complexidade Pré-
Estrutural Nível 1,5
Nível 2 Complexidade Uni-Estrutural
Nível 2,5
Nível 3 Complexidade Multi-Estrutural
Nível 3,5
Nível 4 Complexidade
Relacional Nível 4,5
Nível 5 Complexidade
Abstrata
Descrição das Características de Cada Nível
Respostas sem relação lógica / não responde e repete a
informação / responde de forma ireelevante / concluindo de forma
totalmente inconsistente
Respostas estão relacionadas logicamente / Com apenas uma informação correta / Concluindo rapidamente e sem consistência
Respostas relacionadas
logicamente / várias informações
relevantes mas não relacionadas entre si /
conclui-se rapidamente e
inconsistentemente
Respostas relacionadas logicamente / Várias informações relevantes / Integradas num conceito ou argumento / Concluindo sem
pressa e de forma consistente
Respostas relacionadas logicamente com a questão e
com outras questões hipotéticas / Várias informações relevantes / Com abstração de um princípio generalizável / Concluindo sem
pressa e de forma aberta
Teste 2
Nível
Taxonômico Questão Enunciado Conteúdos e Complexidades Exigidas
1 2 3 4 5
1 b
Espera-se resposta com relação direta e lógica com a função em questão e completa, do início ao fim, na transcrição gráfica da função apresentada. Espera-se também a abstração com extrapolação por indução de todo o universo gráfico da função.
X X X X X
2
Deseja-se resposta relacionada logicamente de forma dedutiva associada à função em destaque. Espera-se o uso da notação de forma lógica e integrada ao uso na academia.
X X X X
187
Taxonomia SOLO - Descrição dos Níveis de Abrangência das
Questões
Escala de Níveis Níveis e Sub-
Níveis Nível 1 Complexidade Pré-
Estrutural Nível 1,5
Nível 2 Complexidade Uni-Estrutural
Nível 2,5
Nível 3 Complexidade Multi-Estrutural
Nível 3,5
Nível 4 Complexidade
Relacional Nível 4,5
Nível 5 Complexidade
Abstrata
Descrição das Características de Cada Nível
Respostas sem relação lógica / não responde e repete a
informação / responde de forma ireelevante / concluindo de forma
totalmente inconsistente
Respostas estão relacionadas logicamente / Com apenas uma informação correta / Concluindo rapidamente e sem consistência
Respostas relacionadas
logicamente / várias informações
relevantes mas não relacionadas entre si /
conclui-se rapidamente e
inconsistentemente
Respostas relacionadas logicamente / Várias informações relevantes / Integradas num conceito ou argumento / Concluindo sem
pressa e de forma consistente
Respostas relacionadas logicamente com a questão e
com outras questões hipotéticas / Várias informações relevantes / Com abstração de um princípio generalizável / Concluindo sem
pressa e de forma aberta
Teste 2
Nível
Taxonômico Questão Enunciado Conteúdos e Complexidades Exigidas
1 2 3 4 5
3 a
Deseja-se resposta relacionada logicamente de forma dedutiva associada à função em destaque. Espera-se o uso da notação de forma lógica e integrada ao uso na academia. Espera-se também a associação numérica com o domínio gráfico associado.
X X X X X
3 b
Deseja-se resposta relacionada logicamente de forma dedutiva associada à função em destaque. Espera-se o uso da notação de forma lógica e integrada ao uso na academia. Espera-se também a associação numérica com o domínio gráfico associado.
X X X X X
3 c
Deseja-se resposta relacionada logicamente de forma dedutiva associada à função em destaque. Espera-se o uso da notação de forma lógica e integrada ao uso na academia. Espera-se também a associação numérica com o domínio gráfico associado.
X X X X X
4 a
Deseja-se resposta relacionada logicamente de forma dedutiva e associada ao cenário físico descrito bem como à função em destaque e também descrita fisicamente. Deseja-se o uso da notação de forma lógica e integrada e a associação numérica com o domínio gráfico associado bem como com o comportamento físico da grandeza que a mesma representa além da associação dos limites da mesma grandeza e o estado funcional e da forma (líquida, sólida e gassosa) da mesma.
X X X X X
4 b
Deseja-se resposta relacionada logicamente de forma dedutiva e associada ao cenário físico descrito bem como à função em destaque e também descrita fisicamente. Deseja-se o uso da notação de forma lógica e integrada e a associação numérica com o domínio gráfico associado bem como com o comportamento físico da grandeza que a mesma representa além da associação dos limites da mesma grandeza e o estado funcional e da forma (líquida, sólida e gassosa) da mesma.
X X X X X
188
Taxonomia SOLO - Descrição dos Níveis de Abrangência das
Questões
Escala de Níveis Níveis e Sub-
Níveis Nível 1 Complexidade Pré-
Estrutural Nível 1,5
Nível 2 Complexidade Uni-Estrutural
Nível 2,5
Nível 3 Complexidade Multi-Estrutural
Nível 3,5
Nível 4 Complexidade
Relacional Nível 4,5
Nível 5 Complexidade
Abstrata
Descrição das Características de Cada Nível
Respostas sem relação lógica / não responde e repete a
informação / responde de forma ireelevante / concluindo de forma
totalmente inconsistente
Respostas estão relacionadas logicamente / Com apenas uma informação correta / Concluindo rapidamente e sem consistência
Respostas relacionadas
logicamente / várias informações
relevantes mas não relacionadas entre si /
conclui-se rapidamente e
inconsistentemente
Respostas relacionadas logicamente / Várias informações relevantes / Integradas num conceito ou argumento / Concluindo sem
pressa e de forma consistente
Respostas relacionadas logicamente com a questão e
com outras questões hipotéticas / Várias informações relevantes / Com abstração de um princípio generalizável / Concluindo sem
pressa e de forma aberta
Teste 2
Nível
Taxonômico Questão Enunciado Conteúdos e Complexidades Exigidas
1 2 3 4 5
4 c
Deseja-se resposta relacionada logicamente de forma dedutiva e associada ao cenário físico descrito bem como à função em destaque e também descrita fisicamente. Deseja-se o uso da notação de forma lógica e integrada e a associação numérica com o domínio gráfico associado bem como com o comportamento físico da grandeza que a mesma representa além da associação dos limites da mesma grandeza e o estado funcional e da forma (líquida, sólida e gassosa) da mesma.
X X X X X
5 a
Deseja-se resposta relacionada logicamente de forma dedutiva e associada ao cenário físico descrito bem como à função em destaque e também descrita fisicamente. Deseja-se a interpretação física do cenário descrito com o modelo matemático associado bem como as limitações do mesmo.
X X X X X
5 b
Deseja-se resposta relacionada logicamente de forma dedutiva e associada ao cenário físico descrito bem como à função em destaque e também descrita fisicamente. Deseja-se a interpretação física do cenário descrito com o modelo matemático associado bem como as limitações do mesmo.
X X X X X
5 c
Deseja-se resposta relacionada logicamente de forma dedutiva e associada ao cenário físico descrito bem como à função em destaque e também descrita fisicamente. Deseja-se a interpretação física do cenário descrito com o modelo matemático associado bem como as limitações do mesmo.
X X X X X
6
Deseja-se resposta relacionada, mecanicamente ou dedutivamente, associada à função em evidência bem como o uso da notação adotada para tal.
X X
189
Taxonomia SOLO - Descrição dos Níveis de Abrangência das
Questões
Escala de Níveis Níveis e Sub-
Níveis Nível 1 Complexidade Pré-
Estrutural Nível 1,5
Nível 2 Complexidade Uni-Estrutural
Nível 2,5
Nível 3 Complexidade Multi-Estrutural
Nível 3,5
Nível 4 Complexidade
Relacional Nível 4,5
Nível 5 Complexidade
Abstrata
Descrição das Características de Cada Nível
Respostas sem relação lógica / não responde e repete a
informação / responde de forma ireelevante / concluindo de forma
totalmente inconsistente
Respostas estão relacionadas logicamente / Com apenas uma informação correta / Concluindo rapidamente e sem consistência
Respostas relacionadas
logicamente / várias informações
relevantes mas não relacionadas entre si /
conclui-se rapidamente e
inconsistentemente
Respostas relacionadas logicamente / Várias informações relevantes / Integradas num conceito ou argumento / Concluindo sem
pressa e de forma consistente
Respostas relacionadas logicamente com a questão e
com outras questões hipotéticas / Várias informações relevantes / Com abstração de um princípio generalizável / Concluindo sem
pressa e de forma aberta
Teste 2
Nível
Taxonômico Questão Enunciado Conteúdos e Complexidades Exigidas
1 2 3 4 5
7
Espera-se o entendimento e domínio dos conceitos associados à teoria em análise bem como os conceitos e notação da base matemática associada ao questionado.
X X X
8
Espera-se resposta com domínio da notação, das propriedades associadas bem como desenvolvimento das propriedades funcionais demandadas pela função em análise.
X X X
9
Espera-se resposta com domínio da notação, das propriedades associadas bem como desenvolvimento das propriedades funcionais demandadas pela função em análise, além dos conceitos edo rito mínimo para a demonstração da derivada em questão, considerando-se logicamente as etapas da mesma bem como as operações matemáticas básicas que consubstanciam o resultado final.
X X X X X
10 a
Espera-se resposta com domínio da notação ou das regras de derivação imediata, com domínio das variáveis envolvidas, seus significados e limitações, e com entendimento direto da relação entre os conceitos de posição, velocidade e aceleração associadas à grandeza independente, o tempo. Espera-se também comentários ás respostas apresentadas.
X X X X X
10 b
Espera-se resposta com domínio da notação ou das regras de derivação imediata, com domínio das variáveis envolvidas, seus significados e limitações, e com entendimento direto da relação entre os conceitos de posição, velocidade e aceleração associadas à grandeza independente, o tempo. Espera-se também comentários ás respostas apresentadas.
X X X X X
190
Taxonomia SOLO - Descrição dos Níveis de Abrangência das
Questões
Escala de Níveis Níveis e Sub-
Níveis Nível 1 Complexidade Pré-
Estrutural Nível 1,5
Nível 2 Complexidade Uni-Estrutural
Nível 2,5
Nível 3 Complexidade Multi-Estrutural
Nível 3,5
Nível 4 Complexidade
Relacional Nível 4,5
Nível 5 Complexidade
Abstrata
Descrição das Características de Cada Nível
Respostas sem relação lógica / não responde e repete a
informação / responde de forma ireelevante / concluindo de forma
totalmente inconsistente
Respostas estão relacionadas logicamente / Com apenas uma informação correta / Concluindo rapidamente e sem consistência
Respostas relacionadas
logicamente / várias informações
relevantes mas não relacionadas entre si /
conclui-se rapidamente e
inconsistentemente
Respostas relacionadas logicamente / Várias informações relevantes / Integradas num conceito ou argumento / Concluindo sem
pressa e de forma consistente
Respostas relacionadas logicamente com a questão e
com outras questões hipotéticas / Várias informações relevantes / Com abstração de um princípio generalizável / Concluindo sem
pressa e de forma aberta
Teste 2
Nível
Taxonômico Questão Enunciado Conteúdos e Complexidades Exigidas
1 2 3 4 5
10 c
Espera-se resposta com domínio da notação ou das regras de derivação imediata, com domínio das variáveis envolvidas, seus significados e limitações, e com entendimento direto da relação entre os conceitos de posição, velocidade e aceleração associadas à grandeza independente, o tempo. Espera-se também comentários ás respostas apresentadas.
X X X X X
10 d
Espera-se resposta com domínio da notação ou das regras de derivação imediata, com domínio das variáveis envolvidas, seus significados e limitações, e com entendimento direto da relação entre os conceitos de posição, velocidade e aceleração associadas à grandeza independente, o tempo. Espera-se também comentários ás respostas apresentadas.
X X X X X
Adptação a partir de: Biggs, J. B. & Collis, K. F. (1982). Evaluating the quality of learming - The SOLO Taxonomy (structured of the observed learning outcome). S. Francisco: Plenum Press.